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8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2

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Matemáticas NS y NMCalculadoras de pantalla gráfica

Primeros exámenes: 2006

Material de ayuda al profesor

Programa del Diploma


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Organización del Bachillerato Internacional

Buenos Aires Cardiff Ginebra Nueva York Singapur


Primeros exámenes: 2006

Material de ayuda al profesor de

Matemáticas NS y NM

Calculadoras de pantalla gráfica


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596

Impreso en el Reino Unido por Anthony Rowe Ltd (Chippenham, Wiltshire)

Publicada en septiembre de 2005

por la Organización del Bachillerato Internacional

Peterson House, Malthouse Avenue, Cardiff Gate

Cardiff, Wales GB CF23 8GL

Reino Unido

Tel.: + 44 29 2054 7777

Fax: + 44 29 2054 7778

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© Organización del Bachillerato Internacional, 2005

La Organización del Bachillerato Internacional es una fundación educativa

internacional sin fines de lucro. Fue creada en 1968 y tiene sede legal en Suiza.

IBO agradece la autorización para reproducir en esta publicación material

protegido por derechos de autor. Cuando procede, se han citado las fuentes

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El uso del género masculino en esta publicación no tiene un propósito

discriminatorio y se justifica únicamente como medio para hacer el texto más fluido.

Se pretende que el español utilizado sea comprensible para todos los hablantes

de esta lengua y no refleje una variante particular o regional de la misma.

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Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM:

calculadoras de pantalla gráfica

Versión en español del documento publicado en mayo de 2005 con el título

Mathematics HL/SL (graphic display calculators)—teacher support material


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ÍndiceÍndice

Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica

Introducción 1

Propósito de este material de ayuda al profesor 1

Antecedentes del uso de calculadoras de pantalla gráfica 1

Modelos de calculadoras de pantalla gráfica usados en este documento 2

Características referentes al idioma en las calculadoras de pantalla gráfica 3

Ejemplo 1: Para ver los menús en español 3

Ejemplo 2: Para ver los menús de nuevo en inglés 4

Ayuda de Catalog 5

Ejemplo 1: Instalación de la ayuda de Catalog 5 Ejemplo 2: Uso de la ayuda de Catalog 5

Ejemplo 3: Para salir de la ayuda de Catalog 6

Ejemplo 4: Instalación de la ayuda de Catalog en chino 6

Ejemplo 5: Uso de la ayuda de Catalog en chino 7

Ejemplo 6: Para salir de la ayuda de Catalog en chino 7

Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus 8

Destrezas básicas para las representaciones gráficas 8

Elección de la ventana adecuada 8

Localización de raíces, máximos y mínimos 12

Determinación de las ecuaciones de las tangentes 15

Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones 18

Cálculo del área bajo la curva entre dos puntos 19

Aplicación de transformaciones 21

Selección de herramientas básicas 23

Para hallar raíces de polinomios 23

Para resolver ecuaciones 25

Para resolver sistemas de ecuaciones 27

Estudio de relaciones trigonométricas 28

Resolución de ecuaciones trigonométricas 31

Suma de una progresión 33

Funciones y análisis 34

Cálculo del valor numérico de derivadas 34

Justificación de las expresiones de las derivadas 36

Estudio de gráficas de funciones y sus derivadas primera y segunda 38

Cálculo del valor numérico de integrales 40

Estadística y probabilidad 41

Dibujo de histogramas usando listas 41 Cálculo del valor de 43


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Índice

Cálculo de probabilidades en la binomial 43

Cálculo de probabilidades en la normal 45

Cálculo inverso en la normal 48

Diagramas de caja y bigotes 49

Matrices y vectores 51

Introducción de matrices en la calculadora 51

Álgebra de matrices 52

Cálculo del determinante de una matriz y de la matriz inversa 54

Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación 56

Lo que los alumnos deben poner por escrito en los exámenes 56

Ejemplo 1 de pregunta 56


Preguntas del tipo “compruebe que” en las que hay que volver a utilizar la solución = preguntas del tipo “halle” 58 Ejemplo 1 de pregunta 58


Casos de uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula 62

Uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula 62

Ejemplos de uso de la calculadora de pantalla gráfica 62

Gestión de la memoria en una calculadora de pantalla gráfica 66

Terminología básica relacionada con la calculadora de pantalla gráfica 66 Hardware 66

Sistema operativo 66

Verificación de la versión del sistema operativo 67

Memoria 67

Funcionalidad, programas y aplicaciones flash 67

Programas integrados 67

Programas RAM 67

Verificación de la memoria RAM 68

Para restaurar la memoria RAM de la familia de modelos de la TI-83/84 68

Para restaurar la memoria RAM de la Casio CFX-9850 Plus/FX -9750 Plus/CFX -9950 Plus/

CFX1.0 Plus/Graph 65 Plus/Graph 35 Plus 69

Aplicaciones Flash (Apps) de la memoria ROM 70

Cómo eliminar aplicaciones Flash (APPS) de la memoria ROM de las calculadoras TI-83 Plus/

TI-83+SE/TI-84+/TI-84+SE 70

Para inicializar las memorias RAM y ROM de la Casio FX1.0 Plus 71


7/80

IntroducciónIntroducción


© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 1

Propósito de este material de ayuda al profesorLa finalidad de este documento es servir de ayuda a los profesores que utilizan calculadoras de pantalla

gráfica en las asignaturas de Matemáticas Nivel Superior (NS), Matemáticas Nivel Medio (NM) y Ampliación

de Matemáticas NM del Programa del Diploma. También puede resultar útil como ayuda para el uso de

tecnología en otras asignaturas.

El uso de las calculadoras de pantalla gráfica ha generado varios debates, y esperamos que este documento

sirva para resolver algunas de las cuestiones que plantean profesores y alumnos, entre ellas:

• Cómo usar la calculadora

• Cómo usar la calculadora para mejorar la enseñanza y el aprendizaje

• Qué deben poner por escrito los alumnos en los exámenes cuando utilizan la calculadora

• Cómo gestionar la memoria de la calculadora

Estas cuestiones son comunes a todas las asignaturas en cuyos exámenes se permite el uso de calculadoras,

y la información interesa a cualquier profesor que utilice medios tecnológicos en la enseñanza. Para ilustrar

los puntos debatidos, se han incluido ejemplos detallados, de los cuales se pueden encontrar más en el

Centro pedagógico en línea (CPEL). Se espera que los profesores aporten sus propias sugerencias en el foro

de debate sobre calculadoras.

Antecedentes del uso de calculadoras de pantalla gráficaLa primera vez que IBO permitió utilizar calculadoras de pantalla gráfica fue a mediados de la década de

1990, y en septiembre de 1998 su uso pasó a ser obligatorio en tres de las asignaturas de matemáticas del

Programa del Diploma. Enseguida se puso de manifiesto que las consecuencias de esta decisión habrían de

ser más importantes para la enseñanza y la evaluación de las matemáticas de lo que en principio se había

previsto. El primer problema consistió en la gran disparidad entre las opciones que ofrecían los diversos

modelos que manejaban los alumnos. En consecuencia, se decidió establecer unos requisitos mínimos para

las calculadoras de pantalla gráfica, y se informó de ello a los colegios en agosto de 1999.

A partir de 2001, los alumnos que usasen calculadoras científicas con las cuatro operaciones básicas, olos primeros modelos que aparecieron de calculadoras de pantalla gráfica, estaban en desventaja en los

exámenes. Al plantear preguntas, los examinadores daban por sentado que todos los alumnos utilizaban

una calculadora de pantalla gráfica que cumplía con los requisitos mínimos.

En 2004, la calculadora de pantalla gráfica se hizo obligatoria en todas las asignaturas de matemáticas

del Programa del Diploma. A partir de mayo de 2006, los alumnos que no utilicen una calculadora de

pantalla gráfica adecuada en cualquier examen de matemáticas estarán en desventaja. En el Vademécum

se describen las condiciones de uso en los exámenes, y se incluye una lista de los modelos recomendados y

autorizados.


8/80

Introducción

Modelos de calculadoras de pantalla gráfica usadosen este documentoVarios estudios indican que los nuevos modelos se afirman de modo significativo en el mercado en cuestión

de pocos años desde su aparición. A finales de 2004, la mayoría de los alumnos matriculados para los

exámenes de Matemáticas NS tenían acceso a uno de los modelos que se mencionan a continuación.

