8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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Unidad 2:
Modelado y Análisis en Espacio de Estadode Sists. Dinámicos Eléctricos y Mecánicos
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UNCUYO / Facultad de Ingeniería – Carrera de Ingeniería en Mecatrónica
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2
Plan General:1. Introducción: Conversión de energía y Control
• Aplicaciones y Fundamentos. Conversión de energía eléctrica y eléctrica-mecánica.
2. Modelado y Análisis en Espacio de Estado• Modelos lineales. Respuesta dinámica. Estabilidad. Controlabilidad y Observabilidad.
3. Control en Espacio de Estado• Realimentación de Estado. Observadores. Control óptimo.
4. Control de Accionamientos de CC• Modelado, simulación. Control de velocidad, control de corriente / torque.
5. Control de Accionamientos de CA• Modelado, simulación. Control de velocidad, control escalar / vectorial de corriente /
torque.
Modelado y Análisis
en Espacio de Estado (SS)
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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0. PLAN
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3
Plan de la Unidad 2: A. Sistemas Dinámicos Físicos. Variables de Estado
– Concepto. Estado interno; entradas y salidas. Sistemas SISO vs. MIMO (MV).
– Representación en Espacio de Estados. Ecuación de Estado, diagr. de bloques de estado.
B. Modelos Lineales Invariantes (LTI). Aplicación – Propiedades. Solución. Función de transferencia. Modelos para sistemas interconectados.
– Aplicación a sistemas eléctricos y mecánicos de 1° y 2° orden.
C. Respuesta Dinámica. Estabilidad – Respuesta natural y forzada. Simulación numérica. Análisis en el Espacio de Estado.
D. Formas o Realizaciones Canónicas – Transformación de cambio de base en SS. Formas diagonal, controlable, observable.
E. Controlabilidad y Observabilidad – Conceptos. Criterios: Gilbert, Kalman. Subsistemas Controlable y Observable.
– Resumen y Consultas.
– Próximos Pasos...
Modelado y Análisis
en Espacio de Estado (SS)
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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0. PLAN
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4
Sistema mecánico 1 g.d.l.: Masa-Resorte-Fricción (lineal)
Modelo físico idealizado • Sistema Dinámico Físico: energía en juego
– Almacenamiento interno:• Energía Cinética (en masa): () = 12 .. [()]2 • Energía Potencial elástica (en resorte): () = 12 . . [()]2 • Nota: no consideramos la fuerza de gravedad
=
.
(perturb. c
onst.)
– Intercambio de energía:• Interno: entre componentes o subsistemas.
• Externo: con medioambiente
– Excitación: trabajo externo sobre sistema
– Fricción: disipación de energía térmica al ambiente
– etc.
•
NO Instantáneo: Retardos (constantes de tiempo) = dinám.
• Definimos: (Sist. SISO) – Entrada (excitación o var. manipulada): Fuerza externa u(t) – Salida (respuesta medida): Desplazamiento de masa (respecto a equilibrio) y(t)
• Equilibrio: – u(t)=0 (excitación nula); v(t)=dy/dt=0 (energía cinética nula)
Motivación:2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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A. SISTS. DINÁMICOS. VAR. ESTADO
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5
Sistema mecánico 1 g.d.l.: Masa-Resorte-Fricción (lineal)
Modelo físico idealizado • Ecuación de Movimiento: 2° Ley de Newton (cuerpo “
libre”)
. = . . = ̇ ; = ̈ () . ̈ + . ̇ + . = Sist. 2° orden LTI (E.D.O. Lineal de parám. const. 2° orden)
• Función de Transferencia: Modelo externo (Entr./Salida)(Cond. Iniciales nulas)
≡ ()
(
)
=
.
+
.
+
• Propiedades dinámicas: – Ganancia estática: = – Polos: , = . ± . Respuesta dinám.: oscilator ia (b=0), subamortiguada,
amortiguam. crítico, sobreamortiguada.
