Analyse de la covariance
ANCOVA
Exemple
Habilité Score Habilité Score Habilité Score5 12 1 7 7 94 13 3 11 7 125 11 5 13 9 115 14 4 13 10 146 16 5 16 9 178 15 6 15 12 169 17 6 16 11 17
10 18 7 17 12 1811 19 8 18 13 21
7 15 5 14 10 15
Méthode 1 Méthode 2 Méthode 3
Modèle général linéaire de l’ANCOVA
[valeur observée] = grande moyenne + [effet du traitement] + [effet de la variable covariée] + [erreur]
ou:Xij = µ + i + ß(Yij-Y.) + eij
Hypothèse nulle µ*1 = µ*2 = µ*3 = µ* à la place de
µ1 = µ2 = µ3 = µ
La répartition des variances
Pour X:
Totale (x )SC 2
ijx X
Intra(x )SC 2
ijx jX
Inter(x )SC n
2
jX X
Pour Y:
Intra(y )SC 2
ijy jY
Totale(y )SC 2
ijy Y
Inter(Y )SC n
2
jY Y
Pour la régression de X et Y
Totale (xy )SP ijY Y ijX X
Intra(xy )SP ijY
iY ijX jX
Inter(xy )SP njY Y
jX X
Les variances ajustées
Source SC ajustées dfSC moyennes
ajustéesF df
Ajustéeinter
SCInter(aj) = SCTotale(aj) –SCIntra(aj)
k-1MSInter(aj) =SCInter(aj)/(k-1)
MSInter(aj/MSIntra(aj)
(k-1);(kn-k-1)
Ajustéeintra
SCIntra(aj) = SCIntra(y) –(SPIntra(xy)
2/SCIntra(x))kn-k-1
MSIntra(aj) =SCIntra(aj)/(kn-k-1)
Ajustéetotale
SCTotale(aj) = SCTotale(y) –(SPTotale(xy)
2/SCTotale(x))kn-2
Exemple de calculSommes des carrées X (pretest)
SCTotale=(5 - 7.333)2 + (4 - 7.333)2 +. . .+ 13 - 7.333)2 = 240 SCInter= (9)[(7 - 7.333)2 + (5 - 7.333)2 + (10 - 7.333)2] = 114SCIntra=(5 - 7)2 + (4 - 7)2 +. . .+ (13 - 10)2 = 126
Sommes des produits XYSCTotale= (5 - 7.33)(12 - 14.667) + (4 - 7.333)(13 - 14.667) +. . . + (13 - 7.333)(21 - 14.667) = 184SCInter=(9)[(7 - 7.333)(15 - 14.667) + (5 - 7.333)(14 - 14.667) + (10 - 7.333)(15 - 14.667)] = 21SCIntra=(5 - 7)(12 - 15) + (4 - 7)(13 - 15) +. . . + (13 - 10)(21 - 15) = 163
SCTotale =(12 - 14.667)2 + (13 - 14..667)2 +. . .+ (21 - 14.667)2 = 276SCInter= (9)[(15 - 14.667)2 + (14 - 14.667)2 + (15 - 14.667)2] = 6SCIntra=(12 - 15)2 + (13 - 15)2 +. . .+ (21 - 15)2 = 270
Sommes des carrées Y (posttest)
Sommes des carrées ajustées
Source SC ajustées df SC moyennes
ajustées F df
Ajustée inter
SCInter(aj) = 134.93-59.13=75.80
3-1=2
MSInter(aj) = 37.9 37.9/2.57=14.75 2;23
Ajustée intra
SCIntra(aj) = 270-(1632/126) = 59.13
27-3-1=23
MSIntra(aj) = 2.57
Ajustée totale
SCTotale(aj) = 276-(1842/240)=134.93
27-2=25
SPSS
Moyennes ajustées
Postulats
Indépendance des observations Homogénéité de la variance Normalité dans la population Homogénéité des pentes de régression
Homogénéité des pentes de régression
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12 14
Vérification de l’homogénéité des pentes de régression
Médiation
Sources d’association entre deux ou plusieurs variables
Association
Effets causaux
Effets non causaux
Effets directs
Effets indirects
Anteced. partagées
Ass. non analysées
Modèle de médiation
Variable indépendante
Variable dépendante
Variable médiatrice
’
Effet direct = ’ Effet indirect =
Effet total = ’+
Il y a médiation quand … (Baron & Kenny, 1986) L’effet direct de la variable indépendante sur
la variable dépendante (’) est significatif. Le chemin de la VI à la variable médiatrice ()
est significatif. Le chemin de la variable médiatrice à la VD ()
est significatif. Il y a médiation totale quand:
– Après contrôle de la variable médiatrice l’effet directe de la VI sur la VD (’) devient non significatif.
Exemple
Sexe del’acteur1-h, 0-f
Dispositionperçu de
montré de lacolère
Domianceperçu
‘=.42
=.42=.28
Effet direct = ’=.42 Effet indirect =
Effet après contrÔle de la variable médiatrice: .30
Vérification du chemin ab
Test l’hypothèse que ab = 0 de Goodman (1960)
avec– a le coefficient non standardisé de la régression de la VM sur la VI– b le coefficient non standardisé de la régression de la VD sur la VM
(en contrÔlant pour la VI)– sa erreur type de a = a/ta
– sb erreur type de b = b/tb
Site avec calculatrice pour le test: http:/www.psych.ku.edu/preacher/sobel/sobel.htm.
Z ab
2
b a
2
s 2
a b
2
s a
2
s b
2
s
Exemple SPSS
Calcul de ’
Calcul de
a = .41, sa = .164
Calcul de
b = .40, sb = .096Effet apès contrÔle de la variable médiatrice: .30
Test de Goodman
b = .40 sb = .096 a = .41 sa = .164
Z ab
2
b a
2
s 2
a b
2
s a
2
s b
2
s
Z .16
.0062.0997; p .036
Ressources
Site web de Kristopher Preacher– http://www.people.ku.edu/~preacher/sobel/sobel.htm
Site web de David Kenny– http://davidakenny.net/cm/mediate.htm
MacKinnon, D. P., Lockwood, C. M., Hoffman, J. M., West, S. G., & Sheets, V. (2002). A comparison of methods to test mediation and other intervening variable effects. Psychological Methods, 7, 83-104.
Judd, C. M., Kenny, D. A., & McClelland, G. H. (2001). Estimating and testing mediation and moderation in within - subject designs. Psychological Methods, 6, 115-134.