BAB XII
PENERAPAN DERET FOURIER
12.1. Pendahuluan
Sebuah fungsi periodik telah dibahas dalam bagian terdahulu, dimana dalam
bagian ini kita akan membahas sebuah fungsi periodik seperti fungsi sinusuida
sebagai fungsi yang sederhana dan sangat berguna dalam analisa rangkaian. Sebuah
deret yang sudah kita kenal dalam matakuliah kalkulus yaitu, deret fourier yang
merupakan teknik untuk menggantikan atau untuk menyatakan sebuah fungsi yang
periodik menjadi suku-suku sinusuida, yang akan kita terapkan dengan metode phasor
untuk analisa rangkaian.
Sebuah fungsi periodik sebarang dapat dinyatakan sebagai jumlah
takberhingga suku-suku sinusuida. Bentuk pertama yang dibahas adalah deret Fourier
trigonometri dan dilanjutkan dengan deret Fourier eksponensial. Dan bagian terakhir
membahas aplikasi deret Fourier dalam analisa rangkaian pada analisa spektrum dan
filter.
12.2. Deret Fourier Trigonometri
Dalam deret Fourier dinyatakan bahwa sebuah fungsi bukan sinusuida yang
periodik dapat dinyatakan sebagai jumlah tak berhingga fungsi sinusuida. Sebuah
fungsi periodik adalah sebuah fungsi yang berulang-ulang setiap satu periode, yang
dapat dinyatakan sebagai
(12.1)
dimana :
T adalah periode dari sebuah fungsi.
Sebagai sebuah fungsi periodik, fungsi f(t) harus memenuhi keempat kondisi
dibawah ini.
1. f(t) adalah berharga tunggal dimana-mana.
2. f(t) harus mempunyai jumlah berhingga diskontinyu disetiap harga.
3. harus mempunyai harga maksimum dan minimum dalam setiap periode.
4. ada harganya untuk setiap .
149
Sebuah fungsi sebarang periodik dalam deret Fourier dinyatakan sebagai
(12.2)
atau dapat dinyatakan sebagai
(12.3)
dimana disebut frekuensi fundamental dalam rad/s. Persamaan (12.3)
disebut sebagai deret Fourier trigometri. Sin dan cos disebut sebagai
harmonik ke-n dari f(t). Konstanta dan disebut koefisien Fourier. adalah
harga rata-rata atau komponen dc sedang dalam kurung persamaan (12.3)
adalah komponen ac.
Mencari harga dengan mengintegrasikan kedua sisi persamaan (12.3) dalam
satu periode, dihasilkan
=
(12.4)
Penyelesaian lebih lanjut menghasilkan
atau
(12.5)
Mencari harga , mengalikan kedua sisi persamaan (12.3) dengan dan
mengintegrasikan dalam satu periode, dihasilkan
=
(12.6)
150
Penyelesaian lebih lanjut persamaan (12.6) menghasilkan
untuk n = m.
Atau
(12.7)
Dengan cara yang sama, mencari , mengalikan kedua sisi persamaan (12.3) dengan
dan mengintegrasikan dalam satu periode dihasilkan
(12.8)
Bentuk alternatip dari pernyataan deret Fourier persamaan (12.3) adalah
berbentuk amplitudo-phasa
(12.9)
Dengan mangambil persamaan (12.9) untuk ruas kanan diselesaikan dengan kalkulus
trigonometri menghasilkan
(12.10)
Dengan menyamakan persamaan (12.10) ruas kanan terhadap persamaan (12.3)
dihasilkan
(12.11)
Dalam bentuk phasor dinyatakan sebagai
(12.12)
dimana
(12.13)
Penyelesaian dalam bentuk grafik amplitudo terhadap harmonik disebut
spektrum amplitudo dari f(t); sedang penyelesaian secara grafik sudut phase terhadap
151
harmonik disebut spektrum phase. Kedua spektrum disebut sebagai spektrum
frekuensi.
Formulasi matematika yang secara langsung berkaitan dengan analisis Fourier untuk
memudahkan dalam penyelesaiannya koefisien-koefisien Fourier perlu disuguhkan
disini dalam bentuk integral diberikan dalam persamaan (12.14).
(12.14)
Juga perlu ditampilkan beberapa nilai dari fungsi sinus, cosinus dan eksponensial
dalam perkalian dengan nilai yang diberikan dalam Tabel 12.a, dimana n adalah
integer.
152
Contoh Soal 12.1.
Susunlah deret Fourier bentuk gelombang tegangan dalam Gambar 12.1. Dan
dapatkan spektrum amplitudo dan phase.
