C ít l 2 C ít l 2 E táti d Fl idE táti d Fl idCapítulo 2 Capítulo 2 –– Estática dos FluidosEstática dos Fluidos
2 1 A experiência de Torricelli2 1 A experiência de Torricelli2.1 A experiência de Torricelli2.1 A experiência de Torricelli
► A descoberta do princípio do ► o o p p o obarômetro ("tubo de Torricelli", "vácuo de Torricelli") aconteceu
1643 em 1643.
► Evangelista Torricelli (1608 -1647) físico e matemático ita-liano (foi aluno de Galileu).
► Foi homenageado com a unidade de pressão torricelli (símbolo torr).
1
A experiênciaA experiência
2
P e ão t o fé i o lPressão atmosférica normal
► Consideramos a pressão atmosférica normal, quando elap , qé capaz de equilibrar uma coluna de mercúrio de 76cm dealtura. Representamos, simbolicamente,
1 atm = 76 cm Hg = 1,013 x 105 Pa, ou aproximadamente: 1atm 105 Pa 0,1 MPa.
► Propriedades da Atmosfera padrão Americana ao nível domar,
Temperatura, T 288,15 K (15 oC)
Pressão, p 101,33 kPa (abs)*
Massa específica, ρ 1,225 kg/m3
Peso específico, γ = ρ g 12,014 N/m3
3Viscosidade dinâmica, μ 1,789 x 10-5 Ns/m2
2 2 V i ão de P e ão Lí ido e e o o 2.2 Variação de Pressão num Líquido em repouso (versão simplificada)
hpp 01 )(►► Nos casos nos quais ahipótese do peso específicoconstante é considerada àrelativapressãoaéhonde
hpp
01
)(
)(
constante é considerada(líquidos) temos:
éIstoLíquidodohcolunadaatmosferalíquidointerface ,.,,
m
eA
gmh fluido ,)(
Logo
AhVmVm
,
h
eghh ,)(
4
ghpp 01
ExercícioExercício
1) Os batiscafos são utilizados para mergulhos profundos nooceano Qual a pressão no batiscafo se a profundidade deoceano. Qual a pressão no batiscafo se a profundidade demergulho é 6 km? Admita que o peso específico da água domar é constante e igual a 10,1 kN/m3.
5
Solução
ébatiscafoosobreáguadekmaosdevidopressãoA ,6
NmNhp á 1066010610110 333 m
mm
hp marágua 106,60106101,10 23
valevezsuaporabsolutapressãoA ,,,
mNkPappabsp atm 106,603,101)( 2
3
kPaabsp 3,60701)(
Ponderações
Variações de pressão de um fluido em repouso ou emVariações de pressão de um fluido em repouso ou emmovimento (versão moderada).
► Com o tratamento matemático adequado mostra se que:► Com o tratamento matemático adequado, mostra-se que:
1. Para um fluido em repouso, ou em movimento, no quala tensão de cisalhamento é nula, tem-se que a pressãoindepende da direção, já que ela é o resultado dobombardeamento das moléculas do fluido, como vimos no
í l ( i d l)capítulo 1 (Lei de Pascal).
7
2. A pressão ao longo de um plano paralelo à interfacelíquido-atmosfera é constante.
CBA ppp
► Os pontos A, B e C são ditos isóbaros.
8
p ,
► Vasos comunicantes.
► Constatação experimental.
9
3. O Gradiente de pressão é:3. O Gradiente de pressão é:
poukpjpipp k
Isto significa que em um fluido em repouso ou em
z
oukz
jy
ix
p k
Isto significa que em um fluido em repouso ou emmovimento, no qual a tensão de cisalhamento sejainexistente, a pressão aumenta no sentido oposto aodeterminado pelo eixo-z (Isto é, no mesmo sentido dadeterminado pelo eixo z (Isto é, no mesmo sentido dagravidade e devido ao peso da massa de fluido sobre oponto considerado).
