BAB II
METODE INTEGRASI
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami
metode-metode dalam mengintergralkan fungsi serta dapat membedakan masing-
masing sifat-sifat integralnya.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi dengan menggunakan metode
substitusi.
2. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi-fungsi trigonometri.
3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan
metode substitusi fungsi trigonometri.
4. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan
metode integral parsial.
5. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan
metode integral fungsi rasional.
6. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan
metode integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.
Bab II dalam buku ini membahas enam hal pokok tentang metode integrasi
fungsi, antara lain: (1) metode substitusi, (2) integral fungsi trigonometri, (3) metode
substitusi fungsi trigonometri, (4) integral parsial (5) integral fungsi rasional (6)
integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.
Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Metode-
metode yang digunakan bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan antiturunan
fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah integran dari bentuk integral yang
diberikan. Bab ini menyajikan 6 metode yang digunakan untuk menentukan integral
fungsi dan masing metode mempunyati ciri-ciri tertentu. Metode dalam integrasi
dimaksud adalah:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 30
1) Metode substitusi,
2) Integral fungsi trigonometri,
3) Metode subtitusi fungsi trigonometri,
4) Integral parsial
5) Integral fungsi rasional, dan
6) Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri
2.1 Metode Substitusi
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Metode ini pada umumnya
digunakan untuk memudahkan menentukan antiturunan fungsi sehingga bentuk
selesaiannya diubah dalam bentuk rumus dasar integral tak tentu dan rumus dasar yang
diperumum yaitu;
a. ∫ xn dx= xn+1
n+1+c ,
asalkan n ¿ -1
b. ∫ ( f ( x ))n f '( x ) dx=
( f ( x ))n+1
n+c ,
asalkan n ¿ -1
Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan jika
integran berbentuk fungsi berpangkat, misalnya ( f ( x ))n , n ≠−1 atau bentuk lain yaitu
variabel yang tidak sejenis dengan tanda diferensialnya, misalnya ∫sin (2x ) dx ,
variabelnya 2 x sedangkan tanda integrasinya dx . ∫ tan(2 x−1) dx variabelnya (2x−1)
sedangkan tanda diferensialnya dx dan jenis-jenis yang lainnya.
Jika integrannya berbentuk ( f ( x ))n , n bilangan bulat maka yang disubstitusi
adalah f ( x ) selanjutnya gunakan diferensial pada masing-masing bagian dan lakukan
substitusi pada persoalan yang diberikan. Jika integrannya ( f ( x ))n , n bilangan rasional
maka yang disubstitusi adalah ( f ( x ))n . Selanjutnya ubah pangkat f ( x ) menjadi bulat
dan gunakan diferensial sebagaimana dijelaskan di atas. Setelah substitusi dilakukan
selanjutnya masing-masing bagian didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 31
rumus umum seperti yang telah disebutkan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya
perhatikan contoh-contoh di bawah ini.
Tentukan integran berikut ini:
1. ∫ √1−x dx Jawab
Substitusikan u=√1−x
⇔u2=1−x
⇔d(u2)=d (1−x )
⇔2 u du=−dx
Substitusi bentuk terakhir ke ∫ √1−x dx , diperoleh
∫u (−2u )du=−2∫ u2du
Dengan rumus integral dasar di dapat
∫ √1−x dx=−2∫u2 du
⇔−2( u3
3 )+c
Karena u=√1−x
Sehingga ∫ √1−x dx =−2
3 √(1−x )3+c
2. ∫ √(1+2 x )3 dx
Jawab
Substitusi e=(1+2 x )32
⇔ e2=(1+2 x )3
⇔d (e2)=d (1+2 x )3
⇔2 e de=3 (1+2 x )2(2 )dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 32
⇔dx= e de3 (1+2 x )2
Sehingga ∫√(1+2 x )3 dx =∫ e e de
3(1+2 x )2
⇔∫ e2 de3e3/4
⇔ 13∫ e5/4 dE
⇔ 13 ( e9/4
4 /9 )+c
⇔ 3
4e9/4+c
Karena e=(1+2 x )32
Sehingga ∫√(1+2 x )3 dx = 3
4((1+2 x )3/2)9/4
+c
= 3
4( (1+2 x )27 /8)+c
3. ∫(3 x+12 )11dx
Substitusi A=(3 x+12)
⇔d( A )=d (3 x+12) ⇔dA=3 dx
⇔dx=dA3
Sehingga
∫ (3 x+12 )11 dx=∫ A11 dA3
⇔ 13∫ A11 dA
⇔ 13( A12
12)+c
⇔ 136
A12+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 33
Karena A=(3 x+12)
Sehingga ∫(3 x+12 )11 dx=(3 x+12 )12
12+c
4. ∫cos22 x dx
Jawab
Substitusikan A=2 x
⇔dA=2dx
⇔ dx=dA2
Sehingga
∫cos2 2 x dx =∫ cos2 A dA2
⇔ 1
2∫cos2 AdA
⇔ 1
2∫1+cos2 A
2dA
= 14∫dA+ 1
4∫cos2 AdA
= A4
+sin 2 A8
+c
Karena A=2 x
∫cos2 2 x=2 x4
+sin 4 x8
+c
Sehingga ∫cos2 2 x dx =1
2 (x+sin x4 )+c
5. ∫ ( 4 x+2 ) √4 x2+4 x dx
Jawab
Substitusikan A=√4 x2+4 x
⇔ A2=( 4 x2+4 x )
⇔d( A2)=d (4 x2+4 x )
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 34
⇔2 AdA=(8 x+4 )dx
⇔ AdA=(4 x+2 )dx
Sehingga
∫ ( 4 x+2 ) √4 x2+4 x dx=∫ A . A dA
=∫ A2 dA
=1
3A3+c
Karena A=√4 x2+4 x
Sehingga ∫ ( 4 x+2 ) √4 x2+4 x dx= 1
33√4 x2+4+c
6. ∫ t dt√3 t+4
Jawab
Substitusi Misal P=√3 t+4
⇔P2=3 t+4
⇔d( P2 )=d (3t +4 ) ⇔2 PdP=3 dt
⇔dt=2 PdP
3 Sehingga
∫ tdt√3 t+4
=∫( P2−4
3 )( 23
P)dP
P
⇔ 19∫ (2 P2−8 )dP
⇔ 227
P3−89
P+c
Karena P=√3 t+4
Sehingga ∫ tdt
√3 t+4= 2
27(3 t +4 ) √3 t+4+8
9 √3 t+4+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 35
7. ∫ x2dx√16−x2
Jawab
Substitusi w=√16−x2
⇔w2=(16−x2 )⇔2 wdw=−2xdx
⇔dx=−wx
dw
Sehingga
∫ x2 dx√16−x2
=−∫ (16−w2)w
−( wx )dw
⇔−∫16−w2
xdw
⇔−1x∫ (16−w2 )dw
⇔−16wx
+ w3
3 x+c
Karena w=√16−x2
Sehingga ∫ x2
√16−x2dx=−16 √16−x2
x+(16−x2 ) √16−x2
3 x+c
=−
16(16− x2 )1/2
x+
(16−x2 )3/2
3 x+c
Akhirnya diperoleh ∫ x2 dx
√16−x2=−
16(16−x2 )1/2
x+
(16−x2 )3/2
3 x+c
8. ∫ t ( t+2)3/2dt
Jawab
Substitusikan s= ( t+2 )32
⇔ s2=( t +2 )3
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 36
⇔2 sds=3 (t+2 )2 dt
⇔dt= 2 s
3 (t+2 )2ds
Sehingga
∫ t ( t+2)3/2dt=∫ t . s . 2 s
3 ( t+2 )2ds
⇔ 2t3( t+2)2∫ s2 ds
⇔− 2 t3( t+2)2
13
s3+c
⇔ 2t9( t +2)2 (t+2 )
92+c
⇔2 t( t +2)
52
9+c
Sehinggga ∫ t ( t+2)3/2 dt= 2 t( t +2)
52
9+c
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1.∫sin √x
√xdx
2.∫ 3 dt
√2t +1
3.∫ 1+cos2 x
sin2 2 xdx
4.∫ (6 t−1 )sin √3 t2−t−1
√3 t2−t−1dt
5.∫ 2 xdx
√ x2−9
6. ∫ x (3 x+2)3/2 dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 37
7.∫ x
√ x2+16dx
8.∫sin √x
3dx
9.∫sin xdx
16+cos2 x
10. ∫cos (2 x−4 )dx
11. ∫ x sin( x2+1)dx
12. ∫ x2cos ( x3+1)dx
13. ∫ x ( x2+3 )−12/7 dx
14.∫ √ x2+2x−3
x+1dx
15.∫ e2 x−e−2 x
e2 x+e−2 x dx
16.∫ e3 t
√4−e6 tdt
17.∫ x2
x4+4dx
18.∫ xdx
x4+4
19. ∫sin x √1−2 cos xdx
20.∫ xdx
1−2 x2dx
21. ∫ ( x+1 ) 3√1+2 x+ x2 dx
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih
mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 38
menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan
antiturunannya. Bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri adalah:
1) ∫sin x dx =−cos x+c
2) ∫cos x dx =sin x+c
3) ∫ tan x dx=ln|sec x|+c =−ln|cos x|+c
4) ∫cot x dx=− ln|csc x|+c = ln|sin x|+c
5) ∫sec x dx=ln|sec x+ tan x|+c
6) ∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+c
Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas,
selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-
masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di bahas
adalah:
1. Bentuk ∫sinm x dx ,∫ cosm x dx
Integral fungsi trigonometri berbentuk ∫sinm x dx ,∫ cosm x dx dibedakan dalam
dua kasus, yaitu:
Kasus 1: m bilangan ganjil
Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m
digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas
sin2 x+cos2 x=1 dan diferensial d (sin x )=cos xdx atau d (cos x )=−sin xdx . Akhirnya
dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya,
sehingga pengintegralan mudah diselesaikan.
