BAB 8 GELOMBANG MEKANIK
GELOMBANG PADA TALI/KAWAT
• Gelombang mekanik dapat menjalar sepanjang tali atau kawat bila direntangkan (diberi tegangan)
• Pada saat gelombang menjalar, setiap bagian tali melakukan gerakan vertikal– Gelombang perpindahan/simpangan– Termasuk gelombang transversal
Sebuah segmen tali yang mengalami perpindahan vertikal
)sin(sin 12 TF
xxx xtg
xtg
12
xxx xx
TF
T
T sin 2
(x)(x + x)
xT sin 1
1
T 2
)( 12 tgtgTF tgsin
TaylorDeret
xxxx xxx
2
2
xx
TF
2
2NewtonHukum
2
2
2
2
txx
xT L
]/[
][
]/[tan
mkgtaliliniermassaRapat
NtalipadaTeganganT
smtalipadagelombangKecepac
L
xx
fxfxxf
)()(
xxxx xxx
2
2
2
2
txamF L
2
22
2
2
2
2
xc
x
T
t L
L
Tc
Contoh Soal 8.1 Suatu gelombang transversal menjalar sepanjang suatu kawat yang mempunyai rapat massa sebesar 20 g/m. Kawat ini mendapat tegangan sebesar 40 N. Amplituda dari gelombang ini adalah 5 mm dan frekuensinya adalah 80 c/s. Nyatakan perpindahan dan kecepatan perpindahan v sebagai fungsi ruang dan waktu.Jawab :
mradk /24,1156,0
22
HzfmkgxNTmxA L 80/102040105 33
mf
c56,0
80
7,44sm
x
Tc
L
/7,441020
403
sradf /503)80(22
)(sin),( txkAtx
)50324,12(cos)503(105),( 3 txxt
txv
)50324,12(cos52,2),( txtxv
mtxxtx )50324,12(sin105),( 3
Contoh Soal 8.2Sebuah osilator mekanik yang dihubungkan dengan ujung sebuah kawat menyebabkan perpindahan transversal dari ujung kawat tersebut bergetar dengan = 0,01 sin (20 t) mTegangan pada kawat adalah 10 N dan kawat tersebut mempunyai rapat massa sebesar 20 g/m. Hitung kecepatan, panjang gelombang, dan frekuensinya.Jawab :
mkgxNTsradm Lo /102010/2001,0 3
mf
c03,7
18,3
361,22
smx
Tc
L
/361,221020
103
Hzf 18,32
20
2
Contoh Soal 8.3Sebuah kawat baja berdiameter 1 mm mendapat tegangan sebesar 10 N. Baja mempunyai rapat massa volume sebesar 7800 kg/m3. Hitung kecepatan dari gelombang transversal yang menjalar sepanjang kawat baja tersebut.Jawab :
smx
Tc
L
/4,4010126,6
103
33 /780010110 mkgmxDNT V
mkgxxSVL /10126,6)10785,0)(7800( 36
26232 10785,0)101(44
mxxDS
Contoh Soal 8.4Sebuah kawat baja berdiameter 0,8 mm digantungkan dari suatu atap rumah. Baja mempunyai rapat massa volume sebesar 7800 kg/m3. Bila sebuah massa sebesar 5 kg digantungkan pada ujung bebas dari kawat tersebut, berapa kecepatan dari gelombang transversal yang menjalar sepanjang kawat baja tersebut ?Jawab :
NmgT 49)8,9(5
mkgxxS
mxxDS
smgkgmmkgmxD
VL
V
/1092,3)10503,0)(7800(
10503,0)108,0(44
/8,95/7800108,0
36
26232
233
smx
Tc
L
/8,1111092,3
493
Contoh Soal 8.5Seorang pemanjat tebing (climber) bermassa 70 kg mengikatkan ujung tali yang diulurkan oleh seorang penolong (rescuer) pada badannya seperti terlihat pada gambar di samping ini. Tali tersebut terdiri dari dua bagian yang berbeda. Tali sebelah atas panjangnya 8 m dengan rapat massa sebesar 200 g/m sedangkan tali sebelah bawah panjangnya 4 m dengan rapat massa sebesar 50 g/m. Pada saat yang bersamaan kedua orang tadi memberikan hentakan pada ujung tali sebagai tanda siap. Tentukan jarak di bawah penolong dimana kedua gelombang ini saling berpapasan.
