Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
2. Vektor
2.1 Representasi grafis sebuah vektor
Berdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai dan tidak memiliki arah, seperti panjang, massa, waktu, temperatur, frekuensi, daya, dan usaha. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, seperti perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momen gaya, momentum, luas, impuls dan berat. Vektor adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor sangat bermanfaat untuk menjelaskan besaran fisika yang memiliki besar dan arah. Operasi besaran skalar berbeda dengan dengan operasi vektor. Kita akan mempelajari vektor menggunakan pendekatan grafis dan pendekatan analitis.
Secara grafis, sebuah vektor disimbolkan oleh sebuah anak panah, seperti Gambar 2.1. Panjang
anak panah menunjukkan besar vektor dan mata panah menunjukkan arah vektor. Titik A disebut titik
asal vektor atau titik tangkap vektor, dan titik B disebut titik arah vektor atau ujung vektor. Ada
perbedaan cara penulisan besaran skalar dan besaran vektor. Besaran vektor dituliskan dengan huruf
cetak tebal (bold ) yaitu, F atau menuliskan anak panah di atas huruf, yaitu F . Nilai vektor
diberikan oleh F atau | |F . Vektor Gambar 2.1 juga dapat dituliskan dalam bentuk AB .
Kalau sebuah anak panah mendekati pengamat, maka pengamat akan melihat ujung anak panah
sebagai tanda titik. Karena itu, simbol vektor mendekati pengamat atau vektor keluar bidang adalah
. Kalau sebuah anak panah mejauhi pengamat, maka pengamat akan melihat ujung anak panah
sebagai tanda silang. Karena itu, simbol vektor menjauhi pengamat atau vektor masuk bidang adalah
.
2.2 Representasi analitis sebuah vektor
Sebuah vektor dalam sistem koordinat kartesian dinyatakan dalam komponen-komponenya
disebut representasi analitis vektor. Skalar hanya memiliki satu komponen, sedangkan vektor
memiliki tiga komponen. Vektor digunakan untuk menentukan arah gerak partikel dalam garis (satu
dimensi), bidang (dua dimensi) dan ruang (tiga dimensi). Sebuah vektor direpresentasikan secara
analitis menggunakan notasi vektor satuan.
2.2.1 Komponen-komponen sebuah vektor dalam dua dimensi
Sebuah vektor A terletak pada bidang xy seperti pada Gambar. 2.2. Vektor A membentuk sudut
θ terhadap sumbu x positif. Vektor A dapat diuraikan menjadi komponen xA pada sumbu x dan
komponen yA pada sumbu y.
Gambar 2.1 : Simbol sebuah vektor
A
B
F
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Komponen-komponen vektor A diperoleh dengan menggunakan aturan trigonometri.
cos cosxx
AA A
A (2.1)
sin siny
y
AA A
A (2.2)
Besar vektor diperoleh menggunakan teorema Phytagoras.
2 2x yA A A
(2.3)
Arah vektor A terhadap sumbu x positif :
tany
x
A
A
(2.4)
Contoh 2.1 :
Tentukan komponen vektor kecepatan 1v dan 2v dalam arah sumbu x dan sumbu y ! Besar kecepatan
1v dan 2v berturut-turut adalah 20 m/s dan 10 m/s.
Pembahasan :
Komponen vektor kecepatan 1v :
0 11,x 1 2
v cos30 20 3 m s 10 3 m sv
0 11,y 1 2
v sin30 20 m s 10 m sv
Komponen vektor kecepatan 2v :
0 32,x 2 5
v sin37 10 m s 6 m sv
300
1v
2v
370
y
x
θ
y
x
A
xA
yA
y
A
xA
yA
θ x
Gambar 2.2: Komponen-komponen vektor A dalam dua dimensi
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
0 42,y 2 5
v cos37 10 m s 8m sv
2.2.2 Komponen-konponen sebuah vektor dalam tiga dimensi
Sebuah vektor A terletak dalam ruang kartesian seperti pada Gambar 2.3. Vektor A membentuk
sudut α terhadap sumbu x positif, sudut β terhadap y positif, dan sudut γ terhadap sumbu z positif .
Vektor A dapat diuraikan menjadi komponen xA pada sumbu x, komponen yA pada sumbu y , dan
komponen zA pada sumbu z .
