Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Mawardi Amin MT ESTIMASI BIAYA PROYEK
MODUL 13 RUMUS RUMUS BUNGA
Proyek konstruksi, apapun tujuannya, baik untuk sosial maupun komersial, pada
dasarnya adalah kegiatan investasi. Karena uang/dana yang dipakai untuk proyek
jumlahnya cukup besar dan akan diambil manfaatnya dalam jangka yang panjang.
Bangunan komersial, akan menghasilkan uang sebagai pengembalian investasi,
sedang pembangunan yang bersifat sosial menghasilkan pengembalian investasi berupa
manfaat sosial, yang dapat dihitung nilai ekonominya.
Oleh karena itu, keputusan untuk melaksanakan sebuah proyek adalah merupakan
sebuah keputusan investasi. Dengan demikian seorang Cost Engineer disamping harus
menguasai dan memahami tentang biaya proyek, juga harus memahami konsep time
value of money.
Dalam konsep time value of money, nilai uang sangat berkaitan dengan waktu,
artinya nilai satu rupiah pada tahun ini, tidak sama dengan nilai uang satu rupiah pada
tahun ke n dan begitu pula sebaliknya.
Jadi yang dimaksud dengan time value of money adalah hubungan antara nilai
uang saat ini (present value) dengan nilainya pada saat yang akan datang (future value),
dengan mempertimbangkan bunga yang harus dibayar dalam penggunaan uang tersebut.
13.1 Rumus-rumus Bunga yang mengaitkan Nilai Sekarang dengan Nilai Masa
Datang yang ekivalen dari Arus Kas Tunggal
Gambar 13-1 memperlihatkan suatu diagram arus kas yang melibatkan suatu
jumlah tunggal saat sekarang, P, dan jumlah tunggal masa depan, F, yang dipisahkan
oleh N periode dengan bunga pada i% per periode.
Dalam modul ini anak panah dengan garis terputus-putus, seperti terlihat dalam
gambar 13-1, menyatakan besaran untuk dicari. Dua buah rumus sehubungan dengan
suatu P yang diketahui dan keekivalenan F-nya yang tidak diketahui diberikan dalam
persamaan 13-1 dan 13-2.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Mawardi Amin MT ESTIMASI BIAYA PROYEK
1 2 3 4 5 N-2 N-1 N
Gambar 13-1 Diagram Umum Arus Kas yang mengaitkan Keekivalenan Masa Sekarang dan
Keekivalenan Masa Depan dari Pembayaran-pembayaran Tunggal.
13.1.1 Mencari F bila P Diketahui
Jika sejumlah P dollar ditanamkan pada suatu titik waktu dan i% merupakan
tingkat bunga (laba atau pertumbuhan) per periode, jumlahnya akan meningkat pada
suatu jumlah di saat mendatang sebesar P + Pi = P (1 + i) pada akhir dari satu periode;
pada akhir dari dua periode besarnya akan meningkat menjadi P(1 + i) (1 + i) = P(1 + i)2;
pada akhir dari tiga periode, besarnya akan meningkat menjadi P(1 + i)2(1 + i) = P(1 + i)2;
dan pada akhir dari N periode jumlahnya akan meningkat menjadi :
F = P(1 + i)N (13-1)
Bila uang sejumlah Rp. 1.000.000,- dipinjamkan pada hari ini, untuk jangka waktu
satu tahun, dengan bunga 20% per tahun, maka setelah berjalan satu tahun, uang yang
harus dikembalikan adalah Rp. 1.000.000,- ditambah dengan bunga sebesar 20% atau
Rp. 200.000,-. Jadi total yang harus dikembalikan adalah sebesar Rp. 1.200.000,-.
Dengan demikian berarti bahwa uang saat ini sebesar Rp. 1000.000,- adalah sama
dengan uang sebesar Rp. 1.200.000,- pada waktu satu tahun mendatang (dengan
perhitungan rate 20% per tahun).
Atas dasar pengetian tersebut diatas, maka dapat dibuat rumus untuk menghitung
present value dan future value.