smT
c /566,582,0
)8,9)(70(
22
21
2 2/132,11705,0
)8,9)(70(csm
Tc
22 c
dt
m5dc
d10
c
dtt
c
d10
c
d8
c2
4
c
d
ct
2221
2222
2
1
11
Jawab :
Contoh Soal 8.6Sebuah kawat bermassa 60 g sepanjang 3 m yang disambung dengan tali bermassa 80 g sepanjang 1 m direntangkan horisontal dengan tegangan sebesar 12,5 N oleh dua orang A (pada sisi kawat) dan B (pada sisi tali). Pada saat yang hampir bersamaan A dan B memberikan hentakan pada ujung kawat dan tali sehingga terdapat dua buah gelombang yang merambat di dalam kawat dan tali tersebut. Bila A lebih dahulu 20 ms memberikan hentakan tersebut, kapan dan dimana kedua gelombang tersebut berpapasan ?
s/m5,1210x80
5,12Tcs/m25
10x20
5,12Tc
m/kg10x801
10x80m/kg10x20
3
10x60
32L
131L
1
333
2L33
3
1L
Jawab :
1 m3 m
3 - x x
ms110s110,0)75,0(040,0080,0tm75,0080,0
060,0x
060,0x080,0x040,0080,0x040,0140,0tt
x040,0080,025
x
5,12
1t
x040,0140,0)040,0)(x3(020,025
x3020,0t
21
2
1
Pemantulan dan Transmisi Gelombang Tali
- Impedansi Mekanik = Rapat Massa x Kecepatan Gelombang = L c
- Faktor Refleksi R dan Faktor Transmisi T
21
1
0
T
21
21
0
R
ZZ
Z2
A
AT
ZZ
ZZ
A
AR
R = Faktor refleksi
T = Faktor transmisi
Z1, Z2 = Impedansi mekanik tali 1 dan tali 2
Ao = Amplituda gelombang yang datang
AR = Amplituda gelombang yang dipantulkan ke tali 1
AT = Amplituda gelombang yang diteruskan ke tali 2
21
1
0
T
21
21
0
R
ZZ
Z2
A
AT
ZZ
ZZ
A
AR
Z1 < Z2Z1 > Z2
Contoh Soal 8.7Sebuah tali sepanjang 5 m dengan rapat massa sebesar 80 gram/m disambung dengan tali lain yang lebih kecil sepanjang 2 m dengan rapat massa sebesar 20 gram/m. Kedua tali ini direntangkan dengan tegangan sebesar 200 N. Ujung tali yang lebih besar digetarkan oleh suatu osilator mekanik. Bila osilator ini bergetar dengan frekuensi 5 Hz dan amplituda sebesar 10 cm, tentukan :
a). Daya rata-rata dari osilator mekanik.b). Amplituda gelombang yang dipantulkan dan yang diteruskan.
