Download pdf - 6. 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ · Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 4 6.2. Macierz sztywności elementu Macierz sztywności elementu to macierz

Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 1

6.

6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ

6.1. Wprowadzenie

Dotąd poznaliśmy dwie metody rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych: metodę sił imetodę przemieszczeń. Jednak przy bardzo skomplikowanych układach wieloprętowych, zastosowaniektórejkolwiek z tych metod byłoby uciążliwe, ze względu na konieczność rozwiązywania układu równań zdużą liczbą niewiadomych. Ponieważ metoda sił zazwyczaj dopuszcza wiele możliwych układówpodstawowych, najłatwiejsza do “skomputeryzowania” wydaje się być metoda przemieszczeń (tutaj układpodstawowy jest najczęściej ściśle określony). Dlatego też, coraz częściej, przy rozwiązywaniu układówniewyznaczalnych zastosowanie mają programy komputerowe, które opierają się właśnie na tej metodzie.Przyjrzyjmy się zatem wersji komputerowej metody przemieszczeń.

Do tej pory rozwiązując układy prętowe metodą przemieszczeń zakładaliśmy nieskracalność prętóworaz pomijaliśmy wpływ sił normalnych. Komputerowa wersja pozwala nam uwzględnić te siły, dlategorezygnujemy z zasady nieskracalności prętów. Ponadto zakładamy, że każdy węzeł układu ma własne,niezależne przemieszczenia: dwa przesuwy (pionowy, poziomy) i kąt obrotu. Zwroty przemieszczeńzakładamy zgodnie z przyjętym na potrzeby zadania globalnym układem współrzędnych xy.

Równie istotna jest tutaj numeracja przemieszczeń. Ze względu na trudności, które mogą powstać przyagregacji macierzy sztywności powinna być ona ciągła w obrębie każdego węzła. Poszczególneprzemieszczenia numerowane będą w następującej kolejności: przesuw poziomy, pionowy i kąt obrotu.

y

x

q1

q2

q3

q4

q5

q6q7

q8

q9

Rys. 6.1. Kierunki przemieszczeń węzłów w globalnym układzie współrzędnych (x, y)

Podobnie jak w klasycznej metodzie przemieszczeń rozwiązanie uzyskujemy z układu równań kanonicznych,którego wymiar zależy od liczby przemieszczeń qi:

r11 Z 1 r12 Z 2 r13 Z 3 r19 Z 9 r1 P=0 r21 Z 1 r22 Z 2 r23 Z 3 r29 Z 9 r2 P=0 r31 Z 1 r32 Z 2 r33 Z 3 r39 Z 9 r3 P=0 ⋮r91 Z 1 r92 Z 2 r93 Z 3 r99 Z 9 r9 P=0

Współczynniki rij zależą od geometrii układu i parametrów fizycznych prętów, a nie od obciążeniazewnętrznego. Razem tworzą one macierz charakterystyczną zwaną macierzą sztywności [Kij].

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater


[K ij ]=[r11 r12 r13 r14 r19

r21 r22 r23 r24 r29

r31 r32 r33 r34 r39

⋮r91 r92 r93 r94 r99

]=[rij ]

Niewiadome, oznaczane dotąd Zi to nic innego jak szukane przemieszczenia węzłów qi, które tworzą macierzniewiadomych przemieszczeń węzłowych [q]:

[q]=[q1

q2

⋮q9]=[qi ]

Współczynniki riP również będą tworzyły macierz – tak zwany wektor obciążeń [Pij]:

[Pij ]=−[r1 P

r2 P

⋮r9 P]=−[r iP ]

Można zatem cały układ równań kanonicznych zapisać w postaci równania macierzowego:

[K ij ]9 ×9⋅[qi ]9 ×1=[Pij ]9 ×1

lub ogólniej dla dowolnego układu (n to liczba niezależnych przemieszczeń węzłowych):

[K ij ]n×n⋅[qi ]n×1=[Pij ]n×1 (6.1)

Rozwiązanie równania (6.1) pozwoli nam uzyskać wynik, tak jak w zadaniu klasycznym. Aby jednakmóc przystąpić do obliczeń, należy utworzyć wszystkie potrzebne macierze. Każda z nich powstaje w wynikuagregacji odpowiednich macierzy elementowych (zapisanych dla pojedynczych prętów).

Przyjrzyjmy się zatem pojedynczemu elementowi ramy (e). Przyjmujemy lokalny układ współrzędnychx y , taki, że oś x pokrywa się z osią pręta, a oś y jest do niej prostopadła i tworzą układ prawoskrętny (ośx obraca się w kierunku osi y zgodnie z ruchem wskazówek zegara). W takim układzie lokalnym

numerujemy przemieszczenia oraz reakcje. Dla pręta obustronnie utwierdzonego trzeba określić sześć reakcjiw węzłach (każdemu przemieszczeniu musi odpowiadać reakcja po tym samym kierunku).

x

y

x

y

q2 e

q1 e

q3 e

q4 e

q5 e

q6 e

x

y

R2 eR1

e

R3 e

R4 e

R5 e

R6 e

ei

k

Rys. 6.2. Lokalne kierunki przemieszczeń i reakcji



Warto zauważyć, że numery przemieszczeń nie są powiązane z numerami węzłów. Symbole z “~” oznaczająwielkości w układzie lokalnym. Tak ponumerowane przemieszczenia i reakcje łatwo można zapisać w postaciwektorów:

[ qe]=[q1 e

q2 e

q3 e

q4 e

q5 e

q6 e] [ Re]=[

R1 e

R2 e

R3 e

R4 e

R5 e

R6 e]

Reakcje, które powstaną w utwierdzeniach, to szukane wielkości (siły przekrojowe), opisywane wmetodzie przemieszczeń wzorami transformacyjnymi. Ponieważ w metodzie komputerowej dodatnie siłyprzywęzłowe muszą mieć zwroty zgodne z przyjętym układem współrzędnych, a w metodzie klasycznej byłinny system znakowania, to zachodzą związki:

R1 e=−N ik

R4 e=N ki

R2 e=−T ik

R5 e=T ki

R3 e=M ik

R6 e=M ki

(6.2)

Stosując zasadę superpozycji można zapisać wzór na każdą z tych reakcji w układzie lokalnym. Jeśli użyjemyzapisu macierzowego uwzględniającego wszystkie siły otrzymamy równanie równowagi elementu(pojedynczego pręta):

[ Re]6 ×1=[ K e]6 ×6⋅[ qe]6 ×1[ R0 e]6 ×1 (6.3)

gdzie:

[ Re] - wektor sił przywęzłowych (reakcje) w lokalnym układzie współrzędnych,

[ K e] - macierz charakterystyczna (sztywności) w lokalnym układzie współrzędnych,

[ qe] - wektor przemieszczeń węzłów w lokalnym układzie współrzędnych,

[ R0 e] - wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego w lokalnym układzie współrzędnych.

Przekształcając równanie (6.3) możemy napisać

[ Pe]=[ Re]−[ R0 e]=[ K e]⋅[ qe]

Analogicznie dla całego układu prętowego (układ globalny) można stwierdzić, że wektor obciążeń [Pij] składasię z wartości sił węzłowych i przęsłowych. Możemy zatem zapisać:

[Pij ]=[Pw ]−[R0 ] (6.4)

gdzie:

[Pw] - wektor zewnętrznych sił obciążających węzły konstrukcji,

[R0 ] - wektor sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych w układzie globalnym.



6.2. Macierz sztywności elementu

Macierz sztywności elementu to macierz składająca się z 36 współczynników rij wyznaczonych dlapojedynczego pręta z uwzględnieniem w obliczeniach sił normalnych. W zależności od sposobu zamocowaniapręta w konstrukcji (połączenie sztywne lub przegubowe) otrzymamy różne wartości współczynników. Dlapręta obustronnie sztywno zamocowanego w konstrukcji mamy:

[ K e]=1 l3 [

EAl 2 0 0 −EAl 2 0 00 12 EJ 6 EJl 0 −12 EJ 6 EJl0 6 EJl 4 EJl 2 0 −6 EJl 2 EJl 2

−EAl 2 0 0 EAl 2 0 00 −12 EJ −6 EJl 0 12 EJ −6 EJl0 6 EJl 2 EJl 2 0 −6 EJl 4 EJl 2

] (6.5)

Dysponując macierzą sztywności możemy sprawdzić czy po rozpisaniu któregoś z wierszy równania(6.3) otrzymamy wzór transformacyjny. Spróbujmy zatem rozpisać trzeci wiersz tego równania zakładając, żena pręcie nie ma obciążenia przęsłowego, czyli [ R0

e]=[0 ] . Wykorzystując macierz (6.5) w równaniu (6.3)mamy:

0 q1 e6 EJ

l 2 q2 e4 EJ

l q3 e0 q4

e−6 EJl 2 q5

e 2 EJl q6

e= R3 e (6.6)

Na podstawie zależności (6.2) wiemy, że z równania (6.6) powinniśmy otrzymać wartość Mik.

R3 e=M ik=

4 EJl q3

e 2 EJl q6

e6 EJl 2 q2

e−q5 e

M ik=2 EJ

l [2 q3 eq6

e−3 q5 e−q2

e

l ]Niewiadome qi

e to przemieszczenia węzłów pręta. Zgodnie z oznaczeniami z rys. 6.2 w metodzie klasycznejodpowiednie przemieszczenia mają symbole:

q3 e=i q6

e=k

q2 e=vi q5

e=vk

vk−v i

l=ik

(6.7)

czyli ostatecznie otrzymaliśmy wzór transformacyjny, który jest zgodny z metodą klasyczną:

M ik=2 EJ

l [2 ik−3 ik ]

Rozpiszmy teraz drugi wiersz równania (6.3). Według zależności (6.2) powinniśmy otrzymać wartość Tik.

0 q1 e12 EJ

l 3 q2 e6 EJ

l 2 q3 e0 q4

e−12 EJl 3 q5

e6 EJl 2 q6

e= R2 e (6.8)

−T ik=6 EJ

l 2 [ q3 eq6

e−2 q5 e−q2

e

l ]Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater


T ik=−6 EJ

l 2 [ q3 eq6

e−2 q5 e−q2

e

l ]Podstawiając związki (6.7) otrzymamy poprawny wzór transformacyjny:

T ik=−6 EJl 2 [ik−2 ik ]

Na koniec rozpiszmy jeszcze pierwszy wiersz równania (6.3), pamiętając, że R1 e=−N ik :

EAl q1

e 0 q2 e 0 q3

e− EAl q4

e−0 q5 e−0 q6

e= R1 e (6.9)

−N ik=EAl q1

e− EAl q4

e

−N ik=−EAl q4

e−q1 e

Ponieważ przemieszczenia q1 e i q4

e to przemieszczenia końców pręta wzdłuż jego osi, ich różnicę możemynazwać wydłużeniem lub skróceniem pręta:

q4 e−q1

e= l

Ostatecznie otrzymujemy wartość siły normalnej Nik, która spełnia związki fizyczne:

N ik=EAl

l

W ten sam sposób można rozpisać każdy z wierszy równania (6.3), otrzymując tym samym odpowiedni wzórtransformacyjny metody przemieszczeń.

Nie zawsze jednak mamy do czynienia wyłącznie z prętami obustronnie utwierdzonymi. Jeżeli w składramy wchodzą także pręty zakończone przegubem, mamy dwie możliwości postępowania. Jedna z nich polegana rozwiązywaniu układu z założeniem, że wszystkie pręty są obustronnie utwierdzone, a przegubuwzględniany jest dopiero przy modyfikacji układu ze względu na warunki podparcia. Druga metoda pozwalana uwzględnienie przegubu już na początku obliczeń przez wykonanie tak zwanej redukcji statycznej.

6.3. Redukcja statyczna

W przypadku prętów z przegubem znamy wartość jednej z reakcji Rie . W miejscu przegubu wartość

momentu Mik lub Mki (w zależności czy przegub jest na lewym czy prawym końcu pręta) wynosi zero(rys. 6.3).

ii kk

φi ≠ 0Mik = 0

φk ≠ 0Mki = 0

e e

Rys. 6.3. Pręty z przegubem: na lewym i prawym końcu



czyli odpowiednio:

R3e=0 lub R6

e=0

Należy jednak pamiętać, że zerowa reakcja nie oznacza zerowego przemieszczenia po danym kierunku:

dla R3e=0 q3

e≠0 dla R6

e=0 q6e≠0

Możemy dokonać redukcji macierzy sztywności elementu. Dla pręta z przegubem z lewej strony R3

e=0 przyrównujemy do zera trzeci wiersz z układu (6.3)

6 EJ l q2e4 EJ l 2 q3

e−6 EJ l q5e2 EJ l 2 q6

e=0

Z tego warunku wynika wartość kąta obrotu w przegubie

q3e=− 1

2 l 3 q2e−3 q5

el q6e

Po podstawieniu powyższego wyrażenia do równań równowagi (6.1) porządkujemy zapis i otrzymujemy nowezwiązki. Przykładowo drugie równanie będzie miało postać:

R2e= 1

l 3 [12 EJ q2e6 EJ l⋅ 1

2 l −3 q2e3 q5

e−l q6e−12 EJ q5

e6 EJ l q6e]

R2e= 1

l 3 [3 EJ q2e−3 EJ q5

e3 EJ l q6e]

Zapisując wszystkie związki w formie macierzowej w trzeciej kolumnie otrzymamy same zera (żadna zwielkości nie zależy od q3

e ). Macierz sztywności musi być symetryczna wobec tego w trzecim wierszu takżezapisujemy zera. Inaczej mówiąc trzeci warunek nie wnosi nam nic do zadania i można go pominąć.

[ K e]=1 l 3 [

EAl 2 0 0 −EAl 2 0 00 3 EJ 0 0 −3 EJ 3 EJl0 0 0 0 0 0

−EAl 2 0 0 EAl 2 0 00 −3 EJ 0 0 3 EJ −3 EJl0 3 EJl 0 0 −3 EJl 3 EJl 2

] (6.10)

Postępując podobnie w przypadku pręta z przegubem z prawej strony uzyskamy macierz:

[ K e]=1 l 3 [

EAl 2 0 0 −EAl 2 0 00 3 EJ 3 EJl 0 −3 EJ 00 3 EJl 3 EJl 2 0 −3 EJl 0

−EAl 2 0 0 EAl 2 0 00 −3 EJ −3 EJl 0 3 EJ 00 0 0 0 0 0

] (6.11)



6.4. Wektor sił przywęzłowych

Na wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego składają się reakcje powstałe w podporach(utwierdzeniach lub przegubach) pojedynczego pręta od sił zewnętrznych działających na jego długości. Sąone zgodne z założonymi kierunkami przemieszczeń w lokalnym układzie współrzędnych (rys. 6.2) iodpowiednio ponumerowane. Mogą być wywołane obciążeniem zewnętrznym, temperaturą lub osiadaniempodpór.

x

yx

y

R02 eR01

e

R03 e

R04 e

R05 e

R06 e

e

Rys. 6.4. Lokalne kierunki reakcji od obciążeń przęsłowych

Tak ponumerowane reakcje możemy zapisać w postaci wektora sił przywęzłowych:

[ R0e]=[

R01 e

R02 e

R03 e

R04 e

R05 e

R06 e]

Jeżeli na pręt nie działa obciążenie przęsłowe, temperatura, ani osiadania, to wektor obciążeń jestwektorem zerowym.

[ R0e]=[0 ]

6.4.1. Działanie sił zewnętrznych

Jeżeli obciążeniem pręta są wyłącznie siły skupione lub ciągłe, to wektor sił przywęzłowych będzieskładał się z reakcji pochodzących od tych obciążeń. Jeżeli na pręt działa więcej niż jedno obciążenie, wtedymożemy zastosować zasadę superpozycji a wektor sił będzie się składał z sum odpowiednich reakcji odposzczególnych obciążeń.

W przypadku pręta obustronnie utwierdzonego lub z przegubem z jednej strony wyznaczenie tychreakcji wymagałoby rozwiązania układu statycznie niewyznaczalnego, dlatego też wartości tych reakcjinajczęściej odczytujemy z tablic (tabela 1.2). Przypomnijmy niektóre z nich zwracając uwagę na zwrotyreakcji.



Tabela 6.1. Wartości reakcji R0 e od obciążeń przęsłowych

Schemat belki Wartości reakcji Wektor sił przywęzłowych

x

y

P

a

l

b

x

y

Pb2 l2al3

Pab2

l2

Pa2bl2

Pa2 l2bl3

[ R0e]=[

0

−Pb2 l2 al 3

−Pab2

l 2

0

−Pa2 l2 bl 3

Pa2 bl 2

]x

y

q

l

x

y

ql2

ql2

12

ql2

12

ql2

[ R0e]=[

0

−ql2

−ql 2

120

−ql2

ql 2

12

]x

y

P

a

l

b

x

y

Pbl

Pal [ R0

e]=[−Pbl

0 0

−Pal

0 0]

x

y

q

l

x

y

ql2

ql2 [ R0

e]=[ql2 0 0 ql2 0 0]




x

y

q

l

x

y

3ql8

ql2

8

5ql8

[ R0e]=[

0

−3 ql8

0 0

−5 ql8

ql 2

8

]x

y

q

l

x

y

ql2

ql2 [ R0

e]=[ql2 0 0 ql2 0 0]

6.4.2. Działanie obciążenia termicznego

Wpływ temperatury rozpatrzmy w dwóch osobnych etapach: najpierw przeanalizujemy działanietemperatury t0 rozłożonej równomiernie na wysokości przekroju, a następnie wpływ nierównomiernegoogrzania Δt.

Jeżeli na pręt działają oba rodzaje obciążenia termicznego, na wektor sił przywęzłowych składają sięsumy odpowiednich składników wektorów pochodzących od obu typów obciążenia.

W przypadku działania temperatury równomiernie rozłożonej t0 nastąpi wydłużenie lub skrócenie pręta(w pręcie wystąpią jedynie siły normalne). Trzeba pamiętać, że ogrzanie pręta spowoduje powstanie siłynormalnej ściskającej, natomiast ochłodzenie wywoła siłę rozciągającą. Dzieje się tak ponieważ ogrzany prętchce się wydłużyć a jest zablokowany podporami i nie może się odkształcić. Siła osiowa będzie miała wartość:

N=±EAl

l (6.12)

W wyniku działania temperatury t0, wydłużenie lub skrócenie pręta opisujemy wzorem:

l=t l t0 (6.13)

Po podstawieniu zależności (6.13) do wzoru (6.12) otrzymujemy wartość siły normalnej, wywołanejdziałaniem równomiernego ogrzania pręta:

N=±EAt t0

Otrzymane wyniki zestawiono w tabeli 6.2.



Tabela 6.2. Wartości reakcji R0 e od równomiernego ogrzania


x

yl

t0 > 0

EA

x

y

N < 0

EA αt t0 EA αt t0 [ R0e]=[

EAt t0

0 0

−EAt t0

0 0

]x

yl

t0 < 0

EA

x

y

N > 0

EA αt t0 EA αt t0 [ R0e]=[

−EAt t0

0 0

EAt t0

0 0

]W wyniku działania nierównomiernie rozłożonej temperatury Δt nastąpi zginanie pręta (nie wystąpią

natomiast siły normalne). Należy pamiętać, że w tym przypadku, powstały moment rozciąga włóknachłodniejsze. Jego wartość zależeć będzie od sposobu zamocowania pręta (tabela 6.3). Interpretacja jestpodobna jak poprzednio, włókna zimniejsze chcą się skrócić, a przytrzymane przez podpory nie mogą. Są więcrozciągane.

Tabela 6.3. Wartości reakcji R0 e od nierównomiernego ogrzania


x

yl

tg > td

tg

td

EJ, h

x

y

th

EJ αt Δ

th

EJ αt Δ

[ R0e]=[

0 0

EJ t th

0 0

−EJ t th]

x

yl

tg > td

tg

tdEJ, h

x

y

EJ αt 3 2

thlΔ

EJ αt 3 2

thΔ

EJ αt 3 2

thlΔ

[ R0e]=[

0

−3 2

EJ t th l

0 0

3 2

EJ t th l

−3 2

EJ t th

]W przypadku pręta obustronnie utwierdzonego działające od temperatury momenty równoważą się niewywołując reakcji. Natomiast w pręcie z przegubem wystąpią też siły poprzeczne.



6.4.3. Wpływ osiadania podpór

Jeżeli obciążeniem są osiadania podpór, to możemy zapisać wektor sił przywęzłowych tylko dla tychprętów ramy, których węzły doznają osiadań. Gdy pręt nie łączy się z osiadającymi podporami, to lokalnywektor sił przywęzłowych jest wektorem zerowym:

[ R0e]=[0 ]

W układzie lokalnym pręta można zapisać składowe wektora siły jedynie równoległe bądź prostopadłedo osi pręta. Jeżeli na pręt działa osiadanie liniowe pod kątem do jego osi trzeba je rozłożyć na składowe:równoległą i prostopadłą do osi pręta. Osiadania znakujemy i numerujemy tak samo jak przemieszczenia ireakcje węzłowe (rys. 6.2).

Do zbudowania wektora sił przywęzłowych dla pręta obciążonego osiadaniami wystarczy znajomośćmacierzy sztywności danego pręta. Do tej pory rozpisywaliśmy równanie równowagi elementu (6.3) w celuuzyskania wzorów transformacyjnych. Jeżeli osiadania potraktujemy jako znane przemieszczenia iprzemnożymy je przez macierz sztywności to otrzymamy siły przywęzłowe, które są skutkiem działania tychosiadań.

Przyjrzyjmy się zatem obustronnie utwierdzonemu prętowi, którego węzeł doznaje przemieszczenia (osiadaniapodpory) równoległego do jego osi (rys. 6.5).

x

y

Δxl

EA

Rys. 6.5. Pręt obustronnie utwierdzony obciążony osiadaniem

Osiadanie Δx działa po kierunku pierwszego przemieszczenia, ale z przeciwnym zwrotem. W tym przypadku,na wektor sił przywęzłowych składać się będzie pierwsza kolumna macierzy sztywności dla pręta obustronnieutwierdzonego (6.5), pomnożona przez wartość zadanego osiadania z ujemnym znakiem. Wobec tego wektorznanych przemieszczeń węzłowych ma postać

[ 0e]=[

− x0 0 0 0 0]

Mnożenie macierzowe

[ R0e]=[ K e]⋅[ e]

sprowadza się do skalarnego przemnożenia pierwszej kolumny macierzy (6.5) przez wartość osiadania:



[ R0e]=[

EAl0 0

−EAl0 0]⋅− x =[−

EAl

x

0 0

EAl

x

0 0

]W tabeli 6.4 podano kilka przykładów wyznaczania wektora sił przywęzłowych od przemieszczeń (osiadań)węzłów.

Tabela 6.4. Wartości reakcji R0 e od osiadań podpór


x

y

Δxl

EA

x

y

EAl

EAl Δx

Δx [ R0e]=[−

EAl

x

0 0

EAl

x

0 0

]x

yl Δy

EJx

y

12 EJl3

12 EJl3

6 EJl2

6 EJl2

Δy

Δy

ΔyΔy

[ R0e]=[

0

−12 EJl 3 y

−6 EJl 2 y

0 12 EJ

l 3 y

−6 EJl 2 y

]x

yl

EJ

Δφx

y

3 EJl2

3 EJl

3 EJl2

Δφ

Δφ

Δφ [ R0e]=[

0

−3 EJl 2

0 0

3 EJl 2

−3 EJl

]

Do tej pory zapisywaliśmy macierze sztywności i wektory sił przywęzłowych dla pojedynczych prętów,w ich lokalnych układach współrzędnych. Jednak w celu rozwiązania zadania (ramy wieloprętowej)korzystamy z równania równowagi zapisanego dla całego układu (6.1). Zawiera ono macierz sztywności,wektor przemieszczeń oraz wektor obciążeń stworzony dla wszystkich prętów. Do utworzenia potrzebnych



macierzy dokonuje się agregacji poszczególnych macierzy jednostkowych (wyznaczonych dla pojedynczychprętów). Aby jednak można było zagregować macierze sztywności zapisane dla pojedynczych prętów, musząone dotyczyć jednego, globalnego układu współrzędnych. W tym celu przeprowadza się transformacjęmacierzy zapisanych w układach lokalnych do układu globalnego.

6.5. Transformacja układu współrzędnych

Aby składowe macierzy sztywności i wektora sił przywęzłowych, zapisane w lokalnym układziewspółrzędnych, odnosiły się do przyjętego dla całej konstrukcji, globalnego układu współrzędnych, należy jeodpowiednio przetransformować. W tym celu posłużymy się macierzą transformacji [T]:

[T ]=[cos sin 0 0 0 0−sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 −sin cos 00 0 0 0 0 1

] (6.14)

gdzie kąt α jest kątem mierzonym od osi x układu globalnego do osi x układu lokalnego (rys. 6.6). Za dodatniuznajemy kąt α skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

x

y

xy

α

Rys. 6.6. Globalny i lokalny układ współrzędnych

Prawo transformacji wektora niewiadomych opisujemy wzorem:

[qe]=[T ]T [ qe] [ qe]=[T ][qe ] (6.15)

Podobnie wygląda transformacja wektora sił przywęzłowych:

[R0 e]=[T ]T [ R0

e] (6.16)

W przypadku dwuwymiarowej macierzy sztywności posłużymy się wzorem:

[K e]=[T ]T [ K e][T ] (6.17)

Jeżeli lokalny układ współrzędnych będzie się pokrywał z układem globalnym, zarówno macierzsztywności, jak i wektor sił przywęzłowych po transformacji nie powinny się zmienić:

dla α = 0 [R0 e]=[ R0

e][K e]=[ K e]



Transformacja pozwala nam uzyskać składowe macierzy sztywności i wektora sił przywęzłowych,odniesione do globalnego układu współrzędnych. Składowe wektora sił będą wyrażały teraz reakcjezorientowane zgodnie z osiami globalnego układu współrzędnych (rys. 6.7).

R03(e)

x

y

R01(e)

R02(e)

R04(e)

R05(e)

R06(e)

e

Rys. 6.7. Kierunki reakcji od obciążeń przęsłowych w globalnym układzie współrzędnych (po transformacji)

Jak widać na rys. 6.7, reakcje R03 e i R06

e nie zmieniły kierunku. Ponieważ momenty przywęzłowe niezależą od przyjętego układu współrzędnych, nie zmieniła się także ich wartość:

R03 e= R03

e

R06 e= R06

e

Dysponując macierzami zapisanymi w jednolitym układzie współrzędnych możemy dokonać ich agregacji(złożenia).

6.6. Agregacja macierzy

Agregacja macierzy polega na odpowiednim ułożeniu poszczególnych składników macierzy zapisanychdla kolejnych elementów w odpowiadające im pola w macierzy całkowitej (dla całej konstrukcji). Agregowaćmożna składowe wielu macierzy elementowych, pod warunkiem, że wszystkie dotyczą jednego, globalnegoukładu współrzędnych.

Aby ułatwić sobie odnajdywanie miejsc właściwego położenia poszczególnych elementów, skorzystamyz tak zwanej tabeli alokacji (powiązań). Nie ma uniwersalnej tabeli alokacji. Trzeba sporządzić ją dla każdegozadania oddzielnie, ale korzystamy z niej zarówno do agregacji macierzy sztywności, jak i wektora obciążeń.Tworzeniu takiej tabeli przyjrzymy się agregując wektor obciążeń.

6.6.1. Agregacja wektora obciążeń

Analizie poddamy ramę obciążoną siłami węzłowymi, w której obciążenie przęsłowe może być dowolne(zakładamy zerowe). Istotne jest, aby siły przyłożone w węźle pokrywały się z globalnym układemwspółrzędnych. Gdyby jednak działały w dowolnym kierunku, trzeba by je rzutować i w każdym węźlewyrazić jako składowe równoległe do osi globalnego układu współrzędnych.



x

y

Py

Px

M

1

2

Rys. 6.8. Przykładowa rama obciążona w węźle

Ponieważ umiemy znaleźć i przetransformować wartości reakcji przywęzłowych od obciążeń przęsłowychwystępujące na pojedynczych prętach ramy, narysujmy je dla każdego pręta (rys. 6.9) w odniesieniu doglobalnego układu współrzędnych (po transformacji).

x

y

1

2

R01(1)

R02(1)

R03(1)

R04(1)

R05(1)

R06(1)

R01(2)

R02(2)

R03(2)

R04(2)

R05(2)

R06(2)

Rys. 6.9. Reakcje przywęzłowe w globalnym układzie współrzędnych

Pamiętając, że globalne kierunki reakcji pokrywają się z globalnymi kierunkami przemieszczeń (rys. 6.1),możemy stwierdzić, że na przykład kierunek reakcji R01

(1) pokrywa się z kierunkiem pierwszegoprzemieszczenia q1, a kierunek reakcji R05

(1) pokrywa się z kierunkiem piątego przemieszczenia q5. Podobnezależności można zapisać dla pręta drugiego, np.: kierunek reakcji R01

(2) pokrywa się z kierunkiem czwartegoprzemieszczenia q4. Możemy zatem zestawić te wiadomości w tabeli alokacji (tabela 6.5). w pierwszymwierszu cyfry od 1 do 6 oznaczają sześć kolejnych kierunków w dowolnym elemencie, zgodnych z układemglobalnym (wskaźnik i w symbolu R0i

(2) ). W kolejnych wierszach podano jakim kierunkom globalnychprzemieszczeń (rys. 6.1) odpowiadają one w poszczególnych elementach.

Tabela 6.5. Tabela powiązań dla elementów wektora obciążeń

numer reakcji R0

nr pręta 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 4 5 6 7 8 9



Dzięki tej tabeli wiemy, w którym wierszu macierzy globalnej umieścić wielkość wyznaczoną dlaelementu. Wyrazy wektora obciążeń przywęzłowych są elementami jednoindeksowymi (R0k

(e)), dlatego dookreślenia ich miejsca w wektorze obciążeń wystarczy zamiana k - tego indeksu na nowy, zgodnie z tabeląalokacji. I tak na przykład, reakcja R06

(2) z drugiego pręta zajmie miejsce w dziewiątym wierszu w wektorzeobciążeń, a reakcja R02

(2) zajmie miejsce w wierszu piątym.

Teraz, gdy wiemy już, które wiersze odpowiadają którym reakcjom na pojedynczych prętach, możemyprzystąpić do agregacji wektora obciążeń. Zgodnie ze wzorem (6.4) na wektor obciążeń [Pij] składa się wektorsił węzłowych i wektor sił przywęzłowych.

Numery wierszy, w których znajdą się składowe wektora sił przywęzłowych odczytujemy, jak towyjaśniono powyżej, z tabeli alokacji (powiązań). Jak widać, w niektórych wierszach znajdą się po dwaskładniki, np. na czwarty wiersz składać się będą reakcje R04

(1) z pierwszego pręta i R01(2) z drugiego pręta.

Składowe wektora sił węzłowych to wartości sił działających w węzłach konstrukcji umieszczone wodpowiednich wierszach związanych z kierunkiem ich działania. W naszym przykładzie występują trzy siływęzłowe: Px, Py, i M. Siła Px działa po kierunku czwartego przemieszczenia (reakcji), siła Py działa pokierunku przemieszczenia piątego, a moment M po kierunku przemieszczenia szóstego. I takie właśnie będąich miejsca w wektorze sił węzłowych. Znaki, z jakimi wpiszemy wartości sił węzłowych, przyjmujemyzgodnie z globalnym układem współrzędnych.

[Pij ]=[0 0 0 P x

P y

M0 0 0

]−[R01

1

R02 1

R03 1

R04 1R01

2

R05 1R02

2

R06 1R03

2

R04 2

R05 2

R06 2

]=[−R01

1

−R02 1

−R03 1

P x−R04 1−R01

2

P y−R05 1−R02

2

M −R06 1−R03

2

−R04 2

−R05 2

−R06 2

]=[R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

]6.6.2. Agregacja macierzy sztywności

Agregacja macierzy sztywności przebiega bardzo podobnie do agregacji wektora obciążeń. Posłużymysię tym samym przykładem ramy. Przyjmijmy, że elementy macierzy sztywności prętów 1 i 2 opisują symbole:

[K 1]=[K 11

1 K 12 1 K 13

1 K 14 1 K 15

1 K 16 1

K 21 1 K 22

1 K 23 1 K 24

1 K 25 1 K 26

1

K 31 1 K 32

1 K 33 1 K 34

1 K 35 1 K 36

1

K 41 1 K 42

1 K 43 1 K 44

1 K 45 1 K 46

1

K 51 1 K 52

1 K 53 1 K 54

1 K 55 1 K 56

1

K 61 1 K 62

1 K 63 1 K 64

1 K 65 1 K 66

1]



[K 2]=[K 11

2 K 12 2 K 13

2 K 14 2 K 15

2 K 16 2

K 21 2 K 22

2 K 23 2 K 24

2 K 25 2 K 26

2

K 31 2 K 32

2 K 33 2 K 34

2 K 35 2 K 36

2

K 41 2 K 42

2 K 43 2 K 44

2 K 45 2 K 46

2

K 51 2 K 52

2 K 53 2 K 54

2 K 55 2 K 56

2

K 61 2 K 62

2 K 63 2 K 64

2 K 65 2 K 66

2]

Każdy z elementów macierzy sztywności pojedynczych prętów [K(1)] i [K(2)] ma swoje miejsce wmacierzy globalnej [Kij] o wymiarze 9 x 9 w przypadku układy z trzema węzłami. Aby ułatwić sobieznalezienie tego miejsca posłużymy się tą samą tabelą alokacji, którą wykorzystaliśmy przy agregacji wektoraobciążeń. Nieco inna będzie jedynie interpretacja zależności zawartych w tabeli powiązań, gdyż dotyczyć będąone każdego indeksu dolnego poszczególnych elementów macierzy. Indeks pierwszy oznaczać będzie wiersz,w który należy wpisać element, a indeks drugi kolumnę.

Tabela 6.6. Tabela powiązań dla elementów macierzy sztywności

numer indeksu elementu macierzy

nr pręta 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 4 5 6 7 8 9

Każdy element macierzy sztywności pojedynczego pręta ma oznaczenie dwuindeksowe (Kmn(e)), zatem

aby znaleźć miejsce danego elementu należy zamienić oba indeksy. I tak na przykład element K11(1) dla

pierwszego pręta, po zamianie indeksów będzie elementem K11 całkowitej macierzy sztywności, a elementK35

(2) dla drugiego pręta, po zamianie indeksów będzie elementem K68 całkowitej macierzy sztywności.

Podobnie jak w przypadku wektora obciążeń, w niektórych polach znajdzie się więcej niż jeden elementmacierzy wyznaczony dla pojedynczego pręta. Tak będzie np. z elementem K56 całkowitej macierzysztywności. Składać się na niego będą element K56

(1) z pierwszego pręta i K23(2) z pręta drugiego.

Puste pola, w które nie wpisały się żadne wartości z macierzy sztywności dla pojedynczych prętównajlepiej będzie wypełnić zerami. Zapiszmy zatem całą macierz sztywności po agregacji:

[K ij ]=[K 11

1 K 12 1 K 13

1 K 14 1 K 15

1 K 16 1 0 0 0

K 21 1 K 22

1 K 23 1 K 24

1 K 25 1 K 26

1 0 0 0 K 31

1 K 32 1 K 33

1 K 34 1 K 35

1 K 36 1 0 0 0

K 41 1 K 42

1 K 43 1 K 44

1K 11 2 K 45

1K 12 2 K 46

1K 13 2 K 14

2 K 15 2 K 16

2

K 51 1 K 52

1 K 53 1 K 54

1K 21 2 K 55

1K 22 2 K 56

1K 23 2 K 24

2 K 25 2 K 26

2

K 61 1 K 62

1 K 63 1 K 64

1K 31 2 K 65

1K 32 2 K 66

1K 33 2 K 34

2 K 35 2 K 36

2

0 0 0 K 41 2 K 42

2 K 43 2 K 44

2 K 45 2 K 46

2

0 0 0 K 51 2 K 52

2 K 53 2 K 54

2 K 55 2 K 56

2

0 0 0 K 61 2 K 62

2 K 63 2 K 64

2 K 65 2 K 66

2

]=Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater


=[K 11 K 12 K 13 K 14 K 15 K 16 K 17 K 18 K 19

K 21 K 22 K 23 K 24 K 25 K 26 K 27 K 28 K 29

K 31 K 32 K 33 K 34 K 35 K 36 K 37 K 38 K 39

K 41 K 42 K 43 K 44 K 45 K 46 K 47 K 48 K 49

K 51 K 52 K 53 K 54 K 55 K 56 K 57 K 58 K 59

K 61 K 62 K 63 K 64 K 65 K 66 K 67 K 68 K 69

K 71 K 72 K 73 K 74 K 75 K 76 K 77 K 78 K 79

K 81 K 82 K 83 K 84 K 85 K 86 K 87 K 88 K 89

K 91 K 92 K 93 K 94 K 95 K 96 K 97 K 98 K 99

]Teraz, gdy wykonaliśmy agregację wszystkich macierzy potrzebnych do rozwiązania równania (6.1),

możemy przystąpić do ich modyfikacji, czyli do uwzględnienia warunków podparcia rzeczywistej konstrukcji.

6.7. Warunki podparcia

Jak pamiętamy, pierwszym etapem rozwiązania ramy komputerową metodą przemieszczeń byłowyznaczenie i ponumerowanie kierunków przemieszczeń węzłowych. Zakładaliśmy wówczas, że każdy węzełmoże mieć trzy przemieszczenia, niezależnie czy rama była w danym węźle podparta czy też nie.

Obecność podpór w niektórych węzłach ogranicza swobodę ich przemieszczeń. Jeżeli wiemy, że daneprzemieszczenie w podporze jest równe zero (znamy jego wartość), lub możemy je pominąć ze względu naredukcję statyczną, to musimy wyeliminować równanie równowagi układu (6.1). W tym celu zerujemyodpowiedni wiersz z wektora obciążeń oraz wiersz i kolumnę z macierzy sztywności układu. Jeżeliprzemieszczenie qr jest równe zero, to przy mnożeniu macierzowym cała kolumna r będzie mnożona przezzero. Wobec tego można ją pominąć, a wiersz r będzie niepotrzebnym równaniem (zmniejsza się liczbaniewiadomych). Praktycznie modyfikacja polega na wykreśleniu wiersza i kolumny o numerze kierunku,wzdłuż którego jest podpora.

Ustalmy zatem, które przemieszczenia możemy uznać za zerowe, które możemy pominąć ze względu naredukcję statyczną, a których pominąć nie należy. Ułatwi to nam tabela 6.7, w której podano kilkaprzykładowych zamocowań prętów.

Tabela 6.7. Kierunki i wartości przemieszczeń w węzłach

Schemat podparcia węzła Wartości przemieszczeń Schemat podparcia węzła Wartości przemieszczeń

q1

q2

q3

q1 ≠0 q2 ≠0 q3 ≠0

q1q2

q3q1 =0 q2 =0 q3 =0

q1

q2

q3

q4q1 ≠0 q2 ≠0

q3 ≠0 red. stat.

R3 =0

q4 ≠0 red. stat.

R4 =0

q1q2

q3q1 =0 q2 =0

q3 ≠0 red. stat.

R3 =0

q1

q2

q3

q4 q1 ≠0 q2 ≠0 q3 ≠0

q4 ≠0 red. stat.

R4 =0 q1

q2

q3 q1 =0 q2 =0 q3 ≠0



Obecność podpory sprężystej w węźle ramy uwzględniamy nieco inaczej niż obecność sztywnychpodpór. Ma ona bowiem wpływ na macierz sztywności, a nie jak było do tej pory, na wektor niewiadomychprzemieszczeń. Modyfikacji dokonujemy przez dodanie parametru sztywności k podpory sprężystej doodpowiadającego numerowi jej kierunku wyrazu z przekątnej macierzy sztywności układu.

q1

q2

q3

kq1

q2

q3

Rk =q1 · k

Rys. 6.10. Podpora sprężysta w węźle ramy

W przypadku podpory sprężystej z rys. 6.10, sztywność k dodamy do wyrazu K11 w macierzy sztywnościukładu, ponieważ kierunek reakcji Rk w sprężynie pokrywa się z kierunkiem pierwszego przemieszczenia.

Zastanówmy się zatem, które przemieszczenia będą zerowe w przykładzie z rys. 6.1. Rama mautwierdzenia w dwóch węzłach, możemy zatem napisać, że przemieszczenia w tych węzłach są równe zero:

q1 =q2 =q3 =q7 =q8 =q9 =0

Wynika z tego, że niezerowe są tylko trzy pozostałe przemieszczenia:

q4 ≠0 q5 ≠0 q6 ≠0

Wyzerujmy teraz w wektorze obciążeń wiersze, a w macierzy sztywności wiersze i kolumny, odpowiadającezerowym przemieszczeniom. Na przykład przemieszczenie po kierunku pierwszym jest zerowe, możemy więc“wyzerować” pierwszy wiersz w wektorze obciążeń, oraz pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę w macierzysztywności układu. Jeżeli nie zmieniamy wymiaru macierzy (“zerowe” wiersze pozostają) to na głównejprzekątnej należy wpisać jedynki. W ten sposób mnożenie pierwszego wiersza macierzy sztywności przezwektor przemieszczeń daje warunek q1 = 0. Jeśli tego nie uczynimy macierz sztywności będzie osobliwa (niema rozwiązań).