Penyelesaian :
Dalam deret Fourier dinyatakan
Langkah pertama kita adalah mencari koefisien Fourier menggunakan
persamaan (12.5), (12.7) dan (12.8). Fungsi f(t) sebagai fungsi tegangan v(t) dituliskan
sebagai
s
dengan T = 2 s dan
Substitusikan konstanta-konstanta deret Fourier kedalam persamaan (12.3) dihasilkan
atau
153
Spektrum sinyal gelombang tegangan Gambar 12.1 untuk amplitudo dan sudut phase
adalah
dan akhirnya sudut phasenya adalah
Dengan menjumlahkan satu demi satu suku-suku dalam Gambar 12.3 akan didapatkan
bentuk selubung pulsa persegi aslinya.
154
Spektrum magnitude untuk berbagai harga ditunjukkan dalam Gambar 12.4.
Soal-Soal Latihan
12.1. Carilah deret Fourier gelombang arus dalam Gambar 12.5, dan gambarkan
spektrum magnitude dan phase.
12.2. Dapatkan deret Fourier untuk fungsi periodik dalam Gambar 12.6, dan
gambarkan spektrum magnitude dan phase.
155
12.3. Penggunaan Sifat Simetri
Sebuah metode untuk menyusun deret Fourier dengan menggunakan sifat
simetri dari sebuah fungsi periodik akan mempermudah dalam penyelesaiannya
karena koefisien-koefisien deret Fourier tidak harus diselesaikan secara keseluruhan
tetapi hanya memanfaatkan sifat simetri dari fungsi yang diberikan dan dihitung
hanya untuk setengah periode saja. Sifat simetri terdapat tiga jenis yaitu : simetri
genap, simetri ganjil dan simetri setengah gelombang.
12.3.1. Simetri Genap
Sebuah fungsi f(t) adalah fungsi genap jika secara grafis fungsi tersebut
simetri terhadap sumbu tegak, artinya jika setengah gelombang dilipat pada sumbu
tegaknya maka akan terjadi penutupan secara penuh. Secara matematis dinyatakan
sebagai
(12.15)
156
Contoh fungsi simetri genap adalah : cos t. Gambar 12.7
memperlihatkan contoh fungsi genap periodik. Fungsi fungsi tersebut sesuai dengan
persamaan (12.15).
Penyelesaian integral sebuah fungsi genap periodik dalam satu periode adalah
(12.16)
Karena fungsi genap mempunyai sifat simetri terhadap sumbu tegak-y maka
penyelesaian integral untuk setengah periode dari ke 0 akan memberikan nilai
yang sama dari 0 ke Dengan menggunakan sifat simetri ini maka koefisien
koefisien Fourier menjadi
(12.17)
157
12.3.2. Simetri Ganjil
Sebuah fungsi ganjil jika gambar fungsi tersebut tidak simetri terhadap sumbu
tegaknya, dan dinyatakan sebagai
(12.18)
Contoh fungsi ganjil adalah . Gambar 12.8 menunjukkan contoh fungsi ganjil
periodik. Fungsi fungsi tersebut sesuai dengan persmaan (12.18).
Karakteristik dari sebuah fungsi ganjil periodik adalah
(12.19)
karena penyelesaian integrasi dari –T/2 ke 0 adalah negatip dari 0 ke T/2. Koefisien-
koefisien Fourier menjadi
(12.20)
158
Dari hasil pembahasan deret Fourier dari kedua fungsi genap dan ganjil diatas dapat
dicatat bahwa fungsi genap hanya terdiri dari suku dc dan suku cosinus, sedang fungsi
ganjil hanya mengandung suku sinus saja, yang jika kita gabungkan menjadi ekspansi
deret Fourier sebagai
(12.21)
Persamaan (12.21) mengandung pengertian bahwa jika adalah fungsi genap,
maka dan jika adalah fungsi ganjil, maka
12.3.3. Simetri Setengah Gelombang
Sebuah fungsi simetri ganjil setengah gelombang jika
(12.22)
dimana setiap setengah siklus merupakan cermin dari setengah siklus berikutnya.
Mengingat bahwa fungsi dan adalah sesuai dengan persamaan
(12.22) untuk harga n ganjil oleh karena itu proses simetri setengah gelombang bila n
adalah ganjil. Contoh sebuah fungsi simetri setengah gelombang ditunjukkan dalam
Gambar 12.9.
159
Koefisien-koefisien deret Fourier dapat dirangkum menjadi
(12.23)
Jadi deret Fourier dari fungsi simetri setengah gelombang hanya mengandung
harmonik ganjil.
Perubahan variabel integrasi dengan membuat interval dengan mengganti
, sehingga dx = dt .
