1
Zadatak 121 (Nikolina gimnazija) Odredite poluosi linearni i numerički ekscentricitet hiperbole zadane jednadžbom
2 2144 81 11664x ysdot minus sdot =
Rješenje 121 Ponovimo
Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima
jednadžbu
( )2 2
2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole
2 2
x yb x a y a b
a b
sdot minus sdot = sdot minus =
Linearni ekscentricitet hiperbole
2 2 2
2 2e a b e a b= + rArr = +
Numerički ekscentricitet hiperbole
e
aε =
Da bismo odredili osi hiperbole napišemo njezinu jednadžbu u kanonskom obliku
2 2144 812 2 2 2
144 81 11664 144 81 11664 111664 11664
11664x y
x y x ysdot sdot
sdot minus sdot = rArr sdot minus sdot = rArr minus = rArr
2 22 2 2 281 81
1 12 211664 11664 81 144 144 144
144 81
a ax y x y
b b
= =rArr minus = rArr minus = rArr rArr rArr
= =
81 9
12144
a a
bb
= =rArr rArr
==
Linearni ekscentricitet hiperbole iznosi
2 281 144
81 144 225 152 2
a be e e
e a b
= =rArr = + rArr = rArr =
= +
Numerički ekscentricitet hiperbole iznosi
15 915 5
9 3
e a
e
a
ε εε
= =
rArr = rArr ==
Vježba 121
Odredite poluosi hiperbole 2 2
4 9 36x ysdot minus sdot =
Rezultat a = 3 b = 2
Zadatak 122 (Nikolina gimnazija) Odredite jednadžbe onih tangenata parabole koje su paralelne sa zadanim pravcem ako je
26
2 3 1 0
y x
x y
= sdot
sdot minus sdot + =
Rješenje 122 Ponovimo
Dva pravca zadana svojim jednadžbama u eksplicitnom obliku
2
1 1
2 2
y k x l
y k x l
= sdot +
= sdot +
paralelna su onda i samo onda ako vrijedi
1 2
k k=
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Uvjet dodira pravca i parabole
Pravac
y k x l= sdot +
dira parabolu
22y p x= sdot sdot
onda i samo onda kad vrijedi
2 p k l= sdot sdot
Budući da je tangenta pravac potražit ćemo pravac u eksplicitnom obliku
y k x l= sdot +
i iskoristiti uvjet dodira pravca i parabole
2 p k l= sdot sdot
Odredimo poluparametar p parabole
26
2 6 2 6 32
2
2y x
p p p
y p x
= sdotrArr sdot = rArr sdot = rArr =
= sdot sdot
Takontildeer izračunamo koeficijent smjera zadanog pravca
( )2 3 1 0 3 2 1 3 2 1 3x y y x y xsdot minus sdot + = rArr minus sdot = minus sdot minus rArr minus sdot = sdot minus minusminus rArr
koef2
icijent smjera1 2
3 3 3
y x krArr = sdot + rArr =
Budući da je tangenta parabole paralelna sa zadanim pravcem ima isti koeficijent smjera
2
3k =
Iz uvjeta dodira lako se izračuna l odsječak tangente na y osi
23 2 4 4 4 9
3 2 3 3 3 33 3 3 3 4
2
3
4
p kl l l l l
p k l
= =rArr = sdot sdot rArr = sdot rArr sdot = rArr = =
= sdot
sdotsdot rArr
sdot
Jednadžba tangente je
2 9 2 9
3 43 4
k ly x
y k x l
= =rArr = sdot +
= sdot +
Vježba 122
Odredite jednadžbe onih tangenata parabole koje su paralelne sa zadanim pravcem ako je
26
15 05 0
y x
x y
= sdot
minus sdot + =
3
Rezultat 2 9
3 4
y x= sdot +
Zadatak 123 (Nina gimnazija)
Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 8) i ako je zadano a = b
Rješenje 123 Ponovimo
1 a b a b a
a bn n n b
minusminus = = rArr =
Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima
jednadžbu
( )2 2
2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole
2 2
x yb x a y a b
a b
sdot minus sdot = sdot minus =
Budući da hiperbola prolazi točkom A njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole
( ) ( ) 10 82 2
10 8 100 64 100 64 362 2 1 1 1 1
2 2 2 2 2 21
2 2
A x y A a b
x ya a a a a a
a b
= =
minusrArr minus = rArr minus = rArr = rArr = rArr
minus =
2 236 36
236
a ba b
a
=rArr = rArr rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 236 36 2 2 2 2
2 22 2 1 1 36
36 36 3 3
6 3612 2
6
a bx y x y
x yx y
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus
minus =
sdot =
Vježba 123
Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 6) i ako je zadano a = b
Rezultat 2 2
64x yminus =
Zadatak 124 (Helena srednja škola)
Točka na paraboli y2 = 18 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je
( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T
Rješenje 124 Ponovimo
( )1
n n n
a a a b a b= sdot = sdot
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y
ili ili x x
x n y y nn y
= sdot = =
Da bi umnožak bio jednak nuli dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli
4
0 0 ili 0 il i 0a b a b a bsdot = hArr = = = =
Budući da je ordinata y točke na paraboli y2 = 18 x tri puta veća od apscise vrijedi
( )metoda
9supstitucije
3 2 2 23 18 9 18 9 18
218
y xx x x x x x
y x
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr
= sdot
( )002 2 1
2 2 0 2 0 22 0 2
2
nema smislaxxx x x x x x x
x x
==rArr = sdot rArr minus sdot = rArr sdot minus = rArr rArr rArr =
minus = =
Računamo ordinatu tražene točke
( ) ( )3
3 2 6 2 6 2
y xy y T x y T
x
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Odgovor je pod C
Vježba 124
Točka na paraboli y2 = 9 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je
( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T
Rezultat A
Zadatak 125 (Tina srednja škola)
Pravac 2 x + b y ndash 1 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 3 = 0 ako je b
jednako
2 2 1 1A B C Dminus minus
Rješenje 125 Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Opća jednadžba kružnice
2 2 20
22 2 x y p x q y c r p q c+ minus sdot sdot minus sdot sdot + = = + minus
Ako je presjek pravca i kružnice jedna točka D kažemo da pravac dira kružnicu ili da je tangenta
kružnice Točku D zovemo diralište tangente Pravac koji spaja središte S kružnice i diralište D
tangente naziva se normala kružnice
normala
DS
Zadanoj kružnici odredimo koordinate središta S
( )
( )
2 22 22 2 3 0 2 2 2
1
2 2 2 2 12 22 2 20
px y x y p p
q qqx y p x q y c
minus sdot = minus+ minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus =rArr rArr rArr rArr
minus sdot = minus =minus sdot = minus+ minus sdot sdot minus sdot sdot +
minus
minus=
( ) ( ) 1 1 S p q SrArr =
Budući da je normala pravac koji prolazi središtem S kružnice koordinate točke S uvrstit ćemo u
jednadžbu pravca
5
( ) ( ) 1 12 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1
2 1 0
S x y Sb b b b
x b y
=rArr sdot + sdot minus = rArr + minus = rArr = minus + rArr = minus
sdot + sdot minus =
Odgovor je pod D
Vježba 125
Pravac 3 x + b y ndash 2 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 5 = 0 ako je b
jednako
2 2 1 1A B C Dminus minus
Rezultat D
Zadatak 126 (Iva strukovna škola)
Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 x2 ndash y
2 = 3 odsijeca pravac y + x ndash 5 = 0
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rješenje 126
Ponovimo
Tetiacuteva u geometriji je spojnica dviju točaka krivulje posebno na kružnici
( )2 2 2
2a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + sdot = sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Da bismo našli sjecišta krivulje i pravca moramo riješiti sustav jednadžbi
( )2 2 2 2
223 me3 toda
sups
3 33 5 3
5 0 titucije5
x y x yx x
y x y x
sdot minus = sdot minus =rArr rArr rArr sdot minus minus = rArr
+ minus = = minus
( )2 2 2 2 2 23 25 10 3 3 25 10 3 3 25 10 3 0x x x x x x x x xrArr sdot minus minus sdot + = rArr sdot minus + sdot minus = rArr sdot minus + sdot minus minus = rArr
2 2 22 10 28 0 2 10 28 0 5 14 2 0x x x x x xrArr sdot + sdot minus = rArr sdot + sdot minus = rArr + sdot minus = rArr
( )1 5 14 22 5 5 4 1 145 14 0
24 12 2 11 5 14
12 2
a b c
x xx
b b a ca b c x
a
= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =
rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =
sdot
5 9
15 25 56 5 81 5 9 212 12 12 5 92 2 2
2 2
x
x x x
x
minus +=
minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr rArr
minus minus=
[ ]( )
5
45 22 3 31 12 1 1 1
14 7 5 7 125 72 2 22
2 2
x yx y y
x y yy
yx
x
= = minus= = =rArr rArr rArr rArr rArr rArr
= minus = + == minus minus= minus
= minus
Sjecišta krivulje i pravca su točke
6
( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus
Duljina tetive AB iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 31 1
2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9
2 2
2 2
2 1 2 1
A x y A
B x y B AB AB
AB x x y y
=
= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr
= minus + minus
81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Odgovor je pod D
Vježba 126
Kolika je duljina tetive koju na krivulji
22
13
yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rezultat D
Zadatak 127 (Iva strukovna škola)
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y
2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rješenje 127
Ponovimo
2
0a b a b a a asdot = sdot = ge
Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima
jednadžbu
( )2 2
2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole
2 2
x yb x a y a b
a b
sdot minus sdot = sdot minus =
Linearni ekscentricitet hiperbole
2 2 2
2 2e a b e a b= + rArr = +
Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju
vrijedi jednadžba
2 22
2 2
12 2
2 21
2 2
x yx y a
a aa
y
b
x
a b
minus =rArr rArrminus = minus =
=
Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 e a b
e a e aa b
a e a e a e a= +
rArr = + rArr = = sdot=
sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
Računamo linearni ekscentricitet
2 28 2 2
8 8 82 2 2
x y
x
a
a
a a
y
minus =rArr = rArr = rArr =
minus =
7
28 2 16 4
8
e ae e e
a
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Vježba 127
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rezultat 6
Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
10 11 13 14A B C D
Rješenje 128
Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte
Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice
1inačica
Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 pa njezina
jednadžba glasi
( ) ( )2 2 2
2 5 x y r+ + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo
izračunali njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 5 2 2 2 22 2
3 2 2 5 1 3 3 2
x y rr r
T x y T
+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr
= minus
2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
2inačica
Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 22 5 20
2 5 2 2 2
x yS p q S
x p y q r
+ + minus =rArr = minus
minus + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2 51 1
2 2 3 2 3 2 2 5
2 2
2 2
2 1 2 1
S x y S
T x y T r
r ST x x y y
= minus
= minus rArr = minus minus minus + minus rArr
= = minus + minus
8
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 128
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
3 4 5 6A B C D
Rezultat C
Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 129
Ponovimo
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu
poluos b elipse
( ) ( ) 6 5
2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
