BAB 2
DASAR TEORI ALIRAN DAYA
2.1 Umum (1,2,3,4)
Sistem tenaga listrik (Electric Power System) terdiri dari tiga komponen
utama, yaitu : sistem pembangkitan tenaga listrik, sistem transmisi tenaga listrik,
dan sistem distribusi tenaga listrik .
Komponen dasar yang membentuk suatu sistem tenaga listrik adalah
generator, transformator, saluran transmisi dan beban. Untuk keperluan analisis
sistem tenaga, diperlukan suatu diagram yang dapat mewakili setiap komponen
sistem tenaga listrik tersebut. Diagram yang sering digunakan adalah diagram satu
garis dan diagram impedansi atau diagram reaktansi. Gambar 2.1 merupakan
diagram satu garis sistem tenaga listrik yang sederhana.
Gambar 2.1 Diagram Satu Garis Sistem Tenaga Listrik
2.2 Studi Aliran Daya (1,2,3,4)
Studi aliran daya di dalam sistem tenaga merupakan studi yang penting.
Studi aliran daya mengungkapkan kinerja dan aliran daya (nyata dan reaktif)
untuk keadaan tertentu tatkala sistem bekerja saat tunak (steady state). Studi aliran
daya juga memberikan informasi mengenai beban saluran transmisi di sistem,
tegangan di setiap lokasi untuk evaluasi regulasi kinerja sistem tenaga dan
bertujuan untuk menentukan besarnya daya nyata (real power), daya reaktif
Universitas Sumatera Utara
(reactive power) di berbagai titik pada sistem daya yang dalam keadaan
berlangsung atau diharapkan untuk operasi normal.
Studi aliran daya merupakan studi yang penting dalam perencanaan dan
desain perluasan sistem tenaga listrik dan menentukan operasi terbaik pada
jaringan yang sudah ada. Studi aliran daya sangat diperlukan dalam perencanaan
serta pengembangan sistem di masa-masa yang akan datang. Karena seiring
dengan bertambahnya konsumen akan kebutuhan tenaga listrik, maka akan selalu
terjadi perubahan beban, perubahan unit-unit pembangkit, dan perubahan saluran
transmisi.
2.3 Persamaan Aliran Daya (1)
Persamaan aliran daya secara sederhana dapat dilihat pada Gambar 2.2
dibawah, untuk sistem yang memiliki 2 rel. Pada setiap rel memiliki sebuah
generator dan beban, walaupun pada kenyatannya tidak semua rel memiliki
generator. Penghantar menghubungkan antara rel 1 dengan rel 2. Pada setiap rel
memiliki 6 besaran elektris yang terdiri dari : PD, PG, QD, QG, V, dan δ.
11 V
111 GGG jQPS
111 DDD jQPS
22 V
222 GGG jQPS
222 DDD jQPS
Gambar 2.2 Diagram Satu Garis sistem 2 rel
Pada Gambar 2.2 dapat dihasilkan persamaan aliran daya dengan
menggunakan diagram impedansi. Pada Gambar 2.3 merupakan diagram
impedansi dimana generator sinkron direpresentasikan sebagai sumber yang
Universitas Sumatera Utara
memiliki reaktansi dan transmisi model π (phi). Beban diasumsikan memiliki
impedansi konstan dan daya konstan pada diagram impedansi.
Gambar 2.3 Diagram impedansi sistem 2 rel
Besar daya pada rel 1 dan rel 2 adalah
1111111 DGDGDG QQjPPSSS (2.1)
2222222 DGDGDG QQjPPSSS (2.2)
Pada Gambar 2.4 merupakan penyederhanaan dari Gambar 2.3 menjadi
daya rel (rel daya) untuk masing-masing rel.