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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A. SISTS. DINÁMICOS. VAR. ESTADO
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6
Sistema mecánico 1 g.d.l.: Masa-Resorte-Fricción (lineal)
Modelo físico idealizado • Ecuación de Movimiento: 2° Ley de Newton (cuerpo “
libre”)
. = . . = ̇ ; = ̈ () . ̈ + . ̇ + . = • Modelo de Estado: Modelo interno (Espacio de Estado)
(Cond. Iniciales NO nulas en gral. = ESTADO INICIAL)
– Estado: () ≡ ; () ≡ = ̇ → – Ecuación de Estado:� ̇ = (). ̇ = . . + () – Estado Inicial: () ≡ ; () ≡ (resume historia anterior ) – Ecuación de Salida:
=
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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A. SISTS. DINÁMICOS. VAR. ESTADO
Á
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7
Sistema mecánico 1 g.d.l.: Masa-Resorte-Fricción (lineal)
Modelo físico idealizado • Modelo de Estado: Modelo interno (Espacio de Estado)
(cond. Iniciales NO nulas en gral. = ESTADO INICIAL)
– Ecuación de Estado:� ̇ = ()
.
̇ =
.
.
+
(
)
– Estado Inicial: () ≡ ; () ≡ (resume historia anterior ) – Ecuación de Salida: =
• Diagrama de Bloques de Estado
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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A. SISTS. DINÁMICOS. VAR. ESTADO
Á
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Sistema mecánico 1 g.d.l.: Masa-Resorte-Fricción (lineal)
Modelo físico idealizado • Modelo de Estado: Modelo interno (Espacio de Estado)
(cond. Iniciales NO nulas en gral. = ESTADO INICIAL)
– Ecuación de Estado:� ̇ = ()
.
̇ =
.
.
+
(
)
– Estado Inicial: () ≡ ; () ≡ (resume historia anterior ) – Ecuación de Salida: =
• Forma MATRICIAL:
̇ ̇ = . () + . ; () ≡ = . ()
Autovalores
,
de matriz de Sistema A:
.
=
→ ,
= ? (hacer)
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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A. SISTS. DINÁMICOS. VAR. ESTADO
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9
a) Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)
� ̇ = . + . ; 0 = = . +. Donde:
×
1,
×
1,
×
1 ×,×,×,× Concepto de ESTADO: Espacio Vectorial de EstadoEstado de un Sist. Dinámico:
menor conjunto de variables {xi(t)} (“var. de estado”) tales queel conocimiento de sus valores {xi0} en un instante inicial t0 (“estado inicial”),
junto con el conocimiento de la entrada u(t) para todo t> t0,
determina completamente el comportamiento posterior del sistema
para cualquier instante de tiempo t> t0.
Representación de Sistemas Lineales IT 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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B. MODELOS LTI. ESPACIO ESTADO
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10
a) Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)
� ̇ = . + . ; 0 = = . +. Donde:
×
1,
×
1,
×
1 ×,×,×,× Otras formas Forma estándar o fundamental en Espacio Vectorial Estado
.
̇ =
.
+
.
(
),
×
no singular (ej.SD mec./el.)
̇ = −1. .+ −1. .()
Representación de Sistemas Lineales IT 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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B. MODELOS LTI. ESPACIO ESTADO
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11
a) Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)
� ̇ = . + . ; 0 = = . +. Donde:
×
1,
×
1,
×
1 ×,×,×,× Diagrama de Bloques de Estado Matricial:
Representación de Sistemas Lineales IT 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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B. MODELOS LTI. ESPACIO ESTADO
2 M d l d A áli i E i E t d B MODELOS LTI TRANSFERENCIA
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12
a) Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)
� ̇ = . + . ; 0 = = . +. Donde:
×
1,
×
1,
×
1 × , × , × ,× b) Transferencia Entrada-Salida (Laplace)
= . | ≡ Donde: ×1, ×1
×
, = . [ . ]−. +
Representación de Sistemas Lineales IT 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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B. MODELOS LTI. TRANSFERENCIA
2 M d l d A áli i E i E t d B MODELOS LTI TRANSFERENCIA
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Sistema mecánico 1 g.d.l.: Masa-Resorte-Fricción (lineal)
Modelo físico idealizado • Modelo de Estado: Modelo interno (Espacio de Estado)
(cond. Iniciales NO nulas en gral. = ESTADO INICIAL)
– Ecuación de Estado:� ̇ = ()
.
̇ =
.
.
+
(
)
– Estado Inicial: () ≡ ; () ≡ (resume historia anterior ) – Ecuación de Salida: =
• Forma MATRICIAL:
̇ ̇ = . () + . ; () ≡ = . ()
Función de Transferencia:
=
. [
.