Jika t = – T/2, x = 0 dan Jika t = 0, x = T/2.
Dari persamaan 12.22, maka
160
(12.24)
yang sesuai dengan persamaan (12.23). Dengan cara yang sama
(12.25)
Dengan mengubah variabel persamaan (12.25), menjadi
(12.26)
Karena dan
(12.27)
Substitusi persamaan (12.27) ke persamaan (12.26) didapatkan
n = ganjil
n = genap
sesuai dengan persamaan (12.22). Dengan prosedur yang sama untuk koefisien
sesuai dengan persamaan (12.22).
Contoh Soal 12.2.
Tentukan eksapansi deret Fourier dari bentuk gelombang Gambar 12.6.
161
Penyelesaian :
Fungsi dari Gambar 12.10 adalah simetri ganjil.
Contoh 12.3.
Untuk bentuk gelombang Gambar 12.11, carilah ekspansi deret Fouriernya.
162
Penyelesaian :
Fungsi Gambar 12.11 adalah simetri ganjil
Deret Fourier adalah
Contoh 12.4.
Carilah ekspansi deret Fourier dalam Gambar 12.12.
Penyelesaian :
Fungsi tersebut adalah fungsi ganjil. Periode T = 4 s dan . Koefisien
koefisien deret Fourier adalah
163
dan
Untuk n = 1,
Untuk n >1,
Untuk n = ganjil (atau n = 1, 3, 5, ...) , harga (n + 1) dan (n – 1) keduanya adalah
genap, sehingga . Jadi n = ganjil.
Untuk n = genap (atau n = 2, 4, 6, ...), harga (n + 1) dan (n – 1) keduanya adalah
ganjil, sehingga . Jadi n = genap.
Oleh karena itu
, dengan n = ganjil
Jadi,
164
Soal Soal Latihan
12.3. Carilah ekspansi deret Fourier fungsi dalam Gambar 12.13.
12.4. Carilah ekspansi deret Fourier fungsi dalam Gambar 12.14.
12.4. Deret Fourier Dalam Analisa Rangkaian
Dalam mencari tanggapan keadaan mantap sebuah rangkaian dengan
perangsang periodik nonsinusuida haruslah mesti memerlukan penerapan deret
Fourier bersama dengan analisis phasor ac dan teknik superposisinya. Sebuah contoh
sumber tegangan ditunjukkan dalam Gambar 12.15, deret Fourier persamaan (12.3)
dan (12.9) untuk sumber tegangan dinyatakan sebagai
(12.24)
165
Dimana menyatakan komponen dc dan menyatakan komponen ac dengan
harmoniknya.
Tanggapan atau respon untuk komponen dc dapat dihasilkan dengan menetapkan
daerah frekuensi dengan n = 0 atau atau untuk daerah waktu dengan mengganti
semua induktor dengan rangkaian hubung singkat dan semua kapasitor dengan
rangkaian hubung buka.
Contoh Soal 12.5.
Sebuah fungsi dalam Gambar 12.1 sebagai sumber tegangan untuk rangkaian
dalam Gambar 12.16. Carilah respon arus dan tegangan .
Penyelesaian :
166
Hasil penyelesaian yang telah dibahas untuk deret Fourier dalam contoh soal 12.1
adalah
Impedansi masukan adalah
Arus masuk adalah
Arus komponen dc adalah ( atau n = 0)
Tegangan harmonik ke-n sumber adalah
Arus komponen ac (harmonik ke-n) adalah
Arus komponen ac daerah waktu adalah
A.
Harmonik ketiga yang pertama (atau n = 1, 3, 5 ) adalah
Spektrum magnitude arus ditunjukkan dalam Gambar 12.17.
Respon tegangan dihitung dengan teknik pembagi tegangan adalah
Komponen dc ( atau n = 0) tegangan adalah
Komponen ac tegangan harmonik ke-n adalah
Tegangan dalam daerah waktu adalah
167
Tegangan harmonik ganjil ketiga pertama (n = 1, 3, 5) adalah
V
Spektrum magnitude tegangan ditunjukkan dalam Gambar 12.18.
Contoh Soal 12.6.
Sebuah bentuk gelombang tegangan ditunjukkan dalam Gambar 12.19(a), sebagai
sumber bagi rangkaian Gambar 12.19(b). Tentukan (a) Deret Fouriernya dan (b)
respon tegangan .
168
Penyelesaian :
Bentuk gelombang Gambar 12.19(a) adalah fungsi simetri ganjil dengan T = 4 s.
