GUIÃO PARA ACOMPANHAMENTO DAS AULAS
TEÓRICO-PRÁTICAS DA DISCIPLINA DE
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Elaborado por: Ana Bela Magalhães, Graça Marcos, Vítor Cardoso e com a
colaboração de Marisa Oliveira.
Departamento de Matemática, ISEP.
Descrição: Este guião destina-se ao acompanhamento das aulas teórico-práticas da
disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica do curso de Engenharia Mecânica.
Contém, para cada aula, um conjunto de exercícios resolvidos passo a passo, um
conjunto de exercícios propostos que serão resolvidos nas aulas teórico-práticas e um
conjunto de exercícios suplementares para consolidação das matérias expostas nas
aulas teóricas. Todos os exercícios vêm acompanhados da respectiva solução.
Conteúdo: 1ª aula: Operações com matrizes. Inversa de uma matriz.................................................... 12ª aula: Cálculo da característica e da matriz inversa, utilizando o método da
condensação.......................................................................................................................... 53ª aula: Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordem. Teorema de Laplace.......................... 94ª aula: Aplicação das propriedades ao cálculo de determinantes....................................... 115ª aula: Representação matricial de um sistema. Resolução pelo método da
condensação.......................................................................................................................... 176ª aula: Sistemas de Cramer: definição. Resolução por igualdades de Cramer e por
igualdade matricial. Sistemas homogéneos........................................................................... 217ª aula: Discussão de sistemas............................................................................................. 248ª aula: Espaços vectoriais. Subespaços vectoriais.............................................................. 29
9ª aula: Combinação linear. Dependência e independência linear. Conjunto gerador.......... 32
10ª aula: Bases e dimensão de um espaço vectorial.................................................... 36
11ª aula: Produto vectorial e produto escalar. Equações de rectas e de planos................... 3912ª aula: Intersecções e posições relativas........................................................................... 44
1ª aula: Operações com matrizes. Inversa de uma matriz.
ABM, MGM, VCC
1
I – Exercícios Resolvidos
1. Seja [ ]1 2 3 2 A = − ,
1 31 22 11 1
B
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦
e [ ]2 5 C = . Calcule:
a) CBA 3+×
b) TT AB × Resolução:
a) Verificar se é possível efectuar o produto: 41: ×A , 24: ×B . Logo o produto é possível e ( ) 21: ×× BA .
[ ]
1 31 2
1 2 3 2 2 11 1
A B
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥× = − × =⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 1 2 1 3 2 2 1 1 3 2 2 3 1 2 1 9 0 ⎡ ⎤= × + − × + × − + × − × + − × + × + × − = −⎣ ⎦
[ ] [ ] 15 6 5 2 33 ==C
Então [ ] [ ] [ ]3 9 0 6 15 3 15 A B C× + = − + = − .
b) 1º método:
1 1 2 13 2 1 1
TB− −⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e
1232
TA
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Como 42: ×TB , 14: ×TA tem-se ( ) 12: ×× TT AB
11 1 2 1 2 9
3 2 1 1 3 0
2
T TB A
⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥× = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
2º método:
( ) [ ] 9 9 0
0T TT TB A A B
−⎡ ⎤× = × = − = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
2. Calcule a matriz inversa da matriz 3 6
1 4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, recorrendo à definição de inversa de uma matriz.
Resolução:
1ª aula: Operações com matrizes. Inversa de uma matriz.
ABM, MGM, VCC
2
Definição: IAA =× −1 .
3 6 1 2 33 6 1 0 3 6 3 6 1 0 3 6 0 1
1 4 0 1 4 4 0 1 4 0 1 6
4 1 1 2
a c aa b a c b d b d bc d a c b d a c c
b d d
+ = =⎧ ⎧⎪ ⎪+ + + = = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪× = ⇔ = ⇔ ⇔⎨ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + = = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩
.
Logo 13 6 2 3 1
1 4 1 6 1 2
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
3. Seja 1 1
3 2
A⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
a) Calcule 2A .
b) Resolva em ordem a X , matriz regular, a seguinte equação matricial: ( ) 12 1TA A X A− −= .
Resolução:
a) 2 1 1 1 1 4 3 3 2 3 2 9 7
A A A⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= × = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
b) Como 1 0A = − ≠ , então A é regular e, assim, existe 1A− . Note-se que se A é regular, então 2A e TA
são também regulares e, logo existe ( ) 12A−
e ( ) 1TA−
.
( ) 12 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2T T T TA A X A A X A A A X A A A A A X I A A− − − − − − − − − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1 1T T T T T TA X A A A X A A IX A A X A A− − − −− − − −⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
( )11 1
T TX A A X A A−− −⎡ ⎤⇔ = ⇔ =⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Calcular 1−A (ver exercício anterior): 1 2 13 1
A− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
Fica então: 2 1 1 3 1 4
3 1 1 2 2 7
X− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.
1ª aula: Operações com matrizes. Inversa de uma matriz.
ABM, MGM, VCC
3
II – Exercícios Propostos
1. Seja 2 1 10 1 3
A−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦,
3 11 1 0 2
B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
e 3 12 1
C−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
a) Determine a matriz ICBAM 32 +−×= .
b) Determine a matriz X tal que ICX =× .
2. Seja 1 2
3 2
A−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e
2 1
1 1B
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
. Determine a matriz X tal que 14 −×=× AXB .
3. Sendo A e B duas matrizes quadradas da mesma ordem, em que condições se verifica a igualdade
( ) 222 2 BABABA ++=+ ?
4. Sendo A e B matrizes regulares, resolva a equação ( ) ( ) 1 1T
TA X AB A− −⎡ ⎤ + =⎢ ⎥⎣ ⎦
.
5. Sejam U e V duas matrizes de ordem n simétricas. Prove que UV é simétrica se U e V são
permutáveis e vice-versa.
Soluções:
1. a) 4 5
5 4
M⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ b)
1 5 1 52 5 3 5
X⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 2.
5 3
8 4X
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
3. A e B matrizes permutáveis.
4. ( ) ( )2 1T TX A B−= −
III – Exercícios Suplementares
1. Sendo B e X matrizes regulares, resolva a seguinte equação matricial: 2 14 2B BX O−+ = .
2. Sendo A , B e X matrizes regulares, resolva a seguinte equação matricial: BAAX T =− .
3. Sendo X uma matriz simétrica, resolva a seguinte equação matricial: ( )TTXAB B CX I+ = .
4. Mostre que sendo A e B matrizes regulares tais que CAB = então ICBA =−− 11 .
1ª aula: Operações com matrizes. Inversa de uma matriz.
ABM, MGM, VCC
4
5. Mostre que sendo A e B matrizes tais que AAB = e BBA = então AA =2 .
6. Resolva a seguinte equação matricial: ( ) IBBAX TT =−− .
7. Resolva a seguinte equação matricial: ( )( ) IBABXA T =+ −1 .
Soluções:
1. 112
X B−= −
2. ( )1 T TX I A B−= +
3. ( ) 11 TX B A C−−= +
6. ( )1 T TX B A B−= + +
7. ( ) 1 1TX A AB B A− −= −
2ª aula: Cálculo da característica e da matriz inversa, utilizando o método da condensação.
ABM, MGM, VCC
5
I – Exercícios Resolvidos
1. Calcule a característica da matriz A , sendo
1 2 0 32 3 1 21 1 1 01 0 2 1
A
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
Resolução: Para o cálculo da característica de uma matriz pelo método da condensação, anulam-se todos os elementos
que estão acima ou abaixo da diagonal.
22
2 2 1 3 3 23 3 1 4 4 24 4 1
1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 32 3 1 2 0 1 1 4 0 1 1 4
1 1 1 0 0 1 1 3 0 0 0 11 0 2 1 0 2 2 2 0 0 0 6L L L L L LL L L L L LL L L
← − ← −← − ← −← −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
Sempre que aparecer um zero na diagonal, deve tirar-se. Desta forma:
63 4 4 4 3
1 2 0 3 1 2 3 0 1 2 3 00 1 1 4 0 1 4 1 0 1 4 1
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0C C L L L↔ ← −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
A maior sub-matriz triangular, sem zeros na diagonal, é a matriz de 3ª ordem
1 2 30 1 4 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. Logo
( ) 3C A = , que é a ordem da sub-matriz.
2. Sendo
11 1 1 1 1
a bM
b
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, calcule a e ℜ∈b de modo que ( ) 2=MC .
Resolução:
2 2 11 2 2 33 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1L L LL L C CL L L
a ba b a b b a
b b b b← −↔ ↔← −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
Para que ( ) 2C M = temos de fazer 1 0 1 0 1 1b a b a− = ∧ − ≠ ⇔ = ∧ ≠
2ª aula: Cálculo da característica e da matriz inversa, utilizando o método da condensação.
ABM, MGM, VCC
6
3. Calcule a inversa da matriz B , sendo
0 0 22 1 1 1 1 1
B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
Resolução: Só se pode operar com linhas.
23 1 2 2 1
0 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 12 1 1 0 0 1 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0L L L L L↔ ← −
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼
1 321 1 2 3
1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0L L L L L← + ←
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
2 2 3
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2 0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 0L L L← +
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼
Então, 10 1 1
1 2 1 2 1 2 0 0
B−
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
II – Exercícios Propostos
1. Sendo
2 1 10 2 1 3 0 1
A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
calcule 1−A .
2. Considere a seguinte matriz:
1 1 21 1 1 1
A ab
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
a) Determine os valores de ℜ∈ba, , para os quais a matriz é regular.
b) Sem efectuar cálculos, e para os valores encontrados, indique, justificando, qual a característica de
A .
c) Para 1a = e 0b = calcule, por condensação, 2−A .
2ª aula: Cálculo da característica e da matriz inversa, utilizando o método da condensação.
ABM, MGM, VCC
7
3. Calcule a característica das matrizes:
a)
2 1 3 4 3 21 2 0 5 2 1
1 0 3 2 1 11 3 3 5 3 1
A
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
b)
1 0 22 1 1
1 2 01 1 0
B
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Soluções:
1. 12 1 3
1 3 1 2 5
6 3 4A−
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
2. a) { } { }\ 2 \ 1a b∈ℜ ∧ ∈ℜ b) ( ) 3C A = c) 22 1 21 2 1 1 0 2
A−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
3. a) ( ) 3C A = b) ( ) 3C B =
III – Exercícios Suplementares 1. Calcule a característica das seguintes matrizes:
a)
1 3 1 32 8 3 4 3 3 8 16
A⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
b)
3 2 1 42 2 1 2 5 4 2 6
B⎡ ⎤⎢ ⎥= − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
c)
2 1 3 34 3 8 4 6 18 3 16
C⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
d)
2 3 15 6 3
3 3 21 0 1
D
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
2. Considere as matrizes:
1 0 11 12 4
k kA k k k
k k
+⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
e
1 0 22 1 11 2 01 1 0
B
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
.
a) Discuta a característica da matriz A , em função da variação do parâmetro k .
b) Para 0=k , determine a matriz M , tal que: ( ) ( ) IMBABAM =××=×× .
c) Resolva a equação matricial em ordem a X : ( ) ( ) T TTE X I I ECD⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ .
2ª aula: Cálculo da característica e da matriz inversa, utilizando o método da condensação.
ABM, MGM, VCC
8
3. Considere a matriz 1
2 1
pD
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
a) Calcule a matriz C , permutável com D e cujos elementos da 1ª linha são todos iguais a 1.
b) Faça 1=p e calcule 1−D .
c) Com base nos resultados anteriores, diga justificando se, para 1=p , o sistema cuja matriz dos
coeficientes das incógnitas é D , seria possível.
4. Seja
0 1 1 0 1
1 0
aA
a
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
com ℜ∈a .
a) Determine o valor do parâmetro a de modo que A seja regular.
b) Suponha 2=a .
i) Sem efectuar cálculos, indique a característica de A71
. Justifique.
ii) Resolva a equação matricial: ( )[ ] BAIBXA TT=+
−−−
111 .
5. Seja 1
1p
Aq−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
com ℜ∈qp, .
a) Determine os valores de p e de q de modo que A seja singular.
b) Supondo 0== qp , resolva a equação matricial: ( ) 1232 −−=+ AAIAB TT .
Soluções:
1. a) ( ) 3C A = b) ( ) 2C B = c) ( ) 3C C = d) ( ) 2C D =
2. a) ( ) 3,C A k= ∀ ∈ℜ b)
4 2 1 23 2 0 3 1 1 2
M− −⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
c) 1X CD E I−= − +
3. a) 1 1
2 1
Cp
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, { }\ 0p∈ℜ b) 1 1 12 1
D− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
c) Sim.
4. a) { }\ 0a∈ℜ b) i) 1 37
C A⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
ii) ( )( ) 1 TT TX A B A I B−= −
5. a) 1qp
= − , { }\ 0p∈ℜ b) 3 2
2 3
B−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
3ª aula: Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordem. Teorema de Laplace.
ABM, MGM, VCC
9
I – Exercícios Resolvidos
1. Calcule o valor dos seguintes determinantes:
a) 2 1
3 -5
Δ = b)
3 1 2 1 1 0 2 4 1
−Δ = −
Resolução: a) Determinante de 2ª ordem. Regra prática.
( )2 1
2 5 3 1 133 5
Δ = = × − − × = −−
.
b) Determinante de 3ª ordem. Regra de Sarrus.
( ) ( ) ( ) ( ) 3 -1 2 1 -1 0 3 1 1 1 4 2 2 1 0 1 1 1 3 4 0 2 1 2 10 2 4 1
3 -1 2 1 -1 0
Δ = = × − × + × × + × − × − × − × − × × − × − × =
2. Calcule, aplicando o teorema de Laplace, o valor do seguinte determinante:
1 2 1 02 3 1 1
1 1 4 21 1 1 0
−−
Δ =−
−
.
Resolução:
Aplicando o Teorema de Laplace à 4ª coluna vem: ( )14 24 34 440 1 2 0A A A AΔ = × + − × + × + × .
Cálculo dos complementos algébricos ijA e dos menores complementares ijM :
( )2 424 24 241A M M+= − = sendo 24
1 2 11 1 4 111 1 1
M−
= − = −−
(ver exercício 1.b))
( )3 434 34 341A M M+= − = − sendo 34
1 2 12 3 1 111 1 1
M−
= = −−
(ver exercício 1.b))
Assim, 11 2 11 33Δ = + × = .
3ª aula: Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordem. Teorema de Laplace.
ABM, MGM, VCC
10
II – Exercícios Propostos
1. Calcule os valores dos seguintes determinantes:
a) 2 3
4 5
− b)
2 13 2
2
ii
i i
−
− (onde i é a unidade imaginária)
2. Seja o determinante
1 1 2 30 3 2 02 1 3 04 2 1 1
−−−− −
. Calcule o determinante, aplicando o teorema de Laplace:
a) à 2ª linha;
b) à 4ª coluna.
3. Calcule o valor do determinante
5 0 1 32 3 1 14 1 2 13 3 1 1
−
− −−
aplicando o teorema de Laplace.
Soluções:
1. a) 22 b) 7 7i− +
2. a) 105 b) 105
3. 33
III – Exercícios Suplementares
1. Considere a matriz
3
2
32
nx nz ny n x
A x y y n x
ny nx ny nx n x
⎡ ⎤+⎢ ⎥
= +⎢ ⎥⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎣ ⎦
.
a) Identifique, na matriz, os elementos 12a e 21a .
b) Indique o menor complementar e o complemento algébrico do elemento 32a de A .
Soluções:
1. a) 12a ny= e 21a x y= + b) 3
32 2
nx nz n xM
x y n x
+=
+ e ( )3 2
32 321A M+= − .
4ª aula: Aplicação das propriedades ao cálculo dos determinantes.
ABM, MGM, VCC
11
I – Exercícios Resolvidos
1. Considere o seguinte determinante
1 2 3 41 7 8 90 3 2 41 6 11 6
.
a) Sem calcular o valor do determinante, represente um determinante de 3ª ordem de valor igual ao
determinante dado.
b) Calcule o valor do determinante, aplicando apenas propriedades.
Resolução: a) Se aplicarmos o Teorema de Laplace a qualquer uma das filas do determinante dado, obtém-se sempre
uma soma de vários determinantes e não um único como é pretendido. Então, vamos aplicar as propriedades
dos determinantes de forma a obtermos uma fila com apenas um elemento não nulo.
Aplicando a 8ª propriedade:
( )1 1
2 2 14 14
1 2 3 4 1 2 3 45 5 5 5 5 5
1 7 8 9 0 5 5 5 1 1 3 2 4 3 2 4
0 3 2 4 0 3 2 44 8 2 4 8 2
1 6 11 6 0 4 8 2L L LL LL
+
← −← −
= = × − =
Então
5 5 5 3 2 4 4 8 2
é um determinante de 3ª ordem de valor igual ao determinante dado.
b) Vamos anular todos os elementos que estão acima ou abaixo da diagonal principal, para depois utilizando
a 9ª propriedade fazermos o produto dos elementos da diagonal principal, obtendo o valor pretendido.
Anulando coluna a coluna, começamos da esquerda para a direita e nunca passamos à coluna seguinte sem
anularmos todos os elementos da coluna anterior. O elemento redutor é sempre o elemento da coluna que
estamos a trabalhar e que se encontra na diagonal principal.
Na 1ª coluna o elemento redutor é 1.
2 2 14 4 1
1 2 3 4 1 2 3 41 7 8 9 0 5 5 5
0 3 2 4 0 3 2 41 6 11 6 0 4 8 2L L L
L L L← −← −
= =
O elemento redutor é agora 5. Para reduzir a zero os elementos 32a e 42a teríamos de trabalhar com
números fraccionários. Para evitar isso, dividimos a 2ª linha por 5. Dividindo também a 4ª linha por 2 vem:
4ª aula: Aplicação das propriedades ao cálculo dos determinantes.
ABM, MGM, VCC
12
32
3 3 24 4 2
1 2 3 4 1 2 3 40 1 1 1 0 1 1 1
5 2 10 0 3 2 4 0 0 1 10 2 4 1 0 0 2 1L L L
L L L← − ×← − ×
= × × = × =−
−
Na 3ª coluna o elemento redutor é -1. Fica então:
24 4 3
1 2 3 4 1 2 3 40 1 1 1 0 1 1 1
10 10 0 0 1 1 0 0 1 10 0 2 1 0 0 0 1L L L← + ×
= × = × =− −
−
Utilizando agora a 9ª propriedade (o determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal) fica:
( )10 1 1 1 1 10= × × × − × = − .
2. Mostre utilizando apenas propriedades, que é nulo o seguinte determinante
1 5 4 2 12 1 3 5 14 9 11 1 30 2 1 0 01 1 1 1 1
−−
− −
− − −
.
Resolução: Aplicando a 8ª propriedade vem:
22 2 1
1 5 4 2 1 1 5 4 2 12 1 3 5 1 4 9 11 1 3
04 9 11 1 3 4 9 11 1 30 2 1 0 0 0 2 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1L L L← + ×
− −− − −
= =− − − −
− − − − − −
, porque o determinante tem duas
linhas iguais.
3. Resolva a seguinte equação:
1 1 1 1 0
1 1
bb
b= .
Resolução:
Pela regra de Sarrus obtemos 31 1
1 1 0 3 2 01 1
bb b b
b= ⇔ − + = , ou seja, temos que determinar as raízes
de um polinómio do 3º grau.
4ª aula: Aplicação das propriedades ao cálculo dos determinantes.
ABM, MGM, VCC
13
Para evitarmos este método, vamos obter uma matriz diagonal para podermos aplicar a 9ª propriedade à
resolução do determinante.
( )
1 1 2 1 1 3
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1C C C C C C
b b b b b bb b b b b b
b b b← + ← +
+ += = + = + =
+ +
Vamos agora anular abaixo da diagonal:
( ) ( ) ( )2 2 1 3 23 3 1
1 1 1 1 1 12 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 0 1L L L C CL L L
b b bb b b b b b b b
b b← − ↔← −
= + = + − − = − + − − =− −
( )( )( )2 1 1b b b= − + − −
A equação a resolver é então:
( )( )( )2 1 1 0 2 1b b b b b− + − − = ⇔ = − ∨ = (raiz dupla).
II – Exercícios Propostos
1. Seja
5 0 1 32 3 1 1
4 1 2 13 3 1 1
−
Δ =− −
−
.
a) Sem calcular o valor do determinante represente:
a1) um determinante de 5ª ordem sem elementos nulos e de valor igual a −Δ ;
a2) um determinante de 3ª ordem, cujos elementos da 2ª linha sejam todos iguais a 1 e de valor igual
a 2Δ ;
b) Calcule o valor do determinante aplicando propriedades.
2. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as propriedades:
a) 1 a b cc a bb a c
Δ = b) 2
a b c da b c da b c da b c d
− − −Δ =
− −−
3. Decomponha o determinante seguinte num produto de factores lineares: 2
1 32 4
2
x xx x
x x x
+.
4ª aula: Aplicação das propriedades ao cálculo dos determinantes.
ABM, MGM, VCC
14
4. Resolva a equação: 1
02 13 2 1
x x x xx x x
x xx
= .
5. Resolva a seguinte equação:
1 1 12 1 0
6 1 11
x xx x x
x
+ − − −+ − + =− −
.