( )2 2 2 2 2
36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =
Jednadžba elipse glasi
2 281 45 2 2 2 2
45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2
a bx y x y
b x a y a b
= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =
sdot + sdot = sdot
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45 2 2 2
81 45 36 36 36 2 2
62
a be e e e e
e a b
= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =
= minus
Koordinate fokusa elipse iznose
( )
( )( )
( )
01 6 0
1 0
2 6 02
6
F eF
F eF
e
minusminus
rArr
=
pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka
9
2 2 6 121 2 1 2 1 2
F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 129
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rezultat 2 2
45 81 3645 121 2
x y F Fsdot + sdot = =
Zadatak 130 (Ana gimnazija)
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot
Rješenje 130
Ponovimo
( ) ( )2
n n n
a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
gdje su a i b velika i mala poluos
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
( ) ( )
( )metoda
supstitucij
0 24 0 2422 2
5 5 24e
5
2 2 2 2 2 2
F e F e
a b a b b b
e a b e a b
= =
= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr
= minus = minus
2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo a2
2 2 25 5 5 2 25 144 720
2 2 2144 144 1
44
a b a b a ba a
b b b
= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =
= = =
Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi
2 2720 144 2 2
2 2 1720 1441
2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr + =
+ =
Vježba 130
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot
Rezultat
2 2
1720 144
x y+ =
10
Zadatak 131 (Ana gimnazija)
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)
Rješenje 131
Ponovimo
1a
a bb
= rArr =
Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog
sustava Jednadžba takve hiperbole glasi
2 2
12
2
x y
b a
minus = minus
Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti
sustav jednadžbi
( ) ( )
( ) ( )
( )22 2 2
1 1 42 1 2 1 11
2 2 2 22 2
2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2
x yA x y A
b a b ab a
x yB x y B
b ab a b a
minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus
rArr rArr rArr
minus = minus= minus = minus minus = minus
( )1 4 49 196
1 492 2 2 2
49 100 49 1001 1
2 2 2
2
49metoda suprotnih
koeficijenata
b a b a
b a b a
minus = minus =
rArr rArr rArr
minus = minus minus = minus
sdot
minus + rArr
minus
96 96 248 48 2
2 2
2
48
aa
a a
rArr = rArr sdot= rArr =
Računamo b2
1 41 1 4 1 1 1 22 2
1 2 1 1 2 1 12 2 2 222
2
bb a
b b b ba
minus = minus
rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 22 1 2 2 2
22 2 1 1
1 2 212 2
a bx y y
xx y
b a
= =
rArr minus = minus rArr minus = minus
minus = minus
Vježba 131
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)
Rezultat
22
12
yx minus = minus
Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)
Skiciraj
Rješenje 132
Ponovimo
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
2
1 1
2 2
y k x l
y k x l
= sdot +
= sdot +
paralelna su onda i samo onda ako vrijedi
1 2
k k=
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Uvjet dodira pravca i parabole
Pravac
y k x l= sdot +
dira parabolu
22y p x= sdot sdot
onda i samo onda kad vrijedi
2 p k l= sdot sdot
Budući da je tangenta pravac potražit ćemo pravac u eksplicitnom obliku
y k x l= sdot +
i iskoristiti uvjet dodira pravca i parabole
2 p k l= sdot sdot
Odredimo poluparametar p parabole
26
2 6 2 6 32
2
2y x
p p p
y p x
= sdotrArr sdot = rArr sdot = rArr =
= sdot sdot
Takontildeer izračunamo koeficijent smjera zadanog pravca
( )2 3 1 0 3 2 1 3 2 1 3x y y x y xsdot minus sdot + = rArr minus sdot = minus sdot minus rArr minus sdot = sdot minus minusminus rArr
koef2
icijent smjera1 2
3 3 3
y x krArr = sdot + rArr =
Budući da je tangenta parabole paralelna sa zadanim pravcem ima isti koeficijent smjera
2
3k =
Iz uvjeta dodira lako se izračuna l odsječak tangente na y osi
23 2 4 4 4 9
3 2 3 3 3 33 3 3 3 4
2
3
4
p kl l l l l
p k l
= =rArr = sdot sdot rArr = sdot rArr sdot = rArr = =
= sdot
sdotsdot rArr
sdot
Jednadžba tangente je
2 9 2 9
3 43 4
k ly x
y k x l
= =rArr = sdot +
= sdot +
Vježba 122
Odredite jednadžbe onih tangenata parabole koje su paralelne sa zadanim pravcem ako je
26
15 05 0
y x
x y
= sdot
minus sdot + =
3
Rezultat 2 9
3 4
y x= sdot +
Zadatak 123 (Nina gimnazija)
Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 8) i ako je zadano a = b
Rješenje 123 Ponovimo
1 a b a b a
a bn n n b
minusminus = = rArr =
Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima
jednadžbu
( )2 2
2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole
2 2
x yb x a y a b
a b
sdot minus sdot = sdot minus =
Budući da hiperbola prolazi točkom A njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole
( ) ( ) 10 82 2
10 8 100 64 100 64 362 2 1 1 1 1
2 2 2 2 2 21
2 2
A x y A a b
x ya a a a a a
a b
= =
minusrArr minus = rArr minus = rArr = rArr = rArr
minus =
2 236 36
236
a ba b
a
=rArr = rArr rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 236 36 2 2 2 2
2 22 2 1 1 36
36 36 3 3
6 3612 2
6
a bx y x y
x yx y
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus
minus =
sdot =
Vježba 123
Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 6) i ako je zadano a = b
Rezultat 2 2
64x yminus =
Zadatak 124 (Helena srednja škola)
Točka na paraboli y2 = 18 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je
( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T
Rješenje 124 Ponovimo
( )1
n n n
a a a b a b= sdot = sdot
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y
ili ili x x
x n y y nn y
= sdot = =
Da bi umnožak bio jednak nuli dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli
4
0 0 ili 0 il i 0a b a b a bsdot = hArr = = = =
Budući da je ordinata y točke na paraboli y2 = 18 x tri puta veća od apscise vrijedi
( )metoda
9supstitucije
3 2 2 23 18 9 18 9 18
218
y xx x x x x x
y x
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr
= sdot
( )002 2 1
2 2 0 2 0 22 0 2
2
nema smislaxxx x x x x x x
x x
==rArr = sdot rArr minus sdot = rArr sdot minus = rArr rArr rArr =
minus = =
Računamo ordinatu tražene točke
( ) ( )3
3 2 6 2 6 2
y xy y T x y T
x
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Odgovor je pod C
Vježba 124
Točka na paraboli y2 = 9 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je
( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T
Rezultat A
Zadatak 125 (Tina srednja škola)
Pravac 2 x + b y ndash 1 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 3 = 0 ako je b
jednako
2 2 1 1A B C Dminus minus
Rješenje 125 Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Opća jednadžba kružnice
2 2 20
22 2 x y p x q y c r p q c+ minus sdot sdot minus sdot sdot + = = + minus
Ako je presjek pravca i kružnice jedna točka D kažemo da pravac dira kružnicu ili da je tangenta
kružnice Točku D zovemo diralište tangente Pravac koji spaja središte S kružnice i diralište D
tangente naziva se normala kružnice
normala
DS
Zadanoj kružnici odredimo koordinate središta S
( )
( )
2 22 22 2 3 0 2 2 2
1
2 2 2 2 12 22 2 20
px y x y p p
q qqx y p x q y c
minus sdot = minus+ minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus =rArr rArr rArr rArr
minus sdot = minus =minus sdot = minus+ minus sdot sdot minus sdot sdot +
minus
minus=
( ) ( ) 1 1 S p q SrArr =
Budući da je normala pravac koji prolazi središtem S kružnice koordinate točke S uvrstit ćemo u
jednadžbu pravca
5
( ) ( ) 1 12 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1
2 1 0
S x y Sb b b b
x b y
=rArr sdot + sdot minus = rArr + minus = rArr = minus + rArr = minus
sdot + sdot minus =
Odgovor je pod D
Vježba 125
Pravac 3 x + b y ndash 2 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 5 = 0 ako je b
jednako
2 2 1 1A B C Dminus minus
Rezultat D
Zadatak 126 (Iva strukovna škola)
Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 x2 ndash y
2 = 3 odsijeca pravac y + x ndash 5 = 0
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rješenje 126
Ponovimo
Tetiacuteva u geometriji je spojnica dviju točaka krivulje posebno na kružnici
( )2 2 2
2a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + sdot = sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Da bismo našli sjecišta krivulje i pravca moramo riješiti sustav jednadžbi
( )2 2 2 2
223 me3 toda
sups
3 33 5 3
5 0 titucije5
x y x yx x
y x y x
sdot minus = sdot minus =rArr rArr rArr sdot minus minus = rArr
+ minus = = minus
( )2 2 2 2 2 23 25 10 3 3 25 10 3 3 25 10 3 0x x x x x x x x xrArr sdot minus minus sdot + = rArr sdot minus + sdot minus = rArr sdot minus + sdot minus minus = rArr
2 2 22 10 28 0 2 10 28 0 5 14 2 0x x x x x xrArr sdot + sdot minus = rArr sdot + sdot minus = rArr + sdot minus = rArr
( )1 5 14 22 5 5 4 1 145 14 0
24 12 2 11 5 14
12 2
a b c
x xx
b b a ca b c x
a
= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =
rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =
sdot
5 9
15 25 56 5 81 5 9 212 12 12 5 92 2 2
2 2
x
x x x
x
minus +=
minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr rArr
minus minus=
[ ]( )
5
45 22 3 31 12 1 1 1
14 7 5 7 125 72 2 22
2 2
x yx y y
x y yy
yx
x
= = minus= = =rArr rArr rArr rArr rArr rArr
= minus = + == minus minus= minus
= minus
Sjecišta krivulje i pravca su točke
6
( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus
Duljina tetive AB iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 31 1
2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9
2 2
2 2
2 1 2 1
A x y A
B x y B AB AB
AB x x y y
=
= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr
= minus + minus
81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Odgovor je pod D
Vježba 126
Kolika je duljina tetive koju na krivulji
22
13
yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rezultat D
Zadatak 127 (Iva strukovna škola)
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y
2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rješenje 127
Ponovimo
2
0a b a b a a asdot = sdot = ge
Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima
jednadžbu
( )2 2
2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole
2 2
x yb x a y a b
a b
sdot minus sdot = sdot minus =
Linearni ekscentricitet hiperbole
2 2 2
2 2e a b e a b= + rArr = +
Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju
vrijedi jednadžba
2 22
2 2
12 2
2 21
2 2
x yx y a
a aa
y
b
x
a b
minus =rArr rArrminus = minus =
=
Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 e a b
e a e aa b
a e a e a e a= +