]
−.
+
= ? (hacer)
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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B. MODELOS LTI. TRANSFERENCIA
2 M d l d A áli i E i E t d B MODELOS LTI EJERCICIOS
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Ejercicios: Representar en Espacio de Estados Matriz de Transferencia
1. [Circuito LR pasabajos: ei il vs. ei vr]2. [Circuito RC pasabajos: ei ic vs. ei vc]3. Ogata 5th Ed., Section 3-3 (pág. 72) [Circuito RLC]
4. Ogata 5
th
Ed., Section 2-5 (pág. 36) [E.D.O. orden n ]5. Ogata 5th Ed., Section 2-6 (pág. 39) [Matlab tf2ss, ss2tf ]6. Ogata 5th Ed., Ej. A-2-6 (pág. 51) hasta A-2-12 (pág. 58)
7. Inercia rotante con fricción(modelo mecánico 1 g.d.l. de accionamiento).
8. Ogata 5th Ed., Probl. B-3-13 (pág. 99)[servomotor CC c/control armadura]
9. Filtro cuña 2° orden: ≡ ++2.+
Representación de Sistemas Lineales IT 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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B. MODELOS LTI. EJERCICIOS
2 M d l d A áli i E i E t d B SIST NO LINEALES M d LTI / LPV
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Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)
� ̇ = , , ; 0 = = , , SIMULACIÓN Numérica!Donde:
×1,
×1,
×1 (,, ), ,, ×1: () Diagrama de Bloques de Estado Matricial: ? (hacer)
equilibrios:
̇ ≡0 =
,
=
,
Puntos de Operación
,
Aproximación LINEAL: para toda variable , asumir ≡ + ∆() PEQUEÑA SEÑAL = PERTURBACIÓN alrededor de PUNTOS de OPERACIÓN expansión serie de Taylor truncada a 1° orden (despreciar términos orden superior)
Modelo dinámico Global NL ~ Espacio de Operación NL (cuasi-estacionario)
+ Modelo dinámico Local LTI / Global LPV
Representación de Sistemas No Lineales 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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B. SIST. NO LINEALES Mod. LTI / LPV
2 M d l d A áli i E i E t d B SIST NO LINEALES M d LTI / LPV
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Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)
� ̇ = , , ; 0 = = , , SIMULACIÓN Numérica! Aprox. LINEAL: PEQUEÑAS PERTURBACIONES en PUNTOS de OPERACIÓN expansión serie de Taylor truncada a 1° orden (despreciar términos orden superior)
Representación de Sistemas No Lineales 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
20/08/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
B. SIST. NO LINEALES Mod. LTI / LPV
2 Modelado y Análisis Espacio Estado B SIST NO LINEALES Mod LTI / LPV
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Péndulo rígido actuado = 1 Art iculación robótica rotativa
con base inercial y estructura rígida, bajo efecto externo: acel. gravedadPéndulo 1 g.d.l. en coord. generalizada θ( t ) ODE NLModelo dinámico Global NL :
Sistemas NO Lineales (NLDS): Ejemplo 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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B. SIST. NO LINEALES Mod. LTI / LPV
2 Modelado y Análisis Espacio Estado B SIST NO LINEALES Mod LTI / LPV
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Péndulo rígido actuado = 1 Art iculación robótica rotativa
con base inercial y estructura rígida, bajo efecto externo: acel. gravedadPéndulo 1 g.d.l. en coord. generalizada θ( t ) ODE NL
Modelo dinámico Global NL
Espacio de Operación
NL (cuasi-estacionario)
+
Modelo dinámicoLocal LTI / Global LPV
(depende de
Parámetro variable Θ o (t)= Punto instantáneo
de Operación
Análisis Lineal : autovalores, estabilidad, función de transferencia, etc. depende de Θo( t )
Sistemas NO Lineales (NLDS): Ejemplo 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
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B. SIST. NO LINEALES Mod. LTI / LPV
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Unidad 2:
Modelado y Análisis en Espacio de Estadode Sists. Dinámicos Eléctricos y Mecánicos
03/09/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
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2 Modelado y Análisis Espacio Estado
0 PLAN
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Plan de la Unidad 2: A. Sistemas Dinámicos Físicos. Variables de Estado
– Concepto. Estado interno; entradas y salidas. Sistemas SISO vs. MIMO (MV).