Soluções:
1. a) Por exemplo a1)
1 2 4 2 25 5 5 1 32 2 5 1 14 4 3 2 13 3 6 1 1
−
−−
a2)
2 3 221 1 1 6 6 16
−
− b) 33
2. a) ( )( )( )a b c a b c b+ + − − b) 8abcd−
3. ( )( )( )1 2 2x x x x− − +
4. 0 1x x= ∨ = (raiz tripla)
5. 5 3 1x x x= ∨ = − ∨ = −
III – Exercícios Suplementares
1. Sabendo que 3 0 2 11 1 1
x y z= calcule o valor de:
a) 3 3 3 3 2 1 1 1
x y zx y zx y z+ ++ + +
b)
1 1 14 1 3 1 1 1
x y z− − −
2. Decomponha os determinantes seguintes num produto de factores lineares:
a)
2
a a aa b b aa c b a++
b)
1 1 12 1
6 1 11
x xx x x
x
+ − − −+ − +− −
c)
1 21 2
1 2
2 1
x yx y
x yy x
4ª aula: Aplicação das propriedades ao cálculo dos determinantes.
ABM, MGM, VCC
15
3. Com base no determinante A dado e sem o resolver, encontre um outro determinante B , apenas com
elementos inteiros tal que B kA= , com k real, e determine o valor de k .
2 3 1 6 21 2 3 4 1
1 3 4A =
4. Com base no determinante dado e sem o resolver, encontre um outro determinante de 4ª ordem com valor
simétrico do dado e apenas com elementos positivos.
2 3 11 2 4 4 1 2
5. Sem aplicar a regra de Sarrus nem o teorema de Laplace, mostre que:
( )
2 3 2 2
2 8 4 7 1 4 7 2 4 2 8 2 1 2 2 8 3 2 1 9 3 1 9
x x x xx x xx
−− = −−
6. Sem calcular o valor dos determinantes 1Δ e 2Δ , escreva um outro determinante Δ , de modo que
1 2Δ = Δ + Δ .
1
1 2 3 41 7 8 90 3 2 41 6 11 6
Δ = 2
3 4 23 2 4 4 8 2
Δ =
7. Recorrendo apenas às propriedades dos determinantes, demonstre que o valor de Δ é constante.
2
2
2
1 0 2
2 4 4 4
3 5 6 5 1
y
y y
y y
Δ = −
− +
8. Considere
1 2 1 1 4 3
1 2 1
−Δ =
−. Sem calcular Δ , escreva uma matriz A de ordem 4 tal que A tenha um
terço do valor de Δ , com elementos todos negativos e em que os elementos da terceira linha sejam iguais a -
3.
4ª aula: Aplicação das propriedades ao cálculo dos determinantes.
ABM, MGM, VCC
16
9. Mostre, utilizando propriedades, que 0x = é raiz da equação:
0 0 0
0
x a x bx a x cx b x c
− −+ − =+ +
; , ,a b c∈ℜ .
10. Considere o determinante:
1 1 0 11 3 1 2
1 3 2 11 1 4 0
−Δ =
−− −
. Mostre que 1π −Δ < , aplicando o teorema de
Laplace à terceira coluna.
11. Sendo
2 2
2 21
2 2
2
3
4
a a a
b b b
c c c
Δ = e
2 2
2 22
2 2
3 4
4 6
5 8
a a a
b b b
c c c
Δ = , verifique, sem resolver os determinantes,
que 2 12Δ = Δ .
12. Seja A uma matriz ortogonal, isto é, TAA =−1 . Mostre que 1±=A .
Soluções: 1. a) 1 b) 1
2. a) ( )( )a a b c b− − b) ( )( )( )1 3 5x x x+ + − c) ( )( )( )( )3 1 2 2x y x y x+ + − − −
3.
4 1 122 3 4 1 3 4
B = ; 24k =
4. Por exemplo:
1 4 4 41 2 1 3
1 3 3 71 6 2 5
6.
8 9 73 2 4 4 8 2
7. 4Δ =
8. Por exemplo:
4 9 1 3 7 9 2 33 3 5 73 3 3 35 3 5 5
A
− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥=⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦
10. 6Δ = logo 66
1 1ππ
− = <
5ª aula: Representação matricial de um sistema. Resolução pelo método da condensação.
ABM, MGM, VCC
17
I – Exercícios Resolvidos
1. Considere o seguinte sistema, nas incógnitas 1x , 2x e 3x : 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 031
x x xx x x
x x x
+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪− − − =⎩
.
a) Represente-o matricialmente.
b) Classifique o sistema.
c) Resolva-o pelo método da condensação.
Resolução:
a) A representação matricial de qualquer sistema corresponde à igualdade: AX B= sendo:
A - matriz dos coeficientes;
X - matriz das incógnitas;
B - matriz dos termos independentes.
Sendo assim, vem:1
2
3
2 1 1 01 1 1 31 1 1 1
xxx
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− × =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
.
b) A classificação do sistema é feita através da comparação das características da matriz dos coeficientes e
da matriz completa do sistema
2 1 1 01 1 1 31 1 1 1
A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
.
Para determinarmos essas características, usamos o já conhecido método da condensação.
Se tivermos o cuidado de não trocar a coluna dos termos independentes para o meio das outras colunas,
podemos determinar em simultâneo a ( )C A e ( )C A .
22 2 11 2 2 33 3 1
2 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 31 1 1 3 2 1 1 0 0 3 1 6 0 1 3 61 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 4 0 0 2 4L L LL L C CL L L
← −↔ ↔← +
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
Logo ( ) ( ) 3C A C A= = . Então o sistema é possível e determinado, porque há 3 incógnitas.
c) Se durante a condensação não fizermos operações com colunas, a não ser trocar a ordem, podemos
extrair a matriz condensada de um sistema equivalente ao dado; logo, com as mesmas soluções. Neste caso,
e tendo em conta a alínea b), só foi efectuada a troca da coluna 2 com a coluna 3. Assim sendo, a coluna 2 da
matriz condensada corresponde a 3x e a coluna 3 a 2x .
Extraindo o sistema da matriz condensada, vem:
5ª aula: Representação matricial de um sistema. Resolução pelo método da condensação.
ABM, MGM, VCC
18
1 3 2 1 3 2 1
3 2 3 2
32 2
3 3 13 6 0 2
02 4 2
x x x x x x xx x x x
xx x
+ − = + − = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪− + = − ⇔ − = ⇔ = −⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ =− = = − ⎩⎩ ⎩
Solução: ( ){ }1, 2,0− .
2. Considere o seguinte sistema nas incógnitas 1x , 2x , 3x e 4x :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 4
2 3 4
02 3
2 33 3
x x x xx x x xx xx x x
− + − =⎧⎪ − + + =⎪⎨− − = −⎪⎪− + − = −⎩
.
a) Classifique o sistema.
b) Resolva-o pelo método da condensação e indique uma solução particular.
Resolução: a) Vamos fazer a condensação, tal como foi explicado no exercício anterior.
22 2 1 3 3 23 3 1 4 4 2
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 02 1 1 1 3 0 1 1 3 3 0 1 1 3 3
1 0 0 2 3 0 1 1 3 3 0 0 0 0 00 1 1 3 3 0 1 1 3 3 0 0 0 0 0L L L L L L
L L L L L L← − ← +← + ← +
− − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼
( ) ( ) 2C A C A= = . Logo o sistema é possível e duplamente indeterminado, porque há 4 incógnitas.
b) Incógnitas principais: 1x e 2x .
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 4
2 3 42 3 4 2 3 4 2 3 4
3 33 3 3 3 3 3
4 44 4 4 4 4 4
0 3 3 23 33 3 3 3 3 3
x x x x x x x x x x k k k k x kx k kx x x x k k x k kx kx k x k x kx kx k x k x k
− + − = = − + = + − − + = −⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = + −− + = = + − = + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ == = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ == = = ⎩⎩ ⎩ ⎩
Fazendo 3 0k = e 4 1k = tem-se uma solução particular que é dada por: ( ){ }1,0,0,1 .
II – Exercícios Propostos 1. Usando o método da condensação resolva os sistemas:
a)
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 3
12 0
2 32 3 3
x x x xx x xx x x xx x
+ − + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + + − =⎪⎪ + = −⎩
b)
2 3 13 22 3 2 1
2 0
x y zx y zx y z
x y z
+ − =⎧⎪ − − =⎪⎨ − + =⎪⎪ − + =⎩
5ª aula: Representação matricial de um sistema. Resolução pelo método da condensação.
ABM, MGM, VCC
19
2. Considere o sistema
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 12
42 2 4
x x x xx x x xx x x xx x x x
+ + − =⎧⎪ + + − =⎪⎨ − + + = −⎪⎪ + − + =⎩
.
a) Prove que o sistema não é um sistema de Cramer.
b) Determine a solução geral do sistema usando o método da condensação.
3. Resolva o sistema
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
12 0
2 2 15 1
x x x xx x xx x x x
x x x x
+ + + =⎧⎪ + − =⎪⎨ + + − =⎪⎪ − + − = −⎩
.
Soluções: 1. a) Sistema impossível (SI) b) Sistema possível e determinado (SPD). Solução:
5 3 4, ,11 11 11
⎧ ⎫⎛ ⎞− −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
2. b) Sistema possível e indeterminado (SPI). Solução: ( ){ }, 3, 1, ;k k k k k− + − ∈ℜ .
3. Sistema possível e duplamente indeterminado (SP2I). Solução: ( ){ }4 3 4 3 4 3 42 ,1 3 , , ; ,k k k k k k k− − ∈ℜ .
III – Exercícios Suplementares
1. Considere as matrizes
1 1 20 4 22 2 2
A−⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
e
324
B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. Calcule X tal que AX B= .
2. Considere as matrizes 1 1 22 1 7
X−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
e
112
Y⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. Resolva a equação matricial 0TY X Z− = .
3. Considere o seguinte sistema de equações:
2 32 3 8
5 7
x y zx y zx z
+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪− − = −⎩
.
a) Resolva-o, utilizando o método da condensação.
b) Com base nos cálculos anteriores diga, justificando, se o sistema homogéneo obtido a partir do
sistema dado, por substituição dos termos independentes, admite como única solução a solução nula.
5ª aula: Representação matricial de um sistema. Resolução pelo método da condensação.
ABM, MGM, VCC
20
Soluções:
1. SPI – Solução: 5 3 1, , ;
2 2k k k k⎧ ⎫− −⎛ ⎞ ∈ℜ⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭.
2. 10
Z⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
3. a) SPI – Solução: ( ){ }7 5 , 2 3 , ;k k k k− − + ∈ℜ . b) Não. Solução: ( ){ }5 ,3 , ;k k k k− ∈ℜ .