Como vimos no slide 4,isto independe da áreada superfície ao redor doponto considerado.
10
► Daí, integrando a última equação:
dppdzp
zp
dpdzdzdpqueLembrandodzdz
dzdp
)(2 2
constanteSupondoddpp z
)(1 1
constanteSupondodzdpp z
)()(:
12211212 zzhhppouzzppLogo
11
12211212
► Se p2 estiver na interface líquido-atmosfera, então, p2 =p0, e
01
ouhpp
)(01 gghpp
► A quantidade 21 pph
é chamada de carga e é interpretada como a altura docoluna de fluido de peso específico necessária paraprovocar uma diferença de pressão p1 – p2provocar uma diferença de pressão p1 p2.
► Existe uma prova matemática mais abrangente no livrot t (Y )
12
texto (Young).
Exercício
2. A Figura abaixo mostra o efeito da infiltração de água emum tanque subterrâneo de gasolina. Se a densidade dagasolina é 0,68; determine a pressão na interface gasolina-g , ; p gágua e no fundo do tanque.
13
Soluçãoç
éPpontooestáondeáguagasolinainterfacenapressãoA
ou
hpp gasolina0
ghpp gasolina0
mkgSGladooutroPor gasolina
Cágua
gasolina
o
680100068,0, 34
NkDaí ,
mNkPa
smm
mkgkPap 10354,333,10181,956803,101 2
323
14kPakPakPap 654,134354,333,101
Pressão no fundo do tanque
Ptãálii t fãÉ )(águademdecolunaadevidapressãoàsomada
PpontonopressãoaáguagasolinainterfacenapressãoaÉ.1
)(
ou
hpp águafundo
ghpp águafundo
msm
mkgkPap fundo 181,91000654,134 23
kPap fundo 464,144
15
Algumas aplicações do Princípio de Pascal
“Todo“Todo acréscimoacréscimo dede pressãopressão exercidoexercido numnum pontoponto dada massamassaTodoTodo acréscimoacréscimo dede pressãopressão exercidoexercido numnum pontoponto dada massamassalíquidalíquida sese transmitetransmite integralmenteintegralmente parapara todostodos osos pontospontos dodolíquidolíquido..””
p
ppA
ppB
16
► Aplicações► Aplicações
► Consideremos dois cilindros contendo um líquido e fechados contendo um líquido e fechados por êmbolos de áreas A1 e A2.
► Aplicando-se sobre o êmbolo► Aplicando se sobre o êmbolode área A1 uma força F1,
► Produz-se um acréscimo de ► Produz se um acréscimo de pressão
∆p = F1 / A1∆p F1 / A1
que se transmite integralmente para o outro êmbolo, o que acarretaacarreta
∆p = F2 / A2
17ou seja, as forças são proporcionais às áreas.
Exercício
Considere o esquema mostrado na figura em que a massa doautomóvel é de 1500 kg, A1 = 0,5 m2 e A2 =
2 i f d li d à á7 m2. Determine a força que deve ser aplicada à área A1 paramanter o sistema em equilíbrio.
18
Pressão no fundo do tanque
F
dánosPascaldeprincípiododiretaaplicaçãoA ,
AF
AF
Fp
AFp
2
2
1
1
2
1
1
Ap 21
2
2
NFAAFLogo 14,107)81,91500(
75,0, 2
2
11
kgdemassaumadepesoaoecorrespondNqueNotemos 14,1077,1051
19
2 4 Fluido compressíveis (gases) em repouso ou2.4 Fluido compressíveis (gases) em repouso oumovimento
► Admitindo que as tensões de cisalhamento sejam nulastambém nesse caso.
► Para os gases ideais: p = ρRT. Então,
pgp
quevemdpemdosubstituinLogo
RTpgg
RTp
,.
