http://pl.wikipedia.org/
linia węzłów
ψ
„punkt zamocowania”
http://suppiya.wordpress.com/2008/04/06/falling_cat/
Warunek równowagi bryły
sztywnej:
Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych.
Precesja koła rowerowego
mg
r
→
L
→→
∆+ LL
→
∆ L
→→→
→→
×=
=∆
∆
FrM
Mt
L→→
→
⊥⊥∆
∆Fr
t
L
L
mgr
t=
∆
∆=Ω
ϕ
Częstość precesji:
JLr
≡→
Oznaczenia na
poprzednich wykładach
L
L∆=∆ϕ
ϕ∆
Niezwykłe własności żyroskopów
• Kolej jednoszynowa
• Kompas żyroskopowy
Twierdzenie Steinera
S x’, x
y y’
z’ z
O
mi
→
isr
d
→
ir
Is - moment bezwładności względem
osi równoległej do osi z przechodzącej
przez środek masy SI - moment bezwładności względem
osi równoległej do osi przechodzącej
przez środek masy i odległej od niej o d.
∑ += ])()[( 2'2'
iii yxmI
isiisi
isi
zzyy
dxx
==
+=
''
'
,
Dobieramy osie układów wsp. tak aby:
∑ ∑∑∑∑
+++=
=+++=++=
iisiisisi
isisisiisisi
mdxmdyxm
yddxxmydxmI
222
22222
2)(
)2(])[(
∑ = 0isi
xmZ definicji układu środka masy:
Stąd:2
mdIIs
+=
Obliczanie momentów bezwładności prostych brył
• korzystanie z symetrii
• całkowanie
• skalowanie i tw. Steinera
R
m
Obręcz o promieniu R i masie m
Moment bezwładności względem osi przechodzącej
przez środek ciężkości, prostopadłej do płaszczyzny
obręczy. Dzielimy obręcz na kawałeczki o masie mi
2222 )( mRRmyxmIiiii
==+= ∑∑
x
y
mi
xi
yi
Płaski krążek
r
drR
Dzielimy krążek na cienkie obręcze
o promieniu r i szerokości dr.
drrR
mrdr
R
mrrdmdI
3
2
2
2
2 2 2 ===
ππ
Moment bezwładności takiego pierścienia:
Sumując przyczynki od obręczy dla wszystkich r 0 do R
dostajemy:
244
2
0
3
2 2
1)0(
4
122mRR
R
mdrr
R
mI
R
=−== ∫
Moment bezwładności kuli
R
z
dm
r
Dzielimy kulę o masie m na cienkie krążki
o promieniu r i wysokości dz każdy.
Masa takiego krążka
dzrR
mdzr
R
mdm
2
3
2
3 4
3
3
4 == π
π
Moment bezwładności krążka:
dzzRR
mdzr
R
mdI
222
3
4
3)(
8
3
4
3
2
1 −==
∫∫∫ +−=−=−=−
RRR
R
dzzzRRR
mdzzR
R
mdzzR
R
mI
0
4224
3
0
222
3
222
3)2(
4
3)(
8
32)(
8
3
Sumując przyczynki od krążków dla różnych z dostajemy :
225324
3 5
2)
5
1
3
21(
4
3)
5
1
3
12(
4
3 mRmRRRRRR
R
mI =+−=+−=
Moment bezwładności sfery
R
mi
ri
22222 )( iiiiiiiii
ymxmyxmrmI ∑∑∑∑ +=+==
222
iiiiiizmymxm ∑∑∑ ==
Z symetrii:
Zatem:
)(3
2 22222
iiiiiiiizyxmymxmI ++=+= ∑∑∑
2222 Rzyxiii
=++Ponieważ:
22
3
2
3
2 mRmRI
i== ∑
Ten sposób można stosować do obliczania momentów bezwładności innych
brył, np.. do obliczenia momentu bezwładności krążka względem osi pokrywającej
się z jego średnicą, wykorzystując fakt, że znamy moment bezwładności względem
osi prostopadłej do jego powierzchni…
Symetria i skalowanieMoment bezwładności można
często wyznaczyć posługując sięargumentami skalowania i tw. Steinera
Obliczmy moment bezwładności
pręta o masie m i długości L,
względem osi prostopadłej
przechodzącej przez jego środek
masy
L
L
Korzystając z analizy wymiarowej dochodzimy
do wniosku, że moment ten powinien mieć postać:
2 mLI α= α - pewien współczynnik bezwymiarowy
Podzielmy w myśli pręt na dwie równe części i obliczmy (korzystając z tw. Steinera)
ich sumaryczny moment bezwładności względem środka pręta:
2222
11644222
2 mLmLLmLm
I +=
+
= αα
Ale I=I1
22
2
164
mLmLmL += αα
12
1=α 2
12
1 mLI =
Toczenie bez
poślizgu…
Fn
Fs
mg
αα
T
)sin(αmgRRFFRM === ⊥⊥
Mdt
dI =
2
2α
Mdt
dI =
ω
ϕ
dt
dϕω =
MI =ε
toczenie bez poślizgu to
R
a=ε
…jako obrót względem chwilowej osi obrotu
I
mgR )sin(αε =
)sin(2
αgI
mRa =
I – moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu
2mRII
s+=Z tw. Steinera
2
2
2
2
3
mRI
mRI
=
=
Is – moment bezwładności
Względem środka masy
dla walca
dla obręczy
Obręcz toczy
się wolniej!
ε- przyspieszenie kątowe
R
υω =
Jeśli chcemy znać wartość siły tarcia…
Toczenie jako złożenie ruchu obrotowego i postępowego…
=
−=
TRI
Tmgma
sε
α )sin( ruch postępowy
ruch obrotowy
względem środka masy
toczenie bez
poślizgu R
a=ε
=
−=
aR
IT
Tmgma
s
2
)sin(α
=
+=
aR
IT
gmRI
mRa
s
s
2
2
2
)sin(α
=
=
)sin(3
1
)sin(3
2
α
α
mgT
ga
Walec
=
=
)sin(2
1
)sin(2
1
α
α
mgT
ga
Obręcz
Żeby toczenie odbywało
się bez poślizgu, siła tarcia musi
mieć odpowiednią wartość! Zwiększając kąt α przy danym
współczynnika tarcia f można
doprowadzić do
poślizgu…(sprawdzamy eksperymentalnie
dla walca i obręczy)
Wtedy siła tarcia przyjmuje maks.
wartość Tmax =fmg cos(α)
Fn
Fs
αα
T
ϕ
Toczenie bez poślizgu gdy T<Tmax !!!
Ruch obręczy – przykład połączenia ruchu
postępowego i obrotowego
Ruch środka masy
V
ωObrót
Obręcz wraca …
T
• ruch z poślizgiem (T=Tmax)
• ruch bez poślizgu (wartość siły tarcia dostosowuje się do sytuacji….)
Wahadło fizyczne
α
α
mg
O
d
O – punkt zawieszenia wahadła
d - odległość od punktu zawieszenia do
środka masyI – moment bezwładności względem O
S
Mdt
dI =
2
2α
)sin(2
2
αα
I
mgd
dt
d−=
02
2
=+ αα
I
mgd
dt
d
Dla małych kątów α:
Równanie oscylatora harmonicznego
I
mgd=ω
mgd
IT π2=Częstość drgań Okres drgań
O’
l
⊥F
dFM ⊥−=
Wahadło rewersyjneJaką długość l musi mieć wahadło matematyczne,
aby miało okres T identyczny z wahadłem fizycznym?
g
l
mgd
Iππ 22 =
md
Il =
długość zredukowana
wahadła fizycznego
Jaki okres będzie miało wahadło fizyczne jeśli zawiesimy je w
punkcie O’ odległym o l od punktu O?
)(
'2'
dlmg
IT
−= π
I’ – moment bezwładności względem O’
z twierdzenia Steinera:
2)(' dlmIIs
−+=2
mdIIs
+=
)(22dlmdmdlmdmdII
s−=−=−=
ldlmdlmdlmdI )()()(' 2 −=−+−=
Tg
l
dlmg
ldlmT ==
−
−= ππ 2
)(
)(2'
Czyli:
Zatem: T=T’Przy zawieszeniu
w punktach O i O’
okresy są równe!
α
α
mg
O
d
S
O’
l
⊥F
Długość zredukowana dla pręta zawieszonego
na jednym z końców
L
l
mgd
IT
pπ2=
2
3
1mLI =
g
LT
p3
22π=
2
Ld =
g
lT π2= okres wahadła
matematycznego
okres wahań pręta
Ll3
2=
Zawieszając obok siebie pręt i kulkę na nitce o długości 2/3 L
można się przekonać, że okresy ich drgań są równe...
Wahadło rewersyjne
Wahadło składa się z pręta zaopatrzonego w dwie
stałe osie pryzmatyczne O i O’
(osie pryzmatów zwrócone do środka)
Przesuwając masy m1 oraz m2 można zmienić położenie
środka ciężkości wahadła. Masy przesuwamy dopóty, dopóki
okresy wahań wokół osi O i O’ nie zrównają się, wtedy
Odległość OO’ będzie odpowiadała długości zredukowanej wahadła fizycznego l. Znając odległość OO’= l oraz okres drgań T
można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie, tak
jak zrobił to H. Kater w 1818 r...
2
24
T
lg
π=
m2
O
O’
m1
l
g
lT π2=
Grawimetria – badanie zmian siły ciężkości w terenie (na jednakowym poziomie
lub zależności od wysokości)
(poszukiwanie kopalin, badanie wyrobisk i innych form wewnątrz ziemi…
Dokładność współczesnych grawimetrów – 10-8 g = 0,01 mGal (1 Gal = 0,01 N/kg)
Uderzenie bryły
O
S
O’F
W jakiej odległości od punktu O należy uderzyć bryłę,
aby bryła podczas uderzenia dokonała obrotu wokół
punktu O?
Ruch postępowy środka masy:
tmmaF
∆
∆==
υ
Aby ruch środka masy można było opisać jako obrót
wokół punktu O to powinien być spełniony związek:
l
d
ωυ ∆=∆ d d – odległość środka masy od punktu O
∆ω - przyrost prędkości obrotowej bryły
tmlFl
∆
∆=
υ
tmldFl
∆
∆=
ω
tIFl
∆
∆=
ωFl – moment siły F
względem punktu O,
więc powinno być spełnione
dla ruchu obrotowego bryły…
Zatem: md
Il =
Czyli bryłę należy uderzyć dokładnie w
odległości równej długości zredukowanej
wahadła fizycznego...
Uderzenie pręta
L
l=2/3L
obrót wokół końca
F
F
F
ruch postępowy koniec pręta się cofa…
S
O’
O
O’ O’
O’ – środek uderzenia pręta (trzymanego na końcu)
Trzeba uważać gdzie się trzyma
młotek…
F
O’ SO
Tu należy trzymać, żeby nie bolało!