Komponen-komponen vektor A :
cos cosxx
AA A
A (2.5)
cos cosy
y
AA A
A (2.6)
cos coszz
AA A
A (2.7)
Besar vektor A :
2 2 2x y zA A A A (2.8)
Arah vektor A terhadap sumbu x positif :
2 2
tany z
x
A A
A
(2.9)
Arah vektor A terhadap sumbu y positif :
2 2
tan x z
y
A A
A
(2.10)
Arah vektor A terhadap sumbu y positif :
z
A
zA
yA
x
y
xA
Gambar 2.3: Komponen-komponen vektor A dalam t iga
dimensi
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
2 2
tanx y
z
A A
A
(2.11)
Sudut α, β dan γ disebut sudut cosinus arah. Hubungan antara α, β dan γ :
2 2 2cos cos cos 1 (2.12)
2.2.3 Vektor satuan
Vektor satuan adalah vektor bernilai satu satuan. Simbol vektor satuan adalah sebuah topi ( ).
Vektor satuan A adalah A (dibaca A topi). Vektor satuan A adalah perbandingan vektor A dengan
besarnya.
AA=
A (2.13)
Vektor satuan tidak memiliki satuan. Vektor satuan A menunjukkan arah vektor A . Koordinat
kartesian memiliki tiga vektor satuan ˆˆ ˆdani j k, saling tegak lurus.
i atau x : vektor satuan searah sumbu x
j atau y : vektor satuan searah sumbu y
k atau z : vektor satuan searah sumbu z
Sebuah vektor dapat direpresentasikan menggunakan vektor-vektor satuan sistem koordinat . Vektor
A dalam dua dimensi :
ˆ ˆ ˆ ˆatau cos x sin yx yA A i A j A A A
(2.14)
dengan besar vektor A :
2 2x yA A A
(2.15)
Vektor A dalam tiga dimensi :
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos cos cosx y zA A i A j A k A i A i A k
(2.16)
θ
y
x
A
yA
xA
i
j
Gambar 2.4: Vektor satuan dalam koord inat kartesian
A
z
zA
yA
x
y
ˆxA i
i j
k
ˆyA j
ˆzA k
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
dan besar vektor A :
2 2 2x y zA A A A
(2.17)
Vektor posisi adalah vektor berasal dari titik asal 0,0,0 . Vektor posisi ˆˆ ˆx y zA A i A j A k
dapat
dituliskan dalam bentuk titik , ,x y zA A A A . Vektor nol disimbolkan dengan 0 atau 0 . Semua
komponen vektor nol sama dengan nol. Jadi, panjang vektor nol sama dengan nol.
Contoh 2.2 :
Sebuah objek dilempar dengan kecepatan 10 m/s membentuk sudut 600 terhadap sumbu x positif.
Tuliskanlah kecepatan awal benda dalam vektor satuan i dan j .
Pembahasan :
Komponen vektor kecepatan objek searah sumbu x dan searah sumbu y : 0
0, 0 cos 10cos60 5m sxv v
00, 0 sin 10sin 60 5 3 m syv v
Vektor kecepatan awal objek dalam vektor satuan i dan j :
0 0, 0,ˆ ˆ ˆ ˆ5 5 3 m sx yv v i v j i j
Contoh 2.3 :
Sebuah partikel memiliki vektor posisi ˆˆ ˆ( 2 2 ) mr i j k . Tentukanlah vektor satuan dari vektor r .
Pembahasan :
Besar vektor r :
2 2 2 2 2 21 2 2 3mx y zr r r r
Vektor satuan dari vektor r :
1 2 2 ˆˆ ˆˆ3 3 3
rr i j k
r
2.3 Penjumlahan vektor
Operasi dasar vektor meliputi penjumlahan, pengurangan, kesamaan dan perkalian vektor. Kita
terlebih dahulu membahas penjumlahan dua buah vektor. Operasi vektor sangat banyak digunakan
dalam persamaan fisika. Kita akan menyelesaikan opersi vektor dengan cara geometri dan metode
analitik (aljabar).
2.3.1 Penjumlahan vektor cara grafis
x
y
v0
600
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Penjumlahan vektor cara grafis berarti tidak menggunakan sistem koordinat. Dua buah vektor A
dan B , ditunjukkan oleh Gambar 2.7.
Jumlah vektor A dan B disebut resultan vektor, simbolnya R :
R= A+B (2.18)
Jumlah besar vektor A dan B tidak sama dengan besar vektor R .
|R| |A|+|B| (2.19)
Cara grafis dibagi menjadi dua aturan, yaitu metode segitiga dan aturan jajargenjang.
a. Metode segitiga (metode poligon)
Lihat kembali Gambar 2.5. Untuk menghitung resultan vektor A dan B , pertama hubungkan
titik tangkap vektor B ke titik arah vektor A . Resultan vektor diperoleh dengan menggambarkan
sebuah vektor menghubungkan titik tangkap vektor A ke titik arah vektor B , seperti ditunjukkan
pada Gambar 2.6.
Misalkan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Nilai resultan vektor diperoleh
menggunakan hukum kosinus.