,,
Integrandopgdp
quevemdz
emdosubstituinLogo
2 22 2 )()(
,.
p zp zzTTse
Tdz
Rgdpoudz
RTgdp
IntegrandoRTdz
20
11 )(p zp z zTRpRTp
► Admitindo que a temperatura não varie em função de z.Isto equivale a considerar que a pressão varia em funçãode z em uma camada isotérmica do gás perfeito. Temos,
dzRTg
pdpp
p
z
z
2 2
zzRTgp
RTpp z
)(ln 122
1 1
LogoRTp
,
)( 121
RTzzgpp )(exp 12
12
► Para distribuições de pressões em camadas nãoisotérmicas, o procedimento é o mesmo.
21
2 5 Medições de pressão2.5 Medições de pressão
► Manometria: Corresponde às técnicas de construção deinstrumentos para medir a pressão bem como as técnicasinstrumentos para medir a pressão, bem como as técnicasaplicadas às medidas.
ã é i ÉÉ difdif ãã► Pressão Manométrica: ÉÉ aa diferençadiferença entreentre aa pressãopressão ememumum locallocal ee aa pressãopressão atmosféricaatmosférica..
Exemplo• AbrindoAbrindo oo registro,registro, oo COCO22 escapaescapa dodo inteinte--riorrior dodo cilindrocilindro enquantoenquanto aa suasua pressãopressãoriorrior dodo cilindrocilindro enquantoenquanto aa suasua pressãopressãoforfor maiormaior queque aa pressãopressão atmosféricaatmosférica..• Quando as pressões se igualam, o fluxo CO2
5 atmcessa.• AA pressãopressão utilizadautilizada dodo COCO22 éé aa suasuapressãopressão manométrica,manométrica, ppmm == pp –– ppatmatm
5 atm
pp ,, ppmm pp ppatmatm
►Manômetros: São dispositivos utilizados para medira pressão manométrica.a pressão manométrica.
23
► Barômetro de Mercúrio
php vaporHgatm php
24
► Tubo Piezométrico
1ppA
relativaPressão
11hpA
hppabsolutaPressão 11hpp atmA
25
ExercícioExercício
O tubo em U mostrado na figura abaixo contém três líquidosdistintos Óleo água e um fluido desconhecido Determine adistintos. Óleo, água e um fluido desconhecido. Determine adensidade do fluido desconhecido considerando as condiçõesoperacionais indicadas na figura.
26
Solução
1
11
710305305710:
mmhquemostraladoaofiguraAhpTemos óleo
1
1
71,0 mhouqf g
2
3221
405305710
,
mmhquemostraladoaofiguraA
hhppladooutroPor água
32 305,0305405,0
D í
mmmhemhou
321
,
entãogComo
hhhquevemDaí
águaóleo
321321
,,hhhghghgh
entãogComo
águaóleoáguaóleo
27
Solução
, 321 porhhhequaçãoadividirvamosAgora águaáguaóleo
321 hhháguaágua
óleo
DaíSGdefiniçãoporMas
águaágua
,.,, DaíSGdefiniçãoporMaságua
4050710900
321
hhSG
SGhhhSGóleo
77,0305,0
405,071,090,0,3
21
SGh
hhSGSGfimPor óleo
28
77,0SG
► Manômetro com Tubo em U► Manômetro com Tubo em U
A ppTemos 1:
A hppemrelativaPressão
112
)2(A
héemrelativapressãoaeppMas
pp
32
112
)3(,
Daí
hp 223
,
AA
éAb lãA
hhpouhhp 11222211
,
► S f á i i t h 0
atmA phhpéAemabsolutapressãoA
1122
,
29
► Se for um gás no recipiente: γ1h1 = 0.
ExercícioExercício
O tanque fechado mostrado na Figura abaixo contém arcomprimido e um óleo que apresenta densidade 0 9 O fluidocomprimido e um óleo que apresenta densidade 0,9. O fluidomanométrico utilizado no manômetro em U, conectado aotanque, é mercúrio (densidade igual a 13,6). Se h1 = 914 mm,h = 152 mm e h = 229 mm determine a leitura noh2 = 152 mm e h3 = 229, mm determine a leitura nomanômetro localizado no topo do tanque.
30
Solução
211
21
)(:
hhppppTemos
óleoAR mkgSG
e
HgHg /1360010006,136,13
:3
32
211 )(hp
pp
Hg
óleoAR
mkggHgHg /133416 3
,Logo
p
Logo
AR )152,0914,0(8829229,0133416
,
213
321
)(
)(
hhhp
hhhp
óleoHgAR
HgóleoAR
kPap
p
AR
AR
6,21140
),,(,
1000900900:
SGComo
3/900
100090,090,0
mkg
SG
óleo
óleoóleo
31
► Manômetro diferencial em U
111112
1
hphpppp
A
A
33223
32
phhppp
B
5
,,,
Logoppaindae B
332211
,Portantophhhp BA
113322 hhhpp BA
32
ExercícioExercício
A Figura abaixo mostra o esboço de um dispositivo utilizado paramedir a vazão em volume em tubos, Q, que será apresentado no cap.medir a vazão em volume em tubos, Q, que será apresentado no cap.3. O bocal convergente cria uma queda de pressão pA – pB noescoamento que está relacionada com a vazão em volume através daequação Q = K(pA – pB)1/2 (onde K é uma constante que é função dasdi õ d b l d t b ) A d d ã l t édimensões do bocal e do tubo). A queda de pressão, normalmente, émedida com um manômetro diferencial em U, do tipo ilustrado nafigura.(a) Determine a equação p – p(a) Determine a equação pA pB
em função do peso específico dofluido que escoa, 1, do peso es-pecífico do fluido manométricopecífico do fluido manométrico,2, e das várias alturas indicadasna figura.(b) Determine a queda de pres(b) Determine a queda de pres-são se 1 = 9,80 kN/m3, 2 = 15,6kN/m3, h1 = 1,0 m e h2 = 0,5 m.
33
Solução
,ddfl ddd
porçãoatubodolargamaispartenaescoamentohaverdeApesar
).
,.
acahidrostáridaconceitososusarpodemos
Portantorepousoemestãomanômetrododentrofluidosdoisdos
321
111
,:
)
pppvezsuaPorhppAemPressão
a
A
54
2243
ppehppjá
2115 )(, hhppladooutroPor B
2114 ),(:,
hhpptemosacimaigualdadesascontaemLevando
B
342234 hpp
, teremosSeguindo
),( 211223 hhhppB
,,111123 quevemhppepppcomo A
)( 2112211
hhhh
hhhhpp AB
)( 122
21112211
hpp
hhhhpp
BA
AB
)( 122 hpp BA
ppb BA33 )108,9106,15(5,0)
35Papp BA3109,2
► Manômetro com tubo inclinado (usado para medir pequenas► Manômetro com tubo inclinado (usado para medir pequenasvariações de pressão)
111:)1( hppemPressão A
32
21 sendehcolunaàdevidapressãoàeespecíficopesodefluidodo
lalturadecolunaàdevidapressãoàecorrespondtambémp
33221
3
sen,.,
D íphlp
sejaOuBempressãoamaisespecíficopesodefluido
B
332211 sen,
ephlhp
Daí
BA
36113322 sen,
hhlppe
BA
► Se os fluidos de pesos específicos 1 e 3 forem gases,então as pressões devidas às colunas h1 e h3 podem serdesprezadas. Nesse caso,
011h
desprezadas. Nesse caso,
033
11
Logoh
sen,
22BA lppLogo
,
BA ppl
e sen2
2BA ppl
37
Exercício
O manômetro inclinado da figura abaixo indica que a pressãoO manômetro inclinado da figura abaixo indica que a pressãono tubo em A é 0,8 psi. O fluido que escoa nos tubos A e B éágua e o fluido manométrico apresenta densidade 2,6. Qual éa pressão no tubo B que corresponde à condição mostrada.p q p ç
38
Solução
1
101505101)30(203
076,076
h
mmmho
3
2
076,0761015,05,101)30(203
mmmhmmmh o
sen
222 /5516/68958,0/8,08,0 mNmNpollbpsipA
11
,hpp
esquemaoAnalisando
águaA
3223221 phlphhpe
BáguaBágua
g
sen
,hhl
Logo
391322 hhlpp águaáguaBA sen
hhlppocontinuand
águaáguaBA
,
1322 sen
lpphhComo
BA
águaáguaBA
)1(,
22
31
1322
sen
calcularPrecisamos 2
mkgSGCágua o
/26006,2 32
4
2
mNgAssim
Cágua
/25506, 322
4
kPakPakPakPappkPappemvaloresostodosdosubstituinFinalmente
ABBA 93,259,2516,559,259,2),1(,
2.5 Força Hidrostática em superfícies planas
► 1o caso, superfície paralela à interface líquido-ar (fundo de, p p q (um tanque aberto, por exemplo)
definiçãoPor ,
dAhdF
dAhdFA
F
o
R
kF AhouAhF RR
41
► 2o caso, superfície plana de forma arbitrária e inclinada emrelação à interface líquido-ar (Diques, represas, ...)
dAhdF
sen
eyh
senCC yhe
42
Logo
dAyF
dAydFdAydFA
sen
sensen
y sen = h
primeirademomentooéAydAyintegralA
dAyF
CA
AR
sen yC sen = hC
PortantoáreadaordemA
,.
43AhFouyAF CRCR sen
► A intuição sugere que a direção de ação da força resultantedeveria passar pelo centróide da superfície. Mas isso nãoacontece.
► A ordenada do ponto de ação da força resultante, yR, podeser determinada pela soma dos momentos em torno do eixo-x.pIsto é, o momento da força resultante precisa ser igual aosmomentos das forças devidas a pressão. Isto é,
dAydAyydFyyFAAA
RRtotal
2
2)( sensen
dAyyFA
RR 2 sen
dAydAA
entãoyAFcomo
A
CR
22
,,
sen
44Ay
ydAyyyAC
AR
ARC
2 sensen
► A integral do numerador da última equação é o momento deinércia em relação ao eixo-x, IX (eixo formado pelaintersecção do plano que contém a superfície arbitrária e asuperfície livre). Assim,
Iy x
► I pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos
Ayy
CR
► Ix pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos,
tA lCxcx
LogoAyII
,
2
quesemostrateAnalogamen
,
CC
xcR y
AyIy C
C
xycR x
AyI
x
45
Cy Cy
► Mostra-se que a força resultante não passa através docentróide, mas sempre atua abaixo dele, porquep p q(Ixc / yc A > 0).
► Momentos de inércia de algumas superfícies► Momentos de inércia de algumas superfícies
46
► Momentos de inércia de algumas superfícies (continuação)
47
ExercícioExercício
A figura abaixo mostra o esboço de uma comporta circularinclinada que está localizada num grande reservatório de águaq g g(=9,80 kN/m3). A comporta está montada num eixo que correao longo do diâmetro horizontal da comporta. Se o eixo estálocalizado a 10 m da su-localizado a 10 m da superfície livre, determine:
a) o módulo e o ponto dea) o módulo e o ponto deaplicação da força resul-tante na comporta.
b) o momento que deveser aplicado no eixo paraabrir a comporta.
48
Solução) forçadaaplicaçãodepontoeMóduloa
3
CR AhF
1023,1
4)2(
10/810.9)(
6
22
3
RC NF
A
mhmNáguadaespecíficopeso
)(
4)2( 22
yxaplicaçãodePonto
rA
),(
CC
xycR
RR
xAy
Ix
yxaplicaçãodePonto
;00
)(0
R
xyc
C
C
xI
figuraxAy
49
xyc
yAy
Iy C
xcR
myfi
yhAy
R
CC
C
64,1155,1145511
4)(551110
sen
rII
figuramy RoC 455,11
4
)(55,11)60sen(4
myexNFEntão
II ycxyc
6411010231
44
6
myexNFEntão RRR 64,110,1023,1,
édlãdcomportadaeixooentredistânciaaslidedofiguraacomacordoDe
Momentob
)(),48(
)
yyd
écomportadalongoaopressãodecentrooe
090
,)(
comportaaquandoladoaolivrecorpodediagramaodoConsideran
yyd CR
),(
09,0
temosrepousoemestápqpg
,),(
MMM batenteResultanteForçaC ,0
NmmNdFM RResultanteForça56 1007,1)09,0()1023,1(
51
ExercícioExercício
A barragem mostrada na figura abaixo é construída emt ( 23 6 kN/ 3) tá i l t i dconcreto ( = 23,6 kN/m3) e está simplesmente apoiada numa
fundação rígida. Determine o coeficiente de atrito estáticoentre a barragem e a fundação, para que a barragem nãoescorregue Admita que a água não provoca qualquer efeito naescorregue. Admita que a água não provoca qualquer efeito nasuperfície inferior da barragem (infiltrações, por exemplo).
52
Solução
/9810)( 3mNágua
AhF CR
34,5145tan
/9810)(
1
mNágua
o
24
2
4totaldeprofundida
44
56,2)66,38cos(
2)90cos(
2
barragemdalarguraA
mh oC
)(4,100454456,2810.9,.44
temoshorizontaldireçãoNaNFLogo
barragemdalarguraA
R
)(5,78441)66,38cos(
,
NFF
temoshorizontaldireçãoNao
RHR
53)(62690)66,38sen(, NFFverticaldireçãoNa o
RVR
,..,
elacasoNestelacalculáPrecisamosnormalforçaaéNNFFmovimentesenãobarragemaquePara AtritoHR
.barragemdapesoforçadamóduloaoecorrespond
. barragemdamassaaémgmN barragembarragem
106,23,3
ggondeVm barragem
barragembarragembarragembarragem
, pordadobarragemdavolumeoéVbarragem
)(205)26( 3mVbarragem
54
)(02
mVbarragem
1069,5341069,6220106,23
,
333
gFgmN
Assim
VRbarragem ,,
tFFi ld dàV lt d
gg
g VRbarragem
1069534578441
:,
3
temosFFigualdadeàVoltando AtritoHR
578411
1069,5345,78441 3
147,01069,5345,784113
55
2.6 Prismas de pressão2.6 Prismas de pressão
► Considere a distribuição de pressão ao longo da paredevertical de um tanque de largura b e que contém um líquido devertical de um tanque de largura b e que contém um líquido depeso específico .
► A pressão varia linearmente com a profundidade p = γh. Énula na superfície do líquido e igual a γh no fundo doreservatório.
56
reservatório.
► Cálculo do centro de pressão (xR, yR).
II y
AyIyex
AyI
x CC
xcRC
C
xycR
2
,,,0 bxxsimetriaporeI CRxyc
1,
2
3hb
E
32,
2,
32
22
12 hbyxhh
hbh
hby RRR
► Isto significa que o centro de pressão está a uma altura deó
2
57h/3 do fundo do reservatório (ou do leito da represa).
► A figura a seguir mostra o chamado de prisma de pressão.
► A força resultante que atua na superfície vertical é,mumericamente, igual ao volume desse prisma,
árearetangularáreaasobremédiapressãoFR )(
h
AhF
N
R
12
58AhhbhVolumeF
N
R
2
))((21
ExercícioExercício
A figura abaixo mostra o esboço de um tanque pressurizadoté ól (SG 0 9) A l d i ã i t l dque contém óleo (SG = 0,9). A placa de inspeção instalada no
tanque é quadrada e apresenta largura igual a 0,6 m. Qual omódulo, e a localização da linha de ação, da força resultanteque atua na placa quando a pressão relativa no topo doque atua na placa quando a pressão relativa no topo dotanque é igual a 50 kPa. Admita que o tanque está exposta àatmosfera.
