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9 Flaumlcheninhalte vonVierecken
91 Wiederholung
Gebaumlude in der ganzen Welt weisenviereckige Strukturen auf Egal ob essich um das strohgedeckte Dach ei-ner Tempelanlage auf der Insel Balihandelt um die Verglasung eines oumls-terreichischen Wintergartens oderum ein Ziegeldach wie man es fastweltweit finden kann
In diesem Kapitel1 wiederholen wir die besonderen Vierecke und2 uumlberlegen wie man Formeln zur Berechnung ihres Flaumlcheninhal-
tes gewinnen kann3 die wir dann verwenden um verschiedene Sachprobleme zu
loumlsen
881 BesondereVierecke sindVierecke diebesondereEigenschaftenhinsichtlich Lageund Laumlnge derSeiten und derDiagonalen habenund damit auchhinsichtlich derWinkel
881I3)H4K1 Erinnere dich an die 2 Klasse Was versteht man unter besonderen Vierecken
In welcher Hinsicht koumlnnen Vierecke besonders sein
882 TempeldaumlcherTrapezdazwischenRechteckeWintergartenVerglasungTrapeze undRechteckeHolztraumlgerRechtecke undParallelogrammeZiegeldach Trapezund Rechtecke
882I3)H4K1 Betrachte die drei Bilder oben im gruumlnen Rahmen ganz genau Welche besonderen
Vierecke kannst du erkennen
883I3)H4K1 Arbeite gemeinsam mit deiner Nachbarindeinem Nachbarn Zeichnet jeweils ein
(1) Parallelogramm (2) Deltoid (3) Trapez (4) Rhombus (5)) Quadrat Achtet daraufdass die wesentlichen Eigenschaften der Figur richtig dargestellt sind Beschriftet dieVierecke Vergleicht anschlieszligend eure Ergebnisse
884 Trapez884 Beschrifte im nebenstehenden Viereck Ecken SeitenDiagonalen und WinkelUm welches besondere Viereck handelt es sich
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156 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
92 Parallelogramm921 Wiederholung
Parallelogramm und Rhombus
Ein Viereck bei dem gegenuumlberliegende Seiten je-weils parallel sind heiszligt ParallelogrammAB ∥ CD und AD ∥ BC
Ein Parallelogrammmit vier gleich langenSeiten heiszligt Rhombus oder Raute
885I2)H2K1 Skizziere mindestens 3 unterschiedliche Parallelogramme und
3 unterschiedliche Rhomben Beschrifte zumindest in einer der Figuren die EckpunkteSeiten und Winkel
922 Flaumlcheninhalt des Parallelogramms
Immer wenn es darum geht den Flaumlcheninhalt von Figuren zu berechnen fuumlr die mannoch keine Formel hat sollte man versuchen in schon bekannte Figuren zu zerlegenoder zu bekannten Figuren zu ergaumlnzen
25 mm
58 mm25 mm
58 mm
11 m
m11
mm
36 m
m36
mm
Berechne den Flaumlcheninhalt der L-foumlrmigen FigurMethode 1 Zerlegen in bekannte FigurenWir zerlegen die L-foumlrmige Figur in 2 Rechtecke und setzendaraus die gesuchte Flaumlche zusammenA = 58 sdot 11 + (36 minus 11) sdot 25 = 1236 mm2
Methode 2 Ergaumlnzen zu bekannten FigurenWir ergaumlnzen zu einem groszligen Rechteck und ziehen jeneRechtecksflaumlche die zu viel ist abA = 58 sdot 36 minus (36 minus 11) sdot (58 minus 25) = 1236 mm2
886 (3) Die beidenDreiecke sindkongruent (4) DasRechteck und dasParalleogrammsind daherflaumlchengleich(5) A = a sdot ha
886diams Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsWir kombinieren nun die beiden Methoden Zerlegen in bekannte Figuren und Ergaumlnzenzu bekannten Figuren um eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms zugewinnen(1) Zeichne ein Parallelogramm und beschrifte seine Eckpunkte und Seiten(2) Zeichne im Parallelogramm die Houmlhe auf die Seite a durch den Eckpunkt D ein undbeschrifte sie mit ha Bezeichne den Fuszligpunkt der Houmlhe mit E(3) Verlaumlngere die Seite AB uumlber B hinaus und zeichne die Houmlhe durch den EckpunktC ein Bezeichne den Schnittpunkt dieser Houmlhe und der verlaumlngerten Seite AB mit FWelche Aussage laumlsst sich uumlber die Dreiecke AED und BFC treffen(4) Wie haumlngen daher der Flaumlcheninhalt des Parallelogramms ABCD und der Flaumlchen-inhalt des Rechtecks EFCD zusammen(5) Versuche nun eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms anzugeben
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92 Parallelogramm 157
Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsFuumlr ein Parallelogramm mit den Seiten a b und den Houmlhen ha hb giltFlaumlcheninhalt = Seite mal zugehoumlrige Houmlhe
A = a sdot ha = b sdot hb
887 Die Methodeaus Aufgabe 886funktioniertgenauso wennman mit b und hbanstelle von a undha arbeitet887I3)H4
K2 In Aufgabe 886 findest du eine Anleitung die Flaumlcheninhaltsformel A = a sdot ha desParallelogramms herzuleitenBegruumlnde warum auch A = b sdot hb gilt
888 a) 208 cm2
b) 195 cm2
c) 3072 mm2
d) 088 dm2
e) 012 m2 f) 06 m2
888I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms
a) a = 65 cm ha = 32 cm b) a = 156 cm ha = 125 cmc) b = 64 mm hb = 48 mm d) b = 11 dm hb = 08 dme) a = 04 m ha = 03 m f ) b = 12 m hb = 05 m
889 119025 m2
230 m
450
m
889I3)H2K2 In einer neuen Parkgarage werden
die Stellflaumlchen in jedem Parkdeck miteiner anderen Bodenfarbe gestrichenFuumlr wie viele m2 benoumltigt man pro Park-deck Bodenfarbe wenn die Stellflaumlchenwie rechts abgebildet parallelogramm-foumlrmig sind und pro Parkdeck 115 Stellflaumlchen zur Verfuumlgung stehen
890 a) 1591 cm2
b) 583 dm2
c) 50 cm2
d) 30 cm2
890 Berechne den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsAchte auf die Einheitena) a = 43 cm ha = 37 mm b) a = 11 dm ha = 53 cmc) b = 01 m hb = 5 cm d) b = 100 mm hb = 03 dm
891 (1) DieFlaumlcheninhalte sindgleich (2) DasQuadrat hat denkleinsten das blaueParallelogrammden groumlszligtenUmfang
891I3)H4K3 In der Figur sind zwei Parallelogramme und
ein Quadrat dargestellt Welche Aussage kannstdu (1) uumlber ihre Flaumlcheninhalte (2) ihre Umfaumlngemachen ohne in der Zeichnung zu messen oderzu rechnen
892 (1) a) ha asymp 38cm hb asymp 54 cm Aasymp 268 cm2 b) ha asymp35 mm hb asymp 89mm A asymp 3303 mm2
(2) Zeichen- bzwMessungenauigkeitbei der Ermittlungvon ha und hb
892I3)H4K2 Konstruiere das Parallelogramm
(1) Miss die Laumlnge der beiden Houmlhen ha und hb und berechne damit den Flaumlcheninhaltauf zwei Arten(2) Erklaumlre warum die beiden Ergebnisse fuumlr den Flaumlcheninhalt geringfuumlgig voneinanderabweichen koumlnnena) a = 7 cm b = 5 cm α = 50deg b) a = 95 mm b = 37 mm β = 70deg
893 2244
893I3)H2K2 Ein Wohnzimmer soll mit Parkett ausgelegt werden Die Parketthoumllzer haben das
Format von Parallelogrammen mit der Seite a = 20 cm und der Houmlhe h = 5 cm DasWohnzimmer ist 6 m lang und 340 m breit Wie viele Parketthoumllzer werden benoumltigtwenn 10 Verschnitt beruumlcksichtigt wird
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158 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
894 a) 2240 m2
b) 13 760 m2
c) Weil keinegroszlige zusammen-haumlngende Flaumlchemehr vorliegtsondern nur 2kleinere Flaumlchen
894 Eine Umfahrungsstraszlige wird gebaut Durchdie 200m lange und 80m breite rechteckige Acker-flaumlche verlaumluft ein parallelogrammfoumlrmiges Stra-szligenstuumlck wie rechts dargestellta) Wie viel m2 der Ackerflaumlche gehen durch denStraszligenbau verlorenb) Wie groszlig ist die verbleibende Ackerflaumlchec) Warum verliert die Ackerflaumlche abgesehen vom Flaumlchenverlust zusaumltzlich an Wert
895 (1) 261 PlattenAPlatte = 0162 m2Dachflaumlche =4214 m2 (2) 300Platten
895diams Ein Dach wird mit parallelogrammfoumlrmigen Plattendie 45 cm lang und 36 cm hoch sind eingedeckt(1) Wie viele solcher Platten benoumltigt man fuumlr eine recht-eckige Dachflaumlche die 98 m lang und 43 m breit istwenn man die Uumlberlappung nicht beruumlcksichtigt(2) Erfahrungsgemaumlszlig sollten 15 mehr Platten fuumlr Uumlber-lappung Verschnitt und eventuellen Bruch besorgt wer-den Wie viele dieser Platten muumlssen daher tatsaumlchlichgekauft werden
Umkehraufgaben
896 a) ha = 45 cmb) ha = 23 mmc) hb = 53 cmd) hb = 305 mm
896 Von einem Parallelogramm kennt man den Flaumlcheninhalt und eine Seite Berechnedie zugehoumlrige Houmlhea) A = 387 cm2 a = 86 cm b) A = 1 035 mm2 a = 45 mmc) A = 4823 cm2 b = 91 cm d) A = 20435 mm2 b = 67 mm
897 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) b) c) d)
A 5151 cm2 1 4645 cm2 65024 cm2 7425 cm2
a 303 cm 505 cm 512 cm 99 cm
ha 170 cm 290 cm 127 cm 75 cm
898a) hb = 682 cmb) ha = 25 mm
898 Von einem Parallelogramm kennt man die beiden Seitenlaumlngen und eine HoumlheBerechne die zweite Houmlhe
Parallelogramm a = 69 cm b = 644 cm ha = 42 cmFuumlr den Flaumlcheninhalt A des Parallelogramms giltsowohl A = a sdot ha als auch A = b sdot hb und daher
a sdot ha = b sdot hbDie Aumlquivalenzumformung
rdquodividiert durch bldquo liefert hb =
asdothab
und damit hb =69sdot42644
= 45hb = 45 cm
a) a = 124 cm b = 100 cm ha = 55 cm b) a = 150 mm b = 50 mm hb = 75 mm
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93 Deltoid 159
899 Es entstehenrechtwinkligeDreiecke mit derlaumlngeren Kathete(a+x) bzw (a-x)der kuumlrzerenKathete ha und derHypotenuse e bzwf In diesenrechtwinkligenDreiecken gilt derSatz desPythagoras
899I3)H4K2 ⋆ Erklaumlre anhand der Skizze dass fuumlr die Berech-
nung der Diagonalen des Parallelogramms gilte2 = (a + x)2 + ha
2 undf 2 = (a minus x)2 + ha
2
900a) (1) x asymp 134 cme asymp 450 cmf asymp 205 cm(2) A = 360 cm2
b) (1) x asymp 452 cme asymp 1802 cmf asymp 1038 cm(2) A = 8640 cm2
c) (1) x asymp 343 cme asymp 1090 cmf asymp 647 cm(2) A = 3416 cm2
d) (1) e asymp 654 cmf asymp 397 cm(2) A = 1169 cm2
900I3)H2K2 ⋆ Berechne mit Hilfe der Uumlberlegungen aus Auf-
gabe 899(1) die Laumlnge der Diagonalen (2) den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsTipp Berechne zuerst die Laumlnge von xa) a = 30 cm b = 18 cm ha = 12 cm b) a =120 cm b = 85 cm ha = 72 cmc) a = 56 cm b = 70 cm ha = 61 cm d) a = 45 cm b = 30 cm hb = 39 cm
93 Deltoid931 Wiederholung
Deltoid
Ein Deltoid ist ein aus zwei gleichschenkligen Drei-ecken bestehendes Viereck die entlang der gleichlangen Basis zusammengesetzt sindDie Diagonalen stehen aufeinander normal
901 Seiten a = db = c DieDiagonalen stehenaufeinandernormal e halbiert fDie Diagonale e istSymmetrieachseundWinkelsymmetralevon α und γ β = δ
901 Partnerinnen-Arbeit(1) Jeder von euch zeichnet 3 unterschiedliche Deltoide(2) Vergleicht eure Ergebnisse und uumlberlegtWelche besonderen Eigenschaften hat jedes Deltoid Beruumlcksichtigt Seiten Diagonalenund Winkel