Besar resultan vektor :
2 2 0|A+B| 2 cos(180 - )R A B AB
2 2|A+B| 2 cosR A B AB (2.20)
Catatan :
Gambar 2.7 : Resultan vektor metode segitiga
180
θ
A
B
R
A
B
θ
Gambar 2.6 : Metode segitiga
A B
A
B
R
Gambar 2.5 : Vektor A dan B
A B
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Jika A sejajar B (θ = 0), maka R = A + B
Jika A tegak lurus B (θ = 900), maka 2 2R A B
Jika A berlawanan dengan B (θ = 1800), maka R A B
Rentang nilai resultan vektor A dan B adalah A B R A B
Untuk menghitung resultan lebih dari dua vektor dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan
dua vektor terlebih dahulu. Kemudian resultan dua vektor dijumlahkan dengan vektor lainnya,
demikian seterusnya sehingga diperoleh resultan vektor total. Gambar vektor resultan dari tiga atau
lebih vektor dapat langsung diperoleh dengan mengikuti aturan penjumlahan metode segitiga sering
disebut metode poligon. Misalkan terdapat tiga buah vektor seperti pada Gambar 2.8a, maka vektor
resultannya ditunjukkan oleh Gambar 2.8b.
Penjumlahan vektor memiliki beberapa sifat penting. Sifat-sifat penjumlahan vektor :
Pertama, penjumlahan vektor memiliki sifat komutatif.
A B B A (2.21) Kedua, penjumlahan vektor memiliki sifat asosiatif.
A B C A B C
(2.22)
Ketiga, pengurangan vektor adalah bentuk khusus dari perjumlahan vektor.
- -C A B A B
(2.23)
Besar pengurangan vektor A dan B :
2 2|A-B| 2 cosA B AB
(2.24)
Contoh 2.4 :
Dua buah gaya 1F dan 2F memiliki besar berturut-turut adalah 80 N dan 60 N bekerja pada sebuah
balok. Tentukan nilai resultan gaya yang dialami oleh balok jika sudut antara kedua vektor adalah θ
sama dengan 00, 60
0 ,90
0 dan 180
0.
Gambar 2.9 : Pengurangan vektor
AB A
-B
A B θ
θ
(a)
A
B C
Gbr.2.8 : (a) Vektor A,BdanC . (b) Resultan tiga buah vektor
(b)
A
B
C
R
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Pembahasan :
Diketahui bahwa F1 = 80 N dan F2 = 60 N. Rumus resultan vektor :
2 21 2 1 2 1 2| |= 2 cosRF F F F F F F
Jika θ = 00, maka
1 2 1 2| |= 140 NRF F F F F
Jika θ = 600, maka
2 2 01 2 1 2 1 2| |= 2 cos60 121,7 NRF F F F F F F
Jika θ = 90
0, maka
2 21 2 1 2| |= 100 NRF F F F F
Jika θ = 1800, maka
1 2 1 2| |= 20 NRF F F F F
b. Metode jajargenjang
Lihat kembali Gambar 2.5. Untuk mendapatkan resultan vektor A dan B dengan metode
jajargenjang, pertama hubungkan titik tangkap vektor A dan titik tangkap vektor B . Resultan vektor
ditunjukkan pada Gambar 2.10.
Misalkan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Nilai resultan vektor diperoleh
menggunakan hukum kosinus.
Besar resultan vektor :
2 2 0|A+B| 2 cos(180 -θ)R A B AB
2 2 2 cosR A B AB (2.25)
Gambar 2.11: Resultan vektor metode jajargenjang
A
B
θ O
B
R
θ
A
Q
P
180
Gambar 2.10: Metode jajargenjang
A B
A
B
R
1F
2F
θ
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Sudut adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan vektor R . Sudut adalah sudut yang
dibentuk oleh vektor B dan vektor R . Nilai sudut dan ditemukan menggunakan hukum sinus.
sin 180 sin sin
R A B
(2.26)
Contoh 2.5 :
Sebuah beban beratnya w = 200 N digantungkan menggunakan tali seperti ditunjukkan pada gambar.
Beban dalam keadaan setimbang seperti pada gambar. Tentukanlah tegangan tali T1 dan T2
menggunakan aturan sinus.
Pembahasan :
Kita dapat menggambarkan hubungan vektor 1T , 2T dan w memenuhi hubungan
Besar tegangan tali T1 dan T2 diperoleh dengan menggunakan hukum sinus.
01
10 0 0
sin60200 3
sin30 sin60 sin30
w TT w N
0
210 0 0
sin90400
sin30 sin90 sin30
w TT w N
2.3.2 Penjumlahan vektor cara analitis
Penjumlahan dua vektor cara analitis adalah penjumlahan komponen-komponen kedua vektor
pada sumbu yang sama. Penjumlahan dua vektor diberikan oleh
ˆˆ ˆx x x x x xA B A B i A B j A B k
(2.27)
Pengurangan vektor A dan B diartikan sebagai penjumlahan vektor A dan -B .
