ACTUARIAT
HEM
Master 1
Année académique 2016/2017
Intervenant: Yasmin LAHRACH / ActuaireCours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach
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PLAN
Introduction
Première partie: Actuariat Vie
A. Cadre théorique général
B. Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque
C. Estimation des provisions mathématiques
Deuxième partie : Actuariat non vie
A. Cadre théorique général
B. Modélisation de la fréquence du sinistre
C. Modélisation du coût individuel du sinistre
D. Estimation des provisions pour sinistres à payer Cours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach
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PLAN
Introduction
Première partie: Actuariat Vie
A. Cadre théorique général
B. Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque
C. Estimation des provisions mathématiques
Deuxième partie : Actuariat non vie
A. Cadre théorique général
B. Modélisation de la fréquence du sinistre
C. Modélisation du coût individuel du sinistre
D. Estimation des provisions pour sinistres à payer Cours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach
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IntroductionA qui s’adresse l’actuariat?
L'actuariat s'adresse à deux catégories de professionnels :
1- Les actuaires professionnels.
2- Ceux qui, sans souhaiter devenir actuaires, ont besoin de comprendre le langage et la façon de raisonner des actuaires, afin de pouvoir dialoguer avec eux de manière professionnelle.
Cette catégorie est large; elle comprend :
Les financiers, Les commerciaux, les comptables, les juristes, les informaticiens, Les auditeurs, Les dirigeants.
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IntroductionDéfinition de l’actuariat
Un ensemble de méthodes statistiques permettant de modéliser et gérer le risque au sein des compagnies d’assurance
Environnement: Compagnies d’assurance Objectif: Modélisation et gestion du risque Outil: Méthodes statistiques
De manière simple , l’actuariat peut être définie comme:
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IntroductionEnvironnement de l’actuaire
Définition d’une compagnie d’assurance:
Une entreprise qui s’engage auprès de son client « l’assuré » de lui fournir une prestation lors de la survenance d’un événement lié à un risque donné, en
contrepartie d’un montant fixe payé par l’assuré
Deux flux financiersAssuré --> Assurance: Payement d’une prime au début du contrat
Flux financier certainAssurance -->Assuré: Prestation si sinistre à sa date de survenance
Flux Financier incertain
• Prime: montant payé par l’assuré• Sinistre: survenance du risque
Cycle de production
inversé
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IntroductionEnvironnement de l’actuaire
Cycle de production inversé
Constatation des charges
Vente à un prix fixe
Collecte des primes Payement des
sinistres
TempsCycle de production classique
Cycle de production en assurance
Donc : Besoin d’estimer le coût exact du risque couvert• Si la prime est sous-estimée : Pertes subies par l’assureur• Si la prime est surestimée : Perte de parts de marché à cause de la concurrence.
Rôle de l’actuaire: Estimation des flux futurs incertainsCours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach
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IntroductionRôle de l’actuaire
Définition de l’actuaire selon la SOA , institution à but éducatif
L’actuaire est reconnu à titre de principal professionnel dans la modélisation et la gestion du risque financier et des événements contingents
Les actuaires sont des experts pour évaluer la probabilité d’événements futurs, concevoir de façon créative des mesures pour réduire la probabilité d’événements indésirables, et amenuiser l’impact des événements indésirables qui surviennent…. Les actuaires sont des professionnels de premier plan pour trouver des façons de gérer le risque
Définition de l’actuaire selon la CSA: Casualty Actuarial Society
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IntroductionRôle de l’actuaire
Le titre d’actuaire est organisé par un ordre : l’AAI (Association ActuarielleInternationale). Cet ordre mondial a des déclinaisons dans les pays où il areconnu une ou plusieurs structures affiliées qui respectent un standardqualité. Ce sont ces structures qui, au niveau national, dans l’ensemble despays concernés, délivrent le titre d’actuaire, en respectant les critères imposéspar l’AAI.
Dans les pays anglo-saxons par exemple, qui sont les pionniers et les leadersen matière d’actuariat, on peut citer l’Institut of Actuaries (Grande Bretagne),la Society of Actuaries (USA) et la Casualty Actuarial Society(USA).
En Afrique, seules quatre structures sont ainsi reconnues par l’AAI : l’EgyptianSociety of Actuaries, l’Association Marocaine des Actuaires (AMA), l’Institutdes Actuaires de Côte d’Ivoire et l’Actuarial Society of South Africa.
