Asuransi Jiwa
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati
S2 Matematika FMIPA UGM
January 1, 2014
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 1 / 39
Outline
1 Pendahuluan
2 Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi yang Dibayarkan Seketika pada Saat KematianAsuransi dengan Manfaat BertingkatAsuransi DwigunaAsuransi TertundaAsuransi dengan Manfaat Kematian yang Tak Tetap
3 Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan)Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun KematianAsuransi Jiwa Berjangka n-TahunAsuransi Jiwa Seumur HidupAsuransi Jiwa DwigunaAsuransi dengan Santunan yang Tak Tetap
4 Hubungan Asuransi Kontinu dan Asuransi Diskrit
5 Persamaan Differensial untuk Asuransi Kontinu
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 2 / 39
Pendahuluan
Definisi Asuransi Jiwa
Asuransi jiwa merupakan sebuah janji dari perusahaan asuransi(pihak penanggung) kepada nasabahnya (tertanggung) bahwaapabila nasabah mengalami resiko kematian dalam hidupnya makaperusahaan asuransi akan memberikan santunan (manfaatkematian) dengan jumlah tertentu pada ahli waris dari nasahabtersebut.
Nilai harapan dari vriabel random nilai sekarang E(Z) adalahnilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) atau dengankata lain nilai uang sekarang (Present Value) yang harusdibayarkan untuk mendapatkan sejumlah nilai yang sama padasaat meninggal dalam periode waktu sampai t tahun.
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 3 / 39
Pendahuluan
Definisi Asuransi Jiwa
Asuransi jiwa merupakan sebuah janji dari perusahaan asuransi(pihak penanggung) kepada nasabahnya (tertanggung) bahwaapabila nasabah mengalami resiko kematian dalam hidupnya makaperusahaan asuransi akan memberikan santunan (manfaatkematian) dengan jumlah tertentu pada ahli waris dari nasahabtersebut.Nilai harapan dari vriabel random nilai sekarang E(Z) adalahnilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) atau dengankata lain nilai uang sekarang (Present Value) yang harusdibayarkan untuk mendapatkan sejumlah nilai yang sama padasaat meninggal dalam periode waktu sampai t tahun.
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 3 / 39
Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi yang Dibayarkan Seketika pada Saat
Kematian
Asuransi yang Dibayarkan Seketika Saat Kematian
Model asuransi ini juga disebut sebagai model kontinu dimanabesarnya manfaat dan waktu pembayaran hanya bergantung padalamanya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampaitertanggung meninggal.
Besar manfaat kematian dihitung dari fungsi manfaat dan fungsidiskon (vt).Fungsi dari nilai manfaat kematian pada saat sekarang dari zt,yaitu
zt = btvt
dengan zt adalah nilai sekarang untuk nilai polis dari pembayaranmanfaat kematian dan T = T (x) merupakan varriabel random sisausia yang diasuransikan.
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 4 / 39
Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi yang Dibayarkan Seketika pada Saat
Kematian
Asuransi yang Dibayarkan Seketika Saat Kematian
Model asuransi ini juga disebut sebagai model kontinu dimanabesarnya manfaat dan waktu pembayaran hanya bergantung padalamanya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampaitertanggung meninggal.Besar manfaat kematian dihitung dari fungsi manfaat dan fungsidiskon (vt).
Fungsi dari nilai manfaat kematian pada saat sekarang dari zt,yaitu
zt = btvt
dengan zt adalah nilai sekarang untuk nilai polis dari pembayaranmanfaat kematian dan T = T (x) merupakan varriabel random sisausia yang diasuransikan.
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 4 / 39
Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi yang Dibayarkan Seketika pada Saat
Kematian
Asuransi yang Dibayarkan Seketika Saat Kematian
Model asuransi ini juga disebut sebagai model kontinu dimanabesarnya manfaat dan waktu pembayaran hanya bergantung padalamanya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampaitertanggung meninggal.Besar manfaat kematian dihitung dari fungsi manfaat dan fungsidiskon (vt).Fungsi dari nilai manfaat kematian pada saat sekarang dari zt,yaitu
zt = btvt
dengan zt adalah nilai sekarang untuk nilai polis dari pembayaranmanfaat kematian dan T = T (x) merupakan varriabel random sisausia yang diasuransikan.
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 4 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi dengan Manfaat Bertingkat
Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun(n-Year TermInsurance)
• Pada asuransi jiwa berjangka n-tahun, pembayaran manfaatkematian dilakukan hanya jika nasabah meninggal di dalamn-tahun masa kepesertaannya sejak memutuskan terdaftar menjadipeserta asuransi.
• Misalkan besarnya manfaat kematian adalah 1 unit dandibayarkan saat seseorang berusia (x) mengalami kematian, maka:
bt ={
1, t ≤ n0, t > n
vt = vt, t ≥ n
Z ={
vT , T ≤ n0, T > n
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 5 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi dengan Manfaat Bertingkat
• Nilai sekarang aktuaria asuransi berjangka n-yahun denganpembayaran manfaat kematian sebesar 1 unit dan dilakukanseketika pada saat (x) mengalami kematian adalah E[Z],dinotasikan A1
x:n dengan Z adalah fungsi dari T
A1x:n = E[Z] =
∫ ∞
0ztfT (t) dt
sehingga,
A1x:n =
∫ n
0vt
tpxµx(t) dt
=∫ n
0e−δt
tpxµx(t) dt
selanjutnya diperoleh,
var(Z) = 2A1x:n − (A1
x:n )2
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 6 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi dengan Manfaat Bertingkat
Asuransi Seumur Hidup (Whole Life Insurance)
• Asuransi jiwa seumur hidup merupakan asuransi jiwa berjangkan-tahun dengan n →∞, berlaku:
bt = 1, t ≥ 0
vt = vt, t ≥ 0
Z = vT , T ≥ 0
• Asuransi ini membayar manfaat kematian ketika nasabahmeninggal dunia kapanpun kematian tersebut terjadi.
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 7 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi dengan Manfaat Bertingkat
• Nilai sekarang aktuaria seumur hidup (whole life insurance) yakni:
Ax =∫ ∞
0vt
tpxµx(t) dt
• Untuk seseorang yang terseleksi pada saat [x] dan sekarang berusia[x] + h, maka nilai sekarang aktuarianya sebesar:
A[x]+h =∫ ∞
0vt
tp[x]+hµx(h + t) dt
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 8 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi dengan Manfaat Bertingkat
Contoh 1
Diasumsikan mortalita mengikuti :lx = 100− x untuk 0 ≤ x ≤ 100 dantingkat suku bunga kontinu 0,005. Hitunglah A 1
40:25Jawab:Diketahui lx = 100− x = 100.S(x),0 ≤ x ≤ 100, δ = 0, 05terlebih dahulu ditentukan µ(x + t)
µ(x + t) =1
S(x + t).dS(x + t)
dt
= − 1100− x− t
.d(100− x− t)
dt
=1
100− x− t
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 9 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi dengan Manfaat Bertingkat
Sehingga,
µ(40 + t) =1
60− t
tp40 =S(40 + t)
S(40)=
(60− t
60
)Selanjutnya,
A 140:25
=∫ 25
0e−δt
tp40µ(40 + t) dt
=∫ 25
0e−0,05t
(60− t
60
) (1
60− t
)dt
=160
∫ 25
0e−0,05t dt
= 0, 283
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 10 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi dengan Manfaat Bertingkat
Contoh 2
Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup (whole life) dengan uang per-tanggungaan senilai 70 diterbitkan atas (30). Manfaat meninggal diba-yarkan pada saat meninggal dunia. Jika probability density function darifuture lifetime T untuk (x) adalah :
f(t) ={
t70 , 0 ≤ t ≤ 700, lainnya
dan δ = 0, 10. Hitunglah premi tunggal neto (net single premium)?Jawab:
Ax =∫ 70
0e−δt.fT (t) dt
=∫ 70
0e−0,1t 1
70dt
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 11 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi dengan Manfaat Bertingkat
=−t
700e−0,1t − e−0,1t
70|700
= −e−7
(17
+170
)+
170
=170
− 1170
e−7
diperoleh net single premium,
btAx = 70(
170
− 170
e−7
)= 1− 11e−7
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 12 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi Dwiguna
Asuransi Dwiguna (Endowment Insurance)
• Asuransi dwiguna terdiri dari dwiguna murni berjangka n-tahundan dwiguna berjangka n-tahun.
• Manfaat kematian akan diberikan seketika pada saat kematianapabila peserta asuransi meninggal sebelum n-tahun. sebaliknya,apabila masih hidup sampai dengan n-tahun maka kepadanya akandiberikan dwiguna murni.
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 13 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi Dwiguna
Asuransi Dwiguna Murni Berjangka n-Tahun
• Manfaat kematian akan diberikan akhir tahun ke-n apabilanasabah tetap hidup minimal selama n-tahun sejak masuk menjadipeserta asuransi sehingga dapat dituliskan:
• Nilai sekarang untuk aktuaria untuk dwiguna murni memiliki duanotasi yang berarti sama, yaitu A 1
x:n atau nEx,
A 1x:n = E[Z] = vn
npx
variansinya dapat diperoleh dari,
var(Z) = 2A 1x:n − (A 1
x:n )2
= v2nnpxnqx
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 14 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi Dwiguna
Asuransi Dwiguna n-Tahun
• Asuransi dwiguna n-tahun merupakan kombinasi dari asuransiberjangka n-tahun dan dwiguna murni.
• Manfaat kematian akan diberikan seketika pada saat kematianapabila peserta asuransi meninggal sebelum n-tahun. sebaliknya,apabila masih hidup sampai dengan n-tahun maka kepadanya akandiberikan dwiguna murni. berikut nilai sekarang aktuarianya,
Ax:n = A1x:n + A 1
x:n
variansi untuk asuransi ini yaitu,
var(Z) = 2Ax:n − (Ax:n )2
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 15 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi Tertunda
AsuransiTertunda (Deffered Insurance)
• Asuransi tertunda m-tahun memberikan manfaat kematian jikanasabaha meninggal setelah m-tahun menjadi peserta asuransi.
• Asuransi jiwa seumur hidup tertunda m-tahun mempunyai nilaisekarang aktuaria sebagai berikut,
E[Z] = m|Ax =∫ ∞
mvt
tpxµx(t) dt
, sedangkan• Asuransi jiwa berjangka n-tahun yang tertunda m-tahun, nilai
sekarang aktuarinya adalah,
m|nAx = m|nA1x:n =
∫ m+n
mvt
tpxµx(t) dt
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 16 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi Tertunda
Contoh 3
Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup tertunda 5 tahun diterbitkanatas (x) dengan manfaat meninggal dibayarkan pada saat meninggaldunia. jika diketahui force of mortality constant µ = 0, 04 dan δ = 0, 10.Berapakah nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini?Jawab:
5|Ax =∫ ∞
5tpxµx(t) dt =
∫ ∞
5e−δtµx(t) dt
=∫ ∞
5e−0,10te−0,04t(0, 04) dt
=(0, 04)e0,14t
−0, 14|∞5
=27e−0,7 = 0, 1419
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 17 / 39
Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi dengan Manfaat Kematian yang Tak
Tetap
Asuransi dengan Manfaat Kematian Meningkat
• Asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat kematian meningkatper tahun (anually increasing whole life insurance) akanmemberikan manfaat kematian sebesar 1 unit pada saat terjadikematian di tahun pertama, 2 unit pada tahun kedua, danseterusnya,
bt = bt + 1c, t ≥ 0
vt = vt, t ≥ 0
Z = bT + 1c, T ≥ 0
Dimana tanda ”bc” menyatakan bilangan bulat terbesar.• Nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini adalah,
(IA)x = E[Z] =∫ ∞
0bt + 1cvt
tpxµx(t) dt
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 18 / 39
Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi dengan Manfaat Kematian yang Tak
Tetap
Asuransi dengan Manfaat Kematian Meningkat
• Secara umum, nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa seumurhidup dengan manfaat kematian meningkat per m-bulan (m-thlyincreasing whole life insurance) yakni,
E[Z] = (I(m)A)x
• Selain itu, jika kematian terjadi dalam jangka waktu n-tahun makadisebut m-thly increasing n-year term life insurance, dimanadalam kasus ini m →∞, maka nilai sekarang aktuarianya adalah
E[Z] = (IA)x =∫ ∞
0s|Ax ds
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 19 / 39
Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi dengan Manfaat Kematian yang Tak
Tetap
Asuransi dengan Manfaat Kematian Menurun
• Asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat kematian menurunper tahun (anually decreasing whole life insurance). misalkansuatu asuransi memberikan manfaat kematian sebesar n apabilaterjadi kematian di tahun pertama, n− 1 di tahun kedua danseterusnya sampai dengan jangka waktu asuransi selesai makafungsinya adalah,
bt ={
n− btc, t ≤ n0, t > n
vt = vt, t > n
Z ={
vT (n− bT c, T ≤ n0, T > n
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 20 / 39
Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi dengan Manfaat Kematian yang Tak
Tetap
Asuransi dengan Manfaat Kematian Menurun
• Nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini adalah,
(DA)1x:n =
∫ n
0vt(n− btc)tpxµx(t) dt
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 21 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan)Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun
Kematian
Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian
Merupakan asuransi yang dibayarkan secara diskrit.
