Aspectos estad́ısticos y matemáticos de los problemas inversos 76/403
Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de concentraciones de CO2 y temperatura global
(Problema prototipo sin ley f́ısica de donde derivar un modelo matemático)
Planteamiento del problema.
• El calentamiento global está llegando a ser un serio problema. Un incremento en latemperatura global puede causar el derretimiento de galciares, el achicamiento del Ártico yque se eleve el nivel del mar a escala mundial. Cambios en la cantidad y en los patronesde precipitación pluvial, pueden resultar en inundaciones y seqúıas. Puede haber cambiosen la frecuencia e intensidad de eventos de clima extremos. Por lo anterior, es claramenterelevante entender el calentamiento global de forma cuantitativa. En particular, necesitamosde modelos matemáticos que expliquen el impacto de los humanos en el calentamientoglobal; por ejemplo, como consecuencia de las emisiones de gas invernadero.
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de concentraciones de CO2 y temperatura global
1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6Temperatura anomala global
tiempo
Gra
dos
Cel
sius
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020310
320
330
340
350
360
370
380
390
400Concentraciones de CO2 ppm
tiempoCO
2 pp
m
Figura 15: Ilustración del calentamiento global. (a) Datos de temperatura global anómala (consisten dediferencias anuales de 1951 a 2011) están dadas en grados Celsius (Rayner, et al 2003; Brohan, et al 2006); (b)
Datos de Mauna Loa (Tans, 2008) de concentraciones atmosféricas de CO2 dadas en ppmv (partes por millón por
volumen).
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de concentración de CO2
• A partir de la gráfica de los datos se puede sugerir que la tendencia de incremento del CO2se desv́ıa poco de una relación lineal.
• Proponemos el siguiente modelo básico para cuantificar, con la función S, por cuánto nosdeviamos
CO2 = CO2(t0) + S(t)(t � t0),
donde valores iniciales son t0 = 1959 y CO2(t0) = 316 ppmv.
• La función “pendiente”, S(t), la podemos despejar de la fórmula:
S(t) =CO2(t) � CO2(t0)
t � t0,
lo que nos permite calcularla a partir de los datos.
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de concentración de CO2
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5Concentraciones de CO2 ppmv modificadas
tiempo
CO2
ppm
v m
odific
adas
Figura 16: Datos de concentración de CO2 transformados; es decir, la función pendiente S.
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de concentración de CO2
• Por lo anterior, la función S(t) se puede escribir mediante la relación lineal
S(t) = 0.7
✓1 +
t � t0
47
◆.
• Por lo que, combinando ambas relaciones, se obtiene un modelo cuadrático de la tasa decambio de las concentraciones de CO2:
CO2(t) = 316 + 0.7
✓1 +
t � 1959
47
◆(t � 1959).
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de concentración de CO2
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020310
320
330
340
350
360
370
380
390
400Concentraciones de CO2 ppm
tiempo
CO2
ppm
Figura 17: Datos y modelo de concentración de CO2 en función del tiempo.
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de concentración de CO2
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 20200
0.5
1
1.5
2
2.5
3Diferencia entre datos y modelo
tiempo
Figura 18: Error de ajuste entre el modelo y los datos en valores absolutos.
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de incremento de temperatura global
• De la gráfica de los datos de incremento de la temperatura global, se puede notar laaleatoriedad significativa de los datos.
• Lo anterior nos podŕıa hacer pensar que se trata de datos dispersos alrededor de un valormedio, cuyas tendencia es crecer conforme transcurre el tiempo.
• Consideremos promedios de estas mediciones, a fin de empezar a tratar con su aleatoriedad.
1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6Temperatura anomala global
tiempo
Gra
dos
Cel
sius
1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 19: Datos originales y un muestreo de 5 años.
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de incremento de temperatura global
1850 1900 1950 2000−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
1850 1900 1950 2000−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
Figura 20: Muestreos de 10 y 20 años.
• Por ejemplo, el promedio de 5 años al tiempo t = 1852, se obtiene sumando las temperaturasde 1850 a 1854 y dividiendo por 5.
• El promedio de 20 años muestra la “reducción” de la aleatoriedad mediante este procedi-miento.
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de incremento de temperatura global
1850 1900 1950 2000−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
Figura 21: Muestreo de 20 años.