59
Solução
àeóleodosuperfícienacomprimidoardopressãodasomapeladadaéplacadasuperfícienapressãoaquemostraladoaofiguraA
seráentãoplacaasobreresultanteforçaAóleopróprioaodevidapressão
àeóleodosuperfícienacomprimidoardopressãodasomapela
:,,.
AhhAhpFFF superfície12
1121 )(
nteSeparadame
psuperfície 1121 2)(
placaasobreóleodeporçãoaedoarcomprimidopressãoàdevidoForça
nteSeparadame)1
,
NAhpF
p
superfície333
111 104,2436,081,9109,01050)(
60
p f
)2 placaacomcontatoemóleodopressãoàdevidoForça
1095,0)6,0()3,0()81,9109,0(2
323122 NAhhF
3,020,26,2
212 mhh
104,251095,0104,24, 33321
Ai lil ãE
NNNFFFAssim R
)2,0()3,0(
,,
21 FFyF
temosApontoaoeverticaleixoaorelaçãoEm
OR
)(296,010425
)2,0(1095,0)3,0(104,24, 3
33inferiorbordadaacimamyLogo O
61
104,25 3
2.7 Forças hidrostáticas em superfícies curvas
► Consideremos a seção curva BC do tanque aberto.► Consideremos a seção curva BC do tanque aberto.
62
► F1 = Força feita pelo líquido sobre a superfície imaginária();
► F2 = Força feita pelo líquido sobre a superfície imaginária(β);
► W = Peso da massa do fluidoconsiderado (age no CG);
► FH é a componente horizontalda força feita pelo tanque sobreo líquido É colinear a F ;o líquido. É colinear a F2;
► FV é a componente vertical daf f it l t bforça feita pelo tanque sobre olíquido. É paralela a W e F1;
63
► As linhas de ação FV, FH e F2 passam pelo ponto O.
► Condição de equilíbrio:
2 2CH
WFF
AhAhFF
22
1V
FFF
eWFF
64
22HVR FFF
ExercícioExercício
A Figura abaixo mostra o esboço de um conduto utilizado naádrenagem de um tanque que está parcialmente cheio de
água. Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igualao raio do conduto, determine o módulo, a direção e o
tid d f t b BC d id àsentido da força que atua sobre a curva BC, devida àpresença da água. Admita que a seção tenha comprimentode 1m.
65
Solução
)aconsiderad
águadeporçãodalivrecorpododiagramaomostraladoaofiguraAa
:
.
1 WFeFFequilíbriodeCondição
aconsiderad
VH
:1FdeCálculo
3973)9,01(29,09810
21 NAhAhF C
6241]1)90([19810
:
22
2
NVVgmgF
FdeCálculo
][41
41
6241]1)9,0([4
9810
2
2
rcilindrodovolumeV
NVVgmgF
66
44
VH NWFeNFFequilíbriodecondiçãoaAplicando
62413973:
1
VHR NFFFLogo 3,7398)6241()3973(: 2222
daforçadadireçãoadaânguloOladoaofiguraaosConsideremforçadasentidooedireçãoafaltaagoramagnitudeasEncontramob .,)
VHR figuraDasomapelaodeterminadoésentidoocurvasuperfícieasobreágua
daforçadadireçãoadaânguloOladoaofiguraaosConsiderem
,.:,
.
FFF
oH
VHR
F
f g
532tan
,
1
VF
5,32tan
67
2 8 Empuxo Flutuação e Estabilidade2.8 Empuxo, Flutuação e Estabilidade
► Empuxo“Todo corpo mergulhado num fluido em repouso sofre, porparte do fluido, uma força vertical para cima, cujaintensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.”(P i í i d A i d )(Princípio de Arquimedes)
VggmFB
kF VVVgFB
kF VB
► Está força é chamada deEMPUXO e é o resultado doGradiente de pressão, que
68
Gradiente de pressão, queaumenta com a profundidade.