Contoh:
Tentukan integral berikut:
1. ∫sin3 xdx
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 39
∫sin3 xdx=∫sin(3−1)+1 xdx
⇔∫sin2 x sin xdx
⇔∫ (1−cos2 x )d(−cos x )
⇔∫1 d (−cos x )+∫cos2 d (cos x )
⇔−cos x+ 13
cos3 x+c
Sehingga ∫sin3 xdx=−cos x+ 1
3cos3 x+c
2. ∫cos5 x dx
Jawab
∫cos5 x dx=∫cos(5−1)+1 x dx
⇔∫cos4 xcos xdx
⇔∫ (1−sin2 x )2 d (sin x )
⇔∫(1− 2sin2 x+sin4 x )d (sin x )
⇔∫1 d (sin x )−2∫sin2 xd (sin x )+∫sin4 xd (sin x )
⇔sin x−23
sin3 x+ 15
sin5 x+c
Sehingga ∫cos5 x dx=sin x− 2
3sin3 x+ 1
5sin5 x+c
3. ∫sin5(2 x )dx
Jawab:
Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka gunakan
substitusi terlebih dahulu.
Substitusikan u=2 x dan du=2 dx atau dx=du
2
sehingga ∫sin5(2 x )dx=∫sin5 u du
2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 40
⇔ 12∫sin5 udu
⇔ 12∫sin4 u sin udu
⇔ 12∫(1−cos2 u )2 d (−cosu )
⇔ 12∫(1−2cos2u+cos4 u)d (−cosu )
⇔−12
cosu+ 13
sin3 u− 110
sin5 u+c
⇔−12
cos2 x− 13
sin3 2 x− 110
sin5 2 x+c
Sehingga ∫sin5(2 x )dx=−1
2cos2 x+ 1
3sin3 2 x− 1
10sin5 2 x+c
Kasus 2: m bilangan genap
Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan
menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
cos2 x=cos2 x−sin2 x sehingga sin2 x=1−cos2x
2 atau cos2 x=1+cos2x
2
Contoh:
Tentukan pengintegralan berikut ini.
1. ∫sin2 xdx
Jawab
∫sin2 xdx=∫( 1
2−cos2 x
2 )dx
⇔∫ 1
2dx−∫ 1
2cos 2xdx
⇔ x2−sin 2x
4+c
Sehingga ∫sin2 xdx= x
2−sin 2 x
4+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 41
2. ∫cos4 xdx
Jawab
∫cos4 xdx=∫ (cos2 x)2dx
⇔∫ (1+cos2 x
2 )2
dx
⇔∫(1
4+cos2 x
2 cos 2 x4 )dx
⇔∫ 1
4dx+∫cos2 x
2dx+∫ 1
4cos2 2 xdx
⇔ x4+sin2 x
4+ 1
4∫( 1+cos 4 x2 )dx
⇔ x4+sin2 x
4+ x
8+sin 4 x
32+c
⇔ 3 x84
+sin 2 x4
+sin 4 x32
+c
Sehingga ∫cos4 xdx=3 x
8+sin 2x
4+sin 4 x
32+c
3. ∫sin4 2 xdx Jawab
Substitusikan Misal u=2 x
diperoleh du=2dx atau dx=du
2 , sehingga
∫sin4 2 xdx=∫sin 4 du2
⇔∫ ( sin2u )2 du2
⇔ 12∫( 1−cos2u
2 )2du
⇔ 12∫
14(1−2cos 2u+cos22 u)du
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 42
⇔∫ 18
du−∫ 14
cos2udu+∫ 18
cos2 2udu
⇔∫ 1
8du−∫ 1
4cos2 udu+∫ 1
8 (1+cos 4u2 )du
⇔∫ 1
8du−∫ 1
4cos2 udu+∫ 1
16du+∫ 1
16cos4 udu
⇔ 1
8u−1
8sin 2 u+ 1
16u+ 1
64sin 4u+c
Sehingga
∫sin4 2 xdx= 18(2 x )−1
8sin 2(2 x )+ 1
16(2 x )+ 1
64sin 4 (2x )+c
⇔ 3 x4
− 18
sin 4 x+ 164
sin 8 x+c
Soal-soal
Tentukan pengintegralan berikut ini.
1) ∫sin3( 4 x ) dx
2)∫sin4 ( x
2 ) dx
3)∫cos4 ( x
3 ) dx
4)∫cos3 (2 x
5 ) dx
5) ∫cos4 (3x ) dx
6) ∫cos4 (1−2 x )dx
7) ∫sin4 (1+3 x ) dx
8)∫cos2(1−2 x
5 )dx
9)∫sin 3( 3+2 x
5 )dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 43
10)∫cos2( 1+4 x
2 )dx
b. Bentuk ∫sinm x cosn xdx
Integral fungsi trigonometri berbentuk∫sinm x cosn xdx dibedakan dalam dua
kasus, yaitu:
Kasus 1 : m atau n ganjil
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, pilih yang ganjil m atau n. Jika
dipilih m, ubah m menjadi (m−1 )+1 demikian pula jika yang dipilih n, ubah n menjadi
(n−1)+1 . Pemilihan tidak boleh sekaligus. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas
sin2 x+cos2 x=1 dan sifat diferensial d (sin x )=cos x dx dan d (cos x )=−sin x dx dan
akhirnya pengintegralan dapat dilakukan dengan cara sebelumnya.
Contoh
Tentukan integral berikut ini.
1. ∫sin 3 xcos2 xdx
Jawab
Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi
(3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh
∫sin3 xcos2 xdx=∫sin(3−1)+1 xcos2 xdx
⇔∫sin2 x sin xcos2 xdx
⇔∫(1−cos2 x )cos2 x sin xdx
⇔∫(cos2 x−cos4 x )d (−cos x )
⇔∫cos2 xd (−cos x )−∫cos4 xd (−cos x )
⇔−∫cos2 xd (cos x )+∫cos4 xd (cos x )
⇔−13
cos3 x+ 15
cos5 x+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 44
⇔cos3 x ( 15
cos2 x−13 )+c
Sehingga ∫sin3 xcos2 xdx=cos3 x ( 1
5cos2 x−1
3 )+c
2. ∫sin2 x cos3 xdx
Jawab
Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi
(3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh
∫sin 2 xcos3 xdx=∫sin2 x cos2 x cos xdx
⇔∫sin2 x(1−sin2 x )cos xdx
⇔∫sin2 x(1−sin2 x )d (sin x )
⇔∫sin2 xd( sin x )−∫ sin4 xd (sin x )
⇔ 13
sin3 x−15
sin5 x+c
Sehingga ∫sin2 xcos3 xdx=1
3sin3 x−1
5sin5 x+c
3. ∫sin3 xcos3 xdx
Jawab
Karena kedua pangkatnya 3 (ganjil), pilih salah satu pangkat dan diubah
menjadi (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas diperoleh
∫sin3 xcos3 x dx=∫sin3 x cos2 x cos xdx
⇔∫sin3 x(1−sin2 x )d (sin x )
⇔∫sin3 xd (sin x )−∫sin5 xd (sin x )
⇔ 14
sin4 x−16
sin6 x+c
Atau
∫sin3 x cos3 xdx=∫sin2x sin xcos3 x dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 45
⇔∫(1−cos2 x )cos3 xd (−cos x )
⇔∫(cos3 x−cos5 x )d (−cos x )
⇔−14
cos4 x+ 16
cos6 x+c
Sehingga ∫sin3 xcos3 xdx=−1
4cos4 x+ 1
6cos6 x+c
Kasus 2 : m dan n genap sekaligus.