Texas Instruments Casio

TI-84 Plus Silver Edition CFX-9850G Plus/Graph 65 Plus

TI-84 Plus FX1.0 Plus

TI-83 Plus Silver Edition CFX-9950 Plus

TI-83 Plus FX-9750G Plus/Graph 35 Plus

En este documento las instrucciones se dividen en dos columnas, una para cada uno de los dos principales

modelos que se usan: la Texas Instruments TI-84 Plus Silver Edition (TI-84+SE) a la izquierda, y la Casio CFX-

9850 Plus (Casio 9850+) a la derecha. En cada modelo, las instrucciones se dividen a su vez en otras dos

columnas. La columna de la izquierda muestra las teclas que se deben presionar (“Presione”) y la columna

de la derecha muestra la pantalla tal como debería aparecer al seguir las instrucciones (“Aparece”). Véase a

continuación un ejemplo de este esquema.

TI-84+SE Casio 9850+

Presione Aparece Presione Aparece

1. y

Borre cualquier gráfica

almacenada.

C X ) =

X =

m 5


almacenada.

C X EX E

Téngase en cuenta que las pantallas que aparecen en las instrucciones pueden resultar distintas

dependiendo de la configuración establecida y del sistema operativo instalado en la calculadora.

La mayoría de los ejemplos bajo el encabezado de la TI-84+SE se pueden realizar con el modelo básico

TI-83 Plus y superiores. La TI-83 (sin “plus”) está prácticamente obsoleta y no puede almacenar o ejecutarciertas aplicaciones. Además, la posibilidad de actualizar sus prestaciones está limitada a un número de

programas.

Aparte de un par de variaciones en las opciones de texto y color, la Casio 9850+ es idéntica en funcionalidad

a la Casio FX-9750 Plus, la Casio Graph 65 Plus y la Casio Graph 35 Plus. También es posible realizar las mismas

funciones con la FX1.0 Plus y la Casio CFX-9950 Plus que con la Casio 9850+, aunque las teclas y los números

de menú pueden variar entre estos modelos. Las versiones de Casio que no son “plus” están prácticamente

obsoletas y es probable que no reúnan los requisitos mínimos para algunas asignaturas.

Téngase en cuenta que pueden existir distintas formas de llegar al mismo resultado. Las posibilidades aquí

mostradas no son necesariamente las mejores o las más sencillas.

2 © Organisation du Baccalauréat International 2005


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Introducción


Características referentes al idioma en las calculadorasde pantalla gráficaLa opción de elegir un idioma se ha convertido en una característica importante de los recientes modelos

de calculadoras de pantalla gráfica. Texas Instruments incluye 12 “localizadores de idioma” en sus nuevos

modelos y Casio, en la FX1.0 Plus, ofrece la posibilidad de incorporar cierto número de idiomas. Si se ejecuta

un “localizador de idioma” (TI) o se incorpora un idioma (Casio), se cambia el idioma de la mayoría de los

menús de la calculadora, aunque existen algunas limitaciones y excepciones. En la Casio 9850+ no existen

opciones de idioma. Las Casio Graph 35 y Graph 65 están dirigidas a los mercados de idioma francés. Su

funcionalidad es idéntica a la de la Casio 9850+; la única diferencia es que algunas teclas llevan el nombre

en inglés y en francés.

La versión en francés de este documento usa las pantallas en francés de la TI- 84+SE (con la aplicación

“Français” instalada). La versión en español usa las pantallas en español de la TI-84+ SE (con la aplicación

“Español” instalada), a excepción de unas pocas que aparecen en inglés. Se encuentra disponible una

versión en chino de la ayuda de la aplicación Catalog para los usuarios que prefieran la ayuda en chino.Véase a continuación las instrucciones.

Ejemplo 1: Para ver los menús en español

TI-84+SE Casio FX1.0 Plus (no disponible en la 9850+)


1. A a C

para localizar “Español”.

m a lpara acceder al

administrador del

sistema.

2. = para ejecutar

“Español”.

$ para acceder almenú de idiomas.

3. 1 para ver los

menús en español.

d d para seleccionar“Español”.

4. E para ver losmenús en español.

Para ver los menús en cualquiera de los otros idiomas se utiliza el mismo método.


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Introducción

4 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005

Ejemplo 2: Para ver los menús de nuevo en inglés

TI-84+SE Casio FX1.0 Plus (no disponible en la 9850+)


1. A a C

para localizar “Español”.

m a lpara acceder al

administrador del

sistema.

2. = para ejecutar

“Español”.

$ para acceder almenú de idiomas.

3. 2 para ver losmenús en inglés.

E para ver los menúsen inglés.


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Introducción


Ayuda de Catalog

Ejemplo 1: Instalación de la ayuda de Catalog

TI-84+SE

Presione Aparece

1. A a P

Utilice las teclas de las

flechas para localizar

“CtlgHelp”.

2. =para instalar la

ayuda de Catalog, y

después cualquier tecla.

= para volver a la

pantalla de inicio.

Ejemplo 2: Uso de la ayuda de Catalog

TI-84+SE

Presione Aparece

1. 1.5

2. m para acceder

al menú MATH. La

función “Frac” aparece

seleccionada.

3. + para ejecutar la

ayuda de Catalog.

4. r para pegar la

función “Frac” en la

pantalla de inicio.

5. = para aplicar la

función.


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Introducción


Ejemplo 3: Para salir de la ayuda de Catalog

TI-84+SE

Presione Aparece

1. A a P



“CtlgHelp”.

2. = para ejecutar la

ayuda de Catalog.

3. 2 para salir de la

ayuda de Catalog.

Ejemplo 4: Instalación de la ayuda de Catalog en chino

TI-84+SE

Presione Aparece

1. A a P



la ayuda de Catalog en

chino.

2. = para instalar

la ayuda de Catalog

en chino, y después

cualquier tecla.


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Introducción


Ejemplo 5: Uso de la ayuda de Catalog en chino

TI-84+SE

Presione Aparece

1. 1.5

2. m para ir al menú

MATH. La función “Frac”

aparece seleccionada.

3. + para ejecutar

la ayuda de Catalog.

Aparecerá la pantalla de

ayuda en chino.

4. = = para pegar

la función “Frac” en la

pantalla de inicio.

5. = para aplicar la

función.

Ejemplo 6: Para salir de la ayuda de Catalog en chino

TI-84+SEPresione Aparece

1. A a P



“CtlgHelp”.

2. = para ejecutar la

ayuda de Catalog.

2 para abandonar laayuda de Catalog.


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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 PlusUso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus



En esta sección se muestran, paso a paso, ejemplos de características, funciones y herramientas de las

calculadoras de pantalla gráfica. Éstos están organizados según las tareas de la función y, con frecuencia, se

utilizan ejemplos tomados de pruebas de examen anteriores.

En este documento se presuponen adquiridas ciertas destrezas básicas en el manejo de las calculadoras

de pantalla gráfica. Los usuarios noveles deben familiarizarse primero con sus calculadoras mediante los

“Conceptos básicos” del manual de Texas Instruments, o el “Inicio rápido” de la guía del usuario de Casio.

Los manuales también se pueden consultar en los sitios web que se indican a continuación.

Se debe prestar una atención especial a las instrucciones para introducir expresiones, editar, borrar, usar

paréntesis, almacenar valores en la memoria, cambiar la configuración del modo (especialmente las

configuraciones en grados o en radianes), configurar la ventana de gráficas, editar tablas, obtener gráficas,listas y matrices, realizar cálculos sencillos, representar datos, volver a la configuración predeterminada (por

defecto), instalar y ejecutar aplicaciones, y entender los mensajes de error.

Texas Instruments http://education.ti.com/us/global/guides.html (inglés)

http://education.ti.com/latinoamerica/productos/manuales.html (español)

Casio http://www.casio.co.jp/edu_e/support/ (inglés)

http://www.flamagas.com/default.asp?NODO=12110 (español)

http://www.silrun.info/

Sharp http://www.sharpusa.com/products/support/0,2309,,00.html (inglés)

http://www.sharpla.com/ (español)

Hewlett Packard http://www.hpmuseum.org/software/swcd.htm (inglés)

http://h41111.www4.hp.com/calculators/es/es/ (español)

Destrezas básicas para las representaciones gráficas

Elección de la ventana adecuada

Tarea A: Configuración predeterminada (gráficas)



1. A partir de la pantalla

inicial.

m


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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus


2. ] + para acceder

a las funciones de

memoria.

Observación: puede ser

necesario utilizar co 2 M para llegar

a la pantalla inicial.

Mediante las teclas de

las flechas colóquese

sobre .

3. 7 para activar

“Reset” y cambiar la

configuración.