932 Flaumlcheninhalt des Deltoids
902 (1) mdash (2)A = e sdot f (3) DerFlaumlcheninhalt desDeltoids ist halb sogroszlig wie jener desRechtecks (4)ADeltoid =
esdotf2
902I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Deltoids
(1) Ergaumlnze das Deltoid wie in der nebenstehenden Skizzebegonnen zu einem Rechteck(2) Gib eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des entstandenenRechtecks an(3) Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Deltoids mit dem desRechtecks zusammen Beschreibe in Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhaltsdes Deltoids an
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160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten
903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann
904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln
904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre
905 A = d sdotd2
905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904
Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt
A =e sdot f2
Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden
Spezialfall Quadrat A =d sdot d2
=d2
2
906a) A = 294 cm2
b) A = 20335 cm2
c) A = 12685 mm2
d) A = 2418 mm2
906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm
907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt
907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht
908 unendlichviele A = 12 cm2
908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt
909a) A = 2645 mm2
b) A = 10125 mm2
c) A = 098 dm2
d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt
910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit
der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge
911a) A = 9805 cm2
b) A = 2982 cm2
911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm
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93 Deltoid 161
912 a) A =e sdot f
2sdot 12sdot 2 = esdotf
2b) e = x + yA = f sdotx
2+ f sdoty
2=
f sdot 12sdot (x + y) = esdotf
2
912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf
2fuumlr das Deltoid herzuleiten
a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke
Umkehraufgaben
913 a) f = 2sdotAe
b) e = 2sdotAf
913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an
914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige
Deltoid a) b) c) d)
Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2
Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm
Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm
915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm
915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm
916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus
Rhombus a) b) c) d)
Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm
Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm
Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm
Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm
917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2
b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2
917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm
918 ha = 18 cmwegen f = a
918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =
e2ist
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162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
94 Trapez941 Wiederholung
Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez
ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet
919 Wiederholt zu zweita)I3)H2
K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze
b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus
c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez
Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes
Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez
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94 Trapez 163
942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes
920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth
2
920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes
(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an
Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts
A =(a + c) sdot h
2=
12sdot (a + c) sdot h
921a) A = 4136 mm2
b) A = 2675 mm2
c) A = 36505 cm2
d) A = 2261 cm2
921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a
und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm
922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2
922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form
eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche
923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang
923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit
Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau
924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten
Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht
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164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2
b) 823446 euro
925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-
daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt
Umkehraufgaben
926 h = 2sdotAa+c
926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an
927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm
927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2
c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2
928 a = 2sdotAhminus c
bzw c = 2sdotAhminus a
928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an
929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch
(1) a = 2Aminusch
times
(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times
(3) a = 2Ahminus c times
(4) a = Ahsdot 2 minus c times
929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c
2h
Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an
930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm
930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm
931 (2)aminusc2= 15 cm (3)
d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp
34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2
931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes
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95 Exercises und Ausblick 165
95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
ii
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ii
166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
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156 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
92 Parallelogramm921 Wiederholung
Parallelogramm und Rhombus
Ein Viereck bei dem gegenuumlberliegende Seiten je-weils parallel sind heiszligt ParallelogrammAB ∥ CD und AD ∥ BC
Ein Parallelogrammmit vier gleich langenSeiten heiszligt Rhombus oder Raute
885I2)H2K1 Skizziere mindestens 3 unterschiedliche Parallelogramme und
3 unterschiedliche Rhomben Beschrifte zumindest in einer der Figuren die EckpunkteSeiten und Winkel
922 Flaumlcheninhalt des Parallelogramms
Immer wenn es darum geht den Flaumlcheninhalt von Figuren zu berechnen fuumlr die mannoch keine Formel hat sollte man versuchen in schon bekannte Figuren zu zerlegenoder zu bekannten Figuren zu ergaumlnzen
25 mm
58 mm25 mm
58 mm
11 m
m11
mm
36 m
m36
mm
Berechne den Flaumlcheninhalt der L-foumlrmigen FigurMethode 1 Zerlegen in bekannte FigurenWir zerlegen die L-foumlrmige Figur in 2 Rechtecke und setzendaraus die gesuchte Flaumlche zusammenA = 58 sdot 11 + (36 minus 11) sdot 25 = 1236 mm2
Methode 2 Ergaumlnzen zu bekannten FigurenWir ergaumlnzen zu einem groszligen Rechteck und ziehen jeneRechtecksflaumlche die zu viel ist abA = 58 sdot 36 minus (36 minus 11) sdot (58 minus 25) = 1236 mm2
886 (3) Die beidenDreiecke sindkongruent (4) DasRechteck und dasParalleogrammsind daherflaumlchengleich(5) A = a sdot ha
886diams Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsWir kombinieren nun die beiden Methoden Zerlegen in bekannte Figuren und Ergaumlnzenzu bekannten Figuren um eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms zugewinnen(1) Zeichne ein Parallelogramm und beschrifte seine Eckpunkte und Seiten(2) Zeichne im Parallelogramm die Houmlhe auf die Seite a durch den Eckpunkt D ein undbeschrifte sie mit ha Bezeichne den Fuszligpunkt der Houmlhe mit E(3) Verlaumlngere die Seite AB uumlber B hinaus und zeichne die Houmlhe durch den EckpunktC ein Bezeichne den Schnittpunkt dieser Houmlhe und der verlaumlngerten Seite AB mit FWelche Aussage laumlsst sich uumlber die Dreiecke AED und BFC treffen(4) Wie haumlngen daher der Flaumlcheninhalt des Parallelogramms ABCD und der Flaumlchen-inhalt des Rechtecks EFCD zusammen(5) Versuche nun eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms anzugeben
ii
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ii
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92 Parallelogramm 157
Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsFuumlr ein Parallelogramm mit den Seiten a b und den Houmlhen ha hb giltFlaumlcheninhalt = Seite mal zugehoumlrige Houmlhe
A = a sdot ha = b sdot hb
887 Die Methodeaus Aufgabe 886funktioniertgenauso wennman mit b und hbanstelle von a undha arbeitet887I3)H4
K2 In Aufgabe 886 findest du eine Anleitung die Flaumlcheninhaltsformel A = a sdot ha desParallelogramms herzuleitenBegruumlnde warum auch A = b sdot hb gilt
888 a) 208 cm2
b) 195 cm2
c) 3072 mm2
d) 088 dm2
e) 012 m2 f) 06 m2
888I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms
a) a = 65 cm ha = 32 cm b) a = 156 cm ha = 125 cmc) b = 64 mm hb = 48 mm d) b = 11 dm hb = 08 dme) a = 04 m ha = 03 m f ) b = 12 m hb = 05 m
889 119025 m2
230 m
450
m
889I3)H2K2 In einer neuen Parkgarage werden
die Stellflaumlchen in jedem Parkdeck miteiner anderen Bodenfarbe gestrichenFuumlr wie viele m2 benoumltigt man pro Park-deck Bodenfarbe wenn die Stellflaumlchenwie rechts abgebildet parallelogramm-foumlrmig sind und pro Parkdeck 115 Stellflaumlchen zur Verfuumlgung stehen
890 a) 1591 cm2
b) 583 dm2
c) 50 cm2
d) 30 cm2
890 Berechne den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsAchte auf die Einheitena) a = 43 cm ha = 37 mm b) a = 11 dm ha = 53 cmc) b = 01 m hb = 5 cm d) b = 100 mm hb = 03 dm
891 (1) DieFlaumlcheninhalte sindgleich (2) DasQuadrat hat denkleinsten das blaueParallelogrammden groumlszligtenUmfang