Jawab :
s/kg2)100)(10x20(cZs/m10010x20
200Tc
s/kg4)50)(10x80(cZs/m5010x80
200Tc
322L23
2L2
311L13
1L1
W74,19)10,0()10)(4(2
1c
2
1P).a 222
o2
11Lav
cm16)12(3
4
3
4
24
)4(2
ZZ
Z2T
cm4)12(3
1
3
1
24
24
ZZ
ZZR).b
T21
1
o
T
R21
21
o
R
Pantulan dan transmisi pada ujung terikat dan ujung bebas
• ujung terikat: gelombang pantul mengalami pembalikan fasa 1800
• Ujung bebas gelombang pantul tidak mengalami pembalikan fasa
yd=Asin(kx-t)yp=Asin(-kx- t+1800) ys=2Acostsinkx
yd=Asin(kx-t)
yp=Asin(-kx- t)
Ys=-2Acos(kx)sin(t)
Superposisi Gelombang - Tergantung pada amplituda dan beda fasa dari
kedua gelombang
)sin(1 tkxAy
)sin(2 tkxAy
)sin(2 tkxAyT
• Dua gelombang dengan amplitudo dan sudut fasa sama
• Dua gelombang: amplitudo sama, sudut fasa beda
)sin(1 tkxAy
)sin(2 tkxAy)]sin()[sin( tkxtkxAyT
• Dua gelombang: amplitudo berbeda, sudut fasa sama
)sin(11 tkxAy )sin()( 21 tkxAAyT
)sin(22 tkxAy
• Dua gelombang: amplitudo sama, frekuensi sama, bilangan gelombang berbeda
• Dua gelombang: amplitudo sama, frekuensi berbeda, bilangan gelombang sama
• Dua gelombang: amplitudo sama, frekuensi dan bilangan gelombang berbeda
)sin( 11 txkAy
)sin( 22 txkAy )]sin()[sin( 21 txktxkAyT
)cos( 11 tkxAy
)cos( 22 tkxAy )]cos()[cos( 21 tkxtkxAyT
)cos( 111 txkAy
)cos( 222 txkAy )]cos()[cos( 2211 txktxkAyT
Fasor
• Prinsip diagram fasor: menggambarkan fungsi gelombang sebagai suatu vektor
contoh:
Gelombang dinyatakan sebagai vektor dengan panjang A1 dan membentuk sudut 1=kx-t+1 terhadap sumbu horizontal.
)cos( 111 tkxAy 111 Ay
)cos( 222 tkxAy 222 Ay
• Nilai x dan t bisa sembarang, jadi boleh dipilih saat x=0 dan t=0.
• Diagram fasor:
1
A2
AT
A1
2
T
Perhitungan Fasor
)cos(21 TTT tkxAyyy
22yxT AAA
2211 coscos AAAx
2211 sinsin AAAy
x
yT A
Atan
Contoh Soal 8.8Dua buah gelombang masing-masing
y1(x,t)=40cos(10x-100t)y2(x,t)=30cos(10x-100t+600)
Tentukan superposisi dua gelombang tersebut
A1
A2 AR
R
Jawab :
yR(x,t)=ARcos(10x-100t+R)
8,603700
60cos2 2122
21
AAAAAR
oR
2211
2211R
3,2547,0
cosAcosA
sinAsinAtan
Gelombang Superposisi :
Gelombang superposisi akan berbentuk
yR=ARcos(x-100t+R)
Semua persamaan diubah ke dalam bentuk cosinus.
y1=40sin(x-100t)=40cos(x-100t-900)
y2=60cos(x-100t+600)
Contoh Soal 8.9Dua buah gelombang, masing-masing
y1=40sin(x-100t), y1=60cos(x-100t+60) Tentukan gelombang superposisinya
Jawab :
30
)90cos(4060cos60
xA
1240330
)90sin(4060sin60
yA
32
144900
22
yxR AAA
60
600
40
01 2230
12tan
R
-900
Gelombang superposisi: yR=32cos(x-100t+220)
32
10
20
40
Contoh Soal 8.10Tiga buah gelombang masing-masing
y1=40cos(kx-t+60), y2=20cos(kx-t+300) y3=10sin(kx-t+900)
Tentukan persamaan gelombang superposisi
Jawab :
4760cos4030cos200cos10 xA
4560sin4030sin200sin10 yA
01 46tan
x
yR A
A
Superposisi gelombang: yR=65cos(kx-t+460)
Perlayangan gelombang
2
21
)sin( 111 txkAy )sin( 222 txkAy
2222
221121
221121
2211
21212121 cossin2
cossin2
)]sin()[sin(
xtxA
txktxktxktxkA
txktxkAy
kkkk
T
kkk
2
21
Jika 2= , 1-2=, dengan 0, dan k2=k, k1-k2 = k dengan k0 maka :
22sin)cos(2 kT tkxAy
kv f
Kecepatan fasa:
dk
dvg
Kecepatan group:
Gelombang Berdiri - Superposisi gelombang datang dan gelombang pantul pada tali
menghasilkan gelombang berdiri
- Amplituda gelombang di perut maksimum, amplituda gelombang disimpul nol
- Contoh lain gelombang berdiri: getaran dawai gitar, getaran pada pipa organa
)tcos(kxsinA2
)tkxsin(A)tkxsin(Ay
)tkxsin(Ay
)tkxsin(Ay
2
1
Letak simpul :
2,1,0n,nkx0)kxsin(
Tali dengan dua ujung terikat
- Frekuensi resonansi :
3,2,1,0n,n2
cf
n
2
f
cn
2
2
n
Contoh Soal 8.11Sebuah gelombang berdiri dinyatakan dalam persamaan y1=10sin10xcos100t. Tentukan:a. Tempat terjadinya simpulb. Tempat terjadinya perut
Jawab :
a. Terjadi simpul jika sin10x=0, atau 10x=2nx=0,2n , dengan n=0,1,2,3,...