Jika m dan n genap sekaligus, digunakan kesamaan setengah sudut
sin2 x= 1−cos2 x2 dan
cos2 x=1+cos2 x2 . Selanjutnya substitusikan kesamaan pada
integran dan akhirnya diperoleh hasil pengintegralannya.
Contoh
Tentukan integral berikut ini:
1. ∫cos2 x sin2 x dx
Jawab
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
∫cos2 x sin2 xdx=∫( 1+cos2 x2 )(1−cos2 x
2 )dx
⇔ 14∫ (1−cos22 x )dx
⇔ 14∫(1−1+cos4 x
2 )dx
⇔ 14∫(1
2−cos 4 x
2 )dx
⇔ 14 ( x
2−cos 4 x
8 )+c
⇔ x
8−cos4 x
32+c
Sehingga ∫cos2 x sin2 x dx= x
8−cos 4 x
32+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 46
2
.∫sin4 x cos4 x dx
Jawab
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya
gunakan kesamaan setengah sudut sin2 x=1−cos2x
2 dan cos2 x=1+cos2x
2 .
∫sin4 x cos4 xdx=∫ (sin2 x )2 (cos2x )2 dx
⇔∫(1−cos2 x2 )
2
( 1+cos2 x2 )
2dx
⇔ 116 ∫(1−2 cos2 x+cos22 x )(1+2cos 2 x+cos2 2 x )dx
⇔ 116 ∫(1−2 cos22 x+cos4 2 x )dx
⇔ 116 ∫ dx−1
8∫cos2 2 x dx+ 116∫ cos4 2 xdx
⇔ 116 ∫ dx−1
8∫1+cos4 x
2+ 1
16∫( 1+cos 4 x2 )
2dx
⇔ 116 ∫ dx−1
8∫1+cos4 x
2+ 1
64 ∫(1+2 cos 4 x+cos2 4 x )2dx
⇔ 116 ∫ dx−1
8∫1+cos4 x
2+ 1
64 ∫dx+ 132∫ cos4 xdx+ 1
64 ∫( 1+cos8 x2 )dx
⇔ 116 ∫ dx−1
8∫1+cos4 x
2+ 1
64 ∫dx+ 132∫ cos4 xdx+ 1
128 ∫dx+ 1128 ∫cos8 x dx
⇔ 116 ∫ dx− 1
16∫ dx− 116 ∫cos 4 xdx+ 1
64 ∫ dx+ 132 ∫ cos4 xdx+ 1
128 ∫ dx+ 1128 ∫cos 8x dx
⇔ 3128 ∫dx− 1
32 ∫cos 4 xdx+ 1128 ∫cos8 xdx
⇔ 3x128
− 1128
sin 4 x+ 11024
sin 8 x+c
Sehingga ∫sin4 x cos4 x dx= 3 x
128−sin x
128+sin 8x
1024+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 47
c.∫ tann x dx , dan∫ cotn xdx
Integral fungsi trigonometri berbentuk ∫ tann x dx , dan∫ cotn xdx dibedakan
dalam dua kasus.
Kasus 1: n bilangan ganjil
Jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan
1+ tan2 x=sec2 x atau 1+cot2 x=csc2 x dan sifat diferensial d ( tan x )=sec2 xdx atau
d (cot x )=−csc2 xdx
Contoh
Tentukan integral berikut ini
1. ∫ tan3 xdx
Jawab
Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan
kesamaan identitas 1+ tan2 x=sec2 x dand ( tan x )=sec2 xdx
Sehingga diperoleh
∫ tan3 xdx=∫ tan2 x tan xdx
⇔∫ (sec2 x−1) tan x dx
⇔∫sec2 x tan x dx−∫ tan x dx
⇔∫ tan x sec2 x dx−∫ tan xdx
⇔∫ tan x d ( tan x )−∫ tan xdx
⇔ 1
2tan2 x−ln|sec x|+c
Sehingga ∫ tan3 xdx=1
2tan2 x−ln|sec x|+c
2. ∫cot3 xdx
Jawab
Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 48
kesamaan identitas 1+cot2 x=csc2 x dand (−cot x )=csc2 xdx
diperoleh
∫cot 3 xdx=∫cot2 x cot dx
⇔∫(csc2 x−1)cot dx
⇔∫csc2 x cot x dx−∫ cot x dx
⇔∫cot x csc2 x dx−∫ cot xdx
⇔∫cot x d (−cot x )+∫cot x dx
⇔− 12
cot2 x+ln|csc x|+c
Sehingga ∫cot3 xdx=−1
2cot2 x+ ln|csc x|+c
Kasus 2: n bilangan genap
Jika n bilangan genap, maka digunakan kesamaan identitas 1+ tan2 x=sec2 x
dan 1+cot2 x=csc2 x . Selanjutnya dengan menggunakan sifat diferensial
d ( tan x )=sec2 xdx atau d (cot x )=−csc2 xdx
Contoh
Tentukan integral berikut ini
1. ∫cot4 xdx
Jawab
∫cot4 xdx=∫ (cot2 x )2 dx
⇔∫(csc2 x−1)2 dx
⇔∫(csc4 x−2csc2 x+1 )dx
⇔∫ (csc2x csc2 x−2 csc2 x+1 )dx
⇔∫(1+cot2 x )csc2 x−2csc2 x+1 dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 49
⇔∫(1+cot2 x )d (−cot x )−2∫ d (−cot x )+∫ dx
⇔(−cot x )− 1
3cot3 x+2 cot x+x+c
⇔− 1
3cot3 x+cot x+x+c
Sehingga ∫cot 4 xdx=−1
3cot3 x+cot x+x+c
2. ∫ tan2 xdx
Jawab
∫ tan2 xdx=∫ (sec2 x−1 ) dx
⇔∫sec2 xdx−∫1 dx
⇔∫ d( tan x )−∫1 dx
⇔ tan x−x+c
Sehingga ∫ tan2 xdx= tan x−x+c
d. ∫ tanm x secn xdx , dan ∫cot m x cscn xdx
Integral fungsi trigonometri berbentuk ∫ tanm x secn x dx dan ∫cotm x cscn x dx
dibedakan menjadi dua kasus.
Kasus 1: m atau n genap
Jika m atau n genap, pilih salah satu yang genap dan selanjutnya digunakan
kesamaan1+ tan2 x=sec2 x atau 1+cot2 x=csc2 x dan sifat diferensial
d ( tan x )=sec2 x atau d (−cot )=csc2 x
Contoh
Tentukan integral berikut ini
1. ∫ tan5 x sec4 x dx
Jawab
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 50
kesamaan identitas 1+tan2 x=sec2 x , sehingga diperoleh
∫ tan5 x sec4 x dx =∫ tan5 x sec2 x sec2 x dx
⇔∫ tan5 x (1+ tan2 x )sec2 x dx
⇔∫ ( tan5 x+ tan7 x ) d ( tan x )
⇔ 16
tan6 x+ 18
tan8 x+c
Sehingga ∫ tan5 x sec4 x dx=1
6tan6 x+ 1
8tan 8 x+c
2. ∫cot 4 x csc4 x dx
Jawab
Karena keduanya genap, pilih salah satu pangkat bilangan genap dan
digunakan kesamaan1+ tan2 x=sec2 x atau 1+cot2 x=csc2 x dan sifat
diferensial d ( tan x )=sec2 x atau d (−cot )=csc2 x , sehingga diperoleh
∫cot4 x csc4 x dx=∫cot4 x (csc2 x )(csc2 x )dx
⇔∫cot4 x (cot2−1 )d (−cot x )
⇔∫(cot6 x−cot4 x )d (−cot x )
⇔−17
cot7 x+ 15
cot5 x+c
Sehingga ∫cot4 x csc4 x dx=−1
7cot7 x+1
5cot5 x+c
Kasus 2: m atau n ganjil
Dalam kasus ini pilih yang ganjil dan gunakan d (sec x )=sec x tan x atau
d (−csc x )=csc x cot x dan digunakan kesamaan1+ tan2 x=sec2 x atau
1+cot2 x=csc2 x .
