Aula 19
Problemas de Otimização
Introdução
Nesta aula, apresentaremos problemas de
maximização e minimização aplicados à
diversas áreas. O primeiro passo para
resolver este tipo de problema é determinar,
de forma precisa, a função a ser otimizada.
Introdução
Em geral, obtemos uma expressão de duas
variáveis, mas usando as condições
adicionais do problema,esta expressão pode
ser reescrita como uma função de uma
variável derivável e assim poderemos
aplicar os teoremas relacionados a teoria
máximo e mínimos de funções.
Aplicação 1
De uma folha retangular de metal de 30cm
de largura deve-se fazer uma calha dobrando
as bordas perpendicularmente à folha.
Quantos centímetros devem ser dobrados de
cada lado de modo que a calha tenha
capacidade máxima?
Solução da Aplicação 1
30 cm
Solução da Aplicação 1
30 2 cmxxx
Solução da Aplicação 1
30 2 cmx
x
x
Solução da Aplicação 1
30 2 cmx
x
x
A capacidade da calha
será máxima quando
a área do retângulo de
lados e 30 2 cm
for máximo.
x x
Solução da Aplicação 1
30 2 cmx
xVamos denotar a função
área doretângulo por
30 2f x x x
230 2f x x x
Com 0 30,odomíniode édefinido por 0,15x f
2Diferenciando 30 2 , temos:f x x x
30 4f x x
Solução da Aplicação 1
O ponto crítico 7,5 é dado pela solução da equação
30 4 0.
x
f x x
30 4f x x
Como 4 e 7,5 4 0, teremos que
7,5 é ponto de máximo local de .
f x f
x f
Segue-se que devem ser dobrados 7,5 cm de cada lado
para obtermos a capacidade máxima da calha.
Solução da Aplicação 1
15,0cm
7,5cm
7,5cm
Observação
Como o número de tipos de problemas de
otimização é ilimitado, é difícil estabelecer
regras específicas para obter as respectivas
soluções. Todavia, podemos desenvolver
uma estratégia geral para obter tais
problemas. Como se segue:
Diretrizes
1.Ler cuidadosamente o problema várias
vezes, meditando sobre os fatos
apresentados e as quantidades
desconhecidas a serem determinadas.
Diretrizes
2.Se possível, esboçar um diagrama e
rotulá-lo adequadamente,introduzindo
variáveis para representar as quantidades
desconhecidas. Expressões tais como o que,
ache, quanto, a que distância ou quanto
devem alertá-lo para as quantidades
desconhecidas.
Diretrizes
3.Registrar os fatos conhecidos juntamente
com quaisquer relações envolvido as
variáveis.
4.Determinar qual variável deve ser
maximizada ou minimizada, e expressar
esta variável como função de uma das
outras variáveis.
Diretrizes
5.Determinar os pontos críticos da função
obtida em 4.
6.Determinar se os pontos encontrados em 5,
são de máximo ou de mínimo pelos testes
de derivadas primeira e/ou segunda.
7. E acima de tudo ter determinação na hora
de estudar matemática.
Aplicação 2
Deve-se construir uma caixa de base
retangular, com uma folha de cartolina de 40
cm de largura e 52 cm de comprimento,
retirando-se um quadrado de cada canto da
cartolina e dobrando-se perpendicularmente
os lados resultantes.
Aplicação 2
Determine o tamanho do lado do quadrado
que permite construir uma caixa de volume
Máximo.
Obs: Desprezar a espessura da cartolina
Solução da Aplicação 2
40cm
52cm
Folha de Cartolina
Solução da Aplicação 2
40cm
52cm
40 2x
52 2x
x
x
Solução da Aplicação 2
40 2x
cmx
52 2x
A quantidade a ser maximizada é o volume da caixa
a seguir.