1S
1I
SS Z
y 1
py
2I
1V2V
py2S
SjXSR
Gambar 2.4 rel daya dengan transmisi model π untuk sistem 2 rel
Besarnya arus yang diinjeksikan pada rel 1 dan rel 2 adalah :
111ˆˆˆ
DG III (2.3)
222ˆˆˆ
DG III (2.4)
Universitas Sumatera Utara
Semua besaran adalah diasumsikan dalam sistem per-unit, sehingga :
1*
11111*
111ˆˆˆˆ IVjQPjQPIVS (2.5)
2*
22222*
222ˆˆˆˆ IVjQPjQPIVS (2.6)
1I SS Z
y 1
py
2I
1V2V
py
SjXSR
"1I
'1I
"2I
'2I
Gambar 2.5 Aliran arus pada rangkaian ekivalen
Aliran arus dapat dilihat pada Gambar 2.5, dimana arus pada rel 1 adalah :
111ˆˆˆ III
Sp yVVyVI 2111ˆˆˆˆ
211ˆˆˆ VyVyyI SSp (2.7)
2121111ˆˆˆ VYVYI (2.8)
Dimana :
Y11 adalah jumlah admitansi terhubung pada rel 1 = SP yy (2.9)
Y12 adalah admitansi negatif antara rel 1 dengan rel 2 = Sy (2.10)
Untuk aliran arus pada rel 2 adalah :
222ˆˆˆ III
Sp yVVyVI 1222ˆˆˆˆ
212ˆˆˆ VyyVyI SpS (2.11)
Universitas Sumatera Utara
2221211ˆˆˆ VYVYI (2.12)
Dimana :
Y22 adalah jumlah admitansi terhubung pada rel 2 = SP yy (2.13)
Y21 adalah admitansi negatif antara rel 2 dengan rel 1 = 12YyS (2.14)
Dari Persamaan (2.8) dan (2.12) dapat dihasilkan Persamaan dalam bentuk
matrik, yaitu :
2
1
2221
1211
2
1
ˆˆ
VV
YYYY
II
(2.15)
Notasi matrik dari Persamaan (2.15) adalah ::
busbusbus VYI (2.16)
Persamaan (2.5) hingga (2.16) yang diberikan untuk sistem 2 rel dapat
dijadikan sebagai dasar untuk penyelesaian Persamaan aliran daya sistem n-rel.
Gambar 2.6.a menunjukan sistem dengan jumlah n-rel dimana rel 1
terhubung dengan rel lainya. Gambar 2.6.b menunjukan model transmisi untuk
sistem n-rel.
1I
Gambar 2.6.a sistem n-rel
Universitas Sumatera Utara
1I
12py 21py
12sy 21sy
13py 31py
13sy 31sy
1pnynpy 1
nsy 1 1sny
Gambar 2.6.b model transmisi π untuk sistem n-rel
Persamaan yang dihasilkan dari Gambar 2.6.b adalah :
nSnSSnPPP yVVyVVyVVyVyVyVI 1113311221111311211ˆˆ...ˆˆˆˆˆ...ˆˆˆ
nnSSSnnSSSnPPP VyVyVyVyyyyyyI ˆ...ˆˆˆ......ˆ131321211312113121 (2.17)
nnVYVYVYVYI ˆ...ˆˆˆˆ13132121111 (2.18)
Dimana :
nSSSnPPP yyyyyyY 113121131211 ...... (2.19)
= jumlah semua admitansi yang dihubungkan dengan rel 1
nSnSS yYyYyY 1113131212 ;; (2.20)
Persamaan (2.21) dapat disubtitusikan ke Persamaan (2.5) menjadi Persamaan
(2.22), yaitu :
n
jjijVYI
11
ˆˆ (2.21)
n
jjjVYVIVjQP
11
*11
*111
ˆˆˆ (2.22)
Universitas Sumatera Utara
n
jjijiii VYVjQP
1
* ˆˆ ni ,.....,2,1 (2.23)
Persamaan (2.23) merupakan representasi persamaan aliran daya yang
nonlinear. Untuk sistem n-rel, seperti Persamaan (2.15) dapat dihasilkan
Persamaan (2.24), yaitu :
nnnnn
n
n
n V
VV
YYY
YYYYYY
I
II
ˆ:
ˆˆ
...:...::
...
...
ˆ:
ˆˆ
2
1
21
22221
11211
2
1
(2.24)
Notasi matrik dari Persamaan (2.24) adalah :
busbusbus VYI (2.25)
Dimana :
nnnn
n
n
bus
YYY
YYYYYY
Y
...:...::
...
...
