Ausgleich von Ausgleich von SterbetafelnSterbetafeln
Andrea Borenich
Ausgleich von Sterbetafeln
Sterbetafeln Bestimmung der rohen
Sterbewahrscheinlichkeiten Ausgleich von Sterbetafeln
Inhalt von Sterbetafeln
Sterbewahrscheinlichkeit qx eines x-jährigen
zahlreiche weitere Kenngrößen
Arten von Sterbetafeln:
Periodensterbetafel Selektionssterbetafel Kompakttafel Dekrementtafel Generationssterbetafel
Periodensterbetafel
Werden auf Grund von gewöhnlichen
Sterbehäufigkeiten berechnet Beziehen keine weiteren Parameter außer
dem Alter mit ein
Selektionssterbetafel
Zusätzliche Parameter (Zeitpunkt)
z.B.: Eintreten der Invalidität Durchführung einer ärztlichen Kontrolle
Kompakttafel
beinhaltet Abschlusszeitpunkt der Versicherung
Dekrementtafel
Auch andere Austrittsmöglichkeiten als Tod zugelassen (werden wie Tod behandelt)
Generationssterbetafel
Entwicklung der Sterbewahrscheinlichkeiten über einen längeren Zeitraum hinweg betrachtet
Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (1) Lx… Gesamtheit der Personen mit Alter x
Tx… Anzahl der Todesfälle im folgenden Jahr
qx… Wahrscheinlichkeit des Todes einer Person (Zufallsereignis)
Rel. Häufigkeit: (einfacher Schätzwert für qx)
xxx LqTE
x
x
L
T
Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (2) Geschlossene Gemeinschaft:
Eintritt nur durch Geburt möglich
Austritt nur durch Tod möglich Offene Gemeinschaft:
Freiwilliger Ein- und Austritt möglich
Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (3) Geburtsdaten der Personengesamtheit
unterscheiden sich voneinander die Daten aus Volkszählungen ergeben
sich zu gewissen Stichtagen => Einführung von ganzzahligen t, τ
Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (1) L(t, τ ):
Anzahl der Lebenden am 1.1. eines Kalenderjahres t, die im Kalenderjahr τ geboren sind
T(−)(t, τ ):Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τgeboren sind und das Lebensjahr t− τ zum Zeitpunkt des Todes noch nicht vollendet haben
T(+)(t, τ )Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τ geboren sind und das Lebensjahr t − τ zum Zeitpunkt des Todes bereits vollendet haben
Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (2)am Stichtag 1.1. des Jahres t:
Lx = L(t, t − x − 1) + T(+)(t − 1, t − x − 1)
sowie
Tx = T(+)(t − 1, t − x − 1) + T(−)(t, t − x − 1),
Schätzwert für qx:
1) - x - t 1, -(t T 1) - x - t L(t,
1) - x - t (t,T 1) - x - t 1, -(t T
L
Tq̂
)(
(-))(
x
xx
Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (1) Ex… Die Zahl neu eintretender Personen des Alters x Ax… Die Anzahl abwandernder Personen des Alters x ex,v... die vom v-ten Eintretenden im
Beobachtungszeitraum innerhalb der Personengemeinschaft verbrachte Zeit
ax,v … die vom v-ten Austretenden außerhalb verbrachte Zeit
diese Zeiten betragen im Durchschnitt ein halbes Jahr (sofern keine anderen Informationen vorliegen).
Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (2)Es gilt und .
Zahl der Todesfälle:
Schätzwert für qx:
v
xvx, 2
Ee
v
xvx, 2
Aa
xxx
v vxxxvx,xvx,xxx q
2
A - E qL qaqe qL]E[T
2A-E
L
Tq̂
xxx
xx
Ausgleich von Sterbetafeln
Anzahl der Todesfälle ist als Zufallsvariable gewissen Schwankungen unterworfen
Möglichkeiten
Graphische Ausgleichung Sterbegesetze Analytische Ausgleichung Mechanische Ausgleichung
Graphische Ausgleichung
Konstruktion einer Kurve, die sich optisch gut an die Daten anpasst
Sterbegesetze (1)
Gompertz:
Aus der Annahme, die Sterbeintensität
sei von der Form
ergibt sich .
lx… Zahl der Lebenden
xx lnldx
dμ x
x bcμ
xcx kgl
Sterbegesetze (2)
Makeham:
Erweitert man dies auf , so erhält man
.
Der Vorteil besteht hier darin, dass verschiedenste
versicherungsmathematische Formeln eine
besonders schöne Form erhalten.
xx bcaμ
xcxx gksl
Analytische Ausgleichung (1)
Ausgleichende Kurve in der Form f(x,a0,…,am), wobei ai Parameter
Analytisches Verfahren von King und Hardy (1)
Formel von Makehamxcx
x gksl 1)(cc
x
1xxx
x
sgl
lq1p
xbca lng1)(cclnslnp xx
Analytisches Verfahren von King und Hardy (2)Parameter a, b, c müssen geschätzt werdendie rohen Sterbewahrscheinlichkeiten für x0 < x < x0+3m−1 gegeben
die Wahrscheinlichkeit für einen (x0 + (k − 1)m)-jährigen, weitere m Jahre zu leben
1
11 0
ˆˆm
iixp
1
12 0
ˆˆm
iimxp
1
123 0
ˆˆm
iimxp
1
11 0
m
iixp
1
12 0
m
iimxp
1
123 0
m
iimxp
k
Analytisches Verfahren von King und Hardy (3)
1
011 0)ˆln(ˆlnln
0
0
m
iix
ix pcbca
1
022 0)ˆln(ˆlnln
0
0
m
iimx
imx pcbca
1
02
233 0)ˆln(ˆlnln
0
0
m
iimx
imx pcbca
mc1
12
23 )ˆlnˆln
ˆlnˆln(
)ˆlnˆln()1(
121
m
mc
cma)ˆlnˆ(ln
)1(
11220
mx cc
cb
n
xnx
nxnx cpp
pp
lnln
lnln 2
Analytische Ausgleichung (2)
Nachteil:
Bei geringer Anzahl von Parametern werden die
Kurven nicht gut genug angepasst bzw. erst ab
einem gewissen Alter (meist etwa > 30 Jahre)
können brauchbare Näherungen geliefert werden.
Bei großer Parameterzahl wächst hingegen der
rechnerische Aufwand.
Mechanische Ausgleichung
Durch Mittelwertbildung werden
Schwankungen ausgeglichen und dadurch
wird die Datenreiche geglättet
Mechanische Ausgleichung von Wittstein (1) arithmetische Mittel aus fünf aufeinander
folgenden Werten gebildet und dieser Vorgang einmal iteriert
jinji
n aA
2
2
2
2 5
1
5
1
)a a2 a3 a4 a5 a4a3a2(a25
1A 4n3n2n1nn1n-2n3n4nn
Mechanische Ausgleichung von Wittstein (2)Dies kann auch folgendermaßen interpretiert werden. Man legt für je eine Gerade
durch die Punkte (n − i, an−i) und (n − i + 5,
an−i+5). Auf jeder dieser Geraden wird der Wert an der Stelle n bestimmt und daraus das arithmetische Mittel gebildet. Dabei kommt man auf
50 i
4
0555
1
iinininn aa
iaA
Andere Methoden
Wollhouse -> Parabeln Karup -> Polynome 3. Grades