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TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS LINEARES E ESTACIONÁRIOS: ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA - SÉRIES DE FOURIER.
“O excesso de autoconfiança pode comprometer a competência”
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INTRODUÇÃO
Os conhecimentos matemáticos sobre Series de FOURIER são utilizáveis em diversas áreas do saber. Neste material didático serão enfocadas aplicações na área de telecomunicações e de qualidade da energia. Para entendimento das demonstrações matemáticas aqui desenvolvidas é necessário o conhecimento da ortogonalidade das funções seno e coseno, assim como sobre as equações de EULER.
SERIES TRIGONOMÉTRICAS DE FOURIER
Aproveitando as propriedades de ortogonalidade das funções senoe cosenoé possível representar qualquer função periódica em termos dessas funções, utilizando os chamados coeficientes de FOURIER, que nada mais são do que três integrais definidas em um período completo T. Ou seja, se uma determinada função f(t) é uma função periódica de período T é possível representa-la pela serie trigonométrica seguinte:
0
1
( ) cos2 n n
n
af t a n t b senn tω ω
∞
=
= + +∑ (1)
Onde ω = 2π /T
Integrando ambos os lados da equação (1) em um período, temos:
( ) ( )2 20
2 21
( ) cos2
T T
n nT Tn
af t dt a n t b sen n t dtω ω
∞
− −=
= + +
∑∫ ∫ (2)
Considerando que a integral da função seno, assim como a integral da função coseno, em um período, é igual a zero, então a equação (2) pode ser apresentada na forma que segue:
2 2
0
2 2( )
2
T T
T T
af t dt dt
− −
=
∫ ∫
ou
2
0
2( )
2 2 2
T
T
a T Tf t dt
−
= +
∫
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150
Daí,
2
0 2
2( )
T
Ta f t dt
T −= ∫ (3)
Utilizando as relações de ortogonalidade podemos determinar os coeficientes
n na e b da Série de FOURIER multiplicando ambos os lados da equação (1) por ( )cos m tω
e integrando no intervalo [ -T/2, T/2], assim:
( ) ( ) ( ) ( )2 20
2 21
( )cos cos cos2
T T
n nT Tn
af t m t dt a n t b sen n t m t dtω ω ω ω
∞
− −=
= + +
∑∫ ∫ (4)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
20
21
( )cos
cos cos cos cos2
T
T
T
n nTn
f t m t dt
am t a n t m t b sen n t m t dt
ω
ω ω ω ω ω
−
∞
−=
=
+ +
∫
∑∫
( )
2
2
2
21
( )cos
1cos cos( )
2
T
T
T
n nTn
f t m t dt
a n m t a n m t dt
ω
ω ω
−
∞
−=
=
+ + −
∫
∑∫
2
2
2
21
( )cos
1cos( )
2
T
T
T
nTn
f t m t dt
a n m t dt
ω
ω
−
∞
−=
=
−
∫
∑∫ (5)
Quando n m=
[ ]2 2
2 2
1( )cos cos(0)
2
T T
nT Tf t n t dt a t dtω
− −=∫ ∫ (6)
( )2
2
1( )cos
2
T
nTf t n t dt a Tω
−=∫ (7)
Isolando na temos:
2
2
2( )cos
T
n Ta f t n t dt
Tω
−= ∫ (8)
Analogamente multiplicando a equação (1) por ( )sen m tω e integrando termo por
termo entre os limites [ -T/2, T/2], temos:
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( ) ( ) ( ) ( )2 20
2 21
( ) cos2
T T
n nT Tn
af t sen m t dt a n t b sen n t sen m t dtω ω ω ω
∞
− −=
= + +
∑∫ ∫ (9)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
20
21
( ) ( )
cos2
T
T
T
n nTn
f t sen m t dt
asenm t a n t sen m t b sen n t sen m t dt
ω
ω ω ω ω ω
−
∞
−=
=
+ +
∫
∑∫
( )
2
2
2
21
( )
1cos cos( )
2
T
T
T
n nTn
f t sen m t dt
b n m t b n m t dt
ω
ω ω
−
∞
−=
=
− − +
∫
∑∫
2
2
2
21
( )
1cos( )
2
T
T
T
nTn
f t sen m t dt
b n m t dt
ω
ω
−
∞
−=
=
−
∫
∑∫ (10)
Quando n m= ,
[ ]2 2
2 2
1( ) cos(0)
2
T T
nT Tf t sen n t dt b t dtω
− −∫ ∫ (11)
( )2
2
1( )
2
T
nTf t sen n t dt b Tω
−=∫ (12)
Isolando nb temos:
2
2
2( )
T
n Tb f t sen n t dt
Tω
−= ∫ (13)
Os três termos 0, n na b e c são chamados de coeficientes de FOURIER e a equação
(1) é denominada série trigonométrica de Fourier.
Quando a função ( )f t for par: ( ) ( )f t f t= − os coeficientes nb serão nulos. Por sua
vez, quando a função ( )f t for impar: ( ) ( )f t f t= − − então os coeficientes na serão nulos.
Nesses casos, o esforço matemático para calcular aqueles coeficientes é reduzido.
O coeficiente 0a pode ser determinado calculando a área ao longo do período,
multiplicada por 2/T.
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A forma fase-ângulo da Série Trigonométrica de FOURIER é dada por:
( )0
0
( ) cos2 n n
n
af t c n tω δ
∞
=
= + +∑ (14)
Onde
( )1
2 2 2 1,2,3...n n nc a b n= + = (15)
1 1,2,3,...nn
n
btg n
aδ −
= − =
(16)
SERIES EXPONENCIAIS DE FOURIER
Em muitas aplicações das Séries de FOURIER é conveniente representar essas séries em termos de exponenciais complexos, do tipo:
j te ω±
Sendo a Série de FOURIER de uma função f(t) periódica dada por:
0
1
( ) cos2 n n
n
af t a n t b senn tω ω
∞
=
= + +∑ (17)
Onde ω = 2π /T
E considerando que as funções seno e coseno, também podem ser apresentadas na forma exponencial a partir das Equações de EULER, ou seja:
( )1cos
2jn t jn tn t e eω ωω −= + (18)
( )1
2jn t jn tsenn t e e
jω ωω −= − (19)
Então, substituindo essas equações na equação (15) temos:
( ) ( )0
1
1 1( )
2 2 2jn t jn t jn t jn t
n nn
af t a e e b e e
jω ω ω ω
∞− −
=
= + + + −∑ (20)
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( ) ( )0
1
1( )
2 2jn t jn t
n n n nn
af t a b j e a b j eω ω
∞−
=
= + − + +∑ (21)
Fazendo:
0 0
1
2c a= (22)
( )1
2n n nc a jb= − (23)
( )1
2n n nc a jb− = + (24)
Então
2 22 1 0 1 2( ) ... ...j t j t j t j tf t c e c e c c e c eω ω ω ω− − −
− −= + + + + + + (25)
Ou
01
( ) jn t jn tn n
n
f t c c e c eω ω∞
−−
== + +∑ (26)
Simplificando:
( ) 0jn t
nn
f t c c e ω∞
=−∞= + ∑ (27)
Que é conhecida como forma complexa da Série de FOURIER ou Série Complexa de FOURIER da função f(t).
As integrais dos coeficientes nc são obtidas multiplicando ambos os membros da
equação tal por jn te ω− e em seguida integrando essa equação no intervalo de um período.
Assim:
2
2
1( )
T jn tn T
c f t e dtT
ω−
−= ∫ (28)
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EXEMPLO NUMÉRICO 1
Considere uma função ( )f t = tal que ( ) ( )6f t f t= + definida como segue:
( )f t = -1 para -3 < t < 0
( )f t = 1 para 0 <t < 3
Fig.1 - Forma de onda quadrada
Determinação dos coeficientes de FOURIER:
( ) ( )0 3
0 3 0
1 10 3 3 0 0
3 3a dt dt
− = − + = − + + − = ∫ ∫
O que era de esperar tendo em vista que o valor médio da função f(t) em um período é igual à zero.
3 0 3
3 3 0
0 3
3 0
1 1( )cos( ) ( 1)cos( ) (1)cos( )
3 3
1 ( ) ( )0
3
na f t n t dt n t dt n t dt
sen n t sen n t
n n
ω ω ω
ω ωω ω
− −
−
= = − +
= − + =
∫ ∫ ∫
Para n=1, 2, 3,...