E para activar laopción “Graph”.

4. 2 para seleccionar la

configuración con los

valores predeterminados.

s £ para acceder aV- Window

(la configuración de lavista de la ventana).

5. 2 para confirmar. £`para seleccionar laconfiguración estándar

de la ventana.

En la TI-84+SE, el valor predeterminado en la

ventana de gráficas es±10

en los dos ejes.

En la Casio CFX-9850+, el valor estándar en la

ventana de gráficas es±10

en los dos ejes.

Tarea B: Utilizando la calculadora para obtener la gráfica de la función y = sen x( ln ) muestre las diferencias de apariencia de la misma según la configuración quese haya establecido para la ventana.

.


Use el valor predeterminado ±10 de la ventanade gráficas.

Use el valor estándar ±10 de la ventana degráficas.


1. A partir de la pantalla

inicial.

Observación: puede ser

necesario utilizar

c o 2 M para

llegar a la pantalla inicial.

m

2. Mediante las teclas de

las flechas colóquese

sobre .


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3. E para activar laopción “Graph”.

4. y

Utilice las teclas de

flecha para resaltar las

gráficas introducidas y

c para borrarlas.

Utilice las teclas de

flecha para resaltar las

gráficas introducidas y

@ y después ! paraborrarlas.

5. S l

m > 1 X

) ) )

=

S ( l (o % ! (X ) ) E

6. g &

7. z 2 = s @ £

8. = £

Con cada nuevo “zoom” parece como si se mostrase una gráfica distinta.

Este efecto parece todavía más acentuado cuando, en lugar de utilizar el “zoom”, se cambian los parámetros

de la ventana a y = –1,5 a +1,5 (y se mantienen así) mientras x se cambia de entre –2 a +2, a entre –1 a +1

y a entre –0,1 a +0,1.

9. Cambie los parámetros de configuración de la

ventana a:

Xmín = –0.1

Xmáx = 0.1

Xescal = 1

Ymín = –1.5

Ymáx = 1.5

Yescal = 1.

Cambie los parámetros de configuración de la

ventana a:

Xmin : –0.1

max : 0.1

scale : 1

Ymin : –1.5

max : 1.5

scale : 1.


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w

: . 1 =

. 1 =

1 =

: 1 . 5=

1 . 5 =

1 =

s £ para accedera V- Window.

: . 1 E. 1 E

1 E: 1 . 5E1 . 5 E1 EUtilice E para volvera la ventana de gráficas.

10. g &

En la configuración predeterminada o estándar de la ventana de gráficas, la gráfica de y = x x + x3 − 2 2 sparece cortar una sola vez al eje x. Mediante el uso del “zoom” o cambiando los parámetros de configuración

de la ventana se pueden observar otras características claves de la curva.

Tarea C: Obtenga la gráfica de la función y = x x + x3 − 2 2 en la ventana predeterminadao estándar.

TI-83/84+SE Casio 9850+




1. y


almacenada.

Obtenga la gráfica

de la función

y = x x + x3 − 2 2 .

X ^ 3 -

2 X ^ 2+ X = g

m 5


almacenada.

Obtenga la gráfica

de la función

y = x x + x3 − 2 2 .

X ^ 3 -

2 X ^ 2+ X E &

2. z 2 = =

= para ampliar.s " £ £ ££ £ £ para ampliar.

Mediante el uso iterativo del “zoom” se puede observar que la gráfica corta al eje x al menos una vez en el

origen o cerca del mismo.

Otro modo de comprobarlo sería cambiando la configuración de los parámetros de la ventana, con x desde–1 a +2 e y desde –0,5 a +0,5.


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Tarea D: En la pantalla predeterminada, la gráfica y = sen(1 + sen x) parece presentar unmáximo local entre x = 0 y x = 4. Utilice el “zoom” y cambie la configuraciónpara poner de manifiesto otras características de esta curva.





1. y


almacenada.

Obtenga la gráfica de la

función

y = sen(1 + sen x) .

m 5


almacenada.

Obtenga la gráfica de la

función

y = sen(1 + sen x).S 1 + S

X ) ) =

g

S ( 1 +S ( X )) E &

2. z 2 =

para ampliar.

s " £ £para ampliar.

Se puede observar un valor mínimo local entre dos máximos locales mediante el uso del “zoom” o

cambiando los parámetros de configuración de la ventana para x desde –0,5 a +4, y para y desde 0 a +1,5.

Localización de raíces, máximos y mínimosUna vez que se ha obtenido la gráf ica de una función, se puede usar la calculadora para determinar muchas

de las características importantes de la misma.

Ejemplo: Considere la función f x x x x( ) = − − +3 25 7 50.

Tarea A: Halle las coordenadas del cero (o raíz).



1. y


almacenada.

m 5Borre cualquier gráfica

almacenada.

2. En Y1 introduzca f x( ).

X m 3 -

5 X x -

7 X + 50 =

En Y1 introduzca f x( ).

X ^ 3 -5 X ^

2 - 7 X+ 5 0 E


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ventana a:

Xmín = –3.5

Xmáx = 5.5

Xescal = 1Ymín = –25

Ymáx = 65

Yescal= 10.


ventana a:

Xmin : –3.5

max : 5.5

scale : 1Ymin : –25

max : 65

scale : 10.

w

: 3 . 5

=

5 . 5 =

1 =

: 2 5 =

6 5 =

1 0 =

s £: 3 . 5E5 . 5 E1 E: 2 5 E6 5 E

1 0 E

4. g E &

5. " r 2 para

seleccionar la opción de

cálculo de ceros.

s %

6. < para mover el

cursor a la izquierda del

cero, después =.

! para hallar el cero.

7. Aparece una cruz sobre

la curva en ese punto,

así como una marca

en la parte superior de

la pantalla. En la parte

inferior de la pantalla

aparece un indicador

que pide que se ingrese

un valor para el extremo

superior del entorno.


flechas para mover el

cursor a la derecha del

cero, después =.

Observación: Una

característica potente

de “G-solve” es que

permite hallar otras

raíces, máximos y

mínimos utilizando las

teclas de las flechas a

derecha e izquierda.


20/80



8. Aparece otra cruz sobre

la curva en ese punto,

así como otra marca

por encima de la curva.

En la parte inferior dela pantalla aparece

“Aprox?”. Utilice las

teclas de las flechas

para mover el cursor tan

cerca del cero como sea

posible, después =.

El cero está en (–2,979887, 0).

Tarea B: Halle las coordenadas del máximo local.



1. " r 4 para


cálculo de máximos.

s %

2. Para hallar el máximo,

utilice las teclas de

las flechas y mueva el

cursor primero justo a la

izquierda del máximo,

después =, luego

justo a la derecha del

máximo, después =,

y por último, muy cerca

del máximo y después

=.

Sobre los puntos de la

curva elegidos aparecen

cruces, y por encima de

la curva aparecen las

marcas de izquierda y

derecha.

" para hallar elmáximo.

Por debajo de la curva aparecen las coordenadas del máximo. El máximo se encuentra en

(–0,5941091, 52,184235).


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Tarea C: Halle las coordenadas del mínimo local.



1. " r 3 s %

2. Para hallar el mínimo,

utilice las teclas de

las flechas y mueva el

cursor primero justo a

la izquierda del mínimo,

después =, luego justo a la derecha del

mínimo, después =,

y por último, muy cerca

del mínimo y después

=.

£ para hallar elmínimo.

Por debajo de la curva aparecen las coordenadas del mínimo. El mínimo se encuentra en

(3,9274436, 5,9639127).

Determinación de las ecuaciones de las tangentes

Ejemplo: Considere la función f x x x x( ) = − − +3 25 7 50.

Tarea A: Dibuje la tangente a la curva en x = 0.



1. y


almacenada.

m 5


almacenada.

2. En Y1 introduzca f x( ).

X m 3

- 5 X x

- 7 X +

5 0 =

En Y1 introduzca f x( ).

X ^ 3 -5 X ^2 - 7 X+ 5 0 E


22/80




ventana a:

Xmín = –3.5

Xmáx = 5.5


Ymáx = 65

Yescal = 10.


ventana a:

Xmin : –3.5

max : 5.5


max : 65

scale : 10.

w

: 3 . 5

=

5 . 5 =

1 =

: 2 5 =

6 5 =

1 0 =

s £: 3 . 5E5 . 5 E1 E: 2 5 E6 5 E

1 0 E

4. g E &

5. " P 5

Aparece de nuevo

la curva con las

coordenadas de x e y en la parte inferior de la

pantalla.

s m d d dd !