891I3)H4K3 In der Figur sind zwei Parallelogramme und
ein Quadrat dargestellt Welche Aussage kannstdu (1) uumlber ihre Flaumlcheninhalte (2) ihre Umfaumlngemachen ohne in der Zeichnung zu messen oderzu rechnen
892 (1) a) ha asymp 38cm hb asymp 54 cm Aasymp 268 cm2 b) ha asymp35 mm hb asymp 89mm A asymp 3303 mm2
(2) Zeichen- bzwMessungenauigkeitbei der Ermittlungvon ha und hb
892I3)H4K2 Konstruiere das Parallelogramm
(1) Miss die Laumlnge der beiden Houmlhen ha und hb und berechne damit den Flaumlcheninhaltauf zwei Arten(2) Erklaumlre warum die beiden Ergebnisse fuumlr den Flaumlcheninhalt geringfuumlgig voneinanderabweichen koumlnnena) a = 7 cm b = 5 cm α = 50deg b) a = 95 mm b = 37 mm β = 70deg
893 2244
893I3)H2K2 Ein Wohnzimmer soll mit Parkett ausgelegt werden Die Parketthoumllzer haben das
Format von Parallelogrammen mit der Seite a = 20 cm und der Houmlhe h = 5 cm DasWohnzimmer ist 6 m lang und 340 m breit Wie viele Parketthoumllzer werden benoumltigtwenn 10 Verschnitt beruumlcksichtigt wird
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158 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
894 a) 2240 m2
b) 13 760 m2
c) Weil keinegroszlige zusammen-haumlngende Flaumlchemehr vorliegtsondern nur 2kleinere Flaumlchen
894 Eine Umfahrungsstraszlige wird gebaut Durchdie 200m lange und 80m breite rechteckige Acker-flaumlche verlaumluft ein parallelogrammfoumlrmiges Stra-szligenstuumlck wie rechts dargestellta) Wie viel m2 der Ackerflaumlche gehen durch denStraszligenbau verlorenb) Wie groszlig ist die verbleibende Ackerflaumlchec) Warum verliert die Ackerflaumlche abgesehen vom Flaumlchenverlust zusaumltzlich an Wert
895 (1) 261 PlattenAPlatte = 0162 m2Dachflaumlche =4214 m2 (2) 300Platten
895diams Ein Dach wird mit parallelogrammfoumlrmigen Plattendie 45 cm lang und 36 cm hoch sind eingedeckt(1) Wie viele solcher Platten benoumltigt man fuumlr eine recht-eckige Dachflaumlche die 98 m lang und 43 m breit istwenn man die Uumlberlappung nicht beruumlcksichtigt(2) Erfahrungsgemaumlszlig sollten 15 mehr Platten fuumlr Uumlber-lappung Verschnitt und eventuellen Bruch besorgt wer-den Wie viele dieser Platten muumlssen daher tatsaumlchlichgekauft werden
Umkehraufgaben
896 a) ha = 45 cmb) ha = 23 mmc) hb = 53 cmd) hb = 305 mm
896 Von einem Parallelogramm kennt man den Flaumlcheninhalt und eine Seite Berechnedie zugehoumlrige Houmlhea) A = 387 cm2 a = 86 cm b) A = 1 035 mm2 a = 45 mmc) A = 4823 cm2 b = 91 cm d) A = 20435 mm2 b = 67 mm
897 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) b) c) d)
A 5151 cm2 1 4645 cm2 65024 cm2 7425 cm2
a 303 cm 505 cm 512 cm 99 cm
ha 170 cm 290 cm 127 cm 75 cm
898a) hb = 682 cmb) ha = 25 mm
898 Von einem Parallelogramm kennt man die beiden Seitenlaumlngen und eine HoumlheBerechne die zweite Houmlhe
Parallelogramm a = 69 cm b = 644 cm ha = 42 cmFuumlr den Flaumlcheninhalt A des Parallelogramms giltsowohl A = a sdot ha als auch A = b sdot hb und daher
a sdot ha = b sdot hbDie Aumlquivalenzumformung
rdquodividiert durch bldquo liefert hb =
asdothab
und damit hb =69sdot42644
= 45hb = 45 cm
a) a = 124 cm b = 100 cm ha = 55 cm b) a = 150 mm b = 50 mm hb = 75 mm
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93 Deltoid 159
899 Es entstehenrechtwinkligeDreiecke mit derlaumlngeren Kathete(a+x) bzw (a-x)der kuumlrzerenKathete ha und derHypotenuse e bzwf In diesenrechtwinkligenDreiecken gilt derSatz desPythagoras
899I3)H4K2 ⋆ Erklaumlre anhand der Skizze dass fuumlr die Berech-
nung der Diagonalen des Parallelogramms gilte2 = (a + x)2 + ha
2 undf 2 = (a minus x)2 + ha
2
900a) (1) x asymp 134 cme asymp 450 cmf asymp 205 cm(2) A = 360 cm2
b) (1) x asymp 452 cme asymp 1802 cmf asymp 1038 cm(2) A = 8640 cm2
c) (1) x asymp 343 cme asymp 1090 cmf asymp 647 cm(2) A = 3416 cm2
d) (1) e asymp 654 cmf asymp 397 cm(2) A = 1169 cm2
900I3)H2K2 ⋆ Berechne mit Hilfe der Uumlberlegungen aus Auf-
gabe 899(1) die Laumlnge der Diagonalen (2) den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsTipp Berechne zuerst die Laumlnge von xa) a = 30 cm b = 18 cm ha = 12 cm b) a =120 cm b = 85 cm ha = 72 cmc) a = 56 cm b = 70 cm ha = 61 cm d) a = 45 cm b = 30 cm hb = 39 cm
93 Deltoid931 Wiederholung
Deltoid
Ein Deltoid ist ein aus zwei gleichschenkligen Drei-ecken bestehendes Viereck die entlang der gleichlangen Basis zusammengesetzt sindDie Diagonalen stehen aufeinander normal
901 Seiten a = db = c DieDiagonalen stehenaufeinandernormal e halbiert fDie Diagonale e istSymmetrieachseundWinkelsymmetralevon α und γ β = δ
901 Partnerinnen-Arbeit(1) Jeder von euch zeichnet 3 unterschiedliche Deltoide(2) Vergleicht eure Ergebnisse und uumlberlegtWelche besonderen Eigenschaften hat jedes Deltoid Beruumlcksichtigt Seiten Diagonalenund Winkel
932 Flaumlcheninhalt des Deltoids
902 (1) mdash (2)A = e sdot f (3) DerFlaumlcheninhalt desDeltoids ist halb sogroszlig wie jener desRechtecks (4)ADeltoid =
esdotf2
902I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Deltoids
(1) Ergaumlnze das Deltoid wie in der nebenstehenden Skizzebegonnen zu einem Rechteck(2) Gib eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des entstandenenRechtecks an(3) Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Deltoids mit dem desRechtecks zusammen Beschreibe in Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhaltsdes Deltoids an
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ii
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160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten
903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann
904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln
904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre
905 A = d sdotd2
905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904
Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt
A =e sdot f2
Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden
Spezialfall Quadrat A =d sdot d2
=d2
2
906a) A = 294 cm2
b) A = 20335 cm2
c) A = 12685 mm2
d) A = 2418 mm2
906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm
907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt
907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht
908 unendlichviele A = 12 cm2
908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt
909a) A = 2645 mm2
b) A = 10125 mm2
c) A = 098 dm2
d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt
910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit
der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge
911a) A = 9805 cm2
b) A = 2982 cm2
911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm
ii
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93 Deltoid 161
912 a) A =e sdot f
2sdot 12sdot 2 = esdotf
2b) e = x + yA = f sdotx
2+ f sdoty
2=
f sdot 12sdot (x + y) = esdotf
2
912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf
2fuumlr das Deltoid herzuleiten
a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke
Umkehraufgaben
913 a) f = 2sdotAe
b) e = 2sdotAf
913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an
914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige
Deltoid a) b) c) d)
Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2
Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm
Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm
915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm
915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm
916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus
Rhombus a) b) c) d)
Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm
Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm
Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm
Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm
917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2
b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2
917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm
918 ha = 18 cmwegen f = a
918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =
e2ist
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162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
94 Trapez941 Wiederholung
Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez
ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet
919 Wiederholt zu zweita)I3)H2
K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze
b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus
c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez
Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes
Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez
ii
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ii
94 Trapez 163
942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes
920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth
2
920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes
(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an
Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts
A =(a + c) sdot h
2=
12sdot (a + c) sdot h
921a) A = 4136 mm2
b) A = 2675 mm2
c) A = 36505 cm2
d) A = 2261 cm2
921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a
und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm
922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2
922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form
eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche
923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang
923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit
Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau
924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten
Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht
ii
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ii
ii
164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2
b) 823446 euro
925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-
daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt
Umkehraufgaben
926 h = 2sdotAa+c
926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an
927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm
927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2
c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2
928 a = 2sdotAhminus c
bzw c = 2sdotAhminus a