V
Cuja equação é dada por 40 2 52 2 V x x x
Solução da Aplicação 2
Para achar os pontos críticos da função ,
basta resolver a equação . 0V x
2 340 2 52 2 4 520 46 V x x x V x x x
V
Como 0 40, o domínio de é 0 20.x x x
2Sendo 4 520 92 3 ,logo teremos:V x x x
24 520 92 3 0V x x x
Solução da Aplicação 2
1 2
1
2
Ao resolver a equação dada, vamos obter como
raízes (aproximada) 23,19 e 7,47,que
são possíveis pontos crítricos. Como 23,19
está fora do domínio da função, logo o único
ponto crítico é 7,47.
x x
x
x
Como é contínua em 0,20 , temos que os
pontos 0 20 do domínio dão o valor
mínimo 0 0 20 .
V
x e x
V V
Solução da Aplicação 2
2
2
Para o ponto crítico 7,47, obtemos
15,537cm , que é o valor máximo.
Conseqentemente, deve-se cortar um quadrado
de 7,47 cm de lado, de cada canto da folha de
cartolina, para maximizar o volume da ca
x
V
ixa.
Aplicação 3
Determine dois números reais positivos cujasoma é 70 e tal que seu produto seja omaior possível.
Solução da Aplicação 3
Considere , 0 tal que 70; logo
, 0,70 ;o produto é dado por .
x y x y
x y P xy
Esta é a função que devemos maximizar.
Como 70 ,substituindo em :
70
y x P
P x xy x x
: 0,70 éuma função derivável.
Sendo assim, teremos 70 2 .
P
P x x
Solução da Aplicação 3
Onde o ponto crítico é dada pela solução da
equação 0,sendo o mesmo igual 35.P x
Analisando o sinal de ,é claro que este ponto
é ponto de máximo para e 35; logo,
1225.Note 0 =P 70 =0
P
P y
P P
Aplicação 4
x
y
,x y
0,0
d
Determine os pontos da curva 1 mais
próximo da origem.
xy
Observação:
A representação
gráfica da curva
1 é dada
por
xy
Solução da Aplicação 4
2 2
A função que determina a distância entre a
origem 0,0 e um ponto qualquer , da
curva 1 é dada por
0,0 ; , .
x y
xy
d x y x y
Solução da Aplicação 4
2 2 2
Minimizar é equivalente a minimizar
0,0 ; , ;mais como ,
1pertenceà curva, temos ; logo, obtemos
a seginte função:
d
d x y x y x y
yx
2
2
1f x x
x
Solução da Aplicação 4
2
2
1Derivando a função , obtemos:f x x
x
3
2 2f x x
x
3
2Ao resolver a equação 2 0,vamosobter
os pontos críticosda função .
xxf
Solução da Aplicação 4
3
2Resolução da equação2 0.x
x
44
3 3
2 2 22 0 0 2 2 0
xx xx x
4 1 0 1x x
1 são ospontos da função f
Solução da Aplicação 4
4
Calculando a segunda derivada de , temos que
62 .
f
f xx
Como 1 0 e 1 0 , concluimos
que 1 e 1 são pontos de mínimo.
f f
Portanto os pontos mais próximos da origem
são 1,1 e 1, 1 .
Aplicação 5
3
2
Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve
ter a capacidade de 375 cm .O custo do material
usado para a base do recepiente é de 15 centavos
por cm e o custo do material usado para a parte
curva é
2de 5 centavos por cm . Se não há perda
de material, determine as dimensões que
minimizem o custo do material.
Solução da Aplicação 5
Começamos fazendo um esboço do recipiente
denotandopor o raio em da base e por
a altura em .
r cm
h cm
h
r
Solução da Aplicação 5
A quantidade a minimizar é o custo C do
material. Como os custos, por centímetros
quadrados, da base e da parte curva são 15
centavos e 5 centavos, respectivamente,
temos, em termos reais.
Solução da Aplicação 5
15 área da base 5 área da parte lateral ,
Assim:
C Determinando a função custo, temos:
15 área da base 5 área da parte lateralC
215 5 2C r rh