6. 0 =

Se dibuja la tangente

en x = 0 y debajo

de la gráfica aparece

la ecuación de dicha

tangente.

Observación: la

Casio 9850+ no da

directamente la

ecuación de la tangente

en un punto de la curva.

Nos ofrece la pendiente

para un valor dado de x,

y con ello podemos

obtener la ecuación deforma manual.

e & s ! << < E

7. e d : 7X + 5 0E &

La ecuación de la tangente en x = 0 es y x= − +7 50.


23/80



Tarea B: Halle el otro punto de corte de esta tangente con la curva.



1. y d d

: 7 X +

5 0 =

Con esto se introduce la

ecuación de la tangente

en x = 0 en el menú

y .

2. g

3. " r 5 para


intersección de curvas.

s % para hallar laintersección de estas

gráficas.

4. Bajo la gráfica aparecen

indicadores que piden

que se identifiquen

las curvas para las quese busca el punto de

intersección. Utilice las

teclas de las flechas para

mover el cursor justo a

la izquierda del punto

de intersección, sobre

la curva de la función

cúbica, después =.

%

La calculadora

encuentra la primera

intersección en x = 0.

5. Aparece una cruz sobre

la curva de la función

cúbica en ese punto, yse requiere la selección

de la segunda función.

= para seleccionar

la recta tangente como

segunda curva.

6. Mueva el cursor

tan cerca como sea

posible del punto de

intersección, después

=.

> para obtener el otropunto de intersección.

El punto de intersección es el (5, 15).


24/80



Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones

Tarea A: Resuelva, si es posible,2 6 12

4 24

x + y =

x y =− .





1. y


almacenada.


almacenada.

2. : X / 3+ 2 =

4 X - 2

4 =

: X / 3+ 2 E4 X - 24 E

3. g &

4. ] r

5. 5

6. =

7. >hasta que aparezca

en la pantalla una cruz

que parpadea.


25/80



8. = s %

9. = %

Cálculo del área bajo la curva entre dos puntos

Ejemplo: Considere la función f x x x x( )

= − − +

3 25 7 50.

Tarea A: Calcule el área bajo la curva entre x = 0, x = 5.



1. y


almacenada.


almacenada.

2. En Y1 introduzca f ( x).

X m 3

- 5 X x

- 7 X +

5 0 =

En Y1 introduzca f ( x).

X ^ 3 -5 X ^2 - 7 X+ 5 0 E


ventana a:

Xmín = –3.5

Xmáx = 5.5


Ymáx = 65

Yescal = 10.


ventana a:

Xmin : –3.5

max : 5.5


max : 65

scale : 10.

w

: 3 . 5

=

5 . 5 =

1 =

: 2 5 =

6 5 =

1 0 =

s £: 3 . 5E5 . 5 E1 E: 2 5 E6 5 E

1 0 E


26/80



4. g E &

5. y

Si acaba de realizar

el ejercicio sobre la

tangente, para borrar

la gráfica de la recta

tangente coloque el

cursor sobre el signo =

de Y2, después =.

El cuadrado negro

que hay sobre el signo

igual desaparece. Si

todavía no ha realizado

el ejercicio sobre las

tangentes, no hay

ninguna función en Y2.

s %

6. g " r 7

para seleccionar la

opción de cálculo de

áreas bajo la curva.

Aparece la gráfica

y un indicador paraintroducir el extremo

inferior del intervalo

para el área.

& £ para seleccionarla opción de cálculo de

áreas bajo la curva.

7. 0 = Aparece un indicador

que pide el extremo

inferior del intervalo.

Utilice hasta obtener x = 5

después E.

El área bajo la curva entre cero y cinco aparece sombreada y se da el valor de la integral como 110,41667.


27/80



Aplicación de transformaciones

Considere la curva f x x x x( ) = − +3 22 .

Tarea A: Halle la transformación de esta curva en g x f x( ) = −( )1 .Obsérvese que existe una variación muy significativa entre las sintaxis usadas por la T I-84+SE y por laCasio 9850+.



1. y


almacenada.

X ^ 3

- 2 X

^ 2 +

X =


almacenada.

2. Introduzca:

Y1=X

Y2=X–1

Y3=Y13–2Y12+Y1.

X EX - 1 Ev $ ! 1^ 3 -

2 v $ !1 ^ 2 +v $ ! 1 E

Deje sin seleccionar las

gráficas de Y1 e Y2

u u ! u ! .


ventana a:

Xmín = –2

Xmáx = 5

Xescal = 1

Ymín = –5

Ymáx = 5

Yescal = 1.


ventana a:

Xmin : –2

max : 5

scale : 1

Ymin : –5

max : 5

scale : 1.

w

: 2 =

5 =

1 =

: 5 =

5 =

1 =

s £: 2 E5 E1 E: 5 E5 E1 E


28/80



4. g E &

5. y d

v > 1 =

( X - 1

) =

eDespués d d dpara llegar a Y4 y:

v $ ! 2^ 3 - 2v $ ! 2^ 2 +v $ ! 2E.

6. g &

La gráfica muestra ahora la traslación de una unidad a la derecha.

Tarea B: Halle la transformación de esta curva en h x f x( ) ( )= −2 1 .



1. y


flechas para bajar hasta

Y3.

2 v > 1

= - 1 =

u u < = paraborrar la gráfica de Y2.

e u " ! paraborrar la gráfica de Y4.

Después introduzca

2 1 f x( ) − en Y4.

2 v $ !3 - 1 E

2. g &

La gráfica muestra ahora un estiramiento de razón dos en la dirección del eje y, y una traslación de menos

uno también en la dirección del eje y.


29/80



Selección de herramientas básicas

Para hallar raíces de polinomios

Muchas ecuaciones se pueden resolver de un modo más eficaz si se reduce el problema al cálculo de losceros o raíces de la gráfica de una función. Sin embargo, puede haber situaciones en las que sea preferible

hacerlo directamente. Los siguientes ejemplos ilustran cómo hallar raíces de polinomios.

Tarea A: Resuelva x x x + =3 22 5 6 0− − en x.



1. A y después utilice

las teclas de las flechas

para resaltar PolySmlt.

= y despuéscualquier tecla para

acceder al submenú de

PolySmlt.

Otra forma es: A

a 8 d d =

para saltar al submenú

de PolySmlt, después

cualquier tecla.


flechas para resaltar

y después E

para acceder al submenúde Equation.

Otra forma es: aX para acceder alsubmenú de Equation.

2. = para ejecutar

el buscador de raícespolinómicas.

@ para ejecutar el

buscador de raícespolinómicas.

3. 3 = para

introducir el polinomio

de grado 3.

@ para elegir elpolinomio de grado 3.

4. Introduzca los

coeficientes.

1 =

: 2 =

: 5 =

6 =

Introduzca los

coeficientes.

1 E: 2 E: 5 E6 E

5. g para hallar las

soluciones.

! para hallar lassoluciones.


30/80



Tarea B: Resuelva 0 3 3 11 63 2= x x x + x4 − − − en x.



1. A y después utilice

las teclas de las flechas

para resaltar PolySmlt.

= y después

cualquier tecla para


PolySmlt.

Otra forma es: a

8 d d = para

saltar al submenú de

PolySmlt, despuéscualquier tecla.

En la 9850+, el buscador

de raíces está limitado

a polinomios de

segundo o tercer grado.

El siguiente ejemplo

utiliza la opción “Solver”

para obtener resultados

similares.

2. = para ejecutar

el buscador de raíces

polinómicas.

3. 4 =

1 =

: 3 =

: 3 =1 1 =

: 6 =

a X

4. g £ para ejecutar laopción “Solver”, y

0 s . aX a / ^4 + a La / ^ 3+ a l a/ ^ 2 +

a S a /+ a C E1 E: 2 E: 3 E: 3 E1 1 E: 6 E .

5. Obsérvese que el

buscador de raíces

polinómicas no halló las

raíces exactas, sino sóloaproximaciones.

u o d para resaltar T.


31/80



6. & para hallar lassoluciones.

7. Para hallar otras raíces,

repita los pasos

anteriores, pero ingrese

otros valores de tanteo

para T.

Para resolver ecuacionesMuchas ecuaciones se pueden resolver de un modo más eficaz si se reduce el problema al cálculo de los

puntos de corte de las gráficas de dos funciones. Sin embargo, puede haber situaciones en las que sea

preferible hacerlo directamente. Los dos siguientes ejemplos ilustran cómo resolver ecuaciones.

