Download pdf - Aritmeticki i Geometrijski_niz

8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz

http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 1/24

1

Aritmetički niz:

Podjimo od dva primera:

Primer 1: ,...11,9,7,5,3

Primer 2: ,...40,45,50,55

Nije teško zaključiti da će u prvom primeru nekoliko sledećih članova biti 13,15,17,… jerse svaki sledeći član povećava za dva. U drugom primeru će nekoliko sledećih članovabiti 35,30,25,… jer se svaki sledeći smanjuje za 5. Kako vidimo , niz može biti rastući iliopadajući.

Ovakvi nizovi u kojima je razlika ma koja dva uzastopna člana konstantna nazivaju seAritmetički nizovi ili aritmetičke progresije.

Vrlo je važno od kog broja počinje niz, pa se on zove prvi član niza i obeležava se sa

1a .

Za primer ,...11,9,7,5,3 → prvi član niza je 31 =a

Za primer ,...40,45,50,55 → prvi član niza 551 =a

Razlika (diferencija) niza je broj za koji se niz povećava (smanjuje) i obeležava se

slovom d .

12312 ...−

−==−=−= nn aaaaaad

Za primer ,...11,9,7,5,3 → 2=d (raste niz)

Za primer ,...40,45,50,55 → 5−=d (opada niz)

Nekad će nam biti potrebno da nadjemo stoti, hiljaditi ili bilo koji drugi član niza. Slažete

se da je naporno pisati ih redom. Tu nam pomaže formula za n-ti član niza:

1 ( 1)n

a a n d = + −

Ako trebamo sabrati prvih n-članova niza,tu važi formula:

[ ]12 ( 1)2

n

nS a n d = + − ili

2

)( 1 nn

aanS

+=

Za svaki aritmetički niz još važi ( aritmetička sredina) :

1 1

2

n nn

a aa − +

+= ili

2

jn jn

n

aaa

+− +

= 1,...,2 −= n j www.matematiranje.com



2

Ako izmedju brojeva a i b treba umetnuti (interpolirati) k-brojeva tako da zajedno sa a i

b čine aritmetički niz, onda razliku d tog niza tražimo po formuli1+

−=

k

abd

Zadaci:

1) Peti član aritmetičkog niza je 19 a deseti član niza je 39. Odrediti niz.

Rešenje:39

19

10

5

=

=

a

a

Aritmetički niz je potpuno odredjen ako znamo prvi član1a i razliku d. Da bi našli

ove 2 nepoznate primenićemo formulu za n-ti član niza:

d naan )1(1 −+= za 1945 15 =+=⇒= d aan

za 39910 110 =+=⇒= d aan

Sastavićemo sistem jednačina:

_______ __________ 1

1

399

)1(/194

=+

−⋅=+

d a

d a

_______ __________ 1

1

399194

=++

−=−−

d ad a

→=

=

4

205

d

d vratimo se u jednu od jednačina

3

1916

194

1

1

1

=

=+

=+

a

a

d a

Znači prvi član niza je 3 a povećava se za 4 pa je niz: 3,7,11,15,19,…

Njegov opšti član će biti:

14

4)1(3

)1(1

−=

⋅−+=

−+=

na

na

d naa

n

n

n



3

2) Nadji prvi član 1a i diferenciju d aritmetičkom nizu ako je :

10352 =−+ aaa i 1792 =+ aa

Rešenje: Ovakav tip zadatka rešavamo pomoću opšteg člana:

→−+= d naan )1(1

d aa

d aa

d aa

d aa

8

2

4

19

13

15

12

+=

+=

+=

+=

Zamenimo ovo u 2 date jednačine:

10352 =−+ aaa

2 9 17a a+ =

___ __________ __________ __________ 11

111

17)8()(

10)2()4()(

=+++

=+−+++

d ad a

d ad ad a

________ __________ __________ 11

111

178

1024

=+++

=−−+++

d ad a

d ad ad a

1

1 __________________

1

1

3 10 sa -2

2 9 17

2 6 20

2 9 17

a d pomnožimo

a d

a d

a d

+ = →

+ =

− − = −

+ =

1

33

−=

−=

d

d

13

103103

1

1

1

=

=−

=+

a

a

d a

Znači niz je opadajući I glasi 13,12,11,10,9,8,7,…

www.matematiranje.com



4

3) Odrediti aritmetički niz ako je: 0105 51 =+ aa i 4 14S =

Rešenje:

1

5 1

1 1

1 1

1

1

( 1)

4

5 10( 4 ) 0

5 10 40 0

15 40 0

3 8 0

na a n d

a a d

a a d

a a d

a d

a d

= + −

= +

+ + =

+ + =

+ =

+ =

[ ]

[ ]

[ ]

4

1

4 1

1

1

14

2 ( 1)2

42 (4 1)

2

14 2 2 3

2 3 7

n

S

nS a n d

S a d

a d

a d

=

= + −

= + −

= +

+ =

Sad ove dve jednačine “upakujemo” :

______ __________ __________ 1

1

)3(/732

2/083

−⋅=+

⋅=+

d a

d a

__ __________ __________ 1

1

2196

0166

−=−−

=+

d a

d a

0243083

3

217

11 =−⇒=+

−=

−=

ad a

d

d

8

243

1

1

=

=

a

a

Znači niz je : 8,5,2,-1,-4,…

4) Izračunati n i na u aritmetičkoj progresiji za koje su:

245

5

21

=

=

=

nS

d

a

Znači ovde nam treba n… www.matematiranje.com



5

[ ]

[ ]

[ ][ ]

04905

5490

15490

5542245

5)1(222

245

)1(22

2

2

1

=−−

−=

−=

−+=

⋅−+⋅=

−+=

nn

nn

nn

nn

nn

d nan

S n

Dobili smo kvadratnu jednačinu “po n”.

490,1,5 −=−== cba

2

1,2

1,2

1 2

4

2

1 99

10

9810,

10

b b ac

n a

n

n n

− ± −=

±=

= = −

Nemoguće

Znači : 10=n je jedino rešenje

1

10

10

10

( 1)

2 (10 1) 5

2 45

47

n

a a n d

a

a

a

= + −

= + − ⋅

= +

=

5) Zbir prva tri člana aritmetičkog niza je 36, a zbir kvadrata prva tri člana je 482.

Odrediti niz.

Da postavimo problem:

________ __________ __________

2

3

2

2

2

1

321

482

36

=++

=++

aaa

aaa

Iskoristićemo da je

d aa

d aa

d naan

2

)1(

13

12

___ __________ __________ 1

+=

+=

−+=




6

______ __________ __________ __________ __________

2

1

2

1

2

1

111

482)2()(

36)2()(

=++++

=++++

d ad aa

d ad aa

1 1

1

1

3 3 36 Odavde ćemo izraziti i zameniti u drugu jednačinu sistema

12

12

a d a

a d

a d

+ =

+ =

= −

.

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

2

1

1

(12 ) (12 ) (12 2 ) 482

(12 ) 12 (12 ) 482

144 24 144 144 24 482

2 432 482

2 50

25

25 5

5

12 5

7

d d d d d

d d

d d d d

d

d

d

d d

Za d

a

a

− + − + + − + =

− + + + =

− + + + + + =

+ =

=

=

= ± → = ±

=

= −

=

Ili 1

1

5

12 5

17

Za d

a

a

= −

= +

=

Dakle, postoje 2 takva niza:

7,12,17,22,27,…

17,12,7,2,-3,…




7

6) Rešiti jednačinu: 210...1173 =++++ x

Uočimo najpre da se ovde radi o zbiru prvih n članova aritmetičkog niza i da je :

210

73

2

1

=

=

=

=

n

n

S

xa

aa

?