Contoh:
Tentukan integral berikut ini.
1. ∫ tan3 x sec3 xdx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 51
Jawab
∫ tan3 x sec3 xdx=∫ tan2 x tan x sec2 x sec xdx
⇔∫ tan2 x sec2 d (sec x )
⇔∫(sec2 x−1)sec2 x d (sec x )
⇔∫ (sec4 x−sec2 x )d (sec x )
⇔−17
cot7 x+ 15
cot5 x+c
Sehingga ∫ tan3 x sec3 xdx=−1
7cot7 x+ 1
5cot 5 x+c
2. ∫ tan3 x sec−1 /2 xdx
Jawab
∫ tan3 x sec−1 /2 xdx=∫ tan2 x tan xsec−3
2 x sec xdx
⇔∫(sec2 x−1)sec−3
2 x d (sec x )
⇔ 23
sec3/2 x+2 sec−1/2 x+c
Sehingga ∫ tan3 x sec−1 /2 xdx=2
3sec3 /2 x+2sec−1/2 x+c
e. ∫sin mx cosnxdx , ∫sin mx sin nxdx ,∫cos mx cosnxdx
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan
rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
sin mx cos nx=12 (sin(m+n )x+sin(m−n) x )
sin mx sin nx=−12 ( cos(m+n )x−cos(m−n) x)
cos mx cosnx=12 (cos (m+n) x+cos(m−n) x )
Contoh
Tentukan integral berikut ini.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 52
1. ∫sin 3 x cos4 x dx
Jawab
∫sin 3 x cos4 x dx=∫ 12 (sin(3+4 )x+sin(3−4 ) x ) dx
⇔ 12∫ (sin 7 x+sin(−x )) dx
⇔ 12∫sin 7 x dx−1
2∫ sin x dx
⇔− 114
cos7 x+ 12
cos x+c
Sehingga ∫sin 3 x cos4 xdx=− 1
14cos7 x+ 1
2cos x+c
2. ∫sin 3 x sin2 x dx
Jawab
∫sin 3 x sin2 x dx=∫−12 (cos (3+2) x−cos (3−2 )x ) dx
⇔−12∫ (cos5 x−cos x ) dx
⇔−12∫ cos5 x dx + 1
2∫ cos x dx
⇔− 110
sin 5 x+ 12
sin x+c
Sehingga ∫sin 3 x sin2 xdx=− 1
10sin 5 x+1
2sin x+c
3. ∫cos ycos 4 y dy=12 ( cos(1+4 ) y−cos(1−4 ) y ) dy
Jawab
∫cos ycos 4 y dy=12 ( cos(1+4 ) y−cos(1−4 ) y ) dy
⇔ 1
2∫ (cos (5 y )+cos (−3 y )) dy
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 53
⇔ 1
2∫cos5 y dy+ 12∫cos (−3 y ) dy
⇔ 1
10sin 5 y−1
6sin 3 y+c
Sehingga ∫cos ycos 4 ydy= 1
10sin 5 y−1
6sin 3 y+c
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
1. ∫sin2(2 x )cos4 (2 x )dx
2.∫sin3( x
5 )cos3 ( x5 )dx
3. ∫sin12 3 xcos3 3 x dx
4. ∫(sin3 2 t )√cos2 t dt
5. ∫ tan6 xdx
6. ∫cot4 (3 x )dx
7. ∫cot x csc4 x dx
8. ∫ tan 2x sec2 2xdx
9. ∫( tan x+cot x )2 dx
10. ∫sin 3 x sin xdx
11. ∫csc4 4 ydy
12. ∫ tan−4 q sec2 qdq
13. ∫cos 2 x sin 3 xdx
14.∫cot 4 ( x
3 )dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 54
15. ∫sin12 zcos3 zdz
16. ∫ tan5 x sec−3 /2xdx
17. ∫cos xcos3 xdx
18.∫sin ( x
2 )sin( 5 x2 )dx
19.∫cos ( 2x
3 )sin(5 x4 )dx
20.∫cos ( 3 x
4 )cos ( 5x6 )dx
2.3 Metode Substitusi Fungsi Trigonometri
Metode substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral
fungsi jika integran memuat bentuk-bentuk:
1. √a2−x2 , a∈real
2. √ x2+a2=√a2+x2 , a∈real
3. √ x2−a2 , a∈real
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
1.√a2−b2 x2=√( a
b )2−x2
2.√a2+b2 x=√( a
b )2+x2
3.√a2 x2−b2=√ x2−(b
a )2
4. √ax2+bx+c yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Untuk memudahkan memahami, dalam bab ini dibahas tiap-tiap kasus yang ada.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 55
1. Integrannya memuat √a2−x2atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi
sejenisnya.
Selesaiannya menggunakan substitusi x=a sin t ⇔ sin t= x
a
dengan −π
2≤t≤π
2 .
Karena x=a sin t ⇔dx=a cos t dt
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena x=a sin t maka √a2−x2=√a2−(a sin t )2
=√a2(1−sin2 t ) =acos t
Selanjutnya bentuk √a2−x2=ccos t dan dx=acos tdt substitusikan ke dalam
integral semula, sehingga dapat ditentukan antiturunannya.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. ∫ √4−x2 dx
Jawab
substitusi x=2 sin t ⇔sin t= x
2
dx=a cos t dt
√4−x2=√4−4 sin2 t=2 cos tSehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 56
ax
t√a2−x2
2x
t
√4−x2
∫√4−x2 dx=∫2 cos t (2 cos t dt ) =4∫cos t cos t dt
=4∫cos2 t dt=4∫ (1+cos2 t )
2dt
=2∫dt +2∫ cos 2t dt =2 t+2sin t cos t+c
=2 arcsin ( x2 )+2( x
2 )(√4−x2
2 )+c
Sehingga ∫√4−x2 dx=2arcsin( x
2 )+( x √4−x2
2 )+c
Atau 4∫ cos2 tdt=4 (cotsin t
2+ 1
2t)+c
=2 cos t sin t+2 t+c
=2( x2 )(√4−x2
2 )+2arcsin ( x2 )+c
= x √4−x2
2+2 arcsin ( x
2 )+C
2.∫ dx
√4 x−x2
Jawab
∫ dx
√4 x−x2=∫ dx
√4−( x−2)2
Substitusikan ( x−2 )=2 sin t
sin t=( x−2 )
2
dx=2cos t dt
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 57
2
x−2
t
√4−( x−2)2=2 cos t , sehingga
∫ dx
√4−(x−2)2=∫ 2 cos t dt
2cos t
=∫ dt
=t +c
=arcsin( x−2
2 )+c
Sehingga ∫ dx
√4 x−x2=arcsin ( x−2
2 )+c
3.∫ dx
√16+6 x−x2
Jawab
∫ dx
√16+6 x−x2=∫ dx
√25−(x−3)2
Substitusikan ( x−3 )=5sin t
sin t= x−3
5 dan dx=5 cos t dt
√25−( x−3 )2=5 cos t ∫ dx
√16+6 x−x2=∫ 5cos t
5cos tdt
=∫ dt
=t +c
=arcsin( x−3
5 )+c
4. ∫ x2√3−x2 dx
Jawab
Substitusi x=√3 sin t
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 58
√4 x−x2
5x−3
√16+6 x−x2
t
√3x
sin t= x
√3 s
dx=√3 cos t dt
√3−x2=√3−(√3sin A )2
=√3cos A , sehingga
∫ x2√3−x2 dx=∫ 3 sin2 t √3 cos t √3 cot dt
=9∫ sin2 t cos2 t dt
=9∫( 1−cos2 t
2 )( 1+cos2t2 )dt
= 9
4∫(1−cos2 2t )dt
= 9
4∫1−( 1+cos4 t2
)dt
= 9
4∫1 dt−98∫dt−9
8∫ cos4 t dt
= 9
4t− 9
8t− 9
32sin 4 t+c
=9
8arcsin ( x
√3 )− 932
sin 4 t +c
=98
arcsin ( x√3 )− 9
32(4 sin t cos t )(cos2 t−sin2 t )+c
=98 (arcsin ( x
√3 )− (sin t cos t ) ( cos2 t−sin2 t ))+c
=98 (arc( x
√3 )−( x√3 )(√3−x2
√3 )( (3−x2 )3 )( x2
3 ))+c
= 98 (arc( x
√3 )− x3(3−x2)√3−x2
27 )+c
Soal-soal
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 59
t
√3−x2
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1.∫ dx
(1−x2 )√1−x2
2.∫ √25−x2
xdx
3. ∫dx
x2 √9−x2
4.