Tarea A: Resuelva e = x x 3 , para x entre 4 y 5.


Primero se debe escribir de nuevo la ecuación en la forma 0 = f x( ).

03= −e x x


1. m 0 u c m 1o $ !

2. ] l X )

- X m 3

=

s l X -X ^ 3 ,4 . 5 ,4 , 5 )

3. 4 . 5 a

=

E

La solución es 4,5364036549… La solución es 4,536403655…

Obsérvese que sólo se obtiene una aproximación, y la precisión puede variar dependiendo de la

configuración establecida en la calculadora.


32/80



Tarea B: Resuelva sen2( x) = 2cos(3 x – 1), para x entre 0 yπ

2.



1. m 0 u c m 1o $ !

2. ( S X )

) x - 2

C 3 X )

+ 1 =

( S ( X) ) x -2 C (3 X ) +1 , s ;

/ 4 , 0, s ; /2 )

3. ] ^ / 4

=E

4. ] ( 0 ,

] ^ / 2

] ) =

5. u a =

La solución es 0,32864374674…


33/80



Para resolver sistemas de ecuacionesLa forma más eficaz de resolver los sistemas de ecuaciones es mediante la opción de resolución de sistemas

de ecuaciones.

Tarea A: Halle una solución para el sistema de ecuaciones

2 6 12

4 24

x+ y =

x y =− .



1. A a 8

y utilice las teclas de

las flechas para resaltar

PolySmlt.

m Xpara acceder al

submenú de Equation.

2. = y después

cualquier tecla para


PolySmlt.

3. 2 para ejecutar la

opción de resolución de

sistemas de ecuaciones.

! para ejecutar laopción de resolución de

sistemas de ecuaciones.

4. 2 = 2

para introducir dos

ecuaciones y dos

incógnitas.

5. = muestra el menú

de coeficientes.

! para seleccionardos incógnitas.

(Automáticamente

se seleccionan dos

ecuaciones.)

6.2 =

6 =

1 2 =

4 =

: 1 =

2 4 =

2 E6 E1 2 E4 E: 1 E2 4 E

7. g para hallar la

solución.

! para hallar lasolución.

(Los sistemas que no tienen solución, al igual que los que tienen muchas, pueden producir resultados

imprevistos en la calculadora.)


34/80



Tarea B: Halle una solución para el sistema de ecuaciones2 6 12

4 12 24

x+ y =

x+ y = .



1. Repita los pasos de la

tarea A, pero utilizando

los coeficientes:

2, 6, 12, 4, 12, 24.

Repita los pasos de la


los coeficientes:

2, 6, 12, 4, 12, 24.

2. Resultado Resultado

Tarea C: Halle una solución para el sistema de ecuaciones2 6 12

4 12 12

x+ y =

x+ y =.



1. Repita los pasos de la


los coeficientes:

2, 6, 12, 4, 12, 12.

Repita los pasos de la


los coeficientes:

2, 6, 12, 4, 12, 12.

2. Resultado Resultado

Estudio de relaciones trigonométricasLas características disponibles en las calculadoras de pantalla gráfica varían mucho según los modelos. La

TI-84+SE tiene una característica que permite cambiar el grosor de la gráfica de la función representada. La

Casio 9850+ tiene una opción que permite utilizar colores para comparar gráficas. Tanto la Casio FX-9750

Plus como la Casio 9850+ tienen una característica de gráfica doble que se puede usar para este tipo deestudio.

La representación gráfica de cada miembro de la relación trigonométrica sustenta la conclusión sobre la

validez de la misma. Sin embargo, estas gráficas no se pueden aceptar como demostraciones de la relación

que se investiga, ya que el hecho de que las gráficas parezcan coincidir no garantiza que la identidad sea

cierta. Sería una buena idea incluir un contraejemplo en la programación del tema.


35/80



Tarea A: Estudie la validez de la relación trigonométrica cos ( 2 ) = 1 – 2 sen2( ) utilizando las características gráficas de una calculadora de pantalla gráfica.

TI-84+SE (con el estilo de la gráfica) Casio 9850+ (con la pantalla de gráficas dobles)

Presione Aparece Presione Aparece1. y


almacenada.


almacenada.

2. C 2 X )

=s m

3. 1 - 2 (

S X ) )

x =

D d d

4. u < < = para

mover el cursor a la

izquierda de Y2. Se

usará entonces una

línea más gruesa para lagráfica de Y2.

! E


ventana a:

Xmín = 0

Xmáx = 2π

Xescal = π/2

Ymín = –1.1

Ymáx = 1.1

Yescal = 0.5.

w0 =

2 " ^ =

" ^ / 2

=

: 1 . 1

=

1 . 1 =

. 5 =

C 2 X E


36/80



6. g

Aparece primero la

gráfica de Y1 = cos 2 x El trazo más grueso de

Y2 = 1 – 2sen2

( x)aparece después encima

de la anterior.

&

7. o @

8. s e

9. 1 - 2 (S X ) xE

10. &Obsérvese que esta

imagen muestra dos

gráficas. La de la

izquierda representa

cos2θ , la de la derecha

representa 1 – 2sen2 .

Casio 9850+ (con gráficas de colores)

1. Introduzca en la

pantalla de gráficas

las funciones dadas

anteriormente.


ventana a:

Xmin : –2π

max : 2π

scale : π/2

Ymin : –3

max : 3

scale : 1.

3. u para seleccionary resaltar la segunda

gráfica 1 – 2sen2 .

4. $ @ e


37/80



5. &La gráfica de cos2θ

aparece dibujada en

azul oscuro. la gráfica

de 1 – 2sen2

aparecedibujada sobre la anterior

en anaranjado claro.


ventana a:

Xmin : 0

max : 2π

scale : π/2

Ymin : –1.6

max : 1.5

scale : 1.

7. E &

Resolución de ecuaciones trigonométricas

Considere las funciones

f ( t ) = 10 + 8 sen ( 2t )

g ( t ) = 15 + 6 sen ( 4t )

Tarea A: ¿Para cuántos valores de t entre 0 y 2π , sucede que f t g t ( ) ( )= ?



1. y


almacenada.


almacenada.

2. Cambie los parámetros de configuración de laventana a:

Xmín = –20

Xmáx = 20

Xescal = 1

Ymín = –20

Ymáx = 20

Yescal = 1.

Cambie los parámetros de configuración de laventana a:

Xmin : –10

max : 10

scale : 1

Ymin : –10

max : 10

scale : 1.

3. 1 0 + 8

S 2 X )

=

1 0 + 8S 2 X E


38/80



4. 1 5 + 6

S 4 X )

=

1 5 + 6S 4 X E

5. g &


ventana a:

Xmín = 0

Xmáx = 2π

Xescal = π/2

Ymín = 0

Ymáx = 25

Yescal = 5.


ventana a:

Xmin : 0

max : 2π

scale : π/2

Ymin : 0

max : 25

scale : 5.

w

0 =

2 " ^ =

" ^ / 2

=

0 =

2 5 =

5 =

s £0 E 2 s; Es ; / 2E0 E2 5 E5 E

7. g E &

8. Examine las gráficas y observe que existen cuatro puntos de intersección, que son la respuesta a esta

tarea.

Tarea B: ¿Cuál es el menor valor positivo de t para el cual f t g t ( ) ( )= ?



1. " r 5 s


39/80



2. Asegúrese de que el

cursor se encuentra

sobre la primera curva,

después =.

% %

3. Asegúrese de que el

cursor se encuentra

sobre la segunda curva,

después =.

Observación: Una característica potente de

“G-solve” es que permite obtener las otras

soluciones directamente presionando las teclas

de las flechas a derecha e izquierda de la actual,

sin necesidad de introducir nada más.

4. Elija un valor de tanteo,

por ejemplo, 0,5.

0 . 5 =

La solución aparece como x = 0,66539702.

Suma de una progresión

Tarea A: Halle la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética cuyosprimeros términos son 3, 5, 7, 9...


El n-ésimo término viene dado por: 3 2 1+ −( )n .Presione Aparece Presione Aparece

1. " s < 5 m 1o ! & & !

2. " s > 5 ( & %

3. 3 + 2 (

X - 1 )

, X , 1

, 3 0 )

=

3 + 2 (X - 1 ), X , 1, 3 0 ,1 ) ) E

La respuesta es 960.


40/80



Tarea B: Halle la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica cuyosprimeros términos son 320, 240, 180, 135...


El n-ésimo término viene dado por: 320 (0,75)n-1.


1. " s < 5 m 1o ! & & !