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IntroductionRôle de l’actuaire
La durée de vie du contrat est généralement plus longue que l’exercice comptable
Les engagements payés au cours d’une année ne correspondent pas forcément auxprimes payés dans la même année.
Ex : Pour une assurance décès contracté en 2000, le client s’acquitte de la prime à cettedate, il décède en 2015, la prime a été bien calculée mais est ce que l’assurance dispose en2015 du montant nécessaire à verser au bénéficiaire? Si non elle puise dans ses fonds!
De ce fait, la gestion de risque doit tenir compte de deux éléments:
L’entreprise a une dette envers ses assurés, qui représente une partie des primes.
L’entreprise doit générer du cash pour ses actionnaires.
La modélisation du risque : EvaluerLa gestion du risque: Réduire
Deux rôles:
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Introduction Le risque en actuariat?
Financier : On ne s’assure pas contre le risque mais contre le dommage
C’est l’impact financier lors de la survenance du risque qui est transféré.
Propriétés du risque actuariel;
Aléatoire : incertain, dont le résultat peut prendre plusieurs valeurs, défini surun ensemble d’éventualités
Inexistant : La survenance du risque ne doit pas être antérieure à la conclusiondu contrat d’assurance
Redouté : l’indépendance de la volonté de l’assuréL’assurance n’accepte pas d’assurer un risque dont l’avènement implique laparticipation de l’assuré soit par préméditation soit par négligence avérée.C’est le principe des exclusions dans les contrats d’assurance
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Introduction Le risque en actuariat?
La classification d’usage au sein des compagnies d’assurance est la suivante :
Risques pesant sur les personnes : Assurances de Personnes
Le contrat couvre les personnes physiques contre :les accidents corporels, l'invalidité, la maladie, le décès.
Risques pesant sur le patrimoine : assurances dommages/IARD
Le contrat couvre les biens et les responsabilités des personnes assurées comme les contrats assurance automobile, Incendie, tous risques chantier, Assurance multirisque habitation, Assurance maritime,…
Types du risque actuariel;
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Introduction Le risque en actuariat?
Types du risque actuariel;
Produits d’assurance
AssuranceIncendie
AssuranceAutomobile
Assurance en cas de décès
Assurance en cas de vie
MaladieAssuranceHabitation
Assurance risque chantier
Accidents corporels
…..
• Date incertaine• Montant fixe
• Date incertaine• Montant fixe
• Date incertaine• Montant incertain
• Date incertaine• Montant incertain
• Date incertaine• Montant incertain
• Date incertaine• Montant incertain
• Date incertaine• Montant incertain
• Date incertaine• Montant incertain
Assurance de Personnes Assurance Dommages
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Introduction Distinction Actuariat vie / Actuariat non vie
Classification par spécificité d’aléa
AssuranceIncendie
AssuranceAutomobile
Assurance en cas de décès
Assurance en cas de vie
MaladieAssuranceHabitation
Assurance risque chantier
Accidents corporels
Actuariat vie Actuariat non vie
Aléa viagerAléa de taux
Échéances longuesVariance faible
…..
Aléa de chargeAléa de fréquenceÉchéances courtesGrande variance
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Introduction Distinction Actuariat vie / Actuariat non vie
Outils et prérequis
Actuariat vie Actuariat non vie
Outils • Tables de mortalité• Fonction
d’actualisation/capitalisation• Formules actuarielles
Prérequis• Probabilités• Mathématiques financières
élémentaires
PrérequisLois de probabilitésRégression linéaire
Outils• Modélisation économétrique• Analyse de données• Logiciels statistiques
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PLAN
Introduction
Première partie: Actuariat Vie
Chapitre 1: Cadre théorique général
a. Risque de mortalité
b. Prime de risque
c. Commutations
Chapitre 2: Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque
Chapitre 3: Estimation des provisions mathématiques
Deuxième partie : Actuariat non vieCours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique général/ Risque de mortalité
T : la variable aléatoire continue de l’âge au décès, représentant la durée de vie d’un individu.