21
22221
11211
matrik rel admitansi (2.26)
2.4 Klasifikasi Rel (4)
Jenis rel pada sistem tenaga, yaitu :
1. Rel Beban
Setiap rel yang tidak memiliki generator disebut dengan Rel beban. Pada rel ini
daya aktif (P) dan daya reaktif (Q) diketahui sehingga sering juga disebut rel PQ.
Daya aktif dan reaktif yang dicatu ke dalam sistem tenaga adalah mempunyai nilai
positif, sementara daya aktif dan reaktif yang di konsumsi bernilai negatif.
Besaran yang dapat dihitung pada rel ini adalah V dan δ (sudut beban).
Universitas Sumatera Utara
2. Rel Generator
Rel Generator dapat disebut dengan voltage controlled bus karena tegangan pada
rel ini dibuat selalu konstan atau rel dimana terdapat generator. Pembangkitan
daya aktif dapat dikendalikan dengan mengatur penggerak mula (prime mover)
dan nilai tegangan dikendalikan dengan mengatur eksitasi generator. Sehingga rel
ini sering juga disebut dengan PV rel. Besaran yang dapat dihitung dari rel ini
adalah Q dan δ (sudut beban).
3. Slack Bus
Slack Bus sering juga disebut dengan swing bus atau rel berayun. Adapun besaran
yang diketahui dari rel ini adalah tegangan (V) dan sudut beban (δ). Suatu sistem
tenaga biasanya didesign memiliki rel ini yang dijadikan sebagai referensi yaitu
besaran δ = 00. Besaran yang dapat dihitung dari rel ini adalah daya aktif dan
reaktif.
Secara singkat klasifikasi rel pada sistem tenaga terdapat pada Tabel 2.1
yaitu besaran yang dapat diketahui dan tidak diketahui pada rel tersebut.
Tabel 2.1 Klasifikasi Rel Pada Sistem Tenaga
Jenis rel Besaran yang diketahui
Besaran yang tidak diketahui
Rel beban (atau rel PQ) P , Q V , Rel generator atau rel dikontrol tegangan (atau rel PV)
P , V Q ,
Rel pedoman atau rel slack atau rel swing
V , 0 P , Q
Universitas Sumatera Utara
2.5 Metode Aliran Daya
Pada sistem multi-rel, penyelesaian aliran daya dengan metode Persamaan
aliran daya. Metode yang digunakan pada umumnya dalam penyelesaian aliran
daya, yaitu metode : Newton-Raphson, Gauss-Seidel, dan Fast Decoupled. Tetapi
metode yang dibahas pada Tugas Akhir ini adalah metode Newton-Raphson dan
metode Gauss-Seidel.
2.5.1 Metode Newton-Raphson (2,3)
Dalam metode Newton-Raphson secara luas digunakan untuk
permasalahan Persamaan non-linear. Penyelesaian Persamaan ini menggunakan
permasalahan yang linear dengan solusi pendekatan. Metode ini dapat
diaplikasikan untuk satu Persamaan atau beberapa Persamaan dengan beberapa
variabel yang tidak diketahui.
Untuk Persamaan non-linear yang diasumsikan memiliki sebuah variabel
seperti Persamaan (2.27).
)(xfy (2.27)
Persamaan (2.27) dapat diselesaikan dengan membuat Persamaan menjadi
Persamaan (2.28).
0)( xf (2.28)
Menggunakan deret taylor Persamaan (2.28) dapat dijabarkan menjadi
Persamaan (2.29).
...........!2
1!1
1)( 202
02
00
0 xxdx
xdfxxdx
xdfxfxf
0!
10
0 nn
n
xxdx
xdfn
(2.29)
Universitas Sumatera Utara
Turunan pertama dari Persamaan (2.29) diabaikan, pendekatan linear
menghasilkan Persamaan (2.30)
0)( 00
0 xxdx
xdfxfxf (2.30)
Dari :
dxxdf
xfxx0
001 (2.31)
Bagaimana pun, untuk mengatasi kesalahan notasi, maka Persamaan (2.31)
dapat diulang seperti Persamaan (2.32).
dxxdf
xfxx )0(
)0()0()1( (2.32)
Dimana : x(0) = Pendekatan perkiraan
X(1) = pendekatan pertama
Oleh karena itu, rumus dapat dikembangkan sampai iterasi terakhir (k+1),
menjadi Persamaan (2.33).
