1 FIZYKA - wykład 2
Część I. MECHANIKA
2. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruch jednowymiarowy
Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni
Wykład 2.
2 FIZYKA - wykład 2
KINEMATYKA zajmuje się opisem ruchu ciał bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch
spowodowały (siła).
Rys. Ruch - jedno z najczęściej obserwowanych
zjawisk fizycznych
POJĘCIA WSTĘPNE
Ruch mechaniczny – zmiana wzajemnego
położenia ciała (punktu materialnego) w przestrzeni
(lub jednych ich części względem drugich) pod
wpływem czasu.
Punkt materialny – punkt geometryczny, w którym
skupiona jest pewna masa, a którego rozmiary
i kształty możemy w danym zagadnieniu pominąć.
Układ odniesienia – nieruchome w czasie
obserwacji ciało lub zbiór ciał, względem którego
opisujemy ruch innych ciała w przestrzeni.
Układ współrzędnych – związany z danym
układem odniesienia zespół wzajemnie prostopadłych
osi umożliwiający jednoznaczne określenie położenia
punktu w przestrzeni.
Równania ruchu – opisują zmiany położenia ciała
w przestrzeni w funkcji czasu.
Trajektoria ruchu – krzywa w przestrzeni, opisująca
zmianę położenia ciała.
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
3 FIZYKA - wykład 2
Klasyfikacja ruchów:
A. Ze względu na tor (trajektorię) ruchu:
prostoliniowe (postępowe);
krzywoliniowe (w tym: po okręgu);
B. Ze względu na zależność położenia od czasu:
jednostajne;
jednostajnie zmienne (przyspieszone lub opóźnione);
pozostałe (np. niejednostajnie zmienny itp.).
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
4 FIZYKA - wykład 2
Ruch cząstek emitowanych w
zderzeniach jąder atomowych,
trwał ułamki milionowych
części sekundy. (CERN,
Rap.Ann.1986)
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruch prostoliniowy
Położenie i przemieszczenie
Prędkość średnia i chwilowa
Przyspieszenie
Spadek swobodny
Ruch w dwóch i trzech wymiarach
Rzut ukośny
Ruch jednostajny po okręgu
5 FIZYKA - wykład 2
Ruch prostoliniowy
Ruch jednowymiarowy – podstawowe definicje i wzory
Założenia:
-ruch odbywa się tylko wzdłuż linii prostej
(pionowej lub poziomej),
- interesuje nas sam ruch i jego zmiany a
nie ich przyczyny,
- poruszające się ciało traktujemy jak
obiekt punktowy, czyli obdarzony masą
lecz bez rozmiaru.
6 FIZYKA - wykład 2
• Przemieszczenie - zmiana położenia pomiędzy danymi punktami
• Prędkość średnia
Ruch jednowymiarowy – podstawowe definicje i wzory
)()( 1221txtxx tt
t
x
tt
txtxv ttśr
12
12 )()(21
przemieszczenie
przedział czasu
na przemieszczenie
nachylenie prostej
7 FIZYKA - wykład 2
• Prędkość chwilowa- prędkość poruszania się ciała w danej chwili,
Ruch jednowymiarowy – podstawowe definicje i wzory
dt
dx
t
xtv
t
0lim)(
Poło
żenie
[m
]
Czas [s]
8 FIZYKA - wykład 2
Przyspieszenie – określa jak zmienia się prędkość ciała.
• Przyspieszenie średnie = (przyrost prędkości)/ (przedział czasu, w którym
on nastąpił)
Ruch jednowymiarowy – podstawowe definicje i wzory
t
v
tt
tvtva ttśr
12
12 )()(21
• Przyspieszenie chwilowe: 2
2
0lim
dt
xd
dt
dv
t
va
t
9 FIZYKA - wykład 2
Przyspieszenie stałe (a=constant)
• Najczęściej będziemy się spotykać ze stałym przyspieszeniem (opóźnieniem).
• Gdy przyspieszenie chwilowe i średnie są równe, można zapisać:
Przekształcając powyższe, mamy :
Ruch ze stałym przyspieszeniem
,0
0
tt
vvaa
k
kśr
0: 00 tkowejpocząoczątwchwilidkoćoznaczapręvgdzie
atvtv o )(
Rys. 12 a) Położenie cząstki poruszającej się ze stałym przyspieszeniem. b) Prędkość cząstki w ruchu przyspieszonym. c) Przyspieszenie
cząstki w ruchu przyspieszonym jest stałe. Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki - tom I", PWN, Warszawa 2005r.
10 FIZYKA - wykład 2
Przyspieszenie ziemskie
Rys. źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki , tom I”.
Spadek swobodny (rzut pionowy)
Gdy rzucimy ciało w górę lub w dół i w jakiś
sposób wyeliminujemy wpływ powietrza na jego
ruch, to tak podczas wznoszenia jak i opadania
ciało porusza się z przyspieszeniem, które
nazywamy przyspieszeniem ziemskim (g). Nie zależy ono od własności przedmiotu (masa,
kształt, itd.) – gdy zaniedbamy wpływ powietrza.
Wartość g zmienia się nieznacznie w zależności od szerokości geograficznej i wysokości nad poziomem morza. W zadaniach będziemy używać wartości g=9,81 m/s2
Odpowiadającej średniej szerokości geograficznej i poziomowi morza.
11 FIZYKA - wykład 2
Ruch prostoliniowy
Rzut pionowy w górę
RÓWNANIA RUCHU:
2
2
0
gttvty y
gtvdt
dytv y 0
Dla ciała wyrzuconego z prędkością ,0v
Tablica- wyprowadzenie wzorów
(2.10)
(2.11)
(2.13)
(2.12)
12 FIZYKA - wykład 2
Rzut pionowy w dół
Ruch prostoliniowy
Dla ciała wyrzuconego z wysokości H, prędkością : ,0v
RÓWNANIA RUCHU:
2
2
0
gttvHty y
gtvdt
dytv y 0
Czas trwania rzutu.
Wartość prędkości
Końcowej.
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
13 FIZYKA - wykład 2
Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny (a= const.)
Ruch prostoliniowy- jednowymiarowy
14 FIZYKA - wykład 2
Przykład 1 (tablica)
Jechałeś samochodem z po prostej drodze z szybkością 70 km/h.
Po przebyciu 8,4 km skończyło ci się paliwo i samochód się
zatrzymał. Musiałeś iść pieszo 2 km do stacji benzynowej, co
zajęło 30 min.
a) Ile wynosiło twoje przemieszczenie od początku podróży do
stacji benzynowej?
b) Ile czasu upłynęło od początku podróży, do chwili przybycia
na stację benzynową?
c) Ile wynosiła twoja prędkość średnia w czasie od początku
podróży do przybycia na stację benzynową (2 sposobami).
d) Załóżmy, że nabrałeś benzyny i wróciłeś do samochodu co
zajęło ci 45 min. Ile wynosi twoja średnia prędkość i średnia
szybkość w czasie od początku podróży do chwili powrotu z
benzyną do samochodu.
e) Załóżmy, że po nalaniu benzyny powróciłeś do punktu startu z
prędkością 35 km/h. Ile wynosi średnia prędkość dla całej
podróży?
15 FIZYKA - wykład 2
Ruch w dwóch i trzech wymiarach
Założenia:
- tor ruchu nie musi być linią prostą,
- ciągle interesuje nas sam ruch i jego zmiany
a nie ich przyczyny,
-poruszające się ciało traktujemy jak obiekt punktowy,
czyli obdarzony masą lecz bez rozmiaru
16 FIZYKA - wykład 2
Prędkość w kartezjańskim trójwymiarowym układzie współrzędnych
Rys. Wektor prędkości, w każdym punkcie toru
poruszającego się ciała, (jego kierunek), pokrywa się
ze styczną do toru i jest prędkością chwilową .
Wektor położenia ciała w funkcji czasu:
ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)(
(2.1)
Przemieszczenie:
(2.2)
Prędkość średnia:
kt
zj
t
yi
t
x
t
rvśr
ˆˆˆ.
(2.3)
Prędkość chwilowa:
vkdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rd
t
r
zyx vvv
t
ˆˆˆlim0
(2.4)
s
m
dt
rdv 1
(2.5)
A
B
kzjyixr
rrr
ˆˆˆ
'
17 FIZYKA - wykład 2
2.2.1. PRZYSPIESZENIE (ang. acceleration, ), to wielkość wektorowa, która
określa zmiany wektora prędkości w czasie poruszającego się ciała (zarówno wartości,
jak i kierunku).
21.,
s
mjedna
Rys. źródło:
http://www.if.pwr.edu.pl/~piosit/we.php
Ruch w dwóch i trzech wymiarach
18 FIZYKA - wykład 2
PRZYSPIESZENIE CHWILOWE :
Składowe wektor przyspieszenia w układzie współrzędnych prostokątnych:
Zauważamy, przyspieszenie jest też drugą pochodną wektora położenia względem czasu.
PRZYSPIESZENIE ŚREDNIE:
21
s
m
t
vaśr
(2.7)
(2.8)
kdt
dvj
dt
dvi
dt
dva
zy
x a
z
a
y
a
x ˆˆˆ
(2.9)
22
2
01
)(lim
s
m
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
va dt
rd
t
tor
styczna
Ruch w dwóch i trzech wymiarach
przedział czasu
zmiana wektora prędkości
19 FIZYKA - wykład 2
Ruch prostoliniowy- jednowymiarowy
Graficzne wyznaczanie drogi
20 FIZYKA - wykład 2
Ruch w dwóch i trzech wymiarach
Brachistochrona (krzywa najkrótszego czasu) jest to krzywa, po której czas
staczania się ciała o masie m od punktu A do punktu B, pod wpływem stałej siły
ciężkości, jest najkrótszy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachistos -
najkrótszy oraz chronos - czas.
Rys. Brachistochrona, źródło: http://www.fiumsa.edu.bo/olimpiada/DFIS_OBF_OBAA_Noticias_2008_f_files/image010.gif
21 FIZYKA - wykład 2
2.4.1. RZUT UKOŚNY – ruch krzywoliniowy
v0x x
y
z
H
v0
v0y
g
Rzut ukośny jest złożeniem dwóch ruchów :
•ruchu jednostajnego w kierunku poziomym - z prędkością: cos0vvox
•ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku pionowym: -z prędkością początkową: sin0vvoy
i przyspieszeniem : g
tvtx x0
2
2
0
gttvty y
r(t):
xx vdt
dxtv 0
gtvdt
dytv yy 0
v(t):
Rys. Rzut ukośny: w czasie ruchu składowa pozioma prędkości przyspieszenie a- takie samo w każdym punkcie toru ;0 constv x
xv0
a(t):
ga
a
y
x
0
RÓWNANIA RUCHU:
Dla ciała wyrzuconego z prędkością
do poziomu: podv ,0
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Ruch w dwóch i trzech wymiarach
22 FIZYKA - wykład 2
(2.24)
(2.25)
(2.26)
Rzut ukośny c.d.
Równanie toru dla rzutu ukośnego- trajektoria ruchu:
2
2cos2
xv
gxtgxy
o
Wyznaczając z równania (3.26) czas t i podstawiając do równania (3.27), znajdujemy równanie toru:
• Otrzymane parametry toru:
g
vtxZ c
2sin)(
2
0Zasięg (Z) rzutu:
Maksymalna wysokość wzniesienia Hmax: g
vtyH w
2
sin)(
22
0max
(z warunku: ) 0)( wy tv
Tablica- wyznaczenie parametrów toru:
Tablica- Przykłady
23 FIZYKA - wykład 2
Analiza rzutu ukośnego-opór powietrza
Opór powietrza
Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki , tom I”.
24 FIZYKA - wykład 2
(2.28)
(2.29)
(2.31)
Stałe przyspieszenie w innym świetle*
2.4.1. Od przyspieszenia do równania ruchu
Znając przyspieszenie (a =const.) ciała można znaleźć prędkość, przemieszczenie lub drogę tego
ruchu.
Całka po czasie z wektora prędkości wyraża przemieszczenie ciała w przestrzeni.
Z definicji wynika : dt
dva adtdv
t
t
v
v
adtdv
00
Całkując obie strony równania (2.35), otrzymujemy:
a ponieważ a= const, stąd: )( 00 ttavv (2.30)
W przypadku t0=0s, równość (2.37) przyjmuje postać: 0)( vtatv
Z definicji prędkości chwilowej , otrzymujemy: dt
rdv
dtvrd
(2.32)
Całkując obie strony równania (2.39), otrzymujemy: (2.33)
25 FIZYKA - wykład 2
(2.34)
Co wynika z całkowania stałego przyspieszenia…?
Przebytą drogę wyraża całka po czasie, ale z wartości bezwzględnej wektora prędkości:
Jeśli prędkość nie zmienia się, to:
Przykład –ruch ze stałym przyspieszeniem.
Dane są składowe [x, y, z] przyspieszenia, prędkości i położenia ciała w chwili t= 0s,
Zakładając, że , zbadać ruch odpowiadając na pytania:
1. Jak zmienią się te wartości po czasie t? 2. Jaki będzie kształt toru?
(2.35)
26 FIZYKA - wykład 2
Ruch po okręgu
2.5. Ruch jednostajny po okręgu
- ruch cząstki odbywa się po okręgu lub kołowym łuku z prędkością o stałej
wartości bezwzględnej,
- choć wartość prędkości się nie zmienia, ruch cząstki jest ruchem
przyspieszonym .
Uzasadnienie.
Przyspieszenie ( zmiana prędkości) kojarzy się ze
Wzrostem lub zmniejszaniem się wartości bezwzględnej
prędkości . Prędkość jest wektorem, a nie skalarem.
Jeśli zmienia się choćby tylko jej kierunek,
to ruch jest przyspieszony.
Okres-czas potrzebny cząstce na jednokrotny Obieg zamkniętego toru.
(2.36)
27 FIZYKA - wykład 2
Ruch po okręgu
Wielkości kątowe – wektor prędkości kątowej
(2.37)
(2.38)
28 FIZYKA - wykład 2
Ruch po okręgu
Wielkości kątowe – przyspieszenie kątowe
(2.39)
(2.40)
(2.41)
29 FIZYKA - wykład 2
Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)
Ruch po okręgu
(2.42)
30 FIZYKA - wykład 2
Zależności między wielkościami liniowymi a kątowymi w ruchu po okręgu
Ruch po okręgu
Występowanie:
31 FIZYKA - wykład 2
Przykład (dla zainteresowanych)
Talerz adaptera o średnicy d = 20 cm obraca się ruchem jednostajnym wykonując
33 obroty/min w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
Oblicz :
a) prędkość kątowa talerza,
b) prędkość liniową i przyspieszenie dośrodkowe punktu na brzegu talerza.
c) Ile obrotów/min powinien wykonywać talerz, aby przyspieszenie dośrodkowe
punktu na jego brzegu było równe przyspieszeniu ziemskiemu? Jaki byłby jego
okres obrotu?
d) Gdy adapter wyłączono talerz zatrzymał się po upływie 10 s. Zakładając, że siła
oporu była stała obliczyć przyspieszenie kątowe talerza podczas hamowania
oraz ilość obrotów, które wykonał talerz od momentu wyłączenia do
zatrzymania. Oblicz przyspieszenie liniowe punktu na brzegu talerza w chwili
rozpoczęcia hamowania. Narysuj wektory prędkości i przyspieszenia kątowego
talerza oraz prędkości liniowej, przyspieszenia dośrodkowego, stycznego i
całkowitego punktu na brzegu talerza tuż po wyłączeniu adaptera.
32 FIZYKA - wykład 2
Dziękuję za uwagę !