FT : Fonction de répartition associée à T
FT(x) =Pr[T ≤ x] ; x ≥0 est la probabilité que la durée de vie d’un individu soit inférieure ou égale à l’âge x
TX : variable aléatoire représentant la durée de vie restante d’un individu âgé de x
Relation entre T et TX :
TX = T-x | T>x
Probabilités de décès et de survie
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique général/ Risque de mortalité
Notations
La probabilité qu’un individu d’âge x décède avant t
tqx =Pr[Tx ≤ t] = Pr[T ≤ x+t | T>x ]
1qx= qx
La probabilité de survie d’un individu d’âge x au-delà d’une durée t est égale à :
tpx = Pr[TX > t] = 1- Pr[TX≤ t]= 1- tqx
1px= px
La probabilité de décès d’un individu d’âge x entre t et t’
t|t’qx = Pr[t<TX≤ t+ t’]= Pr[t+x< T ≤ x+t+ t’| T>x ]
Probabilités de décès et de survie
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
Taux instantané de mortalité :
La mortalité est un phénomène continu dans le temps
Individu à l’âge x et supposé vivant à la date t (donc à l’âge x+t), on cherche la probabilité qu’il décède dans l’intervalle de temps t ;t +∆t.
Pr[ t<TX≤ t +∆t | Tx>t ]
Probabilités de décès et de survie
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
la probabilité qu’un individu d’âge x survive à l’âge x+t+ t’ est la probabilité qu’il survive à l’âge x+t puis à l’âge x+t+ t’.
Probabilités de décès et de survie
t+t’px= tpx . t’px+t
tpx . px+tt+1px =px . tpx+1t+1px =
De manière générale:
npx= px . px+1 . px+2 ……….. px+n-1
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
la probabilité qu’un individu d’âge x décède avant l’âge x+t+1 est la probabilité qu’ildécède avant x+1, ou bien qu’il survive à l’âge x+1 et décède avant l’âge x+1+t.
Probabilités de décès et de survie
t+1qx= 1qx +1px .tqx+1
De manière générale:
nqx= 1qx +1px .qx+1 +2px .qx+2 +n-1px .qx+n-1
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
Probabilités de décès et de survie
t|t’qx= tpx - t+t’px
t|t’qx= tpx . t’qx+t
t|t’qx= t+t’qx - tqx
la probabilité qu’il survive à l’âge x+t, mais non à l’âge x+t+ t’.
la probabilité qu’un individu d’âge x décède entre les âges x+t et x+t+ t’
la probabilité qu’il décède avant l’âge x+t+ t’, mais pas avant x+t.
la probabilité qu’un individu d’âge x décède entre les âges x+t et x+t+t’ est:
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
Exercice 1:
On suppose que les probabilités de survie d’une tête d’âge actuel 60 ans est:
à 63 ans 3p60 = 0,9502 et 5p60 = 0,9125 à 65 ans.
1- Quelle est la probabilité pour qu’une tête de 63 ans survive à 65 ans?
2- sachant que les probabilités annuelles de décès de cet individu sont:
q60=0, 0156
2q60=0,0323
Calculer sa probabilité de décès annuelle à l’âge 61 ans?
Probabilités de décès et de survie
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
Exercice 2
Pour le même individu: on a les probabilités annuelles de décès suivantes:
3|2q40=0, 0077
3p40 = 0,9907
2q43?
5q40?
Probabilités de décès et de survie
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
L’estimation des probabilités de décès se fait à travers de l’observation d’un ensemble d’individus du même âge sur plusieurs années (cohorte), on suit année après année le nombre de survivants
Notations :
Soit : la variable aléatoire X(t) définie comme suit
X(t)=1 si l’individu est vivant à la date t
X(t)= 0 si l’individu sinon
Donc :
E(X)= 1.tpx+0. tqx = tpx
Estimation des probabilités de décès et de survie
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
Notations :
lx : nombre d’individus de même âge observé sur plusieurs années
Lx+t: variable aléatoire, le nombre d’individus survivants à l’âge x+t
Lx+t= somme ( Xi(t)) i allant de 1 à lx
Donc E(Lx+t)= lx . tpx=lx+t
On a alors : tpx= lx+t/lx
Estimation des probabilités de décès et de survie
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
Exemple de table de mortalité
Table de mortalité
• La fonction l est positive et décroissante.• La table donne les valeurs de l pour des
âges entiers• l0= 100 000 par convention• ω: âge ultime : premier âge où il n’y a
plus de survivants• lω =0 • lx: nombre de survivants à l’âge x au sein
de la génération • dx= nombre de décès entre l’âge x et x+1
Age lx dx qx px
0 100 000 648 0,65% 99,35%
1 99 352 58 0,06% 99,94%
2 99 294 33 0,03% 99,97%
3 99 261 25 0,03% 99,97%
4 99 236 22 0,02% 99,98%
5 99 214 20 0,02% 99,98%
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
Formules utiles
• px = lx+1/lx : probabilité annuelle de survie
• dx= lx-lx+1 nombre de décès entre l’âge x et x+1
• qx=dx/lx : taux annuel de décès par âge
• npx = lx+n/lx : probabilité de survie de l’âge x à l’âge x+n
• nqx= (lx – lx+n) : probabilité de décès dans les n années (ayant l’âge x de
décéder avant l’âge x+n )
• n|qx =(lx+n – lx+n+1) : Probabilité de décès dans n années (ayant l’âge x de
