16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 1
UN TRATAMIENTO AXIOMÁTICO DE LA UTILIDAD
Artículo de R. D. LUCE Y H. RAIFFA
Versión de Hebe Alicia Cadaval
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 2
AXIOMAS1. Ordenamiento de las alternativas.
Conexidad.
2. Transitividad. Coherencia.
3. Continuidad.
4. Monotonía.
5. Reducción de las loterías compuestas.
6. Sustitución. Independencia de las alternativas irrelevantes.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 3
ACLARACIONES
Cuando en el artículo se habla de: - loterías, se hace referencia a
alternativas sujetas a riesgo.- alternativas, se hace referencia
a resultados.- premio, se refiere a resultado
cierto.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 4
ORDENAMIENTO - CONEXIDAD
Dos resultados cualesquiera serán comparables.
Es decir dados dos resultados cualesquiera, el sujeto preferirá uno al otro o será indiferente entre ellos.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 5
CONEXIDAD
El resultado B es preferido al resultado A.
La utilidad de B es mayor que la utilidad de A.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 6
CONEXIDAD
El resultado B es indiferente al resultado A.
Ambos poseen la misma utilidad.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 7
CONEXIDAD
El resultado B es menos preferido que el resultado A.
La utilidad de B es menor que la utilidad de A.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 8
NO CUMPLE CON CONEXIDAD
No puede
distinguirse
si el resultado B
es más o
menos preferido
que el resultado A
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 9
NO CUMPLE CON CONEXIDAD
A mayor cantidad de x no le corresponde mayor utilidad.
Violación aparente del axioma.
U(x)
xCBA
U(B)
U(A) = U(C)
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 10
Las relaciones de preferencia y de indiferencia son transitivas.
Es decir, dados tres resultados cualesquiera, A, B y C; si el sujeto prefiere “A” a “B” y “B” a “C”, entonces prefiere “A” a “C” ; y si es indiferente entre “A” y “B” y entre “B” y “C” entonces también
será indiferente entre “A” y “C”.
TRANSITIVIDAD
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 11
Si el resultado C es preferido al B y el B es preferido al A, entonces C es preferido a A.
Si la utilidad de C es mayor que la utilidad de B y la utilidad de B es mayor que la de A, entonces C tiene mayor utilidad que A.
TRANSITIVIDAD
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 12
NO CUMPLE TRANSITIVIDAD
Propiedades
Atributos
Costo Espacio Conveniencia
A Mejor Peor Medio
B Medio Mejor Peor
C Peor Medio Mejor
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 13
NO CUMPLE TRANSITIVIDAD• A, B, C son tres inmuebles que el Sr.
Juárez está estudiando.• Juárez decide que prefiere A a B, B a C
y C a A.• Cada alternativa preferida en cada
comparación tiene mayor puntuación en dos de los tres atributos.
• Adquiere la opción sobre la propiedad A.• Preferencias circulares.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 14
CONTINUIDAD
Cada resultado intermedio es indiferente a alguna alternativa
que implique sólo a dos resultados (uno superior y otro inferior) con
las probabilidades adecuadas.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 15
El resultado cierto B es indiferente al activo aleatorio que implica a los resultados A y C.
La utilidad de B es igual que la utilidad de [C, p ; A, (1-p)]
CONTINUIDAD
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 16
El resultado ciertoB es indiferente al activo aleatorio que implica a los resultados A y C.
La utilidad de B es igual que la utilidad de [C, p ; A, (1-p)]
CONTINUIDAD
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 17
MONOTONÍA
Si dos alternativas sujetas a riesgo tienen los mismos dos resultados,
será preferida aquella cuyo resultado más preferido esté
afectado por una probabilidad más alta.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 18
Si C = $1.000 ; A = $ 300 ; u(C) = 100 ; u(A) = 50
Con p = 0,20 entonces u(B) = 60
Con p’ = 0,70 entonces u(B’) = 85
MONOTONÍA
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 19
El caso del montañista que prefiere la vida a la muerte, pero prefiere vivir escalando, con una probabilidad de vida más baja.
En realidad, para él no es el mismo resultado la vida sedentaria que la vida
desafiando a las montañas.Es un incumplimiento “aparente” del
axioma de monotonía.
¿NO CUMPLE MONOTONÍA?
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 20
SUSTITUCIÓN
Si dos alternativas son indiferentes, entonces son intercambiables como resultados en cualquier alternativa
compuesta (es decir, alternativa sujeta a riesgo cuyos resultados son a su vez
alternativas sujetas a riesgo).
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 21
SUSTITUCIÓN
Esta es una situación de decisión donde una alternativa esta sujeta a riesgo.
En uno de sus resultados figura 65.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 22
SUSTITUCIÓN
En otro caso el decisor consideró que la alternativa Sa era indiferente a la Sb (que presenta un resultado cierto de 65)
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 23
SUSTITUCIÓNSe sustituyó el resultado cierto por su
equivalente.Ahora esta situación de decisión expresa dos
eventos sucesivos.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 24
REDUCCIÓN
En el caso de que una alternativa tenga como uno de sus
resultados otra alternativa, entonces la primera alternativa es divisible entre los resultados más básicos mediante el cálculo
de probabilidades.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 25
REDUCCIÓN
Esta situación de decisión expresa dos eventos sucesivos.
Cada uno con sus respectivas probabilidades.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 26
REDUCCIÓNSe transforma en otra situación de equivalente a la anterior, con los mismos resultados, pero con un solo evento.
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 27
PARADOJA DE ALLAIS
0
1.000.000
0
5.000.000
1.000.000
1.000.000
5.000.000
0
0.10
0.89
0.01
0.10
0.90
0.11
0.89
A1
A2
A3
A4
A1 A2 A3 A4
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 28
PARADOJA DE ALLAISLa mayoría de las personas prefieren A1 a A2 y A3 a A4.
U (A1) > U (A2)
u (1.000.000) > u (5.000.000) x 0,10+ u (1.000.000) x 0,89 + u (0) x 0,01
reemplazando la utilidad del peor resultado por 0 y la del mejor por 1 queda:
u (1.000.000) > 1 x 0,10 + u (1.000.000) x 0,89 u (1.000.000) - u (1.000.000) x 0,89 > 0,10
(1-0,89) x u (1.000.000) > 0,100,11 x u (1.000.000) > 0,10
u (1.000.000) > 0,10/0,11
16 de mayo de 2011 Hebe Alicia Cadaval 29
PARADOJA DE ALLAISSi en el segundo caso se eligiese S3,
U (A3) > U (A4)
u (5.000.000) x 0,10 + u (0) x 0,90 > u (1.000.000) x 0,11 + u (0) x 0,89
reemplazando la utilidad del peor resultado por 0 y la del mejor por 1 queda:1 x 0,10 > u (1.000.000) x 0,11
0,10 > u (1.000.000) x 0,110,10/0,11 > u (1.000.000) o sea
u (1.000.000) < 0,10/0,11
Esto estaría violando la axiomática generando un comportamiento inconsistente