– Representación en Espacio de Estados. Ecuación de Estado, diagr. de bloques de estado.
B. Modelos Lineales Invariantes (LTI). Aplicación – Propiedades. Solución. Función de transferencia. Modelos para sistemas interconectados.
– Aplicación a sistemas eléctricos y mecánicos de 1° y 2° orden.
C. Respuesta Dinámica. Estabilidad – Respuesta natural y forzada. Simulación numérica. Análisis en el Espacio de Estado.
D. Formas o Realizaciones Canónicas – Transformación de cambio de base en SS. Formas diagonal, controlable, observable.
E. Controlabilidad y Observabilidad – Conceptos. Criterios: Gilbert, Kalman. Subsistemas Controlable y Observable.
– Resumen y Consultas.
– Próximos Pasos...
Modelado y Análisis
en Espacio de Estado (SS)
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
03/09/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
0. PLAN
2 Modelado y Análisis Espacio Estado B MODELOS LTI TRANSFERENCIA
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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a) Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)
� ̇ = . + . ; 0 = = . +. Donde:
×
1,
×
1,
×
1 × , × , × ,× b) Transferencia Entrada-Salida (Laplace Dominio Frec.)
= . | ≡
Donde: ×1, ×1
×
, = . [ . ]−. +
Representación de Sistemas Lineales IT 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
03/09/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
B. MODELOS LTI. TRANSFERENCIA
2 Modelado y Análisis Espacio Estado B MODELOS LTI INTERCONEXIÓN
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
03/09/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
B. MODELOS LTI. INTERCONEXIÓN
Interconexión Estructuras compuestas • Sistemas dinámicos complejos: compuestos por subsistemas
más simples interconectados entre sí.
• Salidas de un subsistema actúan como entradas a otrossubsistemas en forma directa o mediante operaciones algebraicas.
• Conjunto de variables de estado del sistema global = unión deconjuntos de variables de estado de los subsistemas.
=
1 ∪ 2
• Ecuación de estado del sistema global: eliminar variablesintermedias.
Sean 2 subsistemas:
1: ̇ 1 = 1. 1 + 1.1 ; 1 0 = 11 = 1.1 + 1.1 1 = 1 .1
2:
̇ 2 = 2.2 + 2.2 ; 2(0) = 22
=
2.
2 +
2.
2
2=
2.
2
2 Modelado y Análisis Espacio Estado B MODELOS LTI INTERCONEXIÓN
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
03/09/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
B. MODELOS LTI. INTERCONEXIÓN
Interconexión en SERIE (o Cascada)Relación estructural:
2 ≡ 1 ;
=
1 ;
=
2
Restricción: (2) = (1) Estado: = 1 2 Operando:
̇1 = 1.1 + 1.1 ̇ 2 = 2.2 +2. (1.1 +1.1 )2 = 2.2 +2. (1.1 +1.1 )
: ̇ = 1 2 .1 2 . + 12.1 . ; 0 = = 2.1 2 . + 2.1 . Transferencia:
=
.
=
2 .
1 .
|
2 Modelado y Análisis - Espacio Estado B MODELOS LTI INTERCONEXIÓN
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
03/09/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
B. MODELOS LTI. INTERCONEXIÓN
Interconexión en PARALELORelación estructural:
≡ 1 +
2 ;
=
1 =
2 ;
Restricción : (2) = (1);(2) = (1) Estado: = 1 2 Operando:
̇ 1 = 1.1 +1.1 ̇ 2 = 2.2 +2.2 = 1.1 +1.1 + 2.2 +2.2
: ̇ = 1 2 . + 12 . ; 0 = = 1 2 . + 1 + 2 . Transferencia: =
. =
1 +
2 . |
2 Modelado y Análisis - Espacio Estado B MODELOS LTI INTERCONEXIÓN
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
03/09/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
B. MODELOS LTI. INTERCONEXIÓN
REALIMENTACIÓN Constante de Salida Relación estructural:
1 ≡ 2 ;
2 =
1 ;
Restricción : (2) = 1 = ();(2) = (1) Asumimos:a) Realim. Constante: 2 = . 1 b) Transmisión directa nula:
1 ≡
Estado: = 1 Operando: ̇1 = 1.1 +1. .1.1 1
=
1.