2. " s > 5 ( & %

3. 3 2 0 (

. 7 5 )

^ ( X -

1 ) , X

, 1 , 1

0 ) =

3 2 0 (. 7 5 )^ ( X -1 ) , X, 1 , 10 , 1 )E

La respuesta es 1207,918701.

Funciones y análisis

Cálculo del valor numérico de derivadas

Una manera de aproximar el valor de la derivada de la función, f , en x = a es calcular el valor de la

expresión f a h f a h

h

( ) ( )+ − −2

para valores pequeños de h y estudiar el límite cuando h tiende a cero.

La mayoría de las calculadoras de pantalla gráfica tienen funciones incorporadas para calcular el valor de la

expresión anterior para distintos valores de h .

Tarea A: Halle el valor de la derivada de f x x( ) = 2 en x = 0 1 2, , y 3.



1. m 8 m 1 o $"


41/80



2. 2 ^ X ,

X , 0 ,

. 1 ) =

2 ^ X ,0 , . 1) E

3. " = para pegar

el cálculo anterior.

< para pegar elcálculo anterior.

4. Utilice las teclas de las

flechas para cambiar 0,1

por 0,01.

< < 0 1) =


flechas para cambiar 0,1

por 0,01.

< < 0 1) E


flechas para cambiar

0,01 por 0,001.

" = < <

0 1 ) =



0,01 por 0,001.

< < < 0 1) E



0,001 por 0,0001.

" = < <0 1 ) =



0,001 por 0,0001.

< < < 0 1) E

Si no se introduce específicamente el valor de h ,

la calculadora toma por defecto el valor 0,001. Las

derivadas en 1, en 2 y en 3 se aproximarán con el

valor por defecto.

El límite parece ser 0,6931471811. Este es el valor

que se obtiene si se omite el valor de h en el

cálculo.

Se puede llegar a la conclusión de que el valor de la derivada de 2 x en x = 0 es 0,693147.

Tarea B: Compare cada valor con el valor de 2 x

para el mismo valor de x.



1. m 8 2 ^

X , X ,

1 ) =

m 1 o $" 2 ^ X, 1 ) E

2. Cambie el 1 por 2.

" =

< < 2 =


flechas para cambiar el

1 por el 2.

2 E


42/80



3. Cambie el 2 por 3.

" =

< < 3 =


flechas para cambiar el

2 por el 3.

3 E

La siguiente tabla resume estos resultados y establece las comparaciones pedidas.

x 2 x Derivada de 2 x Derivada de 2 x

2 x

0 1 0,693147 0,693147

1 2 1,386294 0,693147

2 4 2,772589 0,693147

3 8 5,545178 0,693147

Se deduce que la derivada de 2 x es igual a 0,693147 veces el valor de 2 x .

Justificación de las expresiones de las derivadasA veces, los alumnos no disponen de los conocimientos matemáticos necesarios para proporcionar

una demostración formal de la derivada de una determinada función. Al igual que con las relaciones

trigonométricas, la equivalencia entre expresiones se puede verificar utilizando las características gráficas

de la calculadora junto a la derivación numérica, en este caso.

Tarea A: Compruebe que si y x está en radianes, entonces ′ = f x x( ) cos .



1. y


almacenada.


almacenada.

2. S X ) = S X E

3. m 8 o " !


43/80



4. v > 1 1

, X , X

) =

S X , X) E

5. C X ) C X E

6. u < < = para

mover el cursor a la

izquierda de Y3.

Se usará entonces una

línea más gruesa para lagráfica de Y3.

& y después utilice uy d para seleccionarcolores distintos para

cada función.

! o azul para Y1.@ o anaranjado para Y2.£ o verde para Y3.


ventana a:

Xmín = 0

Xmáx = 2 × πXescal = π/2

Ymín = –1.5

Ymáx = 1.5

Yescal = 0.5.


ventana a:

Xmin : 0

max : 2 × π

scale : π/2

Ymin : –1.5

max : 1.5

scale : 0.5.

w

0 =

2 " ^ =

" ^ / 2

=

: 1 . 5

=

1 . 5 =

. 5 =

s £0 E2 s ; Es ; / 2E: 1 . 5E1 . 5 E. 5 E

8. g

La gráfica de cos x deberecubrir a la gráfica de

la derivada de sen x.

E &

Las gráficas de Y1,Y2 e Y3 aparecen

sucesivamente. Se

observa claramente

que, cuando aparece,

Y3 recubre a Y2.


44/80



Estudio de gráficas de funciones y sus derivadas primera y segunda

Tarea A: Represente gráficamente f x x x x x x( ) = − + + − +3 15 10 30 45 505 4 3 2 y suderivada ′ = − + + − x x x x( ) 15 60 30 60 454 3 2 .

El propósito de este ejercicio es examinar la gráfica de una función y su derivada, y comprobar cómo la

pendiente de la gráfica de la función viene dada por el valor de la derivada, destacando puntos determinados

donde el valor de la derivada es cero o existe un máximo o un mínimo locales.



1. y


almacenada.


almacenada.


ventana a:

Xmín = –2

Xmáx = 4

Xescal = 1

Ymín = –70

Ymáx = 100

Yescal = 20.


ventana a:

Xmin : –2

max : 4

scale : 1

Ymin : –70

max : 100

scale : 20.

w

: 2 =4 =

1 =

: 7 0 =

1 0 0 =

2 0 =

s £

: 2 E4 E1 E: 7 0 E1 0 0 E2 0 E E

3. Introduzca f ( x) en Y1.

3 X ^ 5

- 1 5 X

^ 4 + 1

0 X ^ 3

+ 3 0 X

x - 4 5

X + 5 0

=

Introduzca f ( x) en Y1.

3 X ^ 5- 1 5 X^ 4 + 10 X ^ 3+ 3 0 Xx - 4 5X + 5 0E

4. Introduzca ′ f x( ) en Y2.

1 5 X ^

4 - 6 0

X ^ 3 +

3 0 X x

+ 6 0 X

- 4 5 =

Introduzca ′ f x( ) en Y2.

1 5 X ^4 - 6 0X ^ 3 +3 0 X x+ 6 0 X

- 4 5 E


45/80



5. g &

Se debe resaltar que la derivada es negativa cuando la pendiente es negativa, y la derivada es positiva

cuando la pendiente es positiva, y que los valores más extremos de la derivada se hallan donde la pendiente

es más positiva o más negativa. También se debe tener en cuenta que cuando la derivada es cero, la tangente

a la gráfica de f es horizontal, y que estas situaciones corresponden a puntos donde existe un máximo

local, un mínimo local y un punto de inflexión de tangente horizontal (singular). Asimismo, se observará

que se dan puntos de inflexión en los puntos donde la derivada tiene valores máximos o mínimos locales.

Tarea B: Represente gráficamente f x x x x x x( ) = − + + − +3 15 10 30 45 505 4 3 2 y suderivada segunda ′′ = − + + f x x x x( ) 60 180 60 603 2 .

El propósito del siguiente ejercicio es examinar la gráf ica de una función y su derivada segunda, y comprobarcómo la concavidad de la gráfica está relacionada con que la derivada segunda sea positiva o negativa, y

también destacar cuándo es cero la derivada segunda.



1. y



Y3.

s e



Y3.

2. Introduzca f "(x) en Y3.

6 0 X ^

3 - 1 8

0 X ^ 2

+ 6 0 X

+ 6 0 =

Introduzca f"(x) en Y3.

6 0 X ^3 - 1 80 X ^ 2+ 6 0 X+ 6 0 E

3. Para impedir que

aparezca la gráfica en

Y2, utilice las teclas de

las flechas y coloque elcursor sobre el signo =

de Y2 y después =.

El cuadrado negro que

hay sobre el signo =

desaparece.

Para impedir que

aparezca la gráfica en

Y2, utilice las teclas de

las flechas y coloque elcursor sobre el signo =

de Y2 y después !.

El cuadrado negro que

hay sobre el signo =

desaparece.

4. g &


46/80



Se debe observar que cuando la derivada segunda es positiva, la gráfica se abre hacia arriba (cóncava

positiva) y cuando la derivada segunda es negativa, la gráfica se abre hacia abajo (cóncava negativa).

También se debe ver la relación entre los puntos donde la derivada segunda es cero y los puntos de

inflexión.

La aparición simultánea de las tres gráficas puede dar lugar a otros análisis. Se debe resaltar el hecho de que f " = 0 no significa necesariamente que exista un punto de inflexión (por ejemplo, y = x4).