• Para obtener el modelo de temperaturas anómalas globales, usaremos los datos promediados,y por lo tanto reducidos, de 20 años.
• Observemos que, con estos datos, las variaciones de temperatura son, aproximadamente,constantes hasta el año 1920.
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de incremento de temperatura global
• Supongamos que es suficiente suponer que tal valor constante es �T = -0.35.
• Para tiempos posteriores los valores de temperatura se incrementan. Supongamos que lohacen en proporción a una potencia del tiempo:
�T (t) = �0.35 +
✓t � 1840
a
◆b,
en donde debemos determinar 2 parámetros, a y b.
• Recordemos que usamos la notación �T en vez de T , porque se trata de una diferencia detemperaturas respecto a una de referencia. Ver http://www.cru.uea.ac.uk/data
• La referencia 1840 corresponde con la suposición de que la temperatura no baja de �T =-0.35, para tiempos anteriores a 1840.
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de incremento de temperatura global
• El siguiente paso es determinar los valores de los parámetros a y b.
• Para lo cual realizamos la transformación simple sobre la expresión
ln(�T + 0.35) = b ln
✓t � 1840
a
◆.
• Lo mismo graficamos los datos transformados: ln(�T + 0.35) versus ln(t � 1840).
1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6Temperatura anomala global
tiempo
Gra
dos
Cel
sius
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de incremento de temperatura global
• La simplificación que hemos hecho, “reduciendo” la información promediando valores, qui-siéramos que nos funcionara bien, en particular, para años posteriores a 1920. Por lo quesólo tomamos esos útlimos 4 datos en la regresión.
• Del ajuste por ḿınimos cuadrados obtenemos los siguiente valore de parámetros:
ln(�T + 0.35) = 4 ln
✓t � 1840
178
◆,
lo que nos da un buen ajuste sobre los datos, como se observa en la siguiente gráfica:
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de incremento de temperatura global
Según el modelo �T (t) = �0.35 +�t�1840178
�4, considerando datos promediados.
1800 1850 1900 1950 2000 2050−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
tiempo
temperatura
1850 1900 1950 2000 2050−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
tiempo
norm
aliz
ed re
sidu
al
Figura 22: Ajuste y residuos: ptrue = (-0.35, 178, 4)
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Modelo de incremento de temperatura global
Según el modelo �T (t) = �0.3572 +�
t�1840190.3874
�3.0010, considerando todos los datos.
1800 1850 1900 1950 2000 2050−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
tiempo
temperatura
1850 1900 1950 2000 2050−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
tiempo
norm
aliz
ed re
sidu
al
Figura 23: Ajuste y residuos: pbest = (-0.3572, 190.3874, 3.0010)
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Análisis determinista de observaciones experimentales
• El cómputo anterior de el valor de los parámetros, se llevó a cabo mediante el siguientecódigo en MATLAB:
1 %% Sc r i p t que i l u s t r a l e c t u r a de dato s y su d e s p l i e g u e g r a f i c o .2 % ht tp : //www. c ru . uea . ac . uk3 c l e a r a l l4 c l o s e a l l5 c l c67 % Se importan l o s da tos ’ h ad c r u t 3 vg l . t x t ’8 l oad . . . / h ad c r u t 3 vg l . t x t9 % Se a s i gnan v a r i a b l e s a l a s columnas de l o s da to s :
10 g l o b a l X ;11 g l o b a l Y ;12 g l o b a l SIGMA ;13 tempo = hadc r u t 3 vg l ( : , 1 ) ;14 aT = hadc r u t 3 v g l ( : , 1 4 ) ;1516 %% Se d e s p l i e g a n en un g r a f i c o ambas v a r i a b l e s :17 s e t (0 , ’ De fau l tF i gu r eWindowSty l e ’ , ’ docked ’ )18 X = tempo ;19 % y t r u e = aT ;20 p t r u e = [ �0.35; 1 7 8 . 0 ; 4 . 0 ] ;21 y t r u e = rawfunc (X, p t r u e ) ;22 SIGMA = 0.01⇤ ones ( s i z e ( y t r u e ) ) ;23 Y = aT ; % y t r u e + 0.0; %1⇤ randn ( s i z e ( y t r u e ) ) ;2425 %% Ahora , procedemos a r e s o l v e r e l prob lema de m in im i z a c i on26 % usando N puntos i n i c i a l e s a l e a t o r i o s .