b. Terjadi perut jika sin10x=1 atau 10x=(2n+1)/2 x=(2n+1)/20 , dengan n=0,1,2,3,...
)sin(),( tkxAetxz x
= Faktor Redaman [m-1]
Gelombang Teredam
Resonansi
• Terjadi pada saat frekuensi eksternal yang datang ke sistem mempunyai nilai sama dengan frekuensi alamiah sistem
• Akan terjadi penguatan amplitudo• Contoh: Suatu pipa berisi air yang ketinggian airnya bisa diatur.
Garpu tala digetarkan diujung pipa. Bunyi nyaring akan terdengar pada saat frekuensi garpu tala tepat sama dengan frekuensi partikel-partikel udara yang ada pada kolom udara
Gelombang Seimik
Bila terjadi gempa yang berasal dari dalam bumi, maka terdapat dua jenis gelombang yang menjalar kepermukaan :
• Primary wave, yaitu gelombang yang pertama kali datang dan berupa gelombang longitudinal (kecepatan lebih tinggi)
• Secondary wave, yaitu gelombang yang datang belakangan dan berupa gelombang transversal (kecepatan lebih rendah)
Contoh Soal 7.12Bila terdapat suatu gempa, maka akan terjadi gelombang seismik di dalam bumi. Tidak seperti dalam gas, di dalam tanah yang merupakan suatu padatan dapat terjadi baik gelombang longitudinal (8 km/s) maupun gelombang transversal (4,5 km/s). Gelombang longitudinal sering disebut sebagai gelombang P (Primary) karena sampai ke seismograf terlebih dahulu sedangkan gelombang transversal sering disebut sebagai gelombang S (Secondary) karena datang belakangan. Bila gelombang P sampai ke seismograf 3 menit sebelum gelombang S datang, tentukan jarak antara seismograf dan lokasi gempa. Prinsip yang sama juga digunakan oleh seekor kalajengking untuk mendeteksi lokasi dimana mangsanya berada sehingga ia dengan mudah dapat menangkapnya.
VL = 8 km/s
VT = 4,5 km/s
km4,1851L180)10x2,97(L8000
1
4500
1L
s180)60(38000
L
4500
L
V
L
V
Ltt
V
Lt
V
Lt
6
LTLT
TT
LL
L
Gempa
Seismograf
Jawab:
Contoh Soal 7.13
Seekor kalajengking dengan 8 kakinya berada di atas pasir. Kecepatan gelombang longitudinal di pasir adalah 150 m/s sedangkan kecepatan gelombang transversalnya adalah 50 m/s. Seekor kumbang yang bergerak di atas pasir di sekitarnya, akan menghasilkan kedua jenis gelombang yang dideteksi oleh delapan kaki kalajengking sehingga arah dari posisi kumbang diketahui. Bila kedua gelombang yang dideteksi oleh kaki kalajengking berselang waktu sebesar 4 ms, berapa jarak kumbang dari kalajengking
cm30)ms4(75t75d150
d2
150
d
50
dt