rArr = + rArr = = sdot=
sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
Računamo linearni ekscentricitet
2 28 2 2
8 8 82 2 2
x y
x
a
a
a a
y
minus =rArr = rArr = rArr =
minus =
7
28 2 16 4
8
e ae e e
a
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Vježba 127
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rezultat 6
Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
10 11 13 14A B C D
Rješenje 128
Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte
Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice
1inačica
Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 pa njezina
jednadžba glasi
( ) ( )2 2 2
2 5 x y r+ + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo
izračunali njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 5 2 2 2 22 2
3 2 2 5 1 3 3 2
x y rr r
T x y T
+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr
= minus
2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
2inačica
Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 22 5 20
2 5 2 2 2
x yS p q S
x p y q r
+ + minus =rArr = minus
minus + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2 51 1
2 2 3 2 3 2 2 5
2 2
2 2
2 1 2 1
S x y S
T x y T r
r ST x x y y
= minus
= minus rArr = minus minus minus + minus rArr
= = minus + minus
8
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 128
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
3 4 5 6A B C D
Rezultat C
Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 129
Ponovimo
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu
poluos b elipse
( ) ( ) 6 5
2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
( )2 2 2 2 2
36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =
Jednadžba elipse glasi
2 281 45 2 2 2 2
45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2
a bx y x y
b x a y a b
= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =
sdot + sdot = sdot
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45 2 2 2
81 45 36 36 36 2 2
62
a be e e e e
e a b
= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =
= minus
Koordinate fokusa elipse iznose
( )
( )( )
( )
01 6 0
1 0
2 6 02
6
F eF
F eF
e
minusminus
rArr
=
pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka
9
2 2 6 121 2 1 2 1 2
F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 129
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rezultat 2 2
45 81 3645 121 2
x y F Fsdot + sdot = =
Zadatak 130 (Ana gimnazija)
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot
Rješenje 130
Ponovimo
( ) ( )2
n n n
a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
gdje su a i b velika i mala poluos
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
( ) ( )
( )metoda
supstitucij
0 24 0 2422 2
5 5 24e
5
2 2 2 2 2 2
F e F e
a b a b b b
e a b e a b
= =
= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr
= minus = minus
2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo a2
2 2 25 5 5 2 25 144 720
2 2 2144 144 1
44
a b a b a ba a
b b b
= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =
= = =
Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi
2 2720 144 2 2
2 2 1720 1441
2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr + =
+ =
Vježba 130
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot
Rezultat
2 2
1720 144
x y+ =
10
Zadatak 131 (Ana gimnazija)
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)
Rješenje 131
Ponovimo
1a
a bb
= rArr =
Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog
sustava Jednadžba takve hiperbole glasi
2 2
12
2
x y
b a
minus = minus
Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti
sustav jednadžbi
( ) ( )
( ) ( )
( )22 2 2
1 1 42 1 2 1 11
2 2 2 22 2
2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2
x yA x y A
b a b ab a
x yB x y B
b ab a b a
minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus
rArr rArr rArr
minus = minus= minus = minus minus = minus
( )1 4 49 196
1 492 2 2 2
49 100 49 1001 1
2 2 2
2
49metoda suprotnih
koeficijenata
b a b a
b a b a
minus = minus =
rArr rArr rArr
minus = minus minus = minus
sdot
minus + rArr
minus
96 96 248 48 2
2 2
2
48
aa
a a
rArr = rArr sdot= rArr =
Računamo b2
1 41 1 4 1 1 1 22 2
1 2 1 1 2 1 12 2 2 222
2
bb a
b b b ba
minus = minus
rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 22 1 2 2 2
22 2 1 1
1 2 212 2
a bx y y
xx y
b a
= =
rArr minus = minus rArr minus = minus
minus = minus
Vježba 131
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)
Rezultat
22
12
yx minus = minus
Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)
Skiciraj
Rješenje 132
Ponovimo
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
3
Rezultat 2 9
3 4
y x= sdot +
Zadatak 123 (Nina gimnazija)
Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 8) i ako je zadano a = b
Rješenje 123 Ponovimo
1 a b a b a
a bn n n b
minusminus = = rArr =
Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima
jednadžbu
( )2 2
2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole
2 2
x yb x a y a b
a b
sdot minus sdot = sdot minus =
Budući da hiperbola prolazi točkom A njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole
( ) ( ) 10 82 2
10 8 100 64 100 64 362 2 1 1 1 1
2 2 2 2 2 21
2 2
A x y A a b
x ya a a a a a
a b
= =
minusrArr minus = rArr minus = rArr = rArr = rArr
minus =
2 236 36
236
a ba b
a
=rArr = rArr rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 236 36 2 2 2 2
2 22 2 1 1 36
36 36 3 3
6 3612 2
6
a bx y x y
x yx y
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus
minus =
sdot =
Vježba 123
Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 6) i ako je zadano a = b
Rezultat 2 2
64x yminus =
Zadatak 124 (Helena srednja škola)
Točka na paraboli y2 = 18 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je
( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T
Rješenje 124 Ponovimo
( )1
n n n
a a a b a b= sdot = sdot
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y
ili ili x x
x n y y nn y
= sdot = =
Da bi umnožak bio jednak nuli dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli
4
0 0 ili 0 il i 0a b a b a bsdot = hArr = = = =
Budući da je ordinata y točke na paraboli y2 = 18 x tri puta veća od apscise vrijedi
( )metoda
9supstitucije
3 2 2 23 18 9 18 9 18
218
y xx x x x x x
y x
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr
= sdot
( )002 2 1
2 2 0 2 0 22 0 2
2
nema smislaxxx x x x x x x
x x
==rArr = sdot rArr minus sdot = rArr sdot minus = rArr rArr rArr =
minus = =
Računamo ordinatu tražene točke
( ) ( )3
3 2 6 2 6 2
y xy y T x y T
x
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Odgovor je pod C
Vježba 124
Točka na paraboli y2 = 9 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je
( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T
Rezultat A
Zadatak 125 (Tina srednja škola)
Pravac 2 x + b y ndash 1 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 3 = 0 ako je b
jednako
2 2 1 1A B C Dminus minus
Rješenje 125 Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Opća jednadžba kružnice
2 2 20
22 2 x y p x q y c r p q c+ minus sdot sdot minus sdot sdot + = = + minus
Ako je presjek pravca i kružnice jedna točka D kažemo da pravac dira kružnicu ili da je tangenta
kružnice Točku D zovemo diralište tangente Pravac koji spaja središte S kružnice i diralište D
tangente naziva se normala kružnice
normala
DS
Zadanoj kružnici odredimo koordinate središta S
( )
( )
2 22 22 2 3 0 2 2 2
1
2 2 2 2 12 22 2 20
px y x y p p
q qqx y p x q y c
minus sdot = minus+ minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus =rArr rArr rArr rArr
minus sdot = minus =minus sdot = minus+ minus sdot sdot minus sdot sdot +
minus
minus=
( ) ( ) 1 1 S p q SrArr =
Budući da je normala pravac koji prolazi središtem S kružnice koordinate točke S uvrstit ćemo u
jednadžbu pravca
5
( ) ( ) 1 12 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1
2 1 0
S x y Sb b b b
x b y
=rArr sdot + sdot minus = rArr + minus = rArr = minus + rArr = minus
sdot + sdot minus =
Odgovor je pod D
Vježba 125
Pravac 3 x + b y ndash 2 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 5 = 0 ako je b
jednako
2 2 1 1A B C Dminus minus
Rezultat D
Zadatak 126 (Iva strukovna škola)
Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 x2 ndash y
2 = 3 odsijeca pravac y + x ndash 5 = 0
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rješenje 126
Ponovimo
Tetiacuteva u geometriji je spojnica dviju točaka krivulje posebno na kružnici
( )2 2 2
2a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + sdot = sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Da bismo našli sjecišta krivulje i pravca moramo riješiti sustav jednadžbi
( )2 2 2 2
223 me3 toda
sups
3 33 5 3
5 0 titucije5
x y x yx x
y x y x
sdot minus = sdot minus =rArr rArr rArr sdot minus minus = rArr
+ minus = = minus
( )2 2 2 2 2 23 25 10 3 3 25 10 3 3 25 10 3 0x x x x x x x x xrArr sdot minus minus sdot + = rArr sdot minus + sdot minus = rArr sdot minus + sdot minus minus = rArr
2 2 22 10 28 0 2 10 28 0 5 14 2 0x x x x x xrArr sdot + sdot minus = rArr sdot + sdot minus = rArr + sdot minus = rArr
( )1 5 14 22 5 5 4 1 145 14 0
24 12 2 11 5 14
12 2
a b c
x xx
b b a ca b c x
a
= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =
rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =
sdot
5 9
15 25 56 5 81 5 9 212 12 12 5 92 2 2
2 2
x
x x x
x
minus +=
minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr rArr
minus minus=
[ ]( )
5
45 22 3 31 12 1 1 1
14 7 5 7 125 72 2 22
2 2
x yx y y
x y yy
yx
x
= = minus= = =rArr rArr rArr rArr rArr rArr
= minus = + == minus minus= minus
= minus
Sjecišta krivulje i pravca su točke
6
( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus
Duljina tetive AB iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 31 1
2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9
2 2
2 2
2 1 2 1
A x y A
B x y B AB AB
AB x x y y
=
= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr
= minus + minus
81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Odgovor je pod D
Vježba 126
Kolika je duljina tetive koju na krivulji
22
13
yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rezultat D
Zadatak 127 (Iva strukovna škola)
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y
2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rješenje 127
Ponovimo
2
0a b a b a a asdot = sdot = ge
Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima
jednadžbu
( )2 2
2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole
2 2
x yb x a y a b
a b
sdot minus sdot = sdot minus =
Linearni ekscentricitet hiperbole