Resultado previsível, na medida em que a função ( )f t é uma função impar.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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3 0 3
3 3 0
0 3
3 0
1 1( ) ( ) ( 1) ( ) (1) ( )
3 3
1 cos( ) cos( )
3
nb f t sen n t dt sen n t dt sen n t dt
n t n t
n n
ω ω ω
ω ωω ω
− −
−
= = − +
= −
∫ ∫ ∫
Sabemos que cos( ) cos( ) cos(0) 1eθ θ− = = , e ntão:
[ ]1cos(0) cos( 3 ) cos(3 ) cos(0)
3nb n nn
ω ωω
= − − − +
Neste caso 2
3T
π πω = = , logo:
( )21 cosnb n
nπ
π = −
Daí,
1 2
4; 0b b
π= =
3 4
4; 0
3b b
π= =
5 6
4; 0
5b b
π= =
Portanto:
( ) ( ) ( )4 4 4( ) 3 5 ...
3 5f t sen t sen t sen tω ω ω
π π π= + + +
Ou,
( ) ( ) ( )4 1 1( ) 3 5 ...
3 5f t sen t sen t sen tω ω ω
π = + + +
A seguir serão apresentadas formas de ondas obtidas por meio de programas computacionais desenvolvidos no ambiente MATLAB.
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156
-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Forma de onda
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Forma de onda
n = 1 n = 3
-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Forma de onda
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Forma de onda
n = 9 n = 19
-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Forma de onda
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Forma de onda
n = 49 n = 99 Fig.2 - Formas de ondas para diferentes contribuições de harmônicas
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157
n = 3
n = 5
Fig.3 - Composição da Forma de onda
-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Composição da forma de onda
-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Composição da forma de onda
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Construção de uma onda quadrada: o efeito Gibbs
n = 9
Fig.4 - Visualização do efeito GIBBS em duas dimensões
n = 20
Fig.5 - Visualização do efeito GIBBS em três dimensões
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REPRESENTAÇÃO DE SINAIS PERIÓDICOS NÃO SENOIDAIS FORMA DE ONDA
A representação dos valores instantâneos de um sinal em função do tempo é denominada de Forma de onda. TEOREMA DE FOURIER
O Teorema de Fourier estabelece que todo sinal periódico não senoidal pode ser decomposto em uma série de ondas senoidais com freqüências múltiplas inteiras, da freqüência fundamental. Cada uma dessas ondas tem uma determinada amplitude, acrescida, em alguns casos, de uma componente contínua, ou seja, de freqüência zero. As ondas senoidais de freqüências múltiplas da fundamental são denominadas harmônicas. Um sinal senoidal é facilmente obtido e sua especificação se resume à freqüência, à amplitude e à sua fase. Portanto, a análise de sinais periódicos complexos pode ser transformada na análise de um conjunto de sinais senoidais distintos. ESPECTRO
A representação de um sinal senoidal por meio de um gráfico que mostra a amplitude versus a freqüência é conhecida por Espectro de linha. Para um sinal periódico e não senoidal o Espectro de linha apresenta, num único gráfico, as diversas componentes senoidais em que o sinal original pode ser decomposto, em termos da freqüência e respectiva amplitude. ESPECTOGRAMA
A representação da evolução dos espectros de linha do sinal em função do tempo é denominada Espectrograma.
As figuras a seguir apresentam o Espectro de linhas e o Espectrograma de uma onda quadrada, definida como segue:
( ) 1 0f t para tω ω π= ≤ ≤
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160
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Espectro de Linha
Val
or d
a H
arm
ônic
a
nº da Harmônica
n = 9
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Espectro de Linha
Val
or d
a H
arm
ônic
a
nº da Harmônica
n = 20
Fig. 6 - Espectros de linha de uma onda quadrada
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161
Fig.7 - Espectrograma de uma onda quadrada
Observe a componente de maior nível (fundamental) em 1000 Hz com cor vermelha. O harmônico 9, em 9000 Hz é bem mais fraco, de cor azul claro. Neste caso particular, o espectrograma não traz muita informação suplementar, em relação ao espectro, a não ser a confirmação de que a freqüência do sinal é constante no tempo. Entretanto, o espectrograma é de fundamental importância para analisar a evolução espectral de um sinal complexo e variável no tempo, como por exemplo, um sinal de voz ou áudio. O espectrograma também pode ser mostrado de forma tridimensional, como no exemplo abaixo, onde o espectro e desenhado normalmente e em seguida empurrado para traz com um pequeno deslocamento para dar lugar a um novo espectro. Ficam visíveis além do espectro atual, os espectros passados no tempo.
Fig.8 - Espectrograma na forma tridimensional
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162
EXEMPLO NUMÉRICO 2
Considere uma função ( )f t tal que ( )f t = ( )6f t + definida como segue:
( ) Vf t t
T=
Fig.9 - Forma de onda dente de serra
Determinação dos coeficientes de Fourier:
2 66
0 0 `0
2 20 40
6 6 36 2
ta t dt
= =
∫
0
40 360
36 2a = −
0 20a =
Cálculo de na
( )6
0
2 20cos
6 6na t n t dtω= ∫
Utilizando o método de integrais por partes:
;u t du dt= =
( ) ( )1cos ;dv n t dt v sen n t
nω ω
ω= =
0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8
10
12
14
16
18
20
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163
Então
( ) ( )40 1
36n
ta sen n t sen n t dt
n nω ω
ω ω = −
∫
Resolvendo a integral indefinida
( ) ( )6
2 20
40 1cos
36n
ta sen n t n t
n nω ω
ω ω = +
( ) ( ) ( )2 2 2 2
40 6 1 16 cos 6 cos 0
36na sen n nn n n
ω ωω ω ω
= + −
( ) ( ) ( )2 2 2 2
40 18 9 92 cos 2 cos 0 0
36na sen n nn n n
π ππ π π
= + − =
( )6
0
2 20
6 6nb t sen n t d tω= ∫
Utilizando o método de integrais por partes:
;u t du d t= =
( ) ( )1; cosdv sen n t dt v n t
nω ω
ω= = −
Então
( ) ( )40 1cos cos
36n
tb n t n t dt
n nω ω
ω ω = − − −
∫
( ) ( )6
2 20
40 1cos
36n
tb n t sen n t
n nω ω
ω ω = − +
( ) ( )2 2
40 18 9cos 2 2 0
36nb n sen nn n
π ππ π
= − + −
( )20cos 2nb n
nπ
π= −
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164
Portanto a função original pode ser escrita na forma que segue:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 10 20 510 2 3 4 ....
3f t sen t sen t sen t sen tω ω ω ω
π π π π= − − − − −
ou
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 3 4 ....20
10 2 3 4sen t sen t sen t sen t
f tω ω ω ω
π
+ + + − = −
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165
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20Forma de onda
0 1 2 3 4 5 6
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20Forma de onda
n = 2 n = 3
0 1 2 3 4 5 6-5
0
5
10
15
20
25Forma de onda
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25Forma de onda
n = 10 n = 15
0 1 2 3 4 5 6-5
0
5
10
15
20
25Forma de onda
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25Forma de onda
n = 40 n = 100 Fig.10 - Formas de ondas para diferentes contribuições de harmônicas
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166
0 1 2 3 4 5 6 -10
-5
0
5
10
15
20
n = 2
0 1 2 3 4 5 6 -10
-5
0
5
10
15
20
n =3
Fig.11 - Formas de ondas para diferentes contribuições de harmônicas
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167
0 1 2 3 4 5 6 70
2
4
6
8
10
12 Espectro de Linha
no. Harmônica
Val
or d
a H
arm
ônic
a
n = 7
0 5 10 150
2
4
6
8
10
12 Espectro de Linha
no. Harmônica
Val
or d
a H
arm
ônic
a
n = 15
Fig. 12 - Espectro de linhas para diferentes contribuições de harmônicas
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168
EXEMPLO LITERAL 1
Considere uma função ( )f tω tal que ( )f tω = ( )2f tω π+ definida como segue
( ) 0V
f t t para tω ω ω ππ
= ≤ ≤
( ) 0 2f t para tω π ω π= ≤ ≤
Fig.13 - Forma de onda dente de serra
Determinando os Coeficientes de FOURIER
0 0
2
2
Va t d t
πω ω
π π= ∫
( )2
20 2 202 2
V t Va
πω ππ π
= =
0 2
Va =
0
1cosn
Va t n t d t
πω ω ω
π π= ∫
Utilizando o método de integrais por partes:
;u t du d tω ω= = 1
cos ;dv n t v sen t d tn
ω ω ω= =
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0
5
10
15
20
25
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169
Assim
2
1n
V ta senn t senn t d t
n n
ω ω ω ωπ
= − ∫
Resolvendo a integral indefinida
2 2 0
1cosn
V ta senn t n t
n n
πω ω ωπ
= +
2 2 2
1 1cos 0 cos0n
Va senn n
n n n
π π ππ
= + − +
2 2 2
1 1cosn
Va n
n nπ
π = −
( )2 2cos 1n
Va n
nπ
π= −
0
1n
Vb t senn t d t
πω ω ω
π π= ∫
Utilizando o método de integrais por partes:
;u t du d tω ω= =
1; cosdv senn t v n t
nω ω= = −
Assim
2
1cosn
V tb con t n t d t
n n
ω ω ω ωπ
= − − − ∫
Resolvendo a integral indefinida
2 2 `0
1n
V tb con t senn t
n n
πω ω ωπ
= − +
2 2
10n
Vb con senn
n n
π π ππ
= − + −
cosn
Vb n
nπ
π= −
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170
Portanto a função original pode ser escrita na forma que segue:
( ) 2
2 1 1 1 1cos cos3 cos5 ... 2 3 ...