ˆˆ ˆ( ) x x x x x xA B A B A B i A B j A B k (2.28)
Dua buah vektor 1F dan 2F diberikan dalam grafis. Cara menjumlahkan vektor dengan metode
analitis, yaitu :
Uraikan komponen vektor dalam komponen-komponen skalarnya.
Jumlahkan semua komponen vektor pada sumbu yang sama.
1 2x x x xR F F F
(2.29)
1 2y y y yR F F F
(2.30)
w
1T
2T
300
600
900
2T
1T
300
w = 300 N
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Besar vektor resultan R :
2 2x yR R R
(2.31)
Sudut yang dibentuk oleh resultan vektor R terhadap sumbu x positif :
tany
x
R
R
(2.32)
Cara analitis lebih mudah menyelesaikan perhitungan resultan vektor dibandingkan cara grafis untuk
kasus lebih dari dua vektor
Contoh 2.6 :
Tentukan besar resultan dari tiga buah vektor gaya pada gambar di bawah ini!
Pembahasan :
Misalkan F1 = 10 N, F2 = 10 3 N, dan F3 = 10 N. Uraikan masing-masing vektor gaya pada sumbu
x dan sumbu y, kita peroleh
0 01 2 3 1 2cos30 cos60 5 3 5 3 0x x x xF F F F F F
0 01 2 3 1 2sin30 sin60 5 5 15 5 15y y y yF F F F F F
Besar resultan vektor gaya :
2 2 2 215 0 15x yR F F N
Contoh 2.7 :
Diketahui dua buah vektor
1ˆˆ ˆ3 2 mr i j k
2ˆˆ3 4 mr i k
Tentukan :
a. besar vektor 1r dan 2r
b. 1 2r r
c. 1 2r r
d. 1 22 3r r
Pembahasan :
a. Besar vektor 1r adalah
2 2 21 3 1 2 14 mr
x
y
300
600
5 N
10 N
10 3 N
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Besar vektor 2r adalah
2 21 3 4 5 mr
b. 1 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 3 4 3 3 2 4 6 6r r i j k i k i j k i j k
c. 1 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 3 4 3 3 2 4 2r r i j k i k i j k j k
d. 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 2 3 2 3 3 4 6 2 4 9 12 15 2 16r r i j k i k i j k i k i j k
2.4 Kesamaan vektor
Dua vektor dikatakan sama hanya jika nilai dan arah dua vektor tersebut sama. Secara grafis, dua
vektor sama hanya jika kedua vektor sejajar dengan arah dan panjangnya sama, tetapi tidak
membutuhkan posisi yang sama, lihat Gambar 2.12a. Secara analitis , dua vektor sama ketika nilai
komponen-komponen kedua vektor sama. Kesamaan vektor A dan B dituliskan dalam bentuk
A B
(2.33)
atau
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y zx y z x y zA i A j A k B B B (2.34)
atau
x x y y z zA B A B A B (2.35)
Satuan vektor A dan B juga harus sama. Sebuah vektor tetap sama jika dipindahkan ke posisi yang
lain asalkan tidak mengubah nilai dan arah vektor tersebut. Vektor A dikatakan berlawanan dengan
vektor A , seperti pada Gambar 2.12b. Dua vektor dikatakan berlawanan jika kedua vektor memiliki
nilai yang sama tetapi arahnya berlawanan .
2.5 Perkalian vektor
2.5.1 Perkalian vektor dengan skalar
Jika k adalah skalar (konstanta) dan A adalah sebuah vektor, maka
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆx y z x y zk A k A i A j A k kA i kA j kA k
(2.36)
Gambar 2.12 : (a) Kesamaan vektor A dan B (b) Vektor A berlawanan dengan A
A
A= 5cm B
B= 5cm
(a)
A
A
(b)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Perkalian vektor A dan skalar k akan menghasilkan vektor yang baru, yaitu Ak . Konstanta k akan
mempengaruhi besar dan arah vektor A . Jika k konstanta positif, maka vektor yang baru searah
dengan vektor A . Jika k konstanta negatif, maka arah vektor yang baru berlawanan dengan arah
vektor A . Misalkan kita ambil nilai konstanta k = -1, 2, 1/2, -2, dan -1/2, hasil perkalian ditunjukkan
oleh Gambar 2.6. Jika k = -1, maka arah vektor A berlawanan dengan vektor A . Contoh perkalian
vektor dan skalar adalah bentuk hukum kedua Newton, F ma .