2 2 2
2 2e a b e a b= + rArr = +
Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju
vrijedi jednadžba
2 22
2 2
12 2
2 21
2 2
x yx y a
a aa
y
b
x
a b
minus =rArr rArrminus = minus =
=
Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 e a b
e a e aa b
a e a e a e a= +
rArr = + rArr = = sdot=
sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
Računamo linearni ekscentricitet
2 28 2 2
8 8 82 2 2
x y
x
a
a
a a
y
minus =rArr = rArr = rArr =
minus =
7
28 2 16 4
8
e ae e e
a
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Vježba 127
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rezultat 6
Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
10 11 13 14A B C D
Rješenje 128
Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte
Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice
1inačica
Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 pa njezina
jednadžba glasi
( ) ( )2 2 2
2 5 x y r+ + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo
izračunali njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 5 2 2 2 22 2
3 2 2 5 1 3 3 2
x y rr r
T x y T
+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr
= minus
2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
2inačica
Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 22 5 20
2 5 2 2 2
x yS p q S
x p y q r
+ + minus =rArr = minus
minus + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2 51 1
2 2 3 2 3 2 2 5
2 2
2 2
2 1 2 1
S x y S
T x y T r
r ST x x y y
= minus
= minus rArr = minus minus minus + minus rArr
= = minus + minus
8
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 128
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
3 4 5 6A B C D
Rezultat C
Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 129
Ponovimo
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu
poluos b elipse
( ) ( ) 6 5
2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
( )2 2 2 2 2
36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =
Jednadžba elipse glasi
2 281 45 2 2 2 2
45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2
a bx y x y
b x a y a b
= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =
sdot + sdot = sdot
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45 2 2 2
81 45 36 36 36 2 2
62
a be e e e e
e a b
= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =
= minus
Koordinate fokusa elipse iznose
( )
( )( )
( )
01 6 0
1 0
2 6 02
6
F eF
F eF
e
minusminus
rArr
=
pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka
9
2 2 6 121 2 1 2 1 2
F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 129
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rezultat 2 2
45 81 3645 121 2
x y F Fsdot + sdot = =
Zadatak 130 (Ana gimnazija)
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot
Rješenje 130
Ponovimo
( ) ( )2
n n n
a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
gdje su a i b velika i mala poluos
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
( ) ( )
( )metoda
supstitucij
0 24 0 2422 2
5 5 24e
5
2 2 2 2 2 2
F e F e
a b a b b b
e a b e a b
= =
= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr
= minus = minus
2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo a2
2 2 25 5 5 2 25 144 720
2 2 2144 144 1
44
a b a b a ba a
b b b
= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =
= = =
Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi
2 2720 144 2 2
2 2 1720 1441
2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr + =
+ =
Vježba 130
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot
Rezultat
2 2
1720 144
x y+ =
10
Zadatak 131 (Ana gimnazija)
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)
Rješenje 131
Ponovimo
1a
a bb
= rArr =
Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog
sustava Jednadžba takve hiperbole glasi
2 2
12
2
x y
b a
minus = minus
Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti
sustav jednadžbi
( ) ( )
( ) ( )
( )22 2 2
1 1 42 1 2 1 11
2 2 2 22 2
2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2
x yA x y A
b a b ab a
x yB x y B
b ab a b a
minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus
rArr rArr rArr
minus = minus= minus = minus minus = minus
( )1 4 49 196
1 492 2 2 2
49 100 49 1001 1
2 2 2
2
49metoda suprotnih
koeficijenata
b a b a
b a b a
minus = minus =
rArr rArr rArr
minus = minus minus = minus
sdot
minus + rArr
minus
96 96 248 48 2
2 2
2
48
aa
a a
rArr = rArr sdot= rArr =
Računamo b2
1 41 1 4 1 1 1 22 2
1 2 1 1 2 1 12 2 2 222
2
bb a
b b b ba
minus = minus
rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 22 1 2 2 2
22 2 1 1
1 2 212 2
a bx y y
xx y
b a
= =
rArr minus = minus rArr minus = minus
minus = minus
Vježba 131
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)
Rezultat
22
12
yx minus = minus
Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)
Skiciraj
Rješenje 132
Ponovimo
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
4
0 0 ili 0 il i 0a b a b a bsdot = hArr = = = =
Budući da je ordinata y točke na paraboli y2 = 18 x tri puta veća od apscise vrijedi
( )metoda
9supstitucije
3 2 2 23 18 9 18 9 18
218
y xx x x x x x
y x
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr
= sdot
( )002 2 1
2 2 0 2 0 22 0 2
2
nema smislaxxx x x x x x x
x x
==rArr = sdot rArr minus sdot = rArr sdot minus = rArr rArr rArr =
minus = =
Računamo ordinatu tražene točke
( ) ( )3
3 2 6 2 6 2
y xy y T x y T
x
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Odgovor je pod C
Vježba 124
Točka na paraboli y2 = 9 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je
( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T
Rezultat A
Zadatak 125 (Tina srednja škola)
Pravac 2 x + b y ndash 1 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 3 = 0 ako je b
jednako
2 2 1 1A B C Dminus minus
Rješenje 125 Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Opća jednadžba kružnice
2 2 20
22 2 x y p x q y c r p q c+ minus sdot sdot minus sdot sdot + = = + minus
Ako je presjek pravca i kružnice jedna točka D kažemo da pravac dira kružnicu ili da je tangenta
kružnice Točku D zovemo diralište tangente Pravac koji spaja središte S kružnice i diralište D
tangente naziva se normala kružnice
normala
DS
Zadanoj kružnici odredimo koordinate središta S
( )
( )
2 22 22 2 3 0 2 2 2
1
2 2 2 2 12 22 2 20
px y x y p p
q qqx y p x q y c
minus sdot = minus+ minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus =rArr rArr rArr rArr
minus sdot = minus =minus sdot = minus+ minus sdot sdot minus sdot sdot +
minus
minus=
( ) ( ) 1 1 S p q SrArr =
Budući da je normala pravac koji prolazi središtem S kružnice koordinate točke S uvrstit ćemo u
jednadžbu pravca
5
( ) ( ) 1 12 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1
2 1 0
S x y Sb b b b
x b y
=rArr sdot + sdot minus = rArr + minus = rArr = minus + rArr = minus
sdot + sdot minus =
Odgovor je pod D
Vježba 125
Pravac 3 x + b y ndash 2 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 5 = 0 ako je b
jednako
2 2 1 1A B C Dminus minus
Rezultat D
Zadatak 126 (Iva strukovna škola)
Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 x2 ndash y
2 = 3 odsijeca pravac y + x ndash 5 = 0
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rješenje 126
Ponovimo
Tetiacuteva u geometriji je spojnica dviju točaka krivulje posebno na kružnici
( )2 2 2
2a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + sdot = sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Da bismo našli sjecišta krivulje i pravca moramo riješiti sustav jednadžbi
( )2 2 2 2
223 me3 toda
sups
3 33 5 3
5 0 titucije5
x y x yx x
y x y x
sdot minus = sdot minus =rArr rArr rArr sdot minus minus = rArr
+ minus = = minus
( )2 2 2 2 2 23 25 10 3 3 25 10 3 3 25 10 3 0x x x x x x x x xrArr sdot minus minus sdot + = rArr sdot minus + sdot minus = rArr sdot minus + sdot minus minus = rArr
2 2 22 10 28 0 2 10 28 0 5 14 2 0x x x x x xrArr sdot + sdot minus = rArr sdot + sdot minus = rArr + sdot minus = rArr
( )1 5 14 22 5 5 4 1 145 14 0
24 12 2 11 5 14
12 2
a b c
x xx
b b a ca b c x
a
= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =
rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =
sdot
5 9
15 25 56 5 81 5 9 212 12 12 5 92 2 2
2 2
x
x x x
x
minus +=
minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr rArr
minus minus=
[ ]( )
5
45 22 3 31 12 1 1 1
14 7 5 7 125 72 2 22
2 2
x yx y y
x y yy
yx
x
= = minus= = =rArr rArr rArr rArr rArr rArr
= minus = + == minus minus= minus
= minus
Sjecišta krivulje i pravca su točke
6
( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus
Duljina tetive AB iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 31 1
2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9
2 2
2 2
2 1 2 1
A x y A
B x y B AB AB
AB x x y y
=
= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr
= minus + minus
81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Odgovor je pod D
Vježba 126
Kolika je duljina tetive koju na krivulji
22
13
yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rezultat D
Zadatak 127 (Iva strukovna škola)
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y
2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rješenje 127
Ponovimo
2
0a b a b a a asdot = sdot = ge
Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima
jednadžbu
( )2 2
2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole
2 2
x yb x a y a b
a b
sdot minus sdot = sdot minus =
Linearni ekscentricitet hiperbole
2 2 2
2 2e a b e a b= + rArr = +
Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju
vrijedi jednadžba
2 22
2 2
12 2
2 21
2 2
x yx y a
a aa
y
b
x
a b
minus =rArr rArrminus = minus =
=
Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 e a b
e a e aa b
a e a e a e a= +
rArr = + rArr = = sdot=
sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
Računamo linearni ekscentricitet
2 28 2 2
8 8 82 2 2
x y
x
a
a
a a
y
minus =rArr = rArr = rArr =
minus =
7
28 2 16 4
8
e ae e e
a
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Vježba 127
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rezultat 6
Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
10 11 13 14A B C D
Rješenje 128
Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte
Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice
1inačica
Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 pa njezina
jednadžba glasi
( ) ( )2 2 2
2 5 x y r+ + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo
izračunali njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 5 2 2 2 22 2
3 2 2 5 1 3 3 2
x y rr r
T x y T