1
: � ̇ = 1 1..1 . + 1 . ; 0 = = 1 . Transferencia: = . =
1. + .
1 −1.
2 Modelado y Análisis - Espacio Estado B MODELOS LTI INTERCONEXIÓN
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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26
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
03/09/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
B. MODELOS LTI. INTERCONEXIÓN
REALIMENTACIÓN de EstadoRelación estructural: Realim. ESTADO:
≡ .
;
Restricción: (.) = = (); Asumimos:
Realim. Constante: . (Ley de Control)
Estado: = 1 Operando:
̇ = . +. . = . +. .
:
� ̇ = . . + . ; 0 =
=
.
.
+
.
K
2 Modelado y Análisis - Espacio Estado B INTERCONEXIÓN: EJEMPLO
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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Control de velocidad en accionamiento 2. Modelado y Análisis Espacio Estado
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B. INTERCONEXIÓN: EJEMPLO
• Sistema conceptual idealizado: compuesto por algunos subsistemas mássimples interconectados entre sí.
• Salidas de un subsistema actúan como entradas a otros subsistemas en formadirecta o mediante operaciones algebraicas.
• Conjunto de variables de estado del sistema global = unión de conjuntos devariables de estado de los subsistemas.
• Ecuación de estado del sistema global: eliminar variables intermedias.
2 Modelado y Análisis - Espacio Estado B INTERCONEXIÓN: EJEMPLO
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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Control de velocidad en accionamiento 2. Modelado y Análisis Espacio Estado
03/09/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
B. INTERCONEXIÓN: EJEMPLO
Subsistemas: () , (. ) (inicialmente no consideramos carga Tl) agregar carga Tl 1: � ̇1
=
1.
1 +
1.
1 1 = 1. 1 + 1.1 ̇1 =
→(
1= 0;
1= 1)
∗ = .1 + . → (1 = ; 1= ) 2: � ̇ 2 = 2. 2 + 2.2 2 = 2.2 + 2.2 ̇2 =
. 2 + 1 . = 2
→(
2 =
;
2 = 1
;
2 = 1;
2= 0)
2 Modelado y Análisis - Espacio Estado B INTERCONEXIÓN: EJEMPLO
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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Control de velocidad en accionamiento 2. Modelado y Análisis Espacio Estado
03/09/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián
B. INTERCONEXIÓN: EJEMPLO
Interconexión: () , (. ) Cascada Realimentación const. de Salida (HACER ) 1: � ̇1
=
1.
1 +
1.
1 1 = 1. 1 + 1.1 ̇1 =
→(
1= 0;
1= 1)
∗ = .1 + . → (1 = ; 1= ) 2: � ̇ 2 = 2. 2 + 2.2 2 = 2.2 + 2.2 ̇2 =
. 2 + 1 . = 2
→(
2 =
;
2 = 1
;
2 = 1;
2= 0)
2 Modelado y Análisis - Espacio Estado C RESPUESTA DINÁMICA
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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1. Solución Analítica: ANÁLISIS – DISEÑO Conceptual Caso Escalar : ej. 1 modo de forma canónica diagonal exp(p.t)
a) Ec. Homogénea Rta. Natural
b) Ec. Forzada Rta. Forzada (convolución)
Caso Vectorial: cualquier realización o forma acoplada exp(A.t)a) Ec. Homogénea Rta. Natural (a estado inicial)b) Ec. Forzada Rta. Forzada (a entradas) [convolución] (+ Rta. Natural)
- Métodos: deducción a) y b) en páginas siguientes
1) Desarrollo en serie de potencias en DT vs.
2) Transformada de Laplace en DF
- Justificación de la definición de estado / Matriz de Transición de Estado- Transferencia = Transformada de Rta. Impulsional (estado inicial nulo)
2. Solución Numérica: SIMULACIÓN de Respuesta Dinámica (step/lsim)
Ej. 9-5, 9-6 Ogata p. 665-668) Resolver analíticam. y luego mediante simulación
Hacer !