2.5.2 Perkalian vektor dengan vektor
Perkalian vektor dengan vektor merupakan operasi vektor yang sangat banyak digunakan dalam
mekanika. Ada dua macam perkalian dua vektor, yaitu perkalian titik (perkalian skalar atau dot
product) dan perkalian vektor (perkalian silang atau cross product).
a. Perkalian titik
Perkalian titik dua buah vektor adalah perkalian antara dua besar vektor dikalikan dengan
kosinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor.
cosA B AB
(2.37)
dimana sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Cara membaca A B adalah A dot B . Hasil
perkalian titik adalah skalar, yang dapat bernilai positif 00 90 atau negatif 0 090 180 .
Jika θ = 0 (vektor A searah dengan vektor B ), maka A B AB .
Jika θ = 90 (vektor A tegak lurus dengan vektor B ), maka 0A B .
Jika θ = 180 (vektor A berlawanan arah dengan vektor B ),, maka A B AB .
Secara grafis, perkalian titik adalah proyeksi vektor A ke vektor B atau proyeksi vektor B ke vektor
A .
cos cos cosA B A B A B AB
(2.38)
A -A
2A -2A
12
A 12
A
Gambar 2.13: Perkalian vektor A dengan skalar k =-1, 2, 1/2, -2, dan -1/2
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Hasil perkalian titik dua vektor yang saling tegak lurus sama dengan nol. Jika vektor A tegak
lurus B , maka vektor A dikatakan ortogonal terhadap vektor B . Vektor satuan ˆˆ ˆdani j k, saling
ortogonal. Perkalian dot antara vektor satuan koordinat kartesian mengikuti aturan :
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ= 1 1 cos0 1i i j j k k =
(2.39)
0ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 cos90 0i j j k i k = =
(2.40)
Jika vektor A dan B diberikan oleh,
ˆˆ ˆx y zA A i A j A k
ˆˆ ˆx y zB B i B j B k
maka perkalian titik vektor A dan B adalah
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
x y z x y z
x x x y x z y x y y y z
z x z y z z
A B A i A j A k B i B j B k
A B i i A B i j A B i k A B j i A B j j A B j k
A B k i A B k j A B k k
Jadi,
x x y y z zA B A B A B A B
(2.41)
Kita juga dapat menuliskan bahwa
2 2 2 2x y zA A A A A A
(2.42)
atau
A A A
(2.43)
Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor :
1 12 22 2 2 2 2 2
cosx x y y z z
x y z x y z
A B A B A BA B
AB A A A B B B
(2.44)
Catatan :
1. A B B A Hukum komutatif
2. A B C A B A C Hukum distributif
3. k A B kA B A kB A B k dimana k adalah skalar
4. ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= 1, 0i i j j k k i j j k i k = =
5. x x y y z zA B A B A B A B
θ
A
B
(a)
A B cosθ
B
θ θ
A
B
A cosθ
(b)
Gambar 2.14 : (a) Dua vektor A dan B membentuk sudut θ
(b ) Proyeksi vektor A dan B
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
6. 0A B dimana A dan B adalah bukan vektor nol, maka A dan B tegak lurus
7. 2A A A
Aplikasi perkalian skalar dalam fisika :
1. Usaha
Aplikasi perkalian dot adalah konsep usaha. Usaha yang dilakukan oleh gaya konstan F bekerja
pada benda yang mengalami perpindahan d diberikan oleh
cosW F d Fd
(2.45)
dimana θ adalah sudut yang dibentuk vektor gaya dan perpindahan benda. Usaha adalah
perkalian besar gaya dan perpindahan dikali kosinus sudut yang dibentuk oleh gaya dan
perpindahan.
2. Energi kinetik
Energi kinetik sebanding dengan kuadrat kelajuan benda.
21 1
2 2kE mv v mv
(2.46)
Contoh 2.8 :
Jika ˆˆ ˆ2 2A i j k dan ˆˆ ˆ6 3 2B i j k , hitunglah A B dan sudut antara vektor A dan B .
Pembahasan :
Menghitung nilai A B :
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 6 3 2 (2)(6) (2)( 3) ( 1)(2) 12 6 2 4A B i j k i j k
2 2 22 1 2 3A 2 2 26 3 2 7B
Menghitung sudut antara vektor A dan B :
cosA B AB
4 4cos
(3)(7) 21
A B
AB
1 04cos 79
21
Contoh 2.9 :
Gbr. 2.15 : Kerja adalah perkalian t itik antara gaya dan perpindahan
θ
F
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Tentukanlah nilai a agar vektor A ai j k tegak lurus dengan vektor 2 3B i j k .
Pembahasan :
A dan B tegak lurus hanya jika 0A B . Jadi,
( )(1) (1)(2) ( 1)( 3) 2 3 0A B a a
a = - 5
Contoh 2.10 :
Hitunglah usaha yang dilakukan gaya 2 2 NF i j k
pada benda yang memiliki vektor
perpindahan 5 4 mr i j k .
