COLEGIO PRE
UNIVERSITARIO
Tercer Año
Satélite de comunicaciones SYNCOMEl satélite de comunicaciones Syncom 4 fue lanzado desde la lanzadera espacial Discovery. Los satélites de comunicaciones modernos reciben señales de la Tierra, las amplifican y las retransmiten, suministrando datos por redes de televisión, telefax, teléfono, radio y redes digitales por todo el mundo. El Syncom 4 sigue una órbita geoestacionaria (es decir, gira al mismo tiempo que la Tierra, manteniendo una posición aproximadamente constante sobre la superficie). Este tipo de órbita permite la comunicación ininterrumpida entre estaciones terrestres.
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Aritmética Aritmética
IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO
V.L.E.B.
DPTO. DE PUBLICACIONES
5 6
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
TEMA: REGLA DE MEZCLA Y
ALEACIÓN
¿Qué es una mezcla?
Es una reunión de 2 o más sustancias
(ingredientes) en cantidades arbitrarias
conservando cada una de ellas su propia
naturaleza.
¿En qué consiste la regla de mezcla?
La regla de mezcla se origina por el
deseo de los comerciantes en determinar
el precio de venta de una unidad de
medida de la mezcla.
Para ello se vale de algunos
procedimientos aritméticos, lo cual en su
conjunto constituye la “Regla de mezcla”.
Ejemplo inductivo:
Un comerciantes hace el siguiente
pedido a un distribuidor mayorista de
café:
CaféCantidad
en Kg.
Precio
unitario
Extrae (E)
Superior (S)
Corriente (C)
50
20
15
S/. 7
S/. 5
S/. 4
Para venderlos a sus clientes el
comerciante mezcla los tres tipos
de café. ¿A cómo se debe vender
el kg para ganar el 20%?.
Para ello debe saber las siguientes
fórmulas:
* En general para “K” sustancias
Cantidades C1 C2 C3 C4 Ck
Precios unitarios P1 P2 P3 P4 Pk
Se debe cumplir:
I. Precio medio =
=
II.
III.
IV.
Mezcla alcohólica: Es aquella
mezcla en la que interviene
alcohol puro y agua.
Además:
Siendo: V1,V2 ,V3…VK
volúmenes
G1, G2, G3, ... Gk grado
Aleación:
Definición: Es la mezcla de 2
ó más metales mediante el
proceso de fundición. En las
aleaciones por
convencionalismo los metales
se clasifican en:
a) Finos oro, plata,
platino.
b) Ordinarios Cobre, hierro, zinc.
La pureza de una aleación se determina
mediante la relación entre el peso del
metal fino empleado y el peso total de la
aleación, a dicha relación se le conoce
como la ley de la aleación.
En general:
Para la aleación:
Peso metal finoPeso metal
ordinario
I. Ley =
II. Liga =
III. 0 1
Aritmética Aritmética
7 8
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Un comerciante tiene “n” litros de
aceite compuesto y “m” de aceite
vegetal, los cuales lo mezcla para
vender el litro en “m” soles.
¿Cuánto cuesta el litro de aceite
vegetal?. Si el litro de aceite
compuesto 25% menos que el
aceite vegetal?.
Rpta.: ...............
2) Se tiene “n” ingredientes, cuyos
pesos están en la relación de 1, 2,
3,... y de los precios S/.2, S/.3,
S/.4........, respectivamente, la
mezcla de estos ingredientes tiene
un precio medio de S/.14. Calcule
“n”.
Rpta.: ...............
3) Se tiene 3 lingotes de oro,
con leyes: 0,960; 0,760 y
0,93375 respectivamente. Se
desea obtener un lingote de
2,45kg, con ley 0,900. ¿Qué
peso (gramos) es necesario
tomar del segundo lingote si
se impone la condición de
emplear 800 gramos del
tercero?.
Rpta.: ...............
4) Se ha mezclado 3 sustancias
de densidades 2,6g/cm3;
1,8g/cm3 y 2,00g/cm3 y cuyos
pesos fueron 169g, 144g,
170g respectivamente. ¿Qué
densidad tiene la mezcla
obtenida?.
Rpta.: ...............
5) Una persona tenía que
preparar 300 litros de una
bebida mezclando vino y
agua en la proporción de
15 es a 1; pero por error
empleó vino y agua en la
proporción de 5 es a 1.
¿Cuántos litros de vino
deberá agregar a la
mezcla anterior para
obtener la proporción
deseada?.
Rpta.: ...............
6) ¿Cuántos litros de alcohol
de 72º se debe añadir a
432 litros de alcohol de
36º para obtener cierta
cantidad de alcohol de
45º?.
Rpta.: ...............
7) Se hace una mezcla de
vino de S/.75 el litro; S/.60
el litro y agua; la mezcla tiene un
precio de S/.50 el litro. Se sabe que la
cantidad de agua es los 2/5 de la
cantidad de vino de S/.60. ¿En qué
relación está la cantidad de vino de
S/.75 a la cantidad de vino de S/.60?
Rpta.: ...............
8) Se han tomado 3 barras de plata de
0,900; 0,800 y 0,600 de ley y cuyos
pesos respectivos son inversamente
proporcionales a su ley. Obteniéndose
una aleación de 1682 gramos.
Calcular la ley de la aleación
resultante.
Rpta.: ...............
9) Un recipiente contiene los líquidos A,
B y C en la relación de 2, 3 y 7: la
mezcla en la intemperie se evapora,
pero el primero es el más volátil, los
líquidos se pierden en la relación de
8, 5 y 2. Luego de un tiempo. ¿En qué
relación se encuentra los líquidos, si
Aritmética Aritmética
9 10
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
se ha evaporado la veinticuatroava
parte del total?.
Rpta.: ...............
10) Se ha mezclado 22 litros de
alcohol de 38 grados con 28 litros
de alcohol. De 42 grados,
pretendiendo obtener alcohol de
40 grados; para conseguir el grado
requerido se ha tenido que dejar la
mezcla al aire, para que se
volatilice el alcohol. Si el alcohol se
volatiliza a razón de 16ml por
minuto. ¿Qué tiempo fue necesario
exponer la mezcla al aire?.
Rpta.: ...............
11) Un yacimiento polimetálico tiene 3
labores en producción, con las
siguientes leyes de Cu, Pb y Zn:
%Cu %Pb %Zn
1º Labor 4 60 20
2º labor 8 50 16
3º labor 6 45 18
La planta concentradora requiere
1500 toneladas diarias de
mineral. Mediante pruebas
metalúrgicas se ha estimado que
la “Ley de cabeza” (Ley de
mineral que entra en la planta).
Es recomendable:
%Cu = 6,6% %Pb = 50,5% y
%Zn = 17,4%
¿Cuántas toneladas se debe
extraer de cada labor?.
Rpta.: ...............
12) Se ha mezclado 240g de
oro con 36g de Cu para
bajar su ley a 800
milésimas. ¿Qué peso de
oro de 980 milésimas es
necesario adicionar a esta
mezcla, para que el otro
retorne su ley primitiva?.
Rpta.: ...............
13) Don lingotes de 520g de
un metal A y 960g de un
metal B, han sido
sumergidos, ambos, en un
recipiente lleno de agua y
han desalojado 500g de
agua. Se toma 91g de
metal A y 48g de B; se
mezclan y se obtiene una
aleación de 2,78g/cm3 de
densidad. Se pide
determinar la densidad de
los metales.
Rpta.: ...............
14) Al mezclar dos aleaciones de un
mismo metal, de densidad 3,2 g/cm3 y
4,8g/cm3 en igualdad de volúmenes,
se ha obtenido una aleación de 900
milésimas. De haber mezclado en
igualdad de peso, se habría obtenido
una aleación de 915 milésimas.
Encontrar las leyes de las aleaciones.
Rpta.: ...............
15) Se desea obtener arcilla con 58% de
Al2O3, mezclando 360T y 200T de
arcilla con 52% y 61% de Al2O3
respectivamente para obtener el
porcentaje de Al2O3 deseado, ha sido
preciso adicionar arcilla con 64% de
Al2O3. ¿Cuántas toneladas se han
adicionado de la última clase?.
Rpta.: ...............
16) Se tiene un tanque con 100L de
alcohol al 10%, se necesita una
mezcla alcohólica al 80%, para lo cual
Aritmética Aritmética
11 12
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
se coloca un grifo que suministra
alcohol de 90% a razón de 10L por
minuto. Si el costo por hora del
suministro es de S/.138. Calcule
cuanto será el costo del suministro
para obtener la mezcla deseada.
Rpta.: ...............
17) Se mezclan café de precios S/.4;
S/.5 y S/.8 que pesan 2kg, 1kg, y
“a” kg respectivamente. Hallar “a”
si el precio medio es (a - 6) 13.
Rpta.: ...............
18) Un alumno del colegio pre-
universitario “Manuel Escorza”
Desea mezclar shampoo de S/.0.5
y de 3 por S/.1 de 200 ml y del 2do
150ml c/u. Hallar el Pm.
Rpta.: ...............
19) Al mezclar 4Kg de leche de
S/.2 con 8Kg a “m” soles se
obtuvo un
Pm = “m”. Hallar: - 1
Rpta.: ...............
20) Se al mezclar un licor con
30º de alcohol a S/.12 c/litro,
con otro licor con 36% de
alcohol a S/.18 el litro y se
obtiene una mezcla cuyo Pm
= 16. Hallar el grado
alcohólico de la mezcla.
Rpta.: ...............
PROBLEMAS PARA LA
CASA
1) Se hace una
mezcla de vinos de S/.70
el litro y S/.60 el litro con
agua, la mezcla tiene un
precio de S/.50. Se sabe
que la cantidad de agua es
los 2/5 de la cantidad de
vino de S/.60. ¿En qué
relación están las
cantidades de vinos de
S/.40 respecto al de S/.60.
a) 0,4 b) 0,33 c) 0,5
d) e) 0,45
2) Se tiene 20 litros de
alcohol al 80%. Si se le agrega 5 litros
de alcohol puro. ¿Cuál será el
porcentaje de alcohol de la mezcla?.
a) 78% b) 81% c) 75%
d) 84% e) 60%
3) Se tienen 540L de alcohol
al 90º, se le agrega con 840L de un
alcohol de 72º para que la mezcla sea
de 60%, indicar la cantidad de agua
que se debe adicionar a la mezcla.
a) 432 b) 498 c) 568
d) 512 e) 712
4) Una barra de oro de 14
kilates pesa 21 gramos. ¿Qué peso
de oro puro se le debe añadir para
obtener una ley de 18 kilates.
a) 13 b) 17 c) 21 d) 10 e) 14
5) Un anillo de oro de 18
kilates pesa 9 gramos. Si el gramo de
Aritmética Aritmética
13 14
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
oro puro se paga a S/.18. ¿Cuál es
el costo del anillo? .
a) 125,1 b) 121,5 c) 134,5
d) 152,4 e) 174,5
6) En un bidón hay 40
litros de alcohol al 90% de pureza
en otro hay 60L de alcohol al 70%.