► A linha de ação da força empuxo, FB, passa pelo centróidedo volume deslocado e o ponto de aplicação dessa força échamado de centro de empuxo.p
► O centro de empuxo corresponde ao centro de gravidade
69do massa de fluido deslocado.
Exercício
A figura a seguir mostra o esboço de uma bóia comg g çdiâmetro e peso iguais a 1,5 m e 8,5 kN, respectivamente, eque está presa ao fundo do mar por um cabo. Normalmente,a bóia flutua na superfície do mar, mas em certas ocasiões,o nível do mar sobe e a bóia fica completamente submersa.Determine a força que tensiona o cabo na condiçãomostrada na figura.(γágua do mar = 10,1 kN/m3)
70
Solução
éequilíbriodecondiçãoaqueseverifaladoaolivrecorpododiagramadopartirA
:
TFTTWF BB
empuxodomagnitudeaéFOnde
B ,:
cabonotensãoaéTboiadapesodomagnitudeaéW
pgB
.,
,
boiapeladeslocadoáguademassadevolumedopesoFB
4,
33
enunciadonodadoNW
NVF águaB
).(105,8
2,17848)75,0(34101,10
3
33
71NTPortanto 2,934885002,17848,
► Estabilidade
• Existem duas condições de equilíbrio:• Existem duas condições de equilíbrio:→ estável;→ instável.
• As situações de estabilidade e instabilidadedependem:
→ Localização do corpo no fluido: submersoou flutuando.
→ Posição relativa entre os centro de gravi-ç gdade, CG, e do centro de empuxo, c.
► Lembrando que o centro de empuxo corresponde ao► Lembrando que o centro de empuxo corresponde aocentro de gravidade do massa de fluido deslocado.
72
► Corpo submerso com Centro de gravidade, CG, abaixo docentro de empuxo, c.
► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,o binário F e W criará um momento de restauraçãoo binário FB e W criará um momento de restauração.
► Esta é uma situação de equilíbrio estável, pois a posiçãoí é
73de equilíbrio original é restaurada.
► Corpo submerso com Centro de gravidade, CG, acima docentro de empuxo, c.
► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,o binário F e W criará um momento de emborcamentoo binário FB e W criará um momento de emborcamento.
► Esta é uma situação de equilíbrio instável, pois o corpo seá í
74moverá para outra posição de equilíbrio.
► Corpo flutuando com Centro de gravidade, CG, acima docentro de empuxo, c, mas dentro do volume deslocado
► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,o binário FB e W criará um momento restaurador.
► Esta é uma situação de equilíbrio estável, pois a posiçãode equilíbrio original é restaurada.
75
► Corpo flutuando com Centro de gravidade, CG, acima docentro de empuxo, c, e acima do volume deslocado.
► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,o binário F e W criará um momento de emborcamentoo binário FB e W criará um momento de emborcamento.
► Esta é uma situação de equilíbrio instável, pois o corpo seá í
76moverá para outra posição de equilíbrio.
2.8 Variação da pressão num fluido em movimento
► Estamos considerando fluidos em repouso ou empmovimento nos quais as tensões de cisalhamento sejamnulas.
► Para um fluido em repouso ou MRU,
0 kk poup
► Para um fluido em movimento, todas as moléculas se
0 kk poup
movimentam com a mesma velocidade, mesmo que estavarie com o tempo, isto é, com a mesma aceleração, casoexista. Este é um comportamento similar a de um corpoírígido. Logo,
ak p77
► De modo análogo, se um fluido estiver contido em umtanque que rotaciona em torno de um eixo fixo, então, estefluido rotacionará junto com o tanque como se fosse umfluido rotacionará junto com o tanque como se fosse umcorpo rígido – desde que não haja tensões de cisalhamento.
78
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