+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr
= minus
2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
2inačica
Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 22 5 20
2 5 2 2 2
x yS p q S
x p y q r
+ + minus =rArr = minus
minus + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2 51 1
2 2 3 2 3 2 2 5
2 2
2 2
2 1 2 1
S x y S
T x y T r
r ST x x y y
= minus
= minus rArr = minus minus minus + minus rArr
= = minus + minus
8
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 128
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
3 4 5 6A B C D
Rezultat C
Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 129
Ponovimo
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu
poluos b elipse
( ) ( ) 6 5
2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
( )2 2 2 2 2
36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =
Jednadžba elipse glasi
2 281 45 2 2 2 2
45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2
a bx y x y
b x a y a b
= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =
sdot + sdot = sdot
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45 2 2 2
81 45 36 36 36 2 2
62
a be e e e e
e a b
= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =
= minus
Koordinate fokusa elipse iznose
( )
( )( )
( )
01 6 0
1 0
2 6 02
6
F eF
F eF
e
minusminus
rArr
=
pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka
9
2 2 6 121 2 1 2 1 2
F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 129
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rezultat 2 2
45 81 3645 121 2
x y F Fsdot + sdot = =
Zadatak 130 (Ana gimnazija)
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot
Rješenje 130
Ponovimo
( ) ( )2
n n n
a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
gdje su a i b velika i mala poluos
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
( ) ( )
( )metoda
supstitucij
0 24 0 2422 2
5 5 24e
5
2 2 2 2 2 2
F e F e
a b a b b b
e a b e a b
= =
= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr
= minus = minus
2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo a2
2 2 25 5 5 2 25 144 720
2 2 2144 144 1
44
a b a b a ba a
b b b
= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =
= = =
Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi
2 2720 144 2 2
2 2 1720 1441
2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr + =
+ =
Vježba 130
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot
Rezultat
2 2
1720 144
x y+ =
10
Zadatak 131 (Ana gimnazija)
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)
Rješenje 131
Ponovimo
1a
a bb
= rArr =
Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog
sustava Jednadžba takve hiperbole glasi
2 2
12
2
x y
b a
minus = minus
Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti
sustav jednadžbi
( ) ( )
( ) ( )
( )22 2 2
1 1 42 1 2 1 11
2 2 2 22 2
2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2
x yA x y A
b a b ab a
x yB x y B
b ab a b a
minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus
rArr rArr rArr
minus = minus= minus = minus minus = minus
( )1 4 49 196
1 492 2 2 2
49 100 49 1001 1
2 2 2
2
49metoda suprotnih
koeficijenata
b a b a
b a b a
minus = minus =
rArr rArr rArr
minus = minus minus = minus
sdot
minus + rArr
minus
96 96 248 48 2
2 2
2
48
aa
a a
rArr = rArr sdot= rArr =
Računamo b2
1 41 1 4 1 1 1 22 2
1 2 1 1 2 1 12 2 2 222
2
bb a
b b b ba
minus = minus
rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 22 1 2 2 2
22 2 1 1
1 2 212 2
a bx y y
xx y
b a
= =
rArr minus = minus rArr minus = minus
minus = minus
Vježba 131
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)
Rezultat
22
12
yx minus = minus
Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)
Skiciraj
Rješenje 132
Ponovimo
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
5
( ) ( ) 1 12 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1
2 1 0
S x y Sb b b b
x b y
=rArr sdot + sdot minus = rArr + minus = rArr = minus + rArr = minus
sdot + sdot minus =
Odgovor je pod D
Vježba 125
Pravac 3 x + b y ndash 2 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 5 = 0 ako je b
jednako
2 2 1 1A B C Dminus minus
Rezultat D
Zadatak 126 (Iva strukovna škola)
Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 x2 ndash y
2 = 3 odsijeca pravac y + x ndash 5 = 0
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rješenje 126
Ponovimo
Tetiacuteva u geometriji je spojnica dviju točaka krivulje posebno na kružnici
( )2 2 2
2a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + sdot = sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Da bismo našli sjecišta krivulje i pravca moramo riješiti sustav jednadžbi
( )2 2 2 2
223 me3 toda
sups
3 33 5 3
5 0 titucije5
x y x yx x
y x y x
sdot minus = sdot minus =rArr rArr rArr sdot minus minus = rArr
+ minus = = minus
( )2 2 2 2 2 23 25 10 3 3 25 10 3 3 25 10 3 0x x x x x x x x xrArr sdot minus minus sdot + = rArr sdot minus + sdot minus = rArr sdot minus + sdot minus minus = rArr
2 2 22 10 28 0 2 10 28 0 5 14 2 0x x x x x xrArr sdot + sdot minus = rArr sdot + sdot minus = rArr + sdot minus = rArr
( )1 5 14 22 5 5 4 1 145 14 0
24 12 2 11 5 14
12 2
a b c
x xx
b b a ca b c x
a
= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =
rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =
sdot
5 9
15 25 56 5 81 5 9 212 12 12 5 92 2 2
2 2
x
x x x
x
minus +=
minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr rArr
minus minus=
[ ]( )
5
45 22 3 31 12 1 1 1
14 7 5 7 125 72 2 22
2 2
x yx y y
x y yy
yx
x
= = minus= = =rArr rArr rArr rArr rArr rArr
= minus = + == minus minus= minus
= minus
Sjecišta krivulje i pravca su točke
6
( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus
Duljina tetive AB iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 31 1
2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9
2 2
2 2
2 1 2 1
A x y A
B x y B AB AB
AB x x y y
=
= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr
= minus + minus
81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Odgovor je pod D
Vježba 126
Kolika je duljina tetive koju na krivulji
22
13
yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rezultat D
Zadatak 127 (Iva strukovna škola)
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y
2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rješenje 127
Ponovimo
2
0a b a b a a asdot = sdot = ge
Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima
jednadžbu
( )2 2
2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole
2 2
x yb x a y a b
a b
sdot minus sdot = sdot minus =
Linearni ekscentricitet hiperbole
2 2 2
2 2e a b e a b= + rArr = +
Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju
vrijedi jednadžba
2 22
2 2
12 2
2 21
2 2
x yx y a
a aa
y
b
x
a b
minus =rArr rArrminus = minus =
=
Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 e a b
e a e aa b
a e a e a e a= +
rArr = + rArr = = sdot=
sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
Računamo linearni ekscentricitet
2 28 2 2
8 8 82 2 2
x y
x
a
a
a a
y
minus =rArr = rArr = rArr =
minus =
7
28 2 16 4
8
e ae e e
a
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Vježba 127
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rezultat 6
Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
10 11 13 14A B C D
Rješenje 128
Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte
Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice
1inačica
Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 pa njezina
jednadžba glasi
( ) ( )2 2 2
2 5 x y r+ + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo
izračunali njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 5 2 2 2 22 2
3 2 2 5 1 3 3 2
x y rr r
T x y T
+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr
= minus
2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
2inačica
Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 22 5 20
2 5 2 2 2
x yS p q S
x p y q r
+ + minus =rArr = minus
minus + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2 51 1
2 2 3 2 3 2 2 5
2 2
2 2
2 1 2 1
S x y S
T x y T r
r ST x x y y
= minus
= minus rArr = minus minus minus + minus rArr
= = minus + minus
8
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 128
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
3 4 5 6A B C D
Rezultat C
Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 129
Ponovimo
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu
poluos b elipse
( ) ( ) 6 5
2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
( )2 2 2 2 2
36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =
Jednadžba elipse glasi
2 281 45 2 2 2 2
45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2
a bx y x y
b x a y a b
= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =
sdot + sdot = sdot
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45 2 2 2
81 45 36 36 36 2 2
62
a be e e e e
e a b
= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =
= minus
Koordinate fokusa elipse iznose
( )
( )( )
( )
01 6 0
1 0
2 6 02
6
F eF
F eF
e
minusminus
rArr
=
pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka
9
2 2 6 121 2 1 2 1 2
F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 129
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rezultat 2 2
45 81 3645 121 2
x y F Fsdot + sdot = =
Zadatak 130 (Ana gimnazija)
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot
Rješenje 130
Ponovimo
( ) ( )2
n n n
a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
gdje su a i b velika i mala poluos
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
( ) ( )
( )metoda
supstitucij
0 24 0 2422 2
5 5 24e
5
2 2 2 2 2 2
F e F e
a b a b b b
e a b e a b
= =
= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr
= minus = minus
2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo a2
2 2 25 5 5 2 25 144 720
2 2 2144 144 1
44
a b a b a ba a
b b b
= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =
= = =
Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi
2 2720 144 2 2
2 2 1720 1441
2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr + =
+ =
Vježba 130
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot
Rezultat
2 2
1720 144
x y+ =
10
Zadatak 131 (Ana gimnazija)
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)
Rješenje 131
Ponovimo
1a
a bb
= rArr =
Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog
sustava Jednadžba takve hiperbole glasi
2 2
12
2
x y
b a
minus = minus
Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti
sustav jednadžbi
( ) ( )
( ) ( )
( )22 2 2
1 1 42 1 2 1 11
2 2 2 22 2
2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2
x yA x y A