Bila saat ini uang sejumlah P (present value) diinvestasikan dengan rate (bunga)
i% per tahun, untuk selama beberapa tahun, maka bila bunganya tidak diambil, uang
tersebut akan memperoleh bunga berbunga, dan uang tersebut pada beberapa tahun
mendatang nilainya (future value) dapat dihitung sebagai berikut :
F = Nilai keekivalenannya di Masa Depan (Dicari)
P = Nilai keekivalenannya di Masa Sekarang (Diketahui)
i = Tingkat bunga per periode
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Mawardi Amin MT ESTIMASI BIAYA PROYEK
Akhir tahun ke 1 (satu)
F1 = P + P.i
Akhir tahun ke 2 (dua)
F2 = F1 + F1 . i = P + P.i + (P + P.i). i
F2 = P + P.i + P.i + P.i2 = P (1+2.i + i2) = P.(1 + i)2
Akhir tahun ke 3 (tiga)
F3 = P (1 + i)3
Akhir tahun ke n
Fn = P (1 + i)n
Dimana :
Fn = Future Value pada tahun ke n
P = Present Value
i = Bunga / rate per tahun
Dengan demikian (1 + i)n merupakan faktor pengali, yang disebut Compounded
Factor, yaitu faktor yang dipergunakan untuk menghitung future value (F) terhadap
present value (P).
Contoh 13-1
Misalkan bahwa anda meminjam $8.000 saat sekarang, dengan janji untuk membayar
kembali pinjaman pokok ditambah bunga yang terakumulasi selama empat tahun pada i =
10% per tahun. Berapakah jumlah yang akan anda bayar kembali pada akhir dari empat
tahun itu?
Pemecahan :
Tahun
Jumlah Terhutang di awal Tahun
Bunga Terhutang untuk Setiap Tahun
Jumlah Terhutang pada Akhir Tahun
Pembayaran Total Akhir Tahun
1 2 3 4
P = $8.000 P(1 + i) = $8.800 P(1 + i)2 = $9.680 P(1 + i)3 = $10.648
iP = $800 iP(1 + i) = $880 iP(1 + i)2 = $968 iP(1 + i)3 = $1065
P(1 + i) = $8.800 P(1 + i)2 = $9.680 P(1 + i)3 = $10.648 P(1 + i)4 = $11.713
0 0 0 F = $11.713
Secara umum, kita lihat bahwa F = P(1 + i)N , dan jumlah total untuk dibayar kembali
sebesar $11.713. Hal ini seterusnya mengilustrasikan rancangan 4 dalam tabel 12-1 dan
istilah-istilah notasi yang akan digunakan dalam modul ini.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Mawardi Amin MT ESTIMASI BIAYA PROYEK
Besar (1 + i)N dalam persamaan 13-1 umumnya disebut faktor jumlah majemuk
pembayaran tunggal (single payment compound amount factor). Nilai-nilai numerik untuk
faktor ini diberikan pada tabel Bunga dan Anuitas untuk Pemajemukan Diskret untuk
berbagai nilai I dan N. Dalam modul ini akan digunakan simbol fungsional (F/P,i%,N)
untuk (1 + i)N . Jadi Persamaan 13-1 dapat dinyatakan sebagai :
F = P(F/P,i%,N) ..(13-2)
Untuk faktor di dalam kurung dibaca cari F dengan P diketahui pada bunga i% per
periode untuk N periode bunga. Perhatikan bahwa urutan dari F dan P dalam F/P adalah
sama seperti dalam bagian awal persamaan 13-2, dengan besaran yang tidak diketahui,
F, ditempatkan pada sisi sebelah kiri persamaan. Urutan semua huruf-huruf ini benar
untuk semua simbol fungsional yang digunakan dalam modul ini dari memudahkan untuk
mengingatnya.
