Aula 11: Indutância
Curso de Física Geral III F-328
1o semestre, 2014
F328 – 1S2014 1
Auto-Indutância e Indutância Mútua Quando estudamos campo elétrico, relacionamos a quantidade de cargas em um par de condutores com a diferença de potencial entre eles. A constante de proporcionalidade, que é a capacitância, depende apenas das geometrias dos condutores:
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Qlivre = εo!E ⋅ n dA"∫
ΔV = −!E ⋅d!l∫
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒Qlivre = CV
Iremos agora fazer algo análogo ao relacionar as leis de Ampère e Gauss (para campo magnético) e mostrar que poderemos escrever o fluxo magnético em função das correntes elétricas geradoras de campo magnético. Novamente a constante de proporcionalidade depende apenas da geometria dos condutores envolvidos. A grande diferença é que a proporcionalidade é feita através de uma relação matricial, dando origem a auto-indutância e indutâncias mútuas:
φB =!B ⋅ n dA∫
ienv =!B ⋅d!l"∫
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒φn = Ln,mim
Ln,n = Auto-Indutância; Lm,n = Indutância Mútua;
Solenoide: Indutância Mútua
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Considere o sistema ao lado. Iremos analisar quatro situações: i) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 2:
!B1 = µ0
N1
li1z
φ2, (1) = N2
!B1 ⋅ n dA = N2B1A1
A2
∫1 2
21 0 1N NL Al
µ=
i) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 1:
22 0 2 ˆ
NB zliµ=
r
φ1, (2) = N1
!B2 ⋅ n dA = N1B2A1
A1
∫
1(2) 12 2iLφ = 112 1
20N NL Al
µ=
12 21L L= Note que apesar de L12 =L21 não se obtém L21 de L12 trocando-se 1 à 2.
1H = 1T ⋅m2
A=1Wb
A
A unidade SI de indutância é o henry (H):
2(1) 21 1L iφ =
Solenoide: Auto-Indutância
4
iii) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 1:
!B1 = µ0
N1
li1z
φ1, (1) = N1
!B1 ⋅ n dA = N1B1A1
A1
∫
1(1) 11 1iLφ =21
11 0 1NL Al
µ=
iv) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 2:
!B2 = µ0
N2
li2 z
φ2, (2) = N2
!B2 ⋅ n dA = N2B2A2
A2
∫
2(2) 22 2iLφ =22
22 0 2NL Al
µ=
F328 – 1S2014
Solenoide ideal:
(Indutância por unidade de comprimento)
22
0 0L AN Ll n Al l
µ µ→⎛= =⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Auto-Indutância e Indutância Mútua
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Quando ambas os solenoides carregam correntes, o fluxo total é então proporcional a estas correntes e às auto-indutâncias e indutâncias mútuas. Pelo princípio de superposição podemos escrever esta relação na forma matricial como:
φ1φ2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
L11 L12L21 L22
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟i1i2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
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Observações: 1) As auto-indutâncias (que nomearemos apenas como indutâncias a partir deste ponto) são constantes reais positivas diferente de zero; 2) A indutância mútua pode assumir qualquer valor real (menor, maior ou igual a zero); 3) Ambas dependem apenas de fatores geométricos
N espiras
r
Vimos que o campo magnético no interior de um toroide é:
riN
Bπµ2
0=
==== ∫ ∫∫b
aB r
iNhdrBhdrdAnBπ
µφ2
ˆ. 0!
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=abiNh ln
20
πµ
Então: ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛==abhN
iNL B ln
2
20
πµφ
Indutância de um toroide
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( = fluxo concatenado)
Consideremos uma bobina de N voltas, chamada de indutor, percorrida por uma corrente i que produz um fluxo magnético ϕB através de todas as espiras da bobina. Se i = i(t), pela lei de Faraday aparecerá nela uma fem dada por:
fem induzida em indutores
dtNd B
L)( φε −=
LiN B =φ
Na ausência de materiais magnéticos, é proporcional à corrente:
ou: iNL Bφ=
Então:
dtdiL
dtLid
L −=−= )(ε
(fem auto-induzida)
(L: auto-indutância)
O sentido de é dado pela lei de Lenz: ela deve se opor à variação da corrente que a originou (figura).
i crescendo i decrescendo
BNφ
BNφ
Lε
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Dois cilindros maciços paralelos de mesmo comprimento l e raio a transportam correntes iguais em sentidos opostos. Sabendo-se que a distância entre os eixos dos cilindros é d, mostre que a indutância por unidade de comprimento desse sistema é:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=aad
lL ln0
πµ
Despreze o fluxo no interior dos cilindros.