Model asuransi ini didefinisikan sebagai fungsi sisa usia masadepan dari nasabah dengan K = K(x) merupakan variabelrandom sisa usia (diskret). Fungsi manfaat bk + 1, yaitu jumlahpembayaran manfaat dimana indeks k + 1 menyatakan sisa usiadari nasabah dan fungsi diskonto vk + 1, yaitu faktor diskontosuku bunga yang ditetapkan untuk periode dari waktupengembalian pembayaran sampai waktu diterbitkannya polis.Nilai sekarang pada saat polis diterbitkan dari pembayaranmanfaat asuransi dinotasikan dengan zk+1, yaitu:
zk + 1 = bk+1vk+1
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 22 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan)Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun
Kematian
Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian
Merupakan asuransi yang dibayarkan secara diskrit.Model asuransi ini didefinisikan sebagai fungsi sisa usia masadepan dari nasabah dengan K = K(x) merupakan variabelrandom sisa usia (diskret). Fungsi manfaat bk + 1, yaitu jumlahpembayaran manfaat dimana indeks k + 1 menyatakan sisa usiadari nasabah dan fungsi diskonto vk + 1, yaitu faktor diskontosuku bunga yang ditetapkan untuk periode dari waktupengembalian pembayaran sampai waktu diterbitkannya polis.
Nilai sekarang pada saat polis diterbitkan dari pembayaranmanfaat asuransi dinotasikan dengan zk+1, yaitu:
zk + 1 = bk+1vk+1
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 22 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan)Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun
Kematian
Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian
Merupakan asuransi yang dibayarkan secara diskrit.Model asuransi ini didefinisikan sebagai fungsi sisa usia masadepan dari nasabah dengan K = K(x) merupakan variabelrandom sisa usia (diskret). Fungsi manfaat bk + 1, yaitu jumlahpembayaran manfaat dimana indeks k + 1 menyatakan sisa usiadari nasabah dan fungsi diskonto vk + 1, yaitu faktor diskontosuku bunga yang ditetapkan untuk periode dari waktupengembalian pembayaran sampai waktu diterbitkannya polis.Nilai sekarang pada saat polis diterbitkan dari pembayaranmanfaat asuransi dinotasikan dengan zk+1, yaitu:
zk + 1 = bk+1vk+1
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 22 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun
Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun(n-Year TermInsurance)
• Asuransi berjangka n-tahun dengan memberikan 1 unit pada akhirtahun kematian diperoleh:
bk+1 ={
1, k = 0, 1, · · · , n− 10, lainnya
vk+1 = vk+1
Z ={
vK+1,K = 0, 1, · · · , n− 10, lainnya
• Nilai aktuaria untuk asuransi ini diberikan dengan,
A1x:n = E[Z] =
n−1∑k=0
vk+1kpxqx+k
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 23 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun
• Dengan menggunakan penurunan aljabar, rumus rekursi dari nilaisekarang aktuaria dari asuransi berjangka n-tahun adalah:
A1x:n = vqx + vpxA 1
x+1:n−1
• Selanjutnya, nilai variansi dari asuransi berjangka n-tahun sebagaiberikut,
var[Z] = 2A1x:n − (A1
x:n )2
dimana, 2A1x:n =
n−1∑k=0
v2k+1kpxqx+k
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 24 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Seumur Hidup
Asuransi Jiwa Seumur Hidup(Whole Life Insurance)
• Asuransi jiwa seumur hidup yang diterbitkan untuk x, model yangakan digunakan pada asuransi ini dapat diperoleh denganmemisalkan n →∞ dari model asuransi berjangka n-tahunsehingga nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini adalah:
Ax =∞∑
k=0
vk+1kpxqx+k
• selanjutnya rumus rekursi untuk asuransi jiwa seumur hidupdimana n →∞ yakni,
Ax = vqx + vpxAx+1
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 25 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Seumur Hidup
Contoh 4
Jika lx = 100−x untuk 0 ≤ x ≤ 100 dan jika i = 0,05. Hitunglah A40:25 ?