928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an
929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch
(1) a = 2Aminusch
times
(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times
(3) a = 2Ahminus c times
(4) a = Ahsdot 2 minus c times
929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c
2h
Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an
930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm
930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm
931 (2)aminusc2= 15 cm (3)
d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp
34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2
931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes
ii
ii
ii
ii
95 Exercises und Ausblick 165
95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
ii
ii
ii
ii
166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
ii
ii
ii
ii
92 Parallelogramm 157
Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsFuumlr ein Parallelogramm mit den Seiten a b und den Houmlhen ha hb giltFlaumlcheninhalt = Seite mal zugehoumlrige Houmlhe
A = a sdot ha = b sdot hb
887 Die Methodeaus Aufgabe 886funktioniertgenauso wennman mit b und hbanstelle von a undha arbeitet887I3)H4
K2 In Aufgabe 886 findest du eine Anleitung die Flaumlcheninhaltsformel A = a sdot ha desParallelogramms herzuleitenBegruumlnde warum auch A = b sdot hb gilt
888 a) 208 cm2
b) 195 cm2
c) 3072 mm2
d) 088 dm2
e) 012 m2 f) 06 m2
888I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms
a) a = 65 cm ha = 32 cm b) a = 156 cm ha = 125 cmc) b = 64 mm hb = 48 mm d) b = 11 dm hb = 08 dme) a = 04 m ha = 03 m f ) b = 12 m hb = 05 m
889 119025 m2
230 m
450
m
889I3)H2K2 In einer neuen Parkgarage werden
die Stellflaumlchen in jedem Parkdeck miteiner anderen Bodenfarbe gestrichenFuumlr wie viele m2 benoumltigt man pro Park-deck Bodenfarbe wenn die Stellflaumlchenwie rechts abgebildet parallelogramm-foumlrmig sind und pro Parkdeck 115 Stellflaumlchen zur Verfuumlgung stehen
890 a) 1591 cm2
b) 583 dm2
c) 50 cm2
d) 30 cm2
890 Berechne den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsAchte auf die Einheitena) a = 43 cm ha = 37 mm b) a = 11 dm ha = 53 cmc) b = 01 m hb = 5 cm d) b = 100 mm hb = 03 dm
891 (1) DieFlaumlcheninhalte sindgleich (2) DasQuadrat hat denkleinsten das blaueParallelogrammden groumlszligtenUmfang
891I3)H4K3 In der Figur sind zwei Parallelogramme und
ein Quadrat dargestellt Welche Aussage kannstdu (1) uumlber ihre Flaumlcheninhalte (2) ihre Umfaumlngemachen ohne in der Zeichnung zu messen oderzu rechnen
892 (1) a) ha asymp 38cm hb asymp 54 cm Aasymp 268 cm2 b) ha asymp35 mm hb asymp 89mm A asymp 3303 mm2
(2) Zeichen- bzwMessungenauigkeitbei der Ermittlungvon ha und hb
892I3)H4K2 Konstruiere das Parallelogramm
(1) Miss die Laumlnge der beiden Houmlhen ha und hb und berechne damit den Flaumlcheninhaltauf zwei Arten(2) Erklaumlre warum die beiden Ergebnisse fuumlr den Flaumlcheninhalt geringfuumlgig voneinanderabweichen koumlnnena) a = 7 cm b = 5 cm α = 50deg b) a = 95 mm b = 37 mm β = 70deg
893 2244
893I3)H2K2 Ein Wohnzimmer soll mit Parkett ausgelegt werden Die Parketthoumllzer haben das
Format von Parallelogrammen mit der Seite a = 20 cm und der Houmlhe h = 5 cm DasWohnzimmer ist 6 m lang und 340 m breit Wie viele Parketthoumllzer werden benoumltigtwenn 10 Verschnitt beruumlcksichtigt wird
ii
ii
ii
ii
158 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
894 a) 2240 m2
b) 13 760 m2
c) Weil keinegroszlige zusammen-haumlngende Flaumlchemehr vorliegtsondern nur 2kleinere Flaumlchen
894 Eine Umfahrungsstraszlige wird gebaut Durchdie 200m lange und 80m breite rechteckige Acker-flaumlche verlaumluft ein parallelogrammfoumlrmiges Stra-szligenstuumlck wie rechts dargestellta) Wie viel m2 der Ackerflaumlche gehen durch denStraszligenbau verlorenb) Wie groszlig ist die verbleibende Ackerflaumlchec) Warum verliert die Ackerflaumlche abgesehen vom Flaumlchenverlust zusaumltzlich an Wert
895 (1) 261 PlattenAPlatte = 0162 m2Dachflaumlche =4214 m2 (2) 300Platten
895diams Ein Dach wird mit parallelogrammfoumlrmigen Plattendie 45 cm lang und 36 cm hoch sind eingedeckt(1) Wie viele solcher Platten benoumltigt man fuumlr eine recht-eckige Dachflaumlche die 98 m lang und 43 m breit istwenn man die Uumlberlappung nicht beruumlcksichtigt(2) Erfahrungsgemaumlszlig sollten 15 mehr Platten fuumlr Uumlber-lappung Verschnitt und eventuellen Bruch besorgt wer-den Wie viele dieser Platten muumlssen daher tatsaumlchlichgekauft werden
Umkehraufgaben
896 a) ha = 45 cmb) ha = 23 mmc) hb = 53 cmd) hb = 305 mm
896 Von einem Parallelogramm kennt man den Flaumlcheninhalt und eine Seite Berechnedie zugehoumlrige Houmlhea) A = 387 cm2 a = 86 cm b) A = 1 035 mm2 a = 45 mmc) A = 4823 cm2 b = 91 cm d) A = 20435 mm2 b = 67 mm
897 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) b) c) d)
A 5151 cm2 1 4645 cm2 65024 cm2 7425 cm2
a 303 cm 505 cm 512 cm 99 cm
ha 170 cm 290 cm 127 cm 75 cm
898a) hb = 682 cmb) ha = 25 mm
898 Von einem Parallelogramm kennt man die beiden Seitenlaumlngen und eine HoumlheBerechne die zweite Houmlhe
Parallelogramm a = 69 cm b = 644 cm ha = 42 cmFuumlr den Flaumlcheninhalt A des Parallelogramms giltsowohl A = a sdot ha als auch A = b sdot hb und daher
a sdot ha = b sdot hbDie Aumlquivalenzumformung
rdquodividiert durch bldquo liefert hb =
asdothab
und damit hb =69sdot42644
= 45hb = 45 cm
a) a = 124 cm b = 100 cm ha = 55 cm b) a = 150 mm b = 50 mm hb = 75 mm
ii
ii
ii
ii
93 Deltoid 159
899 Es entstehenrechtwinkligeDreiecke mit derlaumlngeren Kathete(a+x) bzw (a-x)der kuumlrzerenKathete ha und derHypotenuse e bzwf In diesenrechtwinkligenDreiecken gilt derSatz desPythagoras
899I3)H4K2 ⋆ Erklaumlre anhand der Skizze dass fuumlr die Berech-
nung der Diagonalen des Parallelogramms gilte2 = (a + x)2 + ha
2 undf 2 = (a minus x)2 + ha
2
900a) (1) x asymp 134 cme asymp 450 cmf asymp 205 cm(2) A = 360 cm2
b) (1) x asymp 452 cme asymp 1802 cmf asymp 1038 cm(2) A = 8640 cm2
c) (1) x asymp 343 cme asymp 1090 cmf asymp 647 cm(2) A = 3416 cm2
d) (1) e asymp 654 cmf asymp 397 cm(2) A = 1169 cm2
900I3)H2K2 ⋆ Berechne mit Hilfe der Uumlberlegungen aus Auf-
gabe 899(1) die Laumlnge der Diagonalen (2) den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsTipp Berechne zuerst die Laumlnge von xa) a = 30 cm b = 18 cm ha = 12 cm b) a =120 cm b = 85 cm ha = 72 cmc) a = 56 cm b = 70 cm ha = 61 cm d) a = 45 cm b = 30 cm hb = 39 cm
93 Deltoid931 Wiederholung
Deltoid
Ein Deltoid ist ein aus zwei gleichschenkligen Drei-ecken bestehendes Viereck die entlang der gleichlangen Basis zusammengesetzt sindDie Diagonalen stehen aufeinander normal
901 Seiten a = db = c DieDiagonalen stehenaufeinandernormal e halbiert fDie Diagonale e istSymmetrieachseundWinkelsymmetralevon α und γ β = δ
901 Partnerinnen-Arbeit(1) Jeder von euch zeichnet 3 unterschiedliche Deltoide(2) Vergleicht eure Ergebnisse und uumlberlegtWelche besonderen Eigenschaften hat jedes Deltoid Beruumlcksichtigt Seiten Diagonalenund Winkel
932 Flaumlcheninhalt des Deltoids
902 (1) mdash (2)A = e sdot f (3) DerFlaumlcheninhalt desDeltoids ist halb sogroszlig wie jener desRechtecks (4)ADeltoid =
esdotf2
902I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Deltoids
(1) Ergaumlnze das Deltoid wie in der nebenstehenden Skizzebegonnen zu einem Rechteck(2) Gib eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des entstandenenRechtecks an(3) Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Deltoids mit dem desRechtecks zusammen Beschreibe in Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhaltsdes Deltoids an
ii
ii
ii
ii
160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten
903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann
904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln
904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre
905 A = d sdotd2
905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904
Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt
A =e sdot f2
Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden
Spezialfall Quadrat A =d sdot d2
=d2
2
906a) A = 294 cm2
b) A = 20335 cm2
c) A = 12685 mm2
d) A = 2418 mm2
906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm
907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt
907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht
908 unendlichviele A = 12 cm2
908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt
909a) A = 2645 mm2
b) A = 10125 mm2
c) A = 098 dm2
d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt
910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit
der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge
911a) A = 9805 cm2
b) A = 2982 cm2
911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm
ii
ii
ii
ii
93 Deltoid 161
912 a) A =e sdot f
2sdot 12sdot 2 = esdotf
2b) e = x + yA = f sdotx
2+ f sdoty
2=
f sdot 12sdot (x + y) = esdotf
2
912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf
2fuumlr das Deltoid herzuleiten
a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke
Umkehraufgaben
913 a) f = 2sdotAe
b) e = 2sdotAf
913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an
914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige
Deltoid a) b) c) d)
Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2
Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm
Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm
915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm
915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm
916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus
Rhombus a) b) c) d)
Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm
Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm
Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm
Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm
917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2
b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2
917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm
918 ha = 18 cmwegen f = a
918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =
e2ist
ii
ii
ii
ii
162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
94 Trapez941 Wiederholung
Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez
ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet
919 Wiederholt zu zweita)I3)H2
K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze
b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus
c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez
Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes
Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez
ii
ii
ii
ii
94 Trapez 163
942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes
920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth
2
920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes
(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an
Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts
A =(a + c) sdot h
2=
12sdot (a + c) sdot h
921a) A = 4136 mm2
b) A = 2675 mm2
c) A = 36505 cm2
d) A = 2261 cm2
921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a
und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm
922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2
922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form
eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche
923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang
923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit
Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau
924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten
Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht
ii
ii
ii
ii
164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2
b) 823446 euro
925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-
daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt
Umkehraufgaben
926 h = 2sdotAa+c
926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an
927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm
927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2
c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2
928 a = 2sdotAhminus c
bzw c = 2sdotAhminus a
928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an
929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch
(1) a = 2Aminusch
times
(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times
(3) a = 2Ahminus c times
(4) a = Ahsdot 2 minus c times
929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c
2h
Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an
930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm
930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm
931 (2)aminusc2= 15 cm (3)
d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp
34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2
931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes
ii
ii
ii
ii
95 Exercises und Ausblick 165
95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
ii
ii
ii
ii
166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
ii
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ii
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158 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
894 a) 2240 m2
b) 13 760 m2
c) Weil keinegroszlige zusammen-haumlngende Flaumlchemehr vorliegtsondern nur 2kleinere Flaumlchen
894 Eine Umfahrungsstraszlige wird gebaut Durchdie 200m lange und 80m breite rechteckige Acker-flaumlche verlaumluft ein parallelogrammfoumlrmiges Stra-szligenstuumlck wie rechts dargestellta) Wie viel m2 der Ackerflaumlche gehen durch denStraszligenbau verlorenb) Wie groszlig ist die verbleibende Ackerflaumlchec) Warum verliert die Ackerflaumlche abgesehen vom Flaumlchenverlust zusaumltzlich an Wert
895 (1) 261 PlattenAPlatte = 0162 m2Dachflaumlche =4214 m2 (2) 300Platten
895diams Ein Dach wird mit parallelogrammfoumlrmigen Plattendie 45 cm lang und 36 cm hoch sind eingedeckt(1) Wie viele solcher Platten benoumltigt man fuumlr eine recht-eckige Dachflaumlche die 98 m lang und 43 m breit istwenn man die Uumlberlappung nicht beruumlcksichtigt(2) Erfahrungsgemaumlszlig sollten 15 mehr Platten fuumlr Uumlber-lappung Verschnitt und eventuellen Bruch besorgt wer-den Wie viele dieser Platten muumlssen daher tatsaumlchlichgekauft werden
Umkehraufgaben
896 a) ha = 45 cmb) ha = 23 mmc) hb = 53 cmd) hb = 305 mm
896 Von einem Parallelogramm kennt man den Flaumlcheninhalt und eine Seite Berechnedie zugehoumlrige Houmlhea) A = 387 cm2 a = 86 cm b) A = 1 035 mm2 a = 45 mmc) A = 4823 cm2 b = 91 cm d) A = 20435 mm2 b = 67 mm
897 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) b) c) d)
A 5151 cm2 1 4645 cm2 65024 cm2 7425 cm2
a 303 cm 505 cm 512 cm 99 cm
ha 170 cm 290 cm 127 cm 75 cm
898a) hb = 682 cmb) ha = 25 mm
898 Von einem Parallelogramm kennt man die beiden Seitenlaumlngen und eine HoumlheBerechne die zweite Houmlhe
Parallelogramm a = 69 cm b = 644 cm ha = 42 cmFuumlr den Flaumlcheninhalt A des Parallelogramms giltsowohl A = a sdot ha als auch A = b sdot hb und daher
a sdot ha = b sdot hbDie Aumlquivalenzumformung
rdquodividiert durch bldquo liefert hb =
asdothab
und damit hb =69sdot42644
= 45hb = 45 cm
a) a = 124 cm b = 100 cm ha = 55 cm b) a = 150 mm b = 50 mm hb = 75 mm
ii
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ii
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93 Deltoid 159
899 Es entstehenrechtwinkligeDreiecke mit derlaumlngeren Kathete(a+x) bzw (a-x)der kuumlrzerenKathete ha und derHypotenuse e bzwf In diesenrechtwinkligenDreiecken gilt derSatz desPythagoras
899I3)H4K2 ⋆ Erklaumlre anhand der Skizze dass fuumlr die Berech-
nung der Diagonalen des Parallelogramms gilte2 = (a + x)2 + ha
2 undf 2 = (a minus x)2 + ha
2
900a) (1) x asymp 134 cme asymp 450 cmf asymp 205 cm(2) A = 360 cm2
b) (1) x asymp 452 cme asymp 1802 cmf asymp 1038 cm(2) A = 8640 cm2
c) (1) x asymp 343 cme asymp 1090 cmf asymp 647 cm(2) A = 3416 cm2
d) (1) e asymp 654 cmf asymp 397 cm(2) A = 1169 cm2
900I3)H2K2 ⋆ Berechne mit Hilfe der Uumlberlegungen aus Auf-
gabe 899(1) die Laumlnge der Diagonalen (2) den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsTipp Berechne zuerst die Laumlnge von xa) a = 30 cm b = 18 cm ha = 12 cm b) a =120 cm b = 85 cm ha = 72 cmc) a = 56 cm b = 70 cm ha = 61 cm d) a = 45 cm b = 30 cm hb = 39 cm
93 Deltoid931 Wiederholung
Deltoid
Ein Deltoid ist ein aus zwei gleichschenkligen Drei-ecken bestehendes Viereck die entlang der gleichlangen Basis zusammengesetzt sindDie Diagonalen stehen aufeinander normal
901 Seiten a = db = c DieDiagonalen stehenaufeinandernormal e halbiert fDie Diagonale e istSymmetrieachseundWinkelsymmetralevon α und γ β = δ
901 Partnerinnen-Arbeit(1) Jeder von euch zeichnet 3 unterschiedliche Deltoide(2) Vergleicht eure Ergebnisse und uumlberlegtWelche besonderen Eigenschaften hat jedes Deltoid Beruumlcksichtigt Seiten Diagonalenund Winkel
932 Flaumlcheninhalt des Deltoids
902 (1) mdash (2)A = e sdot f (3) DerFlaumlcheninhalt desDeltoids ist halb sogroszlig wie jener desRechtecks (4)ADeltoid =
esdotf2
902I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Deltoids
(1) Ergaumlnze das Deltoid wie in der nebenstehenden Skizzebegonnen zu einem Rechteck(2) Gib eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des entstandenenRechtecks an(3) Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Deltoids mit dem desRechtecks zusammen Beschreibe in Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhaltsdes Deltoids an
ii
ii
ii
ii
160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten
903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann
904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln
904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre
905 A = d sdotd2
905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904
Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt
A =e sdot f2
Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden
Spezialfall Quadrat A =d sdot d2
=d2
2
906a) A = 294 cm2
b) A = 20335 cm2
c) A = 12685 mm2
d) A = 2418 mm2
906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm
907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt
907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht
908 unendlichviele A = 12 cm2
908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt
909a) A = 2645 mm2
b) A = 10125 mm2
c) A = 098 dm2
d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt
910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit
der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge
911a) A = 9805 cm2
b) A = 2982 cm2
911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm
ii
ii
ii
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93 Deltoid 161
912 a) A =e sdot f
2sdot 12sdot 2 = esdotf
2b) e = x + yA = f sdotx
2+ f sdoty
2=
f sdot 12sdot (x + y) = esdotf
2
912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf
2fuumlr das Deltoid herzuleiten
a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke
Umkehraufgaben
913 a) f = 2sdotAe
b) e = 2sdotAf
913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an
914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige
Deltoid a) b) c) d)
Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2
Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm
Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm
915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm
915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm
916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus
Rhombus a) b) c) d)
Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm
Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm
Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm
Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm
917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2
b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2
917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm
918 ha = 18 cmwegen f = a
918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =
e2ist
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162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
94 Trapez941 Wiederholung
Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez
ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet
919 Wiederholt zu zweita)I3)H2
K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze
b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus
c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez
Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes
Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez
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94 Trapez 163
942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes
920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth
2
920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes
(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an
Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts
A =(a + c) sdot h
2=
12sdot (a + c) sdot h
921a) A = 4136 mm2
b) A = 2675 mm2
c) A = 36505 cm2
d) A = 2261 cm2
921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a
und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm
922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2
922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form
eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche
923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang
923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit
Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau
924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten
Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht
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164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2
b) 823446 euro
925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-
daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt
Umkehraufgaben
926 h = 2sdotAa+c
926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an
927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm
927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2
c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2
928 a = 2sdotAhminus c
bzw c = 2sdotAhminus a
928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an
929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch
(1) a = 2Aminusch
times
(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times
(3) a = 2Ahminus c times
(4) a = Ahsdot 2 minus c times
929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c
2h
Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an
930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm
930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm
931 (2)aminusc2= 15 cm (3)
d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp
34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2
931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes
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95 Exercises und Ausblick 165
95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
ii
ii
ii
ii
166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
ii
ii
ii
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93 Deltoid 159
899 Es entstehenrechtwinkligeDreiecke mit derlaumlngeren Kathete(a+x) bzw (a-x)der kuumlrzerenKathete ha und derHypotenuse e bzwf In diesenrechtwinkligenDreiecken gilt derSatz desPythagoras
899I3)H4K2 ⋆ Erklaumlre anhand der Skizze dass fuumlr die Berech-
nung der Diagonalen des Parallelogramms gilte2 = (a + x)2 + ha
2 undf 2 = (a minus x)2 + ha
2
900a) (1) x asymp 134 cme asymp 450 cmf asymp 205 cm(2) A = 360 cm2
b) (1) x asymp 452 cme asymp 1802 cmf asymp 1038 cm(2) A = 8640 cm2
c) (1) x asymp 343 cme asymp 1090 cmf asymp 647 cm(2) A = 3416 cm2
d) (1) e asymp 654 cmf asymp 397 cm(2) A = 1169 cm2
900I3)H2K2 ⋆ Berechne mit Hilfe der Uumlberlegungen aus Auf-
gabe 899(1) die Laumlnge der Diagonalen (2) den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsTipp Berechne zuerst die Laumlnge von xa) a = 30 cm b = 18 cm ha = 12 cm b) a =120 cm b = 85 cm ha = 72 cmc) a = 56 cm b = 70 cm ha = 61 cm d) a = 45 cm b = 30 cm hb = 39 cm
93 Deltoid931 Wiederholung
Deltoid
Ein Deltoid ist ein aus zwei gleichschenkligen Drei-ecken bestehendes Viereck die entlang der gleichlangen Basis zusammengesetzt sindDie Diagonalen stehen aufeinander normal
901 Seiten a = db = c DieDiagonalen stehenaufeinandernormal e halbiert fDie Diagonale e istSymmetrieachseundWinkelsymmetralevon α und γ β = δ
901 Partnerinnen-Arbeit(1) Jeder von euch zeichnet 3 unterschiedliche Deltoide(2) Vergleicht eure Ergebnisse und uumlberlegtWelche besonderen Eigenschaften hat jedes Deltoid Beruumlcksichtigt Seiten Diagonalenund Winkel
932 Flaumlcheninhalt des Deltoids
902 (1) mdash (2)A = e sdot f (3) DerFlaumlcheninhalt desDeltoids ist halb sogroszlig wie jener desRechtecks (4)ADeltoid =
esdotf2
902I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Deltoids
(1) Ergaumlnze das Deltoid wie in der nebenstehenden Skizzebegonnen zu einem Rechteck(2) Gib eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des entstandenenRechtecks an(3) Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Deltoids mit dem desRechtecks zusammen Beschreibe in Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhaltsdes Deltoids an
ii
ii
ii
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160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten
903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann
904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln
904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre
905 A = d sdotd2
905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904
Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt
A =e sdot f2
Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden
Spezialfall Quadrat A =d sdot d2
=d2
2
906a) A = 294 cm2
b) A = 20335 cm2
c) A = 12685 mm2
d) A = 2418 mm2
906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm
907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt
907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht
908 unendlichviele A = 12 cm2
908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt
909a) A = 2645 mm2
b) A = 10125 mm2
c) A = 098 dm2
d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt
910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit
der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge
911a) A = 9805 cm2
b) A = 2982 cm2
911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm
ii
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ii
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93 Deltoid 161
912 a) A =e sdot f
2sdot 12sdot 2 = esdotf
2b) e = x + yA = f sdotx
2+ f sdoty
2=
f sdot 12sdot (x + y) = esdotf
2
912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf
2fuumlr das Deltoid herzuleiten
a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke
Umkehraufgaben
913 a) f = 2sdotAe
b) e = 2sdotAf
913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an
914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige
Deltoid a) b) c) d)
Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2
Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm
Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm
915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm
915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm
916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus
Rhombus a) b) c) d)
Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm
Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm
Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm
Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm
917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2
b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2
917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm
918 ha = 18 cmwegen f = a
918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =
e2ist
ii
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ii
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162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
94 Trapez941 Wiederholung
Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez
ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet
919 Wiederholt zu zweita)I3)H2
K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze
b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus
c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez
Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes
Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez
ii
ii
ii
ii
94 Trapez 163
942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes
920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth
2
920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes
(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an
Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts
A =(a + c) sdot h
2=
12sdot (a + c) sdot h
921a) A = 4136 mm2
b) A = 2675 mm2
c) A = 36505 cm2
d) A = 2261 cm2
921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a
und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm
922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2
922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form
eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche
923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang
923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit
Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau
924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten
Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht
ii
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ii
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164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2
b) 823446 euro
925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-
daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt
Umkehraufgaben
926 h = 2sdotAa+c
926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an
927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm
927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2
c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2
928 a = 2sdotAhminus c
bzw c = 2sdotAhminus a
928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an
929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch
(1) a = 2Aminusch
times
(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times
(3) a = 2Ahminus c times
(4) a = Ahsdot 2 minus c times
929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c
2h
Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an
930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm
930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm
931 (2)aminusc2= 15 cm (3)
d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp
34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2
931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes
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95 Exercises und Ausblick 165
95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
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166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
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160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten
903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann
904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln
904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre
905 A = d sdotd2
905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904
Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt
A =e sdot f2
Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden
Spezialfall Quadrat A =d sdot d2
=d2
2
906a) A = 294 cm2
b) A = 20335 cm2
c) A = 12685 mm2
d) A = 2418 mm2
906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm
907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt
907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht
908 unendlichviele A = 12 cm2
908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt
909a) A = 2645 mm2
b) A = 10125 mm2
c) A = 098 dm2
d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt
910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit
der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge
911a) A = 9805 cm2
b) A = 2982 cm2
911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm
ii
ii
ii
ii
93 Deltoid 161
912 a) A =e sdot f
2sdot 12sdot 2 = esdotf
2b) e = x + yA = f sdotx
2+ f sdoty
2=
f sdot 12sdot (x + y) = esdotf
2
912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf
2fuumlr das Deltoid herzuleiten
a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke
Umkehraufgaben
913 a) f = 2sdotAe
b) e = 2sdotAf
913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an
914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige
Deltoid a) b) c) d)
Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2
Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm
Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm
915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm
915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm
916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus
Rhombus a) b) c) d)
Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm
Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm
Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm
Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm
917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2
b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2
917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm
918 ha = 18 cmwegen f = a
918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =
e2ist
ii
ii
ii
ii
162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
94 Trapez941 Wiederholung
Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez
ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet
919 Wiederholt zu zweita)I3)H2
K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze
b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus
c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez
Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes
Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez
ii
ii
ii
ii
94 Trapez 163
942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes
920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth
2
920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes
(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an
Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts
A =(a + c) sdot h
2=
12sdot (a + c) sdot h
921a) A = 4136 mm2
b) A = 2675 mm2
c) A = 36505 cm2
d) A = 2261 cm2
921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a
und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm
922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2
922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form
eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche
923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang
923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit
Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau
924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten
Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht
ii
ii
ii
ii
164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2
b) 823446 euro
925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-
daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt
Umkehraufgaben
926 h = 2sdotAa+c
926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an
927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm
927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2
c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2
928 a = 2sdotAhminus c
bzw c = 2sdotAhminus a
928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an
929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch
(1) a = 2Aminusch
times
(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times
(3) a = 2Ahminus c times
(4) a = Ahsdot 2 minus c times
929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c
2h
Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an
930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm
930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm
931 (2)aminusc2= 15 cm (3)
d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp
34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2
931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes
ii
ii
ii
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95 Exercises und Ausblick 165
95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
ii
ii
ii
ii
166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
ii
ii
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93 Deltoid 161
912 a) A =e sdot f
2sdot 12sdot 2 = esdotf
2b) e = x + yA = f sdotx
2+ f sdoty
2=
f sdot 12sdot (x + y) = esdotf
2
912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf
2fuumlr das Deltoid herzuleiten
a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke
Umkehraufgaben
913 a) f = 2sdotAe
b) e = 2sdotAf
913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an
914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige
Deltoid a) b) c) d)
Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2
Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm
Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm
915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm
915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm
916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus
Rhombus a) b) c) d)
Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm
Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm
Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm
Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm
917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2
b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2
917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm
918 ha = 18 cmwegen f = a
918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =
e2ist
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162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
94 Trapez941 Wiederholung
Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez
ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet
919 Wiederholt zu zweita)I3)H2
K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze
b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus
c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez
Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes
Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez
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94 Trapez 163
942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes
920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth
2
920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes
(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an
Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts
A =(a + c) sdot h
2=
12sdot (a + c) sdot h
921a) A = 4136 mm2
b) A = 2675 mm2
c) A = 36505 cm2
d) A = 2261 cm2
921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a
und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm
922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2
922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form
eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche
923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang
923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit
Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau
924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten
Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht
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164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2
b) 823446 euro
925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-
daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt
Umkehraufgaben
926 h = 2sdotAa+c
926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an
927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm
927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2
c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2
928 a = 2sdotAhminus c
bzw c = 2sdotAhminus a
928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an
929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch
(1) a = 2Aminusch
times
(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times
(3) a = 2Ahminus c times
(4) a = Ahsdot 2 minus c times
929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c
2h
Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an
930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm
930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm
931 (2)aminusc2= 15 cm (3)
d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp
34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2
