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Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
Demonstração
a + x = 180º b + x = 180ºI
= IIa + x = b + x
a + x – x = b + x – xa + 0 = b + 0
a = b
I
II
Ângulos opostos pelo vértice
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Ângulos formados por duas retas concorrentes
• r e s são duas retas concorrentes que determinam os ângulos , , ede medidas a, b, c e d, respectivamente.
• e são ângulos adjacentes e suplementares (a + b = 180º).
• e são ângulos opostos pelo vértice (a = c).
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Ângulos correspondentes
a = eb = fc = gd = h
Ângulos colaterais externos
a + h = 180º
b + g = 180º
Ângulos alternos externos
a = g b = h
Ângulos alternos internos
c = e d = f
Ângulos colaterais internos
c + f = 180ºd + e = 180º
Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal
eee
e
e
e
e
e
e
e e e
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Se x + y + z = 180º, então podemos concluir que:
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
• x é a medida de ;
• y é a medida de , pois e são ângulos alternos internos, e a reta r é paralela à reta BC;
• z é a medida de , pois as retas r e a reta BC são paralelas, e e são ângulos alternos internos.
= 180º.+ +
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Relação que envolve as medidas dos ângulos internos e externos de um triângulo
180º
Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
180º+ +
+ x =
x = +
y = + z = +
=
onde x é a medida do ângulo externo, e esão ângulos internos não adjacentes a ele.
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Tomamos dois pontos na região limitada pelos polígonos:X e Y no polígono ABCDE M e N no polígono PQRST
Polígonos convexos e polígonos não convexosPolígonos
O segmento de reta XY, independentemente das posições dos pontos X e Y, sempre estará inteiramente contido na região limitada pelo polígono ABCDE. Quando isso ocorre chamamos o polígono de convexo.
No polígono PQRST é possível encontrar dois pontos (M e N) tal que o segmento de reta MN não esteja inteiramente contido na região limitada por esse polígono. Por isso ele é chamado de polígono não convexo.
A
B
C
D E
XY
P Q
R
S
T
M
N
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Elementos de um polígono convexo
Em qualquer polígono convexo, o número de vértices, de lados, de ângulos internos e ângulos externos é o mesmo.
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo (Si)
Si = 180º = 1 . 180º
Número de lados menos 2 (3 – 2)
Si = 2 . 180º = 360º
Número de lados menos 2 (4 – 2)
Si = 3 . 180º = 540º
Número de lados menos 2 (5 – 2)
Se um polígono convexo tem n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos (Si) é dada pela equação:
Si = (n – 2) . 180º
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
+ =
Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo (Se)
SeSi 5 . 180º
Si = (n – 2) . 180º
Si = (5 – 2) . 180º
Si = 540º
540º + Se = 900º540º – 540º + Se = 900º – 540º
Se = 360º
Em qualquer polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360º.
Exemplo+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Ângulos internos e ângulos externos de polígonos regulares
Indicamos por:
ai: medida de cada ângulo interno. ai = =
ae: medida de cada ângulo externo. ae = =
Um polígono convexo é um polígono regular quando tem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos internos com a mesma medida.
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Números de diagonais de um polígono convexo
d =
número de diagonais que partem de cada vértice
número de lados
Dividimos por 2 para nãocontar cada diagonal 2 vezes.
A
B
CD
E
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Elementos de um triângulo
Vértices: pontos A, B e C.
Ampliando o estudo dos triângulos
Ângulos internos: , e .
Lados: segmentos de reta , e .
Ângulos externos: , e .
O lado oposto ao ângulo é o lado .
O ângulo é o ângulo oposto ao lado .
Os ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo são os ângulos e .
Os ângulos e são adjacentes suplementares .
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Condição de existência de um triângulo
Desigualdade triangular
Em todo triângulo, a medida de um lado é sempre menor do que a somadas medidas dos outros dois lados.
a < b + c
b < a + c
c < a + ba
bc
3 cm
4 cm
2 cm
4 cm
2 cm 1,5 cm
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Relação entre lados e ângulos de um triângulo
Observe que ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e ao menor ângulo opõe-se o menor lado.