Contoh lain dari mencari F bila P diketahui, berikut dengan suatu diagram arus kas
dan solusi, diberikan pada tabel 13-1. Perhatikan bahwa dalam Tabel 13-1 untuk masing-
masing dari enam keadaan bunga majemuk diskret biasa yang dicakup, dua pernyataan
soal diberikan:
a. dalam terminologi meminjam-meminjamkan dan
b. terminologi dalam keekivalenan,
tetapi keduanya menyatakan situasi arus kas yang sama. Memang, secara umum
ada banyak cara untuk menyatakan situasi arus kas.
Secara umum, cara yang baik untuk menginterpretasikan suatu hubungan seperti
persamaan 13-2 adalah bahwa jumlah yang dihitung, F, pada titik waktu sewaktu ia
terjadi, adalah ekivalen dengan (yaitu dapat dinyatakan dengan) nilai yang diketahui, P,
pada titik waktu sewaktu P itu terjadi, untuk tingkat bunga atau laba tertentu, i.
13.1.2 Mencari P bila F Diketahui
Dari persamaan 13-1, F = P(1 + i)N , Pemecahan persamaan ini untuk
mendapatkan P menghasilkan hubungan
P = F{1/(1+i)}N = F(1+i)-N 13-3
Besaran F(1+i)-N disebut faktor nilai sekarang pembayaran tunggal (single payment
present worth factor). Harga-harga numerik untuk faktor ini diberikan dalam kolom ketiga
pada tabel Bunga dan Anuitas untuk Pemajemukan Diskret untuk berbagai nilai I dan N
yang luas. Kita akan menggunakan simbol fungsi (P/F,i%,N) untuk faktor ini. Jadi
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Mawardi Amin MT ESTIMASI BIAYA PROYEK
P = F(P/F,i%,N) 13-4
Contoh 13-2
Seorang investor (pemilik) memiliki pilihan untuk membeli tanah luas yang akan bernilai
$10.000 dalam enam tahun. Jika harga tanah meningkat 8% setiap tahun, seberapa
besarkah yang masih mau dibayarkan oleh investor tersebut untuk properti ini?
Pemecahan :
Harga beli dapat dicari dari persamaan 13-4 dan Tabel C sebagai berikut:
P = $10.000(P/F,8%,6)
P = $10.000(0,6302)
P = $6.302
Contoh lain dari soal jenis ini, bersama dengan diagram arus kas dan pemecahannya
diberikan dalam tabel 13-1
13.2 Rumus-rumus Bunga yang menghubungkan Deret yang Seragam (Anuitas)
ke Nilai-nilai Ekivalennya Sekarang dan Masa Datang
Gambar 13-2 memperlihatkan suatu diagram arus kas yang mencakup sederetan
penerimaan berturutan yang seragam (sama besar) masing-masing sebesar A, yang
terjadi pada akhir setiap periode untuk N periode dengan tingkat bunga i% per periode.
Deret yang seragam semacam ini sering kali disebut anuitas (annuity). Harus diperhatikan
bahwa rumus-rumus dan tabel-tabel yang disajikan dihitung sedemikian rupa sehingga A
terjadi pada akhir dari setiap periode, dan dengan demikian:
1. P (nilai ekivalen sekarang) terjadi satu periode bunga sebelum A yang pertama
(jumlah seragam)
2. F (nilai ekivalen yang akan datang) terjadi bersamaan dengan A terakhir dan N
periode setelah P.
3. A (nilai ekivalen tahunan) terjadi pada akhir periode 1 sampai dengan N (N
termasuk)
Hubungan waktu untuk P, A, dan F dapat diamati dalam gambar 13-2. Empat buah
rumus yang menghubungkan A dengan F dan P akan dikembangkan.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Mawardi Amin MT ESTIMASI BIAYA PROYEK
1 2 3 4 N-1 N
Gambar 13-2 Diagram Umum Arus Kas yang menghubungkan Deret Seragam (Anuitas Biasa)
dengan Nilai ekivalen Sekarang dan Nilai Ekivalen Masa Depannya.