Dengan mengingat bahwa fungsi simetri genap dan
fungsi simetri ganjil, maka
atau
169
Jadi deret Fouriernya adalah
dimana seperti diatas, dan .
Dengan pembagi tegangan didapatkan hasil
Komponen dc (dengan atau n = 0)
Komponen harmonik adalah
(b) respon tegangan
respon daerah waktu
Tiga suku pertama ( n = 1, 2, 3, ) komponen harmonik adalah
Gambar 12.20 menunjukkan spektrum amplitudo bagi tegangan output .
Contoh Soal 12.7
170
Diketahui sebuah rangkaian ditunjukkan dalam Gambar 12.21, sember tegangan
ditunjukkan dalam Gambar 12.21(b). Carilah (a) respon arusnya. (b) spektrum
amplitudo respon arus.
Penyelesaian :
Bentuk gelombang Gambar 12.21 adalah fungsi simetri ganjil dengan periode T = 2.
171
Dengan penerapan metode pembagi arus didapatkan hasil
Komponen harmonis ke-n adalah
Respon arus daerah waktu adalah
Ampere.
Respon arus harmonis ke-3 yang pertama adalah
Spektrum amplitudo arus seperti ditunjukkan dalam Gambar 12.22.
Soal Soal Latihan
172
12.5. Diberikan sebuah rangkaian dalam Gambar 12.23. Jika tegangan sumber
diketahui berbentuk ekspansi deret Fourier
V
Carilah respon tegangan
12.6. Jika tegangan adalah merupakan sumber untuk
rangkaian dalam Gambar 12.24. carilah respon arus .
12.7. Sebuah rangkaian Gambar 12.25 (a) dengan sumber ditunjukkan dalam Gambar
12.25 (b). Carilah respon tegangan .
173
12.5. Deret Fourier Eksponensial
Deret Fourier yang telah kita kinal sebelumnya dalam persamaan (12.3) dapat
dinyatakan sebagai bentuk deret eksponensial. Fungsi sinus dan cosinus kita nyatakan
dalam bentuk eksponensial dengan identitas Euler dalam kalkulus yang kita kenal :
(12.25)
(12.26)
Substitusi persamaan (12.25) dan (12.26) ke dalam persamaan (12.3) dihasilkan
(12.27)
174
Kita definisikan koefisien baru yaitu
(12.28)
sehingga menjadi
(12.29)
atau
(12.30)
Persamaan (12.30) disebut sebagai deret Fourier eksponensial/kompleks dari f(t).
Koefisien deret Fourier juga dapat diperoleh dengan persamaan
(12.31)
Hubungan ketiga koefisien deret Fourier dapat dinyatakan sebagai
(12.32)
dimana
(12.33)
Contoh Soal 12.7.
Carilah ekspansi deret Fourier untuk bentuk gelombang dalam Gambar 12.26.
175
Penyelesaian :
Harga konstata adalah
Deret Fourier dapat disusun (untuk manjadi
Dengan mengingat bahwa bentuk baku dari adalah sama dengan
yang disebut dengan faktor cuplikan. Faktor cuplikan akan berharga nol, jika x
kelipatan dari (dengan mana n = 1, 2, 3,...), dan berharga 1, jika x = 0. Maka
didapatkan hasil magnitudo
176
Harga sudut phasenya adalah
dan
Dengan memberikan variasi harga untuk n dari negatip dan positip, dihasilkan bentuk
spektrum frekuensi dan sudut phase ditunjukkan dalam Gambar 12.27.
Contoh soal 12.8.
Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi periodik
Penyelesaian :
Konstanta adalah
177
Dari identitas E’uler didapatkan bahwa
, maka
Harga magnitudo adalah
, maka deret Fouriernya adalah
Sudut phase adalah
Spektrum amplitudo dan sudut phase dengan memberi variasi harga n negatip dan
positip ditunjukkan dalam Gambar 12.28.
178
Contoh soal 12.9.
Susunlah deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi periodik untuk
Penyelesaian :
Periode
Harga konstanta adalah
Dengan penyelesaian integral parsial, yaitu dengan memisalkan
179
Dimana dengan mengingat identitas E’uler, maka
180
Sehingga
Magnitudo dan sudut phasenya adalah
Dengan memvariasikan harga n dari positip dan negatip dihasilkan spektrum
amplitudo dan sudut phasenya ditunjukkan dalam Gambar 12.29.
Contoh soal 12.10.
Tetapkan ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi yang ditunjukkan
dalam Gambar 12.30.
Penyelesaian :
Konstanta adalah
181
dimana :
Magnitudo dan sudut phase adalah
dan
Spektrum amplitudo dan sudut phase ditunjukkan dalam Gambar 12.31(a) dan (b).