∫ dx
( 4 x−x2)32
5.∫ dx
√2+2 x−x2
6. ∫√2−x2 dx
7. ∫√1−2 x−x2 dx
8.∫ xdx
√5−3 x2
9.∫ dx
√4 x−x2
2. Integrannya memuat √a2+ x2=√ x2+a2atau bentuk lain yang dapat diubah
menjadi sejenisnya.
Selesaiannya menggunakan substitusi x=a tan t atau tan t= x
a sehingga didapatkan
dan dx=a sec2 t dt , dengan −π
2≤ t≤π
2
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 60
√ x2+a2
x
t
Karena x= tan t maka √a2+ x2=√a2+( a tan t )2
=√a2(1+ tan2 t ) =a sec t
Selanjutnya bentuk √a2+ x2=asec t dan dx=a sec2 t dt substitusikan ke dalam
integral semula dan akhirnya dapat ditentukan selesaian integral yang diketahui.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.∫ dx
√9+x2
Jawab
Substitusikan x=3 tan t
dx=3sec2 t dt
√9+x2=3 sec t , sehingga
∫ dx
√9+x2=∫ 3 sec2 t dt
3 sec t
=∫ sec tdt
=ln|sec t +tan t|+c
=ln|√9+x2
3+ x
3|+c
= ln|√9+x2+x|+c
2. ∫ (2 x−1)dx
√ x2+4 x+5
Jawab
∫ (2 x−1)dx
√ x2+4 x+5dx=∫( 2 x
√x2+4 x+5− 1
√x2+4 x+5)dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 61
a
√9+x2
x
3t
=∫ 2xdx
√( x+2)2+1−∫ dx
√( x+2)2+1
Substitusikan ( x+2)= tan t
x= tan t−2
dx=sec2 t dt
√( x+2)2+1 = sec t,
sehingga
∫ 2 xdx
√( x+2)2+1−∫ dx
√( x+2)2+1
=∫ 2( tan t−2 ). sec2 tdt
sec t−∫ sec2 tdt
sec t
=2∫ tan t sec tdt−4∫sec tdt−∫sec t dt
=2 sec t−5 ln|sec t +tan t|+c
=√x2+4 x+5−5 ln|√x2+4 x+5+( x+2)|+c
Soal-soal
Kerjakan soal berikut sebagai latihan
1.∫ dx
(9+x2 )2
2. ∫ √3+x2dx
3.∫ √ x2+1
xdx
4.∫ dx
√ x2−4 x+13
5.∫ 3 xdx
√ x2+2 x+5
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 62
√ x2+4 x+5x+2
t
1
6.∫ t
√ t2+4dt
7. ∫ √2+ y2 dy
3. Integrannya memuat √ x2−a2atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi
sejenisnya.
Selesaiannya menggunakan substitusi x=a sec t sehingga dx=a sec t tan t dt ,
dengan −π
2≤t≤π
2 .
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena x=a sec t maka √ x2−a2=√(a sec t )2−a2
=√a2(sec2 t−1)=a tan t
Selanjutnya bentuk √ x2−a2=a tan t dan dx=a sec t tan tdt disubtitsusikan ke dalam
integral semula sehingga dapat ditentukan antiturunannya.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.∫ √ x2−9
xdx
Jawab
Substitusikan x=3sec t
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 63
√ x2−a2 x
t
x
√ x2−9
dx=3 sec t tan tdt
√ x2−9=√(3sec t )2−9=3 tan t sehingga
∫ √ x2−9
xdx=∫ 3 tan t
3sec t3 sec t tan tdt
=3∫ tan2 tdt
=3∫(sec2 t−1 )dt
=3∫sec2 tdt−3∫ dt
=3 tan t−3t+c
=3 √ x2−9
3−3 arc sec x
3+c
=√x2−9−3 arc sec( x
3 )+c
2. ∫ dx
√ x2−2 x−8
Jawab
∫ dx
√ x2−2 x−8=∫ dx
√( x−1 )2−9
Substitusikan ( x−1)=3 sec t
dx=3 sec t tan tdt
√( x−1 )2−9=3 tan t Sehingga
∫ dx
√( x−1 )2−9=∫ 3 sec t tan tdt
sec t
=∫ sec tdt
= ln|sec t +tan t|+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 64
t3
x−1
√ x2−2 x−8
t3
= ln|x−1
3+ √x2−2 x−8
3|+c
Sehingga ∫ dx
√ x2−2 x−8=ln|x−1
3+ √x2−2 x−8
3|+c
Soal-soal
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1. ∫ √x2−1 dx
2.∫ x2 dx
√ x2−25
3.∫ √ t2−4
t 3dt
4.∫ dx
√ x2+16 x−65
5.∫ dx
x √x2−6
6.∫ dt
t2√t2−1
7.∫ zdt
√ z2+2 z−24
8. ∫√ y2−3dy
2.4 Integral Parsial
Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral
fungsi yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv dan u=f ( x ) , v=g ( x )
Karena y=uv , maka menurut definisi diferensial dan turunan fungsi y=uv diperoleh
dy=d (uv )
dy=udv+vdu
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 65
d (uv )=udv+vdu
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
∫ d (uv )=∫udv+∫ vdu
⇔∫udv=∫ d (uv )−∫ vdu
⇔∫udv=uv−∫ vduBentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan
dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi udv dan
dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit
dibandingkan dengan ∫udv tersebut.
Contoh
Tentukan integral persial berikut ini
1. ∫ x cos xdx
Jawab
Bentuk ∫ x cos xdx diubah menjadi ∫udv
misal u=x dan dv=cos xdx sehingga
du=1 dx dan v=∫ cos xdx=sin x
Akibatnya ∫ x cos xdx=∫ xd (sin x )
Dengan rumus integral parsial
∫udv=uv−∫ vdu , diperoleh
∫ xd (sin x )=x(sin x )−∫ sin xd (x )
⇔∫udv=uv−∫ vdu
⇔ x (sin x )−∫sin xdx
Sehingga ∫ x cos xdx=x sin x+cos x+c
2. ∫ x √1+x dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 66
Jawab
Bentuk ∫ x √1+x dx diubah menjadi ∫udv
misal u=x dan dv=√1+x sehingga
du=1 dx dan v=∫√1+xdx=∫ (1+ x )
12 dx=1
2(1+x )
32=1
2 √(1+x )3
Sehingga ∫ x √1+x dx = ∫ xd ( 2
33√1+x )
Berdasarkan rumus integral parsial
∫udv=uv−∫ vdu , diperoleh
∫ x √1+x=∫ xd (2
33√1+x )
⇔ 2 x3
3√1+1−∫ 23
3√1+x d ( x )
⇔ 2 x3
3√1+1−∫ 23
3√1+x dx
⇔ 2 x3
3√1+x−23( 2
55√1+x )+c
⇔ 2x3
3√1+1− 415
5√1+x+c
Sehingga ∫ x √1+x dx= 2x
33√1+1− 4
155√1+x+c
3. ∫sin x ex dx
Jawab
Pilih u=sin x maka du=d (sin x )=cos x dx
dv=ex dx , v=∫ ex dx=ex+c , sehingga:
∫sin x ex dx=∫ sin x d ( ex)
⇔ ex sin x−∫ ex d (sin x )
⇔ ex sin x−∫ ex cos xdx
Diperoleh bentuk ∫ ex cos xdx yang juga diselesaikan dengan metode parsial
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 67
Pilih u=cos x maka du=d (cos x )=−sin x
dv=ex dx , v=∫ ex dx=ex+c , sehingga:
∫cos x e x dx=∫cos x d (ex )
⇔ ex cos x−∫e x d (cos x )
⇔ ex cos x−∫e x(−sin x )dx
⇔ ex cos x+∫ ex sin x dx ,
Akhirnya diperoleh
∫sin x ex dx=ex sin x−∫ex cos xdx
∫ ex sin xdx=ex sin x−ex cos x−∫e xsin xdx
2∫ sin x e x dx=ex sin x−ex cos x
∫sin x ex dx=12
( ex sin x−e xcos x )
4. ∫cosn xdx
Jawab
∫cosn xdx=∫ cosn−1 x cos x dx
Pilih u=cosn−1 x maka du=d (cosn−1 x )=(n−1)cosn−2 x (−sin x )dx
dv=cosdx , v=∫ cos xdx=sin x+c , sehingga:
∫cosn xdx=∫ cosn−1 xd (sin x )
⇔sin x cosn−1 x−∫(sin x )d (cosn−1 x )
⇔sin x cosn−1 x−∫ sin x (n−1 ) cosn−2 x(−sin x )dx
⇔sin x cosn−1 x+(n−1 )∫sin2 xcosn−2 xdx
⇔sin x cosn−1 x+(n−1 )∫ (1−cos2 x )cosn−2 xdx
⇔sin x cosn−1 x+(n−1 )∫ cosn−2 xdx−(n−1)∫ cosn xdx
Selanjutnya diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 68
∫cosn xdx=sin x cosn−1 x+(n−1)∫ cosn−2 xdx−( n−1)∫cosn xdx
⇔n∫cosn xdx=sin x cosn−1 x+(n−1 )∫ cosn−2 xdx
