Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais
1. Justificação da existência das relações constitutivas 2. Linearidade física3. Definição de constantes elásticas
3.1 Módulo de Young3.2 Lei de Hook3.3 Efeito de Poisson3.4 Módulo de corte (distorção)3.5 Módulo de volume
4. Definições ligadas ao comportamento do material5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear
5.1 Lei de Hook generalizada5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade
6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas7. Estados planos8. Carga de temperatura
8.1 Carga de temperatura em estados planos9. Materiais ortotrópicos10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral
10.1 Cedência10.2 Modelos para o cálculo
3 Equações de equilíbrio6 Equações deformações - deslocamento
uT
Resumo dos Capítulos 3-4:
Incógnitas do problema: 6+6+3=15 componentes
u,, O MC exibe devido às solicitações:
A ligação que falta são as equações que relacionam e
Chamam-se Equações constitutivas (6):
é preciso estabelecer parâmetros que caracterizam o comportamento do MC
1. Justificação da existência das relações constitutivas
Faltam 6 equaçõesNão há dependência da resposta do MC do tipo do material
0f
Ensaio uniaxialTracção de uma barra
Limite de linearidade
análise geometricamente linear
Análise linear
análise fisicamente linear
Pode-se usar o princípio de sobreposição
2. Linearidade física
Rotura
Cedência
Estudos que abrangem apenas a parteinicial do gráfico, onde a relação entrea tensão e a deformação é linear
Carregamento 1 111 u,, Carregamento 2 222 u,,
α(Carregamento 1) + β(Carregamento 2)
212121 uu,,
Usa-se tensão nominal, ou sejaa força aplicada sobre a área dasecção transversal inicial
Extensão na direcçãoda carga aplicada
tgE
declive inicial do gráfico tensão - deformaçãomódulo de elasticidade: E = tgα
unidade: Pa, GPa=109Pa
Thomas Young (1773-1829)
3. Definição de constantes elásticas
3.1 Módulo de Young
E tangente inicial
E tangente
E secante inicial
E secante
Análise fisicamente não-linear: módulos de elasticidade
secantes ou tangentes usam-se juntamente com os incrementos
de tensão e de deformação
3.3 Efeito de Poisson
L
Lx
h
hz
x
y
x
z
: coeficiente ou número de Poisson (sem unidade)
Δh: variação da altura < 0
F
LL
h x
z
h
ΔL: variação do comprimento > 0
b
hL
3.2 Lei de Hooke
E
razão negativaextensão na direcção transversal à força aplicada
extensão na direcção da força aplicada
Robert Hooke(1635-1703)
Siméon-Denis Poisson (1781-1840)
2/1,0 0: não há variações transversais, 1/2: material incompressível
h
uxy
Lb
Fxy
xy
xyG
F
x
y u
h
3.4 Módulo de corte (distorção)
E, , G, K: constantes elásticas do material
b
hL
Assume-se a distribuição uniforme
mmV K
13
3.5 Módulo de volume
4. Definições ligadas ao comportamento do material
Material homogéneo: o comportamento não varia com a posição (aço)
Material isotrópico: o comportamento não varia com a direcção (aço)
Material heterogéneo: betão ?, rochas ?, solos ?, compósitos
Material não-isótrópico e ortotrópico: betão ?, madeira, compósitos
(GPa)
Módulo de “bulk” K (GPa)
Ensaio de distorção
tgG
A isotropia implica ainda que as direcções principais das tensões e das deformações coincidem, inclusive a ordem
5.1 Lei de Hook generalizada
D
C 1CD
Comportamento linear implica que as matrizes de rigidez e de flexibilidadesão compostas por números (parâmetros de material) sem dependênciado estado actual de tensão ou deformação
[C]: matriz de rigidez de material
[D]: matriz de flexibilidade de material
[C], [D]: Tensores simétricos da 4ª ordem
Devido às simetrias podem-se escrever na forma matricial (6,6)
5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear
A homogeneidade implica que os parâmetros de materialnão dependem da posição
A isotropia implica que os parâmetros de materialnão dependem da direcção, ou seja que são indiferentes do referencial
Pode-se provar que duas constantes elásticas são suficientes para descrever o comportamento do material isotrópico
2/1;1
12
EG Condição necessária e suficiente de isotropia
5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade
Escolha mais comum em engenharia: ,E
E, , G, K: constantes elásticas do material
213
EK Consequência da lei constitutiva
Os princípios energéticos implicam, que os módulos tem que ser positivos
2/1;0
2
1
C0
0CC
2
1
D0
0DD
1
1
1
E
1D1
100
010
001
G
1D2
1
1
1
211
EC1
100
010
001
GC2
2
2
2
C1
,Constantes de Lamé
G
211