dxxdf
xfxx k
kkk
)(
)()()1( (2.33)
)(
)()()1(
' k
kkk
xfxfxx (2.34)
Jadi,
)(
)(
' k
k
xfxfx (2.35)
)()1( kk xxx (2.36)
Metode Newton-Raphson secara grafik dapat dilihat pada Gambar 2.8
ilustrasi metode Newton-Raphson.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.8 Ilustrasi metode Newton-Raphson
Pada Gambar 2.8 dapat dilihat kurva garis melengkung diasumsikan grafik
Persamaan )(xFy . Nilai 0x pada garis x merupakan nilai perkiraan awal
kemudian dilakukan dengan nilai perkiraan kedua hingga perkiraan ketiga.
2.5.1.1 Metode Newton-Raphson dengan koordinat polar
Besaran-besaran listrik yang digunakan untuk koordinat polar, pada
umumnya seperti Persamaan (2.37)
iii VV ; jjj VV ; dan ijijij YY (2.37)
Persamaan arus (2.21) pada Persamaan sebelumnya dapat diubah kedalam
Persamaan polar (2.38).
n
jjiji VYI
1
jij
n
jjiji VYI
1 (2.38)
Persamaan (2.38) dapat disubtitusikan kedalam Persamaan daya (2.22)
pada Persamaan sebelumnya menjadi Persamaan (2.39).
iiii IVjQP *
iii VV * *iV = conjugate dari iV
Universitas Sumatera Utara
jij
n
jjijiiii VYVjQP
1
jiij
n
jjijiii VYVjQP
1 (2.39)
Dimana :
jiijjiijj jCose jiij sin (2.40)
Persamaan (2.39) dan (2.40) dapat diketahui Persamaan daya aktif (2.41)
dan Persamaan daya reaktif (2.42).
)()(
1
)()()( cos kj
kiij
n
j
kjij
ki
ki VYVP
(2.41)
)()(
1
)()()( sin kj
kiij
n
j
kjij
ki
ki VYVQ
(2.42)
Persamaan (2.41) dan (2.42) merupakan langkah awal perhitungan aliran
daya menggunakan metode Newton-Raphson. Penyelesaian aliran daya
menggunakan proses iterasi (k+1). Untuk iterasi pertama (1) nilai k = 0,
merupakan nilai perkiraan awal (initial estimate) yang ditetapkan sebelum dimulai
perhitungan aliran daya.
Hasil perhitungan aliran daya menggunakan Persamaan (2.41) dan (2.42)
dengan nilai )(kiP dan )(k
iQ . Hasil nilai ini digunakan untuk menghitung nilai
)(kiP dan )(k
iQ .
Menghitung nilai )(kiP dan )(k
iQ menggunakan Persamaan (2.43) dan
(2.44).
kcalcispeci
ki PpP ,, (2.43)
kcalcispeci
ki QQQ ,, (2.44)
Universitas Sumatera Utara
Hasil perhitungan )(kiP dan )(k
iQ digunakan untuk matrik Jacobian pada
Persamaan (2.45).
)(
)(
)(2
)(2
)(
2
)()(
2
)(
)(2
2
)(2
)(2
2
)(2
)(
2
)()(
2
)(
)(2
2
)(2
)(2
2
)(2
)(
)(2
)(
)(2
:
:
......
::::::
......
......
::::::
......
:
:
kn
kn
k
k
n
kn
kn
n
kn
kn
n
kk
n
kkn
kn
kn
n
kn
kn
n
kk
n
kk
kn
k
kn
k
V
V
VQ
VQQQ
VQ
VQQQ
VP
VPPP
VP
VPPP
Q
QP
P
(2.45)
Persamaan (2.45) dapat dilihat bahwa perubahan daya berhubungan
dengan perubahan besar tegangan dan sudut phasa.
Secara umum Persamaan (2.45) dapat disederhanakan menjadi Persamaan
(2.46).