210

4

3

__ __________

1

==

=

=

=

n

n

a x

S

d

a

Dakle:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

021022210

242

210

4462

210

4)1(322

210

)1(22

2

2

1

=−+

+=

+=

−+=

⋅−+⋅=

−+=

nnnn

nn

nn

nn

d nan

S n

Kvadratna “po n”

1,2

1

2

1 41

4

10

42

4

n

n

n

− ±=

=

= −

Dakle 10=n

10 1 9 3 9 4 3 36 39

39

x a a d

x

= = + = + ⋅ = + =

=




8

7) Aritmetički niz ima 20 članova. Zbir članova koji su na parnim mestima je 250, a zbir

članova na neparnim mestima 220. Naći dva srednja člana.

Postavimo prvo problem:

220...

250...

1931

20642

=+++

=++++

aaa

aaaa

Na ovaj način smo ustvari dobili 2 niza sa po 10 članova čiji su zbirovi : za prvi 250 i za

drugi 220, a kod oba dva niza je razlika 2d.

Primenićemo formula za [ ]d nan

S n )1(22

1 −+=

Za prvi niz ⇒

[ ]

[ ]

10 2

2

2

2 2 1

1

102 (10 1) 2

2

250 5 2 18

2 18 50

9 25

10 25

S a d

a d

a d

a d a a d

a d

= + − ⋅

= +

+ =

+ = → = + →

+ =

Za drugi niz ⇒

[ ]

[ ]

10 1

1

1

1

102 (10 1) 2

2

220 5 2 18

2 18 44

9 22

S a d

a d

a d

a d

= + − ⋅

= +

+ =

+ =

Sad pravimo sistem:

______ __________ __________ 1

1

)1(/229

2510

−⋅=+

=+

d a

d a

_ __________ __________ 1

1

229

2510

−=−−

=+

d a

d a Pa je 525303 11 −=⇒=+⇒= aad

Znači niz je : -5,-2,1,4,7,…

Srednji članovi su 10a i 11a

2530510

222759

111

110

=+−=+=

=+−=+=

d aa

d aa





10

0276

0361296

361296

)6()3(

2

2

222

222

=−−

=−−++

++=+++

+=++

aa

aaa

aaaaa

aaa

1,2

1

2

6 12

2

9,

3

a

a

a

±=

=

= −

Dakle stranice su:

15696

12393

9

=+=+=

=+=+=

=

ac

ab

a

10) Odrediti x tako da brojevi log2, log( x2 -1), log(

x2 +3) budu uzastopni članovi

aritmetičkog niza.

Upotrebićemo 2

11 +− +

= nn

n

aaa tj,

2

312

aaa

+=

2

2

2

2

2

1,2

1

2

log2,log(2 1),log(2 3)

log2 log(2 3)log(2 1)

2

2log(2 1) log2 (2 3)

log(2 1) log2 (2 3)

(2 1) 2 (2 3)..... 2

( 1) 2( 3)

2 1 2 6

4 5 0

4 6

2

5

1

x x

x x

x x

x x

x x xsmena t

t t

t t t

t t

t

t

t

− +

+ +− =

− = ⋅ +

− = ⋅ +

− = ⋅ + =

− = +

− + = +

− − =

±=

=

= −




11

Vratimo se u smenu:

52 = x

ili 12 −= x

2log 5 x = nemoguće




1

Geometrijski niz

Podjimo od dva primera:

Primer 1: 3,6,12,24,48 ...

Primer 2: 81,27,9,3, ...

Pažljivim posmatranjem možemo zaključiti da je svaki sledeći član niza u

primeru 1. 3,6,12,24,48 ... 2 puta veći od predhodnog člana , pa će sledeći

članovi biti, 48 2 96, 96 2 192,...⋅ = ⋅ =

U primeru 2. 81,27,9,3, ... primećujemo da je svaki sledeći član tri puta manji od

predhodnog, pa bi sledeći članovi bili1 1 1

3:3 1, 1: 3 , : 3 ,...3 3 9

= = =

Ovakvi nizovi zovu se geometrijski i kao što vidimo , mogu biti rastući (primer 1.) i

opadajući (primer 2.)

Dakle: Niz brojeva u kome je količ

nik ma koja dva uzastopnač

lana niza stalan zove segeometrijski niz ili progresija. Naravno i ovde je važno od kog broja počinje niz, pa se

taj broj zove “prvi” član niza I obeležava se sa 1b .

→ za primer 1. 31 =b , 62 =b , ,...123 =b

→ za primer 2. 811 =b , 272 =b , ,...93 =b

→====−

qb

b

b

b

b

b

n

n

12

3

1

2 ... količnik niza

→ za primer 1. 2=q (rastući niz)

→ za primer 2.3

1=q (opadajući niz)

Ako znamo 1b (prvi član niza) i q (količnik niza) niz je potpuno odredjen , odnosno

možemo da ga zapišemo.

Bilo koji član niza ( n-ti član ) se traži po formuli :1

1

n

nb b q −= ⋅

Zbir prvih n-članova niza se traži

i) 1>q ii) 1<q

1

)1(1

−−=

q

qbS

n

n q

qbS

n

n−−=

1

)1(1

Za svaki član niza važi:1 1 geometrijska sredinan n nb b b− += ⋅ →




2

primer 1

O d re d it i g e om et rijsku prog resiju kod koje je 3015 4231 =+∧=+ bbbb

30

15

42

31

=+

=+

bb

bb

Iskoristimo formulu :

1

1

n

nb b q

−= ⋅ po njoj je:

2

3 1

2 1

3

4 1

b b q

b b q

b b q

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Zamenimo ovo u postavljeni sistem:

2

1 1

3

1 1

____________________

15

30

b b q

b q b q

+ =

+ = → Izvučemo “zajednički” iz obe jednačine:

_ __________ __________

2

1

2

1

30)1(

15)1(

=+

=+

qqb

qb→ Ovde je “trik” da se jednačine podele.

1b 2(1 )q+

1b 2(1 )q q+

15

30= → Skratimo šta može !

22

11=⇒= q

q

Vratimo se u jednu od jednačina: (naravno biramo lakšu).

315)41(

15)1(

11

2

1

=⇒=+

=+

bb

qb

Traženi niz je : 3,6,12,24,48,…

Ako izmedju brojeva a i b treba umetnuti (interpolirati) k brojeva tako da zajedno sa a i

b čine geometrijski niz, onda količnik q tog niza tražimo po formuli :

1+= k

a

bq




3

Zadaci:

1) Izračunati deseti član geometrijskog niza 1,3,9,27...

,...27,9,3,1

4321 bbbb ↓↓↓↓

Iz tog niza zaključujemo da je: 11 =b i 3=q

Pošto se bilo koji član niza računa po formuli1

1

n

nb b q −= ⋅ to će deseti član biti :

10 1

10 1

9

10 1

9

10

9

10

10

1 3

3

19683

b b q

b b q

b

b

b

−= ⋅

= ⋅

= ⋅

=

=

2) U geometrijskom nizu je : 408216 1346 =∧=+∧=− nS bbbb

Izračunati 1a ,q i n

6 4

3 1

__________

11

216

8

40n

nn

b b

b b

S

b b q −

− =

− =

=

= ⋅

5

6 1

3

4 1

2

3 1

b b q

b b q

b b q

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Zamenimo u prve dve jednačine!

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

=⋅−⋅

______ __________ 1

2

1

3

1

5

1

8

216

bqb

qbqb izvučemo zajednički

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

=−

________ __________

2

1

23

1

8)1(

216)1(

qb

qqb podelimo ih

1b

3 2

( 1)q q −1

b 2( 1)q −

3 3 3

2

1

2

1 1 1

2168

27 3 3

( 1) 8

(3 1) 8 8 8 1

q q q

b q

b b b

=

= ⇒ = ⇒ =

− =

− = ⇒ ⋅ = ⇒ =



4

Pošto je 13 >=q koristimo formulu 1

)1(1

−

−

= q

qb

S

n

n ⇒

4

1 (3 1)40

3 1

3 140

2

3 1 803 81

3 3 4

n

n

n

n

n n

⋅ −=

−

−=

− ==

= ⇒ =

3) Tri broja, čiji je zbir 26, obrazuju geometrijski niz. Ako se im brojevima doda redom

1,6 i 3, dobijaju se tri broja koja obrazuju aritmetički niz. Odrediti te brojeve.

Neka su tri broja : 2,1 bb i 3b I važi : 26321 =++ bbb a kako je2

1312 qbbqbb =∧=

262

111 =++ qbqbb tj. 26)1( 2

1 =++ qqb

Ako im dodamo redom 1,6 i 3 dobićemo :

33

66

1

2

133

122

11

+=+=

+=+=

+=

qbba

qbba

ba

Pošto oni čine aritmetičku progresiju, mora biti :2

312

aaa

+= tj, 131 2aaa =+

→+=+++ )6(2)3()1( 1

2

11 qbqbb ”sredimo”

8)12(

31122

12231

2

1

11

2

1

1

2

11

=+−

−−=+−

+=+++

qqb

bqbqb

qbqbb

Napravimo sada sistem:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−

=++

____ __________ __________

2

1

2

1

8)12(

26)1(

qqb

qqb podelimo ih




5

09309

444132613

)1(4)12(13

2:/)1(8)12(26

8

26

12

1

2

22

22

22

2

2

=+−

++=+−

++=+−

++=+−

=+−

++

qq

qqqq

qqqq

qqqq

qq

qq

→=+− 03103 2

qq kvadratna “po q”

3

13

6

810

23

810

21

2,1

=∧=

±=

⋅

±=

qq

q

1 2

3

26 262

1 13

Za q

bq q

=

= = =+ +

1

1 3

26 2618

1 1 131

9 3 9

Za q

b

=

= = =+ +

Rešenja Rešenja

2,6,18 → Geometrijski niz 18,6,2 → Geometrijski niz

3,12,21 → Aritm. Niz 19,12,5 → Aritm. Niz

4) Izračunati zbir n brojeva oblika 1, 11, 111, 1111…

1, 11, 111, 1111, …

Trik je napisati brojeve drugačije:

9

110

9

11000111

9

110

9

110011

9

1101

3

2

−=

−=

−=

−=

−=

…….itd. www.matematiranje.com



6

...111111 +++=nS =

2 3

2 3

2 2

10 1 10 1 10 1 10 1...

9 9 9 9

1

10 1 10 1 10 1 ... 10 1 Pazi: ima n jedinica...9

1[10 10 ... 10 ] ovde je 10 10 ... 10 geometrijski niz

9

n

n

n nn

− − − −= + + + +

⎡ ⎤= − + − + − + + −⎣ ⎦

= + + + − + + + →

Geometrijski niz → 101 =b 10=∧ q

1( 1)

1

nb qS

q

−=

− ovo je za geometrijski niz, pa je :

1 10 (10 1)

9 10 1

1 10(10 1) 110(10 1) 9

9 9 81

n

n

nn

n

S n

S n n

⎡ ⎤⋅ −= −⎢ ⎥

−⎣ ⎦⎡ ⎤−

⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

5) Izračunati zbir n brojeva oblika ...48

47,

24

23,

12

11,

6

5

Sličan trik kao malopre!

24

11

24

124

24

23

12

11

12

112

12

11

6

11

6

16

6

5

−=−

=

−=−

=

−=−=

…….itd.

...24

1112

116

11...24

23

12

11

6

5 +−+−+−=+++=nS

1 1 1( ...)6 12 24

n= − + + +

geometrijski niz www.matematiranje.com





8

Pa je : 11 =⋅=⋅⋅ −−− oonk k p pn qbcba

Kra j d o ka za .

7) Odrediti paralelogram tako da merni brojevi osnovice, visine i površine čine

geometrijski niz.

a

a

bb h P=ah

→Pha ,, čine g. niz

→⋅= haP formula za površinu

A pošto Pha ,, čine geometrijski niz , to mora biti:

3222

22

aaaPaha

hah

a

hPaPhaPh

=⋅=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

Dakle:2, ahaa == i

3aP =




9

Beskonačni red

Neka je dat beskonačni niz realnih brojeva ,...,...,, 21 naaa

Izraz oblika ∑∞

==++++

121 ......n nn aaaa zove se beskonačni red.

Geometrijskom nizu ,...,...,,, 2 naqaqaqa odgovara red:

∑∞

==+++++

0

2...)...1(

n

nnqaqqqa

Zbir (suma)beskonačno opadajućeg reda (geometrijskog) je1

aS

q=

− za 1<q

Zadaci:

1) Decimalni broj 0,7777777… prebaciti u razlomak

2 3

7 7 70,7777... ...

10 100 10007 1 1 1

(1 ...)10 10 100 1000

7 1 1 1(1 ...)

10 10 10 10

= + + +

= + + + +

= + + + +

Ovde imamo geometrijski red ,10

1,

10

7== qa

Njegova suma je9

7

10

910

7

10

11

10

7

1==

−=

−=

q

aS




10

2) Izračunati vrednost mešovito periodičnog razlomka 0,3444….

3 4 4 40,3444... ...

10 100 1000 10000

3 4 1 1(1 ...)

10 100 10 100

= + + + +

= + ⋅ + + +

Pazi:4 1 1

(1 ...)100 10 100

⋅ + + + je geometrijski red :10

1,

100

4== qa

43 100

1101

10

43 100

910

10

3 4 31

10 90 90

= +−

= +

= + =

3) Nadji red ako je x

S −

=3

3

Mi znamo da je formula :q

aS

−=

1

Znači gde je 3 - x treba da je 1-q. Izvršićemo “sredjivanje” izraza :

3,1

31

1

)3

1(3

3

3

3 xqa

x x xS ==⇒

−=

−=

−=

Pa će traženi red biti:

...333

1...))3

()3

(3

1(1

...)1(

3

3

2

232

32

++++=++++⋅

=++++

x x x x x x

qqqa




11

4) Nadji red ako je x

S 23

6

−=

6 6

3 2S

x= =

−3

2 22,

2 2 3(1 ) 1

3 3

xa q

x x= ⇒ = =

− −

Pa će red biti :

...27

16

9

8

3

42

...))3

2()

3

2(

3

21(2

)...1(

32

32

32

++++

=++++

=+++++

x x x

x x x

qqqa

5) Sledeći periodični razlomak pretvoriti u običan razlomak 2,717171….

7 1 7 12,717171... 2 ...

10 100 1000 10000= + + + + +

Ovde ćemo uočiti 2 geometrijska reda:

...)100

11(

100

1...

1000000

1

10000

1

100

1

...)100

11(107...

1000007

10007

107

++=+++

++=+++

Zbir prvog reda je99

70

100

9910

7

100

11

10

7

1 ==−

=S

Zbir drugog reda je99

1

100

99100

1

100

11

100

1

2 ==−

=S

Vratimo se “na zadatak”:




12

70 1 2692,717171... 2

99 99 99

269

99S

= + + =

=

6) U jednakostraničnom trouglu stranice a upisan je novi jednakostranični trougao

spajanjem sredinama datog trougla . U dobijenom trouglu je upisan drugi trougao

na isti način, itd. Odrediti zbir obima svih trouglova.

a

aa 2

a

2

a

2

a

4

a

4

a

4

a

itd.

Stranica 1. trougla je a

Stranica 2. trougla je2

a


a


a

……. Itd.

Njihovi obimi će biti : aO ⋅= 3

Znači:




13

1

2

3

4

3

33

2 2

33

4 433

8 8

....... .

O a

a aO

a aO

a aO

itd

=

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

A njihov zbir je :

1 2 3 4

2 3

...

3 3 33 ...

2 4 8

1 1 1

3 (1 ...)2 4 8

1 1 13 (1 ...)

2 2 2

O O O O

a a aa

a

a

+ + + + =

= + + + +

= + + + +

= + + + +

Ovde je A=3a i1

2q =

po formuli :1

AS

q=

−

aaa

6

2

1

3

2

11

3

==−

= Znači zbir obima je 6a.