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27 %28 N = 12 ;29 dimP = l e ng t h ( p t r u e ) ; % Numero de paramet ros30 models = z e r o s ( dimP ,N) ;31 c h i s q v a l s = z e r o s (N, 1 ) ;32 normg = z e r o s (N, 1 ) ;33 i t e r c n t s = z e r o s (N, 1 ) ;34 f o r i = 1 :N35 p0 = [�1.0⇤(1� rand ) ; 200⇤(1� rand ) ; 10.0⇤(1� rand ) ] ;36 [ pest , i t e r c n t s ( i ) ] = lm ( ’ fun ’ , ’ j a c ’ , p0 , 1 . 0 e�14 ,500) ;37 models ( : , i ) = pe s t ;38 c h i s q v a l s ( i ) = ch i 2 ( pest , X , Y, SIGMA) ;39 normg ( i ) = norm ( j a c ( p e s t ) ’⇤ fun ( p e s t ) ) ;40 end4142 %% Hal lamos l o s me jo r e s parametros , ba jo e l43 % c r i t e r i o de minimos cuadrados , segun l a44 % fun c i o n ’ lm ’ , y l a ma t r i z de c o v a r i a n z a .45 %46 pbes t = models ( : , 2 ) ;47 Jbe s t = j a c ( pbe s t ) ;48 covbe s t = i n v ( Jbes t ’⇤ Jbe s t ) ;49 c o r b e s t = z e r o s ( dimP , dimP) ;50 f o r i =1:dimP51 f o r j =1:dimP52 c o r b e s t ( i , j ) = covbe s t ( i , j ) /( s q r t ( covbe s t ( i , i )⇤ covbe s t ( j , j ) ) ) ;53 end54 end55 % f p r i n t f ( ’ The c o r r e l a t i o n mat r i x i s \n ’ ) ;56 c o r b e s t ;57 %5859 %% Gr a f i c a d e l modelo de a j u s t e y l o s da tos .60 %
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61 y f i t = rawfunc (X, pbe s t ) ;62 % y f i t = rawfunc (X, p t r u e ) ;63 f i g u r e (2 ) ;64 c l f ;65 book fon t s ;66 p l o t (X, y f i t , ’�� ’ , ’ L ineWidth ’ , 2 ) ;67 ho ld on ;6869 %% Bar ra s de e r r o r s igma .70 %71 e r r o r b a r (X,Y, SIGMA , ’ ko ’ ) ;72 x l a b e l ( ’ t iempo ’ ) ;73 y l a b e l ( ’ t empe ra tu ra ’ ) ;74 %p r i n t �dpdf n l r e g f i t . pd f75 f i g u r e (3 ) ;76 c l f ;77 book fon t s78 % p l o t (X, fun ( p t r u e ) , ’ ko ’ ) ;79 p l o t (X, fun ( pbe s t ) , ’ ko ’ ) ;80 % a x i s ( [ 0 7 �2 2 ] ) ;81 x l a b e l ( ’ t iempo ’ ) ;82 y l a b e l ( ’ no rma l i z ed r e s i d u a l ’ ) ;83 %p r i n t �dpdf r e s i d u a l s . pdf
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Análisis determinista de observaciones experimentales
• Se emplearon las siguientes funciones en MATLAB:
1 %2 % f=fun ( p )3 %4 f u n c t i o n f = fun ( p )5 g l o b a l X ;6 g l o b a l Y ;7 g l o b a l SIGMA ;8 f = z e r o s ( l e n g t h (Y) ,1 ) ;9 f = ( rawfunc (X, p ) � Y) . /SIGMA ;
1 %2 % computes y = p (1) + power ( ( x � 1840) /p (2 ) , p (3 ) ) ;3 %4 % y=rawfunc ( x , p )5 %6 f u n c t i o n y = rawfunc ( x , p )7 y = p (1) + power ( ( x � 1840) /p (2 ) , p (3 ) ) ;
1 %2 % J=j a c ( p )3 %4 f u n c t i o n J=j a c ( p )5 g l o b a l X ;6 g l o b a l Y ;
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Aspectos estad́ısticos y matemáticos de los problemas inversos 95/403
7 g l o b a l SIGMA ;8 m=l eng t h ( p ) ;9 n=l e n g t h (X) ;
10 J=z e r o s (m, n ) ;11 f o r j =1:n12 J ( : , j ) =([ 1 . 0 ; �(p (3 ) . / p (2 ) ) .⇤ ( (X( j )�1840) . / p (2 ) ) . ˆ p (3 ) ; . . .13 ( (X( j )�1840)/p (2 ) ) . ˆ p (3 ) .⇤ l o g ( p (3 ) ) ] ) /SIGMA( j ) ;14 end15 J=J ’ ;
1 [ x s t a r , i t e r ]=lm ( func , j ac , x0 , t o l , max i t e r )23 Use the Levenberg�Marquardt a l g o r i t hm to min imize45 f ( x )=sum( F i ( x ) ˆ2)67 func name o f the f u n c t i o n F( x )8 j a c name o f the Jacob i an f u n c t i o n J ( x )9 x0 i n i t i a l gue s s