Jawab: k|qx = kpxqx+k =lx+k − lx+k+1
lx=
1100− x
Sehingga, k|q40 =160
Selanjutnya diperoleh,
A40:25 =24∑
k=0
(1, 05)−(k+1) 160
+ v2525p40
=160
a25 + v25 3560
=160
(14, 09359) +712
(0, 295308)
= 0, 407159
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 26 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Dwiguna
Asuransi Jiwa Dwiguna(Endowment Insurance)
Asuransi dwiguna (endowment) n-tahun dengan jumlah unit pemba-yaran pada akhir tahun kematian adalah kombinasi dari asuransi ber-jangka n-tahun dengan asuransi dwiguna murni (pure endowment) n-tahun. Fungsinya sebagai berikut:
bk+1 = 1, k = 0, 1, · · · , n− 1
vk+1 ={
vk+1, k = 0, 1, 2, · · · , n− 1vn, k = n, n + 1, · · ·
vk+1 ={
vk+1, k = 0, 1, 2, · · · , n− 1vn, k = n, n + 1, · · ·
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 27 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Dwiguna
Nilai sekarang aktuaria dari asuransi dwiguna diperoleh,
Ax:n =n∑
k=0
vk+1kpxqx+k
dengan menggunakan penurunan secara aljabar, diperoleh rumus rekursiuntuk asuransi ini, yakni:
Ax:n =n−1∑k=0
vk+1kpxqx+k + vn
npx
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 28 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Dwiguna
Contoh 5
Y adalah nilai sekarang dari variabel random untuk asuransi berjangka30 tahun dengan anuitas 1 yang dibayarkan setiap tahun oleh (x) selamahidupnya. Diberikan,
1 i = 0, 052 30px = 0, 703 2A1
x:30= 0, 0694
4 A1x:30
= 0, 1443
Hitung E[Y 2]?
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 29 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Dwiguna
Jawab:Y =
1− Z
d, dimana Z adalah nilai sekarang dari variabel random asu-
ransi dwiguna 30 tahun.
E[Y ] =1−Ax:30
d=
1−A1x:30
− v3030px
d= 14, 568
V ar(Y ) =(
1d2
(2Ax:30 − (A1x:30
)2)
=1
(21)2
(2A1
x:30+ v60
30px − (A1x:30
+ v3030px)
)= 5, 76700
sehingga diperoleh,E[Y 2] = var(Y ) + (var[Y ])2 = 218
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 30 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi dengan Santunan yang Tak Tetap
Asuransi Jiwa dengan Santunan Meningkat SetiapTahun
• Asuransi jiwa seumur hidup dengan santunan yang meningkatsetiap tahun, yang menyediakan santunan sejumlah k+1 unitapabila tertanggung meninggal pada tahun-tahun kematian.Fungsi manfaat dan fungsi diskonto serta variabel random darinilai sekarang, yaitu:
bk+1 = k + 1, k = 0, 1, · · ·
vk+1 = vk+1, k = 0, 1, 2, · · ·
Z = (K + 1)vK+1,K = 0, 1, · · ·
• Nilai sekarang aktuaria dari asuransi jiwa seumur hidup dengansantunan yang meningkat setiap tahunnya dinotasikan dengan(IA)x.