b a b ab a
x yB x y B
b ab a b a
minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus
rArr rArr rArr
minus = minus= minus = minus minus = minus
( )1 4 49 196
1 492 2 2 2
49 100 49 1001 1
2 2 2
2
49metoda suprotnih
koeficijenata
b a b a
b a b a
minus = minus =
rArr rArr rArr
minus = minus minus = minus
sdot
minus + rArr
minus
96 96 248 48 2
2 2
2
48
aa
a a
rArr = rArr sdot= rArr =
Računamo b2
1 41 1 4 1 1 1 22 2
1 2 1 1 2 1 12 2 2 222
2
bb a
b b b ba
minus = minus
rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 22 1 2 2 2
22 2 1 1
1 2 212 2
a bx y y
xx y
b a
= =
rArr minus = minus rArr minus = minus
minus = minus
Vježba 131
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)
Rezultat
22
12
yx minus = minus
Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)
Skiciraj
Rješenje 132
Ponovimo
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
6
( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus
Duljina tetive AB iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 31 1
2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9
2 2
2 2
2 1 2 1
A x y A
B x y B AB AB
AB x x y y
=
= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr
= minus + minus
81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Odgovor je pod D
Vježba 126
Kolika je duljina tetive koju na krivulji
22
13
yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5
6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot
8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot
Rezultat D
Zadatak 127 (Iva strukovna škola)
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y
2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rješenje 127
Ponovimo
2
0a b a b a a asdot = sdot = ge
Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima
jednadžbu
( )2 2
2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole
2 2
x yb x a y a b
a b
sdot minus sdot = sdot minus =
Linearni ekscentricitet hiperbole
2 2 2
2 2e a b e a b= + rArr = +
Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju
vrijedi jednadžba
2 22
2 2
12 2
2 21
2 2
x yx y a
a aa
y
b
x
a b
minus =rArr rArrminus = minus =
=
Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 e a b
e a e aa b
a e a e a e a= +
rArr = + rArr = = sdot=
sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
Računamo linearni ekscentricitet
2 28 2 2
8 8 82 2 2
x y
x
a
a
a a
y
minus =rArr = rArr = rArr =
minus =
7
28 2 16 4
8
e ae e e
a
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Vježba 127
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rezultat 6
Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
10 11 13 14A B C D
Rješenje 128
Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte
Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice
1inačica
Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 pa njezina
jednadžba glasi
( ) ( )2 2 2
2 5 x y r+ + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo
izračunali njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 5 2 2 2 22 2
3 2 2 5 1 3 3 2
x y rr r
T x y T
+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr
= minus
2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
2inačica
Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 22 5 20
2 5 2 2 2
x yS p q S
x p y q r
+ + minus =rArr = minus
minus + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2 51 1
2 2 3 2 3 2 2 5
2 2
2 2
2 1 2 1
S x y S
T x y T r
r ST x x y y
= minus
= minus rArr = minus minus minus + minus rArr
= = minus + minus
8
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 128
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
3 4 5 6A B C D
Rezultat C
Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 129
Ponovimo
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu
poluos b elipse
( ) ( ) 6 5
2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
( )2 2 2 2 2
36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =
Jednadžba elipse glasi
2 281 45 2 2 2 2
45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2
a bx y x y
b x a y a b
= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =
sdot + sdot = sdot
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45 2 2 2
81 45 36 36 36 2 2
62
a be e e e e
e a b
= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =
= minus
Koordinate fokusa elipse iznose
( )
( )( )
( )
01 6 0
1 0
2 6 02
6
F eF
F eF
e
minusminus
rArr
=
pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka
9
2 2 6 121 2 1 2 1 2
F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 129
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rezultat 2 2
45 81 3645 121 2
x y F Fsdot + sdot = =
Zadatak 130 (Ana gimnazija)
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot
Rješenje 130
Ponovimo
( ) ( )2
n n n
a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
gdje su a i b velika i mala poluos
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
( ) ( )
( )metoda
supstitucij
0 24 0 2422 2
5 5 24e
5
2 2 2 2 2 2
F e F e
a b a b b b
e a b e a b
= =
= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr
= minus = minus
2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo a2
2 2 25 5 5 2 25 144 720
2 2 2144 144 1
44
a b a b a ba a
b b b
= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =
= = =
Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi
2 2720 144 2 2
2 2 1720 1441
2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr + =
+ =
Vježba 130
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot
Rezultat
2 2
1720 144
x y+ =
10
Zadatak 131 (Ana gimnazija)
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)
Rješenje 131
Ponovimo
1a
a bb
= rArr =
Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog
sustava Jednadžba takve hiperbole glasi
2 2
12
2
x y
b a
minus = minus
Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti
sustav jednadžbi
( ) ( )
( ) ( )
( )22 2 2
1 1 42 1 2 1 11
2 2 2 22 2
2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2
x yA x y A
b a b ab a
x yB x y B
b ab a b a
minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus
rArr rArr rArr
minus = minus= minus = minus minus = minus
( )1 4 49 196
1 492 2 2 2
49 100 49 1001 1
2 2 2
2
49metoda suprotnih
koeficijenata
b a b a
b a b a
minus = minus =
rArr rArr rArr
minus = minus minus = minus
sdot
minus + rArr
minus
96 96 248 48 2
2 2
2
48
aa
a a
rArr = rArr sdot= rArr =
Računamo b2
1 41 1 4 1 1 1 22 2
1 2 1 1 2 1 12 2 2 222
2
bb a
b b b ba
minus = minus
rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 22 1 2 2 2
22 2 1 1
1 2 212 2
a bx y y
xx y
b a
= =
rArr minus = minus rArr minus = minus
minus = minus
Vježba 131
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)
Rezultat
22
12
yx minus = minus
Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)
Skiciraj
Rješenje 132
Ponovimo
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
7
28 2 16 4
8
e ae e e
a
= sdotrArr = sdot rArr = rArr =
=
Vježba 127
Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet
Rezultat 6
Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
10 11 13 14A B C D
Rješenje 128
Ponovimo
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte
Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice
1inačica
Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 pa njezina
jednadžba glasi
( ) ( )2 2 2
2 5 x y r+ + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo
izračunali njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 5 2 2 2 22 2
3 2 2 5 1 3 3 2
x y rr r
T x y T
+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr
= minus
2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
2inačica
Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 22 5 20
2 5 2 2 2
x yS p q S
x p y q r
+ + minus =rArr = minus
minus + minus =
Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2 51 1
2 2 3 2 3 2 2 5
2 2
2 2
2 1 2 1
S x y S
T x y T r
r ST x x y y
= minus
= minus rArr = minus minus minus + minus rArr
= = minus + minus
8
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 128
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
3 4 5 6A B C D
Rezultat C
Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 129
Ponovimo
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu
poluos b elipse
( ) ( ) 6 5
2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
( )2 2 2 2 2
36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =
Jednadžba elipse glasi
2 281 45 2 2 2 2
45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2
a bx y x y
b x a y a b
= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =
sdot + sdot = sdot
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45 2 2 2
81 45 36 36 36 2 2
62
a be e e e e
e a b
= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =
= minus
Koordinate fokusa elipse iznose
( )
( )( )
( )
01 6 0
1 0
2 6 02
6
F eF
F eF
e
minusminus
rArr
=
pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka
9
2 2 6 121 2 1 2 1 2
F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 129
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rezultat 2 2
45 81 3645 121 2
x y F Fsdot + sdot = =
Zadatak 130 (Ana gimnazija)
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot
Rješenje 130
Ponovimo
( ) ( )2
n n n
a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
gdje su a i b velika i mala poluos
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
( ) ( )
( )metoda
supstitucij
0 24 0 2422 2
5 5 24e
5
2 2 2 2 2 2
F e F e
a b a b b b
e a b e a b
= =
= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr
= minus = minus
2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo a2
2 2 25 5 5 2 25 144 720
2 2 2144 144 1
44
a b a b a ba a
b b b
= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =
= = =
Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi
2 2720 144 2 2
2 2 1720 1441
2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr + =
+ =
Vježba 130
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot
Rezultat
2 2
1720 144
x y+ =
10
Zadatak 131 (Ana gimnazija)
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)
Rješenje 131
Ponovimo
1a
a bb
= rArr =
Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog
sustava Jednadžba takve hiperbole glasi
2 2
12
2
x y
b a
minus = minus
Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti
sustav jednadžbi
( ) ( )
( ) ( )
( )22 2 2
1 1 42 1 2 1 11
2 2 2 22 2
2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2
x yA x y A
b a b ab a
x yB x y B
b ab a b a
minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus
rArr rArr rArr
minus = minus= minus = minus minus = minus
( )1 4 49 196