6ª aula: Sistemas de Cramer: definição. Resolução por igualdades de Cramer e por igualdade matricial. Sistemas homogéneos.
ABM, MGM, VCC
21
I – Exercícios Resolvidos
1. Considere o sistema 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 031
x x xx x x
x x x
+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪− − − =⎩
.
a) Prove que é um sistema de Cramer.
b) Resolva-o por igualdade matricial.
c) Confirme o valor de 3x , aplicando igualdades de Cramer.
Resolução: a) Para que um sistema seja de Cramer, tem de satisfazer duas condições:
• nº de equações = nº de incógnitas – Verifica-se.
• 0A ≠ - Neste caso temos
2 1 11 1 1 2 01 1 1
A = − = ≠− − −
b) Da igualdade matricial AX B= , obtém-se 1X A B−= , pois existe 1A− , uma vez que 0A ≠ .
1º Calcular 1A− . Aplicando o já conhecido método da condensação, obtemos:
11 0 10 1 2 1 2 1 1 2 3 2
A−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
.
2º Efectuar o produto:
1 0 1 0 10 1 2 1 2 3 21 1 2 3 2 1 0
X⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − × = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
c) As igualdades de Cramer, permitem calcular cada incógnita através de um quociente de dois
determinantes: ,ii
cx iΔ= ∀Δ
em que cΔ é o determinante da matriz dos coeficientes do sistema e iΔ é o determinante correspondente à
incógnita ix e que é obtido do determinante da matriz dos coeficientes substituindo a coluna da incógnita i
pela coluna dos termos independentes.
Então, neste caso: 33
cx Δ=Δ
, sendo:
3
2 1 01 1 3 01 1 1
Δ = − =− −
e
2 1 11 1 1 21 1 1
cΔ = − =− − −
(já anteriormente calculado). Então 30 02
x = = .
6ª aula: Sistemas de Cramer: definição. Resolução por igualdades de Cramer e por igualdade matricial. Sistemas homogéneos.
ABM, MGM, VCC
22
2. Considere o seguinte sistema, nas incógnitas x , y e z :
7 2 03 2 04 2 0
x y zx y zx z
+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + =⎩
.
a) Classifique o sistema, à priori.
b) Indique, sem efectuar cálculos, uma solução do sistema.
c) Resolva-o pelo método da condensação.
Resolução: a) O sistema é um sistema homogéneo; logo, sempre possível. Poderá ser determinado ou indeterminado.
b) Sendo um sistema homogéneo, a solução nula é sempre solução do sistema. Se substituirmos todas as
incógnitas por zero, todas as equações são satisfeitas. Não se sabe ainda se a solução nula é única ou não.
c)
1 2 2 2 1 3 3 2
y x z7 2 1 0 2 7 1 0 2 7 1 0 2 7 1 03 2 1 0 2 3 1 0 0 4 2 0 0 4 2 04 0 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0 0 0 0 0C C L L L L L L↔ ← − ← +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
Então, ( ) ( )C A C A= , já que se trata de um sistema homogéneo.
( ) ( ) 2C A C A= = , logo sistema possível e simplesmente indeterminado, pois o grau de indeterminação =
nº de incógnitas ( ) 3 2 1C A− = − = . Logo e yx são incógnitas principais e z é a incógnita não principal.
Então ( ),z k k= ∈ :
A solução vem então:
542 7 0
14 2 02
y ky x zx z x k
z k z k
⎧ =⎪+ + =⎧ ⎪
⎪ ⎪− − = ⇔ = −⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪
⎪⎩
.
O sistema apresenta uma infinidade de soluções representadas por: 1 5, , ;2 4
S k k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= − ∈ℜ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
.
Tal como se pode verificar, a solução nula é solução do sistema (basta fazer 0k = ); mas neste caso, é uma
das muitas soluções.
6ª aula: Sistemas de Cramer: definição. Resolução por igualdades de Cramer e por igualdade matricial. Sistemas homogéneos.
ABM, MGM, VCC
23
II – Exercícios Propostos
1. Considere o sistema
2 15 4 0
3 2 2
x y zx y zx y z
+ − =⎧⎪− + − =⎨⎪ − + =⎩
.
a) Prove que o sistema é de Cramer.
b) Resolva o sistema, usando as fórmulas de Cramer.
2. Considere o sistema
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 3 4
2 03 2 1
3 2 22 4
x x x xx x xx x x x
x x x
+ + + =⎧⎪ + − =⎪⎨− + + + =⎪⎪ + + =⎩
.
a) Prove que o sistema é de Cramer.
b) Resolva o sistema usando igualdade matricial.
3. Considere o sistema 1 2 3
1 2 3
1 2 3
22 1
2 1
x x xx x x
x x x
+ − =⎧⎪− + − = −⎨⎪ + − =⎩
.
a) Classifique o sistema.
b) Mostre que a solução nula é a única do sistema homogéneo associado.
Soluções:
1. b) 1 1 1, ,2 2 2
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
. 2. b) 9 23 21, ,13,2 2 2
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
.
3. a) Sistema possível e determinado (de Cramer).
III – Exercícios Suplementares
1. Considere o sistema 1 2 3
1 2 3
1 2 3
12 1
2
x ax xx x x
ax x x
+ − =⎧⎪− − + = −⎨⎪ + − =⎩
.
a) Que valores deverá tomar o parâmetro a para que o sistema seja de Cramer?
b) Resolva-o, por igualdades de Cramer, para 1a = − .
Soluções:
1. a) { }\ 1,2a∈ℜ b) 1 3,0,2 2
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
.
7ª aula: Discussão de sistemas.
ABM, MGM, VCC
24
I – Exercícios Resolvidos
1. Discuta o seguinte sistema nas incógnitas x , y e z :
x ay z ax by cz b
x ay az b
− + =⎧⎪ + + = −⎨⎪− + − =⎩
; , ,a b c∈ℜ .
Resolução: 1º : Condensa-se a matriz completa do sistema:
2 2 13 3 1
1 1 1 11 0 1 1 0 0 1L L L
L L L
a a a ab c b b a c b aa a b a b a← −
← +
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼
2º : Para fazer a discussão do sistema deve seguir-se os seguintes passos:
1º Passo: Impõem-se as condições que tornam a ( )C A máxima.
Neste caso o valor máximo que a ( )C A pode tomar é 3.
Para isso temos: ( )0
31 0 1b a b a
C Aa a+ ≠ ≠ −⎧ ⎧
= ⇒ ⇔⎨ ⎨− ≠ ≠⎩ ⎩.
2º Passo: Nas condições definidas no 1º Passo estuda-se a ( )C A .
Neste caso: ( ) ( )3
43
1b a
C A C Aa≠ −⎧
⇒ = ⇒⎨ ≠⎩. Como só existem 3 linhas disponíveis, ( )C A nunca pode
ser 4.
Então, para ( ) ( )1 3,a b a C A C A c≠ ∧ ≠ − ⇒ = = ∀ ∈ℜ .
Logo, o sistema é possível ( características de A e de A iguais ) e determinado (e iguais ao nº de
incógnitas).
3º Passo: Contrariam-se as condições encontradas no 1º Passo.
Neste caso, vem 1a b a= ∨ = − .
4º Passo: Nas condições do 3º Passo estudam-se ( )C A e ( )C A .
i) Vamos fazer 1a = na matriz condensada do sistema. Fica:
1 1 1 10 1 1 10 0 0 1
b c bb
−⎡ ⎤⎢ ⎥+ − − −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
.
• ( ) ( )1 2 3,b C A C A c≠ − ⇒ = ∧ = ∀ ∈ℜ , logo sistema impossível.
• Vamos fazer 1b = − na matriz anterior. Fica:
1 1 1 10 0 1 0 0 0 0 0
c−⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
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25
( ) ( )1 2 2c C A C A≠ ⇒ = ∧ = , logo sistema possível e simplesmente indeterminado.
( ) ( )1 1 1c C A C A= ⇒ = ∧ = , logo sistema possível e duplamente indeterminado.
ii) Vamos fazer b a= − na matriz condensada do sistema. Fica:
1 10 0 1 00 0 1 0
a aca
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦
.
• 1a = então 1b = − , que já foi analisado no ponto anterior.
• Para 1a ≠ , fica:
2 3 2 3
1 1 1 10 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 0L L C C
a a a ac aa c
↔ ↔
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼
( ) ( )/ 1 12 2 3 3 2
1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0L L a L L c L
a a a a a aac c
← − ← − −
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
Então, ( ) ( ) 2,C A C A c= = ∀ ∈ℜ , logo sistema possível e simplesmente indeterminado.
Resumo
1,b a a c≠ − ∧ ≠ ∀ ∈ℜ SPD
( ) ( )1 1 1 1,a b c b a a c= ∧ = − ∧ ≠ ∨ = − ∧ ≠ ∀ ∈ℜ SPI
1 1 1a b c= ∧ = − ∧ = 2SP I
1 1,a b c= ∧ ≠ − ∀ ∈ℜ SI
II – Exercícios Propostos 1. Discuta os sistemas:
a) 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 123 4 3
x x axx ax x bx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩
b) 2
1
1
x y az
x by b zx y z b
+ + =⎧⎪
+ + =⎨⎪ + + =⎩
c)
2
2
1
1
x ay a z
x by b zx ay z b
⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + = −⎪⎩
2. Estude as diferentes soluções do seguinte sistema de equações lineares, em função dos parâmetros que
as condicionam: 1x y az ax by bzx y bz b
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
.
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3. Considere o seguinte sistema de equações: ( ) ( )( )
2
2 2
2
2 1 1
1
x ay a z a
x a y a a z a a
x ay a b a z b a
⎧ + + =⎪⎪ + − + + + = +⎨⎪⎪− − + + − = − +⎩
.
a) Discuta os diferentes tipos de soluções que pode obter em função da variação dos parâmetros a e b .
b) Determine o valor dos parâmetros a e b , sabendo que a solução do sistema é a seguinte:
( ){ }6, 4,0S = − .
Soluções: 1. a)
2 3,3
a a b≠ − ∧ ≠ ∀ ∈ℜ SPD
2 3 23
a a b⎛ ⎞= − ∨ = ∧ =⎜ ⎟⎝ ⎠
SPI
2 3 23
a a b⎛ ⎞= − ∨ = ∧ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠
SI
b)
1 1a b≠ ∧ ≠ SPD
1 1b a= ∧ ≠ SPI
1 1a b= ∧ = 2SP I
1 1a b= ∧ ≠ SI
c)
1 1b a a a≠ ∧ ≠ ∧ ≠ − SPD
( ) ( )1 1 1 1b a a a a b= ∧ ≠ − ∧ ≠ ∨ = ∧ = − SPI
1 1a b= − ∧ = − 2SP I
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1a b a b b a b= = ∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ − SI
2.