)(
)(
43
21)(
)(
k
k
k
k
VJJJJ
QP
(2.46)
Besaran elemen matriks Jacobian Persamaan (2.46) adalah :
J1
ij
kj
kiijij
kj
ki
k
i
i YVVP )()()()()(
sin
(2.47)
)()()()()(
sin kj
kiijij
kj
ki
k
j
i YVVP
ij (2.48)
J2
)()()()()(
coscos2 kj
kiij
ijij
kjiiii
ki
k
i
i YVYVVP
(2.49)
Universitas Sumatera Utara
)()()()(
cos kj
kiijij
ki
k
j
i YVVP
ij (2.50)
J3
ij
kj
kiijij
kj
ki
k
i
i YVVQ )()()()()(
cos
(2.51)
)()()()()(
cos kj
kiijij
kj
ki
k
j
i YVVQ
ij (2.52)
J4
ij
kj
kiijij
kjiiii
ki
k
i
i YVYVVQ )()()()(
)(
sinsin2 (2.53)
)()()()(
sin kj
kiijij
ki
k
j
i YVVQ
ij (2.54)
Setelah nilai matrik Jacobian dimasukan kedalam Persamaan (2.46) maka
nilai )(ki dan )(k
iV dapat dicari dengan menginverskan matrik Jacobian
seperti Persamaan (2.55).
)(
)(1
43
21)(
)(
k
k
k
k
QP
JJJJ
V
(2.55)
Setelah nilai )(ki dan )(k
iV diketahui nilainya maka nilai )1( ki dan
)1(
k
iV dapat dicari dengan menggunakan nilai )(ki dan )(k
iV ke dalam
Persamaan (2.56) dan (2.57).
ki
ki
ki 1 (2.56)
ki
ki
ki VVV 1 (2.57)
Universitas Sumatera Utara
Nilai )1( ki dan )1( k
iV hasil perhitungan dari Persamaan (2.56) dan (2.57)
merupakan perhitungan pada iterasi pertama. Nilai ini digunakan kembali untuk
perhitungan iterasi ke-2 dengan cara memasukan nilai ini ke dalam Persamaan
(2.41) dan (2.42) sebagai langkah awal perhitungan aliran daya.
Perhitungan aliran daya pada iterasi ke-2 mempunyai nilai k = 1. Iterasi
perhitungan aliran daya dapat dilakukan sampai iterasi ke-n. Perhitungan selesai
apabila nilai )(kiP dan )(k
iQ mencapai nilai 2,5.10-4.
Perhitungan aliran daya menggunakan metode Newton-Raphson
1. Membentuk matrik admitansi Yrel sistem
2. Menentukan nilai awal V(0), δ(0), Pspec, Qspec
3. Menghitung daya aktif dan daya reaktif berdasarkan Persamaan (2.41) dan
(2.42)
4. Menghitung nilai )(kiP dan )(k
iQ beradasarkan Persamaan (2.43) dan
(2.44)
5. Membuat matrik Jacobian berdasarkan Persamaan (2.46) sampai
Persamaan (2.54)
6. Menghitung nilai )1( k dan )1( kV berdasarkan Persamaan (2.56) dan
(2.57)
7. Hasil nilai )1( k dan )1( kV dimasukan kedalam Persamaan (2.41) dan
(2.42) untuk mencari nilai P dan Q . Perhitungan akan konvergensi
jika nilai P dan Q ≤ 10-4.
8. Jika sudah konvergensi maka perhitungan selesai, jika belum konvergensi
maka perhitungan dilanjutkan untuk iterasi berikutnya.
Universitas Sumatera Utara
2.5.2 Metode Gauss-Seidel (1)
Persamaan aliran daya (2.23) yang telah dituliskan sebelumnya, yaitu :
n
jjijiii VYVjQP
1
* ˆˆ ni ,.....,2,1
n
ijjjijiiiiiii VYVVYVjQP
,1
** ˆˆˆˆ (2.58)
n
ijjjijiiiiiii VYVjQPVYV
,1
** ˆˆˆˆ (2.59)
n
ijjjij
i
iiiii VY
VjQPVY
,1*
ˆˆ
ˆ (2.60)
Sehingga Persamaan (2.60) menjadi :
ii
n
ijjjij
i
ii
i Y
VYV
jQP
V
,1*
ˆˆ
ˆ (2.61)
n
ijjjij
i
ii
iii VY
VjQP
YV
,1*
ˆˆ
1ˆ (2.62)
Dari Persamaan (2.58) juga didapatkan :
n
ijjjijiiiiii VYVVYVP
,1
** ˆˆˆˆRe (2.63)
n
ijjjijiiiiii VYVVYVagQ
,1
** ˆˆˆˆIm (2.64)
Langkah-langkah perhitungan algoritma dengan menggunakan metode
Gauss-Seidel adalah sebagai berikut :