Solución de la Ecuación de Estado LTI 2. Modelado y Análisis Espacio Estado
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C. RESPUESTA DINÁMICA
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado C. RESPUESTA DINÁMICA
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1. Solución Analítica: ANÁLISIS – DISEÑO Conceptual Caso Vectorial: cualquier realización o forma acoplada exp(A.t)a) Ec. Homogénea
Rta. Natural(a estado inicial)
Matriz de Transiciónde Estado
Solución de la Ecuación de Estado LTI 2. Modelado y Análisis Espacio Estado
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C. RESPUESTA DINÁMICA
2. Modelado y Análisis - Espacio Estado C. RESPUESTA DINÁMICA
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1. Solución Analítica: ANÁLISIS – DISEÑO Conceptual Caso Vectorial: cualquier realización o forma acoplada exp(A.t)b) Ec. Forzada
Rta. Natural(a estado in icial)
+
Rta. Forzada(a entradas)
[Integral de
Convolución]
Solución de la Ecuación de Estado LTI 2. Modelado y Análisis Espacio Estado
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado C. RESPUESTA DINÁMICA
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Sist. LTI en Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)
: ̇ = . + . ; 0 = = . + . Donde:
×
1,
×
1,
×
1 × ,× ,×,× Respuesta Dinámica , > 0: Natural [ ≡ 0, ] vs. Forzada [ ].Estabilidad (Sists. LTI):
estable si, para toda excitación
acotada en
>
0 todos sus
estados toman valores acotados;si desaparece la excitación, ≡ 0 (rta. Natural) el estado tiende al origendel espacio de estado x=0.Criterio de Estabilidad (en Espacio de Estados):
estable todos los autovalores de A tienen parte real NEGATIVA
Respuesta Dinámica. Estabilidad2. Modelado y Análisis Espacio Estado
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado C. RESPUESTA DINÁMICA
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Control de velocidad en accionamiento y p
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1: ̇1 =
∗
=
.
1 +
.
2: ̇2 = . 2 + 1 .
=
2
→ ( 1= 0; 1 = 1;1 = ; 1= ) → ( 2 = ; 2 = 1 ; 2 = 1; 2= 0) • Ecuación de Estado completo
en lazo cerrado
: (HACER )
• Análisis de Estabil idad (Subsistema mecánico 2 Sistema completo de control realimentado):condiciones: (HACER ) •
SIMULACIÓN (Simulink) (HACER )
•Diseño: Asignación de autovalores en lazo cerrado para rta. Dinámica definida
(
,
)
→(
,
) (HACER )
UNCUYO / Facultad de Ingeniería Carrera de Ingeniería en Mecatrónica
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Unidad 2:
Modelado y Análisis en Espacio de Estadode Sists. Dinámicos Eléctricos y Mecánicos
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado
0. PLAN
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Plan de la Unidad 2: A. Sistemas Dinámicos Físicos. Variables de Estado
– Concepto. Estado interno; entradas y salidas. Sistemas SISO vs. MIMO (MV).
– Representación en Espacio de Estados. Ecuación de Estado, diagr. de bloques de estado.
B. Modelos Lineales Invariantes (LTI). Aplicación – Propiedades. Solución. Función de transferencia. Modelos para sistemas interconectados.
– Aplicación a sistemas eléctricos y mecánicos de 1° y 2° orden.
C. Respuesta Dinámica. Estabilidad – Respuesta natural y forzada. Simulación numérica. Análisis en el Espacio de Estado.
D. Formas o Realizaciones Canónicas – Transformación de cambio de base en SS. Formas diagonal, controlable, observable.
E. Controlabilidad y Observabilidad – Conceptos. Criterios: Gilbert, Kalman. Subsistemas Controlable y Observable.
– Resumen y Consultas.
– Próximos Pasos...
Modelado y Análisisen Espacio de Estado (SS)
y p
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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39
:
� ̇ =
.
+
.
;
0 =
= . +. ,
×1,
×1,
×1
×, ×, ×, × Cambio de Base en Espacio de Estado (Transform. Lineal): = . , ∃ −1 ⟺ = −1. : ̇ = −1. . . + −1. . ; . = . (0) = . . +.
:
̇ = . + . ; (0) =
=
.
+
.
= −1. . ; = −1.
=
.
;
=
−1.
Formas o Realizaciones Canónicas:• Diagonal (o Normal de Jordan si autovalores repetidos)
• Controlable
• Observable (DUALIDAD)
Cambio de variables de estado y p
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS
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Ejemplo:
: (vale para Orden n, Polos o Autovalores NO REPETIDOS)
⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = 0.⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = ()() = .+.+.++.+.+ = 0 + (−.).+(−.).+(−.)− . − . (−) ⇒ = 0.() + − + − + − .() Desacoplamiento MODAL +Interconex. PARALELO
Definir: , ̇ = . + ()
≡
1
2 3 ⇒
= 1 0 00 2 0
0 0
3; = 11
1
;
= 1 2 3 ; = 0;: � ̇ = . + . ; 0 = = . + 0. diagrama de bloques(HACER!)
Alternativa: Definir :
,
̇ =
.
+
.
⇒ = [1 1 1] … (HACER!)
Forma canónica DIAGONALy p
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS
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Ejemplo:
: (vale para Orden n, Polos o Autovalores REPETIDOS o
múltiples) ej. p 1 =p 2
⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = 0.⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = ()() = .+.+.++.+.+ = 0 + (−.).+(−.).+(−.)− . (−)
⇒ =
0.
(
) +
−
+ −
+ −
.
(
) Desacoplamiento
MODAL (Bloques de Jordan)
Definir: 1 , ̇1 = 1. 1 + 2 2 , ̇2 = 1. 2 + ()
≡ 1 2 3 ⇒ =
1 1 00
10
0 0 3;
=
0
1
1
;
= 1 2 3 ; = 0;: � ̇ = . + . ; 0 = =
.
+
0.
diagrama de bloques
(HACER!)
Forma canónica JORDAN (gralización.)
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS
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Ejemplo:
: (vale para Orden n)
⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = 0.⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = ()() = .+.+.++.+.+ = 0 + (−.).+(−.).+(−.)+.+.+ ⇒ = 0.() + .() Facilidad p/ CONTROL (Asignación de Polos): Var.Aux.: estado controlable ≡ 1 . → = 0.() + . + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = A
c
: M. Compañera (inferior) = 0.() + (1 1. 0). ̈ + (2 2. 0). ̇ + (3 3. 0).
≡ ̇ ̈ ⇒ =0 1 0
0 0 13 2 1 ; =0
01
; = 0; = (3 3. 0) (2 2. 0) (1 1. 0)
:
� ̇ = . + . ; 0 =
=
.
+
0.
diagrama de bloques (HACER!)
Forma canónica CONTROLABLE
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS
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Ejemplo:
: (vale para Orden n)
Diagrama de bloques
⇒ = 0.() + .() Facilidad p/ CONTROL (Asignación de Polos): Var.Aux.: estado controlable ≡ 1 . → = 0.() + . + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = A
c
: M. Compañera (inferior) = 0.() + (1 1. 0). ̈ + (2 2. 0). ̇ + (3 3. 0). ≡ ̇ ̈ ⇒
=
0 1 0
0 0 13 2 1 ; =0
01
; = 0; = (3 3. 0) (2 2. 0) (1 1. 0)
:
� ̇ = . + . ; 0 =
=
.
+
0.
Invertir orden
(HACER!)
Forma canónica CONTROLABLE
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS
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Ejemplo:
: (vale para Orden n)
⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = 0.⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = ()() = .+.+.++.+.+ = 0 + (−.).+(−.).+(−.)+.+.+ ⇒ = 0.() + .() Facilidad p/ Diseño OBSERVADOR: Var.Aux.: « estado observable ≡ . → = 0.() + 1 . ̇1 = 3 3. 0 . 3. = + 1. ̈ + 2. ̇ (1 1. 0). ̈ +
(2 2.0). ̇ Integrar 1() reordenar / despejar ̇2 = ⋯
≡ 1(
)
2()3 ≡ ⇒ =0 0
31 0 20 1 1 ; =(
3 3.
0)
(2 2. 0)(1 1. 0) ; = 0 0 1 ; = 0
:
� ̇ = . + . ; 0 =
=
.
+
0.
diagrama de bloques (HACER!)
Forma canónica OBSERVABLE
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS
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Forma canónica OBSERVABLE
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS
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Ejemplo:
: (vale para Orden n)
Diagrama de bloques
⇒ = 0.() + .() Facilidad p/ Diseño OBSERVADOR: Var.Aux.: « estado observable ≡ . → = 0.() + 1 . ̇1 = 3 3. 0 . 3. = + 1. ̈ + 2. ̇ (1 1. 0). ̈ +
(2 2.0). ̇ Integrar 1() reordenar / despejar ̇2 = ⋯
≡ 1(
)
2()3 ≡ ⇒ =0 0
31 0 20 1 1 ; =(
3 3.
0)
(2 2. 0)(1 1. 0) ; = 0 0 1 ; = 0
:
� ̇ = . + . ; 0 =
=
.
+
0.
Invertir orden
(HACER!)
Forma canónica OBSERVABLE
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS
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Forma canónica CONTROLABLE
: � ̇ = . + . ; 0 = = . + 0. ≡ ̇
̈ ⇒ =
0 1 0
0 0 13 2 1 ; =0
0
1
; = 0;
= (
3 3.
0) (
2 2.
0) (
1 1.
0)
Forma canónica OBSERVABLE
: � ̇ = . + . ; 0 = = . + 0. ≡ 1()2()3 ≡ ⇒
= 0 0 31 0 20 1 1 ; =
(3 3.0)(2 2.0)(1 1.0) ; = 0 0 1 ; = 0
=
;
=
;
=
;
DUALIDAD: F. Controlable / Observable
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS Ej.
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Ejercicios:
Obtener las formas canónicas diagonal, controlable y observable
1. Ogata 5th Ed., Section 9-2 Ejemplo 9-1 (pág. 652) [Sist. orden 2 c/1 cero]
2. Ogata 5th Ed., Ej. A-9-1 (pág. 688) hasta A-9-5 (pág. 699)
3. Filtro cuña 2° orden: ≡ ++2.+ Diagonalizar:
1. Ogata 5th Ed., Section 9-2 Ejemplo 9-2 (pág. 654-655) [Sist. orden 3]
Transformar: SS TF (c/Matlab)
1. Ogata 5th Ed., Section 9-3 Ejemplo Progr. 9-1 (pág. 656-657) [Sist. orden 3]
2. Ogata 5th Ed., Section 9-3 Ejemplo 9-3 (pág. 658) y 9-4 (pág. 659)
Formas o Realizaciones Canónicas / TF
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado E. CONTROLABILIDAD - OBSERVAB.
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:
� ̇ =
.
+
.
;
0 =
= . +. , ×1, ×1, ×1
×,
×,
×,
×
Sist. CONTROLABLE (controlabilidad completa de estado)
CONTROLABLE en t0 si se puede transferir desde cualquier estado inicial
(
0) a cualquier otro estado, mediante un vector de control
no
restringido, en un intervalo de tiempo finito.
Criterio de Controlabilidad Completa de Estado en el Espacio de Estado (Kalman) CONTROLABLE ⟺ . … −1. ⟺
=
.
…
−1.
=
(Matriz de Controlabilidad)
Existe alguna ley de control que permite ubicar polos
Criterio de Controlabilidad de Salida CONTROLABLE ⟺ . . . … . −1.
=
.
.
.
…
.
−1.
= (Matriz de Controlab.
Salida)
Controlabilidad
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado E. CONTROLABILIDAD - OBSERVAB.
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50
:
� ̇ =
.
+
.
;
0 =
=
.
+
.
, ×1, ×1, ×1
×,
×,
×,
×
Sist. OBSERVABLE (consid. Sist. NO Forzado: u(t)=0)
OBSERVABLE en t0 si, con el sistema en el estado inicial 0 , es posibledeterminar este estado a partir de la observación de la salida durante un
intervalo de tiempo finito.
cada transición de estado afecta a cada elem. del vector de salida
Criterio de Observabilidad en el Espacio de Estado (Kalman)
Completamente OBSERVABLE ⟺ . … . −1 ⟺ = . …. −1 = (Matriz de Observabilidad)Existe observador que permite reconstruir estado a partir de salida
Observabilidad
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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado E. CONTROLABILIDAD - OBSERVAB.
8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0
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Ejercicios: Evaluar la controlabilidad y observabilidad de los sigs. Sistemas:
1. Ogata 5th Ed., Section 9-6 Ejemplo 9-10 y 9-11 (pág. 677-678)
2. Ogata 5th Ed., Section 9-7 Ejemplo 9-14 y 9-15 (pág. 684-685)
3. Ogata 5th Ed., Ej. A-9-16 (pág. 716) hasta A-9-17 (pág. 717)
Controlabilidad y Observabilidad