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 31 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi dengan Santunan yang Tak Tetap
Asuransi Jiwa dengan Santunan Menurun Setiap Tahun
• Asuransi jiwa berjangka n-tahun dengan santunan yang menurunsetiap tahun, selama periode n-tahun menyediakan manfaat padaakhir tahun kematian sejumlah n-k dimana k adalah lamanyatertanggung hidup sejak asuransi diterbitkan, dengan fungsisebagai berikut,
bk+1 ={
n− k, k = 0, 1, · · · , n− 10, k = n, n + 1, · · ·
vk+1 = vk+1, k = 0, 1, 2, · · ·
Z ={
(n−K)vK+1,K = 0, 1, · · · , n− 10,K = n, n + 1, · · ·
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 32 / 39
Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi dengan Santunan yang Tak Tetap
• Nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa berjangka n-tahundengan santunan yang menurun setiap tahun dinotasikan dengan(DA)1
x:n , yakni:
(DA)1x:n =
n−1∑k=0
(n− k)k|Ax
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 33 / 39
Hubungan Asuransi Kontinu dan AsuransiDiskrit
Hubungan Asuransi Kontinu dan Asuransi Diskrit
Pada asuransi yang dibayarkan seketika saat kematian (kontinu) danasuransi yang dibayarkan pada akhir tahun kematian (diskrit) dapatdiperoleh beberapa hubungan dengan cara menganalisis nilai sekaranguntuk asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat sebesar 1 unit yangdibayarkan seketika pada saat kematian, yakni:
Ax =∫ ∞
0vt
tpxµx(t) dt
=∫ 1
0vt
tpxµx(t) dt +∫ ∞
1vt
tpxµx(t) dt
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 34 / 39
Hubungan Asuransi Kontinu dan AsuransiDiskrit
Bentuk diatas dapat dirubah menjadi:
=∫ 1
0vt
tpxµx(t) dt + vpxAx+1
Dengan asumsi uniform tpxµx(t) = qx dan definisi asuransi berjangka,maka persamaannya menjadi:
Ax =i
δvqx + vpxAx+1
Selanjutnya nilai sekarang aktuaria pada asuransi seumur hidup diskrit
jika dikalikan dengani
δ,diperoleh:
i
δAx =
i
δvqx + vpx
(i
δAx+1
)
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 35 / 39
Hubungan Asuransi Kontinu dan AsuransiDiskrit
dari dua persamaan diatas dapat dilihat hubungan antara asuransi yangdibayarkan seketika saat kematian(kontinu) dengan asuransi yang diba-yarkan pada akhit tahun kematian adalah:
Ax =i
δAx
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 36 / 39
Hubungan Asuransi Kontinu dan AsuransiDiskrit
Contoh 6
Diberikan,
1 Kematian terdistribusi secara merata2 i = 0, 053 q35 = 0, 014 A36 = 0, 185
Hitunglah A35?Jawab:Hitung terlebih dahulu: e−δ =
11 + i
, Sehingga
δ = eln( 11+i
)
= eln( 1
1,05)
= 0, 4879
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 37 / 39
Hubungan Asuransi Kontinu dan AsuransiDiskrit
Ax =i
δA36 =⇒ A36 =
δ
iAx.
Sehingga,
A36 =0, 48790, 05
(0, 185) = 0, 180523
Selanjutnya dapat dihitung,
A36 = vq35 + vp35A36
=1
1, 05(0, 01) +
11, 05
(1− 0, 01)(0, 180523)
= 0, 179
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 38 / 39
Persamaan Differensial untuk Asuransi Kontinu
Persamaan Differensial untuk Asuransi yang dibayarkanSeketika pada Saat Kematian (Kontinu)
Rumus rekursif dapat dibetuk dari asuransi yang dibayarkan seketikapada saat kematian dengan menggunakan persamaan diferensial. Con-tohnya adalah asuransi seumur hidup pada usia (x) yakni
d
dxAx = −µ(x) + Ax[δ + µ(x)] = δAx − µ(x)(1− Ax)
atau bisa dituliskan sebagai berikut,
d
dxAx = −µ(x) + Ax[µ(x) + δ]
Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 39 / 39