931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes
ii
ii
ii
ii
95 Exercises und Ausblick 165
95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
ii
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166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
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162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
94 Trapez941 Wiederholung
Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez
ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet
919 Wiederholt zu zweita)I3)H2
K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze
b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus
c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez
Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes
Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez
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94 Trapez 163
942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes
920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth
2
920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes
(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an
Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts
A =(a + c) sdot h
2=
12sdot (a + c) sdot h
921a) A = 4136 mm2
b) A = 2675 mm2
c) A = 36505 cm2
d) A = 2261 cm2
921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a
und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm
922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2
922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form
eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche
923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang
923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit
Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau
924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten
Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht
ii
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164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2
b) 823446 euro
925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-
daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt
Umkehraufgaben
926 h = 2sdotAa+c
926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an
927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm
927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2
c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2
928 a = 2sdotAhminus c
bzw c = 2sdotAhminus a
928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an
929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch
(1) a = 2Aminusch
times
(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times
(3) a = 2Ahminus c times
(4) a = Ahsdot 2 minus c times
929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c
2h
Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an
930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm
930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm
931 (2)aminusc2= 15 cm (3)
d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp
34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2
931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes
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95 Exercises und Ausblick 165
95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
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166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
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94 Trapez 163
942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes
920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth
2
920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes
(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an
Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts
A =(a + c) sdot h
2=
12sdot (a + c) sdot h
921a) A = 4136 mm2
b) A = 2675 mm2
c) A = 36505 cm2
d) A = 2261 cm2
921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a
und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm
922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2
922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form
eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche
923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang
923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit
Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau
924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten
Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht
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164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2
b) 823446 euro
925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-
daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt
Umkehraufgaben
926 h = 2sdotAa+c
926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an
927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm
927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2
c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2
928 a = 2sdotAhminus c
bzw c = 2sdotAhminus a
928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an
929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch
(1) a = 2Aminusch
times
(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times
(3) a = 2Ahminus c times
(4) a = Ahsdot 2 minus c times
929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c
2h
Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an
930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm
930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm
931 (2)aminusc2= 15 cm (3)
d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp
34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2
931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes
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95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
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166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
ii
ii
ii
ii
164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2
b) 823446 euro
925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-
daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt
Umkehraufgaben
926 h = 2sdotAa+c
926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an
927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm
927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2
c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2
928 a = 2sdotAhminus c
bzw c = 2sdotAhminus a
928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an
929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch
(1) a = 2Aminusch
times
(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times
(3) a = 2Ahminus c times
(4) a = Ahsdot 2 minus c times
929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c
2h
Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an
930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm
930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm
931 (2)aminusc2= 15 cm (3)
d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp
34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2
931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes
ii
ii
ii
ii
95 Exercises und Ausblick 165
95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
ii
ii
ii
ii
166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
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95 Exercises und Ausblick 165
95 Exercises und Ausblick951 Exercises
vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)
932 a) 0328 dm2
b) 21805 mm2
c) 3185 cm2
932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm
933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal
A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each
other at right angles
The area of the rhombus is given by the following formula where e and f
are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2
934 a) A = 18 cm2
b) asymp 192 cm
934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium
935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square
936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f
937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h
952 Ausblick
Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen
ii
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166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm
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166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken
96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)
938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines
Parallelogramms berechnen Kreuze an
(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale
939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke
(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2
(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2
(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2
(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2
940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912
940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=
esdotf2
fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren
941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden
941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge
einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort
942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4
K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben
3 4
236
943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms
a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2
b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm
944 a) 8225 cm2
b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf
2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein
944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und
f = 35 mmb)I3)H4
K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2
fuumlr den Rhombus gilt
c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen
Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein
945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm
945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben
Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm