ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
12 Φεβρουαρίου 2014
12 Φεβρουαρίου 2014 1 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Αποστόλου Γεώργιος
Μαθηµατικός
ΙΩΑΝΝΙΝΑ
12 Φεβρουαρίου 2014
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 2 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Βασικές Γνώσεις
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 3 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Περιεχόµενα
1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΩΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ
4 ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ Vietta
6 ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ
7 ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ
8 ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
9 ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
10 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
11 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
12 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 3 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξισώσεις
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 4 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 1η
Τι ονοµάζουµε εξίσωση µε έναν άγνωστο;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 5 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση
Είναι µια ισότητα µεταξύ δυο συναρτήσεων, f(x) = g(x) που έχουν το ίδιο
πεδίο ορισµού.
Η οποία όµως, δεν είναι απαραίτητο να ισχύει, για όλο το πλήθος των τιµών της
µεταβλητής x .
Η διαδικασία την οποία ακολουθούµε, για να προσδιορίσουµε τις τιµές της
µεταβλητής, που επαληθεύουν την ισότητα, ονοµάζετε επίλυση της εξίσωσης.
Ισοδύναµες λέγονται οι εξισώσεις που έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 6 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Εξισώσεις 1ου ϐαθµού
Είναι εξισώσεις µεταξύ δυο πρωτοβάθµιων πολυωνύµων, µε την ίδια µεταβλητή.
Αυτή η εξίσωση µετά τις πράξεις παίρνει τη µορφή αx + β = 0, όπου α, βπραγµατικοί αριθµοί.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 7 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Ερώτηση 2η
Πως λύνουµε µια εξίσωση πρώτου βαθµού;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 8 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Μεθοδολογία
Για να λύσουµε µια εξίσωση 1ου ϐαθµού,
κάνουµε τις πράξεις,
χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους
αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι ≠ 0 διαιρούµε µε αυτόν και τα δυο µέλη,
διαφορετικά η εξίσωση είναι ή αδύνατη ή αόριστη.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 9 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Παράδειγµα 1ο
Να λυθεί η εξίσωση 2(x + 1) = −x + 3
Λύση
2(x + 1) = −x + 3 ⇔ 2x + 2 = −x + 3
⇔ 2x + x = 3 − 2
⇔ 3x = 1
⇔ x =1
3
άρα, η εξίσωση έχει µοναδική λύση.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 10 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Παράδειγµα 2ο
Να λυθεί η εξίσωση x + 3 = 2(x − 3) − x
Λύση
x + 3 = 2(x − 3) − x ⇔ x + 3 = 2x − 6 − x
⇔ x − 2x + x = −6 − 3
⇔ 0x = −8
το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση δεν έχει λύση.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 11 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Παράδειγµα 3ο
Να λυθεί η εξίσωση 5(x − 3) − x = 4x − 15
Λύση
5(x − 3) − x = 4x − 15 ⇔ 5x − 15 − x = 4x − 15
⇔ 5x − x − 4x = 15 − 15
⇔ 0x = 0
το οποίο, ισχύει για κάθε x ∈ R, άρα η εξίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει
άπειρες λύσεις.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 12 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 3η
Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται παραµετρικές;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 13 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παραµετρικές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν
κι άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.
Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 14 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
∆ιερεύνηση παραµετρικής εξίσωσης
Είναι :
αx + β = 0⇔ αx = −βΤώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις :
Αν α ≠ 0 τότε από : αx = −β⇔ x = −β
α, µοναδική λύση.
Αν α = 0 τότε από : αx = −β⇔ 0x = −βτώρα αν :
i. β ≠ 0 έχουµε, 0x = −β ≠ 0 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση
είναι αδύνατη, δεν έχει πραγµατικές ϱίζες.
ii. β = 0 έχουµε, 0x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x ∈ R, άρα η εξίσωση
είναι ταυτότητα, έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 15 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 1ο
Να λυθεί η εξίσωση λ2x − 1 = x + λ (1) για τις διάφορες τιµές του λ ∈ R.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 16 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
ΛύσηΓια να λύσω την παραµετρική εξίσωση, ϑα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη
µορφή: αx = β
λ2x − 1 = x + λ ⇔ λ2
x − x = 1 + λ
⇔ (λ2− 1)x = 1 + λ
τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις :
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 17 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
Αν λ2 − 1 ≠ 0⇒ λ ≠ ±1⇒ λ ∈ R − −1, 1τότε η εξίσωση έχει µοναδική λύση την :
x =1 + λ
λ2 − 1=
1 + λ
(λ − 1)(λ + 1)=
1
λ − 1
Αν λ=-1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 0 άρα η εξίσωση είναι
αόριστη, έχει άπειρες λύσεις.
Αν λ=1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 2 άρα η εξίσωση είναι
αδύνατη, δεν έχει καµία λύση.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 18 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΩΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Ερώτηση 4η
Ποιοι είναι οι ποιο συνηθισµένοι τρόποι για να ανάγουµε την επίλυση µιαςεξίσωσης, σε επίλυση εξισώσεων πρώτου βαθµού;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 19 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΩΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Αναγωγή σε εξισώσεις 1ου ϐαθµού
Παραγοντοποίηση A(x)B(x) = 0⇐⇒ A(x) = 0 ή B(x) = 0
΄Αθροισµα µη αρνητικών προσθετέων π.χ.