[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K 44 K 45 K 46 0 0 0 0 0 0 K 54 K 55 K 56 0 0 0 0 0 0 K 64 K 65 K 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

]⋅[q1

q2

q3

q4

q5

q6

q7

q8

q9

]=[0 0 0 R4

R5

R6

0 0 0

]Jeżeli do rozwiązania układu równań użyjemy programu komputerowego, nie będzie miało znaczenia, jakiegojest on wymiaru. Do obliczeń ręcznych wskazane byłoby wykreślenie “wyzerowanych” wierszy i kolumn.Wtedy pozostaną tylko trzy równania:



[K 44 K 45 K 46

K 54 K 55 K 56

K 64 K 65 K 66 ]⋅[q4

q5

q6]=[R4

R5

R6]

Rozwiązaniem powyższego układu jest wektor niewiadomych przemieszczeń [q]. Dysponując rzeczywistymiprzemieszczeniami węzłów można określić wartości sił wewnętrznych.

6.8. Interpretacja wyników

W metodzie przemieszczeń, uzyskane po rozwiązaniu układu równań kanonicznych, wartościprzemieszczeń podstawialiśmy do wzorów transformacyjnych. Otrzymywaliśmy w ten sposób wartości siłprzekrojowych. W wersji komputerowej, siły przekrojowe na każdym z prętów ramy, uzyskamy bezpośrednioz zależności:

N ik=− R1 e N ki= R4

e

T ik=− R2 e T ki= R5

e

M ik= R3 e M ki= R6

e

(6.18)

Jak widać, wystarczy znaleźć wartości reakcji, jakie powstaną w utwierdzeniach prętów w układachlokalnych. Posłuży nam do tego omówione już wcześniej, równanie równowagi pojedynczego pręta wlokalnym układzie współrzędnych (6.3). Tym razem jednak, znamy już zarówno macierz sztywności [ K e] ,jak i wektor sił przywęzłowych [ R0

e] . Znamy też przemieszczenia węzłów, ale w układzie globalnym.Pozostaje nam wyznaczyć wektor przemieszczeń węzłów [ qe] w układzie lokalnym każdego pręta.

Wcześniej zajmowaliśmy się agregacją macierzy całego układu prętowego z macierzy elementowych.Teraz, z globalnego wektora przemieszczeń [q] musimy wydzielić wektory dotyczące poszczególnychelementów prętowych. Aby tego dokonać, ponownie posłużymy się tabelą powiązań.

Przyjmijmy zatem, że dla naszej przykładowej ramy (rys. 6.1) uzyskaliśmy, po rozwiązaniu równaniarównowagi, wektor przemieszczeń [q]:

[q ]=[0 0 0 q4

q5

q6

0 0 0

]=[Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

Q9

]Zgodnie z tabelą powiązań (tabela 6.5), elementy od pierwszego do szóstego z wektora [q], stanowią wektorprzemieszczeń dla pierwszego pręta [q(1)], natomiast elementy od czwartego do dziewiątego, stanowią wektorprzemieszczeń dla drugiego pręta [q(2)]. Wiemy to z analizy ostatniego wiersza tabeli 6.5 alokacji, którydotyczy drugiego pręta. Pokazuje on, które przemieszczenia globalne Qi odpowiadają kolejnymprzemieszczeniom pręta drugiego qi

2 w globalnym układzie współrzędnych.



[q1]=[Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

] [q2]=[Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

Q9

]Aby uzyskać wektory przemieszczeń [ qe] w lokalnym układzie współrzędnych musimy skorzystać z prawatransformacji (6.15) wektora [q(e)] z globalnego do lokalnego układu współrzędnych. Tak przygotowanywektor przemieszczeń podstawiamy do równania (6.3) i na podstawie związków (6.2) wyznaczamy, a potemrysujemy siły wewnętrzne.

6.9. Sprawdzenie wyników

Kontrola wyników w komputerowej wersji metody przemieszczeń wygląda bardzo podobnie jak wklasycznej metodzie przemieszczeń. Nie ma jednak potrzeby sprawdzania symetrii macierzy sztywnościpojedynczych prętów (elementowe macierze sztywności są z założenia symetryczne). Warto natomiast zwrócićuwagę czy macierz sztywności całego układu również jest symetryczna.

6.9.1. Sprawdzenie kinematyczne

Sprawdzenie kinematyczne pozwala ocenić poprawność wykresu momentów zginających. Kontrolękinematyczną przeprowadza się podobnie jak w metodzie sił tzn. opierając się na równaniu pracy wirtualnej:

∑i

Pi i∑i

Rkk=∑j {∫s M M P

EIt t

h ds∫s

N N P

EAt tds∫

s

TT PGA

ds}∑

n

Rn RnP f ∑

m

Bm bm

gdzie:

MP, NP, TP - rzeczywiste siły wewnętrzne,

Δi - niewiadome przemieszczenie,Pi - wirtualna siła jednostkowa,

Rk - reakcja wywołana siłą jednostkową, wirtualną w podporze doznającej przemieszczenia,

k - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór),Rn - reakcja wirtualna w n-tej podporze podatnej,

RnP - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej,

bm - wartość błędu montażu (liniowa lub kątowa) po kierunku m,Bm - siła w pręcie po kierunku wielkości obarczonej błędem.



Przy wykonywaniu kontroli kinematycznej w metodzie przemieszczeń zwykle pomijaliśmy wpływ siłnormalnych i poprzecznych. Ponieważ jednak, wersja komputerowa zakłada uwzględnienie sił normalnych irezygnację z zasady nieskracalności prętów, trzeba pamiętać o uwzględniemiu wpływu sił normalnych wkontroli kinematycznej.

6.9.2. Sprawdzenie statyczne

Zadanie jest rozwiązane poprawnie jeśli w sprawdzeniu statycznym dla całego układu, obciążonegosiłami zewnętrznymi oraz wyznaczonymi przez nas siłami w podporach (dla układu zawieszonego nareakcjach podporowych), okaże się, że prawdziwe są równości:

∑ X =0 ∑ Y=0 ∑M =0

Suma momentów może być zapisana względem dowolnego punktu układu.
