Fisica Generale III con Laboratorio
Campi elettrici e magnetici nella materia
Lezione 4Magnetismo nella materia
2 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 2010
Proprieta ’ magnetiche della materia
Qualche analogia con i dielettrici: Momenti di dipolo magnetico atomici/molecolari
Campo esterno→ Magnetizzazione (talvolta spontanea)Riarrangiamento correnti microscopiche (elettroni legati)
Classificazione:
Materiali paramagnetici: Atomi/Molecole dotati di mom. proprio
Materiali ferromagnetici: Magnetizzazione spontanea
Materiali diamagnetici: Tutti
(Inoltre: Magnetismo nucleare, …)
3 E.Menichetti - 20103 E.Menichetti - 20103 E.Menichetti - 2010
Magnetizzazione
n
n
=
Effetto di campi applicati: magnetizzazione del mezzo
vettore magnetizzazione
momento di dipolo magnetico medio di ogni molecola
molecole/volume
Modello molecol
ar
e
semplif
M µ
µ
,c c=
=
icato: mezzo lineare
polarizzabilita' magnetica'
campo totale agente su ogni
moleco la
'µ B
B
4 E.Menichetti - 20104 E.Menichetti - 20104 E.Menichetti - 2010
Mezzo lineare:
Permeabilita’ magnetica relativa:
( ) 01m
m
M B suscettivita' mag netic aχχ µ
=+
0
1r m
r Permeabilita' magnetica assol ua tµ χµ µ µ
= +=
c,χm,µ quasi sempre: quantita’ scalari →MB
In strutture cristalline a bassa simmetria: matrici → M non B
χm,µ: grandezze macroscopiche, accessibili alla misura direttac: grandezza microscopica, inaccessibile alla misura diretta
Suscettivita ’, permeabilita ’
5 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 2010
Campo magnetizzante - I
Vettore legato alle sole correnti “vere”, o “libere”
Lo stato magnetico di un materiale e’ definito da due vettori indipendenti, p es B e M oppure B e H
H risulta utile per la risoluzione dei problemi, e anche per riscrivere le eq. di Maxwell nei mezzi materiali in modo simile a quelle nel vuoto
0 0 r
B BH M
Definizione:
µ µ µ= − =
6 E.Menichetti - 20106 E.Menichetti - 2010
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )
0
0
0
0 0
0 0
0
11
11
1
1
1 11
m
m m
m
m mm
m
m
mm
m
m
nc
cn
c
c c c
c
c
Polarizzabilita' m agnetica
Si noti:
Relazione piu' semplice: quella fra e
µ χχ χ µχ µ
χ χχχ µ µ
µ µχ
χµ χχ
χ
= − → = → = +=+
→ =+
= + → − =
+→ = = =
− −+
BH M M B
M B
M H M M H
M H H H
M H
≪ ≃
Campo magnetizzante - II
6 E.Menichetti - 2010
7 E.Menichetti - 2010
I tre vettori magnetici - I
B vettore campo magnetico; quello che compare nell’espressione dellaforza su una carica in movimento Legato a tutte le correnti, libere e di magnetizzazione
M: vettore magnetizzazione Legato alle correnti di magnetizzazione
H vettore campo magnetizzante Legato alle correnti libere
7 E.Menichetti - 2010
8 E.Menichetti - 20108 E.Menichetti - 2010
I tre vettori magnetici - II
( )
0
0
0
0 0
0
0
0
11 1
1
Vuoto:
Materia:
Definizione:
sempre
materiali omogenei, lineari, isotropi
relazione costitutiva mater
iali om
lib
lib m
m r
m r
r
µ
µ
µ
χ µ
µ χ µ µ
µ µ
∇⋅ =∇× = ∇⋅ =∇× = +
= −
−= =
+
→ =
B
B j
B
B j j
BH M
M B B
B H
0
ogenei, lineari, isotropi
equazioni della magnetostatica nei mezzi mater ialilib
∇⋅ =→∇× =
B
H j
9 E.Menichetti - 2010
B e H all’interfaccia fra due mezzi
10 E.Menichetti - 201010 E.Menichetti - 201010 E.Menichetti - 2010
Effetti sul campo magnetico di materiali diamagnetici o paramagnetici:
Sempre molto piccoli, di solito trascurabili (e trascurati)→Campo B = quello nel vuoto
Possibile eccezione: materiale paramagnetico a bassa T e alto B→Magnetizzazione elevata →Campo B simile a quello di un ferromagnete
Effetti di materiali ferromagnetici: (molto) Grandi
Campo con materiali magnetici - I
11 E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - II
( )0
0
0
0 0
lib m
lib
lib
µ