Exemplo 01
O fluxo produzido pelas duas corrente na região entre os dois fios é dado por:
0
0
1 1)2
ˆ ˆ(
ln
a
E
d
T Da
B ndA B ndAr
iB Ldrd r
L d iaa
µφπ
µπ
− ⎛ ⎞⋅ ⋅ += = + ⎜ ⎟⎝ ⎠=
−
−= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫urr r
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⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=aad
lL ln0
πµ
Duas bobinas circulares compactas, a menor delas (raio R2 e N2 voltas) sendo coaxial com a maior (raio R1 e N1 voltas) e no mesmo plano. Suponha R1 >> R2 . a) deduzir uma expressão para a indutância mútua deste arranjo ; b) Qual o valor de M para N1 = N2 =1200 voltas, R2 = 1,1 cm e R1 = 15 cm?
Exemplo 02
2122122121 ABNNAB =→= φφa)
11
22210
212 2i
RRNN
Nπµφ =
mHm
mmHM 29,2
)015(2)011,0)(1200)(1200)(/104( 27
=×
×=
−ππb)
Mi
NM ==
1
21221
φ1
22210
2RRNN
Mπµ
=
Então: 1
1011 2RiNB µ=
Circuitos RL são aqueles que contêm resistores e indutores. Neles, as correntes e os potenciais variam com o tempo. Apesar das fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do tempo, a introdução de indutores provoca efeitos dependentes do tempo. Estes efeitos são úteis para controle do funcionamento de máquinas e motores.
Circuito básico para analisar correntes em um indutor.
a) Fechando-se a chave S, no instante t = 0, estabelece-se uma corrente crescente no resistor .
Resolver (estudar) este circuito é encontrar a expressão para a corrente i(t) que satisfaça à equação:
0=−−dtdiLRiε
i
Lε
Circuito RL
)(00)0(0 titit ⇒≠→=⇒=
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Resolvendo esta equação diferencial para i(t), vamos ter:
(I : corrente máxima, assintótica)
LiLR
dtdi ε=+
Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante, como se o indutor fosse um fio de ligação comum.
: voltagem no indutor
A equação anterior fica:
Circuito RL
RI
RL
eItieR
ti
L
tLRt L
ετ
ε τ
==
−=⇒−= −−
e
onde),1()()1()( //
( : constante de tempo indutiva) Lτ
Lε
a
b
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Circuito RL
tLR
L eL
LdtdiLV
−== ε
LRtL eV /−= ε
εε
εε
37,0
63,0)1(1
1
==
=−=−
−
eVR
eR
i
L
Voltagens no resistor e no indutor – figura abaixo
RiVR = e
→== máximo,0 LVt
Interpretação de :
:RLt L ==τPara
equivalente a um circuito aberto
Lτ
circuitocurtoumaeequivalent0, −→=>> LL Vt τ
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Ao lado, temos gráficos das tensões Em VL, VR e VR+VL= ε para várias situações a) e b).
b) Fechando-se a chave S2: neste caso, a equação das quedas de potencial será:
A solução desta equação é:
Variações das voltagens com o tempo:
Circuito RL
0=+dtdiLRi
i
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LtLRt eIeR
ti τε /0
/)( −− ==
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Os termos εi, Ri2 e Lidi/dt são, respectivamente, a potência fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e a taxa com que a energia UB é armazenada no campo magnético do indutor, isto é:
Energia armazenada no campo magnético
LididUdtdiLi
dtdU
BB =→=
∫∫ =iU
B LididUB
00
2
21 iLUB =
Do circuito abaixo tem-se:
dtdiLiiRi
dtdiLiR +=→+= 2εε
a
b
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Densidade de energia do campo magnético
A densidade de energia será dada por:
Lembrando que resulta que: inB 0µ=
É a energia por unidade de volume armazenada em um ponto qualquer do campo magnético. Consideremos o campo magnético de um solenoide longo de comprimento l e seção transversal A, transportando uma corrente i.
220
20
2
21Como
21
inulAnL
AlLi
AlUu
B
BB
µµ =→=
==
0
2
2µBuB = (densidade de energia magnética)
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Indutância mútua Fluxos conectados: variação de fluxo da bobina 1 produz uma fem na bobina 2 e vice-versa.
Indução mútua 2121 ML →1
21221 i
NM
φ=
dtdi
Mdtd
NouNiM 121
212212121 ==
φφ
dtdi
M 1212 −=εA fem induzida na bobina 2:
A fem induzida na bobina 1: dtdi
M 2121 −=ε
dtdi
M
dtdi
M
12
21
−=
−=
ε
ε
A indução é de fato mútua
MMM == 2112
Pode-se provar que:
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Os exercícios sobre Lei de Faraday estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328-Física Geral III
Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
Lista de exercícios do Capítulo 30
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