1. Perhitungan matrik admitansi bus (Ybus) dalam per unit.
2. Menentukan bus referensi (slack bus) untuk besaran tegangan dan sudut
phasa yang tidak diketahui, yaitu :
Universitas Sumatera Utara
0.1V , 0
3.a Untuk bus beban (load bus), tentukan iV dari Persamaan (2.62)
n
ijj
kjijk
i
ii
ii
ki VY
VjQP
YV
,1)*(
)1( ˆˆ
1ˆ
dimana k = jumlah iterasi
Untuk bus generator (voltage controlled), menentukan iV dengan
menggunakan Persamaan (2.64) dan (2.62) secara bersama. Sehingga
besar daya reaktif yang diketahui terlebih dahulu, yaitu :
n
ijj
kjijii
ki
ki
ki VYYVVagQ
,1
)()()(*)1( ˆˆˆIm
Kemudian setelah itu, hitung iV dengan :
n
ijj
kjijk
i
ii
ii
ki VY
VjQP
YV
,1)*(
)1( ˆˆ
1ˆ
Bagaimanapun, iV telah ditetapkan untuk bus generator. Sehingga,
)1(,,
)1(ˆ kcalcispeci
ki VV .
3.b Untuk konvergensi yang cepat, menggunakan faktor akselerasi untuk bus
beban
)(,
)()(,
)1(, (ˆ k
accik
ikacci
kacci VVVV (2.65)
dimana α = faktor akselarasi (biasanya = 1,6)
4. Konvergensi besaran nilai
)()1( ˆReˆRe ki
ki VV (2.66)
Universitas Sumatera Utara
Hal ini adalah perbedaan nilai absolut bagian nyata tegangan dengan hasil
iterasi yang berturut-turut harus lebih kecil dari nilai toleransi ε. Biasanya
≤ 10-4, dan juga :
)()1( ˆImˆIm ki
ki VV (2.67)
Hal ini adalah nilai absolut bagian imaginer tegangan yang dihasilkan
iterasi secara berturut seharusnya lebih kecil dari nilai toleransi ε.
Apabila perbedaannya lebih besar dari toleransi maka kembali ke langkah
3, dan apabila perbedaan lebih kecil dari toleransinya maka hasil solusinya
sudah konvergensi dan lanjutkan langkah 6.
5. Menentukan daya PG dan QG dari Persamaan (2.23)
6. Menentukan aliran arus pada jaringan.
iV jVsI
ijI piI pjIjiI
piy pjy
Gambar 2.7 Ilustrasi aliran pada line dengan sistem 2 bus
Perhitungan besaran arus pada jaringan (line) merupakan langkah terakhir
dari perhitungan aliran daya setelah diketahui hasil perhitungan tegangan
pada masing-masing bus. Ilustrasi perhitungan arus jaringan dapat dilihat
dari gambar 2.7 yang merupakan sistem dengan 2 bus. Arus jaringan, ijI ,
pada bus i didefinisikan sebagai positif karena mengalir dari i menuju j.
piisjipisij yVyVVIII ˆˆˆˆˆˆ (2.68)
Universitas Sumatera Utara
Sehingga besaran daya ijS dan jiS bernilai positif pada bus i dan j secara
berturut-turut.
*2**** ˆˆˆˆˆpiisjiiijiijijij yVyVVVIVQPS (2.69)
*2**** ˆˆˆˆˆpjjsijjjijjijiji yVyVVVIVQPS (2.70)
Rugi-rugi daya pada jaringan (i-j) adalah penjumlahan daya yang telah
dihitung pada Persamaan (2.69) dan (2.70) yang kemudian dijumlahkan ke
dalam Persamaan (2.71).
jiijLij SSS (2.71)
Universitas Sumatera Utara