∇⋅ =∇× = +→ ∇⋅ =→∇× =
= →∇× =
Campo nella materia:
Equazioni della magnetostatica nei mezzi materiali
Osservazione interessante: in assenza di correnti libere
irrotaz
B
B
B j j
B
H j
j H H
( ) ( ),→ =−∇Φ Φ
ionale
potenziale magnetost a i t coH r r
Problemi di magnetostatica: in assenza di correnti vere, si puo’ calcolare Hper mezzo di un potenziale scalare (come E in elettrostatica), come se esistessero cariche magnetiche (anzi : poli), analoghe a quelle elettriche. Ma: con il vincolo assoluto di rimanere sempre legate a coppie di segno opposto nei dipoli magnetici
12 E.Menichetti - 2010
2
2 2
ˆ ˆcos ,
1 1 cos 1ˆ ˆ ˆcos
4 4 4
m
m
M
dA M R dd M d
R R
σ θ
σ θθ
π π π
= ⋅ =
Ω=− =− =− Ω
versore normale alla superficie
Contributo elementare al campo al centro della sfera:
Dopo somma vettoriale di tutti i contribu
ti: s
olo
M n n
H n n n
( )1
12 2 3
11
cos cos cos cos4 2 2 3 3
1,
3
z
M M M MH dH d dθ θ θ θ
π
++
−−
= =− Ω=− =− =−⋅
→ =−
∫ ∫ ∫
componente lungo
e si puo' dimostrare che e' uniforme entro la s era f
M
H M
12 E.Menichetti - 201012 E.Menichetti - 2010
Sfera uniformemente magnetizzata (es. magnete permanente)
a)Campo interno: determinato dalla densita’ di corrente di magnetizzazione efficace sulla superficie della sfera, equivalente a una distribuzione superficiale di poli magnetici
Campo con materiali magnetici - III
13 E.Menichetti - 201013 E.Menichetti - 2010
b) Campo esterno: puro dipolo magnetico
Situazione simile (ma non identica!) a quella di una sfera dielettricapolarizzata
34
3Mom. di dipolo equiv alente Rπ=µ M
( )0 0 0
1
31 2
3 3µ µ µ
=−
= + = − + = Uniforme anche
Notare: e all'interno hanno verso opp
osto
H M
B H M M M M B
B H
Campo con materiali magnetici - IV
14 E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - V
Per dissipare un equivoco potenziale:
Nell’esempio non ci sono correnti vere, tuttavia H e’ diverso da 0!Come mai?
Nulla di strano: l’assenza di correnti vere determina solo
Ma un campo vettoriale non e’ determinato dal solo rotore, occorre anche la divergenza (vedi eq. di Maxwell)
Quindi non c’e’ contraddizione fra assenza di correnti vere e campo Hnon nullo
0H∇× =
15 E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - VI
Sfera paramagnetica in campo esterno uniforme B0
La sfera si magnetizza in conseguenza della presenza del campo esternoSi puo’ mostrare che la magnetizzazione e’ uniforme
00
0
0
2
3
3
in
in
in
µ
µ
= + = −
=
Sommiamo formalmente il campo esterno con il campo di una sfera
uniformemente magnetizzata:
all'interno della sfera
Inoltre deve valere, all'interno della sfera:
B B M
B MH
B 0 r inµ µ
←per un materiale magnetico lineare e isotropo ( non ferromagnetico!)
H
16 E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - VII
0 00 0
0
00
2
3 3
13
2
r
r
r
µµ µ
µ
µ
µ µ
+ = − − → = +
Quindi:
Risultato analogo alla polarizzazione di una sfera dielettrica
in un campo elettrico esterno uniforme
Nota: anche per la magnetizzazion
B MB M
M B
e vale il risultato che un campione
di forma ellissoidale puo' essere magnetizzato uniformemente
17 E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - VIII
0 ,
Campo totale in ogni punto:
dove e' quello t rovato primatot sfera sfera= +B B B B
Risultato non valido per ferromagneti (←non lineari)
18 E.Menichetti - 2010
Campo con materiali magnetici - IX
Materiali magnetici vs dielettrici
Strette analogie con risultati su dipendenza dei campi dalla forma delle cavita’, campo efficace sul singolo dipolo etc
Non estese al caso dei materiali ferromagnetici, che sono viceversaanaloghi a quelli ferroelettrici:
IsteresiMagnetizzazione spontanea
Domini
anche se l’origine delle loro proprieta’ e’ diversa