4 9 25 2 3
V V Vf t t t t sen t sen t sen tω ω ω ω ω ω ω
ππ = − + + + + − + −
EXEMPLO NUMÉRICO 3 Considere um ramo RC série (R=10Ω, C=80µF), alimentado por um sinal, com período de 2π , do tipo indicado na figura 14. Calcular: a) O valor eficaz de tensão e de corrente; b) a potência média dissipada no circuito; c) as contribuições de dissipação de potência de cada harmônica; d) a tensão nos terminais do capacitor devido a cada harmônica; e) o THD de tensão e de corrente, do sistema, fazendo ω=500rad/s.
Fig.14 - Forma de onda Trem de pulsos Decompondo a função de excitação em séries de FOURIER, tem-se:
[ ]0
0
2 200200 0
2a d t
πω π
π π−= = +∫
0 200a =
0na =
0200
nb senn t d tπ
ω ωπ −
= ∫
-4 -2 0 2 4 6 8 10 0 20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
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171
( )0200 200
cos cos0 cosnb n t nn nπ
ω ππ π−
= − = − − −
( )2001 cosnb n
nπ
π= − −
1 2
400; 0b b
π= − =
3 4
400; 0
3b b
π= − =
Portanto
( ) 400 1 1100 3 5 ...
3 5iV t sen t sen t sen tω ω ω ωπ
= − + + +
Ou
( ) 100 127,4 500 42,46 1500 25,47 2500 ...iV t sen t sen t sen tω = − − − −
a) Cálculo dos valores eficazes Para a tensão:
x
12
2 2 2 20 1 2 3ma max max
1 1 1...
2 2 2efV V V V V = + + + +
( ) ( ) ( )12
2 2 22 1 1 1100 127,32 42,44 25,47
2 2 2efV = + + +
139,03efV volts=
Para a corrente
500ω =
1
110 25 26,92 /_ 68,2Z R j j
Cω= − = − = − °
( )1max1
1
4,73 500 68,2V
I sen tZ
= = + °
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172
1500ω =
3
110 8,33 13,02 /_ 39,80Z R j j
Cω= − = − = − °
( )3max3
3
3,26 1500 39,80V
I sen tZ
= = + °
2500ω =
5
110 5 11,18 /_ 26,56Z R j j
Cω= − = − = − °
( )5max5
5
2,28 2500 26,56V
I sen tZ
= = + °
Daí,
( ) ( ) ( ) ( )10 4,73 500 68,2 3,26 1500 39,80 2,28 2500 26,56i t sen t sen t sen tω = − + ° − + ° − + ° Daí,
12
2 2 2 20 1 2 3max max max
1 1 1...
2 2 2efI I I I I = + + + +
( ) ( ) ( )12
2 2 22 1 1 110 4,73 3,26 2,28
2 2 2efI = + + +
10,91efI A=
b) cálculo da potência média do circuito.
2 210.(10,91)efP RI= =
1190,99P watts=
c) contribuições de dissipação de potência do valor médio e de cada harmônica
0 0 0 1000P V I watts= =
1 1 1 1max max
1cos 118,82
2P V I wattsθ= =
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173
2 2 2 2max max
1cos 53,17
2P V I wattsθ= =
3 3 3 3max max
1cos 25,97
2P V I wattsθ= =
0 1 2 3 1190,96TP P P P P watts= + + + =
d) Tensão nos terminais do capacitor A função de transferência, no domínio da freqüência, tendo a tensão nos terminais do capacitor como saída é dada por:
( )( )
0
1
1i
V j j C
V jR
j C
ω ωω
ω
=
+
( )( )
0
1
1i
V j j C
V j j RC
j C
ω ωω ω
ω
=
+
Assim,
( )( )
0 1 11i
V j
V j Rj C
R
ωω ω
= +
Para o valor médio
( )0 100V dc =
Para 500ω =
( )( ) ( )
0 0,10,928 /_ 21,8
0,1 0,04i
V j
V j j
ωω
= = − °+
( ) ( )0 0,928 /_ 21,8 .127,39V jω = − °
( )0 118,2 /_ 21,8V jω = − °
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174
( )0 118,2 (500 21,8 )v t sen t= − °
Para 1500ω =
( )( ) ( )
0 0,10,156 /_ 50,19
0,1 0,12i
V j
V j j
ωω
= = − °+
( ) ( )0 3º 0,156 /_ 50,19 .42,46V H = − °
( )0 3º 6,63/_ 50,19V H = − °
( )0 6,63 (500 50,19 )v t sen t= − °
Para 2500ω =
( )( ) ( )
0 0,10,223/_ 63,43
0,1 0,2i
V j
V j j
ωω
= = °+
( ) ( )0 5º 0,223/_ 63,43 .25,47V H = − °
( )0 5º 5,69 /_ 63,43V H = − °
( )0 5,69 (500 63,43 )v t sen t= − °
Portanto
( )0 100 118,2 (500 21,8 ) 6,63 (1500 50,19 ) 5,69 (2500 63,43 ) ...V t sen t sen t sen tω = − − ° − − ° − − ° +
e) cálculo dos THD (Distorção Harmônica Total) Para a Tensão
( ) 100 127,4 500 42,46 1500 25,47 2500 ...iV t sen t sen t sen tω = − − − −
1
2 22
2 221 1
m nefdcV
nef ef
VVTHD
V V=
= +
∑
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175
12 2 2 2
2 2 2
100 30,02 18,01
90,08 90,08 90,08VTHD
= + +
1,176VTHD =
Ou a partir do valor eficaz de tensão, como segue:
12 2
1
1efV
ef
VTHD
V
= −
12 2
139,031 1,176
90,08VTHD = − =
Para a corrente
( ) ( ) ( ) ( )10 4,73 500 68,2 3,26 1500 39,8 2,28 2500 26,56I t sen t sen t sen tω = − + ° − + ° − + °
1
2 22
2 221 1
m nefdcI
nef ef
IITHD
I I=
= +
∑
1
2 2 2 2
2 2 2
10 2,3 1,6
8,96 0,47 0,23ITHD
= + +
3,11ITHD =
Ou a partir do valor eficaz da corrente, como segue:
1
2 2
1
1efI
ef
ITHD
I
= −
1
2 210,91
1 3,113,34ITHD
= − =
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176
Conhecendo as taxas de distorção total da corrente e da tensão é possível então determinar os valores eficazes verdadeiros para a tensão e para a corrente, respectivamente, como segue:
2
1 1 10,91ef IefI I THD A= + =
2
1 1 139,03ef VefV V THD volts= + =
EXEMPLO NUMÉRICO 4
Considere uma função ( )f tω tal que ( )f tω = ( )2f tω π+ definida como segue:
( )2
Vf t tω ω
π=
Fig. 15 - Forma de onda dente de serra
Determinação dos coeficientes de Fourier:
( )2 22
0 2 00
2 20 10
2 2 2a t d t t
π πω ω ωπ π π
= = ∫
( )20 2
54 0a π
π= −
0 20a =
0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8
10
12
14
16
18
20
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177
Cálculo de na
( )2
0
2 20cos
2 2na t n t d tπ
ω ω ωπ π
= ∫
Utilizando o método de integrais por partes:
;u t du d tω ω= =
( ) ( )1cos ;dv n t d t v sen n t
nω ω ω= =
Tem-se
( ) ( )2
10 1n
ta sen n t sen n t d t
n n
ω ω ω ωπ
= − ∫
Resolvendo a integral indefinida
( ) ( )2
2 20
10 1cosn
ta sen n t n t
n n
πω ω ωπ
= +
( ) ( ) ( )2 2 2
10 2 1 12 cos 2 cos 0na sen n n
n n n
π π ππ
= + −
0na =
( )2
0
2 20
2 2nb t sen n t d tπ
ω ω ωπ π
= ∫
Utilizando o método de integrais por partes:
;u t du d tω ω= =
( ) ( )1; cosdv sen n t d t v n t
nω ω ω= = −
Tem-se
( ) ( )2
10 1cos cosn
tb n t n t d t
n n
ω ω ω ωπ
= − − − ∫
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178
( ) ( )2
2 20
10 1cosn
tb n t sen n t
n n
πω ω ωπ
= − +
( ) ( )2 2
10 2 1cos 2 2 0nb n sen n
n n
π π ππ
= − + −
( )20cos 2nb n
nπ
π= −
Portanto a função original pode ser escrita na forma que segue:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 10 20 510 2 3 4 ....
3f t sen t sen t sen t sen tω ω ω ω ω
π π π π= − − − − −
ou
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 3 4 ....20
10 2 3 4sen t sen t sen t sen t
f tω ω ω ω
ωπ
+ + + + = −
Outra opção para resolver essa questão é utilizar a fórmula exponencial de Fourier, como segue:
00 10
2
aC = =
2
0
1 20
2 2jn t
nC t e d tπ ωω ω
π π− =
∫
ou
( )2
2 0
20
2jn t
nC t e d tπ ωω ω
π−= ∫
Fazendo,
u t du d tω ω= =
jn tjn t e
dv e vjn
ωω
−−= =
−
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179
Então,
( )2
20
2
jn tjn t
n
t eC e d t
jn jn
ωωω ω
π
−−
= − − − ∫
( ) ( )2 2
20
2
jn tjn t
n
t eC e
jn jn
ωωω
π
−−
= −
− −
( ) ( )( )
2
2 2 0
201
2
jn t
n
eC jn t
jn
ω πω
π
− = − −
−
( )( ) ( )
( )( )
2
2 2 0
cos201
2n
n t jsen n tC jn t
jn
πω ωω
π
−= − −
−
( )( ) ( )
( )( )
( )2 2 2
cos 2 220 12 1
2n
n jsen nC jn
jn jn
π ππ
π
−= − − +
− −
( )( )
( ) ( )2 2 2
2 120 1
2n
jnC
jn jn
ππ
− −= +
− −
( )( )
( )2 2
2 1 120
2n
jnC
jn
ππ
− − +=
−
daí
10nC j
nπ=
Portanto
2 25 10 10 5( ) ... 10 ..j t j t j t j tf t j e j e j e j eω ω ω ωω
π π π π− − = − − + + + +
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180
A partir da forma exponencial é possível determinar a respectiva forma trigonométrica, como segue:
0 02a C=
10 10n n na C C j j
n nπ π−= + = +−
0na =
( ) 10 10n n nb j C C j j j
n nπ π− = − = − −
20nb
nπ= −
Assim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 3 4 ....20
10 2 3 4sen t sen t sen t sen t
f tω ω ω ω
ωπ
+ + + + = −
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181
EXEMPLO NUMÉRICO 5
Considere uma função ( )f tω tal que ( )f tω = ( )2f tω π+ definida como segue:
( ) 3030 0f t t para tω ω π ω
π= + − ≤ ≤
( ) 3030 0f t t para tω ω ω π
π= − + ≤ ≤
Fig.16 - Forma de onda Triangular
Determinação dos Coeficientes de Fourier
0
0 0
2
2
K Ka t K d t t K d t
π
πω ω ω ω
π π π−
= + + − +
∫ ∫
2 20
002 2
K t ta t t
π
π
ω ωω ωπ π π−
= + + − +
2 2
0 02 2
Ka
π ππ ππ π π
= − + − +
0 2 2
Ka
π ππ ππ = − + − +
0a K=
-4 -2 0 2 4 6 8 10 0
5
10
15
20
25
30
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182
0
0
2cos cos
2n
K Ka t K n t d t t K n t d t
π
πω ω ω ω ω ω
π π π−
= + + − +
∫ ∫
0 02cos cos
2n
Ka t n t d t K n t d t
π πω ω ω ω ω
π π− −
= + +
∫ ∫
0 0
cos cosK
t n t d t K n t d tπ π
ω ω ω ω ωπ
− +
∫ ∫
fazendo
;u t du d tω ω= =
1cos ;dv n t v sen n t
nω ω= =
Tem-se
0
2
1cosn
K t Ka sen n t sen n t d t n t d t
n n π
ω ω ω ω ω ωππ −
= − + +
∫ ∫
2 0
1cos
K t Ksen n t sen n t d t K n t d t
n n
πω ω ω ω ω ωππ
− − +
∫ ∫
( )0 0
2 2
1cosn
K t Ka sen n t n t sen n t
n nn π π
ω ω ω ωππ − −
= + +
( )2 2 0 0
1cos
K t Ksen n t n t sen n t
n nn
π πω ω ω ωππ
− + +
( ) ( ) 2 21 cos cos 1n
Ka n n
nπ π
π = − − − −
Sendo
( ) ( )cos cosn nπ π= −
então
( ) ( ) 2 21 cos 1 cosn
Ka n n
nπ π
π = − + −
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183
ou
( )2 2
21 cosn
Ka n
nπ
π= −
Sendo a função ( )f tω par então
0nb =
Portanto
( ) 2
120 1 130 cos cos 3 cos 5 ...
9 25f t t t tω ω ω ω
π = + + + +
Ninguém é insubstituível. Só os arrogantes pensam assim e estão equivocados.
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184
TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS LINEARES E ESTACIONÁRIOS: CONVOLUÇÃO
Aquele que convive apenas com pessoas medíocres, Mais cedo ou mais tarde será um deles,
Ou será confundido com eles
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185
INTRODUÇÃO
A convoluçãoencontra ampla aplicação nas diversas áreas da Engenharia Elétrica. Entre outras aplicações, pode ser utilizada para determinar a resposta estado zero de um determinado sistema, a qual é obtida fazendo-se a convolução entre o sinal de excitação e a resposta ao impulso desse sistema. Também se apresenta como poderosa ferramenta para encontrar a transformada inversa de LAPLACE de funções complexas. Além disso, por meio do Teorema da Convoluçãoé amplamente utilizada em processamento digital
de imagens. CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES
Sejam ( )f f t= e ( )g g t= funções integráveis e cujo produto também seja uma
função integrável, então a convolução ou produto de convoluçãoé definida como
segue:
( ) ( )0
*t
f g f g t dτ τ τ= −∫
onde o operador denota a operação de convolução. PROPRIEDADES
Para a convolução de funções são válidas as propriedades que seguem: 1. Comutativa: * *f g g f=
2. Associativa: * ( * ) ( * ) *f g h f g h=
3. Distributiva: * ( ) ( * ) ( * )f g h f g f h+ = +
4. Nulidade: *0 0f =
5. Identidade: * ( )f t fδ = onde ( )tδ é a função delta de Dirac.
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186
CONVOLUÇÃO ENTRE DOIS PULSOS RETANGULARES
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Função Pulso retangular
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Função Pulso retangular
Fig. 1 – Pulso retangular
Ao deslocarmos a função ( )W τ para a esquerda, gerando a função ( )W t τ− , tanto
uma quanto a outra extremidade dessa função deve ser deslocada de +t, tornando-se ( )1 t− + e ( )1 t+ , respectivamente. Assim, a convoluçãocomeçará a ser diferente de zero
no instante em que ( )1 1t+ = − ou seja, 2t = − . Pelo mesmo raciocínio, a convoluçãoserá
máxima quando ( )1 1t+ = ou seja, 0t = e tornando-se zero a partir do instante em que
( )1 1t− + = , ou 2t = .
( ) ( ) ( )
2 0
11* 4 4 4 1 41 1
4 4 4
4 8
t
ttV t W t d t
t
t
τ τ τ
− ≤ ≤++− = = = + +∫− −
= + += +
( ) ( ) ( )
0 2
11* 4 4 4 4 11 1
4 4 4
4 8
t
V t W t d tt t
t
t
τ τ τ
≤ ≤
− = = = − − +∫− + − +
= + −= − +
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 convolução
Fig. 2 – Convolução de dois pulsos retangulares
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187
TEOREMA DA CONVOLUÇÃO
A transformada de Laplace do um produto de duas funções não é igual ao produto
das transformadas de Laplace das duas funções. No entanto, existe uma operação entre funções que, quando transformadas, dá o produto das transformadas das duas funções. Essa operação entre funções é designada convolução, e se apresenta como uma importante ferramenta no cálculo de transformadas inversas. O produto da convoluçãoentre duas funções( )f t e ( )g t define-se da seguinte forma:
( ) ( )0
*t
f g f g t dτ τ τ= −∫
Definição do Teorema da convolução: A transformada de Laplacedo produto da convoluçãoentre duas funções f e g , é igual ao produto das transformadas de Laplace das duas funções. Demonstração: A partir das definições da transformada de Laplacee do produto de convolução, obtemos:
( ) ( )0 0
*t stL f g f g t e d dtτ τ τ
∞ −= −∫ ∫
O integral em τ pode ser estendido até o infinito, se multiplicarmos por uma função degrau unitário que anule a parte desde t até infinito.
( ) ( ) ( )0 0
* stL f g f g t u t e d dtτ τ τ τ∞ ∞ −= − −∫ ∫
Trocando a ordem dos dois integrais, obtemos:
( ) ( ) ( )0 0
* stL f g f g t u t e dt dτ τ τ τ∞ ∞ − = − −
∫ ∫
Sendo
( ) ( ) ( ) ( ) 0
stg t u t e dt L g t u tτ τ τ τ∞ − − − = − −
∫
Pela propriedade do deslocamento em t
( ) ( ) ( ) sL g t u t G S e ττ τ −− − =
Assim, obtemos a igualdade que segue:
( ) ( ) ( ) ( )0 0
* s sL f g f G S e d G S f e dτ ττ τ τ τ∞ ∞− − = = ∫ ∫
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188
Que é igual ao produto das transformadas de Laplacedas duas funções, como pretendíamos demonstrar:
( ) ( )*L f g F S G S=
Esse teorema também se aplica no caminho inverso: a transformada inversa de
Laplacede um produto de funções é igual ao produto deconvoluçãoentre as transformadas inversas das duas funções. O Teorema da convolução é útil no cálculo de transformadas inversas de funções complicadas que possam ser escritas como produto entre funções simples. O produto de convolução entre funções verifica as propriedades: comutativa, associativa e distributiva em relação à soma de funções.
Como em geral a operação de convolução é mais complexa de calcular do que a transformada de Laplace, usa-se este teorema para calcular a convolução calculando-se a transformada das funções, sua multiplicação, e a transformada inversa. Essa técnica é bastante utilizada no processamento de imagem utilizando a transformada de Fourier em vez da transformada deLaplace. Exemplo: Calcule a transformada inversa da função
( ) ( )2 2
aF S
S S a=
+
Podemos escrever a função F como produto entre duas funções,
( ) 1G S
S=
E
( ) ( )2 2
aH S
S a=
+
As transformadas inversas de G eH são respectivamente,
( ) 1g t =
( ) ( )h t sen at=
E a transformada inversa de F é igual ao produto de convoluçãoentreg eh , ou seja:
( ) ( ) ( ) [ ]0
11* 1 cos
tf t sen at sen at d at
aτ= = = −∫
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189
Utilizando decomposição em frações parciais
( ) 2 22 2
a A B CS
S SS S a ω+= +++
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2
a AS Aa BS CS
S S a S S a
+ + +=+ +
( )( )
( )2 2
2 2 2 2
A C S BS Aaa
S S a S S a
+ + +=
+ +
Daí, ( ) 2 0A C S+ =
0A C+ =
A C= −
0BS=
0B =
2Aa a=
1A
a=
e
1
Ca
= −
Substituindo A, B e C na equação inicial, tem-se:
( ) ( )2 2 2 2
1a S
aSS S a a S a= −
+ +
ou
( ) 2 22 2
1 1a S
a S S aS S a
= − ++
Retornando ao domínio do tempo
( ) [ ]11 cosf t at
a= −
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190
TEOREMA DA CONVOLUÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
A transformada de Fourier de duas funções convoluídas no domínio do espaço é igual ao produto das transformadas das duas funções no domínio de Fourier:
( ) ( ) ( ) ( ), * , , . ,f x y h x y F Hx y x yω ω ω ω ℑ =
Este teorema é de grande importância no processamento de imagens.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
( )h xℑ ( )f xℑ
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
10
20
30
40
50
60
70
xω
( )F xω
-15 -10 -5 0 5 10 15
-2
0
2
4
6
8
10
xω -15 -10 -5 0 5 10 15
-2
0
2
4
6
8
10
xω
Fig. 3 - Teorema da Convolução: ( ) ( ) ( ) ( )[ * ] .x xf x h x F Hω ωℑ =
Convolução
↓
( )h x
A
( )f x
A
( ) ( )*h x f x
2
2 0A x
( ) ( ).H Fx xω ω
( )2
02Ax
( )H xω
2 0Ax
( )F xω
2 0Ax
↑ Multiplicação
2 0x− 2 0x x
0x
π− 0x
π
0x
π 0x
π
0x−
0x x
0x− 0x x
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191
TRANSFORMADA DE FOURIER: FUNÇÃO PULSO RETANGULAR.
( ) ( )/ 2
2
T j t
TF t f t e dtωω −
−= ∫
0
0
x j t
xA e dtω−
−= ∫
( )0
0
1 xj t
x
Ae
T jω
ω−
− = −
( )
0 0j x j xAe e
jω ω
ω− = − −
( )0 0j x j xA
e ej
ω ω
ω− = − + −
0 0j x j xe e
Aj
ω ω
ω
− −=
( )0 0
0
0
2
2
j x j xx e eA
j x
ω ω
ω
− − =
Utilizando as equações de EULER
( ) ( )0 0
2
j x j xe esen t
j
ω ω
ω−−
=
Portanto
( ) ( )( )
00
0
2sen x
F t Axx
ωω
ω=
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192
TRANSFORMADA DE FOURIER: FUNÇÃO PULSO UNITÁRIO
( )/ 2
2
1 T j tn T
C f t e dtT
ω−−
= ∫
/ 2
2
1 j tA e dtT
ω∆ −−∆
= ∫
( )2
2
1 1 1 j teT j
ω
ω
∆−
−∆ = ∆ −
( )2 2
1 1 j je e
T j
ω ω
ω∆ ∆− = −
∆ −
( )
2 21 1 j j
e eT j
ω ω
ω∆ ∆− = − +
∆ −
( )2 221
2
j je e
T j
ω ω
ω
∆ ∆− − = ∆
( )2 2
1
22
j je e
T j
ω ω
ω
∆ ∆− − = ∆
( )( )
1 2
2n
senC
T
ω
ω
∆=
∆
ou
( )( )
1n
sen xC
T x=
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193
Para um caso particular no qual o período é igual à unidade, a forma de onda correspondente será:
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2gráfico de f(x)=sin(x)/x
x
y
Fig. 4 – Transformada de Fourier do pulso unitário
Ninguém muda da noite para o dia. As verdadeiras mudanças demandam tempo.
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194
CODIGOS NO AMBIENTE MATLAB
Os caminhos do saber são incontáveis. Percorrê-los é sempre gratificante.
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195
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.1 --------------------------------------------------- ---------- clear all per=input( ' Entre com o período: ' ); n=input( ' Entre com o numero de harmonicos: ' ); x=-per/2:0.01:per/2; f=-1*(x< 0 & x>-per/2)+1*(x>=0 & x<per/2); plot(x,f, 'r' ),grid,pause z=abs(fft(f))/(50*per); stem(0:2*n-1,z(1:2*n)),grid; title( 'Espectro de Linha' ) ylabel( 'Valor da Harmônica' ) xlabel( ' nº da Harmônica' )
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Espectro de Linha
Val
or d
a H
arm
ônic
a
nº da Harmônica
--------------------------------------------------- ----------
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196
Programa P-1.2 --------------------------------------------------- ---------- clear all clear all n=input( ' entre com n: ' ); per=input( ' entre com o período: ' ); w=2*pi/per; T=per/2; x=-T:0.01:T; f=-1*(x<0 & x>-T)+1*(x>0 & x<T); kx=fix((n+1)/2); s=zeros(size(x)); y = zeros(kx,max(size(w*x))); for k=1:2:n; s=s+(4/(k*pi))*sin(k*w*x); y((k+1)/2,:)=s; end plot(x,s, 'r' ,x,f, 'b' ),grid; title( 'Forma de onda' ),pause plot(x,y(1:1:kx,:),x,f, 'b' ),grid, title( 'Construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs' ), pause x=0:0.01:T; s=zeros(size(w*x)); y = zeros(kx,max(size(w*x))); for k=1:2:n; s=s+(4/(k*pi))*sin(k*w*x); y((k+1)/2,:)=s; end z = (abs(fft([y(kx,:),-y(kx,:)]))); stem(0:2*kx-1,z(1:2*kx)/(50*per)),grid; title( 'Espectro de Linha' ) ylabel( 'Valor da Harmônica' ) xlabel( ' nº da Harmônica' )
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Forma de onda
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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Espectro de Linha
Val
or d
a H
arm
ônic
a
nº da Harmônica
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198
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.3 --------------------------------------------------- ---------- clear all n=input( ' entre com n: ' ); per=input( ' entre com o período: ' ); w=2*pi/per; x=-per/2:0.01:per/2; f=-1*(x<0 & x>-per/2)+1*(x>0 & x<per/2); %f=-1*(x<0)+1*(x>0); s=zeros(size(x)); k=1; s1=2*((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x)/pi; k=3; s2=2*((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x)/pi; k=5; s3=2*((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x)/pi; for k=1:n; s=s+((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x); end s=(2/pi)*s; plot(x,s1, 'g' ,x,s2, 'b' ,x,s3, 'm' ,x,s, 'k' ,x,f, 'r' ), grid; title( 'Composição da forma de onda' )
-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Composição da forma de onda
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199
--------------------------------------------------- --------- Programa P-1.4 --------------------------------------------------- ---------- clear all per=input( ' Entre como o periodo: ' ); nh=input( ' Entre como o nº de harmonicos: ' ); w=2*pi/per; t = 0:.02:per/2; f=-1*(t<0)+1*(t>0); y = zeros(nh,max(size(w*t))); x = zeros(size(t)); for k=1:2:2*nh-1 x=x+(4/(pi*k))*sin(k*w*t); y((k+1)/2,:) = x; end plot(t,y(1:1:nh,:)'), title( 'A construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs' ), grid, pause plot(t,x, 'r' ,t,f, 'b' ), title( 'Forma de onda resultante' ), grid, pause mesh(1:2:2*nh-1,t,y') view(60,35), grid xlabel( 'no. harmônica' ) ylabel( 'tempo' ) axis ij, grid, pause z = (abs(fft([y(nh,:),-y(nh,:)]))); stem(0:2*nh-1,z(1:2*nh)/(25*per)), grid title( 'Espectro de Linha' ) ylabel( 'Valor da Harmônica' ) xlabel( ' nº da Harmônica' )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4A construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima
200
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Forma de onda resultante
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Espectro de Linha
Val
or d
a H
arm
ônic
a
nº da Harmônica
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima
201
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.5 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % delta=13/10000; t=0; per=input( ' Entre com o período: ' ); for i=1:10001 if t<=per f(i)=(20/per)*t; else if t<=2*per f(i)=(20/per)*t-20; else f(i)=0; end end i; x(i)=t; t=t+delta; end plot(x,f, 'b' ),grid;
0 2 4 6 8 10 12 140
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
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202
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.6 --------------------------------------------------- ---------- clear all per=input( ' entre com o período: ' ); n=input( ' entre com n: ' ); w=2*pi/per; x=-0:0.01:per; f=(20/(per))*x; s=zeros(size(x)); y = zeros(n,max(size(x))); s=10; for k=1:n; s=s+(-20)*sin(k*w*x)/(k*pi); y(k,:)=s ; end plot(x,s, 'r' ,x,f, 'b' ),grid; title( 'Forma de onda' ) pause plot(x,y(1:1:n,:),x,f, 'b' ),grid, title( 'Construção de uma onda triangular' ),pause z=abs(fft(f))/(50*per); z(1)=z(1)/2; % ?? para dar certo o valor dc ?? stem(0:n,z(1:n+1)),grid; title( 'Espectro de Linha' ) ylabel( 'Valor da Harmônica' ) xlabel( ' nº da Harmônica' )
0 1 2 3 4 5 6-5
0
5
10
15
20
25Forma de onda
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203
0 1 2 3 4 5 6-5
0
5
10
15
20
25Construção de uma onda triangular
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
2
4
6
8
10
12Espectro de Linha
Val
or d
a H
arm
ônic
a
nº da Harmônica
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204
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.7 --------------------------------------------------- ---------- clear all per=input( ' Entre como o periodo: ' ); n=3; w=2*pi/per; x=0:0.01:per; f=(20/per)*x; s=zeros(size(x)); for k=1:n; s=s+(-1)*sin(k*w*x)/k; end s=10+(20/pi)*s; s0=10*(x>=0); s1=-(20/pi)*sin(w*x); s2=-(20/(2*pi))*sin(2*w*x); s3=-(20/(3*pi))*sin(3*w*x); plot(x,s0, 'm' ,x,s1, 'b' ,x,s2, 'y' ,x,s3, 'g' ,x,s, 'k' ,x,f, 'r' ),grid
0 1 2 3 4 5 6 7-10
-5
0
5
10
15
20
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205
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.8 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % delta=19/10000; t=0; per=input( ' Entre com o período: ' ); for i=1:10001 if t<=per f(i)=(20/per)*t; else if t<=2*per f(i)=0; else if t<3*per f(i)=(20/per)*t-40; else f(i)=0; end end end i; x(i)=t; t=t+delta; end plot(x,f, 'b' ),grid;
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima
206
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.9 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % K=input( ' Entre com K: ' ); per=input( ' Entre com o período: ' ); T=per/2; delta=per/100; t=-per/2; aux=t; for i=1:201 if i<=100 if aux<0 f(i)=(K/T)*aux+K; else f(i)=(-K/T)*aux+K; end else if i<=150; f(i)=(K/T)*aux-K; else f(i)=(-K/T)*aux+3*K; end end x(i)=aux; aux=t+i*delta; end plot(x,f, 'b' ),grid;
-2 -1 0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima
207
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-2.1 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % incr=0; tal=5/10000; np=1000; t1=4*tal; t2=8*tal; t3=12*tal; tempo=13*tal; delta=tempo/np; for k=1:np+1; if incr<=t1 p(k)=20-20*exp(-2000*incr); else if incr<=t2 p(k)=-30+50*exp(-2000*(incr-t1)); else p(k)=40-70*exp(-2000*(incr-t2)); end end x(k)=incr; incr=incr+delta; end plot(x,p, 'b-' ),grid; title( 'Corrente Série do Circuito' ) xlabel( 'tempo(s)' ) ylabel( 'corrente(A)' )
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-3
-30
-20
-10
0
10
20
30
40Corrente Série do Circuito
tempo(s)
corr
ente
(A)
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima
208
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-2.2 --------------------------------------------------- ---------- % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % incr=0; tal=5e-2; np=1000; t1=4*tal; t2=8*tal; t3=12*tal; tempo=13*tal; delta=tempo/np; for k=1:np+1; if incr<=t1 p(k)=40*exp(-20*incr); else if incr<=t2 p(k)=-20*exp(-20*(incr-t1)); else p(k)=-50*exp(-20*(incr-t2)); end end x(k)=incr; incr=incr+delta; end plot(x,p, 'b-' ),grid; title( 'Corrente Série do Circuito' ) xlabel( 'tempo(s)' ) ylabel( 'corrente(A)' )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40Corrente Série do Circuito
tempo(s)
corr
ente
(A)
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima
209
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-2.3 --------------------------------------------------- ---------- % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % incr=0; tal=4/10000; np=1000; t1=2*tal; t2=8*tal; t3=12*tal; tempo=13*tal; delta=tempo/np; for k=1:np+1; if incr<=t1 p(k)=300*exp(-2500*incr); q(k)=300-p(k); else if incr<=t2 p(k)=-259.4*exp(-2500*(incr-t1)); q(k)=-p(k); else p(k)=-600*exp(-2500*(incr-t2)); q(k)=-600-p(k); end end x(k)=incr; incr=incr+delta; end plot(x,p, 'b-' ,x,q, 'r' ),grid; title( 'Tensões nos terminais do Indutor e do Resistor' ) xlabel( 'tempo(s)' ) ylabel( 'tensão(v)' )
0 1 2 3 4 5 6
x 10-3
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300Tensões nos terminais do Indutor e do Resistor
tempo(s)
ten
são
(v)
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210
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-2.4 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % incr=0; tal=1/1000; np=1000; t1=500e-6; tempo=4*tal; delta=tempo/np; for k=1:np+1; if incr<=t1 p(k)=150*(1-exp(-1000*incr)); s(k)=150-p(k); j(k)=s(k)/200; else p(k)=-41*exp(-1000*(incr-t1))+100; s(k)=100-p(k); j(k)=s(k)/200; end x(k)=incr; incr=incr+delta; end plot(x,p, 'b-' ,x,s, 'r--' ,x,j, 'k-.' ),grid; title( 'Tensões nos terminas do Capacitor e do Resistor' ) xlabel( 'tempo(s)' ) ylabel( 'Tensão(v)' )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x 10-3
0
50
100
150Tensões nos terminas do Capacitor e do Resistor
tempo(s)
Ten
são(
v)
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211
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-3.1 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa plota convolução entre dois pulsos retangularesi % f=0; z=-4:0.01:4; f=2*(z>=-1 & z<=1); plot(z,f, 'b' ),grid; axis([-4 4 0 8]) title( 'Função Pulso Retangular' ) pause x=-2:0.01:0; g=8*(x>=-2 & x<=0); g=g+4*x; y=0:0.01:2; g1=0*(y>=0 & y<=2); g1=g1-4*x; plot(x,g, 'b' ,y,g1, 'b' ),grid; axis([-4 4 0 8]) title( 'Convolução' )
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
1
2
3
4
5
6
7
8Função Pulso Retangular
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
1
2
3
4
5
6
7
8Convolução
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212
--------------------------------------------------- ---------- Programa P-3.2 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa plota a função sen(x)/x % x=-20:0.01:20; y=x; r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps; z=sin(r)./r; plot(x,z),grid; axis([-20 20 -.4 1.2]) title( 'gráfico de f(x)=sin(x)/x' ) xlabel( 'x' ) ylabel( 'y' ) pause quit
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2gráfico de f(x)=sin(x)/x
x
y
“Quando a argumentação é longa pode comprometer o objetivo da causa”
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213
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
“ Diga-me, que esquecerei. Ensina-me, que recordarei. Envolva-me, que aprenderei.”
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214
Circuito RLC Série 1) Para 0 Sobreamortecimento∆ > →
10
20
10
R
L mH
C mF
= Ω==
1.1 ( ) ( )100 10ºv t sen tω= +
( )2
2
( ) ( ) 1 100( ) cos 10º
d i t R di ti t t
dt L dt LC Lω ω+ + = +
( )2
2
( ) ( )500 5000 ( ) 1885.000cos 10º
d i t di ti t t
dt dtω+ + = +
Solução Homogênea Associada
( )2
2
500 500 20000
2Lr− ± −
=
( )2 2500 5000) 0 500 5000 0D D i r r+ + = → + + =
1 10.21r = −
2 489.79r = −
10.21 489.79
1 2tih K e K e− −= +
Solução Particular Associada
( )Im 10ºip sen tω α= + +
1 7.27436.032
10tgα − = − = −
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215
12 2
2
100Im
1R L
Cω
ω
= + −
100
Im 8.0912.36
= =
Portanto: ( )8.09 26.032ºip sen tω= −
Solução Geral
( )10.21 489.79
1 2 8.09 26.032ti K e K e sen tω− −= + + −
Cálculo de K1 e K2
( ) ( )1 20 8.09 26.032i K K sen= + + −
1 20 3.55( )K K a= + −
10.21 489.79
1 210.21 489.79 8.09 377cos(377 26.032)tdiK e K e t
dt−= − − + × −
1 2
(0) (0)10.21 489.79 2740.51 868.24 ( )
di VK K b
dt L= − + = =
De (a) 2 13 .55 ( )K K a= −
Substituindo em (b) 1 110.21 489.79(3.55 ) 2740,51 868.24K K− − − − =
1 110.21 1738.75 489.79 2740,51 868.24K K− − + − =
( )
( )1
868.24 2740.51 1738.75
10.21 489.79K
− +=
− +
1
133.56
479.58K = − , ou 1 0.278K = −
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216
Substituindo em (a) 2 3.55 0.278K = + , ou 2 3.828K =
A solução geral será: ( )10.21 489.790.28 3.83 8.09 26.032ºti e e sen tω− −= − + + −
1.2 ( ) ( )100v t sen tω=
( )10.21 489.79
1 2 8.09 36.03ti K e K e sen tω− −= + + −
1 20 4.759K K= + −
1 2
(0)10.21 489.79 3.049.93cos( 36.03)
diK K
dt= − − + −
2 14.759K K= −
1 110.21 2330.91 489.79 2466.82 0K K− − + + =
( )( )1
2330.91 2466.82
10.21 489.79K
−=
− +
1 1
135.910.283
479.58K K
−= → = −
2 24.759 0.283 5.04K K= + → =
( )10.21 489.790.283 5.04 8.09 36.03ti e e sen tω− −= − + + −
1.3 ( ) 100v t =
10.21 489.79
1 2ti K e K e− −= +
1 2 2 1(0) 0i K K K K= + = → = −
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217
10.21 489.791 210.21 489.79tdi E
K e K edt L
− −= − − =
31 2
(0) 10010.21 489.79 10 5000
20
diK K
dt== − − = × =
1 2 1
500010.21 489.79 5000 10.42
479.58K K K− + = → = =
2 10.42K = −
daí,
10.21 489.7910.42 10.42ti e e− −= −
2) Para 0∆ = Criticamente Amortecido 2.1 ( )( ) 120 377 40ºv t sen t= +
4R = Ω
20L mH=
5C mF=
Equação Descritiva correspondente é dada por:
( )2
200 10000 2262000cos 377 40º²
d i dii t
dt dt+ + = +
( )² 200 10000 0D D i+ + =
1 2 100r r= = −
100 100
1 2t tih K e K te− −= +
( )Im 40ºip sen tω α= + +
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218
120Im 14.868
8.07= =
( )1 1.7525 60.3ºtgα −= − = −
( )14.868 20.3ºip sen tω= −
( )100 100
1 2 14.868 20.3ºt ti K e K e sen tω− −= + + −
1(0) 5.158 0i K= − =
1 5.158K =
( )100 100 1001 2 2100 100 5605.23cos 20.3ºt t tdi
K e K e K te tdt
ω− − −= − + − + −
( )1 2 3
(0) (0) 120100 5257.08 40º 3856.72
20 10
di vK K sen
dt L −= − + + = = =×
2515.8 5257.08 3856.72K− + + =
2 884.55K = −
( )100 1005.158 884.55 14.868 20.3ºt ti e te sen tω− −= − + −
2.2 ( )( ) 120v t sen tω=
( )100 100
1 2 14.868 60.3ºt ti K e K te sen tω− −= + + −
1(0) 12.91i K= −
1 12.91K =
( )100 100 1001 2 2100 100 5605.23cos 60.3ºt t tdi
K e K e K te tdt
ω− − −= − + − + −
1 2
(0)100 2777.16 0
diK K
dt= − + + =
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219
21291 2777.16 0K− + + =
2 1486.16K = − ( )100 10012.91 1486.16 14.868 377 60.3ºt ti e te sen t− −= − + −
2.3 ( ) 120v t =
100 100
1 2t ti K e K te− −= +
1(0) 0i K= =
100 100 100 3
1 2 2
( ) 120100 100 10 6000
20t t tdi t E
K e K e K tedt L
− − −= − + − = = × =
2
(0)6000
diK
dt= =
100( ) 6000 ti t te−=
3) Para 0∆ < Oscilação 3.1
2R = Ω
20L mH=
10C mF=
Equação descritiva correspondente:
( )2 1 120
cos 377 40º²
d i R dii t
dt L dt LC L+ + = +
( ) 120 (377 40º )v t sen t= +
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220
2
100 5000 1732792.5²
d i dii
dt dt+ + =
( )² 100 5000 0 ² 100 5000 0D D i r r+ + = → + + =
[ ]12
1,2
100 100² 20000
2r
− ± −=
1 50 50r j= − +
2 50 50r j= − −
( ) ( )50 50 50 50
1 2j t j tih K e K e− + − −= +
( )50
1 2cos(50 ) (50 )tih e C t C sen t−= +
( ) 1
2 2
120Im
4 0.265 7.54
=+ −
( )1 17.2753.637
2tg tgα − − = − = −
74.62ºα = −
15.9 ( 40º 34.62º )ip sen tω= + −
15.9 ( 34.62º )ip sen tω= −
( )50
1 2cos(50 ) (50 ) 15.9 ( 34.62º )ti e C t C sen t sen tω−= + + −
( ) ( )( )501 250 (50 ) 50cos(50 ) 50cos(50 ) 50 (50 )
5994.3cos( 34.62º )
tdie C sen t t C t sen t
dttω
− = − + + − +
+ −
1,2
100 100
2
jr
− ±=
120Im Im 15.9
7.545= → =
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221
1 1(0) 9.03 0 9.03i C C= − = → =
1 2
(0)50 50 4932.93 3856.72
diC C
dt= − + + =
( ) ( )
2 2
50
451.65 50 1076.21 12.49
9.03cos(50 ) 12.49 (50 ) 15.9 34.62ºt
C C
i t sen t e sen tω−
− + = − → = −
= − + −
3.2 ( ) 120 ( )v t sen tω=
[ ]501 2cos(50 ) (50 ) 15.9 ( 74.62º )ti e K t K sen t sen tω−= + − −
1 1(0) 15.33 0 15.33i K K= − = → =
1 2
(0)50 50 15.9 377cos( 74.62º )
diK K
dt= − + + × −
2 20 766.5 1589.8 50 16.466K K= − + + → = −
[ ]50 15.33cos( ) 16.466 ( ) 15.9 ( 74.62º )ti e t sen t sen tω ω ω−= − + −
3.3 ( ) 120v t =
[ ]501 2cos(50 ) (50 )ti e K t K sen t−= +
1(0) 0i K= =
1 2
(0) 12050 50 6000
diK K
dt L= − + = =
2 250 6000 120K K= → =
( )( ) 50120 50 ti sen t e−=
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222
4) Circuito RC serie
4.1 ( ) 200 ( 30º )v t sen tω= + 10R = Ω
5C mF=
Equação descritiva:
( )1200 cos 30º
dii t
dt RC R
ω ω+ = +
( )20 7540cos 30ºdi
i tdt
ω+ = +
Solução homogênea associada
t
RCih Ke−
=
Solução particular associada:
( )Im 30ºip sen tω α= + +
( ) ( )
3
12 2 2
200 10Im 0.5305
377 510
C
C
X
X
= → = = Ω×
+
Im 19.97=
1 0.533.033º
10tgα α− = → =
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223
( )19.97 33.033ºip sen tω= +
( ) ( )(0) 19.97 33.033º 20 30º 10i K sen sen= + = =
10.88 10 0.88K K+ = → = −
( )200.88 19.97 33.033ºti e sen tω−= − + +
4.2 ( )( ) 200v t sen tω=
( )20 19.97 3.033ºti Ke sen tω−= + +
(0) 1.056 0 1.056i K K= + = → = −
( )201.056 19.97 3.033ºti e sen tω−= − + +
4.3 ( ) 200v t =
20 200ti Ke−= +
200(0) 20
10i K= = =
2020 ti e−=
5) Circuito RL serie
5.1 Equação descritiva
( )( ) 100500 10º
di R v t dii i sen t
dt L L dt Lω+ = → + = +
( )( ) 100 377 10
10
20
v t sen t
R
L mH
= += Ω=
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224
( )500 5000 10ºdi
i sen tdt
ω+ = +
500tih Ke−=
( )( ) ( )
12 2 2
100Im 10 Im 7.98
10 7.54
ip sen tω α= + − → = = +
1 7.5437º
10tgα − = =
( )500 7.98 27ºti Ke sen tω−= + −
(0) 3.62 0 3.62i K K= − = → =
( )5003.62 7.98 27ºti e sen tω−= + −
5.2 ( ) 100 ( )v t sen tω=
500 7.98 ( 37º )ti Ke sen tω−= + −
(0) 4.8 0 4.8i K K= − = → =
5004.8 7.98 ( 37º )ti e sen tω−= + −
5.3 ( ) 100v t =
500 5000di
idt
+ =
500tih Ke−=
500 50005000 10
Rt tLip e e dt L
R
−= = × =∫
500 10ti Ke−= +
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225
(0) 0 10 10i K K= = + → = − 50010(1 )ti e−= −
6) Circuito LC serie
6.1
Equação Descritiva
3
² 1 1 ( ) 377 100cos(377 10º )
² 20 10
d i dv ti
dt LC L dt −
×+ = × = −×
Solução Homogênea
1,2 0
1² 0r r j
LCω+ = → = ±
0
1100
LCω = =
100 100
1 2j t j tih K e K e−= +
1 2cos(100 ) (100 )ih C t C sen t= +
( )( )
1
2
100Im 10º Im 14.26
0,53 7.54 ²ip sen tω α= + + → = =
−
1 7.0190º
0tgα α− = − → = −
14.26 ( 80º )ip sen tω= −
1 2cos(100) (100) 14.26 ( 80º )i C t C sen t sen tω= + + −
1 1(0) 14.04 14.04i C C= − → =
1 2100 (100) 100 (100) 14.26 377 ( 80º )di
C sen t C sen t sen tdt
ω= − + + × −
( )( ) 100 10º
20
5
v t sen t
L mH
C mF
ω= +==
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226
2
(0)100 933.53 868.24 (10º )
di VmC sen
dt L = + = × ×
2 0.653C = −
14.04cos(100) 0.653 (100) 14.26 ( 80º )i t sen t sen tω= − + −
6.2 ( ) 100 ( )v t sen tω=
1 1(0) 14.26 14.26i C C= − → =
( )2
(0)100 0 0
di VmC sen
dt Lφ = − = ×
2 0C =
14.26cos(100) 14.26 ( 90º )i t sen tω= + −
6.3 ( ) 100v t = 1 2cos(100) (100)i C t C sen t= + 1(0) 0i C= =
1 2100 (100) 100 cos(100)di
C sen t C tdt
= − +
32
(0) 100100 10 5000
20
diC
dt= = × =
2 50C =
50 (100 )i sen t=
É fundamental compreender que as equações para as tensões do sistema, podem ser determinadas a partir do conhecimento da equação da corrente. Além disso, também podem ser determinadas por meio das respectivas equações características ou com o auxílio da lei de Kirchhoff, como pode ser constatado no próximo exemplo. 7) Circuito RLC serie
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227
2R = Ω
20L mH=
10C mF= ( ) 100 ( )v t sen tω= (0) 10Cv volts=
100R
L=
1
5000LC
=
Equação descritiva, modelando a tensão no capacitor:
² 100( )
²C C Cd v dv vR
sen tdt L dt LC LC
ω+ + =
Equação característica: ² 100 5000 0D D+ + = 1,2 50 50r j= − ±
( ) ( )( )50
1 2costCv h e C t C sen tω ω−= +
( )1100 13.25 74.63ºC CV p i dt sen t
Cω= = −∫ ∫
( ) ( )1325cos 74.63º 3.514cos 74.63º
377CV p t tω ω= − − = − −
( ) ( )( ) ( )50
1 2cos cos 3.514cos 74.63ºtCv e C t C t tω ω ω−= + − −
( ) ( )( ) ( )50
1 2cos cos 3.514cos 74.63ºtCv e C t C t tω ω ω−= + − −
( ) ( )( ) ( )501 250 cos cos 3.514cos 74.63ºtC
C
dvv e C t C t t
dtω ω ω−= = − + − − +
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228
( ) ( )( ) ( )50
1 2 cos 3.514 377cos 74.63ºte C sen t C t tω ω ω ω ω−+ − + − × −
1 1(0) 0.93 10 10.93Cv C C= − = → =
1 2 2 250 1277.4 546.5 50 1277.4 36.48CdvC C C C
dt= − + − = + − → =
( ) ( )( ) ( )50 10.93cos 50 36.5 50 3.52cos 74.63ºt
Cv e t sen t tω−= + − −
A corrente serie do circuito é dada por:
( ) ( )( )501 2cost
hi e C t C sen tω ω−= +
( )1
2
100 100
7.554 7.54 0.265 ²
ip = =+ −
13.25ip A=
1 7.275
2i tgθ −= −
74.63ºiθ = −
daí
( ) ( )( ) ( )501 2cos 13.25 74.63ºti e C t C sen t sen tω ω ω−= + + −
1 1(0) 12.77 0 12.77i C C= − = → =
( ) 00(0) 10
1000 50020
COv v Ridi
dt L
− −= = − × = −
( ) ( )( ) ( ) ( )( )50 501 2 1 250 cos cost tdi
e C t C sen t e C sen t C tdt
ω ω ω ω ω ω− −= − + + + +
( )13.25 377cos 74.63ºtω+ × −
Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima
229
50 501 2 1 2
(0)50 ( cos( ) ( )) ( ( ) cos( ))t tdi
e C t C sen t e C sen t C tdt
ω ω ω ω ω ω− −= − + + − + +
13.25 377cos( 74.63º )tω+ × −
1 2
(0)50 50 1324 500
diC C
dt= − + + = −
2 2638.5 50 1324 500 23.71C C− + + = − → = −
Assim,
( )50 12.78cos(50 ) 23.7 (50 13.25 ( 74.63º )ti e t sen t sen tω−= − + −
Utilizando-se a equação da corrente é possível encontrar as equações para as demais variáveis do circuito conforme pode ser observado a seguir:
( )3 5020 10 [ 50 12.78cos(50 ) 23.71 (50 )tL
div L e t sen t
dt− −= = × − − +
( ) ( )50 639 (50 ) 1185.5cos(50 ) ] 495.25cos 74.63º te sen t t tω−+ − − + −
( )50[ 36.49cos(50 ) 10.93 (50 ) 99.9cos( 74.63º )]t
Lv e t sen t tω−= − + + −
A tensão no capacitor também pode ser determinada utilizando-se a Lei de Kirchhoff, na forma que segue: R C L C R Lv v v v v v v v+ + = → = − −
( ) 50100 (25.56cos(50 ) 47.43 (50 )) 26.51 ( 74.63º )tCv sen t e t sen t sen tω ω−= − − − − −
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
50
50
36.49cos 50 10.93 50 99.94cos 74.63º
10.93cos 50 36.5 50 3.52cos 74.63º
t
tC
e t sen t t
v e t sen t t
ω
ω
−
−
− − + − −
= + − −
“Na vida o importante não é ter muito e sim precisar de pouco”