¿Cuál es el grado medio?.
a) 77,5 b) 68 c) 69,5
d) 77 e) 83
7) Una aleación con un
peso de 4Kg se funde con 5Kg de
plata y resulta 0,9 de Ley. ¿Cuál
es la ley primitiva?.
a) 0,70 b) 0,67
c) 0,48 d) 0,65
e) N.A.
8) Un alumno del colegio
“Manuel Escorza” hace un
experimento con una sustancia
que varía el color al echar un
líquido x. Empieza con 400
litros al 75% del líquido x; si
se le agrega 900 litros de
líquido x (puro) ¿Cuál sería
su color si se le quita 80
litros?.
a) Morado y verde
b) Rojo y azul
c) Verde y rojo
d) Azul y amarillo
e) N.A.
9) ¿Qué cantidad
de cobre debe añadirse a
una barra de plata que pesa
635g y tiene 0,920 de ley
para que resulte una
aleación de 0,835 de ley?.
a) 46,64 b) 64,64
c) 56,84 d) 63,64
e) 66,44
10) Una mezcla
alcohólica de 85% de
dureza contiene 420 litros
mas de un ingrediente que
el otro. ¿Qué cantidad de
alcohol puro contiene?.
a) 510 b) 490 c)
560
d) 450 e) 360
11) Se vendía por
S/.7710 un tonel de vino
de 220L que es una
mezcla de otros dos que
valen S/.41 y S/.29 el litro.
¿Cuántos litros de la 1era
clase contiene el tonel si
se ha realizado en la venta
un beneficio de S/.1000.
a) 28,5 b) 26,5
c) 27 d) 27,5
e) 28
12) Si se funde 50 gramos de
oro con 450g de una aleación, la ley
de aleación aumenta 0,02. ¿Cuál es
la ley de la aleación primitiva?.
a) 0,7 b) 0,55 c) 0,8
d) 0,6 e) 0,9
13) ¿Qué cantidad de cobre
habrá de añadirse a una barra de
plata a 4,4Kg, cuya ley es 0,92 para
que esta disminuya a 0,88?.
a) 0,1kg b) 0,2kg
c) 0,18kg d) 0,3kg
e) 0,25kg
14) ¿Cuál es la ley de
aleación del que está echo un plato
cuyo peso es 500g. Si se ha vendido
a S/.770, al precio de S/.2200 por
kilogramo de plata pura.
a) 0,6 b) 0,75 c) 0,65
d) 0,68 e) 0,7
15) Se tiene una barra de
plata de 0,85 de ley. ¿En qué relación
Aritmética Aritmética
0 20 40 60 80 100Morado Verde Rojo Azul Amarillo
1615
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
en peso, deben quitarse las
cantidades de plata y Cu para que
la ley se conserve?.
a) 16/5 b) 8/5 c) 17/5
d) 17/3 e) 14/9
TEMA: PROGRESIÓN
ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA
Progresión aritmética: Es aquella
sucesión en la cual un término
cualquiera, excepto el primero, es igual
al anterior aumentado en una cantidad
constante llamada razón. A esta
también se le denomina
progresión por diferencia.
Representación:
a1 primer término
an término enésimo
r razón de la P.A.
Sn suma de “n” primeros
términos
Clases:
Si: r > 0 P.A. creciente
r < 0 P.A. decreciente
r = 0 P.A. trivial
Propiedades:
I) r = aK - aK-1, 1 K n
II) Término central: “n” impar
aC =
Corolario: ax =
III) Suma: Sn = n ;
Sn = n a c
Si n es impar
Sn =
Medio aritméticos: Son los
términos comprendidos entre 2
extremos:
Interpolación: a, b, m
an = an + (n – 1)r b = a + [(m +
2) –1]r
r1 =
r1 : razón de interpolación aritmética
Progresión geométrica: Es aquella
sucesión numérica, en la cual el primer
término y la razón son diferentes de cero y
además un término cualquiera, excepto
del primero, es igual al anterior
multiplicado por una misma cantidad
llamada razón de la progresión, también
se denomina progresión por cociente.
Representación:
Elementos:
t1 primer término
tn término enésimo
q razón
Sn suma de “n” primeros términos
Aritmética Aritmética
1817
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer AñoPn producto de “n” primeros
términos.
Propiedades:
Sea la P.G.:
t1; t2; t3; ....... tk; ........ tn
I) Razón: q =
1 k n
II) Término general:
Tn = T1 . qn-1
III) Si:
Ta . Tb = T1 . Tn
IV) Término central (Tc)
(Tc)2 = T1 . Tn
V) Sn = T1
VI) (Pn)2 = (T1 . Tn)n
VII) Suma límite: Sm =
Si: -1 < q < 1
Interpolación de medios
geométricos:
a; ;b
q i =
Razón de interpolación
geométrica.
PROBLEMAS PARA LA
CLASE
1) De la sgt. sucesión: ;
; 72; si la razón
es 12. Hallar (a + b)c.
Rpta.: ...............
2) Si 25(n); 40(n) y 53(n) están en P.A
convertir el mayor # de 3 cifras de
base al sistema quinario.
Rpta.: ...............
3) Halla T40: 101, 106, 111, ........
Rpta.: ...............
4) En una P.A. de 42 términos el 1º es
29 y el último 316. Hallar T20.
Rpta.: ...............
5) Dada la serie de 2º orden: 123(n);
136(n); 152n; 170n; ..... Determine el
término de lugar 25 en base 10.
Rpta.: ...............
6) Hallar a + b si la sgte. P.A. tiene 54
términos. .
Rpta.: ...............
7) Determine “a”, si en la sgte. P.A. hay
un total de 9 términos y todos son
impares.
Rpta.: ...............
Aritmética Aritmética
2019
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
8) Dada la P.A.:
Además:
Calcule: a + b + c + n
Rpta.: ...............
9) La sgte. sucesión tiene 36
términos ; ; , ......
. Calcular la suma de los
términos.
Rpta.: ...............
10) La suma de los “n” términos de
una sucesión esta dado por: S =
Determinar la suma de los
términos 11º y 15º.
Rpta.: ...............
11) Considere una P.A. cuyo
sexto término es 3/5 del
tercer término, que es
positivo, si el producto de los
mismos es 15. Determinar el
número de términos que se
debe tomar de esta P.A. para
que sumen 30 .
Rpta.: ...............
12) Determina “a” si en el sgte.
P.A.: , ,
.
Rpta.: ...............
13) La: P.A.: a r: a, a+r, a+2r.
S = a2 y a < 10. Hallar “r”
posible.
Rpta.: ...............
14) Si: S =
Hallar la suma del término 14
y término 16.
Rpta.: ...............
15) Sea una P.G. se tiene: que
la razón entre: .
Hallar el término 8.
Rpta.: ...............
16) Sea una P.G.: ;
; ; hallar el
término 10.
Rpta.: ...............
17) Sea una progresión
geométrica:
Además: Ta + Tb = 72
Tn + T1 = 488
Hallar “a”:
Rpta.: ...............
18) Hallar “n”: si en una P.G.
el:
Tc = K2 (término central y además):
Rpta.: ...............
19) Si en una P.G. se cumple que: T4 y el
T5 son números capicúas de 2 cifras,
además su razón es menor que 4.
Hallar el T2.
Rpta.: ...............
20) Si 2 progresiones: P.A. y P.G. de
razones iguales. Tal que se cumple:
G =geométrica
A = aritmética
Hallar
Rpta.: ...............
Aritmética Aritmética
2221
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) En una P.A, se cumple:
a1 + a5 = 14
a3 + a6 = 20
Calcular a4:
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
2) Si: a, 2a, a2 son los 3 primeros
términos de una P.A. Calcular la
suma de los 10 primeros:
a) 160 b) 165 c) 166
d) 144 e) 150
3) La suma de los “n” primeros
términos de una P.A. está dado
por 3n (n + 2). Calcular el quinto
término de la progresión.
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e)
34
4) El primer término de una P.A.
es 5. El último es 45; y la
suma de todos los términos
es 400. Calcular el # de
términos.
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17
e) 18
5) En una P.A. la diferencia de
2 términos es 96 y la
diferencia de sus respectivos
lugares es 8. Calcular la
razón de la P.A.
6) Sea (x+y), (4x-3y), (5y+3x); 3
términos consecutivos de
una P.A. Indicar una relación
entre “x” e “y”.
a) x = 3y b) 2x = 5y c) y
= 3x
d) 3y = 2x e) 3x = 4y
7) En una P.A. de 25
términos, el décimo
tercero es igual a 30. La
suma de todos los
términos de la P.A es:
a) 1250 b) 1000 c)
875
d) 750 e) 700
8) Hallar la razón de una P.A.
de 3 términos, tales que al
adicionar 3; 10 y 2
respectivamente se
obtenga números
proporcionales a 2, 4 y 3.
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e)
7
9) Si se aumenta una misma
cantidad a los números 20,
50 y 100, se forma una
P.G. cuya razón es:
a) 1/2 b) 1/3 c)
2
d) 4/3 e) 5/3
10) ¿Cuál es la razón de una P.g. de 12
términos, siendo el primero 1 y el
último 2048?.
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
11) La suma de los 6 primeros términos
de una P.G. es igual a nueve veces a
suma de los 3 primeros términos
entonces la razón de la PG. es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 8
12) ¿Cuál es el término central de una
P.G. de 3 términos positivos, si el
producto de los dos primeros es 24 y
el producto de los dos últimos es 54?.
a) 8 b) 9 c) 6 d) 3 e) 12
13) Si le sumamos 3 números
consecutivos a 3, 7 y 16
respectivamente, obtenemos una P.G.
calcular la razón de la P.G.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Aritmética Aritmética
2423
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año14) Calcular el producto de los 10
términos de una P.G. cuyo 6º y
último término son: orden 4 y 25.
a) 225 b) 223 c) 224
d) 212 e) 215
15) Sumar:
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 4/9
TEMA: CONJUNTOS
1. Concepto: El
término conjunto es aceptado en
matemáticas como un concepto
primitivo; es decir, se acepta sin
definición. Intuitivamente, un
conjunto es una colección o
agrupación de objetos llamados
elementos.
Ejm.:
ii) El conjunto de
los días de la semana.
iii) El conjunto de
los números N.
2. Notación: Generalmente
los conjuntos se denotan con
letras mayúsculas A, B, C, ...
etc., y los elementos por
letras minúsculas,
mayúsculas u otros
símbolos, separados por
comas y encerrado entre
llaves.
Ejm.: A = {lunes; miércoles,
viernes, domingo}
B = {2; 5; 12; 18}.
3. Relación de
pertenencia ():
Si un elementos está en un
conjunto o es parte de él,
diremos que “pertenece” a
dicho conjunto y lo
denotaremos con el
símbolo “” y en el caso
de no pertenecer por “”.
Ejm.: Dado el conjunto:
A = {2; 5; 7; 8}
Entonces: 2 A
4 A
7 A
4. Determinación de
conjuntos:
Existen 2 formas de
determinar un conjunto:
4.1) Por extensión: Cuando
se nombran todos los
elementos que
conforman el conjunto.