La opción “Colour Graph” de la Casio 9850+ o la opción de estilos de gráfica de la TI-84+SE son muy útiles

para comparar las gráficas en estos ejemplos.

Cálculo del valor numérico de integralesLa posibilidad que proporcionan la mayoría de las calculadoras de pantalla gráfica de calcular el valor

numérico de una integral se puede utilizar para obtener una buena aproximación de los valores de integrales

que no se pueden obtener por los métodos tradicionales o que conllevarían unos cálculos muy largos o

complejos. También se puede utilizar para comprobar los valores de integrales obtenidas por los métodos

tradicionales. El siguiente ejemplo está extraído de la prueba 2 del examen de Métodos Matemáticos NM demayo de 2003.

Tarea A: Calcule el valor de eπ

x∫ 03

4 .



1. m 9 m 1 o $$

2. " l X )

( S X )

+ C X )

) , X ,

0 , 3 "

^ / 4 )

=

s l X (S X + CX ) , 0, 3 s ;/ 4 ) E

El valor de la integral es 7,46.


47/80



Estadística y probabilidad

Dibujo de histogramas usando listas

Tarea A: Dibuje un histograma con los siguientes datos.

x 1 2 3 4 5

f 2 9 15 12 4



1. y


almacenada.


almacenada.

2. s 1 m 2Borre cualquier dato

que hubiese en las listas.

u & $ !para cada lista.

3. Introduzca los datos en

la Lista 1.

1 =

2 =

3 =

4 =

5 =

Introduzca los datos en

la Lista 1.

1 E2 E3 E4 E5 E


la Lista 2.

> 2 =

9 =

1 5 =

1 2 =

4 =


la Lista 2.

> 2 E9 E1 5 E1 2 E

4 E

5. " y

6. = = para

seleccionar “On”.

! &


48/80



7. d > > = para

seleccionar el icono de

gráfica de barras.

d&! paraasegurarse de que

el tipo de gráfica

seleccionada es el

histograma.

8. d " s 1

para insertar L1 en la

línea listaX.

d ! para asegurarsede que en XList está la

Lista 1.

9. d " s 2

para insertar L2 en la

línea Frec.

d £ para asegurarsede que en la frecuencia

está la Lista 2.


ventana a:

Xmín = 0

Xmáx = 6

Xescal = 1

Ymín = 0

Ymáx = 20

Yescal = 1.


ventana a:

Xmin : 0

max : 6

scale : 1

Ymin : 0

max : 20

scale : 1.

w

0 =

6 =

1 =

0 =

2 0 =

1 =

e s £0 E6 E1 E0 E2 0 E1 E

11. Observación: En L1 la frecuencia para uno se

dibuja de uno a dos, así que el eje x ha de ser uno

más que cinco.

e ! !Configure el inicio

(“Start”) en 0 y el ancho

de barra (“Pitch”) en 1.

0 E1 E

12. g &


49/80



Cálculo del valor den

r

Tarea A: Halle8

3

.



1. 8 m < 3 m 1 o &£

2. 3 = 8 £ 3 E

La respuesta es8

356

= .

Cálculo de probabilidades en la binomialEjemplo: Se tiran ocho dados equilibrados de seis caras.

Tarea A: Halle la probabilidad de obtener exactamente dos seises.

Se trata de un caso de probabilidad binomial con n p= =81

6, .

Nos piden: P( ) x = 2 .



1. " v 0 m 2 % % !"

2. 8 , 1

/ 6 ,

2 ) =

d 2 E8 E1 / 6 EE



50/80



Tarea B: Halle la probabilidad de obtener a lo sumo dos seises.Nos piden P( ) x ≤ 2 .



1. " v a m e e % % ""

2. 8 , 1

/ 6 ,

2 ) =

d 2 E8 E1 / 6 E

E


Tarea C: Halle la probabilidad de obtener al menos dos seises.Nos piden: P( ) x ≥ 2



La respuesta será 1 0 1− ( ) + ( ) p p .

1. 1 - "

v a me e % % ""

2. 8 , 1

/ 6 ,

1 ) =

d 1 E8 E1 / 6 E

E

3. m 11 - s: E



51/80



Cálculo de probabilidades en la normalLa función densidad de probabilidad de la distribución normal,φ( x), define la distribución de probabilidad

de la variable aleatoria continua, X, en función de la media de su distribución, µ, y su desviación típica, σ .

Esta distribución es muy común entre las variables aleatorias. La gráfica deφ( x) tiene la forma característica

de una campana. Es simétrica respecto a la media, µ, y los puntos de inflexión de la curva de la campana seencuentran en µ ± σ.

El área total bajo la curva es igual a uno, y la probabilidad de que e l valor de X se encuentre entre los

valores x1 y x2 es igual al área bajo la curva entre esos dos valores. La ecuación de la curva viene dada por

φ σ

µ

σ ( )

( )

x

x

=− −

1

2

2

22

πe , aunque para cálculos elementales de probabilidad no es necesario saberla. La

función densidad de probabilidad de la distribución normal estándar para una variable z de media cero y

desviación típica uno viene dada por φ ( ) z z

=−1

2

2

2

πe .

La distribución normal general se puede transformar en la estándar mediante la transformación z x

= − µσ

.

Con las tablas tradicionales de la distribución normal, y con algunas calculadoras, es necesario hacer esta

transformación. Con otras calculadoras, generalmente se puede evitar esta transformación.

Considere a continuación el típico problema de una variable normalmente distribuida: una variable

normalmente distribuida, X , tiene una media igual a 100 y una desviación típica igual a 15.


52/80



Tarea A: Halle la probabilidad de que 90 120< 130.

Teóricamente, aquí se necesita un extremo superior de +∞ y en el apartado c) un extremo inferiorde –∞. Se pueden utilizar los valores 1e99 y –1e99 respectivamente, pero se puede utilizar valores más

convenientes (al menos cinco veces la desviación típica a partir de la media) sin perder precisión en la

respuesta obtenida.



1. " v 2 E para volver almenú de la distribución

acumulada de la

normal.

2. 1 3 0 ,

1 " l 9

9 ) , 1

0 0 , 1

5 ) =

1 3 0 E1 ; 9 9E1 5 E1 0 0 E


53/80



3. Con esto obtenemos

la solución 0,0228 con

tres cifras significativas.

Si cambiamos 1e99 por

1000, obtenemos unasolución idéntica a la

anterior al menos en 10

cifras decimales.

" v 2 1

3 0 , 1

0 0 0 ,

1 0 0 ,

1 5 ) =

E

Tarea C: Halle la probabilidad de que X < 80.



1. " v 2 e para volver al

menú de la distribución

acumulada de la

normal.

2. : 1 " l

9 9 ) ,

8 0 , 10 0 , 1

5 ) =

: 1 ;9 9 E

8 0 E1 5 E

1 0 0 E

3. Con esto obtenemos la

solución 0,0912 con tres

cifras significativas. Si

cambiamos −1 99e por

cero, obtenemos una

solución idéntica a la

anterior al menos en 10

cifras decimales.

" = para que

aparezca la entrada

anterior y así utilizar las

teclas de las flechas y

D para editarla.

E

Téngase en cuenta que como no se han introducido

los dos últimos parámetros (la media y la desviación

típica), la calculadora utiliza una media de cero y

una desviación típica de uno, que corresponden a

la distribución normal estándar. Si se utiliza la

calculadora de este modo, antes se deben convertir

los extremos superior e inferior a valores tipificados.


54/80



Cálculo inverso en la normalA continuación veamos un problema típico en el que se conocen las probabilidades de una variable

normalmente distribuida, y se piden los valores de la variable que corresponden a esas probabilidades: una

variable normalmente distribuida, X , tiene una media 500 y una desviación típica 100.

Tarea A: Halle el valor a, si el 5% de los valores de X son menores que a.

De nuevo, según el modelo de calculadora de pantalla gráfica que se utilice, puede ser necesario o no para

resolver este problema la distribución normal estándar.



1. En todos los casos,

comience por acceder

a la función normal

inversa mediante la

secuencia.

" v 3 .

m 2% ! £

2. Los parámetros para “invNorm” son (probabilidad

menor que, media, desviación típica).

. 0 5 ,

5 0 0 ,

1 0 0

) =

. 0 5 E1 0 0 E5 0 0 EE

La respuesta es a = 335,5.

Tarea B: Halle el valor b, si el 10% de los valores de X son mayores que b.


Si la probabilidad de que sea mayor que b es 0,10; la probabilidad de que sea menor que b es 0,90.