A2(x) + B
2(x) = 0⇐⇒ A(x) = 0 και B(x) = 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 20 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΩΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Παράδειγµα 1ο
Να λυθεί η εξίσωση x2 − 7x + 6 = 0
Λύση
x2− 7x + 6 = 0 ⇔ x
2− (6 + 1)x + 6 ⋅ 1 = 0
⇔ (x − 6) ⋅ (x − 1) = 0
⇔ x − 6 = 0 ή x − 1 = 0
⇔ x = 6 ή x = 1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 21 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΩΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Παράδειγµα 2ο
Να λυθεί η εξίσωση (x − 2)2 + (x2 − 4)2 = 0
ΛύσηΠρέπει x − 2 = 0⇐⇒ x = 2 και x
2 − 4 = 0⇐⇒ x = ±2
΄Αρα η κοινή λύση είναι x = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 22 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΩΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Παράδειγµα 3ο
Να λυθεί η εξίσωση : (x − 3)3 − 8x3 + (x + 3)3 = 0
ΛύσηΑπό την ταυτότητα του Euler έχουµε ότι :
αν α + β + γ = 0⇒ α3+ β3
+ γ3= 3αβγ
Η εξίσωση που µας δίνεται, γράφεται : (x − 3)3 − (2x)3 + (x + 3)3 = 0
κι έχουµε : x − 3 − 2x + x + 3 = 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 23 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΩΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Λύση
(x − 3)3− 8x
3+ (x + 3)
3= 0 ⇔ (x − 3)
3− (2x)
3+ (x + 3)
3= 0
⇔ (x − 3)3− (2x)
3+ (x + 3)
3= 0
⇔ 3(x − 3)(2x)(x + 3) = 0
⇔
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x − 3 = 0
2x = 0
x + 3 = 0
⇔
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 3
x = 0
x = −3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 24 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 5η
Πως λύνω εξισώσεις µε απόλυτες τιµές;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 25 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 1ο
΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής ∣f(x)∣ = θ > 0⇐⇒ f(x) = ±θ
Στο παρακάτω παράδειγµα, εφαρµόζοντας τη συγκεκριµένη ιδιότητα των
απολύτων τιµών, έχουµε :
2∣x + 1∣ − 6 = 0 ⇐⇒ 2∣x + 1∣ = 6
⇐⇒ ∣x + 1∣ = 3
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x + 1 = 3
x + 1 = −3
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = 2
x = −4
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 26 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 2ο
΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής ∣f(x)∣ = α < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη
΄Αρα η εξίσωση : ∣2x + 7∣ + 9 = 0⇒ ∣2x + 7∣ = −9 είναι αδύνατη.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 27 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 3ο
΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής ∣f(x)∣ = ∣g(x)∣⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
f(x) = g(x)
f(x) = −g(x)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 28 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 4ο
Να λυθεί η εξίσωση ∣x − 1∣ − 3∣x + 5∣ = 0
Λύση
∣x − 1∣ − 3∣x + 5∣ = 0 ⇐⇒ ∣x − 1∣ = 3∣x + 5∣
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x − 1 = 3(x + 5)
x − 1 = −3(x + 5)
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x − 1 = 3x + 15
x − 1 = −3x − 15
⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
−2x = 16
4x = −14
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = −8
x = −7
2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 29 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 5ο
Από τη σχέση : ∣f(x)∣ = f(x)⇒ f(x) > 0
Οπότε από την εξίσωση ∣x + 1∣ = x + 1⇒ x + 1 > 0⇒ x > −1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 30 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 6ο
Από τη σχέση : ∣f(x)∣ = −f(x)⇒ f(x) < 0
Οπότε από την εξίσωση ∣2x − 4∣ = −2x + 4⇒ 2x − 4 < 0⇒ 2x < 4⇒ x < 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 31 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 7ο
΄Οταν έχω εξισώσεις της µορφής ∣f(x)∣ = g(x),
επειδή το ∣f(x)∣ ≥ 0 ϑα πρέπει και το g(x) ≥ 0
΄Αρα από την εξίσωση ∣f(x)∣ = g(x)⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
g(x) ≥ 0
f(x) = g(x)
f(x) = −g(x)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 32 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 8ο
Να λυθεί η εξίσωση ∣3x − 6∣ = 2x − 2
Λύση
∣3x − 6∣ = 2x − 2 ⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2x − 2 ≥ 0
3x − 6 = 2x − 2
3x − 6 = −2x + 2
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x ≥ 1
x = 4
x =8
5
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 4
x =8
5
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 33 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 7ο
΄Οταν έχω εξισώσεις της µορφής ∣f(x)∣ + ∣g(x)∣ = 0 επειδή ∣f(x)∣ ≥ 0 και
∣g(x)∣ ≥ 0 πρέπει να είναι : f(x) = g(x) = 0
΄Αρα από την εξίσωση :
∣x2− 4∣ + ∣3x − 6∣ = 0 ⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x2 − 4 = 0
3x − 6 = 0
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = ±2
x = 2
⇐⇒ x = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 34 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
∆ιωνυµικές εξισώσεις
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 35 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 6η
Πως λύνουµε εξισώσεις της µορφής xν = α;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 36 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Επίλυση διωνυµικών εξισώσεων
Οι λύσεις της εξίσωσης xν = α είναι :
Για α > 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν√α
Για α > 0 και ν άρτιο, η λύση της εξίσωσης είναι x = ± ν√α
Για α < 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = − ν√
∣α∣
Για α < 0 και ν άρτιο, η εξίσωση είναι αδύνατη
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 37 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παραδείγµατα
Να λυθούν οι εξισώσεις
x2 = 4⇔ x = ±
√4 = ±2
x4 = −34 η εξίσωση είναι αδύνατη.
x3 = 8⇔ x =
3√
8 = 2
x3 = −125⇔ x = − 3
√∣ − 125∣ = −5
x20 = 0⇔ x = 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 38 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Εξισώσεις 2ου ϐαθµού
Είναι εξισώσεις µεταξύ δυο δευτεροβάθµιων πολυωνύµων, µε την ίδια
µεταβλητή.
Αυτή η εξίσωση µετά τις πράξεις παίρνει τη µορφή αx2 + βx + γ = 0, όπου
α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, µε α ≠ 0.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 39 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Ερώτηση 7η
Πως λύνουµε µια εξίσωση 2ου βαθµού;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 40 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Επίλυση εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4 ⋅ α ⋅ γ.
Αν ∆ > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις x1,2 =−β ±
√∆
2 ⋅ α
Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση έχει µία διπλή λύση την x =−β
2 ⋅ αΑν ∆ = 0 τότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατική λύση (αδύνατη).
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 41 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Παράδειγµα 1ο
Να λυθεί η εξίσωση 2x2 + 6x = 0
Λύση
2x2+ 6x = 0 ⇔ 2x(x + 3) = 0
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = 0
x + 3 = 0
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = 0
x = −3
΄Οταν λείπει το γ ϐγάζω κοινό παράγοντα.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 42 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Παράδειγµα 2ο
Να λυθεί η εξίσωση x2 − 4 = 0
Λύση
x2− 4 = 0 ⇔ x
2= 4
⇔ x = ±2
΄Οταν λείπει το x χωρίζω γνωστούς από αγνώστους.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 43 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Παράδειγµα 3ο
Να λυθεί η εξίσωση 3x2 + 16 = 0
Λύση
3x2+ 16 = 0 ⇔ 3x
2= −16
αδύνατη
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 44 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Παράδειγµα 4ο
Να λυθεί η εξίσωση 2x2 − 5x + 3 = 0
ΛύσηΗ 2x
2 − 5x + 3 = 0 είναι της µορφής αx2 + βx + γ = 0
µε α = 2, β = −5, γ = 3, τότε
η ∆ = β2 − 4αγ = (−5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 1 > 0
άρα η εξίσωση έχει δυο λύσεις τις x1,2 =−β ±
√∆
2 ⋅ α
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 45 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Παράδειγµα 5ο
Να λυθεί η εξίσωση x2 − 6x + 9 = 0
ΛύσηΗ εξίσωση x
2 − 6x + 9 = 0 έχει ∆ = β2 − 4αγ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0
άρα έχει διπλή ϱίζα την x =6
2= 3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 46 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Παράδειγµα 6ο
Να λυθεί η εξίσωση 3x2 + 4x + 2 = 0
ΛύσηΗ εξίσωση 3x
2 + 4x + 2 = 0 έχει ∆ = β2 − 4αγ = 42 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = −8 < 0
άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 47 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
Παράδειγµα 7ο Εξίσωση µε απόλυτα που ανάγεται σε
εξίσωση 2ου ϐαθµού
Να λυθεί η εξίσωση x2 − 7∣x ∣ + 12 = 0
Λύση
x2− 7∣x ∣ + 12 = 0 ⇔ ∣x ∣
2− 7∣x ∣ + 12 = 0 ϑέτω ∣x ∣ = ω
ω2− 7ω + 12 = 0
∆ = 1 άρα έχει δυο λύσεις
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
ω1 = 4
ω2 = 3
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
∣x ∣ = 4
∣x ∣ = 3
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = ±4
x + ±3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 48 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
Ερώτηση 8η
Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται παραµετρικές;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 49 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
Παραµετρικές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν κι
άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.
Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 50 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
Παραµετρικές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν κι
άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.
Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 50 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
Παραµετρικές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν κι
άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.
Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 50 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
Παράδειγµα 1ο
Να λύσετε την εξίσωση : x2 + α2 = β2 − 2αx, α.β ∈ R
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 51 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
Λύση
Λύσηx
2 + α2 = β2 − 2αx ⇔ x2 + 2αx + α2 − β2 = 0
∆ = (2α)2 − 4(α2 − β2) = 4α2 − 4α2 + 4β2 = 4β2
Αν ∆ = 4β2 = 0⇔ β = 0 τότε x = −2αΑν β ≠ 0 τότε
x1,2 =−2α ±
√4β2
2
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
−2α + 2β
2
+2α + 2β
2
=
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
−α + β
−α − βΑποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 52 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
Ιδιότητες, που είναι χρήσιµες στις εξισώσεις 2ου ϐαθµού
΄Οταν έχω παραµετρικές εξισώσεις της µορφής
αx2 + βx + γ = 0, ϑα πρέπει να λάβω υπόψιν µου τα παρακάτω.
΄Εχει πραγµατικές ϱίζες α ≠ 0,∆ ≥ 0
∆εν έχει πραγµατικές ϱίζες α ≠ 0,∆ < 0
΄Εχει µια διπλή πραγµατική ϱίζα α ≠ 0,∆ = 0
΄Εχει 2 πραγµατικές και άνισες ϱίζες α ≠ 0,∆ > 0
Οι ϱίζες είναι αντίθετες α ≠ 0,∆ > 0, S = 0
Οι ϱίζες είναι αντίστροφες α ≠ 0,∆ > 0, P = 1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 53 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
Ιδιότητες, που είναι χρήσιµες στις εξισώσεις 2ου ϐαθµού
Οι ϱίζες είναι οµόσηµες α ≠ 0,∆ > 0, P > 0
Οι ϱίζες είναι ετερόσηµες α ≠ 0,∆ > 0, P < 0
Οι ϱίζες είναι ϑετικές α ≠ 0,∆ > 0, P > 0, S > 0
Οι ϱίζες είναι αρνητικές α ≠ 0,∆ > 0, P > 0, S < 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 54 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
Παράδειγµα
Να ϐρείτε τις τιµές του µ ∈ R, για τις οποίες η εξίσωση
µx2 + 2x + µ = 0, µ ≠ 0 έχει διπλή ϱιζά.
ΛΥΣΗΓια να έχει η εξίσωση µx
2 + 2x + µ = 0 διπλή ϱιζά Θα πρέπει
µ ≠ 0,∆ = 0
΄Αρα έχω : µ ≠ 0 το οποίο δίνεται και
∆ = 0 ⇔ 22− 4µ2
= 0
⇔ µ2= 1
⇔ µ = ±1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 55 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ Vietta
Ερώτηση 9η
Ποιοι είναι οι τύποι του Vietta;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 56 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ Vietta
Τύποι του Vietta
΄Οταν έχουµε την εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, µε α ≠ 0 και ∆ > 0,
η οποία έχει δυο λύσεις x1, x2 τότε ισχύει :
S = x1 + x2 = −β
ακαι P = x1 ⋅ x2 =
γ
α
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 57 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ Vietta
Παράδειγµα 1ο
Αν x1, x2 οι λύσεις της εξίσωσης x2 + x − 12 = 0, να υπολογιστούν οι
παραστάσεις :
x1 + x2
x1x2
x21 + x
22
x31 + x
32
(x1 − x2)2
∣x1 − x2∣
x21
x2
+x
22
x1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 58 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ Vietta
Λύση
ΛύσηΣτην εξίσωση x
2 + x − 10 = 0, είναι α = 1, β = 1, γ = −12 άρα :
S = x1 + x2 =−β
γ= −1
P = x1x2 =γ
α= −12
x21 + x
22 = (x1 + x2)
2 − 2x1x2 = (−1)2 − 2 ⋅ (−12) = 1 + 24 = 25
x31 + x
32 = (x1 + x2)(x
21 − x1x2 + x
22) = −1(25 + 12) = −37
(x1 − x2)2 = x
21 − 2x1x2 + x
22 = 25 − 2 ⋅ (−12) = 49
∣x1 − x2∣ =√
(x1 − x2)2 =
√49 = 7
x21
x2
+x
22
x1
=x
31 + x
32
x1x2
=−37
−12=
37
12
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 59 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 9η
Ποιες εξισώσεις λέγονται διτετράγωνες;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 60 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
∆ιτετράγωνες εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις τις µορφής αx2ν + βx
ν + γ = 0
και λύνονται µε αντικατάσταση, ϑέτοντας ω = xν
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 61 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα
Να λυθεί η εξίσωση 4x4 + 11x
2 − 3 = 0
Λύση
4x4+ 11x
2− 3 = 0, ϑέτω x
2= ω ⇔ 4ω2
+ 11ω − 3
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
ω1 = −12
ω2 = 1
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x2 = −12 αδυνατη
x2 = 1
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = −1
x = 1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 62 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 10η
Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται πολυωνυµικές ;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 63 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Πολυωνυµικές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις µεταξύ 2 πολυωνύµων
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 64 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 11η
Πως λύνουµε πολυωνυµικές εξισώσεις ;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 65 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Πολυωνυµικές εξισώσεις
1ου ϐαθµού χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους
2ου ϐαθµού µε διακρίνουσα
3ου ϐαθµού και πάνω, κάνοντας παραγοντοποίηση, ώστε να έχω, µόνο,
παράγοντες 1ου και 2ου ϐαθµού.
Η εξίσωση A(x)B(x)Γ(x)...K(x) = 0⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A(x) = 0
...
K(x) = 0
µε A(x), B(x),Γ(x), ..., K(x) πολυώνυµα πρώτου και δεύτερου ϐαθµού.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 66 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 12η
Πόσες ρίζες έχει µια πολυωνυµική εξίσωση;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 67 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Πολυωνυµικές εξισώσεις
Αν η ισοδύναµη εξίσωση, που ϑα προκύψει, από τη µεταφορά όλων των όρων,
των πολυωνύµων της εξίσωσης, στο 1ο µέλος και την αναγωγή των όµοιων
όρων έχει πολυώνυµο νου ϐαθµού, τότε η εξίσωση, ϑα έχει το πολύ νπραγµατικές ϱίζες.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 68 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παρατήρηση
Πιθανή ακέραια ϱίζα ενός πολυωνύµου είναι ένας από τους διαιρέτες τους
σταθερού όρου (όταν οι συντελεστές του πολυωνύµου είναι ακέραιοι). Αν το
άθροισµα των συντελεστών είναι 0, τότε το πολυώνυµο έχει σίγουρα ϱίζα το 1
(Παρατήρηση πολύ χρήσιµη όταν κάνω παραγοντοποίηση µε το σχήµα του
Horner.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 69 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα
Να λυθεί η εξίσωση, 3x3 + 8x
2 − 15x + 4 = 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 70 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
ΛύσηΤο άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου είναι 0, άρα η εξίσωση έχει
σίγουρα ϱίζα το 1.
Το πολυώνυµο είναι 3ου ϐαθµού, οπότε πρέπει να το παραγοντοποιήσουµε.
3 8 −15 4 1
3 11 −4
3 11 −4 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 71 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης του
3x3 + 8x
2 − 15x + 4 µε το x − 1 είναι 3x2 + 11x − 4 και το υπόλοιπο 0.
Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε :
3x3 + 8x
2 − 15x + 4 = (x − 1)(3x2 + 11x − 4)
x3+ 8x
2− 15x + 4 = 0 ⇐⇒ (x − 1)(3x
2+ 11x − 4) = 0
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x − 1 = 0
3x2 + 11x − 4 = 0
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 1
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = −4
x = −1
3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 72 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παρατήρηση
Σχέσεις µεταξύ των ϱιζών ενός πολυωνύµου 3ου ϐαθµού και τον συντελεστών
του
ρ1, ρ2 ρ3 οι ϱίζες του πολυωνύµου αx3 + βx
2 + γx + δ = 0
σ1 = ρ1 + ρ2 + ρ3 = −γ
δ
σ2 = ρ1ρ2 + ρ1ρ3 + ρ2ρ3 =β
δσ3 = ρ1ρ2ρ3 = −
α
δΗ εξίσωση 3ου ϐαθµού που έχει ϱίζες τις ρ1, ρ2 ρ3
είναι η x3 − σ1x
2 + σ2x − σ3 = 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 73 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Θεώρηµα 2
Μια πολυωνυµική εξίσωση λέγεται αντίστροφη, όταν για κάθε ϱίζα ϱ που έχει,
τότε έχει ϱίζα και την1
ρκαι µάλιστα µε την ίδια πολλαπλότητα. (΄Ολες οι ϱίζες
είναι µη µηδενικές.)
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι µια εξίσωση αντίστροφη είναι : οι
ισαπέχοντες από τα άκρα, συντελεστές του πολυωνύµου, να είναι όλοι ίσοι ή
όλοι αντίθετοι.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 74 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Τέχνασµα 1
Τέχνασµα 1ο
αx3+ βx
2+ βx + α = 0 ⇐⇒ α(x
3+ 1) + βx(x + 1) = 0
⇐⇒ α(x + 1)(x2+ x + 1) + βx(x + 1) = 0
⇐⇒ (x + 1)[α(x2+ x + 1) + βx] = 0
όπου αυτό είναι ένα γινόµενο, ενός παράγοντα 1ου ϐαθµού και ενός
παράγοντα 2ου ϐαθµού.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 75 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Τέχνασµα 2
Τέχνασµα 2ο
αx4+ βx
3+ γx
2+ βx + α = 0 ⇐⇒ x
2(αx
2+ βx + γ + β
1
x+ α
1
x2) = 0, x ≠ 0
(x ≠ 0αποδεικνύεται µε άτοπο)
⇐⇒ α(x2+
1
x2) + β(x +
1
x) + γ = 0
Θέτουµε, x +1
x= y , και x
2 +1
x2= (x +
1
x)2 − 2x
1
x= y
2 − 2
κι έχουµε :
α(y2 − 2) + βy + γ = 0
που είναι εξίσωση 2ου ϐαθµού
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 76 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ρητές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις µεταξύ ϱητών συναρτήσεων (Κλάσµατα µεταξύ πολυωνύµων)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 77 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 13η
Πως λύνω τις ρητές εξισώσεις ;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 78 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Επίλυση ϱητών εξισώσεων
Για να λύσω µια ϱητή εξίσωση :
Παραγοντοποιώ τους παρονοµαστές
Βάζω περιορισµούς
Κάνω απαλοιφή παρονοµαστών µε το Ε.Κ.Π. των παρονοµαστών
Λύνω την εξίσωση που προκύπτει
Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 79 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα
Να λυθεί η εξίσωση :
2
x+
2x − 3
x − 2+
2 − x2
x2 − 2x= 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 80 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
Λύση
΄Εχω την εξίσωση :2
x+
2x − 3
x − 2+
2 − x2
x2 − 2x= 0 µε x ≠ 0 και x ≠ 2
2
x+
2x − 3
x − 2+
2 − x2
x2 − 2x= 0 ⇔
2
x+
2x − 3
x − 2+
2 − x2
x(x − 2)= 0
⇔ x(x − 2)2
x+ x(x − 2)
2x − 3
x − 2+ x(x − 2)
2 − x2
x(x − 2)= 0
⇔ 2(x − 2) + x(2x − 3) + 2 − x2= 0
⇔ 2x − 4 + 2x2− 3x + 2 − x
2= 0
⇔ x2− x − 2 = 0, ∆ = 9
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x1 = 2 απορρίπτεται
x2 = −1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 81 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
΄Αρρητες εξισώσεις
Είναι αυτές που έχουν τον άγνωστο µέσα σε υπόριζο
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 82 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 14η
Πως λύνω τις άρρητες εξισώσεις ;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 83 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Επίλυση ϱητών εξισώσεων
Για να λύσω µια άρρητη εξίσωση :
Βάζω περιορισµούς, οι παρονοµαστές να είναι διάφοροι του 0 και τα
υπόριζα να είναι µεγαλύτερα ή ίσα απ το 0
Χωρίζω τις ϱητές από τις άρρητες παραστάσεις
Απαιτώ και τα δυο µέλη της εξίσωσης να είναι οµόσηµα, δηλαδή η ϱητή
παράσταση που προέκυψε πρέπει να είναι οµόσηµη µε τη άρρητη
Υψώνω και τα δυο µέλη, σε κατάλληλη δύναµη, κάνω τις πράξεις και λύνω
την εξίσωση που προκύπτει
Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 84 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 1ο
Να λυθεί η εξίσωσή√
2x − 5 +√
x − 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 85 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
Λύση
΄Εχουµε τους περιορισµούς
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x ≥5
2
x ≥ 2
⇐⇒ x ≥5
2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 86 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 2ο
Να λυθεί η εξίσωσή√
2x − 5 +√
x − 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 87 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
Λύση√
2x − 5 +√
x − 2 = 2 ⇔ (√
2x − 5 +√
x − 2)2= 2
2
⇔ 2x − 5 + x − 2 + 2√
(2x − 5)(x − 2) = 4
⇔ 2√
(2x − 5)(x − 2) = 11 − 3x, x ≤11
3(1)
⇔ (2√
(2x − 5)(x − 2))2= (11 − 3x)
2
⇔
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
4(2x − 5)(x − 2) = (11 − 3x)2
x ≥5
2
x ≤11
3⇔ ...
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 88 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
⇔
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 3 ή x = 27
x ≤11
3
⇔ x = 3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 89 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Τριγωνοµετρικές εξισώσεις
Είναι εξισώσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών συναρτήσεων
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 90 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 14η
Πως λύνω τις τριγωνοµετρικές εξισώσεις ;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 91 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Επίλυση τριγωνοµετρικών εξισώσεων
Οι τύποι επίλυσης τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω :
ηµx = ηµα⇒ x =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
2κπ + α
2κπ + π − α,κεZ
συνx = συνα⇒ x = 2κπ ± α,κεZ
εφx = εφα⇒ x = κπ + α,κεZ
σφx = σφα⇒ x = κπ + α,κεZ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 92 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Πίνακας τριγωνοµετρικών αριθµών ϐασικών γωνιών
Εδώ ϑα ήταν χρήσιµο, να ϑυµηθούµε τον πίνακα µε τους τριγωνοµετρικούς
αριθµούς των ϐασικών γωνιών.
µοίρες rad ηµ συν εφ σφ
0 0 0 1 0
30π6
1
2
√
3
2
√
3
3
√3
45π4
√
2
2
√
2
21 1
60π3
√
3
2
1
2
√3
√
3
3
90π2
1 0 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 93 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Επίλυση τριγωνοµετρικών εξισώσεων, µε αρνητικό 2ο µέλος
΄Οταν έχω αρνητικό 2ο µέλος στην εξίσωση, τότε ακολουθώ την αντίστροφη
διαδικασία απ΄ την αναγωγή στο 1ο τετερτηµόριο, οι τύποι επίλυσης
τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω :
−ηµ(x) = ηµ(−x)
−συν(x) = συν(π − x)
−εφ(x) = εφ(−x)
−σφ(x) = σφ(−x)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 94 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα
Να λυθεί η εξίσωσή 2συν(2x −π
5) = 1 µε 0 ≤ x < π
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 95 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
Λύση
2συν(2x −π
5) = 1 ⇔ συν(2x −
π
5) =
1
2
⇔ συν(2x −π
5) = συν
π
3
⇔
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2x −π
5= 2κπ +
π
3
ή
2x −π
5= 2κπ −
π
3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 96 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
⇔
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = κπ +4π
15
ή
x = κπ −π
15, κ ∈ Z
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 97 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
΄Οµως από υπόθεση, ϑα πρέπει 0 ≤ x < π έτσι ϑα έχουµε :
0 ≤ x < π ⇔ 0 ≤ κπ +4π
15< π
⇔ 0 ≤ (κ +4
15)π < π
⇔ 0 ≤ κ +4
15< 1
⇔ −4
15≤ κ ≤ 1 −
4
15
⇔ −4
15≤ κ ≤
11
15
⇔ κ = 0 (αφούκ ∈ Z)
οπότε x =4π
15
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 98 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εκθετικές εξισώσεις
Είναι εξισώσεις µεταξύ εκθετικών συναρτήσεων
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 99 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 15η
Πως λύνω τις εκθετικές εξισώσεις ;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 100 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Επίλυση εκθετικών εξισώσεων
Για την επίλυση της εξίσωσης της µορφής κx = λ µε κ > 0, κ ≠ 1 διακρίνουµε
τις παρακάτω περιπτώσεις :
Αν λ ≤ 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.
Αν λ > 0, τότε προσπαθούµε να γράψουµε το λ σε µορφή δύναµης µε
ϐάση το κ π.χ. λ = κν οπότε επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι 1 − 1 ∶
κx= λ⇔ κx
= κν ⇔ x = ν
Την περίπτωση που το λ δεν µπορούµε να το γράψουµε ως δύναµη µε ϐάση το
κ ϑα το δούµε στο κεφάλαιο της λογαριθµικής συνάρτησης.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 101 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Επίλυση εκθετικών εξισώσεων
Γενικά, χρησιµοποιώ την ιδιότητα που προκύπτει από τη µονοτονία των εκθετικών
συναρτήσεων
αf(x)= αg(x)
⇐⇒ f(x) = g(x), µε α > 0, ≠ 1
Οπότε έχω να λύσω µια εξίσωση όπως αυτές που είδαµε πριν.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 102 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 1ο
Να λυθούν οι εξισώσεις
3x = 9⇔ 3
x = 32⇔ x = 2
52x−4 = 1⇔ 5
2x−4 = 50⇔ 2x − 4 = 0⇔ 2x = 4⇔ x = 2
2x2−3x =
1
4⇔ 2
x2−3x =
1
22⇔ 2
x2−3x = (
1
2)
2⇔ 2
x2−3x = 2
−2
⇔ x2 − 3x = −2⇔ x
2 − 3x + 2 = 0⇔ x = 1 ή x = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 103 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 2ο
Να λυθεί η εξίσωση : 2x+1 + 2
x+2 + 2x−1 + 2
x−2 = 54
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 104 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
Λύση
2x+1
+ 2x+2
+ 2x−1
+ 2x−2
= 54⇔2x⋅ 2 + 2
x⋅ 2
2+ 2
x⋅ 2−1+ 2
x⋅ 2−2 = 54
⇔2 ⋅ 2x+ 4 ⋅ 2
x+
1
2⋅ 2
x+
1
4⋅ 2
x= 54
⇔27
4⋅ 2
x= 54
⇔27 ⋅ 2x= 216
⇔2x= 8
⇔2x= 2
3
⇔x = 3.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 105 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 3ο
Να λυθεί η εξίσωση : 8x + 18
x − 2 ⋅ 27x = 0.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 106 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
Λύση
8x+ 18
x− 2 ⋅ 27
x= 0⇔ (2
3)
x+ (2 ⋅ 9)
x− 2 ⋅ (3
3)
x⇔
23x+ 2
x⋅ (3
2)
x− 2 ⋅ 3
3x= 0⇔ 2
3x+ 2
x⋅ 3
2x− 2 ⋅ 3
3x= 0⇔
23x
33x+
2x ⋅ 32x
33x− 2 ⋅
33x
33x= 0⇔
23x
33x+
2x ⋅ 32x
3x ⋅ 32x− 2 ⋅
33x
33x= 0⇔
(2
3)
3x
+ (2
3)
x
− 2 = 0⇔ ((2
3)
x
)
3
+ (2
3)
x
− 2 = 0.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 107 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
Θέτω (2
3)
x
= ω οπότε έχουµε ω3 + ω − 2 = 0 η οποία µε τη ϐοήθεια του
σχήµατος Horner
1 0 1 −2 1
↓ 1 1 2
1 1 2 9
οπότε ω3 + ω − 2 = 0⇔ (ω − 1) ⋅ (ω2 + ω + 2) = 0
δηλαδή ω = 1 αφού η ω2 + ω + 2 = 0 είναι αδύνατη ∆ < 0.
Τελικά (2
3)x = ω
⇔ (2
3)x = 1
⇔ (2
3)x = (
2
3)0
⇔ x = 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 108 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λογαριθµικές εξισώσεις
Είναι εξισώσεις µεταξύ λογαριθµικών συναρτήσεων
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 109 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ερώτηση 16η
Πως λύνω τις λογαριθµικές εξισώσεις, µε βάση το 10 ή το e;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 110 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Επίλυση λογαριθµικών εξισώσεων
΄Οταν έχω να λύσω την εξίσωση log(f(x)) = log(g(x)) ουσιαστικά έχω να
λύσω το σύστηµα
log(f(x)) = log(g(x)) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
f(x) = g(x)
f(x) > 0
g(x) > 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 111 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ιδιότητες λογαρίθµων
αx = θ⇐⇒ x = logαθ, θ > 0
ln 1 = 0, ln e = 1
log 1 = 0, log 10 = 1
ln(x1 ⋅ x2) = ln x1 + ln x2
lnx1
x2
= ln x1 − ln x2
ln xκ = κ ln x (ενώ ln
κx = ln x ⋅ ... ⋅ ln x)
αx = elnαx
= ex lnα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 112 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παραδειγµα 1ο
Να λυθούν οι εξισώσεις
log10 x = 3 ⇐⇒ x = 103
⇐⇒ x = 1000
logx 16 = 4 ⇐⇒ x4= 16
⇐⇒ x = ±4√
16
⇐⇒ x = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 113 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 2ο
Να λυθεί η εξίσωση 2x−1 = 3
ΛΥΣΗ
2x−1
= 3 ⇐⇒ x − 1 = log23
⇐⇒ x = 1 + log23
⇐⇒ x = log22 + log23
⇐⇒ x = log2(2 ⋅ 3)
⇐⇒ x = log26
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 114 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 3ο
Να λυθεί η εξίσωση logx(x2 + 3x + 2) = logx(8x − 2)
ΛΥΣΗ΄Εχω τους περιορισµούς, x
2 + 3x + 2 > 0, 8x − 2 > 0, x > 0, x ≠ 1
logx(x2+ 3x + 2) = logx(8x − 2) ⇐⇒ x
2+ 3x + 2 = 8x + −2
⇐⇒ x2− 5x + 4 = 0
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = 1 η οποία δεν ικανοποιεί τους περιορισµούς
x = 4
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 115 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 4ο
Να λυθεί η εξίσωση log2x − log4x = 3
΄Οταν έχω εξίσωση µε λογάριθµους διαφορετικών ϐάσεων, τότε χρησιµοποιώ
τον τύπο αλλαγής ϐάσης, ώστε να εµφανίζονται λογάριθµοι µε µία ϐάση µόνο.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 116 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
ΛΥΣΗ΄Εχω τον περιορισµό x > 0
log2x − log4x = 3 ⇐⇒logx
log2−
logx
log4= 3
⇐⇒logx
log2−
logx
log22= 3
⇐⇒logx
log2−
logx
2log2= 3
⇐⇒ 2logx − logx = 3 ⋅ 2log2
⇐⇒ logx = log26
⇐⇒ x = 26= 64
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 117 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Παράδειγµα 5ο
Να λυθεί η εξίσωση 10xlogx = x
2√
x
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 118 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
ΛΥΣΗ΄Εχω τον περιορισµό x > 0
Λογαριθµίζω και τα δυο µέλη
10xlogx
= x2√
x ⇐⇒ log(10xlogx
) = log(x2√
x)
⇐⇒ log10 + logxlogx
= logx2+ logx
1
2
⇐⇒ 1 + log2x = 2logx +
1
2logx ϑέτω logx = w
⇐⇒ 1 +w2= 2w +
1
2w
⇐⇒ 2w2− 5w + 2 = 0
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
w = 2
w =1
2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 119 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύση
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
lox = 2
logx =1
2
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = 100
x =√
10
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 120 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξισώσεις
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΛΛΑΞΑΝ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 121 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 1η
Πυθαγόρειο θεώρηµα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 122 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Πυθαγόρειο ϑεώρηµα
Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται µε
άθροισµα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Η εξίσωση αποτελεί τη
ϐάση µεγάλου µέρους της γεωµετρίας, συνδέεται µε την άλγεβρα και αποτελεί
το ϑεµέλιο της τριγωνοµετρίας. Χωρίς αυτή η πλοήγηση , η δηµιουργία χαρτών
και η διεξαγωγή ερευνών µε ακρίβεια ϑα ήταν αδύνατο να πραγµατοποιηθούν.
Σήµερα, η τριγωνοµετρία χρησιµοποιείται για να δώσει έµφαση στις σχετικές
τοποθεσίες στο GPS.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 123 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 2η
Λογάριθµοι
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 124 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λογάριθµοι
Ο λογάριθµος είναι η δύναµη στην οποία πρέπει να υψωθεί η ϐάση ενός
δεδοµένου αριθµού για να προκύψει ως αποτέλεσµα ο αριθµός αυτός. Οι
λογάριθµοι ήταν µία επαναστατική ανακάλυψη για τους µηχανικούς και τους
αστρονόµους, οι οποίοι µπορούν µέσω αυτών να κάνουν γρηγορότερους και
πιο ακριβείς υπολογισµούς. Με την έλευση των υπολογιστών τα πράγµατα
έγιναν ακόµα πιο εύκολα, αλλά είναι ακόµα ένα απαραίτητο εργαλείο των
επιστηµόνων. Πλέον οι λογάριθµοι, µας ενηµερώνουν για τις ϱαδιενεργές
ϕθορές.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 125 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 3η
Το πρώτο θεµελιώδες θεώρηµα του απειροστικού λογισµού
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 126 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Το πρώτο ϑεµελιώδες ϑεώρηµα του απειροστικού λογισµού
Η έννοια της παραγώγου επιτρέπει τον υπολογισµό του στιγµιαίου ϱυθµού µιας
αλλαγής .Χρησιµεύει στη µέτρηση στερεών, καµπύλων και περιοχών. Πρόκειται
για τη ϐάση πολλών ϕυσικών νόµων και αποτελούν πηγή διαφορικών
εξισώσεων. Σήµερα χρησιµοποιείται σε όποιο µαθηµατικό πρόβληµα απαιτείται η
ϐέλτιστη λύση, στην ιατρική, τα οικονοµικά και την πληροφορική.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 127 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 4η
Ο νόµος της βαρύτητας από το Νεύτωνα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 128 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ο νόµος της ϐαρύτητας από το Νεύτωνα
Ο νόµος της ϐαρύτητας, υπολογίζει τη δύναµη της ϐαρύτητας µεταξύ δύο
σωµάτων. ΄Εχει χρησιµοποιηθεί για την περιγραφή της λειτουργίας του κόσµου.
Αν και αργότερα υποσκελίστηκε από τη ϑεωρία της σχετικότητας του ΄Αλµπερτ
Αϊνστάιν, αποτελεί απαραίτητο «εργαλείο» για την πρακτική περιγραφή του
τρόπου αντίδρασης και αλληλεπίδρασης µεταξύ σωµάτων. Ο νόµος της
ϐαρύτητας χρησιµοποιείται επίσης µέχρι και σήµερα για το σχεδιασµό της
τροχιάς δορυφόρων και ανιχνευτών.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 129 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 5η
Η αρχή των µιγαδικών αριθµών
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 130 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Η αρχή των µιγαδικών αριθµών
Το τετράγωνο ενός ϕανταστικού αριθµού είναι αρνητικός αριθµός. Η εξίσωση
επιτρέπει στους µηχανικούς αεροπλάνων, να λύσουν πρακτικά προβλήµατα.
Κυρίως χρησιµοποιείται από τους ηλεκτρολόγους µηχανικούς και στις
πολύπλοκες µαθηµατικές ϑεωρίες.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 131 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 6η
Η εξίσωση των κυµάτων
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 132 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Η εξίσωση των κυµάτων
Πρόκειται για µία αντιθετική εξίσωση που περιγράφει τη συµπεριφορά των
κυµάτων. Είναι απαραίτητη για την έρευνα της συµπεριφοράς των κυµάτων,
αλλά και για την ανάλυση του τρόπου λειτουργίας του ήχου, της ανάλυσης των
αιτιών που προκαλούν τους σεισµούς, αλλά και τη συµπεριφορά των ωκεανών.
Χάρη σε αυτή την εξίσωση, οι εταιρίες πετρελαίων, εκκρίνουν εκρηκτικά και
έπειτα µελετούν τα δεδοµένα από τον επακόλουθο ήχο των κυµάτων για να
προβλέψουν τους γεωλογικούς σχηµατισµούς.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 133 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 7η
Ο µετασχηµατισµός Φουριερ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 134 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ο µετασχηµατισµός Φουριερ
Περιγράφει τα πρότυπα στο χρόνο, ως µία συνάρτηση της συχνότητας. Ο
Φουριερ, ανακάλυψε αυτή την εξίσωση η οποία επεκτάθηκε από τη γνωστή
εξίσωση της ϱοής της ϑερµότητας και της εξίσωση των κυµάτων. Σήµερα
χρησιµεύει στη συµπίεση πληροφοριών στα αρχεία εικόνας τύπου ΘΠΕΓ, αλλά
και στην εξερεύνηση της ϱοής των µορίων.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 135 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 8η
Οι εξισώσεις του Maxwell
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 136 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Οι εξισώσεις του Maxwell
Περιγράφουν τη σχέση µεταξύ ηλεκτρικών και µαγνητικών πεδίων, αλλά επίσης
ϐοηθούν στη δηµιουργία πολλών τεχνολογιών που χρησιµοποιούµε σήµερα και
ιδιαίτερα, τις συναντάµε στα ϱαντάρ, την τηλεόραση και τα σύγχρονα µοντέλα
επικοινωνίας.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 137 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 9η
Ο δεύτερος νόµος της θερµοδυναµικής
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 138 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ο δεύτερος νόµος της ϑερµοδυναµικής
Αφορά τη διάχυση της ενέργειας και της ϑερµότητας ανά το χρόνο. Ο
δεύτερος νόµος της ϑερµοδυναµικής είναι ϐασικό εργαλείο για την κατανόηση
της ενέργειας αλλά και του σύµπαντος µέσω της ιδέας της εντροπίας. Μας
ϐοηθά να αντιληφθούµε τα όρια στην παραγωγή έργου από τη ϑερµότητα και
ϐοήθησε στη δηµιουργία καλύτερων ατµοµηχανών. Επιπλέον σηµαντικό είναι το
ότι αποδεικνύει πως η ύλη αποτελείται από άτοµα.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 139 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 10η
Η θεωρία της σχετικότητας.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 140 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Η ϑεωρία της σχετικότητας.
Η ενέργεια ισοδυναµεί µε τη µάζα επί την ταχύτητα του ϕωτός στο τετράγωνο.
Η ϑεωρία της σχετικότητας του ΄Αλµπερτ Αϊνστάιν, αποτελεί την πιο γνωστή
εξίσωση στην ιστορία, που άλλαξε εντελώς την αντίληψη της ύλης και της
πραγµατικότητας. Βοήθησε στην δηµιουργία πυρηνικών όπλων και στον ακριβή
προορισµό των διευθύνσεων µέσω GPS.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 141 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 11η
Η θεωρία των πληροφοριών του Shannon
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 142 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Η ϑεωρία των πληροφοριών του Shannon
Η εξίσωση περιγράφει το σύνολο των δεδοµένων σε ένα µέρος ενός κώδικα,
από τις πιθανότητες που περιλαµβάνει τα σύµβολά του. Μάλιστα, εγκατέστησε
τα όρια που έκαναν τα πάντα πιθανά, από τα ῝∆ µέχρι και την ψηφιακή
επικοινωνία στη σύγχρονη επικοινωνιακή πραγµατικότητα. Η πιο σύγχρονη χρήση
της αφορά τον εντοπισµό λάθους σε τεχνολογικούς κώδικες.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 143 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση 12η
Το λογιστικό µοντέλο για την αύξηση του πληθυσµού
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 144 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Το λογιστικό µοντέλο για την αύξηση του πληθυσµού
Υπολογίζει την αλλαγή ενός πληθυσµού πλασµάτων διαµέσου των γενεών µε
περιορισµένες πηγές. Ιδιαίτερα σηµαντικό είναι το ότι ϐοήθησε στην εξέλιξη της
ϑεωρίας του χάους, πράγµα που άλλαξε καθοριστικά την κατανόηση του τρόπου
που λειτουργούν τα ϕυσικά συστήµατα. Η πιο σύγχρονη χρήση της είναι η
πρόβλεψη του καιρού, αλλά και η πρόβλεψη περίπτωσης σεισµών.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 145 / 121
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΤΕΛΟΣ
ΚΑΛΟ ∆ΙΑΒΑΣΜΑ !!!
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 146 / 121