Pembahasan :
Usaha = 2 2 5 4 10 1 8 19 joule.F r i j k i j k
b. Perkalian Silang
Besar hasil perkalian silang dua vektor adalah perkalian antara dua besar vektor dan kemudian
dikalikan dengan sinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor. Perkalian silang dua vektor
menghasilkan vektor.
C A B dan sinC AB (2.47)
dimana θ adalah sudut antara vektor A dan B . A B dibaca crossA B .
Jika θ = 0 (vektor A searah dengan vektor B ), maka 0A B .
Jika θ = 90 (vektor A tegak lurus dengan vektor B ), maka A B AB .
Jika θ = 180 (vektor A berlawanan arah dengan vektor B ),maka 0A B .
Jika besar sudut yang dibentuk oleh dua vektor adalah 0 00 dan180 (dua vektor sejajar dan
berlawanan arah), maka hasil perkalian vektor sama dengan nol. Nilai perkalian silang C A B
maksimum ketika vektor A dan B tegak lurus.
Perkalian silang antara A dan B menghasilkan vektor C. Vektor C tegak lurus dengan bidang
yang dibentuk oleh vektor A dan B , artinya vektor C juga tegak lurus dengan vektor A dan B .
Arah vektor hasil perkalian silang ditentukan menggunakan aturan tangan kanan. Keempat jari tangan
kanan diputar dari vektor A ke vektor B . Jempol akan menunjukkan arah vektor C .
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Lihat Gambar 2.16, perkalian silang memiliki sifat antikomutatif.
A B B A (2.48)
Aturan perkalian silang dalam vektor satuan koordinat kartesian:
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0i i j j k k = = (2.49)
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,i j k j k i k i j = (2.50)
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,j i k k j i i k j = (2.51)
Jika ada dua buah vektor A dan B ,
ˆˆ ˆx y zA A i A j A k
ˆˆ ˆx y zB B i B j B k
maka perkalian silang A dan B adalah
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
x y z x y z
x x x y x z y x y y y z
z x z y z z
A B A i A j A k B i B j B k
A B i i A B i j A B i k A B j i A B j j A B j k
A B k i A B k j A B k k
Kita menyederhanakan persamaan di atas menjadi :
ˆˆ ˆy z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k
(2.52)
Hasil perkalian silang juga dapat ditentukan menggunakan metode determinan.
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆy z x yx zx y z
y z x yx zx y z
i j kA A A AA A
A B A A A i j kB B B BB B
B B B
(2.53)
Untuk menentukan sumbu x positif, sumbu y positif , dan sumbu z positif dalam koordinat
kartesian digunakan aturan perkalian silang ˆˆ ˆi j k . Vektor satuani searah sumbu x positif, vektor
satuan j searah sumbu y positif dan vektor satuan k searah sumbu z positif.
Catatan :
1. A B B A Tidak memenuhi hukum komutatif
Gambar 2.16 : Aturan tangan kanan pada perkalian silang
θ
A
B
C=A B
A
B
C=B A
θ
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
2. A B C A B A C Hukum distributif
3. k A B kA B A kB A B k dimana k adalah skalar
4. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= 0, , ,i i j j k k i j k j k i i k j = =
5. ˆˆ ˆy z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k
6. Nilai A B sama dengan luas jajar genjang dengan sisi A dan B
7. 0A B dan A dan B adalah bukan vektor nol, maka A dan B sejajar.
8. 0A A
9. 0 dan 0A A B B A B
Aplikasi perkalian vektor dalam fisika:
1. Luas
Besar perkalian silang sinA B AB menunjukkan luas jajargenjang yang dibentuk oleh
vektor danA B , lihat Gambar 2.17. Jadi, luas adalah besaran vektor.
2. Momen gaya
Perkalian komponen gaya (F) tegak lurus dengan lengan gaya dikali dengan panjang lengan gaya
(r) dinamakan momen gaya. Jika gaya dan lengan gaya sejajar maka momen gaya sama dengan
nol. Jika gaya dan lengan gaya tegak lurus, maka momen gaya sama dengan Fd. Jika gaya dan
lengan gaya membentuk sudut θ, maka maka sama dengan
sinrF
(2.54)
Jadi momen merupakan perkalian silang antara lengan gaya dan gaya.
r F
(2.55)
3. Kecepatan tangensial
θ θ
r
F
Gbr.2.18 : Vektor torsi, .
x A
y
B
cosB
sinB
Gambar 2.17 : Jajar genjang representasi dari perkalian silang
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Sebuah benda bermassa m bergerak melingkar dengan kecepatan sudut terhadap kerangka
acuan titik O yang diam. Titik P berjarak r dari titik O. Kecepatan tangensial v benda m di titik
P adalah
v r
(2.56)
Besar kecepatan tangensial :
sinv r r
(2.57)
4. Momentum sudut
Sebuah benda bergerak melingkar seperti pada Gambar 2.19. Momentum sudut benda m
didefenisikan sebagai perkalian silang antara vektor posisi dan momentum linear.
L r p r mv
(2.58)
Contoh 2.11 :
Jika ˆˆ ˆ2 3A i j k dan ˆˆ ˆ4 2B i j k , hitung A B dan luas jajargenjang yang dibentuk oleh
vektor A dan B .
Pembahasan :
Metode 1 :
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 3 4 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 2 3 4 2 4 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 8 4 3 12 6 4 2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 8 4 3 0 6 4 0 10 3 11
A B i j k i j k
i i j k j i j k k i j k
i i i j i k j i j j j k k i k j k k
k j k i j i i j k
Metode 2 :
ˆˆ ˆ3 1 2 1 2 3 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1 10 3 11
4 2 1 2 1 41 4 2
i j k
A B i j k i j k
Luas yang dibentuk oleh vektor A dan B sama dengan besar vektor A B .
Luas = 2 2 210 3 11 230satuanA B
Gambar 2.19 : Benda m bergerak melingkar
r
O
P
v
θ
sinr
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Contoh 2.12 :
Sebuah gaya ˆˆ ˆ3 2 4 NF i j k
bekerja pada pada benda titik dengan vektor posisi
ˆˆ ˆ2 3 mr i j k . Tentukan momen gaya yang bekerja pada benda terhadap titik asal.
Pembahasan :
Momen gaya yang bekerja pada benda :
ˆˆ ˆ2 4 3 4 3 2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 21 3 2 3 2 1
2 1 3
i j k
r F i j k i j k
2.6 Perkalian tiga buah vektor
Perkalian tiga buah vektor dinamakan perkalian triple. Perkalian triple dibagi menjadi dua
macam, yaitu perkalian triple skalar (triple scalar product) dan perkalian triple vektor (triple vector
product).
2.6.1 Perkalian triple skalar
Perkalian triple skalar memiliki bentuk kombinasi
A B C (2.59)
Perkalian triple skalar akan menghasilkan skalar. Hasil perkalian triple skalar adalah
A B C
B C A C A B
x y z z y y z x x z z x y y xA B C B C A B C B C A B C B C
(2.60)
Perkalian triple skalar dapat dituliskan dalam bentuk
A B C
x y z
x y z
x y z
A A A
B B B
C C C
(2.61)
Hasil perkalian triple skalar A B C menunjukkan volume ruang yang dibentuk oleh vektor
A,Bdan C , seperti terlihat dalam Gambar 2.20.
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Contoh 2.13 :
Hitung volume yang dibentuk oleh vektor 1 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 m , m, dan 3 r i j r i j k r i k !
Pembahasan :
2 3
ˆˆ ˆ1 1 1 1 1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1 2 30 1 3 1 3 0
3 0 1
i j k
r r i j k i j k
Volume = 31 2 3
ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1 2 3 2 6 0 4mr r r i j i j k
2.6.2 Perkalian triple vektor
Perkalian triple vektor memiliki bentuk
A B C (2.62)
Hasil perkalian triple vektor memenuhi aturan
A B C B A C -C A B (2.63)
Pers.(2.63), sebuah hubungan yang dikenal sebagai aturan BAC - CAB . Perkalian triple vektor
menghasilkan vektor.
Contoh aplikasi perkalian triple vektor adalah momentum sudut. Sebuah partikel bermassa m
bergerak dengan kecepatan sudut relatif terhadap kerangka acuan yang diam O. Momentum sudut
partikel m terhadap titik O , seperti ditunjukkan Gambar 2.19 :
L r p r mv mr v (2.64)
Hubungan antara kecepatan tangensial v dan kecepatan sudut adalah .v r Jadi,
L r p r mv mr r (2.65)
Kita dapat membuat analogi bahwa , danA r B C r , dengan menggunakan aturan BAC-CAB,
kita peroleh
L m r r r r (2.66)
Jika kecepatan sudut tegak lurus dengan vektor posisi r , maka 0r . Kita peroleh,
A
x
y
z
B
C
Gambar 2.20 : Perkalian triple skalar
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
2L mr (2.67)
Besar momentum sudut untuk kasus vektor posisi tegak lurus dengan kecepatan sudut :
2L mr mvr (2.68)
Contoh 2.14 :
Diberikan tiga vektor ˆ ˆ2 , 3A i B j dan ˆˆC j k , hitunglah A B C .
Pembahasan :
ˆˆ ˆ ˆA B C B A C - C A B 3 2 0 6j j k j
2.7 Turunan vektor
Sebuah partikel bergerak dari posisi awal r t ke posisi akhir r t t dalam selang waktu t
(lihat Gambar 2.21).