1b b a≠ ∧ ≠ SPD
( ) ( )1 1 1b a b a a= ∧ ≠ ∨ = ∧ ≠ SPI
1 1b a= ∧ = 2SP I
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3. a)
1a a b≠ ∧ ≠ − SPD
1 1a b= ∧ = − SPI
( ) ( )1 1 1a b a a b= ∧ ≠ − ∨ ≠ ∧ = − SI
b) 2 1a b= ∧ = −
III – Exercícios Suplementares
1. Discuta o sistema nas incógnitas x , y e z sendo , ,a b c parâmetros reais: 2
2x ay az a
x a y z cx ay bz b
+ + =⎧⎪
+ − = −⎨⎪ + − =⎩
.
2. Discuta o seguinte sistema nas incógnitas reais 1x , 2x e 3x : 1 2 3
1 2 32
1 2 3
x ax ax bx bx ax a
x ax a x c
⎧ + − =⎪− + − = −⎨⎪ + + = −⎩
; , ,a b c∈ℜ .
3. Considere o seguinte sistema:
1 2 32
1 2 3
1 2 3
z az az b
z bz a z az az baz c
+ − =⎧⎪− + − = −⎨⎪ + − = −⎩
; , ,a b c∈ℜ .
a) Diga quais os diferentes tipos de soluções em função dos parâmetros reais a , b e c .
b) Considere 1a = , 2b = e 1c = − . Mostre que a solução nula é a única do sistema homogéneo
associado, sem o resolver.
Soluções: 1.
0 1 2 ,a a b a c≠ ∧ ≠ ∧ ≠ − ∀ ∈ℜ SPD
( ) ( ) ( )( ) ( )0, 0 1, 1 1 2 3 1 0a b c a c b a c b b⎡ ⎤= = ∀ ∈ℜ ∨ = ∧ = − ∀ ∈ℜ ∨ = ∧ + + + − =⎣ ⎦ SPI
( ) ( ) ( )0 0 1 2 1, 2 0 1,a b c b a c b a a a c= ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = − ∧ = ∀ ∈ℜ ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∀ ∈ℜ ∨
( )( ) ( )1 1 2 3 1 0a c b b⎡ ⎤∨ = ∧ + + + − ≠⎣ ⎦ SI
2.
0 1 ,a a a b c≠ ∧ ≠ − ∧ ≠ − ∀ ∈ℜ SPD
( ) ( ) ( )20 0 1 0a b c b a c b a b b c b= ∧ ≠ ∧ = − ∨ = − ∧ = − ∧ = − ∧ ≠ ∧ = − SPI
0a b c= = = 2SP I
( ) ( ) ( ) ( )20 0 0 0 1 0a b c a b c b a c b a b b c b= = ∧ ≠ ∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ − SI
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3. a)
0 1,a b a b c≠ − ∧ ≠ ∧ ≠ ∀ ∈ℜ SPD
( ) ( ) ( )0 0 1 1 1 0 1a b c b b a c a b b b c b= ∧ ≠ ∧ = − ∨ = ∧ ≠ − ∧ = − ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ = SPI
0a b c= = = 2SP I
( ) ( ) ( )0 0 1 1, 0 1a b c a b c a b b b c b= = ∧ ≠ ∨ = − ∧ = ∀ ∈ℜ ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ ∨
( ) ( )0 0 1 1 1a b c b b a c= ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = ∧ ≠ − ∧ ≠ − SI
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29
I – Exercícios Resolvidos
1. Seja S o conjunto de todos os pares ordenados, onde as operações de adição e multiplicação escalar são
definidas da seguinte forma:
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y+ = + + e ( ) ( )1 1 1, ,0k x y kx=
Verifique se S é um espaço vectorial.
Resolução:
Vamos averiguar se S satisfaz todos os axiomas enunciados, para cada uma das operações.
Sejam ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y S∈ e k∈ .
Axiomas para a adição:
A1) A soma de dois vectores de S ainda pertence a S .
( ) ( ) ( ) Syyxxyxyx ∈++=+ 21212211 ,,, , uma vez que para pertencer a S deve ter duas coordenadas.
A2) Comutatividade.
( ) ( ) ( ) =++=+ 21212211 ,,, yyxxyxyx , pela definição de soma em S
( ) ( ) ( )11221212 ,,, yxyxyyxx +=++= , pela propriedade comutativa da soma de reais
A3) Associatividade.
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) =++++=+++=++ 321321332121332211 ,,,,,, yyyxxxyxyyxxyxyxyx , pela definição
de soma em S
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]332211321321 ,,,, yxyxyxyyyxxx ++=++++= , pela propriedade associativa da soma de
reais.
A4) Existência de elemento neutro.
( ) ( ) ( ) ( )111111 ,0,00,0, yxyxyx =++=+ , pela definição de soma em S
A5) Existência de elemento oposto.
( ) ( ) ( ) ( )0,0,,, 11111111 =−−=−−+ yyxxyxyx , pela definição de soma em S
Axiomas para o produto escalar:
M1) A multiplicação escalar deve dar um vector ainda pertencente a S .
( ) ( ) Skxyxk ∈= 0,, 111 , uma vez que é um vector com duas coordenadas.
M2) ( )( ) ( )[ ]11211121 ,, yxkkyxkk = .
( )( ) ( )0,, 1211121 xkkyxkk = , por definição de multiplicação escalar em S
( ) ( )1 2 1 1 1 2 1, ,0k k x y k k x⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ , por definição de multiplicação escalar em S
( )1 2 1,0k k x= , por definição de multiplicação escalar em S
M3) ( )( ) ( ) ( )1121111121 ,,, yxkyxkyxkk +=+ .
( )( ) ( )( ) =+=+ 0,, 1211121 xkkyxkk , por definição de multiplicação escalar em S
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30
( )0,1211 xkxk += , pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição de nºs reais
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 1 2 1, , ,0 ,0k x y k x y k x k x+ = + = , por definição de multiplicação escalar em S
( )1 1 2 1,0k x k x= + , pela definição de soma em S
M4) ( ) ( )[ ] ( ) ( )22111122111 ,,,, yxkyxkyxyxk +=+ .
( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 1 2 1 2, , ,k x y x y k x x y y⎡ ⎤+ = + + =⎣ ⎦ , pela definição de soma em S
( )( )1 1 2 ,0k x x= + = , por definição de multiplicação escalar em S
( )0,2111 xkxk += , pela propriedade distributiva da multiplicação de reais
( ) ( ) ( )0,,, 2111221111 xkxkyxkyxk +=+ , pela definição de multiplicação e de soma em S
M5) ( ) ( )2121 ,,1 xxxx = .
( ) ( ) ( )1 2 1 11 , 1 ,0 ,0x x x x= = , por definição de multiplicação escalar em S
Mas ( ) ( )1 1 2,0 ,x x x≠ , logo S não é um espaço vectorial.
2. Verifique se ( ){ }1 2 3 1 2 3 1 2 3, , : 1; , ,U a a a a a a a a a= + + = ∈ é um subespaço vectorial de 3 , com as
operações de adição e multiplicação escalar usuais.
Resolução:
Condições para ser subespaço vectorial de 3 :
1) U está contido em 3 .
Verifica-se, pois U é um conjunto definido por vectores com três coordenadas reais.
2) Se Uu ∈1 e Uu ∈2 então Uuu ∈+ 21
Seja ( ) ( )21213211 1,,,, aaaaaaau −−== e ( ) ( )21213212 1,,,, bbbbbbbu −−== .
Então ( ) ( )( ) Ubbaababauu ∉+−+−++=+ 2121221121 2,, , porque a soma das três coordenadas é
igual a 2 e não igual a 1.
Logo, U não é subespaço vectorial de 3 .
II – Exercícios Propostos 1. Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vectoriais:
a) o conjunto dos polinómios de variável real, de grau menor ou igual a 6, só com potencias pares.
b) o conjunto de todos os pares ordenados, onde a soma e a multiplicação são definidas da seguinte
forma:
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2, , ,x y x y x y x y+ = + + e ( ) ( )1 1 1 1, ,k x y kx ky=
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31
2. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços de 4 :
a) ( ){ }, , , :a a a a a∈
b) ( ){ }, 2 , , : ,a a b a b a b+ ∈
c) ( ){ }1 2 3 4 2 3 1 2 3 4, , , : 2 3 5; , , ,a a a a a a a a a a+ = ∈
Soluções: 1. a) É espaço vectorial;
b) Não é espaço vectorial porque, por exemplo, não se
verifica: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2, , , , , , , ,x y x y x y x y x y x y+ = + ∀
2. a) Sim. b) Sim. c) Não.
III – Exercícios Suplementares 1. Mostre que o conjunto dos complexos, com a adição usual de complexos, e a multiplicação por um escalar
é um espaço vectorial.
2. Mostre que n , onde a adição é definida do seguinte modo:
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , , , , , , , ,n n n na a a b b b a b a b a b+ =
e a multiplicação escalar definida por:
( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n na a a a a aα α α α=
não é um espaço vectorial.
3. Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços de 3 :
a) ( ){ }, , : 2 3 ; , ,x y z y x x z x y z= − ∧ = − ∈ ;
b) ( ){ }, , : 2 0 0; , ,x y z x y y z x y z+ = ∧ + = ∈ .
4. Seja ( ){ }2 2, , : 0 1; , ,S x y z z x y x y z= = ∧ + ≤ ∈ . Será S um subespaço vectorial de 3 ?
Soluções:
4. Não. Por exemplo, ( ) ( )1,0,0 ; 0,1,0 S∈ , mas ( ) ( ) ( )1,0,0 0,1,0 1,1,0 S+ = ∉ .
9ª aula: Combinação linear. Dependência e independência linear. Conjunto gerador.
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32
I – Exercícios Resolvidos
1. Escreva, se possível, o vector ( )2,5,4,4 como combinação linear dos vectores ( )3,1, 1,1− , ( )2,4,1,0 e
( )0,1,1,1 .
Resolução:
Fazendo a combinação linear dos três vectores dados e igualando a ( )2,5,4,4 , temos
( ) ( ) ( ) ( )1,1,1,00,1,4,21,1,1,34,4,5,2 321 ααα ++−=
o que conduz ao seguinte sistema, nas variáveis 321 ,, ααα :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=++−=++
=+
44
54223
31
321
321
21
αααααααα
αα
.
Resolvendo o sistema por condensação, obtemos:
1 0 1 43 2 0 20 1 2 81 4 1 50 0 8 311 1 1 4
91 0 1 4 0 0 08
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∼
Ou seja, ( ) ( )3 4C A C A= ∧ = , logo o sistema é impossível.
Concluímos, então, que não é possível escrever o vector ( )2,5,4,4 como combinação linear dos vectores
dados.