décéder entre les âges x+n et x+n+1)
Table de mortalité
________lx
________lx
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
Exercice 1:
Compléter les tables suivantes:
Table de mortalité
Age lx dx
14 99 062
15 99 041 23
16
17 98 989
18 42
19 98 913 44
Age lx px
22 98 778 99,96%
23
24 98 689
25 99,95%
26 99,95%
27 98 537 99,98%
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
Exercice 2:
Table de mortalité
Age lx
0 100 000
1 99 352
10 99 129
40 97 534
70 84 440
71 83 251
calculer d70 :
calculer q70 :
calculer 30p40 :
calculer 30q40 :
calculer 30|q40 :
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
Définition : Moyenne à l’âge x du nombre d’années restant à vivre
ex= lx+1 + lx+2 + lx+2 …….. lω ex= 𝑡=1ω−𝑥
𝑡𝑝𝑥
lx
Espérance de vie abrégée : décès en début d’année
Espérance de vie complète : décès en milieu d’année ex=ex+1/2
exemple
Espérance de vie
0
TV 88-90 à 60 ans à 70 ans à 80 ans à 0 ans
Espérance de vie 23,50 15,80 8,12 80,20
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
les tables de mortalité brutes : résultant du recensement à un momentdonné
les tables de mortalité ajustées : table ajustée analytiquement
Différentes techniques existent :- Méthode de King et Hardy et variantes- Méthode des moindres carrés
les tables d’expérience : tables tenant compte de l’expérience d’un assureur
les tables de mortalité périodiques : suppose que la mortalité va rester stable dans le futur
les tables de mortalité prospectives : intègre une évolution future attendue de la mortalité, introduisant une amélioration progressive de la mortalité.
Types de table de mortalité
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité
En vigueur depuis 2006, tables de mortalité françaises qui remontent aux années 90
TD 88-90 : Tarification des engagements en cas de décès
TV 88-90 Tarification des engagements en cas de vie
Ce sont des tables de mortalité abrégées
Pertinence de ce choix ?
Impact d’une table de mortalité récente ?
Table de mortalité réglementaire
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Le montant que l’assurance aura à débourser si réalisation du risque assuré correspond à un flux futur.
Rappelons la notion de valeur actuelle:
Taux technique d’actualisation
La valeur actuelle est le montant qu’on doit investir aujourd’hui, pendant une durée n, à un taux t, afin de percevoir une somme S à la fin de l’investissement
S
(1+t)nVA=
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Taux technique d’actualisation
Le taux d’intérêt utilisé en assurance s’appelle le taux d’intérêt technique
Quel taux d’intérêt ?
Les contrats d’assurance sur la vie étant des contrats généralement delongue durée.
On choisira un taux d’intérêt technique de telle manière que le taux derendement des capitaux placés ne soit inférieur au taux technique.
Le taux technique est réglementaire.
Au Maroc, il est de 3,25%
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Valeur actuelle probable
Le versement d’un capital est tributaire de la réalisation du risque, décès ou survie selon les termes du contrat
La valeur actuelle comporte un aléa viager
En assurance on calcule une valeur actuelle qui intègre les probabilités de vie ou de décès
La valeur actuelle probable : VAP
La VAP est le montant que doit investir aujourd’hui une personne d’âge x , sur la base d’un taux d’intérêt technique t et d’une durée d’investissement n , pour percevoir une somme à la fin de l’opération, si l’aléa viager se réalise
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Valeur actuelle probable
Prenons, un contrat de capital différé:
• Capital S ,versé à condition que l’assuré d’âge x soit en vie au terme du contrat n
• En cas de décès de l’assuré : 0
Caractéristique de la VAPValeur actuelle probable d’une série de flux futurs incertains
=Somme des VAP des flux futurs incertain
S . lx+n
(1+t)nlx
VAP=
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Prime Pure
• La prime pure d’un contrat d’assurance est calculée selon le principe d’équivalence:
Égalité entre les engagements de l’assureur et les engagements du preneur
• La valeur de la prime est obtenue de telle façon qu’elle vise à couvrir les prestations assurées sans laisser ni bénéfice ni perte à l’assureur
C’est-à-dire : Prime Pure = Valeur actuelle probable
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Prime Pure
Reprenons l’exemple précédent du contrat de capital différé:
• Capital S, versé à condition que l’assuré d’âge x soit en vie au terme du contrat n
• En cas de décès de l’assuré : 0
Prime pure =
Exemple:Age = 30 ansS= 1.000.000 dhs Prime pure = ?n= 20 Taux d’intérêt technique =3,25%Table réglementaire marocaine
S . lx+n
(1+t)nlx
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Prime Pure
Question?