Soal Latihan
12.8. Kenalilah fungsi berikut apakah termasuk sebagai fungsi genap.
(a) (b) dan (c)
182
15.9. Tetapkanlah fungsi berikut apakah termasuk sebagai fungsi ganjil.
(a) (b) dan
12.10. Tetapkanlah periode dari fungsi berikut ini.
(a) dan (b)
12.11. Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial Gambar 12.32.
12.12. Carilah ekspansi deret Fourier dari sebuah fungsi dalam Gambar 12.33.
12.13. Sebuah fungsi periodik dalam Gambar 12.34. Carilah koefisien fourier
dan .
12.14. Susunlah deret fourier untuk gelombang dalam Gambar 12.35. Dan hitunglah
f(t) untuk t = 3 dt pada harmonik kelima pertama yang tidak nol.
183
12.15. Tentukan deret fourier trigonometri dari Gambar 12.36.
12.16. Carilah deret fourier dari fungsi yang ditunjukkan dalam Gambar 12.37.
12.17. Hasilkan ekspansi deret fourier dari sinyal Gambar 12.38.
12.18. Carilah koefisien deret fourier dan untuk sinyal dalam Gambar 12.39.
Dan gambarkan spektrum amplitudo dan phasanya.
184
12.19. Hasilkan ekspansi deret fourier untuk bentuk gelombang dalam Gambar 12.40.
185
12.20. Susunlah deret fourier untuk bentuk gelombang Gambar 12.41 dengan
menggunakan sifat simetri genap atau simetri ganjil.
12.21. Tentukan deret fourier trigonometri sinyal dalam Gambar 12.42 menggunakan
sifat simetri genap atau simetri ganjil.
186
12.22. Tentukan deret fourier trigonometri dari sinyal Gambar 12.43 dengan
menggunakan sifat simetri genap atau ganjil.
12.23. Carilah tegangan dalam rangkaian Gambar 12.44, jika tegangan sumber
Volt.
12.24. Diketahui rangkaian dalam Gambar 12.45 ekspansi deret fourier untuk
adalah
Ampere.
Carilah arus yang mengalir dalam kapasitor C.
12.25. Tetapkan tegangan untuk rangkaian Gambar 12.46, jika diketahui
Volt.
187
12.26. Sebuah rangkaian dalam Gambar 12.47(a) diberikan sumber tegangan dalam
Gambar 12.47 (b). Carilah tegangan .
12.27. Gelombang arus dalam Gambar 12.48(a) dikenakan pada rangkaian Gambar
12.48(b). Tetapkanlah arus .
188
12.28. Sebuah sinyal gelombang dalam Gambar 12.49(a) dikenakan pada rangkaian
Gambar 12.49(b). Tetapkanlah arus .
12.29. Sebuah sinyal penyearah gelombang penuh dalam Gambar 12.50(b)
diaplikasikan pada rangkaian Gambar 12.50(a). Tentukan tegangan out – put .
189
12.30. Sinyal dari sebuah pembangkit pulsa ditunjukkan dalam Gambar 12.51(a)
dikenakan pada sebuah rangkaian Gambar 12.51(b). Carilah arus .
12.31. Carilah deret fourier eksponensial dari sinyal gelombang Gambar 12.52.
190
12.32. Tetapkan deret fourier eksponensial dari sinyal gelombang Gambar 12.53.
12.33. Jika diketahui koefisien fungsi dari sebuah deret fourier adalah
, carilah deret fourier eksponensialnya.
191
12.34. Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi yang
ditunjukkan dalam Gambar 12.54.
12.35. Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi yang
ditunjukkan dalam Gambar 12.55.
12.36. Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi yang
ditunjukkan dalam Gambar 12.56.
12.37. Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi yang
ditunjukkan dalam Gambar 12.57.
192
193
12.38. Hasilkan deret fourier dari gelombang Gambar 12.58 dan plot gambar
spektrum amplitudo dan phase.
12.39. Carilah deret Fourier dari sinyal Gambar 12.55.
12.40. Carilah deret Fourier dari sinyal penyearah gelombang penuh Gambar 12.56.
12.41. Fungsi Gambar 12.57(a) adalah sumber tegangan bagi rangkaian
Gambar 12.57(b). Carilah respon tegangan dan gambarkan spektrum
amplitudonya.
194
12.42. Carilah respon arus dalam rangkaian Gambar 12.58, jika tegangan input
dinyatakan dengan ekspansi deret Fourier
12.43. Tegangan input rangkaian Gambar 12.59 dinyatakan dengan
Tentukan respon arus
195
196
Recommended