2. Verifique se o conjunto 5 2 6 6 2 1 1 0 1
, , 1 0 0 1 0 0 0 0 0
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
é linearmente independente.
Resolução: Fazendo a combinação linear dos 3 elementos e igualando ao elemento nulo (matriz nula do mesmo tipo)
obtemos:
1 2 35 2 6 6 2 1 1 0 1 0 0 01 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
α α α⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
o que conduz ao seguinte sistema, nas variáveis 321 ,, ααα :
1 2 3
1 2
1 2 3
1 2
5 6 02 2 06 0
0
α α αα αα α αα α
+ + =⎧⎪ + =⎪⎨ + + =⎪⎪ + =⎩
.
9ª aula: Combinação linear. Dependência e independência linear. Conjunto gerador.
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Resolvendo o sistema por condensação, obtemos:
5 6 1 0 1 6 5 02 2 0 0 0 1 1 06 1 1 0 0 0 6 01 1 0 0 0 0 0 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ .
Ou seja, ( ) ( ) 3C A C A= = , logo sistema possível e determinado. Como se trata de um sistema homogéneo
a solução do sistema é ( )0,0,0 .
Concluímos, pois, que os vectores são linearmente independentes.
3. Mostre que as matrizes 1 10 1−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
, 0 10 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
e 1 10 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
não geram o espaço das matrizes quadradas de 2ª
ordem. Qual o espaço gerado?
Resolução:
Para serem geradores qualquer matriz quadrada de 2ª ordem, a bc d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, tem que poder ser escrita como
combinação linear dos elementos dados, ou seja,
1 2 31 1 0 1 1 10 1 0 0 0 1
a bc d
α α α−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
o que conduz ao seguinte sistema, nas variáveis 321 ,, ααα :
1 3
1 2 3
1 3
0
ab
dc
α αα α αα α
− + =⎧⎪ + + =⎪⎨− + =⎪⎪ =⎩
.
Resolvendo o sistema por condensação, obtemos:
1 0 1 1 0 11 1 1 0 1 21 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0
a ab a bd d ac c
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼
Para que o sistema seja possível as condições a impor são:
00 0
d a a dc c− = =⎧ ⎧
⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎩.
Logo, não são geradores do espaço das matrizes quadradas de 2ª ordem.
O sistema é possível para 0
a dc=⎧
⎨ =⎩. Logo, o conjunto das matrizes dado é gerador de:
9ª aula: Combinação linear. Dependência e independência linear. Conjunto gerador.
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34
: 0; , , ,a b
T a d c a b c dc d
⎧ ⎫⎡ ⎤= = ∧ = ∈⎨ ⎬⎢ ⎥
⎣ ⎦⎩ ⎭, ou seja, ; ,
0d b
T b dd
⎧ ⎫⎡ ⎤= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥
⎣ ⎦⎩ ⎭.
II – Exercícios Propostos
1. Sejam ( )1 1, 1,2u = − e ( )2 2,1,3u = .
a) Prove que 1u e 2u são linearmente independentes.
b) Determine um vector 3u tal que { }1 2 3, ,u u u seja linearmente independente.
c) Determine o espaço gerado por 1u e 2u .
2. Sejam os vectores: ( )1 1,1,1,0u = , ( )2 0,1,1,1u = e ( )3 1,1,0,0u = .
a) Diga se { }1 2 3, ,u u u é linearmente independente.
b) Determine um vector 4u tal que { }1 2 3 4, , ,u u u u seja linearmente independente.
c) Exprima o vector ( )1,2,3,4 como combinação linear de 1u , 2u , 3u e 4u .
Soluções:
1. b) Por exemplo, ( )3 1,0,0u = c) ( ){ }3, , : 5 3A x y z y x z= ∈ = − .
2. a) É linearmente independente. b) Por exemplo, ( )4 1,0,0,0u = c) ( ) 1 2 3 41,2,3,4 4 3u u u u= − + − + .
III – Exercícios Suplementares 1. Mostre que os conjuntos de vectores dados geram os espaços vectoriais a seguir indicados:
a) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1,1 , 1,2− gera 2 ;
b) ( ) ( ){ }3 21 , 1 ,1 ,1t t t− − − gera o espaço dos polinómios de grau 3≤ .
2. Considere os vectores ( )1 1, 3,2v = − e ( )2 2, 1,1v = − .
a) Escreva o vector ( )3 1,7, 4v = − como combinação linear de 1v e 2v .
b) Para que valor de k o vector ( )1, ,5k é combinação linear de 1v e 2v ?
3. Mostre que o espaço vectorial 3 não pode ser gerado pelos vectores ( )1,2,1 e ( )3,0, 1− .
9ª aula: Combinação linear. Dependência e independência linear. Conjunto gerador.
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35
4. Sejam os seguintes vectores de 3 : ( )1, ,k k− , ( )1, 2,2− , ( )5,6, 2k− . Determine k de modo que os
vectores sejam linearmente independentes.
5. Considere os vectores de 3 : ( )1 1,0,0u = , ( )2 2,1,1u = e ( )3 1,1,1u = . Qual o subespaço de 3
gerado por { }1 2 3, ,u u u ?
Soluções:
2. a) ( ) 1 21,7, 4 3 2v v− = − + b) 8k = −
4. 2 3k k≠ − ∧ ≠
5. ( ){ }3, , :A x y z y z= ∈ =
10ª aula: Bases e dimensão de um espaço vectorial.
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36
I – Exercícios Resolvidos
1. Considere o espaço vectorial dos polinómios de grau menor ou igual a dois, isto é,
{ }2 : , ,P ax bx c a b c= + + ∈ .
a) Prove que 1 2p x= , 2 1p = e 23 1p x= + formam uma base de P .
b) Escreva o polinómio 1p x= − como combinação linear de 1p , 2p e 3p .
Resolução:
O conjunto { }2 : , ,P ax bx c a b c= + + ∈ pode ser representado como ( ){ }, , : , ,P a b c a b c′ = ∈ .
a) Considerando P′ , temos ( )1 0,2,0p = , ( )2 0,0,1p = e ( )3 1,0,1p = .
As condições para { }1 2 3, ,p p p formarem uma base de P são:
(i) serem linearmente independentes:
( ) ( ) ( ) ( )3 1
1 2 3 1 2
2 3 3
0 00,0,0 0,2,0 0,0,1 1,0,1 2 0 0
0 0
α αα α α α α
α α α
= =⎧ ⎧⎪ ⎪= + + ⇔ = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = =⎩⎩
Logo o conjunto { }1 2 3, ,p p p é linearmente independente.
(ii) serem geradores de P :
( ) ( ) ( ) ( )3
1 2 3 1
2 3
, , 0, 2,0 0,0,1 1,0,1 2a
a b c bc
αα α α α
α α
=⎧⎪= + + ⇔ =⎨⎪ + =⎩
.
Colocando o sistema na forma matricial, temos:
0 0 1 1 0 02 0 0 0 2 00 1 1 0 0 1
a ab bc c a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ . Como
( ) ( ) 3C A C A= = , o sistema é possível e determinado , ,a b c∀ ∈ .
Logo o conjunto { }1 2 3, ,p p p é gerador de P .
Conclusão: { }1 2 3, ,p p p forma uma base de P .
b) Se { }1 2 3, ,p p p forma uma base de P , então qualquer elemento de P é gerado, ou seja, é combinação
linear de 1p , 2p e 3p .
O polinómio 1p x= − pode ser representado pelo vector ( )0,1, 1− . Então:
( ) ( ) ( ) ( )3 3
1 2 3 1 1
2 3 2
0 00,1, 1 0,2,0 0,0,1 1,0,1 2 1 1 2
1 1
α αα α α α α
α α α
= =⎧ ⎧⎪ ⎪− = + + ⇔ = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = − = −⎩ ⎩
.
10ª aula: Bases e dimensão de um espaço vectorial.
ABM, MGM, VCC
37
Logo: ( ) ( ) ( )( ) ( )10,1, 1 0, 2,0 1 0,0,1 0 1,0,12
− = + − +
2. Seja ( )1 1, 1,2u = − e ( )2 2,1,3u = . Determine um espaço vectorial que tenha 1u e 2u como base, se
possível.
Resolução:
Vamos primeiro verificar se 1u e 2u são linearmente independentes.
( ) ( ) ( )1 2 1
1 2 1 2 2
1 2
2 0 00,0,0 1, 1,2 2,1,3 0 0
2 3 0 0 0
α α αα α α α α
α α
+ = =⎧ ⎧⎪ ⎪= − + ⇔ − + = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩
. Logo o conjunto { }1 2,u u é linearmente
independente.
Vamos agora determinar que sub-conjunto de 3 é gerado pelo conjunto { }1 2,u u .
( ) ( ) ( )1 2
1 2 1 2
1 2
2, , 1, 1,2 2,1,3
2 3
xx y z y
z
α αα α α α
α α
+ =⎧⎪= − + ⇔ − + =⎨⎪ + =⎩
.
Colocando o sistema na forma matricial, temos:
22 2 1 2 33 3 1
1 2 1 21 1 0 3 2 3 0 1 2L L L L LL L L
x xy y xz z x← + ↔← −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼
33 3 2
1 2 1 20 1 2 0 1 20 3 0 0 3 5L L L
x xz x z xy x y z x
← +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ . Então ( ) 2C A = , , ,x y z∀ ∈ .
Se 3 5 0y z x+ − = , então ( ) 2C A = . Logo o sistema possível e determinado.
Se 3 5 0y z x+ − ≠ , então ( ) 3C A = . Logo o sistema é impossível.
Então o espaço gerado por { }1 2,u u é ( ){ }3, , : 5 3S x y z y x z= ∈ = − .
Conclusão: como os vectores 1u e 2u são linearmente independentes e geram S , formam uma base de S .
II – Exercícios Propostos 1. Quais dos seguintes conjuntos são bases para:
1.1 2 ?
a) ( ) ( ){ }1,3 , 1,1
b) ( ) ( ) ( ){ }1,0 , 5, 5 , 1,1− −
10ª aula: Bases e dimensão de um espaço vectorial.
ABM, MGM, VCC
38
1.2 3 ?
a) ( ) ( ) ( ){ }1,0,0 , 0,5, 2 , 7,0, 2−
b) ( ) ( ) ( ){ }3,1, 2 , 1,0,5 , 6, 2,4− − −
2. Para que valores de k , os vectores dos seguintes conjuntos formam uma base de 3 ?
a) ( ) ( ) ( ){ }1,0, , 0,1,0 , ,0,1k k
b) ( ) ( ) ( ){ }21,0,0 , ,1,0 , , ,1k k k
3. Determine um vector 3v tal que 1v , 2v e 3v formem uma base para 3 , onde ( )1 1,0,2v = e
( )2 0,1,1v = .