Perpindahan partikel selang waktu t :
r r t t r t (2.70)
Perubahan perpindahan partikel terhadap waktu t :
r t t r tr
t t
(2.71)
Turunan vektor r t terhadap waktu:
0 0
lim limt t
r t t r tdr r
dt t t
(2.69)
Vektor r t dalam koordinat kartesian diberikan oleh
ˆˆ ˆr t x t i y t j z t k (2.72)
Turunan pertama vektor r t terhadap waktu :
ˆˆ ˆdr dx dy dzi j k
dt dt dt dt (2.73)
Turunan kedua vektor r t terhadap waktu adalah
x
y
z
r
r t t r
Gambar 2.21 : Perubahan vektor posisi partikel
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
2 2 2 2
2 2 2 2ˆˆ ˆd r d x d y d z
i j kdt dt dt dt
(2.74)
drv
dt menunjukkan kecepatan partikel dan
2
2
dv d ra
dt dt menunjukkan percepatan partikel.
Catatan :
Jika A, Bdan C adalah turunan vektor bergantung waktu t dan fungsi skalar bergantung waktu t,
maka
1. A B
A+Bd d d
dt dt dt
2. B A
A B A Bd d d
dt dt dt
3. B A
A B A Bd d d
dt dt dt
4. A
A Ad d d
dt dt dt
5. Jika ˆˆ ˆx y zA A i A j A k , maka ˆˆ ˆ
x y zdA dA i dA j dA k
6. A B A B A Bd d d
7. A B A B A Bd d d
Contoh 2.15 :
Sebuah partikel bergerak memiliki vektor posisi ˆ ˆcos sinr r t i r t j , dimana r dan ω adalah
konstan. Tunjukkan bahwa (a) kecepatan v tegak lurus terhadap r , (b) percepatan a arahnya ke titik
pusat lingkaran dan memiliki nilai sebanding dengan jarak partikel dari pusat lingkaran, (c)
vektor konstanr v .
Pembahasan :
a. ˆ ˆcos sinr r t i r t j
ˆ ˆsin cosdr
v r t i r t jdt
ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cos
cos sin sin cos 0
r v r t i r t j r t i r t j
r t r t r t r t
Karena 0r v , maka r dan v tegak lurus.
v
ωt x
y
r
a
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
b. 2
2 2 2 2
2ˆ ˆ ˆ ˆcos sin cos sin
d r dva r t i r t j r t i r t j r
dtdt
Percepatan berlawanan dengan arah r , artinya percepatan arahnya menuju pusat lingkaran (titik
asal koordinat). Nilainya sebanding dengan jaraknya dari pusat lingkaran.
c. ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosr v r t i r t j r t i r t j
2 2 2 2ˆ ˆ ˆcos sin , sebuah vektor konstanr t k r t k r k
Fisisnya, gerak ini adalah gerak melingkar sebuah partikel dengan kecepatan sudut konstan ω.
Percepatan partikel arahnya menuju pusat lingkaran dikenal percepatan sentripetal.
2.8 Soal dan pembahas
1. Dua vektor memiliki besar yang sama dengan F membentuk sudut θ. Jika besar resultan kedua
vektor sama dengan F. Hitung nilai θ !
2. Sebuah pesawat bergerak dengan kecepatan 5 m/s ke arah Utara. Pada saat yang bersamaan, angin
bertiup pada sudut 370 dari Utara dengan kecepatan 2 m/s. Tentukan resultan kecepatan dan arah
gerak pesawat dari arah Utara!
3. Sebuan balok bermassa 20 kg didorong oleh gaya F = 100 N membentuk sudut 300 terhadap
sumbu vertikal, seperti ditunjukkan pada gambar. Hitung komponen gaya pada sumbu x dan
sumbu y!
4. Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah partikel P :
1ˆˆ ˆ3 3 NF i j k
2ˆˆ ˆ2 2 7 NF i j k
3ˆˆ 8 NF i k
Tentukan vektor dan besar resultan gaya yang bekerja pada partikel P!
5. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 90 m dan kecepatan arus sungai 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s. Tentukan resultan kecepatan perahu dan sudut yang dibentuk oleh lintasan perahu terhadap arah tegak lurus sungai!
6. Hitung nilai a agar vektor A ai j k tegak lurus dengan vektor B ai k !
7. Hukum Cosinus. Buktikan hukum cosinus menggunakan perkalian dot!
8. Hukum Sinus. Buktikan hukum sinus menggunakan perkalian silang!
9. Buktikan bahwa
20 kg
300
F = 100 N
x
y
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
22
2 2A B A B A B
10. Buktikan bahwa cos cos cos sin sin mengunakan perkalian dot!
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com