10 t o l s t opp i n g t o l e r a n c e11 max i t e r maximum number o f i t e r a t i o n s a l l owed1213 Retu rns14 x s t a r b e s t s o l u t i o n found .15 i t e r I t e r a t i o n count .
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Análisis determinista de observaciones experimentales
• Empleando los modelos obtenidos
CO2(t) = 316 + 0.7
✓1 +
t � 1959
47
◆(t � 1959),
�T (t) = �0.35 +
✓t � 1840
178
◆4,
podemos hacer predicciones.
• De acuerdo con la fórmula de concentración del CO2, al final del siglo XXI (t = 2100), laconcentración será de 710.8 ppmv.
• ¡Este valor es 154 % arriba del que se teńıa en la era preindustrial, de 280 ppmv!
• Esta fórmula también muestra que las emisiones por año de CO2 se incrementarán. En elaño 2000, la tasa de incremento de la concentración de CO2 (la diferencia de emisiones deCO2 de 2000 a 2001) fue de 2ppmv por año.
• En 2010, la tasa de incremento será de 2.3 ppmv por año.
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Aspectos estad́ısticos y matemáticos de los problemas inversos 97/403
Análisis determinista de observaciones experimentales
• De acuerdo con la fórmula de incremento anómalo de la temperatura, habremos de esperarun incremento global de 4.2 grados cent́ıgrados al final de este siglo, lo que significa unincremento de 4.55 grados, comparado con las temperaturas de 1840.
• Obviamente, tales incrementos tendŕıan consecuencias dramáticas. Estas predicciones sonútiles para comprender la dimensión del problema, pero no explican de manera expĺıcitala relación entre las observaciones del incremento anómalo de la temperatura global y losincrementos de las concentraciones de CO2, lo que ayudaŕıa a enfocar el problema de mejormanera.
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Aspectos estad́ısticos y matemáticos de los problemas inversos 98/403
Análisis determinista de observaciones experimentales
Relación �T � CO2
• Para observar con claridad los efectos del incremento de las concentraciones de CO2 sobrelos incrementos en la temperatura global, vamos a combinar ambos modelos.
• Para ello, observemos que el el tiempo t (años) se puede expresar en términos de latemperatura �T de la siguiente forma:
t = 1840 + 178(�T + 0.35)1/4,
y substituimos en la fórmula de concentraciones del CO2:
CO2 = 316 + 0.7
1 +
178(�T + 0.35)1/4
47
!⇣178(�T + 0.35)1/4 � 119
⌘,
de donde podemos despejar a �T .
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Relación �T � CO2
La fórmula �T (CO2) se lee:
�T = �0.35 +
"119
178+
47
329
r1 +
40
329(CO2 � 316) � 1
!#4.
320 330 340 350 360 370 380 390 400
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Temperatura en funcion de CO2
CO2
∆ T
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Análisis determinista de observaciones experimentales
Relación �T � CO2
320 330 340 350 360 370 380 390 400
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
CO2
∆ T
Temperatura en funcion de CO2
Relacion ∆ T vs CO2Regresion lineal
Figura 24: Regresión lineal sobre el modelo �T vs CO2: �Tlineal = 0.0084CO2 � 2.8023.
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