La prime sera d’autant plus élevée que
le taux technique est …. bas? Élevé?
la mortalité est …..? Faible? Élevée?
l’âge de l’assuré est ….? Bas ?grand?
la durée du contrat ….? Courte ? longue?
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Prime Pure:Illustration pour capital différé
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Prime commerciale
Le calcul de la prime pure selon le principe de l’équivalence suppose que:
l’assureur investira les primes perçues au taux technique; la proportion de survivants observée dans son portefeuille est conforme à la
table de mortalité utilisée.
Si telle n’est pas la réalité, l’assureur réalisera une perte ou un bénéfice selon le cas.
Donc la prime demandée sera majorée, afin de couvrir les frais d’exploitation, le risque de mortalité, de rendement financier
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Prime commerciale
La prime payée par l’assuré à la compagnie d’assurance correspond à la prime commerciale
Prime d’inventaire= Prime pure+ frais administratifPrime commerciale = prime d’inventaire + frais d’acquisition + frais d’encaissement de primes
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Périodicité de la prime
Il existe deux sortes de primes :
Prime unique : la prime est payée en un seul versement au début du contrat
Prime nivelée : Prime payée en plusieurs versements
• Prime annuelle : l’assuré est tenu à faire des versements chaque année du contrat pour autant qu’il soit en vie au moment de leurs échéances
• Prime fractionnées, semestrielles, trimestrielles ou mensuelles• Prime limitée : l’assuré est tenu à des versements chaque année des m
premières années du contrat. Il en est libéré dès la (m+1)ème année.
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Calcul de la prime nivelée
Reprenons l’exemple précédent du contrat de capital différé:• Capital S, versé à condition que l’assuré d’âge x soit en vie au terme ducontrat n• En cas de décès de l’assuré : 0
Au lieu de payer une prime unique au début du contrat, l’assuré paye une primeau début de chaque année, tant qu’il est vivant.Calcul?
Selon le principe de l’équivalence: la valeur actuelle de l’engagement de l’assuré doit être égale à la valeur actuelle de l’engagement de l’assureur à l’instant t
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Calcul de la prime nivelée
Valeur actuelle probable de l’engagement de l’assuré
0 1 2 n
Pa Pa
n-1
Pa S
Donc la prime annuelle est égale :
VAP= Pa +Pa.1px
+(1+t)1
Pa.2px+
Pa.n-1px
(1+t)2 (1+t)n-1…+
VAP= ∑i=0
n-1
Pa. ipx
(1+t)i=
S .npx
(1+t)nS .
npx(1+t)n
∑i=0
n-1
ipx
(1+t)i
Pa=
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque
Calcul de la prime nivelée
Exemple:Age = 70 ansS= 1.000.000 dhs Prime annuelle? n= 3 Taux d’intérêt technique =3,25%Table réglementaire
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Commutations
Pour faciliter les calculs, il existe un certain nombre de commutations qui
s’appliquent à l’assurance en cas de décès et à l’assurance en cas de vie
Posons: ν =(1+t)
1
Sx= Nx+ Nx+1+Nx+2+…
Les commutations usuelles sont:
Dx= lxνx.
Nx= Dx+ Dx+1+ Dx+2+…
Cx= dxνx+1/2. __
Cx= dxνx+1.
Mx= Cx+ Cx+1+ Cx+2+… Mx= Cx+ Cx+1+ Cx+2+…__ __ __ __
Rx= Mx+ Mx+1+Mx+2+… Rx= Mx+ Mx+1+Mx+2+…__ __ __ __
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Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Commutations
Application: Capital différé pour une somme de 1
Prime Unique= 1 .(1+t)n
lx
lx+n1 .npx
(1+t)n =
nEx= νn. lx
lx+n =Dx
Dx+n
Prime Annuelle =
∑i=0
n-1
ipx
(1+t)i
=
Démonstration?
nEx
Dx+n
Nx - Nx+n
Dx
Dx Dx+n
Nx - Nx+n
=
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