Ejm.:
A = {a, e, i, o , u}
B = {6, 8, 10, 12, 14}
4.2) Por comprensión: Cuando se
menciona una o mas características
comunes a todos los elementos del
conjunto.
Ejm: A = {x/x es una vocal}
B ={x/5 < x z 18 x es par}
5. Conjuntos especiales
5.1) Conjunto vacío o nulo: Es aquel
conjunto que carece de elementos.
Se le denota por: ó { }.
Ejm.: A = { }
B = {x/4 < x < 6 x < 8}
5.2) Conjunto unitario: Es aquel
conjunto que tiene un solo
elemento.
Ejm.: A = {3}
B = {x/x N 6 < x < 8}
5.3) Conjunto universal: Es aquel
conjunto que se toma como
Aritmética Aritmética
2625
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
referencia, para un problema
determinado, en el que se
encuentran todos los elementos
con que se está trabajando.
Se denota por la letra .
Ejm.: A = {2; 6; 10; 12}
B = {x + 3/x es impar 0 < x <
10}
6. Relaciones entre conjuntos:
6.1) Igualdad: Dos conjuntos A y B
son iguales si y solo si tienen los
mismos elementos.
Se denota por A = B
Ejm.: A = {x/x es una vocla}
B = {a, e, i, o, u}
6.2) Inclusión (): Se dice que un
conjunto A esta incluido () en
otro conjunto B, si todos los
elementos de A pertenecen a B;
en caso contrario; se dirá que no
está incluido ().
Se denota: A B
Ejm.: A = {2, 4, 6}
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
C = {1, 2, 3, 4, 5}
Entonces: A () B
A () C
Propiedades:
i) A A A
( A: para todo conjunto A).
ii) A B y B
C A C.
iii) A, A
importante !!
7. Conjunto potencia:
Dado el conjunto A, se
denomina conjunto potencia
de A y se denota por P(A), al
conjunto cuyos elementos
son todos los subconjuntos
de A.
Ejm.: Si A = {1, 2}; entonces
todos los subconjuntos de A
son:
: {1}, {2}; {1, 2}
Entonces
P(A) = {;{1};{2};{1;2}}
OPERACIONES ENTRE
CONJUNTOS:
1. Unión o
reunión ()
Dados los conjuntos: A y
B:
A la unión pertenecen los
elementos de A, B o de
ambos a la vez.
Notación: A B = {x/x A
x B}
( = se lee “o”)
Ejm.: A = {1, 2}
B = {2, 4, 5}
A B = {1, 2, 4, 5}
Propiedades:
i) A B = B A
A A = A
A = A
A U = U
2. INTERS
ECCIÓN (∩)
Tenemos A y B; se llama
intersección al conjunto
formado por los elementos
que pertenecen a A y B a la
vez.
A B = {x/x A x B}
((); se lee “y”)
Ejm.: A = {1; 2; 3; 6}
B = {2; 4; 6; 7; 8}
A B = {2; 6}
Propiedades:
i) A B = B A.
ii) A A = A
iii) A =
iv) A U = A
3. DIFERENCIA: D
ellos A y B.
Llamado al conjunto formado por
todos los elementos de A y que no
pertenecen a B; es decir; es el
conjunto formado por los elementos
que solo pertenecen a A.
A – B = {x/x A x B}
Ejm.: A = {1, 2, 3, 6}
B = {2, 4, 6, 7, 8}
A – B = {1; 3}
Propiedades:
i) A – A =
ii) A - = A
Aritmética Aritmética
2827
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
iii) - A =
iv) A – B B – A A B
4. COMPLEMENT
O DE UN CONJUNTO:
Dado un conjunto A está incluido
en el universo ; denomina
complemento del conjunto A, a
todos los elementos que están
fuera de A; pero dentro del
universo.
A’ = Ac = {x/x x A}
Ejm.: Sean U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;
8}
A = {1, 3, 4, 7, 8}
A’ = Ac = {2, 5, 6}
Propiedades:
i) (A’)’ = A
ii) ’ = U
iii) U’ =
iv) A A’ = U
v) A A’ = A’ =
* Leyes de Morgan:
(A B)’ = A’ B’
(A B)’ = A’ B’
PROBLEMAS PARA LA
CLASE
1) Si A = {0; {}; 1;
{1}} y dados las
proposiciones:
I) A II) {} A
III) A IV) {{0}, {1}} A
V) {{1}} A
¿Cuáles son verdaderos?.
Rpta.: ...............
2) Si L = {Ana;
Karen, Brenda, Memo} y
dadas las proporciones
I) Brenda L
II) Karen L
III) Memo {Ana, Karen,
Brenda, Memo}
IV) María L
V) {Ana} L
¿Cuáles son falsas?.
Rpta.: ...............
3) Si se tiene el
conjunto:
S = {x+2 / x = 4m-2; m
N; 0 < m 2}
Entonces la suma de
todos los elementos de S
es:
Rpta.: ...............
4) Sea P = {x/x
N; 0 < x2 < 35} y sea M =
{x/x N, 5 < x + 4 < 14}
Hallar la suma de los
elementos de P M.
Rpta.: ...............
5) Dado K = {3,
4, 5, 6}. ¿Cuáles de los
siguientes son
verdaderos?.
I) x M; 2x – 5 1
II) x M; 2x < 11
III) x M; y M;
x + y > 6
IV) x M; y M; x3 + y3 > 16
Rpta.: ...............
6) De 50 alumnos que llenan
los cursos de aritmética y álgebra, se
sabe que 30 llevan aritmética y 13
llevan aritmética y álgebra. ¿Cuántos
llevan solo álgebra?.
Rpta.: ...............
7) En un mercado fueron
encuestados 80 señores sobre el
consumo de pollo, pescado y carne
de res; con el siguiente resultado; 40
consumen pollo; 26 consumen
pescado y 45 consumen carne de res;
además 8 señores afirman que
consumen los 3 tipos de carne.
¿Cuántos señores consumen solo 2
tipos de carne?.
Rpta.: ...............
8) Dados los conjuntos:
Aritmética Aritmética
3029
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
A = {x N / 0 < 0 x 4 x es Nº par}
B = { x Z / 0 < 3 x > 7}
C = {x N / x 2 0 < x 8}
Determine M = [(A C) B]
Rpta.: ...............
9) En un colegio, 100
alumnos han rendido 3 exámenes.
De ellos 40 aprobaron el primer
examen, 39 aprobaron el segundo
examen y 48 el tercer examen.
Aprobaron los 3 exámenes 10
alumnos; 21 no aprobaron examen
alguno; 9 no aprobaron los dos
últimos pero si el primero; 19 no
aprobaron los 2 primeros; pero sí
el tercero. Entonces, el # de
alumnos que aprobaron solo uno
de los exámenes es:
Rpta.: ...............
10) U = {x N / 0 < x <
11} y
A = ‘1; 3; 5; 7}
B = {2; 4; 6; 8}
A C = {1; 3}
A C = {1; 2; 3; 5; 7; 9}
R(B C) + n(A C);
vale:
Rpta.: ...............
11) En una
competencia atlética con 12
pruebas participaron 42
atletas, siendo los
resultados; 4 conquistaron
medalla de oro; plata y
bronce; 6 de oro y plata; 8 de
plata y bronce; 7 de oro y
bronce. ¿Cuántos atletas no
conquistaron medallas?.
Rpta.: ...............
12) Una persona
como pan con mantequilla o
mermelada cada mañana
durante el mes de febrero; si
22 días comió pan con
mermelada. ¿Cuántos
días comió pan con
mermelada y mantequilla?.
Rpta.: ...............
13) De un grupo
de 100 estudiantes se
obtuvo la siguiente
información; 28 estudian
inglés; 30 estudian
alemán, 42 estudian
francés, 8 inglés y alemán
y 10 inglés y francés; 5
alemán y francés y 3 los
idiomas inglés, francés y
alemán. ¿Cuántos
estudiantes no estudian
ningún idioma?.
Rpta.: ...............
14) Dados los conjuntos: A =
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {5, 6, 7, 8, 9} y
C = {4, 5}
Determinar el conjunto cuya
representación gráfica es la región
sombreada de la fig.:
Rpta.: ...............
15) De 76 alumnos; 46 no
estudian lenguaje; 44 no estudian historia
y 28 no estudian ni lenguaje ni historia.
¿Cuántos alumnos estudian lenguaje e
historia?.
Rpta.: ...............
16) En una clase (15 + n)
aprobaron matemáticas e historia y
(40 + n) aprobaron matemáticas.
Aritmética Aritmética
3231
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
¿Cuántos aprobaron solamente
historia?. Si en total habían (70 +
n) alumnos; de los cuales solo
aprobaron 5?.
Rpta.: ...............
17) En un centro de
investigación trabajan 67
personas. De estas saben inglés
47, 35 el alemán y 23 ambos
idiomas.
¿Cuántas personas no conocen ni
el inglés ni el alemán?
Rpta.: ...............
18) Dados los conjuntos
unitarios.
P = {x + y, 8}; Q = {y + z, 10} y
S = {x + z, 12}.
Calcular: (x + 4y – z)
Rpta.: ...............
19) De un grupo de 100
personas: 40 son mujeres; 73
estudian historia, 12 mujeres no
estudian historia. ¿Cuántos
hombres no estudian historia?.
Rpta.: ...............
20) Dados los
conjuntos:
A = {x / (8x + 1) Z; 0 x <
1}
B = {2x + 1 / x N; 1 < x
5}
C = {3x + 1 / 2 x < 3}
Indique la verdad o falsedad
de las siguientes
proposiciones:
I) n(A) = 3 II) n(A) + n(B)
= 16
III) C = [7, 10> IV) C = {7}
V) n(A B) = 0
Rpta.: ...............
PROBLEMAS PARA LA
CASA
1) Dados las
proposiciones:
I) {{0}; 1, 2} {0, 1, 2}
II) {1/2; 1, 2} = {2-1; 2º, }
III) {1, 2, 3} y {a, b, c} son
conjuntos disjuntos
IV) { { {}; } } tiene 2
elementos.
Son verdaderos:
a) Ninguno b) Solo III
c) Solo II d) II y III
e) N.A.
2) Dado el
conjunto u = {x/3 x < 6; x
N}
Hallar el producto de los
elementos de M.
a) 65 b) 60 c)
12
d) 20 e) 80
3) Dados los
conjuntos: A = ; B = {}
y C = {0}. ¿Cuál es
correcto?.
a) A = B b) A = C c) A
B
d) A B e) B A
4) Si A = {a, b, c} y B = {a;
b}; y se dice que:
I) (A B) tiene un solo elemento.
II) (A B)
III) A = A
IV) (A – B)º es un conjunto unitarios .