13.2.1 Mencari F Bila A Diketahui
Jika arus kas sejumlah A dolar terjadi pada akhir dari setiap periode untuk N
periode dan tingkat bunga (laba atau pertumbuhan) i% per periode, nilai ekivalen masa
depan, F, pada akhir N periode diperoleh dengan menjumlahkan ekivalen-ekivalen masa
depan dari masing-masing arus kas. Sehingga bila disederhanakan akan menjadi :
F = A {[(1+i)N 1)] / i} ..13-5
Besaran {[(1+i)N 1)]/i} disebut cicilan atau faktor jumlah majemuk deret seragam
(uniform series compound amount factor). Nilai-nilai numerik untuk faktor ini diberikan
dalam kolom keempat dari tabel Bunga dan Anuitas untuk Pemajemukan Diskret untuk
berbagai nilai I dan N yang luas. Untuk faktor ini akan kita gunakan simbol (F/A,i%,N).
Sehingga persamaan 13-5 dapat dinyatakan sebagai :
F = A(F/A,i%,N) .13-6
Contoh 13-3
(a) Misalkan anda melakukan 15 setoran tahunan masing-masing sebesar $1.000 ke
suatu bank yang membayarkan bunga 5% per tahun. Setoran pertama akan dilakukan
satu tahun setelah hari ini. Berapakah jumlah uang yang dapat ditarik dari bank ini
segera setelah setoran yang ke-15?
Pemecahan
Nilai A adalah $1.000, N sama dengan 15 tahun, dan i = 5% per tahun. Segera setelah
pembayaran ke-15, jumlah ekivalen yang masa depannya adalah
F = $1.000 (F/A,5%,15)
F = $1.000 (21,5786) = $21.578,60
F = Nilai ekivalen di Masa Datang (Dicari)
P = Nilai ekivalen Sekarang (Dicari)
i = Tingkat bunga per periode
A = jumlah seragam (diketahui)
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Mawardi Amin MT ESTIMASI BIAYA PROYEK
Perhatikan dalam diagram arus kas di bawah bahwa nilai F bersamaan waktunya
dengan pembayaran $1.000 yang terakhir.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(b) Untuk menggambarkan lebih lanjut adalah (efek-efek menakjubkan dari bunga
majemuk, kita perhatikan kebenaran pernyataan ini. Jika anda berusia 20 tahun dan
menabung $1,00 setiap hari selama hidupnya, anda akan menjadi seorang jutawan.
Anggaplah bahwa hidup anda mencapai usia 80 tahun, dan tingkat bunga tahunan
adalah 10% (i = 10%). Dalam kondisi istimewa ini, kita hitung jumlah komponen
mendatang (F) menjadi:
F = $365 / tahun (F/A, 10%,60 tahun)
F = $365 (3.034,81) = $1.107.706
Jadi, pernyataan tersebut benar untuk asumsi-asumsi tertentu! Moral kisah ini adalah
untuk mulai menabung sejak dini dan biarkan keajaiban pekerjaan pemajemukan
muncul dengan sendirinya!
13.2.2 Mencari P Bila A Diketahui
Dari persamaan 13-1, F = P(1 + i)N , dengan menggantikan F dalam persamaan
13-5, maka persamaan menjadi :
P(1 + i)N = A {[(1+i)N 1)] / i}
Dengan membagi kedua ruas dengan (1+i)N ,
P = A {[(1+i)N 1)] / i(1 + i)N }...13-7
Jadi, Persamaan 13-7 merupakan hubungan untuk mencari nilai ekivalen saat sekarang
(sebagai awal dari periode pertama) dari suatu urutan seragam dari arus kas akhir periode
sebesar A untuk N periode. Besaran dalam kurung disebut faktor nilai sekarang deret
seragam (uniform series present worth factor). Harga-harga numerik untuk faktor ini
diberikan dalam kolom ke 5 dari tabel Bunga dan Anuitas untuk Pemajemukan Diskret
A = $1.000 per tahun
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Mawardi Amin MT ESTIMASI BIAYA PROYEK
untuk berbagai nilai I dan N yang luas. Untuk faktor ini akan kita gunakan simbol
(P/A,i%,N). Dengan demikian :
P = A (P/A,i%,N) ....13-8
Contoh 13-4
Jika suatu mesin tertentu mengalami turun mesin utama sekarang, outputnya dapat
ditingkatkan 20% - yang berarti tambahan arus kas sebesar $20.000 pada setiap akhir
tahun selama 5 tahun. Jika i = = 15% per tahun, berapakah yang mampu kita tanamkan
dalam usaha perbaikan total dari mesin ini?