E
Gabriel Lamé, 1795-1870
Às vezes as relações constitutivas chamam-se de Lamé
parte volúmica das tensões e das deformações: altera-se volumeparte desviatórica das tensões e das deformações :
altera-se forma em volume inalterado
3/G4K3/G2K3/G2K
3/G2K3/G4K3/G2K
3/G2K3/G2K3/G4K
C1
Importante para a definição de energia de deformação (cap. 7)
6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas
mVm K3K
Outra possível composição do bloco 1C
Partes volúmicas
Soma das primeiras 3 equações
zyxzyx K3
Com as componentes do slideanterior pode se justificar
a fórmula do K
211
1EK3
213
EK
3
2G2K zyx
zyxx
Componentes diagonais
G2Partes desviatóricas
mxmx G2
mxmx G2K3
Componentes fora de diagonal
xyxyxy GG2
3G2
3K3 zyx
xzyx
x
zyxx 3/G2K3/G2K3/G4K
queremos provar
relação verídica, prova está finalizada
G2
:
K:3
2m
mmT
Invariante, dobro da energia de deformação
Multiplicação “:“ significa “produto interno” entre matrizes
0
0
0
0
0
0K3
1
2
2
2G2
1
0
0
0
0
0
0
2
2
2m
m
m
xy
xz
yz
mz
my
mx
T
m
m
m
xy
xz
yz
mz
my
mx
m
m
m
xy
xz
yz
mz
my
mx
T
m
m
m
xy
xz
yz
mz
my
mx
A prova da relação em cima é óbvia, se os termos “cruzados” davam zero
03 mzyxm o que também é fácil de mostrar, como
As contribuições ao invariante separam-se directamente nas partesvolúmicas e desviatóricas
T
Demonstração
Tensão plana 0,0,0 yzxzz
Exemplos: (1) Placas com espessura fina e carga aplicada no plano da placa(2) Superfícies dos sólidos sem carga aplicada (medição das extensões)
redD
1
1
1
ED
2
1red
1 yxyxz 1E
(invariante)
Quando nem carga, nem propriedades, nem geometria do MC depende do “z”a descrição do comportamento do MC pode-se simplificar para estados planos
7. Estados planos
1redD
xy
y
x
xy
xz
yz
z
y
x
0
0
0
G/100000
0G/10000
00G/1000
000E/1E/E/
000E/E/1E/
000E/E/E/1
Apenas índices x, y e xy
0yzxz
red1D
red2D
Deformação plana 0,0,0 yzxzz Exemplos: Sólidos com espessura grossa: barragens
(invariante)
Estados planos não correspondem um a outro !!!
redC
11
11
E
1C
21red
1
yxyxz 211
E
1redC
0yzxz
8. Carga de temperatura
Afecta apenas componentes normais TLL
Coeficiente da expansão térmica ºC-1 ou deg-1
Variação de temperatura inifin TTT
T,111
1 D
T,111
1 C
T,111
T,111
1
21
EC
211
1EC
Apenas componentes normais
z
y
x1
z
y
x1
T
T
T
Tz
Ty
Tx
T,1
T,1111D
TT,1 T,T,T Extensão térmica
TT 0,0,0,T,T,T Deformação térmica
8.1 Carga de temperatura em estados planos
T
TD 1red
11Tensão plana
T
T
1
ED
T
T1
1
ED 11red
1211red
11
T1
1
1
TT1
E
1
ET
1
E
1
E
E
TE
yx
yx2yx2
yxz
y
x1
y
x1
1
1
E
1Dred
1
1
1
1
ED
2
1red
1
Redução de 3D
T
T
21
EC 11red
1
TE
T21
ET1
1E
1T1
1E
1
211
ET
21
E
211
E
yx
yx
2
yx
2
yxz
Deformação plana
T
T
21
EC 1red
11
Redução de 3D
T
T1C
T
T
11
E
1
21
EC
11red1
211red
11
11
11
E
1C
21red
1
Existem 3 direcções principais de ortotropia
direcções de ortotropia = dir. principais de tensão = dir. principais de deformação
para as equações constitutivas é preciso 9 parâmetrosas componentes de matrizes [D] e [C] mudam com a rotação do referencial os blocos de zeros terão em geral termos diferentes de zero
zy
yz
x
xz
z
zy
yx
xy
z
zx
y
yx
x
1
E
1
EE
EE
1
E
EEE
1
D
xy
xz
yz
2
G
100
0G
10
00G
1
D y
yx
x
xy
EE
jiii
jj
ij
De simetria
Carga na direcção i
-matriz de rigidez pela inversão-ambas sempre positivamente definidas
9. Materiais ortotrópicos
Alinhando o referencial com as direcções de ortotropia
Designações do comportamento têm que assumir a carga e a descarga
Comportamento Elástico: linear ou não linear: não existem deformações permanentes, depois da descarga o MC encontra-se sem deformações
C. Elasto-plástico: existem deformações plásticas, irreversíveis, ou seja permanentes
10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral
Constantes do material dependem da historia de cargas e descargas
descarga linear
tE E tangente inicial
e parte elástica
Os estados das tensões e das deformações não dependem da história da aplicação das cargas
Lei reversível com histerésis, c. elástico com
atrito interno
p
parte plástica, permanente
10.1 Cedência transição entre o comportamento reversível e irreversível
Menos rígido após a cedência
Comportamento viscoso: há dependência no tempo : relaxação, fluência
endurecimentoMais rígido após a cedência
enfraquecimento,amaciamento,amolecimentoplasticidade
perfeita
Y
Y
Y
incompressibilidade após Y
10.2 Modelos para o cálculo
C. rígido perfeitamente plástico
C. elasto-perfeitamente plástico
C. elasto-plástico com endurecimento
YY 0,Y
1,Y