Soluções: 1. 1.1 a) É base. b) Não é base. 1.2 a) É base. b) Não é base.
2. a) { }\ 1,1k∈ − b) k∀ ∈
3. Por exemplo, ( )3 0,0,1v = .
III – Exercícios Suplementares
1. Mostre que o conjunto de vectores dado por ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0 , 1,1,0,0 , 1,1,1,0 , 1,1,1,1 forma uma base de
4 .
2. Mostre que o vector nulo nunca pode fazer parte de uma base.
3. Determine o espaço para o qual o conjunto ( ) ( ) ( ){ }1, 1, 2,3 , 1,1, 2,0 , 3, 1,6, 6− − − forma uma base.
Soluções:
3. ( ){ }4, , , : 2V x y z u z x= ∈ = .
11ª aula: Produto vectorial e produto escalar. Equações de rectas e de planos.
ABM, MGM, VCC
39
I – Exercícios Resolvidos
1. Dados o vectores 3u i j= + e 2 2 2v i j k= + − . Determine:
a) .u v
b) .u u
Resolução:
a) . 3.2 1.2 0.( 2) 8u v = + + − = ;
b) 2 2 2 2. 2 2 ( 2) 12u u u= = + + − = .
2. Dados o vectores 3u i j= + e 2 2 2v i j k= + − . Determine u v×
Resolução:
3 1 02 2 2
i j ku v× =
−. Aplicando o Teorema de Laplace à 1ª linha, obtemos
1 1 1 2 1 31 0 3 0 3 1( 1) ( 1) ( 1) 2 6 4
2 2 2 2 2 2u v i j k i j k+ + +× = − + − + − = − + +
− −
3. Determine a área do paralelogramo determinado pelos vectores 2 3a i j k= + + e 2b i j k= − + +
Resolução:
O módulo do produto vectorial dos vectores a e b é igual à área do paralelogramo determinado por estes
vectores,
2 3 1 5 5 51 1 2
i j ka b i j k× = = − +
− e 2 2 25 ( 5) 5 75a b× = + − + = . Logo a área do paralelogramo é
igual a 75 .
u v×
11ª aula: Produto vectorial e produto escalar. Equações de rectas e de planos.
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40
4. Sejam dados três pontos ( )1,1,1A = , ( )2,0, 1B = − e ( )0,3,1C = . Determine as equações da recta r
que passa em C e é paralela à recta AB .
Resolução:
Se a recta r é paralela à recta AB , então o vector director de r , r , é um vector colinear a AB . Em
particular, r AB= .
( ) ( ) ( )2,0, 1 1,1,1 1, 1, 2AB B A= − = − − = − −
Então, as equações cartesianas da recta r serão, dado o vector director ( )1, 1, 2r = − − e o ponto
( )0,3,1C = :
0 3 1 131 1 2 2
x y z zx y− − − −= = ⇔ = − =
− −.
5. Seja a recta s definida pelas seguintes equações: 1 4 2 1
2 3x y z− −
= ∧ = − .
a) Verifique se o ponto ( )1,2, 1P = − pertence à recta s .
b) Escreva as equações paramétricas da recta dada.
Resolução:
a) Se P s∈ , então P satisfaz as equações da recta.
Temos então:1 1 4 2 2 1 1 0 0 1 1
2 3− − ×
= ∧ − = − ⇔ = ∧ − = − , ou seja, são ambas proposições verdadeiras.
Logo, o ponto P pertence à recta s .
b) Temos: 11 33 3 8 41 4 2 1 , .4
12 3 1
xx y yx y z xz z
−⎧− = − =⎧− − ⎪= ∧ = − ⇔ ⇔ ∈⎨ ⎨= −⎩ ⎪ = −⎩
Seja ( ) 3, ,Q x y z ∈ um ponto genérico de s . Então:
( ) 11 3 11 3, , , , 1 0, , 1 1, ,04 4 4k
xx y z x x∈
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Portanto, as equações paramétricas de da recta s são: 11 3 ;
41
x kky k
z
=⎧⎪ −⎪ = ∈⎨⎪
= −⎪⎩
.
11ª aula: Produto vectorial e produto escalar. Equações de rectas e de planos.
ABM, MGM, VCC
41
6. Escreva a equação cartesiana do plano definido pelos pontos A , B e C do exercício 1. Verifique se o
ponto ( )1,2,3D = pertence ao plano definido.
Resolução:
Tomemos os vectores directores do plano ABC : ( )1, 1, 2AB = − − e ( )1,2,0AC = − .
Resolvendo o determinante
1 1 11 1 2 01 2 0
x y z− − −− − =
−, obtemos a equação cartesiana do plano ABC :
4 2 7 0x y z+ + − = .
Se D ABC∈ , então D satisfaz a equação do plano. Mas 4 1 2 2 3 7 0, ou seja, 4 0× + × + − = = , o que é
uma proposição falsa.
Logo o ponto D não pertence ao plano ABC .
II – Exercícios Propostos 1. Para que valores de k podemos afirmar que e são ortogonais?
a) , ; b) , .
2. Dados os vectores , , determine o produto escalar dos dois vectores. Os
dois vectores são perpendiculares? Justifique.
3. Para os seguintes vectores , e , calcule .
4. Dados os pontos ( )3,6, 7A = − , ( )5,2,3B = − , ( )4, 7, 6C = − − e ( )3,1,4D = , escreva as equações
paramétricas e cartesianas das rectas AB e CD . O ponto ( )1,2, 1E = − pertencerá a alguma das rectas?
5. Escreva as equações paramétricas para os 3 eixos coordenados e as equações cartesianas para os 3
planos coordenados.
6. Escreva a equação do plano que passa pelos pontos ( )1,1,0 , ( )1, 1, 1− − e é paralelo ao vector
( )2,1,0u = .
7. Considere a recta r definida por: 1 2
2 3x y z− −
= = . Determine uma equação vectorial do plano α que
passa pelo ponto ( )1,2,0P = e é perpendicular à recta r .
11ª aula: Produto vectorial e produto escalar. Equações de rectas e de planos.
ABM, MGM, VCC
42
8. Dado o plano α definido pelas seguintes equações paramétricas:
1 22 ; ,
xyz
λ μλ μ λ μ
λ μ
= + −⎧⎪ = − + + ∈⎨⎪ = − −⎩
, escreva
a sua equação cartesiana.
Soluções:
1. a) b) v
2. Os vectores são perpendiculares porque .
3. 108.
4. recta
3 8: 6 4 ;
7 10
xAB y
z
λλ λλ
= −⎧⎪ = − ∈⎨⎪ = − +⎩
; 3 6 7
8 4 10x y z− − += =
recta
4: 7 8 ;
6 10
xCD y
z
λλ λλ
= −⎧⎪ = − + ∈⎨⎪ = − +⎩
; 7 64
8 10y zx + +
− = =
O ponto E não pertence a nenhuma das rectas.
5. Eixos: : 0 ;0
xOx y
z
λλ
=⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩
;
0: ;
0
xOy y
zλ λ
=⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩
;
0: 0;
xOz y
zλ
λ
=⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩
Planos: : 0xOy z = ; : 0xOz y = ; : 0yOz x =
6. 2 4 1 0x y z− + + =
7. ( ) ( ) ( ) ( ), , 0,0,8 1,0, 2 0,1, 3 ; ,x y z λ μ λ μ= + − + − ∈
8. 2 0y z+ + =
III – Exercícios Suplementares
1. Determine o vector momento angular de um ponto material de massa m em relação ao ponto O (origem
do referencial), sabendo que o vector posição e o vector quantidade de movimento desse
ponto é .
11ª aula: Produto vectorial e produto escalar. Equações de rectas e de planos.
ABM, MGM, VCC
43
2. Considere os pontos ( )1,0,0A = , ( )2,3,1B = , ( )3,1,0C = e ( )3, 4,10D = − .
a) Determine as equações paramétricas da recta AB .
b) Determine a equação cartesiana do plano que contém D e é paralelo ao plano ABC .
3. Considere os pontos ( )1,0, 1A = − , ( )1,1,0B = − .
a) Determine C de modo que ABC defina um plano. Justifique.
b) Escreva a equação vectorial do plano β perpendicular à recta AB e que passa no ponto médio M
de [ ]AB .
4. Considere os pontos ( )1,2, 1A = − − , ( )0,1, 3B = − e a recta 2
:1
yr
z= −⎧
⎨ =⎩.
a) Determine C de modo que ABC não defina um plano. Justifique.
b) Escreva as equações cartesianas da recta s perpendicular às rectas AB e r , e que passa no ponto
médio M de [ ]AB .
c) Escreva as equações paramétricas do plano λ perpendicular a yOz , paralelo a s e que passa em
B .
Soluções:
1.
2. a)
1: 3 ;
xAB y
z
λλ λλ
= +⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩
b) 2 5 61 0x y z− + − =
3. a) ( ){ }3 \ 1 2 , , 1 :C b b b b∈ − − ∈ b)
( ) ( ) ( )1 1: , , 0, , 1,0, 2 0,1, 1 , ,2 2
x y zβ λ μ λ μ⎛ ⎞= − + + − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
4. a) ( ){ }1 , , 2 5 :C a a a a∈ − − ∈ b) 1 52 02 2
x y z= − ∧ + + =
c) : 5 2 ; ,xyz
αλ β α β
β
=⎧⎪ = − − ∈⎨⎪ =⎩
12ª aula: Intersecções e posições relativas.
ABM, MGM, VCC
44
I – Exercícios Resolvidos
1. Considere as rectas definidas pelas seguintes equações:
( ) ( ) ( ): , , 0,0,0 1,2,0 ;r x y z k k= + ∈
( ) ( )7: , , ,1, 1 1, 4,1 ;2
s x y z t t⎛ ⎞= − + − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
a) Determine a posição relativa das duas rectas.
b) Caso exista intersecção determine-a.
Resolução:
a) Consideremos os vectores ( )1,2,0ru = e ( )1, 4,1sv = − das rectas r e s respectivamente.
Como { }, \ 0r su av a≠ ∈ , então as rectas não são paralelas nem coincidentes.
Então as rectas r e s só podem ser concorrentes ou não complanares.
Tomando
7 2: 2 ; : 1 4 ;
0 1
x k x tr y k k s y t t
z z t
= = −⎧ ⎧⎪ ⎪= ∈ = + ∈⎨ ⎨⎪ ⎪= = − +⎩ ⎩
vem:
7 2 5 2 7 2 15 2
2 1 4 5 21
0 1 1
k tk
k t kt
t t
= − = −⎧ ⎧=⎧⎪ ⎪= + ⇔ = ⇔⎨ ⎨ ⎨ =⎩⎪ ⎪= − + =⎩ ⎩
. Então as rectas são concorrentes num ponto.
b) O ponto de intersecção obtém-se substituindo k nas equações da recta r ou t nas equações da recta s .