1. En todos los casos,

comience por acceder

a la función normal

inversa mediante la

secuencia

" v 3 .

E

2. . 9 , 5

0 0 ,

1 0 0

) =

. 9 E1 0 0 E5 0 0 EE

La respuesta es b = 628,2.


55/80



Tarea C: El 50% central de valores de X se encuentran entre c y d . Halle c y d .



1. La probabilidad de quesea menor que c tiene

que ser 0,25; y de que

sea menor que d 0,75.

" v 3

eLos extremos del

intervalo serán los

valores que marcan el

25% inferior y el 75%

inferior.

2. Para hallar c :

. 2 5

, 5 0 0

, 1 0

0 ) = .

Para hallar c :

. 2 5 EE .

c = 432,6

3. Cambie el 0,25 por el

0,75.

" = u > >

7 =

Cambie el 0,25 por el

0,75.

e . 7 5E E

La respuesta es d = 567,4. Así pues, el 50% central de valores de X se encuentran entre 432,6 y 567,4.

Diagramas de caja y bigotesTarea A: Represente los siguientes datos mediante un diagrama de caja y bigotes.

x 1 2 3 4 5

f 2 9 15 12 4



1. y

Borre cualquier gráficaalmacenada.

m 5

Borre cualquier gráficaalmacenada.


ventana a:

Xmín = 0

Xmáx = 5

Xescal = 1

Ymín = 0

Ymáx = 10

Yescal= 1.


ventana a:

Xmin : 0

max : 5

scale : 1

Ymin : 0

max : 10

scale : 1.


56/80



3. s 1

Recuerde que si se ha

realizado el ejercicio de

histogramas, los valores

ya están introducidos.En ese caso vaya

directamente al paso 5.

m 2Borre cualquier dato

que hubiese en las

listas.

u & $ !para cada lista.


la Lista1.

1 =

2 =

3 =

4 =

5 =


la Lista1.

1 E2 E3 E4 E5 E

5. Introduzca los datos enla Lista2.

> 2 =

9 =

1 5 =

1 2 =

4 =

Introduzca los datos enla Lista2.

> 2 E9 E1 5 E1 2 E4 E

6. " y

7. = =

para seleccionar “On”.

m 2 ! &

8. d > > > >

=d & "

9. g e !


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Matrices y vectores

Introducción de matrices en la calculadora

Tarea A: Introduzca las dos siguientes matrices: A =

2 5 3

3 4 1

5 2 7

−

−−

, B =

7

10

8

.



1. "t < 1 m 3

2. 3 =

3 =3 E3 E

3. Introduzca los valores

de los elementos de la

matriz A.

2 =

5 =: 3 =

3 =

: 4 =

1 =

5 =

2 =

: 7 =

Introduzca los valores

de los elementos de la

matriz A.

2 E

5 E: 3 E3 E: 4 E1 E5 E2 E: 7 E

4. "t < 2 e d

5. 3 =

1 =3 E1 E

6. 7 =

1 0 =

8 =

7 E1 0 E8 E


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7. Si es necesario,

"M c m

para volver a la pantalla

de inicio.

Si es necesario, m1 para volver a lapantalla de inicio.

Álgebra de matricesIntroduzca las siguientes matrices, utilizando el procedimiento descrito en el apartado “Introducción de

matrices en la calculadora”.

A =

2 5 3

3 4 1

5 2 7

−−

−

, B =

7

10

8

, C =

−− −

− −

9 19 7

9 6 7

11 16 3

y D =

8

5

9−

.

Tarea A: Introduzca en la calculadora las matricesC y D. (Si se realizó el ejercicio anterior, A y B ya deben estar en la memoria. Si no, introdúzcalas ahora.)



1. "t < 3 m 3 d d

2. 3 =3 =

3 E3 E

3. : 9 =

1 9 =

7 =

9 =

: 6 =

: 7 =

: 1 1 =1 6 =

: 3 =

: 9 E1 9 E7 E9 E: 6 E: 7 E

: 1 1 E1 6 E: 3 E

4. "t < 4 e d

5. 3 =

1 =3 E1 E


59/80



6. 8 =

5 =

: 9 =

8 E5 E: 9 E

Tarea B: Calcule 3 B – 2 D.



1. 3 "t

2 -

2 "t

4

m 1 o "

aparece una nueva lista

de opciones encima de

las teclas de función (F).Ahora se pueden

realizar los cálculos con

las matrices.

2. = 3 ! a L-2 ! a SE

La respuesta es 3 B – 2 D =

5

20

42

.

Tarea C: Calcule 5 A + C.



1. 5 "t 1

+ "t 35 ! a X+ ! a l

2. = E

La respuesta es 5 A + C =

1 44 8

24 26 2

14 26 38

−− −

−

.


60/80



Tarea D: Calcule el producto de A y B.



1. "t 1 "

t 2! a X *! a L

2. = E

La respuesta es AB =

40

11

1

−−

.

Cálculo del determinante de una matriz y de la matriz inversa

A =

2 5 3

3 4 1

5 2 7

−−

−

Tarea A: Halle el determinante de la matriz A.



1. Introduzca la matriz A utilizando el procedimiento descrito en el apartado “Introducción de matrices

en la calculadora”.

2. "t > =

"t 1 )

=

m 1o "£ ! aX E

El determinante de la matriz A es 104.


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Tarea B: Halle la inversa de la matriz A.



1. "t 1 t

=m 1 o @! a F s) E

2. Aquí se muestra

la imagen de la

configuración de la

calculadora para que

escriba los números con

dos cifras decimales.(Para acceder a esta

pantalla presione M

y después seleccione 2

en flot presionando

d > > > =.)

La inversa de la matriz A es .


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Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluaciónLas calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación



Lo que los alumnos deben poner por escrito en los exámenesLos objetivos específicos de los cursos actuales de matemáticas del Grupo 5 establecen que los alumnos

deben “organizar y representar la información y los datos en forma de tablas, gráficas y diagramas”, y

“formular un razonamiento matemático y exponerlo con claridad”. Esto significa que es importante que los

alumnos aprendan a expresarse con eficacia en los exámenes.

El modelo de evaluación ha cambiado respecto al de los cursos de matemáticas anteriores: ahora, para

conseguir la puntuación total, los alumnos deben mostrar por escrito, en todas las pruebas, el procedimiento

utilizado. En la prueba 1 de Matemáticas NM y Matemáticas NS, ya no es posible obtener la puntuación total

por dar únicamente la respuesta correcta. Para conseguir todos los puntos asignados a una pregunta, larespuesta correcta deberá ir acompañada, generalmente, del proceso seguido para su obtención.

El debate sobre lo que los alumnos deben poner por escrito en los exámenes se ha venido planteando

desde hace tiempo, incluso antes de la aparición de las calculadoras de pantalla gráfica. Las respuestas

a las preguntas “¿Qué se debe poner por escrito en un examen cuando se ha utilizado la calculadora?” y

“¿Cómo se expone el procedimiento utilizado?” también se aplican a las situaciones en las que no se utiliza

la calculadora. La clave está en una buena comunicación.

Ejemplo 1 de preguntaEn una progresión aritmética, el primer término es –2, el cuarto término es 16 y el término n-ésimo es 11998.

a) Halle la diferencia común d.

b) Halle el valor de n. [6 puntos]

Escriba Razones (se busca que el alumno…)

u1 = –2, u4 = 16, un = 11998

u u n d n = + −( )1 1

Escriba la información dada en lenguaje

matemático y escriba todas las fórmulas

pertinentes al problema.

(a) 16 2 3= − + d (De aquí se deduce d = 6)

(b) 11998 = –2 + (n – 1)6

Plantee las ecuaciones.

Utilice la utilidad de resolución de ecuacionesde la calculadora para resolverlas (en este

ejemplo se utiliza la Casio 9850+).

(a) d = 6

(b) n = 2001

Escriba la solución.

Compruebe que la solución responde a lo que

se pregunta y no contiene errores.

Para resolver la mayoría de las preguntas, el primer paso consiste en extraer la información, seleccionar una

estrategia adecuada y luego utilizar dicha información. En numerosas ocasiones, para poder utilizarla, es


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Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación


necesario reorganizar la información. Si se utiliza una calculadora de pantalla gráfica, es posible que haya

que escribir los datos de la forma adecuada para introducirlos en la calculadora: lo que algunos profesores

denominan “preparar la pregunta para la calculadora”. Por ejemplo, si se pide hallar el área entre curvas, es

probable que los alumnos deban identificar los puntos de intersección y anotarlos. También deben i