V) (A B)
Hallar la veracidad o falsedad de las proposiciones:a) FVVVV b) FFFVV c) FFFFF d) FFVFV e) FVFFV
5) Sean A, B y C conjuntos;
tales que: n(A B) = 20
n(A) = 14 y n(B) = 10
Entonces hallar: n(A B C); si se
sabe que: A B y C son disjuntos.
a) No se puede determinar
b) 6
c) 4
d) 10
e) 3
6) Se tiene 50 choferes de
los cuales 35 tienen carnet del seguro
social, 16 libretas tributarias y 15
Aritmética Aritmética
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
solamente brevetes o los choferes
que poseen al menos 2
documentos son:
a) 30 b) 32 c) 18
d) 17 e) 20
7) En una aula de 50
alumnos aprueban matemáticas 30
de ellos; física – 30; castellano 35;
matemática y física 18; física y
castellano 19; matemática y
castellano 20; y 10 alumnos
aprueban los 3 cursos; se deduce
que:
a) 2 alumnos
no aprueban ninguno de los 3
cursos.
b) 8 aprueban
matemática y castellano pero
no física.
c) 2 aprueban
matemática pero no aprueban
física ni castellano.
d) 6 aprueban
matemática y física pero no
aprueban castellano.
e) Ningun
a de las anteriores.
8) En una escuela de
135 alumnos, 90 practican
fútbol; 55 basket y 75 natación.
Si 20 alumnos practican los 3
deportes y 10 no practican
ninguno. ¿Cuántos alumnos
practican un solo deporte?.
a) 50 b) 53
c) 60 d) 70
e) 65
9) En una clase de
27 alumnos cada uno de
estos está inscrito en uno por
lo menos, de los 2 clubes
siguientes: “Club de
natación”, “Cine club”, el
número de alumnos inscritos
en los 2 clubes es 7 y el
“Cine club” tiene registrados
los 2/3 del total de alumnos.
¿Cuántos miembros tiene el
“Club de natación?.
a) 20 b) 16 c) 11
d) 9 e) N.A.
10) El conjunto A
tiene 3 elementos menos
que el conjunto B; que por
cierto posee 7168
subconjuntos mas que A.
El máximo número de
elementos de (A B)
será:
a) 30 b) 11
c) 13
d) 23 e) 16
11) En un salón
de postulantes hay 58
alumnos; 36 piensan
seguir ingeniería; 24
piensan seguir ciencias y
solo 13 piensan estudiar
letras; el número que
piensa ser ingeniero y
científico.
a) 13 b) 15
c) 17
d) 8 e) 19
12) De 180 alumnos de la
U.N.F.V.; el # de los que estudian
matemática es el doble de los que
estudian lenguaje. El número de
alumnos que estudian ambos cursos a
la vez; es el doble de los que estudian
solo lenguaje e igual a los que no
estudian alguno de esos cursos.
¿Cuántos alumnos estudian solo
matemáticas?.
a) 20 b) 40
c) 80 d) 120
e) 140
13) Si el 5% de los
pobladores de una ciudad consumen
3 tipos de pescado; A, B y C, el 15%
consumen los tipos de pescado A y B;
el B%. Consumen B y C; el 14 %
consumen A y C. ¿Cuál es el
porcentaje de personas que consume
solamente 2 tipos de pescado?.
Aritmética Aritmética
3433
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
a) 15% b) 37% c) 22%
d) 23% e) 25%
14) Sean los conjuntos:
A = {x z / x = (-1)n; n Z}
B = {y z / y2 = (9-3)2 – 3}
C ={z z / 3 + 3 = 2z + }
Entonces es cierto:
a) B = C
b) A = B C
c) A = B C d) A = C
e) B A = A C
15) De 70 alumnos;
46 no estudian lenguaje (L);
44 no estudian historia (H) y
28 no estudian ni lenguaje ni
historia. Entonces ¿Cuántos
alumnos estudian lenguaje e
historia?.
a) 18 b) 16 c) 14
d) 20 e) 12
TEMA: NUMERACIÓN
Definición: Es la parte de la
aritmética que se encarga del
estudio de los números y las
relaciones que se establecen
entre ellos.
Número: Es un ente
matemático; por lo tanto no
tiene definición; nos da la
idea de cantidad. Ejm.: 5,
125.
Numeral: Es la presentación literal ó
simbólica del número. Ejm.: s,v, , a, x,
etc.
Sistema de numeración: Es un
conjunto de reglas y principios que nos
ayudan a representar correctamente a
los numerales.
Ejm.:
1 2 3 correcto 4
2 0 1 incorrecto 2
* Principios:
De orden:
Lugar
1 2 3 4 55 6 9 7 24 3 2 1 0
Orden
Aritmética Aritmética
123 numeral4 base
3635
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Obs.: Cuando el lugar coincide con
el orden en un numeral, el # será de
“2n” cifras, donde “n” es el lugar de
orden en el que coinciden.
De la base Base Z 2
Ejm.: numeral
215(n)
base
Las cifras del numeral es siempre
menor que el de la base; por eso la
mayor cifra posible es (n-1).
Forma correcta: 324(5)
Obs.: 516(10) = 516
Cambio de la base 10 a base de
10:
Ejm.: 16(10) ?(3)
Pasos:
De la cifra: 0 (cifra Z) < Base
(cifra máxima) = (base
– 1)
Cuando se tenga una igualdad
de dos numerales en diferentes
bases, a mayor numeral
aparente, menor base; y a menor
numeral aparente mayor base.
En el caso anterior:
Vemos:
Obs.: En la base “n” tenemos “n”
diferentes cifras a tomar para
formar un numeral de cualquier #
de cifras.
cifras:
cifras no significativas
sea: Siempre
puede tener {1, 2, 3, .... n – 1}
Base Sistema Cifras2 Binario 0,1
345...1011..
TerciarioCuaternarioQuinario ...decimal undecimal ..
0,1, 20, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4...0, 1, 2, 3, 40,1,2,..9,10..
Ojo: convencionalmente:
10 <>
11 <>
12 <>
Representación literal:
{10, 11, 12, .......99}
la barra sólo coloca
cuando el numeral contiene
dos o mas letras.
= 37 a = 3; b = 7
= 11 m = 1; n = 1
(7) = 26 = 35(7) a = 3; b
= 5 } cambio de base.
Números capicúas:
{22, 151, 7447, , }
equidistantes en los extremos.
Descomposición polinómica:
Base 10 2754 = 32 10
orden
= 2 x 103 + 7 x 102 + 5 x 101 + 4 x 100
de una base cualquiera:
= a x n2 + b x n1 + C
Caso práctico:
a 0; (b y c) < n
Propiedades:
1) .9 = 101 – 1
.99 = 102 – 1
.999 = 103 – 1
.44(5) = 52 – 1
Aritmética Aritmética
3837
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer AñoEn general:
2) .13(4) = 4 + 3 x 1
.
.
En general:
“k veces” = n + k x a
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Realizar las siguientes
conversiones:
a) A la base 10:
- 327(8) ............ 215
- 2(13)7(15) ............ 652
- 100201(3) ............ 262
b) A la base 5:
- 47 ............ 142(5)
- 63(8) ............ 201(5)
- 1010001(2) ........... 311(5)
Rpta.: ...............
2) Hallar “n” para que sea
correctamente escrito:
;
Rpta.: ...............
3) Si se cumple que:
Hallar: a + b + c + d
Rpta.: ...............
4) Sabiendo que:
Hallar el valor de x.
Rpta.: ...............
5) Si
Hallar: a – b
Rpta.: ...............
6) Sabiendo que:
Expresar: (2b) (2a)(11) en
base 6.
Rpta.: ...............
7) Si sabemos que se
cumple:
Calcular : k
Rpta.: ...............
8) Sabiendo que:
Hallar: m + n + k
Rpta.: ...............
9) Si
Hallar m + n + k
Rpta.: ...............
10) Hallar (m + n + x) si:
Rpta.: ...............
11) Hallar m + n + k; si:
Rpta.: ...............
12) Se escribe “M” en la base (8).
¿Cuántos ceros se utiliza en su
escritura?.
M = 5x230 + 3x29 + 10
Rpta.: ...............
13) Sabiendo:
Hallar: (a + c) – (b + d)
Rpta.: ...............
14) Si:
Hallar: a x n
Aritmética Aritmética
4039
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Rpta.: ...............
15) Si
H
allar:
Rpta.: ...............
16) Si:
Hallar: m + n
Rpta.: ...............
17) Si:
Rpta.: ...............
18) Dado:
b 1
Hallar: a – b + n
Rpta.: ...............
19) Hallar mxn: si se cumple:
20) Si: 15425(a) =
Hallar (a + b).
PROBLEMAS PARA LA
CASA
1) Hallar “m”, para la correcta
escritura del numeral:
a) 2 b) 3
c) 1
d) 5 e) 6
2) Si
Calcular el menor valor de a + b; si a
b
a) 5 b) 7 c) 4
d) 8 e) 3
3) Sabiendo que:
y a > b. Hallar el máximo
valor que puede tomar a x b.
a) 7 b) 12 c) 15
d) 16 e) 18
4) ¿En qué sistema de numeración se
duplica 25 invirtiendo el orden de sus
cifras?.
a) 8 b) 9 c) 6
d) 7 e) 12
5) Si , hallar el valor de
(a + b + n).
a) 7 b) 6 c) 9
d) 8 e) 12
6) En el sistema de numeración en que
100 se expresa como 84. ¿Cómo se
expresa 234 en dicho sistema?.
Aritmética Aritmética
4241
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
a) 671 b) 761
c) 176 d) 167
e) 716
7) Si:
P = 21x165 + 18 x 163 + 17 x 162 +
51
Expresar en base 4.
a) 110103032201
b) 111003020123
c) 11033320112
d) 11100103010303
e) 22100320012
8) Si:
Hallar a x c:
a) 24 b) 16 c) 15
d) 21 e) 14
9) Si se cumple:
y
Calcular: b + n + m
a) 8 b) 7 c) 12
d) 10 e) 11
10) Determinar el valor de n:
Si:
en: a 2
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
11) Si se cumple:
Además si “b” es par y
mínimo. Hallar: a + b + c
a) 14 b) 16 c) 15
d) 18 e) 12
12) Un móvil parte del kilómetro
a una rapidez de
Km/h. Al cabo de cierto
tiempo llega al kilómetro
.
a) 11/2min b)
9/11min
c) 11/9h d) 9/11h
e) 9/11seg.
13) Si:
Hallar: (a + m)
a) 7 b) 5
c) 6
d) 4 e) 8
14) Si se cumple:
Hallar: a x b
a) 6 b) 3
c) 4
d) 8 e) 5
15) Si el numeral:
Hallar n:
a) 4 b) 2
c) 3
d) 5 e) 6
TEMA: CONTEO DE NÚMEROS
Cantidad de cifras utilizadas desde 1
hasta N:
1, 2, 3, ...................., N.
# cifras =
K: # de cifras de N.
Ejm.: Hallar la cantidad de cifras
utilizadas en:
1, 2, 3, ................, 200.
# cifras = (201)3 – 111 = 492
II) Conteo de números por el método
combinatorio:
Método combinatorio:
Sirve para hallar cuantos números
existen de una determinada forma
multiplicamos los valores que tomen sus
variables independientes.
Ejm.: De cuántas maneras se puede
llegar a A hasta C.
Total de maneras: 5 x 3 = 15
Aritmética Aritmética
4443
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Ejm.: Cuántos números de 2 cifras
empiezan en cifra impar?.
2 14 26 38 4
56789
4 x 9 = 36
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Hallar el número de páginas
de un libro en cuya segunda
mitad se han empleado 109
cifras mas que en su primera
mitad.
Rpta.: ...............
2) Dada la siguiente sucesión
de números: A = 1, 2,
3, ......., si para escribirla
se han empleado 142 cifras.
Hallar a + b.
Rpta.: ...............
3) ¿Cuántos números de 4
cifras tienen por lo menos 2
cifras iguales.
Rpta.: ...............
4) En base “x” cuantos
numerales de la forma:
existen.
Rpta.: ...............
5) ¿Cuántos numerales de
11 cifras cumplen que al
producto de sus cifras es
30.
Rpta.: ...............
6) ¿Cuántas páginas tiene un
libro que en sus 100
últimas se han utilizado
236 cifras para numerarlo.
Rpta.: ...............
7) ¿Cuántos números de 4
cifras, , existen,
donde: a – b = 2 c + d =
6?.
Rpta.: ...............
8) Hallar (a + b + c) sabiendo
que para escribir todos los
números enteros desde, hasta abc se
cumple una cantidad.
Rpta.: ...............
9) Un libro tiene 743 páginas. ¿Qué
diferencia en el número de tipos hay
si la numeración del libro se hace en
base 10 y base 7 respectivamente?.
Rpta.: ...............
10) El número de tipos usados para
numerar un libro es el triple del
número de páginas. ¿Cuántas
páginas tiene el libro?.
Rpta.: ...............
11) En dos sistemas de numeración de
bases consecutivas existen 155
números que se escriben con 2 cifras
en ambas bases. ¿Cuál es la suma de
dichas bases?.
Rpta.: ...............
Aritmética Aritmética
Toman estos valores
4645
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año12) ¿Cuántos números de 3 cifras de
base 12 se escriben con 3 cifras
en base 11 y en base 10?.
Rpta.: ...............
13) En la enumeración de las
páginas de un libro se han utilizado
506 cifras menos que en la
enumeración de otro libro de a
páginas calcular: (a+b).
Rpta.: ...............
14) En la enumeración de un litro de
aritmética, por error se empieza
con 100 en vez de 1 si hay un
exceso de 116 cifras debido a este
error. ¿Cuántas páginas tiene
realmente dicho libro?.
Rpta.: ...............
15) ¿Cuántas páginas mas que hojas
tiene un libro, sabiendo que para
enumerar las 100 últimas páginas
se han utilizado 283 tipos de
imprenta.
Rpta.: ...............
16) ¿Cuántos números pares de
la forma existen:
Rpta.: ...............
17) ¿Cuántos dígitos se han
empleado para enumerar las
1000 páginas de un libro.
Rpta.: ...............
18) Para enumerar un libro de
páginas se han
empleado 960 tipos de
imprenta. ¿Cuántos tipos de
imprenta se emplearon para
numerar un libro de
páginas?.
Rpta.: ...............
19) El número de páginas de
un libro es 1239, si se
arrancan las “n” primeras
páginas, en las restantes
necesitarán 3450 cifras
mas que las arrancadas
para su respectiva
numeración. Hallar “n”.
20) Al enumerar las páginas
de u n libro se emplean
1812 páginas. ¿Cuántas
hojas tiene el libro?.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Si se colocan todos los números que
terminan en 2, uno a continuación del
otro según como se indica: 02, 12, 22,
32..... Calcular la cifra que ocupa el
lugar 5678.
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 6
2) Una persona, solo recuerda un
número telefónico, que empieza con
81. De las otras 4 cifras recuerda que
son cifras pares y que eran diferentes.
¿Cuántas combinaciones va hacer
dicha persona para adivinar el
número?.
a) 100 b) 80 c) 110
d) 115 e) 120
Aritmética Aritmética
4847
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año3) ¿Cuántos numerales de 5 cifras
empiezan con cifra 3 y termina con
cifra 7?.
a) 100 b) 200 c) 300
d) 400 e) 500
4) ¿En qué numeral aparece la cifra 2
que ocupa el lugar 400, en la
numeración natural desde 1?.
a) 1982 b) 1892
c) 1882 d) 1992
e) 1244
5) ¿Cuántos números de 4 cifras que
terminan en 5 y que sean mayores
que 5000 existen en el sistema
decimal?.
a) 2500 b) 400
c) 900 d) 500
e) 250
6) En la numeración de un libro en el
sistema nonario; en las últimas 7
páginas que terminan en cifra 5 se
utilizan en 23 cifras. Calcular
cuántas páginas terminarían
en 3 si la enumeración se
realizaría en base 27
además la cantidad de
páginas es máxima.
a) 28
b) 25
c) 26
d) 29
e) 24
7) La cantidad de páginas de un
libro es un número de 3
cifras mayor que 600. Si se
arrancan “n” hojas del inicio y
“n” hojas del final, entonces
el número de tipos de
imprenta disminuye en 201.
Halle cuántas páginas se
arrancaron.
a) 42 b) 21
c) 84 d) 36
e) 168
8) Un diccionario de 420
páginas se ha enumerado
sus páginas en el sistema
decimal. Se desea
averiguar la base del
sistema en el que se tuvo
que enumerar para reducir
en 46el número de tipos
de imprenta usada.
a) 10 b) 12 c)
15
d) 20 e) 24
9) ¿Cuál es la base de
sistema de numeración en
que se reducirá 46 el
número de tipos de
imprenta para enumerar
las 420 páginas de un
libro?.
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
10) De un libro de 500 hojas se arrancan
5 hojas seguidas notándose que en
las hojas que quedaron se había
utilizado 2866 cifras en su
numeración. Determinar el número de
la primera página arrancada.
a) 97 b) 100 c) 200
d) 107 e) 98
11) En las últimas 25 páginas de un libro
que terminan en 4, se han empleado
87 tipos de imprenta en la numeración
de las mismas. ¿Cuántos tipos de
imprenta como mínimo se han
empleado en la enumeración de todas
las páginas de dicho libro?.
a) 3180
b) 3553
c) 3349
d) 3937
e) 2941
12) Hallar la base del sistema en el que la
cantidad de números de 3 cifras
Aritmética Aritmética
5049
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
significativas que se utiliza al
escribir en dicha base todos los
números desde 1 hasta 242 (242
está escrito en la base de
referencia?.
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 12
13) Se arrancan 50 últimas hojas de
una enciclopedia, notándose que
el número de tipos de imprenta
que se utilizaron en su
enumeración, ha disminuido en
361. ¿Cuántos tipos de imprenta
se han utilizado en la enumeración
de las hojas que quedaron?.
a) 2000
b) 2770
c) 2772
d) 2774
e) 2700
14) Para enumerar un libro se
emplearon 666 cifras. Si se
eliminan 20 hojas. ¿Cuántas
cifras se usaron para
enumerar los páginas
restantes en base 8?.
a) 3941
b) 4760
c) 4904
d) 4814
e) 1420
15) ¿Cuántas páginas tiene un
libro si en su enumeración
se han empleado 1480
veces la cifra 7 y la suma
de cifras del número de la
última página es 17?.
a) 3941
b) 4760
c) 4904
d) 4814
e) 1420
TEMA: TEORIA DIVISIBILIDAD
Es la parte de la aritmética que tiene por
objeto hallar las condiciones que debe de
tener un número para que sea divisible
entre otro.
El objetivo principal es hallar el residuo en
divisiones enteras inexactas, sin tener que
ejecutarlas.
Definiciones preliminares:
Múltiplo: Se dice que un “ A” es un
múltiplo de “B” cuando “A” contiene a “B”
un # Z y exacta de veces.
Notación: A = Bº
A = m . B
A =
Ejm.: * 30 es múltiplo de 6
Aritmética Aritmética
5251
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año * 0 es múltiplo de 8
* -120 es múltiplo de ___
Divisor: Se dice que un # es divisor de
otro cuando los divide en forma exacta.
Ejm.:
* 5 es divisor de 120
* -3 es divisor de 18
Observación:
1) El cero es múltiplo de todo
número natural.
2) Por convención el primer
múltiplo de un número es el mismo
número.
ESTRUCTURA DE LOS MÚLTIPLOS
DE UN NÚMERO
Sen los múltiplos de 3; (3º):
...........3(-1); 3(0); 3(1); 3(2), .......
= 3 t “t” Z
En general:
= n.K; “K”, “n” Z
Principios de divisibilidad:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Adicionales:
8) N
N =
9) N
N =
10) * D =
* D =
TEOREMA DE ARQUÍMEDES
Si A . B = ; además “A” no es
; ni tiene ningún divisor en
común con “n” aparte de la
unidad.
B =
Año bisiesto:
Es aquel año que tiene
366 días; la forma de
reconocer es que son
años a excepción de los
años seculares que no forma
un # .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Colocar verdadero (V) o falso (F)
según corresponda:
i) 6 es múltiplo de 30.
ii) 6 es divisor de 30.
iii) 1 es divisor de todo #
entero.
Aritmética Aritmética
5453
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
iv) 0 no es múltiplo de
todo # entero positivo.
Rpta.: ...............
2) Colocar verdadero (V) o falso (F):
i) 30 es múltiplo de 6.
ii) 0 es múltiplo de todo #
entero positivo.
iii) Si A es divisible por B;
entonces A es múltiplo de B.
iv) Si B es divisor de A;
entonces B es múltiplo de A.
Rpta.: ...............
3) Indicar cual es el menor divisor
primo del número 63.
Rpta.: ...............
4) Indicar cual es el mayor divisor
primo del número 110.
Rpta.: ...............
5) ¿Cuántos divisores tiene el
número 70000?.
Rpta.: ...............
6) ¿Cuántos divisores primos
tiene el número 1260.
Rpta.: ...............
7) ¿Cuántos divisores primos
tiene el número 1400?.
Rpta.: ...............
8) ¿Cuántos divisores menores
que 125 tiene el número
500?.
Rpta.: ...............
9) ¿Cuántos divisores de 2
cifras tiene el número 600?.
Rpta.: ...............
10) Si 3n tiene 15 divisores.
Hallar “n”.
Rpta.: ...............
11) Si 4n tiene 11 divisores.
Hallar “n”.
Rpta.: ...............
12) Si 162n+1 tiene 29 divisores.
¿Cuántos divisores impares
tiene 1200n-1?.
Rpta.: ...............
13) Sea N = 3ª x 22 x 5b; si N
posee 40 divisores pares y
24 divisores cuyos valores
son divisibles por 9. Halle
la suma de divisores de
.
Rpta.: ...............
14) Si: posee 7
divisores propios.
Determinar el mínimo
que cumpla con dicha
condición.
Rpta.: ...............
15) ¿Cuántos números de 3
cifras son múltiplos de 3 y
de 6 pero no de 7?.
Rpta.: ...............
16) ¿Cuántos divisores tiene
el número 4050, que no
sean divisibles por 15?.
Rpta.: ...............
17) Calcular la cantidad de
divisores de , si este
descompuesto
canónicamente posee la siguiente
forma: = PP x (P + 1)3 x (P + 3).
Rpta.: ...............
18) La suma de los divisores de N = 25 x a
x b es el triple de N. ¿Cuántos
divisores tiene el número
si a y b son números
primos diferentes de 2 y entre sí?.
Rpta.: ...............
19) ¿Cuántos divisores múltiplos de 3
pero no de 7 tiene el número
126000?.
Rpta.: ...............
20) Indicar los divisores primos de:
; sólo los que son
posibles indicar.
Rpta.: ...............
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Del 1 al 500 averiguar:
a) ¿Cuántos son múltiplos de 5?.
b) ¿Cuántos son múltiplos de 11?.
c) ¿Cuántos no son múltiplos de 11?.
Aritmética Aritmética
5655
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Dar como respuesta la suma de
los resultados.
a) 1000 b) 500
c) 45 d) 145
e) 600
2) Del 20 al 400:
a) ¿Cuántos números son .
b) ¿Cuántos números son
?.
c) ¿Cuántos números son
?.
Dar como respuesta la suma de
los resultados.
a) 155 b) 96
c) 39 d) 20
e) 125
3) ¿Cuántos números de 2 cifras son
y terminan en 3?.
a) 10 b) 11
c) 12 d) 13
e) 9 14
4) ¿Cuántos números de 4
cifras son múltiplos de 6 y
terminan en 2?.
a) 1700 b) 1499
c) 2300 d) 1066
e) 1666
5) Hallar la suma de los “K”
primeros múltiplos de 7
mayores que cero.
a) 7K2+7K
b) 7K2+7
c) 3,5K+3,5K2
d) 3,5K2 + 3,5
e) 3,5K + 7
6) Dado: N = ; si “a” es el
doble de “b” entonces porque
números será divisible “n”:
a) 4 b) 5
c) 8 d) 7
e) 9
7) ¿Cuántos numerales de 3
cifras son divisibles por 4,
pero no de 3 ni de 5?.
a) 120 b) 140
c) 100 d) 70
e) 160
8) Si: N = 30n x 8n+2 x 15n+2,
tiene 731 divisores
compuestos. Calcule
cuántos divisores impares
pero PESI con 35 tiene N.
a) 8
b) 10
c) 7
d) 15
e) 2
9) Si: N = (a – 1)m x an, está
descompuesto
canónicamente y se sabe
que:
i) Al multiplicarlo por 12, su
cantidad de divisores aumenta
en 19.
ii) Al dividirlo entre 18 su
cantidad de divisores disminuye
en 17.
Calcule: m + n + a
a) 12 b) 13 c) 10
d) 15 e) 14
10) Si tiene 7 divisores
propios, halle la suma de los valores
que toma para satisfacer la
condición.
a) 180 b) 220 c) 100
d) 130 e) 162
Aritmética Aritmética
5857
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año11) Si el numeral tiene 4
divisores simples y su cantidad de
divisores es la mayor posible.
Calcular m + n:
a) 8 b) 6 c) 9
d) 16 e) 7
12) Si (300)n tiene igual cantidad de
divisores que (16) x (90n). Hallar el
valor de “n”.
a) 10 b) 7 c) 5
d) 4 e) 2
13) El número 360 tiene el doble de
divisores que (2) x (10K). ¿Cuántos
divisores tiene 4K2?.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 7 e) 8
14) Calcular cual es la suma de
los “n” primeros múltiplos
enteros y positivos de 5.
a) 25n (n + 1)
b) n2 + 10
c) n (n2 + 1)
d) 2,5(n2 + n)
e) n (n – 1)
15) Dada la descomposición
canónica del menor N; tal
que N = ab x ba (a + b)a+b. Dar
como respuesta la suma de
cifras de la cantidad de
divisores de N.
a) 8 b) 9
c) 7
d) 10 e) 12
TEMA: CRITERIOS DE
DIVISIBILIDAD
Son los diversos medios que
nos permiten saber cuando un
número es divisible entre otro.
El objetivo principal es hallar el
resto en divisiones enteras
inexactas sin tener que
efectuarlas.
I) Divisibilidad
por 2n y/o 5n:
Todo número será divisible
por 2n y/o 5n cuando sus
“n” últimas cifras sean
todos iguales a cero o en
todo caso formen un número múltiplo
de 2n y/o 5n.
N =
=
II) Divisibilidad por 3 y/o 9:
Todo número será divisible por 3 y/o 9
cuando la suma de sus cifras de cómo
resultado un # y/o .
N =
N =
Ex.: N = 9153
N =
N =
Aritmética Aritmética
21 ...8
22 ....48
23 ...648
51 ...o
52 ....oo
6059
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
III) Divisibilidad por 11:
Todo número será divisible por 11
cuando al restar la suma de cifras
de orden impar con la suma de
cifras de orden de cómo resultado
un .
N =
N =
IV) Divisibilidad por 7:
Todo número será cuando al
multiplicar sus cifras de derecha a
izquierda por los coeficientes; 1, 3,
2, -1, -3, -2, la suma algebraica de
cómo resultado un .
N =
N = +
V) DIVISIBILIDAD
POR 13:
Todo # será cuando al
multiplicar sus cifras de
derecha a izquierda por los
coeficiente 1, -3, -4, -1, 3, 4;
la suma algebraica de cómo
resultado todo un .
N =
N = -
PROBLEMAS PARA LA
CLASE
1) Halle el residuo de dividir
N entre 24 y 8
respectivamente; dar
como respuesta la suma
de estos; si: N = 2504823.
Rpta.: ...............
2) Halle el residuo de dividir
N = 700538 entre 525 y
125. Dar la suma de estos.
Rpta.: ...............
3) Halle el residuo de dividir
N entre 3 y 9; Si N =
148712. Dar como respuesta el
producto de estos.
Rpta.: ...............
4) Determine la suma de los valores de
a:
Rpta.: ...............
5) Sea: . Si “b” es
par, halla axb. Si además “a” es
máxima.
Rpta.: ...............
6) Halle el residuo de dividir 725639
entre 11.
Rpta.: ...............
7) Halle el residuo de dividir 432125
entre 7.
Rpta.: ...............
Aritmética Aritmética
6261
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
8) Halle el valor de “a”, en:
.
Rpta.: ...............
9) Halle el residuo de dividir 2751058
entre 13.
Rpta.: ...............
10) Si: N = ,
determine el mayor valor de a + b.
Rpta.: ...............
11) Determine la cantidad de números
de 3 cifras menores que 720, tales
que sean divisibles por 12 pero no
por 8.
Rpta.: ...............
12) Halle: a + b + c; si ;
,
Rpta.: ...............
13) ¿Cuántos números
comprendidos entre 2100 y
3500 terminan en 6 y son
divisibles por 14?.
Rpta.: ...............
14) Sabiendo que:
Hallar: a + c
Rpta.: ...............
15) A una reunión asistieron 200
personas, notándose que de
los varones: 3/5 fuman, 3/8
usan corbata y 5/12 son
ingenieros. ¿Cuántas
mujeres solteras asistieron,
si hubo 2 solteras por cada 3
casadas?.
Rpta.: ...............
16) Se tiene un numeral
capicúa de cinco cifras,
todos significativos, el cual
es divisible por 7.
Determine el residuo que
se obtiene al dividir dicho
números entre 13.
Además: 5c + 2b + 2a =
y 5c + 2b + 2a es
mínimo.
Rpta.: ...............
17) Sabiendo que: ,
y . Halle
el residuo de dividir
entre 13.
Rpta.: ...............
18) Si: (9845)37 es expresado
en el sistema heptanario;
determine su cifra de
menor orden.
Rpta.: ...............
19) Hallar cualquiera de los números que
tiene 4 cifras y comienza en 5; tal
que al ser dividido entre 7, 9 y 11 se
obtenga como residuos 4, 8 y 9
respectivamente.
Rpta.: ...............
20) Sabiendo que es divisible
por 44.
Halle “a + b”
Aritmética Aritmética
6463
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Si: . Calcular axn.
a) 10 b) 12 c) 13
d) 16 e) 14
2) Calcular (m + n); si: es
divisible por 56, si “m” es mínimo.
a) 12 b) 7 c) 13
d) 6 e) 14
3) Calcular: axb; si es
divisible por 88.
a) 20 b) 21
c) 19
d) 18 e) 15
4) Sabiendo que: ;
y .
a) 7 b) 6
c) 8
d) 5 e) 4
5) Calcular cuántos números
capicúas de 4 cifras no son
divisibles entre 7.
a) 72 b) 62 c)
64
d) 56 e) 32
6) Si se cumple que:
Hallar: a x b + c
7) Encontrar el valor de a + b
+ c. Sabiendo que:
a) 12 b) 18 c)
9
d) 15 e) 27
8) Si: ;
y
. Calcular
, si a > c.
a) 374 b) 743
c) 473 d) 573
e) 734
9) Calcular (a – b + c), si:
a) 13 b) 12
c) 11 d) 10
e) 7
10) Hallar el valor de “a” en: .
a) 8 b) 5
c) 6 d) 3
e) 7
11) La suma de los numerales: y
es siempre divisible por:
a) 17 b) 19 c) a – b
d) a + b e) a x b
12) El número de páginas de un libro está
comprendido entre 600 y 800.
Calcular este número, sabiendo que si
se cuentan de 5 en 5 sobran 2; de 7
en 7, 4; y de 11 en 11; 8.
Aritmética Aritmética
6665
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
a) 667 b) 757 c) 676
d) 697 e) 767
13) A una conferencia asistieron 85
personas. Se sabe que 2/3 de los
hombres usan bigotes y 3/5 de las
mujeres son abogados. Hallar la
diferencia entre el número de
hombres y mujeres presentes.
a) 30 b) 20 c) 45
d) 40 e) 50
14) En un ómnibus donde viajaban 100
pasajeros ocurre un accidente, de
los sobrevivientes la tercera parte
eran profesionales y la quinta parte
de los muertos quedaron sin una
pierna. ¿Cuántos murieron en el
accidente?.
a) 75 b) 65 c) 25
d) 35 e) 40
15) Si: (1999)2000 se convierte al
sistema de numeración de base
11. ¿Cuál es la cifra de
menor orden?.
a) 4 b) 6
c) 8
d) 2 e) 10
MISCELANEA DE
PROBLEMAS
01. De un recipiente lleno de
alcohol puro, se extrae la
cuarta parte y se
reemplaza por agua, luego
se extrae la quinta parte y
se llena con agua.
¿Cuántos litros de alcohol
puro es necesario agregar
a 20 litros de ésta última
mezcla para obtener
alcohol de 20º?
a) 20 b) 40 c) 45
d) 60 e) 75
02. Se tiene 3 vinos de S/.10,
S/.3 y S/.5 el litro. Se
toman volúmenes del 1ro y
del 2do en la proporción de
2 a 3 y se mezclan. Luego
se toman volúmenes del
2do y el 3ro en la
proporción 7 a 3 y se
mezclan, obteniéndose dos
nuevas clases de vino. ¿En qué
proporción deben mezclarse estos
dos vinos para obtener vino de
S/.7.50 el litro?
a) 4 a 13 b) 5 a 12 c) 3 a 14
d) 4 a 9 e) 7 a 8
03. Las leyes y los pesos de 4 lingotes
son proporcionales a los números 1,
2, 3 y 4. Si al fundir los 4 lingotes se
obtienen una aleación de ley 0,480;
hallar la ley del segundo lingote.
a) 0,08 b) 0,16 c) 0,32
d) 0,48 e) 0,56
04. Al fundir la veinteava parte de una
joya de 18 kilotes con 2 gramos de
cobre, resulta una aleación de 0,7 de
ley. ¿Qué peso de oro puro había
inicialmente en la joya?
a) 420 g. b) 450 g. c) 460 g.
d) 480 g. e) 560 g
05. De un depósito de 100 litros de
capacidad lleno de alcohol puro, se
Aritmética Aritmética
6867
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
saca una cierta cantidad de
alcohol y se reemplaza por
agua; se saca después la misma
cantidad de mezcla y se
reemplaza por agua. La mezcla
resultante contiene alcohol al
49%. Se pide determinar la
cantidad de líquido que se ha
sacado cada vez. Dar la suma
de sus cifras.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
06. Se compra cierta menestra de
diferentes calidades, cuyos
precios son: 1,2,3 … soles, y se
les mezcla en proporción directa
a sus precios. EL Kg. d la
mezcla se vende al precio de
costo de la mejor menestra,
ganando así el 40% del costo de
la mezcla. ¿Qué porcentaje se
perdería si el Kg. De mezcla se
vende a S/.4 el Kg.?
Sug .:
12 + 22 + …+ n2 = n.(n+1).
(2n+1)/6
a) 15% b) 18% c)
17,5%
d) 25% e) 20%
07. Se tiene una aleación de oro
de 16 Kg. Que pesa 10 gr.
¿Cuántos gramos de cobre
se debe añadir para obtener
una aleación de 8K. Dar la
suma de cifras.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08. Se tiene 2 calidades de arroz:
30 kg. y 20 kg.
Respectivamente ¿Cuántos
kg’s se deben intercambiar
para tener arroz de un solo
precio en ambas partes?
a) 12 b) 13 c) 15
d) 8 e) 9
09. Se tienen 2 barras de metal
que pesan 1 Kg. Y 17 kg., los
2 contienen cobre y zinc. La
primera contiene 14% más de
cobre que de Zinc; y la
segunda 4% menos de
cobre que de zinc. Se
desea quitar de ambas
barras x Kg; de tal manera
que al fundir las partes
restantes se obtenga una
aleación con 2% más de
cobre que de zinc. Hallar
“X”
a) 1,5 b) 1,8 c) 3,5
d) 4,8 e) 5
10. En una barrica de 228
litros quedan 147 litros de
vino. Se ha adicionado
agua, de tal modo que una
botella de 0,8 litros llena
de esta mezcla, contiene
en sus 7/10 vino puro.
¿Cuál es la cantidad de
agua (en litros)
adicionada?
a) 63 b) 210 c) 56
d) 65 e) 85
11. Se mezclan dos clases de
café: de una 50 kg. Y de la
otra 30 kg.; costando S/.12 y S/1.0 el
kg. Respectiva-mente. Si el café, al
ser tostado; pierde 1/5 de su peso; ¿a
cómo debe venderse el kg. De café
tostado de esa mezcla para tener una
utilidad del 20% del costo?
Dar como respuesta la suma de cifras
pares del resultado.
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
12. ¿Qué cantidad de cobre habrá que
mezclar con una barra de plata de
43,125 kg y ley de 0,96; para que este
baje a 0,970?
a) 1,875 kg. b) 1,252 kg.
c) 2,5 kg. d) 1,275 kg.
e) 0,975 kg.
13. Se tiene 2 lingotes de oro, uno de 600
gr. De masa y ley 0,92 y el otro de
900 gr. Y ley 0,88. Se funden los
lingotes y se extraen “M” gr. Que se
reemplazan por “M” gr. De una nueva
aleación de 0,971 de ley; resultando
Aritmética Aritmética
7069
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
finalmente una aleación con ley de
0,921. Hallar “M”.
a) 480 gr. b) 490 gr.
c) 500 gr. d) 510 gr.
e) 520 gr.
14. Un litro de alcohol al 60% tiene
una masa de 940 gr. Determinar
la masa de un litro de alcohol al
48%.
Nota: 1 litro de agua tiene una
masa de 1000 gr.
a) 948 gr. b) 952 gr.
c) 954 gr. d) 955 gr.
e) 956 gr.
15. ¿De cuántos grados es una
mezcla alcohólica?, sabiendo
que cuando se le agrega 25
litros de alcohol puro se
convierte en alcohol de 85º, pero
si se le hubiese agregado 50 L.
de alcohol puro se hubiese
convertido en alcohol de 88º.
a) 80º b) 82º c) 72º
d) 70º e) 78º
16. Se tienen dos clases de
vinos, de S/.10 y S/.20 el
litro, los mezclo en la
proporción de 2 a 1 y lo
vendí ganando el 20% del
precio de costo, después lo
mezclé en la proporción de
1 a 2 y los vendí perdiendo
el x% del precio de costo y
en ambos casos el precio
de venta es el mismo.
Hallar la suma de las cifras
de x.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
17. Se tiene 360 Gr. De una
aleación de oro de un
determinado número de
kilates. Hallar dicho número
de kilates, sabiendo que al
fundir dicha aleación con 72
gr. De oro puro se obtiene
una aleación cuyo número de
kilates excede en 1 al
número de kilates de la
aleación anterior.
a) 15 b) 16. c) 17
d) 18 e) 20
18. Si se mezclan 2 tipos de
arroz en masas
proporcionales como 3 es
a 4 y se vende con el 25%
de ganancia se obtiene el
mismo precio por kilo que
si hubiese mezclado en
proporciones de 2 a 5 y
vendido con una ganancia
del 35%. Hallar la relación
de precios entre los tipos
de arroz.
a) 5 a 3 b) 4 a 5 c) 3 a 4
d) 5 a 7 e) 5 a 6
19. Al fundir oro y plata se ha
producido una mezcla del
20% en cada metal.
¿Cuántos gramos de oro
se debe utilizar si se quiere
obtener un lingote de 48
gr. Que tenga 18 kilates.
a) 45 b) 48 c) 40
d) 45 e) 20
20. Se mezclan 4 clases de vino de 6, 7,
8 y 9 soles el litro, de tal modo que si
se vendiera a 9 soles el litro, se
ganaría el 25%. Hallar el volumen del
primero, sabiendo que el volumen del
primero es al del segundo como 6 es
a 5 y el volumen del 2do es al del 3 ro
como 10 es a 9 y el volumen del 4 to es
92 litros.
a) 120 b) 100 c) 210
d) 216 e) 222
21. Se mezclan 2 clases de café de 8, 4
soles y 7,2 soles el kilogramo
respectivamente, tomándose 40 y 20
kg. De cada clase. ¿A cómo debe
venderse el kilogramo de café
“tostado” de esta mezcla para ganar
el 20%? (el café tostado pierde 1/5 de
su peso).
a) S/.8 b) S/.9 c) S/.10
d) S/.11 e) S/.12
Aritmética Aritmética
7271
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año22. Se pierde “n”kg. De cobre puro
con 48 kg. De oro de 21 kilates y
se obtiene una aleación de “21-
m”kilates. Si se funden los 48 kg.
De oro de 21 kilates con “n” Kg.
De oro de 14 kilates; la ley
resultante es mayor en 2 kilates
que la ley de aleación que se
obtuvo por primera vez. Hallar m
+ n.
a) 4 b) 7 c) 11
d) 3 e) 8
23. Al fundir un joyero 3 lingotes
cuyas leyes en oro son 0,92; 0,84
y 0,72; obtuvo un lingote de oro
cuyo peso se desea conocer, los
pesos de los 3 lingotes son
inversamente proporcionales a
sus leyes y el tercero pesó 245
gr. Más que el primero.
a) 2975 b) 3115 c) 2225
d) 2725 e) 2775
24. A 20 gr. De oro de 18 kilates se
eleva su ley hasta 21 K.
agregando oro puro. ¿Qué
peso de cobre será
necesario alear con este
nuevo lingote, para volverlo
a su ley original?
a) 10 gr. b) 12 gr. c)
15/4 gr.
d) 20/3 gr. e) 40/3 gr.
25. ¿Cuál es la ley de aleación
de un vaso de plata que pesa
500 gr., si se ha vendido en
S/.77 al precio de S/.220 por
kilogramo de plata pura?
a) 0,6 b) 0,68 c) 0,7
d) 0,72 e) 0,75
26. Se mezclan dos alcoholes,
uno de 60º y el otro de
alcohol, siendo el volumen
del primero el triple del
segundo. Se toma la mitad
de la mezcla y se agrega 40
litros de agua obteniendo una
mezcla de alcohol de 50º;
¿qué cantidad de alcohol
puro se utilizó en su última
mezcla?
a) 40 L. b) 50 L. c) 90 L.
d) 80 L. e) 70 L.
27. Un litro de mezcla formado
por 20% de agua y 80% de
alcohol pesa 760 gr.,
sabiendo que el litro de
agua, pesa 1kg. Se pide
calcular el peso de un litro
de mezcla conteniendo
80% de agua y 20% de
alcohol.
a) 1020 b) 1015 c) 1010
d) 1050 e) 940
28. Se mezclan 70 litros de
alcohol de 93º con 50 litros
de 60%, a la mezcla se le
extrae 42 litros y se le
remplaza por alcohol de nº,
resultando una mezcla que
contiene 28,8 litros de
agua. Determinar “n”.
a) 69º b) 65º c) 80º
d) 35º e) 63º
29. En la PA: , , …, 1175; el
número de términos es 251. Halle el
valor de a:
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
30. La PA: 17, …., 251; tiene 40 términos,
halle el duodécimo término.
a) 81 b) 82 c) 83
d) 85 e) 90
31. En una PA el tercer término es el
octavo como 2 es a 5 y la suma del
primero con el quinto es 20. Halle el
vigésimo término.
a) 59 b) 60 c) 61
d) 62 e) 63
32. Calcular la suma del cuarto término y
la razón de una PA, cuyo segundo
término es 8a y el octavo 20a.
a) 14a b) 6a c) 12a
d) 10a e) 8a
33. En una progresión aritmética el primer
y el último término son y .
Aritmética Aritmética
7473
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Halle la razón, si además el
número de términos está
comprendido entre 30 y 40.
a) 13 b) 15 c) 17
d) 19 e) 21
34. La suma de términos de la
progresión aritmética: 2n, (2n+3),
(2n+6), …, 5n; es (38n+5). Halle
el valor de “n”
a) 7 b) 8 c) 5
d) 10 e) 11
35. En la progresión aritmética:
2, …, 17, …, 44, el número de
términos que existe entre 2 y 17
es la mitad del número de
términos que existe entre 17 y
44. Halle la suma de términos.
a) 290 b) 298 c) 320
d) 345 e) 405
36. Halle el número de términos de la
siguiente PA:
, , , , …,
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 3
37. La progresión aritmética:
, , …, tiene
89 términos . Hallar (a + b +
d).
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
38. La suma de los 11 términos
de una PA creciente es 176.
La diferencia de los extremos
es 30.¿Cuál es el último
término?
a) 29 b) 30 c) 31
d) 32 e) 33
39. Se tienen 3 números en PA.,
que al aumentarles en 2, 3 y
8 respectivamente
obtenemos números
proporcionales a 10, 25 y 50.
Luego el mayor de éstos
números es:
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
40. Sabiendo que los 2 primeros
términos de una PA están en
la relación de 3 a 7. ¿En
qué relación están los dos
últimos, si la progresión
tiene “n” términos?
a) b) c)
d) e)
41. Si a, b y c están en
progresión aritmética,
calcular:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
42. Los números: X1, X2, …,
X11 forman una P.A.
creciente:
Si:
Calcular X1:
a) -2 b) -3 c) -4
d) -5 e) -1
43. Un trabajador debe llevar una
carretilla de arena al pie de cada uno
de los 21 árboles que están al lado de
una calzada. Los árboles están a 4m.,
de distancia y el montón de arena
está a 10 m. antes del primer árbol.
¿Qué camino habrá recorrido
después de haber terminado su
trabajo y vuelto la carretilla al montón
de arena?
a) 2000 b) 2100 c) 2500
d) 3000 e) 3100
44. Consideremos el sistema:
a + b – c = 15 b – 2a = 12
donde a, b y c son 3 términos
consecutivos de una P.G. oscilante,
entonces “a” es:
a) -2 b) 2 c) 3
Aritmética Aritmética
7675
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
d) 6 e) -3
45. ¿Cuál es el término central de una
PG de 3 términos positivos, si el
producto de los 2 primeros es 24 y
el producto de los 2 últimos es 54?
a) 8 b) 9 c) 6
d) 3 e) 12
46. Se tiene 3 términos de una P.G.
entera; se agrega 4 al término
central y los demás se
encuentran entonces en PA, en
esta última progresión se agrupa
32 al término final y la progresión
nuevamente es geométrica.
¿Cuánto suman los términos
originales?
a) 30 b) 35 c) 28
d) 26 e) 29
47. Si la suma de los términos de
una PG es 726, calcular su razón
y el número de términos
sabiendo que sus términos
extremos son 6 y 486 (1ro y
último respectivamente.
a) 8 y 11 b) 3 y 5 c) 7 y 5
d) 7 y 11 e) 5 y 8
48. Entre 2 y 162 y entre 3 y 19683
han interpolado el mismo
número de medios
proporcionales. Hallar la
diferencia de las razones de las
progresiones formados, si la
razón de la primera es 1/3 de la
razón de la segunda?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
49. Se tienen 2 progresiones,
una aritmética y otra
geométrica, cuyos primeros
términos son iguales, e igual
a la razón sabiendo que la
suma de los 8 primeros
términos de la PA es igual a
la suma de los infinitos
términos de la PG. Calcular
la razón.
a) 34/35 b) 35/36 c) 36/37
d) 33/35 e) 24/36
50. Tres números que se
encuentran en P.G. creciente
suman 650 y si inversa es
13/150. Luego uno de ellos
será:
a) b) c)
d) e)
51. En una PG de “n” términos,
la suma de los (n-1)
primeros términos es 252 y
la suma de los (n-1)
últimos es 504. Hallar la
razón
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
50. Una persona dispone de
una cierta cantidad para
sus gastos durante una
semana empieza gastando
el domingo la mitad de esa
cantidad, el lunes reduce
su gasto a la mitad, y así
continúa gastando cada
día la mitad de lo que
había gastado el día
anterior, al terminar el
sábado le queda S/.3. ¿De qué
cantidad disponía esa personal
comenzar el domingo?.
a) S/.300 b) S/.350 c) S/.384
d) S/.392 e) S/.386
53. En el mismo número de días se sacan
de 2 toneladas A y B ciertas
cantidades de vino de A se saca el
primer día 5 litros, el segundo día 10
litros, el tercero 20 litros y así
sucesivamente, de B se sacó el
primer día 2 litros, el segundo 4 litros
y el tercero 8 litros y así
sucesivamente. EN el último día se
sacaron del tonel A 192 litros más que
de B. Calcular el tonel de litros
sacados de cada tonel.
a) 635,254 b) 640,200
c) 850,300 d) 735,650
e) 400,350
54. De una PG con el 1er término distinto
de cero y razón diferente de cero y
una PA con el primer término igual a
cero, si se suman los términos
correspondiente de las dos
Aritmética Aritmética
7877
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
sucesiones se obtiene una tercera
sucesión: 1,1,2,…; entonces la
suma de los 10 primeros términos
de la nueva sucesión es:
a) 1068 b) 4557 c) 467
d) 978 e) 856
55. Si A = {,{m,x},x} indique
verdadero o falso según
corresponda:
I. m A
II. x A
III. {m,x} A
IV. {,x} A
a) VFVV b) VVVV c) FVVV
d) FFFF e) FFVV
56. Si: A = {3X / 1 X < 3: X Z}
B = {Y / 1 Y < 5: Y Z}
Halle n(aB)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 4 e) 5
57. Indique verdadero o falso según
corresponda:
I. A (AB) = A
II. A (AB) = A
III. AB) = A y B son
diferentes
a) VVV b) VVF c) VFV
d) VFF e) FFF
58. Se tienen los siguientes
conjuntos:
M = {x/x es un niño}
N = {x/x es un niño que
estudia en el colegio}
P = {x/x es un niño que
toma desayuno}
Exprese mediante
operaciones el conjunto de
los niños que no toman
desayuno y no estudian en el
colegio.
a) M -( N P) b) M – (N
P)
c) M N d) (M N)
P
e) N P
59. Si: A B = A; n ( A C) = 0;
n (A) + n (C) = n (B);
n (A C) = 20.
Halle n (B):
a) 20 b) 0 c) 10
d) 15 e) 8
60. Si 20 personas leen la
revista A y 15 leen la
revista B; y 7 leen
ambas revistas.
¿Cuántas personas no
leyeron revista
alguna?. Si en total hay
38 personas.
a) 7 b) 10 c) 15
d) 20 e) 18
61. Magaly come huevos y/o
tocino en su desayuno
cada mañana durante el
mes de enero. Si come
tocino 20 días y come
huevos 13 días. ¿Cuántos
días comió huevo con
tocino?
a) 5 b) 2 c) 10
d) 18 e) 3
62. De 500 alumnos de la academia
César Vallejo se encontró que 300
alumnos postularon a la UNI, 120
postularon a la UNC y 100 alumnos
no postularon a ninguna de estas
universidades.
¿Cuántos alumnos postularon a
ambas universidades?
a) 5 b) 10 c) 20
d) 70 e) 30
63. En una encuesta a 100 personas,
sobre las preferencias de las
emisoras P y Q, se obtuvo la
siguiente información 20 personas
prefieren solo la emisora P, 40
prefieren la emisora Q. ¿Cuántas
personas prefieren ambas emisoras o
ninguna de éstas?
a) 40 b) 50 c) 70
d) 80 e) 32
64. Sean A, B y C conjuntos contenidos
en U, se cumple:
A – B = A,
n(A C) = n(B-C) = 6
Aritmética Aritmética
8079
INDICE
Regla de Mezcla y Aleación 01
Progresión Aritmética y Geométrica 06
Conjuntos 10
Numeración 16
Conteo de Números 20
Teoría de Divisibilidad 24
Criterios de Divisibilidad
Números Primos
M.C.M. y M.C.D.
Potenciación y Radicación
Número Fraccionario y Decimal
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
, n(AC)C =
21
n(B) = 15
Calcule: n[(AB)CnC]
a) 10 b) 12 c) 15
d) 20 e) 16
65. Si n [ P ( A B ) ] = 32
n [ P (P(A)} + n [P(B)] = 3 x 28
Calcule: n (AB)
a) 10 b) 8 c) 12
d) 5 e) 7
66. Al determinar por extensión al
conjunto:
M = {(-1)n – n / 0 < n 5 n
Z+}
Calcular la suma del mayor y
menor elemento del conjunto
M.
a) 7 b) 6 c) -7
d) 5 e) -5
67. Dados los conjuntos A y B
iguales:
A = {a + 3, a + 5}, B = {9 – a, b2
– 1}
Calcule (a+b) si b Z+
a) 11 b) 10 c) 6
d) 8 e) 5
68. Si: n(AB’) = 4; n(A’B) =
7;
A,B U; n(A’B’)=2; n(U)
= 19
Halle n (A – B’)
a) 2 b) 4 c) 6
d) 7 e) 8
69. Sean A, B y C conjuntos:
A B,
A – C = A, BAD = BUD; D
y D son coordinables
n(BC) = n(CD) = 4;
n(D - C) = 6
n(A) = 2
Hallar n(B (A C)’)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
70. Se dispone de 6 tarros de
pintura de colores diferentes,
con los cuales se desea tener
tarros adicionales. ¿Cuántos
como máximo se podrá
obtener?
a) 57 b) 58 c) 59
d) 64 e) 63
71. Se lanzan dos dados
juntos, ¿cuántos pares
ordenados se puede
formar con los números de
la cara superior?
a) 16 b) 6 c) 36
d) 1 e) 0
72. En un salón se observa
que 40 estudiantes tenían
un libro de Aritmética (A);
30 tenían libro física (F);
30 tenían libro de química
(Q); 8 tenían libros de
aritmética y física, pero no
de A; 12 tenían un libro de
A y Q, pero no F; si 5
personas tenían los tres
libros, 6 de los estudiantes
carecían de libros.
¿Cuántos alumnos tenía el
salón?
a) 70 b) 60 c) 68
d) 80 e) 35
73. En una encuesta realizada
a 150 alumnos de un
centro educativo sobre el curso de su
preferencia se tiene la siguiente
información:
* 120 alumnos no prefieren el curso
de literatura.
* 30 alumnos no prefieren el curso de
física.
* Todos los alumnos que prefieren
física, prefieren también
matemática.
¿Cuántos estudiante prefieren
matemática?
a) 150 b) 120 c) 30
d) 90 e) 100
74. Reduzca a su equivalente más simple
la siguiente expresión:
a) AC BC b) AC BC
c) AC - BC d) A BC
e) A B
Aritmética Aritmética
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