Pemecahan
Penambahan arus kas sebesar $20.000 per tahun, dan berlanjut sampai 5 tahun pada
bunga per tahun 15%. Batas atas dari apa yang kita mampu belanjakan adalah:
P = $20.000(P/A,15%,5)
P = $20.000(3,3522)
P = $67.044
13.2.3 Mencari A Bila F Diketahui
Dengan mengambil Persamaan 13-5 dan mencari A, maka
A = F { i / [(1+i)N 1)] }...13-9
Jadi, Persamaan 13-9 merupakan hubungan untuk mencari jumlah A, dari arus-
arus kas deret seragam yang muncul pada akhir N periode bunga yang akan ekivalen
dengan nilai ekivalen masa depannya pada akhir dari periode terakhir. Besaran dalam
kurung disebut faktor dana tertanam (sinking fund factor). Harga-harga numerik untuk
faktor ini diberikan dalam kolom ke enam dari tabel Bunga dan Anuitas untuk
Pemajemukan Diskret untuk cakupan yang luas nilai I dan N. Akan kita gunakan simbol
fungsi (A/F,i%,N) untuk faktor ini, sehingga
A = F (A/F,i%,N) ..13-10
Contoh 13-5
Seorang mahasiswa yang bekerja merencanakan untuk memiliki total tabungan sebesar
$1.000.000 apabila dia pensiun pada usia 65.Sekarang dia berumur 20 tahun. Jika tingkat
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Mawardi Amin MT ESTIMASI BIAYA PROYEK
bunga per tahun rata-rata akan menjadi 7% selama 45 tahun yang akan datang pada
jumlah tabungan yang diinginkan, berapakah jumlah yang sama pada akhir yang setiap
tahun harus dia setorkan untuk mencapai sasarannya?
Pemecahan
Jumlah masa datang, F, adalah $1.000.000. Jumlah yang sama per tahun yang dananya
harus disisihkan oleh mahasiswa ini akan bertumbuh menjadi $1.000.000 dalam 45 tahun
pada bunga tahunan 7% adalah:
A = $1.000.000(A/F,7%,45)
P = $1.000.000(0,0035)
P = $3.500
13.2.4 Mencari A Bila P Diketahui
Dengan mengambil Persamaan 13-7 dan memecahkan A akan didapat
A = P { i(1 + i)N / [(1+i)N 1)] }...13-11
Jadi, Persamaan 13-11 merupakan hubungan untuk mencari jumlah A, dari suatu
deret seragam arus kas yang terjadi pada akhir dari masing-masing N periode bunga yang
ekivalen dengan, atau dapat dipertukarkan dengan ekivalen sekarang, P, yang terjadi
pada awal periode pertama. Besaran dalam kurung dinamakan faktor pemulihan modal
(capital recovery factor). Harga-harga numerik untuk faktor ini diberikan dalam kolom ke
tujuh dari tabel Bunga dan Anuitas untuk Pemajemukan Diskret untuk cakupan yang luas
nilai i dan N. Akan kita gunakan simbol fungsi (A/P,i%,N) untuk faktor ini, sehingga
A = P (A/P,i%,N) ..13-12
Daftar Pustaka : 1. DeGarmo Sullivan, Ekonomi Teknik Edisi Bahasa Indonesia, Jilid 1, Prentice Hall.
Inc, 1999 2. Chris Hendrickson and Tung Au, Project Management for Construction Fundamental
Concepts for Owners, Engineers, Architects and Builders, Second Edition prepared for world wide web publication in 2000