1 492 2 2 2
49 100 49 1001 1
2 2 2
2
49metoda suprotnih
koeficijenata
b a b a
b a b a
minus = minus =
rArr rArr rArr
minus = minus minus = minus
sdot
minus + rArr
minus
96 96 248 48 2
2 2
2
48
aa
a a
rArr = rArr sdot= rArr =
Računamo b2
1 41 1 4 1 1 1 22 2
1 2 1 1 2 1 12 2 2 222
2
bb a
b b b ba
minus = minus
rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 22 1 2 2 2
22 2 1 1
1 2 212 2
a bx y y
xx y
b a
= =
rArr minus = minus rArr minus = minus
minus = minus
Vježba 131
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)
Rezultat
22
12
yx minus = minus
Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)
Skiciraj
Rješenje 132
Ponovimo
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
8
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 128
Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom
(x + 2)2 + (y ndash 5)
2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k
3 4 5 6A B C D
Rezultat C
Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 129
Ponovimo
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu
poluos b elipse
( ) ( ) 6 5
2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
( )2 2 2 2 2
36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =
Jednadžba elipse glasi
2 281 45 2 2 2 2
45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2
a bx y x y
b x a y a b
= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =
sdot + sdot = sdot
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45 2 2 2
81 45 36 36 36 2 2
62
a be e e e e
e a b
= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =
= minus
Koordinate fokusa elipse iznose
( )
( )( )
( )
01 6 0
1 0
2 6 02
6
F eF
F eF
e
minusminus
rArr
=
pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka
9
2 2 6 121 2 1 2 1 2
F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 129
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rezultat 2 2
45 81 3645 121 2
x y F Fsdot + sdot = =
Zadatak 130 (Ana gimnazija)
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot
Rješenje 130
Ponovimo
( ) ( )2
n n n
a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
gdje su a i b velika i mala poluos
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
( ) ( )
( )metoda
supstitucij
0 24 0 2422 2
5 5 24e
5
2 2 2 2 2 2
F e F e
a b a b b b
e a b e a b
= =
= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr
= minus = minus
2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo a2
2 2 25 5 5 2 25 144 720
2 2 2144 144 1
44
a b a b a ba a
b b b
= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =
= = =
Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi
2 2720 144 2 2
2 2 1720 1441
2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr + =
+ =
Vježba 130
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot
Rezultat
2 2
1720 144
x y+ =
10
Zadatak 131 (Ana gimnazija)
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)
Rješenje 131
Ponovimo
1a
a bb
= rArr =
Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog
sustava Jednadžba takve hiperbole glasi
2 2
12
2
x y
b a
minus = minus
Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti
sustav jednadžbi
( ) ( )
( ) ( )
( )22 2 2
1 1 42 1 2 1 11
2 2 2 22 2
2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2
x yA x y A
b a b ab a
x yB x y B
b ab a b a
minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus
rArr rArr rArr
minus = minus= minus = minus minus = minus
( )1 4 49 196
1 492 2 2 2
49 100 49 1001 1
2 2 2
2
49metoda suprotnih
koeficijenata
b a b a
b a b a
minus = minus =
rArr rArr rArr
minus = minus minus = minus
sdot
minus + rArr
minus
96 96 248 48 2
2 2
2
48
aa
a a
rArr = rArr sdot= rArr =
Računamo b2
1 41 1 4 1 1 1 22 2
1 2 1 1 2 1 12 2 2 222
2
bb a
b b b ba
minus = minus
rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 22 1 2 2 2
22 2 1 1
1 2 212 2
a bx y y
xx y
b a
= =
rArr minus = minus rArr minus = minus
minus = minus
Vježba 131
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)
Rezultat
22
12
yx minus = minus
Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)
Skiciraj
Rješenje 132
Ponovimo
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
9
2 2 6 121 2 1 2 1 2
F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 129
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rezultat 2 2
45 81 3645 121 2
x y F Fsdot + sdot = =
Zadatak 130 (Ana gimnazija)
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot
Rješenje 130
Ponovimo
( ) ( )2
n n n
a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
gdje su a i b velika i mala poluos
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2e a b= minus
Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
( ) ( )
( )metoda
supstitucij
0 24 0 2422 2
5 5 24e
5
2 2 2 2 2 2
F e F e
a b a b b b
e a b e a b
= =
= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr
= minus = minus
2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo a2
2 2 25 5 5 2 25 144 720
2 2 2144 144 1
44
a b a b a ba a
b b b
= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =
= = =
Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi
2 2720 144 2 2
2 2 1720 1441
2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr + =
+ =
Vježba 130
Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot
Rezultat
2 2
1720 144
x y+ =
10
Zadatak 131 (Ana gimnazija)
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)
Rješenje 131
Ponovimo
1a
a bb
= rArr =
Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog
sustava Jednadžba takve hiperbole glasi
2 2
12
2
x y
b a
minus = minus
Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti
sustav jednadžbi
( ) ( )
( ) ( )
( )22 2 2
1 1 42 1 2 1 11
2 2 2 22 2
2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2
x yA x y A
b a b ab a
x yB x y B
b ab a b a
minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus
rArr rArr rArr
minus = minus= minus = minus minus = minus
( )1 4 49 196
1 492 2 2 2
49 100 49 1001 1
2 2 2
2
49metoda suprotnih
koeficijenata
b a b a
b a b a
minus = minus =
rArr rArr rArr
minus = minus minus = minus
sdot
minus + rArr
minus
96 96 248 48 2
2 2
2
48
aa
a a
rArr = rArr sdot= rArr =
Računamo b2
1 41 1 4 1 1 1 22 2
1 2 1 1 2 1 12 2 2 222
2
bb a
b b b ba
minus = minus
rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 22 1 2 2 2
22 2 1 1
1 2 212 2
a bx y y
xx y
b a
= =
rArr minus = minus rArr minus = minus
minus = minus
Vježba 131
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)
Rezultat
22
12
yx minus = minus
Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)
Skiciraj
Rješenje 132
Ponovimo
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
10
Zadatak 131 (Ana gimnazija)
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)
Rješenje 131
Ponovimo
1a
a bb
= rArr =
Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog
sustava Jednadžba takve hiperbole glasi
2 2
12
2
x y
b a
minus = minus
Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti
sustav jednadžbi
( ) ( )
( ) ( )
( )22 2 2
1 1 42 1 2 1 11
2 2 2 22 2
2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2
x yA x y A
b a b ab a
x yB x y B
b ab a b a
minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus
rArr rArr rArr
minus = minus= minus = minus minus = minus
( )1 4 49 196
1 492 2 2 2
49 100 49 1001 1
2 2 2
2
49metoda suprotnih
koeficijenata
b a b a
b a b a
minus = minus =
rArr rArr rArr
minus = minus minus = minus
sdot
minus + rArr
minus
96 96 248 48 2
2 2
2
48
aa
a a
rArr = rArr sdot= rArr =
Računamo b2
1 41 1 4 1 1 1 22 2
1 2 1 1 2 1 12 2 2 222
2
bb a
b b b ba
minus = minus
rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =
=
Jednadžba hiperbole glasi
2 22 1 2 2 2
22 2 1 1
1 2 212 2
a bx y y
xx y
b a
= =
rArr minus = minus rArr minus = minus
minus = minus
Vježba 131
Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)
Rezultat
22
12
yx minus = minus
Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)
Skiciraj
Rješenje 132
Ponovimo
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
11
( ) ( )2 2
a b a bminus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena
od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi
q r q r= = minus
pa postoje dvije jednadžbe
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =
Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je
polumjer upravo jednak q
55
q rq
r
=rArr =
=
Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 52 2 2 22 2
2 2 2 2 5 5 2 3 5
2 2 2
q r
T x y T p p
x p y q r
= =
= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr
minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr
22 4 4 2 12 16 2 4
2 4 4 2 62
pp pp p
p p p
=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr
+ = minus = minus minus = minus
Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima
bull
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= = =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =
bull
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2
p q rx y x y
x p y q r
= minus = =
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =
-10 -5 5 10
14
12
10
8
6
4
2
0
y
x
S(- 6 5)
S(2 5)
T
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
12
Vježba 132
Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =
Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Skiciraj
Rješenje 133
Ponovimo
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +
Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi
jednadžba
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =
Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i
dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 02 22 2 2
1 0 1 2 2 2
A x y A
p r p rx p y r
=
rArr minus + = rArr minus =
minus + =
bull
( ) ( )
( )( ) ( )
1 42 22 2 2
1 4 1 16 2 2 2
B x y B
p r p r
x p y r
= minus
rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
Iz sustava jednadžbi dobije se
( )
( )( ) ( )
metoda
komparaci
2 21 2 2
1 1 162 2
1 16je
p rp p
p r
minus =rArr rArr minus = + + rArr
+ + =
2 21 2 1 2 16 2 2 16
2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr
( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=
Računamo r2
( )( )( ) ( )
2 22 21 2 2 2 2 2
1 4 1 4 5 25
4
p rr r r r
p
minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =
= minus
Jednadžba kružnice glasi
( )( )( ) ( )
24 25 2 22 2
4 25 4 252 2 2
p rx y x y
x p y r
= minus =rArr minus minus + = rArr + + =
minus + =
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
13
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
0
y
xS(- 4 0)
B(- 1 4)
A(10)
Vježba 133
Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x
Rezultat ( )2 2
