17. FIBONACCI – ZAHLEN
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Die Zahlen Folge
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, . . .
bzw.
f1 = 1 , f2 = 1 fn = fn−1 + fn−2
heißt Fibonacci-Folge.
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Fibonacci 1180-1214
Seine Kaninchen-Aufgabe:
Ein Kaninchenpaar wirft vom zweiten Monat an ein junges Paar
und in jedem weiteren Monat ein weiteres Paar. Die Nachkom-
men verhalten sich ebenso.
fn gleich Anzahl der Kaninchenpaare im Monat n, wenn im Monat
1 ein neugeborenes Paar da ist.
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1556/57, Baumeister Hieronymus Lotter
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5
In der Mathematik tritt er beim Euklidischen Algorithmus als
”worst case“ auf.
Division von fn+1 durch fn ergibt den Rest fn−1:
fn+1 = fn + fn−1
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Wachstumsgeschwindigkeit der Fibonacci Folge:
f2n = f2n−1 + f2n−2 > 2f2(n−1)
und iterativ
f2n > 2n−1f2 = 2n−1
Die Fibonacci-Zahlen wachsen also geormetrisch schnell, wie
schnell genau?
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Darstellung mit Matrizen:
(fn+1fn
)=
(1 11 0
)(fnfn−1
)
und per Iteration der Gleichung mit f0 = 0,
(fn+1fn
)=
(1 11 0
)n(f1f0
)
Frage: Wie behandelt man Potenzen An von einer Matrix A?
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Diagonalmatrizen sind einfach:
(d1 00 d2
)(d1 00 d2
)=
(d2
1 00 d2
2
)
und allgemeiner
D =
(d1 00 d2
)⇒ Dn =
(dn1 00 dn2
)
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Definition:
Sei A eine quadratische n×n-Matrix. Sei λ ein Skalar. Ein Vektor
x ∈ Rn heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, falls
Ax = λx
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Auf Eigenvektoren lassen sich Matrixpotenzen leicht ausrechnen:
Anx = An−1(Ax) = λAn−1x
also
Anx = λnx
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Das charakteristische Polynom von
(1 11 0
)ist
ϕ(λ) = det
(1− λ 1
1 −λ
)= −(1− λ)λ− 1 = λ2 − λ− 1
Die Eigenwerte sind die Losungen von ϕ(λ) = λ2 − λ − 1 = 0,
also
λ1,2 =1
2±√
5
2
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Oder auch direkt: Aus
(1 11 0
)x = λx folgt
x1 + x2 = λx1
x1 = λx2
und folglich λx2 +x2 = λ2x2 bzw. x2(λ2−λ−1) = 0. Also erneut
λ2 − λ− 1 = 0.
Damit ist die erste Gleichung berucksichtigt und es braucht nur
noch die zweite Gleichung berucksichtigt werden.
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Wir haben die beiden Eigenvektoren
b1 = (λ1,1)T = (1.62,1)T und b2 = (λ2,1)T = (−0.62,1)T
die wegen
〈b1,b2〉 = λ1λ2 + 1 =(1
2+
√5
2
)(1
2−√
5
2
)+ 1 =
1
4−
5
4+ 1 = 0
orthogonal sind.
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Nun gilt
b1 − b2 =
(√5
0
)
und also
(fn+1fn
)=
(1 11 0
)n(10
)=
1√5
(1 11 0
)n(b1 − b2)
=λn1b1 − λn2b2√
5
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Insbesondere
fn =λn1 − λ
n2√
5
(Formel von deMoivre-Binet).
Oder, weil fn ganzzahlig ist und |λ2| < 1
fn ist die nachste ganze Zahl beiλn1√
5
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Zwei Filialen verleihen Fahrrader. Bei Filiale I kommen (im Mit-
tel) 60% der ausgeliehenen Fahrrader zuruck, 40% landen bei
Filiale II. Bei Filiale II kommen 70% zuruck und 30% bei I.
Kann man die Fahrrader so auf I und II verteilen, dass (im Mittel)
am nachsten Morgen wieder genauso viele Fahrrader da sind?
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Sind p = (p1, p2) und q = (q1, q2) die Verteilung der Fahrrader
auf I und II, heute und morgen, so gilt
q1 = 0.7p1 + 0.4p2 , q2 = 0.4p1 + 0.6p2
bzw.
q = pA mit A =
(0.7 0.30.4 0.6
)
Gesucht ist p mit pA = p, also ein linker Eigenvektor p zum
Eigenwert 1.
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Das charakteristische Polynom
ϕ(λ) = det
(0.7− λ 0.3
0.4 0.6− λ
)= (0.7− λ)(0.4− λ)− 0.3 · 0.6
hat offenbar 1 als Nullstelle.
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Das Gleichungsystem
pA− p = p
(0.7− 1 0.3
0.4 0.6− 1
)= p
(−0.3 0.30.4 −0.4
)= 0
hat die Losung p = (0.4,0.3). Die Aufteilung auf Filiale I und II
ist also0.4
0.7= 57% ,
0.3
0.7= 43%
Ein einzelnes Fahrrad wird im Laufe der Zeit in 57% der Falle in
Filiale I abgeliefert und in 43% der Falle in Filiale II.
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