∫cosn xdx=sin x cosn−1 xn
+ n−1n ∫cosn−2 xdx
5. ∫sinn xdx
Jawab
∫sinn xdx=∫sinn−1 x sin x dx
Pilih u=sinn−1 x maka du=d (sinn−1 x )=(n−1 )sinn−2 x (cos x )dx
dv=sin dx , v=∫ sin xdx=−cos x+c , sehingga:
∫sinn xdx=∫sinn−1 xd (−cos x )
⇔−cos x sinn−1 x−∫(−cos x )d (sinn−1 x )
⇔−cos x sinn−1x+∫cos x (n−1 )sinn−2 x (cos x )dx
⇔−cos x sinn−1x+(n−1 )∫cos2 x sinn−2 xdx
⇔−cos x sinn−1 x+(n−1 )∫(1−sin2 x )sinn−2 xdx
⇔−cos x sinn−1x+(n−1 )∫sinn−2 xdx−(n−1 )∫sinn xdx
Selanjutnya diperoleh
∫sinn xdx=−cos x sinn−1 x+(n−1 )∫sinn−2 xdx−(n−1 )∫sin2 xdx
⇔n∫sin n xdx=−cos x sinn−1x+(n−1 )∫sin n−2 xdx
∫sinn xdx=−cos x sinn−1 xn
+ n−1n ∫sinn−2 xdx
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.
1. ∫ x sec2 xdx
2. ∫sec x tan x dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 69
3. ∫sin3 x dx
4. ∫ x tan x dx
5. ∫ arc tan x dx
6. ∫ √x ln x dx
7. ∫ x 3√2 x+7dx
8. ∫ arc cos2 x dx
9. ∫ x2 e−2 x dx
10.∫ xdx
√1+2 xdx
11. ∫cos 3x sin 3 x dx
12. ∫ ex √1+x dx
13. ∫ tan5 x sec2 xdx
14. ∫( x−2)cos (x−2) dx
15. ∫ xe x2dx
16. ∫(2 x−1 )e−3 x dx
17. ∫sec3 x dx
18. ∫ x3√4−x2 dx
19. ∫ ln3 x dx
20. ∫ x2sin x dx
21. ∫ x2√1−x dx
22. ∫ x2sec2 x dx
23. ∫ x e2 x dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 70
24. ∫ x2sec2 x dx
25. ∫sin 2 x cos 2 x dx
26. ∫2 x √1−x2 dx
2.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah fungsi yang bentuk umumnya dinyatakan dalam bentuk
F (x )=f ( x )g ( x ) , dimana f ( x ) dan g ( x ) adalah fungsi pangkat banyak (polinomial) dan
g( x )≠0 .
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang secara umum dinyatakan dalam
bentuk:
f ( x )=ao+a1 x+a2 x2+a3 x3+⋯+an xn dengan n=1,2,3 ,. .. sehingga fungsi rasional
adalah fungsi berbentuk
f ( x )g ( x ) yang pembilang dan penyebutnya polinomial.
Contoh
F (x )= 1−xx2−3 x+2 .......... fungsi rasional sejati
F (x )= x2−4x2−4 x+4 .......... fungsi rasional tidak sejati
F (x )= x5+2x3−x+1x3+5 x .......... fungsi rasional tidak sejati
Berdasarkan contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat
pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, (2) dinamakan fungsi rasional tidak sejati
karena derajat pembikang dan penyebu sama, dan (3) disebut fungsi rasional tidak
sejati, karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut.
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka
fungsi tersebut diubah menjadi fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang
akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 71
F (x )= x5+2x3−x+1x3+5 x
=x2−3+(14 x+1
x3+5 x )
Dalam menentukan integral fungsi rasional F (x )=
f ( x )g ( x )
, g( x )≠0, langkah yang
ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F (x )=
f ( x )g ( x )
, g( x )≠0sampai tidak
dapat difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:
1. fungsi linear berbeda, g( x )=( x−a )( x−b )( x−c ) . .. .. .( x−t )
2. fungsi linear berulang, g( x )=( x−a )n=( x−a)( x−a) .. . .. .( x−a )
3. fungsi liner dan kuadrat, g( x )=( x−a )(ax 2+bx+c )
4. fungsi kuadrat berbeda, g( x )=(ax 2+bx+c )( px2+qx+c )
5. fungsi kuadrat berulang, g( x )=(ax 2+bx+c )ndan seterusnya.
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran
dapat ditentukan antiturunannya,
Misal :
f ( x )g ( x )
=A 1
(ax1+b1 )+
A2
(ax 2+b2)+. ..
(penyebut kombinasi liner berbeda)
f ( x )g ( x )
=A1
(ax+b )+
A2
(ax+b )2 +A3
(ax+b )3 +.. .(kombinasi lenear berulang)
f ( x )g ( x )
=A1x+B1
a1 x2+b1 x+c1
+A2 x+B2
a2 x2+b2 x+c 2+. . .
(kombinasi kuadrat berbeda)
f ( x )g ( x )
=A1
a1 x+b1+
A2 x+B2
a2 x2+b2 x+c 1+. . .
(kombinasi linear dan kuadrat)
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 72
Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang
merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta
A1 , A2 , A3 ,. . .. An dan B1 , B2 ,B3 ,. .. . BnBerdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada
integran, maka hasil integralnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode
sebelumnya setelah diperoleh masing-masing konstanta.
Untuk lebih jelasnya integral fungsi rasional dibedakan dalam beberapa kasus.
Kasus 1: Penyebut dapat difaktorkan menjadi fungsi linear berbeda.
Contoh:
Tentukan integral di bawah ini
1. ∫ 2x2−1
dx
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:
∫ 2x2−1
dx=∫ 2( x−1)( x+1)
dx
⇔∫ A( x−1 )
+ B( x+1)
dx
⇔∫ A ( x+1)+B( x−1)( x−1 )(x+1 )
dx
⇔∫ ( A+B )x+( A−B)(x−1)( x+1)
dx
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
∫ 2x2−1
dx=∫ 1x−1
dx+∫ −1x+1
dx
⇔∫ dxx−1
−∫ dxx+1
⇔ ln|x−1|− ln|x+1|+c
⇔ ln|x−1x+1
|+c
Sehingga
∫ 2x2−1
dx= ln|x−1x+1
|+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 73
2. ∫ x+1x−1
dx
Jawab
Karena integran fungsi rasional tidak sejati, maka disederhanakan terlebih
dahulu sehingga diperoleh:
∫ x+1x−1
dx=∫(1+ 2x−1 )dx
⇔∫1 dx+∫ 2x−1
dx
⇔ x+2 ln|x−1|+c⇔ x+ln (x−1)2+c
Sehingga
∫ x+1x−1
dx=x ln ( x−1 )2+c
3. ∫ x+1( x3+x2−6 x )
dx
Jawab
∫ x+1( x3+x2−6 x )
dx=∫ x+1x ( x−2 )( x+3 )
dx
⇔∫ Ax+ B
( x−2)+ C
( x+3 )dx
⇔∫ A ( x−2 )(x+3 )+B ( x )( x+3 )+C (x )( x−2)x3+x2−6 x
dx
⇔∫ ( A+B+C ) x2+( A+3 B−2C ) x−6 Ax3+x2−6 x
dx
Diperoleh
A + B + C = 0
A + 3B – 2C = 1
-6A = 1
Atau A=− 1
6,B= 3
10, dan C=− 2
15
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 74
Sehingga
∫ x+1
( x3+x2−6 x )dx=∫−1
6dxx
+∫ 310
dxx−2
−∫ 215
dxx+3
⇔− 16∫
dxx
+ 310 ∫ dx
x−2− 2
15 ∫ dxx+3
⇔−16
ln|x|+ 310
ln|x−2|− 215
ln|x+3|+c
∫ x+1x3+x2−6 x
dx=−16
ln|x|+ 310
ln|x−2|− 215
ln|x+3|+c
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut:
1.∫ dx
x2−9
2.∫ x2−1
x2+1dx
3.∫ dx
x2+7 x+6
4.∫ x2+3 x−4
x2−2x−8dx
5.∫ xdx
x2−3 x−4
6.∫ x2−3 x−1
x3+x2−2 xdx
7.∫ x3
x2−5 x−6dx
8.∫ 2x3
x2−x−2dx
9.∫ x3 dx
( x−1 )( x+1 )( x+3 )( x+2)
10.∫ 2 x4 dx
( x+2)( x+1)( x+6 )
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 75
Kasus 2: Penyebut dapat difaktorkan menjadi fungsi linear berulang.
Contoh
Tentukan integral fungsi rasional berikut ini.
1. ∫ x+1x2−4 x+4
dx
Jawab
∫ x+1
x2−4 x+4dx=∫ x+1
(x−2)( x−2 )dx
⇔∫ x+1
( x−2 )2dx
⇔∫ A( x−2 )
+ B( x−2 )2
dx
⇔∫ A ( x−2 )+B( x−2)2 dx
⇔∫ Ax+( B−2 A )
(x−2)2 dx
Sehingga diperoleh
A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
∫ x+1x2−4 x+4
dx=∫ Ax−2
+ B( x−2)2
dx
⇔∫ dx
( x−2 )+∫ 3
( x−1 )2dx
⇔ ln|x−2|− 3
( x−2 )+c
∫ x+1x2−4 x+4
dx= ln|x−2|− 3x−2
+c
2. ∫ x2−1x2+4 x+4
dx
Jawab
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan selesaiannya
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 76
ubah integran menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:
∫ x2−1x2+4 x+4
dx=∫1+(−5x−4 )x2+4 x+4
dx
⇔∫ dx−∫ 5 x+4x2+4 x+4
dx
Selanjuntnya ∫ 5 x+4
x2+4 x+4dx=∫ 5 x+4
( x+2)2dx
⇔∫ A( x+2)
+ B( x+2)2
dx
⇔∫ A ( x+2)+B( x+2 )2
dx
⇔∫ Ax+(2 A+B)(x+2 )2 dx
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
∫ 5 x+4( x+2)2
dx=∫ 5( x+2)
−∫ 6( x+2)2
dx
⇔5 ln|x+2|+ 6( x+2)
+c
∫ 5 x+4( x+2)2
dx=5 ln|x+2|+ 6x+2
+c
3. ∫ (3 x+5 )x3−x2−x+1
dx
Jawab
∫ (3 x+5 )dxx3−x2−x+1
dx=∫ 3 x+5( x+1)( x−1 )2 dx
⇔∫ A( x+1)
+ B( x−1)
+ C( x−1)2
dx
⇔∫ A ( x−1 )2+B ( x−1)( x+1)+C ( x+1 )(x+1 )(x−1)2 dx
⇔∫ ( A+B )x2+(C−2 A ) x+( A−B+C )( x+1)( x−2 )2 dx
Diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 77
A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga
∫ (3 x+5 )dxx3−x2−x+1
dx=∫ Ax+1
+ Bx−1
+ C(x−2)2 dx
⇔∫ A
( x+1)+ B( x−1)
+ C( x−1)2
dx
⇔ 12∫
dx( x+1)
− 12∫
dx( x−2)
+4∫ dx( x−2)2
⇔ 12
ln|x+1|−12
ln|x−2|− 4(x−2)
+c
∫ 3 x−5x3−x2−x+1
dx=12
ln|x+1|−12
ln|x−2|− 4x−2
+c
4. ∫ x6+4 x3+4x3−4 x2 dx
Jawab
Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari pembilang
integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati
∫ x6+4 x3+4x3−4 x2 dx=∫(x3+4 x2+16 x+68+272 x2+4
x3−4 x2 ) dx
⇔∫ ( x3+4 x2+16 x+68 )dx+∫ 272 x2+4x3−4 x2 dx
⇔ 14
x4+ 43
x3+8 x2+68 x+∫ 272 x2+4x3−4 x2 dx
Selanjutnya dicari ∫272 x2+4
x3−4 x2 dx=∫272 x2+4x2( x−4 )
dx
⇔∫ Ax2
+ Bx+ C
(x−4 )dx
⇔∫ A ( x−4 )+B( x )(x−4 )+C (x2 )x3−4 x2 dx
⇔∫ Ax−4 A+Bx2−4 Bx+Cx2
x3−4 x2 dx
Sehingga didapat B+C=272 , A−4 B=0 ,−4 A=4 .
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 78
atau A=−1 , B=−1
4,C=1089
4
Hasil akhir pengintegralan
∫ x6+4 x3+4
x3−4 x2 dx=14
x4+ 43
x3+8 x2+68 x−1x+ 1
4ln|x−4|+1089
4ln|x−4|+c
Soal-soal
Tentukan
1.∫ x+1
( x−3 )2dx
2.∫ x8
( x−2 )2(1−x )5 dx
3.∫ x2+19 x+10
2 x4+5 x3 dx
4.∫ 1−2 x
( x+2)( x+4 )2dx
Kasus 3: Penyebut dapat difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat.
Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan
kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial
f ( x )g ( x )
= Aax+b
+ Bx+Cpx2+qx+r , berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan konstanta
A,B, dan C.
Contoh
Tentukan integral berikut ini.
1. ∫ 6 x2−3 x+1( 4 x+1)( x2+1)
dx
Jawab
Karena integran fungsi rasional sejati maka
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 79
∫ 6 x2−3 x+1( 4 x+1)( x2+1)
dx=∫ A4 x−1
+ Bx+Cx2+1
dx
⇔∫ A ( x2+1 )+(Bx+C )(4 x+1 )( 4 x+1)( x2+1)
dx
⇔∫ ( A+4 B) x2+( B+4 C )x+( A+C )(4 x+1 )(x2+1)
dx
Diperoleh
A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
∫ 6 x2−3 x+1( 4 x+1)( x2+1)
dx=∫ 24 x+1
+ x−1x2+1
dx
⇔∫ 2( 4 x+1)
dx+∫ xx2+1
dx−∫ 1
x 2 +1dx
⇔ 24
ln|4 x+1|+ 12
ln|x2+1|−arctan x+C
2. ∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2
dx
Jawab
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2
dx=∫ x3+x2+x+2( x2+1)( x2+2 )
dx
⇔∫ Ax+Bx2+1
+ Cx+Dx2+2
dx
⇔∫ ( Ax+B )(x2+2)+(Cx+D)( x2+1 )( x2+1)( x2+2 )
dx
⇔∫ ( A+C ) x3+(B+D )x2+(2 A+C )x+(2 B+D)( x2+1)( x2+2 )
dx
Diperoleh
A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:
∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2
dx=∫ 1x2+1
+ xx2+2
dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 80
=∫ 1x2+1
dx+∫ xx2+2
dx
=arctan x+ 12
ln|x2+1|+c
3. ∫ x3−8 x2−1( x+3 )(x−2)( x2+1 )
dx
Jawab
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda ( x+3) dan ( x−3 )
dengan kuadrat ( x2+1) sehingga:
∫ x3−8 x2−1( x+3 )(x−2)( x2+1 )
dx=∫ Ax+3
+ Bx−2
+ Cx+Dx2+1
dx
⇔∫ A ( x−2 )(x2+1)+B( x+3 )( x2+1 )+ (Cx+D )( x+3)( x−2 )( x+3)( x−2 )( x2+1)
dx
⇔∫ ( A+B+C ) x3+(−2 A+3 B+C+D )x2+( A+B+D−6C ) x+(−2 A+3 B−6 D)( x+3 )( x−2)( x2+1 )
dx
Maka diperoleh
A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau
A = 2, B = -1, C = 0, D = -1
∫ A( x+3 )
+ B( x−2 )
+ Cx+D( x2+1 )
dx=∫ 2x+3
+ −1x−2
+ −1x2+1
dx
⇔2 ln|x+3|−ln|x−2|−arctan x+c
⇔ ln ( x+3 )2− ln|x−2|−arctan x+c
⇔ ln|( x+3 )2
x−2|−arctan x+c
Jadi ∫ x3−8 x2−1
( x+3 )(x−2)( x2+1 )dx=ln|( x+3 )2
x−2|−arctan x+c
4. ∫ 2 x2+ x−8x3+4 x
dx
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 81
∫ 2 x2+ x−8x3+4 x
dx=∫ 2 x2+x−8x ( x2+4 )
dx
⇔∫ ( Ax
+ Bx+Cx2+4
)dx
⇔∫ A ( x2+4 )+( Bx+C ) xx3+4 x
dx
⇔∫ ( A+B )x2+Cx+4 Ax3+4 x
Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1
∫( Ax
+ Bx+Cx2+4
)dx=∫−2x
dx+∫ 4 x+1x2+4
dx
⇔∫−2
xdx+∫ 4 x
x2+4dx+∫ 1
x2+4dx
⇔ ln|x−2|+2 ln|x2+4|−1
2arctan( x
2 )+c
Didapat ∫ 2 x2+ x−8
x3+4 xdx=ln|x−2|+2 ln|x2+4|− 1
2arctan ( x
2 )+c
5. ∫ x3−4 x( x2+1)
dx
∫ x3−4 x( x2+1)
dx=∫(x− 5 xx2+1 )dx
⇔∫ xdx−∫ 5 xx2+1
dx
⇔ 12
x2−5∫ xx2+1
dx
⇔ 12
x2−5. 12∫
2 xx2+1
dx
⇔ 12
x2−52
ln|x2+1|+c
⇔ 12
x2−ln √( x2+1 )5+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 82
Didapat ∫ x3−4 x
x2+1dx=1
2x2−ln√ ( x2+1 )5+c
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.∫ 2 x3+5 x2+16 x
x5+8 x3+16 xdx
2.∫ x3+x2+x+2
x4+3 x2+2dx
3.∫ x3+x−1
( x2+1 )2 dx
4.∫ x3+x2−5 x+15
( x2+5 )( x2+2 x+3 )dx
5.∫ x3
( x3−1)dx
6.∫ 2x−4
( x−1 )( x2+3)dx
2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri
Fungsi F (x )=
f ( x )g ( x )
, g( x )≠0 , f ( x ) dan g ( x ) mememuat fungsi trigonometri dapat
juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau
tidak sejati. Hal ini dikarenakan f ( x )=sin x dan f ( x )=cos x tidak mempunyai derajat
seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan metode
substitusi.
Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya
memuat f ( x )=sin x atau f ( x )=cos x
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 83
1.F (x )= 1−sin x
cos x
2.F (x )=1+2sin+cos x
sin x
3.F (x )= 5 sin x+2
cos x
4.F (x )= 1
3−2 sin x
5.F (x )= 2
1+sin x−cos x
Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:
1.∫ dx
1+sin x−cos x
2.∫ dx
2+cos x
3.∫ dx
1+sin x+cos x
4.∫ 1+2 sin x+cos x
sin xdx
5.∫ 1
3−2sin xdx
Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi
x=2 arctan z sehingga dx= 2
1+z2dz
.
Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.
Karena x=2 arctan z maka diperoleh tan( x
2 )=z
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 84
1+ tan2( x2 )=sec2 ( x
2 )⇔1+z2=sec2( x
2 )
⇔cos2( x2 )= 1
1+z2
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain
sin2 x+cos2 x=1
⇔sin2( x2 )+cos2( x
2 )=1, sehingga didapat
sin2 ( x2 )=1− 1
1+z2
= z2
1+z2
Dengan rumus jumlah cosinus didapat:
cos2 x=cos2 x−sin2 x
⇔cos x=cos2 ( x2 )−sin2 ( x
2 )⇔cos x= 1
1+z2−z2
1+z2
=1−z2
1+z2
Dengan rumus jumlah sinus didapat:
sin 2 x=2sin x cos x
⇔sin x=2 sin( x2 )cos( x
2 )
=2√ z2
1+z2 √ 11+z2
= 2 z
1+z2
Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat
diselesaikan dengan menggunakan substitusi
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 85
x=2 arctan z , sin x= 2 z
1+ z2, cos x=1−z2
1+z2
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh
Tentukan integral berikut ini.
1. ∫ dx1+sin x+cos x
Jawab
Dengan menggunakan substitusi yang telah dijelaskan sebelumnya, diperoleh
∫ dx1+sin x+cos x
=∫( 21+z2 )dz
1+( 2 z1+z2 )+(1−z2
1+z2 )
⇔∫( 21+z2 )dz
( 1+z2
1+z2)+( 2 z1+z2 )+( 1−z2
1+z2 )⇔∫ 2dz
2+2 z
⇔∫ dz1+z
⇔ ln|1+z|+c
⇔ ln|1+ tan( x2 )|+c
Didapat ∫ dx
1+sin x+cos x=ln|1+tan( x
2 )|+c
2. ∫ dx2−cos x
Jawab
Dengan menggunakan substitusi yang telah dijelaskan sebelumnya, diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 86
∫ dx2−cos x
=∫( 21+ z2 )dz
2−( 1−z2
1+z2 )
⇔∫( 2
1+ z2 )dz
2(1+ z2
1+ z2 )−( 1−z2
1−z2)⇔∫ 2 dz
1+3 z2
⇔ 23∫
dz13+z2
⇔ 23∫
dz
( 1√3 )
2+ z2
⇔ 2
3 ( 11 /√3 )arctan ( z
1/√3 )+c
⇔ 2
3 √3arctan ( z √3 )+c
⇔ 2
3 √3 arctan (tan x2 )√3+c
Didapat ∫ dx
2−cos x=2
3 √3 arctan ( tan x2 )√3+c
3. ∫ dx3+5 sin x
Jawab
Dengan menggunakan substitusi yang telah dijelaskan sebelumnya, diperoleh
∫ dx3+5sin x
=∫( 21+z2 )dz
3+5( 2 z1+z2 )
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 87
⇔∫( 2
1+z2 )dz
3( 1+z2
1+z2 )+5( 2 z1+z2 )
⇔∫ 2 dz3+3 z2+10 z
⇔∫ 2dz(3 z+1)( z+3)
⇔∫ A
(3 z+1)+ B
( z+3 )dz
⇔∫ ( A+3 B )z+( A+B )(3 z+1 )( z+3 )
dz
⇔∫ 3
(3 z+1)− 1
( z+3)dz
⇔3 ln|3 z+1|−ln|z+3|+c
⇔3 ln|3 tan( x2 )+1|−ln|tan( x
2 )+3|+c
Didapat ∫ dx
3+5 sin x=3 ln|3 tan( x
2 )+1|−ln|tan ( x2 )+3|+c
Soal-soal
Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!
1.
∫ dx1−2 sin x
=√33
ln|tan( x
2 )−2−√3
tan( x2 )−2+√3
|+c
2.∫ dx
2+sin x =2√
arctan ( 2 tan( x2 )+1
√3 )+c
3.∫ dx
5+3sin x=1
2arctan( 5 tan( x
2 )+3
4 )+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 88
4.
∫ dx1+sin x−cos x
=ln|tan ( x
2 )1+tan ( x
2 )|+c
5.∫ dx
5+4 sin x=2
3arctan( 5 tan( x
2 )+4
3 )+c
6.∫ dx
2+cos x=2√3
3arctan(√3
3tan x
2 )+c
7.∫ dx
3−2sin x=2√5
5arctan (√5 tan( x
2 ))+c
8.∫sin xdx
cos x(1+cos2 x )=ln|√1+cos2 x
cos x|+C
9.∫ (2+ tan2 x )sec2 xdx
1+ tan2 x= ln|1+ tan x|+ 2
√3arctan( 2 tan x−1
√3 )+c
10. ∫ tan x dx=ln|sec x|+c
11. ∫cot x dx=− ln|csc x|+c
12. ∫sec x dx=ln|sec x+ tan x|+c
13. ∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 89