>90º >60º 30º
Em todo triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado e, reciprocamente, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Da mesma forma, ao menor ângulo opõe-se o menor lado e, reciprocamente, ao menor lado opõe-se o menor ângulo.
> >
A
BC
60º
30º
Lados opostos
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Figuras congruentes e congruência de triângulosFiguras congruentes
Congruência de triângulos
A congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a congruência dos dois triângulos.
A
B
C
DP
Q40º
40º
A B
C
P Q
R
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Casos de congruência de triângulos1o caso: LAL (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes.
A
B
C E
F
G
Então:
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
2o caso: LLL (lado, lado, lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.
A B
C
EF
G
Então:
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
3o caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado eos dois ângulos adjacentes a ele respectivamente congruentes.
A B
C
E F
G
Então:
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
4o caso: LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ânguloadjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
A
B
C
E F
G
Então:
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Mediana, bissetriz e altura de um triânguloMediana de um triângulo
Mediana de um triângulo é o segmento de reta que tem como extremidades um vértice do triângulo e o ponto médio do lado aposto a esse vértice.
Baricentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três medianas cruzam-se em um mesmo ponto, chamado baricentro do triângulo.
O baricentro de qualquer triângulo divide a mediana na razão de 1 para 2.
A
B CM
F
G HM
NL B
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Bissetriz de um triângulo
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo interno ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice.
Incentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três bissetrizes cruzam-seem um mesmo ponto, chamado incentro do triângulo.
A
B CS
P
Q R
I
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Altura de um triângulo
Altura de um triângulo é o segmento de reta com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos.
A
B CH
E
F G
P
QR
X
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Ortocentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três alturas ou seus prolongamentos cruzam-se em um mesmo ponto, chamado de ortocentro do triângulo.
A
B CH
PR
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Mediatriz de um segmento de reta e circuncentro de um triângulo
Mediatriz de um segmento de reta Circuncentro de um triângulo
• m é a mediatriz de
FC
B
mediatriz de
mediatriz de
mediatriz de
P
C
BAM
m
• e é reto
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Paralelogramos
Todo quadrilátero cujos ladosopostos são paralelos.
Propriedades dos paralelogramos
1a propriedade: Em todo paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes e dois ângulos não opostos são suplementares.
Ampliando o estudo dos quadriláteros
BA
C D// e //
BA
CD
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
=
=
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
2a propriedade: Em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Pelo caso ALA, concluímos que:
3a propriedade: Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
Ou seja, o ponto O, cruzamento das diagonais,é o ponto médio das duas diagonais.
(medidas de ângulos alternos internos)=
(medidas de ângulos alternos internos)=
. Logo, e .
(caso ALA)
Então:
e
(lado comum)
Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Propriedade dos retângulosAs diagonais de um retângulo são congruentes.
As diagonais de um retângulo são congruentes e cortam-se ao meio.
A B
CD
A
D C
B
CD
(retos)
(lados opostos de um retângulo)
(lado comum)
Pelo caso LAL, temos: .
Portanto:
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Propriedade dos losangos
As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango.
Como então e+ = 180º, = 90º.= 90º
Logo, e são perpendiculares entre si.
Então, está sobre as bissetrizes de e de .
Pelo caso LLL, temos e daí temos = .
Pelo caso LLL, temos e daí temos e .
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Trapézios
Quadriláteros que têmapenas dois lados paralelos.
: base menor
: base maior//
Tipos de trapézio
Trapézio retângulo é aquele que tem doisângulos internos retos.
Trapézio isósceles é aquele que tem dois lados não paralelos congruentes, isto é, de medidas iguais.
A B
CDP Q
RS
A B
CD
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Base média de um trapézio
Em todo trapézio, a medida da base média é igual à medida aritmética das medidas das bases maior e menor do trapézio.
MN =
A B
CD
M N