4 25x y+ + =
Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 8
9
k =
Rješenje 134
Ponovimo
1
n a c a d b cn
b d b d
sdot + sdot= + =
sdot
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus
Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu
2 2
12 2
x y
a b+ = ako i samo ako vrijedi
2 2
2 2a k b lsdot + =
Prvo napišemo kanonski oblik elipse
2 24 92 2 2 2
4 9 36 4 9 3 6 136
3636
x yx y x y
sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr
22 24 9
36 3
2 2 91 1
29 4 46
ax y x y
b
=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr
=
Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
14
2 2 2 2 28 64 642 2 2
9 4 9 4 482 2 9 819 4 9
89
1
a k b ll l l
a b k
sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr
= = =
64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24
9 9 1 9 9 9l l l l l
+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr
10
1100 100 102 3
12 12 109 9 32 3
l
l l l
l
=
rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus
Jednadžbe tangenata glase
8 10 8 10
9 3 9 3
8 10 8 10
9 3 9 3
y k x l k l y x
y k x l k l y x
= sdot + = = = sdot +
rArr = sdot + = = minus = sdot minus
Vježba 134
Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2
4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent
smjera 2
3
k =
Rezultat 2 2
2 2 2 23 3
y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot
Zadatak 135 (Goran srednja škola)
Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i
udaljenost mentildeu fokusima
Rješenje 135
Ponovimo
2 0a a a= ge
Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer
sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu
2 22 2 2 2 2 2
i li 12 2
x yb x a y a b
a b
sdot + sdot = sdot + =
Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse
2 2 2
2 2e a b e a b= minus rArr = minus
Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama
( ) ( ) 0 0 1 2
F e F eminus
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način
0
0
x xx
x x
ge=
minus lt
Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0
vrijedi x= x
Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x
x lt 0 je x= ndash x
Ili ovako
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
15
Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se
0
0 0
0
x x
x x
x x
gt
= =minus lt
Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7
Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4
Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A
( ) ( )2 2
AB x x y yB BA A
= minus + minus
Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse
( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2
9 6 9 5 9 36 81 25 81
2 2 2 2 2 2
T x y T
a b b b b
b x a y a b
=
= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr
sdot + sdot = sdot
2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr
( )2 2
45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus
Jednadžba elipse glasi 2 2
2 22 2 1
12 2
81 45
81 45
x yx y
a b
a b
+ =+ =
= =rArr
Računamo linearni ekscentricitet elipse
2 281 45
81 45 36 62 2
a be e e
e a b
= = rArr = minus rArr = rArr =
= minus
Fokusi elipse imaju koordinate
( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2
F e F F e Fminus = minus =
pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
6 01 1 1 1
2 2 6 0 6 6 0 0
2 2 2 2 1 2
2 2
1 2 2 1 2 1
F x y F
F x y F F F
F F x x y y
= minus
= rArr = minus minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2
6 6 0 12 121 2 1 2 1 2
F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =
Vježba 135
Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse
Rezultat
2 2
181 45
x y+ =
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
16
Zadatak 136 (Maturanti HTT)
U kojim točkama kružnica x2 + y
2 = 25 siječe koordinatne osi
Rješenje 136
Ponovimo
Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0
Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0
0 x
y
A(x 0)
B(0 y)
Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 20
5x y
x x x xy
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
xx x
x
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os x u dvije točke
( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus
Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi
2 22 2 2 2 225
0 25 0 25 25 250
x y
y y y yx
+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr
=
51
25 5 12 12 5
2
yy y
y
= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr
=
Kružnica siječe os y u dvije točke
( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus
Vježba 136
U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi
Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus
Zadatak 137 (Maturanti HTT)
Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi
jednadžba kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =
Rješenje 137
Ponovimo
( ) 2
a a=
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
17
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
1inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u
jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 02 2 22 2 2
0 2 0 3 2 32 2 2
2 3
O x y O
r rx y r
=
rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =
2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2 2
2 3 13x y+ + minus =
Odgovor je pod A
2inačica
Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 22 22 3 2 3
2 2 2
S p q S
x y r x y rx p y q r
= minus
rArr minus minus + minus = rArr + + minus =
minus + minus =
Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti
izmentildeu točaka S i O
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 31 1
0 02 2 2 2 2 2
0 2 0 3 0 2 0 32 2
2 1 2 1
S x y S
O x y O
r r
SO x x y y
r SO
= minus
=
rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr
= minus + minus
=
( )22
2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =
Jednadžba kružnice glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =
Odgovor je pod A
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
18
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6
y
x
S(-2 3)
O(0 0)
Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi
jednadžba te kružnice
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =
Rezultat B
Zadatak 138 (Ivan gimnazija)
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os x
Rješenje 138
Ponovimo
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima
jednadžbu (osna jednadžba)
2 22 2 2 2 2
2
12 2
x yb x a y a b
a b
minus = rArr sdot minus sdot = sdot
gdje je a realna poluos b imaginarna poluos
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
19
Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole
2 2 2 2ili 1 1 1
1 2 2
1
x x y yb x x a y y a b
a b
sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =
a
2
Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2
2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =
Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati
imaginarnu poluos b
( ) ( )2
4 6 2 2 26 2 36 4 4
2 2 1 1 12 2 24 41
2 2
36
4
a A x y A
x yb b b
a b
= =
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =
29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4
2 21
1b b b b b
b b
rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr
4 12 2 2 2 28 4 8 4
8
4 8
8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Jednadžba hiperbole glasi
12 24
2 2212 2 14
12 2 2
a bx y
x y
a b
= =
rArr minus =
minus =
Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika
( ) ( )
12 24
226 2 31 6 2 1 1 4 1
1 1 1 14 2
2 21 1 12 2
6
4
a b
yx y x
A x y A x y
x x y y
a b
= =
sdotsdot sdot sdot
= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr
sdot sdotminus =
13 3 3 14 1 4 1
2 2 8 4
4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus
Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
20
3 13 1 3 1 2 2
0 0 0 8 48 4 8 4
8
3 330
y xx x x x
y
= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr
=
Koordinate točke glase
2 0
3
Vježba 138
Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta
na tu hiperbolu u točki A siječe os y
Rezultat 1
0 4
minus
Zadatak 139 (Tina srednja škola)
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i
skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu
Rješenje 139
Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine
Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi
( ) ( )2
2 2
x p y q rminus + minus =
Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i
polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 32 2 2 22
2 4 3 2 4 92 2 2
S p q S r
x y x yx p y q r
= =
rArr minus + minus = rArr minus + minus =
minus + minus =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
S 2 4(((( ))))
y
x
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
21
Vježba 139
Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa
Rezultat ( ) ( )2 2
4 2 9x yminus + minus =
Zadatak 140 (Ivan srednja škola)
Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rješenje 140
Ponovimo
Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu
22 y p x= sdot sdot
gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice
Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su
02
pF
1
a
n a dbnc b c
d
sdot= =
sdot
Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom
( ) ( )2
1 1
2
2 2AB x x y y= minus + minus
2
a c a d b c a c a d b c
a ab d b d b d b d
sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =
sdot sdot
Uočimo da je krivulja parabola
52 2 22 5 2 5 2
2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot
Njezin poluparametar p iznosi
22
5 5 52 2 52 2 2 4
2
1
2
y p x
p p py x
= sdot sdot
rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =
= sdot
Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate
5 5 052 4 4 0 0 0
22 85
14
pF
F F F
p
rArr rArr rArr
=
Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati
ordinatu y
( ) ( ) 105 52 2 2 2
10 25 25522
10 2
2
T x y T y
y y y yy x
=
rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625
22
( ) ( )nije rješenj
51
25 5e zbog 0
10 5 12 5
2y
yy y T x y T
y
=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =
gt= minus
Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10 51 1
25 5 2
0 10 0 52 2 8 8
2 2
2 1 2 1
T x y T
F x y F TF
TF x x y y
=
= rArr = minus + minus rArr
= minus + minus
( )2 2 2
5 10 5 80 7525 25 25
8 1 8 8TF TF TF
minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr
5625 5625 25 5625 160025
64 64 1 64TF TF TF
+rArr = + rArr = + rArr = rArr
7 225 8510625
64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =
Vježba 140
Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te
krivulje
Rezultat 10625