Obtemos:
5 250
xyz
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
. Portanto, { } 5 ,5,02
r s P ⎧ ⎫⎛ ⎞∩ = = ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
.
2. Considere os pontos ( )0,0,0O = , ( )2,3,5A = , ( )2,3,0B = , ( )2,0,5C = e ( )0,0,5D = .
a) Escreva a equação do plano mediador de [ ]OA .
b) A recta que passa em C e é paralela a BD intersecta o plano yOz num ponto. Determine-o.
Resolução: a) O plano mediador de um segmento é o plano perpendicular ao segmento e que passa no ponto médio
desse mesmo segmento.
( ) ( ) ( )2,3,5 0,0,0 2,3,5OA A O= − = − =
Então, a equação do plano mediador será da forma: 2 3 5 0x y z D+ + + = .
Vamos calcular o ponto médio, MP , do segmento [ ]OA .
12ª aula: Intersecções e posições relativas.
ABM, MGM, VCC
45
2 0 3 0 5 0 3 5, , 1, ,2 2 2 2 2 2M
O AP + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Substituindo na equação do plano vem: 9 252 0 192 2
D D+ + + = ⇔ = − .
Logo, a equação do plano mediador pedido será: 2 3 5 19 0x y z+ + − = .
b) ( ) ( ) ( )0,0,5 2,3,0 2, 3,5BD D B= − = − = − −
As equações da recta serão: 2 5
2 3 5x y z− −
= =− −
.
A intersecção com o plano yOz , corresponde à solução do sistema:
22 3 32 5: 10
2 500
x y
yx zr yoz z
xx
−⎧ =⎪ − − = −⎧⎪− −⎪ ⎪∩ = ⇔ =⎨ ⎨−⎪ ⎪ =⎩=⎪
⎪⎩
.
O ponto de intersecção é o ponto ( )0, 3,10− .
3. Sejam os planos definidos pelas equações: : 3 0x y zα − + = , : 2 2 6 5x y zβ − + = e : 2 1x y zγ − − = .
Determine a posição relativa dos 3 planos e verifique se existem planos perpendiculares.
Resolução:
Vamos intersectar os 3 planos:
3 02 2 6 5
2 1
x y zx y z
x y z
− + =⎧⎪ − + =⎨⎪ − − =⎩
.
Em forma matricial vem:
2 3 22 2 13 3 1
1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 3 02 2 6 5 0 0 0 5 0 1 4 11 2 1 1 0 1 4 1 0 0 0 5L LL L L
L L L
A
↔← −← −
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼
Como ( ) 2C A = e ( ) 3C A = o sistema é impossível e os 3 planos não se intersectam.
Vamos verificar a intersecção dos planos dois a dois.
• 3 0 1 1 3 0
2 2 6 5 2 2 6 5x y zx y z
α β− + =⎧ −
∩ ⇔ ⇒ = = ≠⎨ − + = −⎩, logo os planos α e β são paralelos.
• 3 0
2 1x y zx y z
α γ− + =⎧
∩ ⇔ ⎨ − − =⎩.
Vem: 2 2 1
1 1 3 0 1 1 3 01 2 1 1 0 1 4 1L L L
A← −
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼
12ª aula: Intersecções e posições relativas.
ABM, MGM, VCC
46
1 7
3 01 4 ;
2 1
x kx y z
y k kx y z
z k
= − −⎧− + =⎧ ⎪⇔ = − − ∈⎨ ⎨− − =⎩ ⎪ =⎩
.
Logo os planos intersectam-se segundo a recta:
( ) ( ) ( ): , , 1, 1,0 7, 4,1 ;x y z k kα γ∩ = − − + − − ∈
• 2 2 6 5
2 1x y z
x y zβ γ
− + =⎧∩ ⇔ ⎨ − − =⎩
.
Vem:
22 1 2 2 1
2 2 6 5 1 2 1 1 1 2 1 11 2 1 1 2 2 6 5 0 2 8 3L L L L L
A↔ ← −
− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼
4 72 2 6 5
3 2 4 ;2 1
x kx y z
y k kx y z
z k
= −⎧− + =⎧ ⎪⇔ = − ∈⎨ ⎨− − =⎩ ⎪ =⎩
.
Logo os planos intersectam-se segundo a recta:
( ) ( )3: , , 4, ,0 7, 4,1 ;2
x y z k kβ γ ⎛ ⎞∩ = + − − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
Concluímos então que os planos α e β são paralelos e atravessados por γ .
Vamos verificar se α e γ são perpendiculares.
( )1, 1,3nu α = − e ( )1, 2, 1nv γ = − − são vectores normais aos planos α e γ , respectivamente.
( ) ( ) ( )1 1 1 2 3 1 0n nu vα γ⋅ = × + − × − + × − = .
Logo, α e γ são perpendiculares. Como α e β são paralelos, então β e γ também são perpendiculares.
4. Calcule m e n para que a recta
2: 1 ;
3 2
x kr y k k
z k
= +⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = −⎩
esteja contida no plano : 2 1 0mx ny zα + + − = .
Resolução:
Para que a recta r esteja contida no plano α , o sistema:
21
: ;3 2
2 1 0
x ky k
r kz kmx ny z
α
= +⎧⎪ = +⎪∩ ∈⎨ = −⎪⎪ + + − =⎩
deve ser
indeterminado. Resolvendo o sistema, obtemos:
12ª aula: Intersecções e posições relativas.
ABM, MGM, VCC
47
( )
213 2
4 5 2
x ky kz km n k n m
= +⎧⎪ = +⎪⎨ = −⎪⎪ + − = − − −⎩
Então, para o sistema ser indeterminado, temos que ter:
5 2 0 94 0 13
n m mm n n− − − = = −⎧ ⎧
⇔⎨ ⎨+ − = =⎩ ⎩.
Concluímos que, para a recta r estar contida no plano α , temos que ter 9m = − e 13n = .
II – Exercícios Propostos
1. Considere a recta r definida por 2 5
2 3x y zx y− + =⎧
⎨ − =⎩.
a) Determine a equação do plano π que passa no ponto ( )0, 3, 1− − e é perpendicular a r .
b) Verifique que a recta s que passa no ponto ( )0,0, 3− e tem a direcção do vector ( )2, 1,0u = −
pertence a π .
2. Qual é a posição relativa das seguintes rectas:
a) 2 3
:y x
rz x= −⎧
⎨ = −⎩ e
1 3: 4 6 ;
3
xs y
z
αα α
α
= −⎧⎪ = − ∈⎨⎪ =⎩
b) 2 4 1: 3
4 3y zr x − −
+ = = e ( ) ( ): 0,2,2 1,1, 1 ;s X t t= + − ∈
3. Considere os pontos ( )1, 4,1A = − , ( )2,3,0B = , ( )0, 2, 1C = − − e os planos : 2 2 5x y zα + + = ,
: 1y zβ + = , : 2 4 3 3 0x y zδ − − + = . Indique a posição relativa dos seguintes planos (intersecção,
paralelismo, perpendicularidade) (Obs.: na resolução dos sistemas use o método da condensação):
a) , ,α β δ ;
b) ,α ϕ onde ϕ é o plano que contém o ponto C e é perpendicular à recta 2 12
x zy z= +⎧
⎨ =⎩;
c) , ,α β γ onde γ é o plano definido pelos pontos A , B e C ;
d) , ,α β π onde π é o plano que contém a origem e a recta
12 ;1
x ky k kz
= +⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩
.
12ª aula: Intersecções e posições relativas.
ABM, MGM, VCC
48
4. Considere os planos : 1 0kx ky zα + + − = , : 0x y z kβ + − + = e : 0x ky zπ + + = . Determine, se
existirem, os valores de k de modo a que:
a) os 3 planos se intersectem numa recta;
b) os planos α e β sejam perpendiculares.
Soluções:
1. a) : 2 3 9 0x y zπ + + + = .
2. a) Paralelas. b) Não complanares.
3. a) Planos oblíquos entre si, concorrentes num ponto.
b) Planos paralelos.
c) Planos oblíquos, intersectam-se numa recta.
d) α intersecta β numa recta; α intersecta π numa recta; β intersecta π numa recta; α e π são
perpendiculares.
4. a) Não existe k∈ b) 1 2k =
III – Exercícios Suplementares 1. Considere os pontos A e B , a recta r e os planos α e β , assim definidos:
( )1, 1, 2A = − − ( )2,1,3B = 1
:x ay
rz y b= +⎧
⎨ = −⎩ : 3 1 0x y zα − + − =
: 2 2 2 0x y zβ + − + =
a) Determine a intersecção entre os planos α , β e um outro plano, θ , que passa na origem e é
normal ao vector ( )3,1,0− ;
b) Condicione os parâmetros a e b de modo a que a recta r seja estritamente paralela ao plano α ;
c) Calcule a menor distancia entre o ponto ( )1,2,3C = e a recta AB ;
d) Escreva a equação de uma recta cujos pontos sejam equidistantes de A e B .
2. Considere os pontos A , B e C , a recta r e o plano β , assim definidos:
( )1,2,3A = ( )3,0,1B = ( )4,0,0C = ( ) ( ): , , 2, 2, 2 ;r x y z λ λ= − − ∈
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2: , , 5,0, 1 5,0, 1 0,5, 2 ; ,x y z k k k kβ = − + − + − ∈
a) Escreva a equação do plano π que contém A e r ;
b) As rectas r e AB são complanares? Justifique;
c) Determine a intersecção de BC com β ;
d) d1) Determine a distancia de r à origem do referencial;
12ª aula: Intersecções e posições relativas.
ABM, MGM, VCC
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d2) Sem efectuar cálculos, comente a seguinte afirmação: “Existem pontos da recta r que distam 0,5
unidades da origem do referencial”.
3. Considere os pontos ( )1,2, 1A = − − , ( )0,1, 3B = − , a recta 2
:1
yr
z= −⎧
⎨ =⎩ e o plano : 0x yθ + = .
a) Qual a posição relativa das rectas r e AB ? Justifique.
b) Calcule a distancia de AB a θ .
c) Seja : 1 0ax by czϕ + + + = . Discuta a posição relativa dos planos ϕ e θ de modo que a distancia
entre eles seja nula.
Soluções:
1. a) ( )0,0,1 b) 2 0a b= ∧ ≠ c) 3 42
14 d) Por exemplo, ( ) ( ) ( ), , 0,0,4 1,0, 3 ;x y z λ λ= + − ∈
2. a) : 4 3 0x y zπ + − = b) São. c) ( )5,0, 1− d1) 0 d2) Verdadeira.
3. a) Não complanares. b) 2
2 c) ( ) ( ), 0, ,a b c c a b≠ ∀ ∈ ∨ ≠ ∀ ∈