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COMPORTAMIENTO DINCOMPORTAMIENTO DINÁÁMICO DE MICO DE LOS PROCESOSLOS PROCESOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍÍAA
Facultad de IngenierFacultad de Ingenieríía Qua Quíímica y Textilmica y Textil
Curso: Curso: ““SimulaciSimulacióón y Control de Procesosn y Control de Procesos””PI426PI426
Profesor: Ing. Celso MontalvoProfesor: Ing. Celso Montalvo
2CELSO MONTALVO
Comportamiento Dinámico de losProcesos
• El comportamiento de los procesos ante el efecto de perturbaciones ó acciones externas se representapor medio de sistemas de ecuaciones diferencialesya que sus propiedades varían con el tiempo.
• Para resolver dichas ecuaciones (el modelomatemático) se usan las Transformadas de Laplace. Como resultado se obtiene una Función de Transferencia, que relaciona la Respuesta del Sistema ante una Función Forzante:
( ) ( ) ( )s s s= ⋅Y G X ( )s ss
=Y( )
GX( )
Respuesta Transitoria Función Forzante
Función deTransferencia
3CELSO MONTALVO
Comportamiento Dinámico de losProcesos
• La Función de Transferencia representa el Comportamiento Dinámico del Proceso. Estecomportamiento produce diferentesrespuestas cuantitativas según el estímulo ófunción forzante que se le aplique al proceso.
• Funciones Forzantes típicas son las siguientes:− Escalón.− Rampa.− Sinusoidal.− Pulso ó Impulso.
4CELSO MONTALVO
Pulso e Impulso
• Un Pulso es una función que a t = 0 toma un valor durante un tiempo limitado y luego su valor se hace 0.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
• Un Pulso Unitario es un pulso cuya área es igual a 1.
• Un Impulso es un pulsounitario cuya duración esigual a cero.
t
A
1/A
5CELSO MONTALVO
Descripción Matemática
• Un pulso rectangular unitarioa t=0 se representa por dos señales tipo step.
• Para un pulso unitario (de área 1) con A→0 se obtiene la Función de Dirac ó Impulso Unitario.
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−
<=
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<=+= At
A
AttGt
A
ttFtGtFtP 1
0)( 01
00)( )()()(
)()()( AtFtFtP −−=
0
F(t)
G(t)
A1/A
0 F(t)+G(t)
A1/A
( )1( ) ( ) ( ) 1sA sAP s F s e F s eAs
− −= − = −
( ))(lim)(0
tPtA→
=δ { } ( ){ } ∫∞ −
→→==δ
0 00)(lim)(lim)( dtetPtPt st
AALL
0
δ(t)
Teorema de L’Hospital
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡→→ )(
)(lim)()(lim
00 AdgAdf
AgAf
AA
{ }00 0 0
1( ) lim ( ) lim lim 1sA sA
st
A A A
e set P t e dtAs s
− −∞ −
→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−δ = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫L
1)( =δ s
6CELSO MONTALVO
Funciones Forzantes y susTransformadas
2
23
2 2
( )
Escalón
1Rampa
2Parábola
1Exponencial
Sinusoidal sin(kt)
Pulso
at
FORZANTE f t TRANSFORMADAAKs
ts
ts
es a
ks k
−
+
+
( )
(1 )
Impulso t 1
pt sp
APlsAxt es
−⋅ −
δ
7CELSO MONTALVO
Respuesta Transitoria de los Procesos
• La Respuesta Transitoria es calculada al invertir la transformada resultante del producto de la Funciónde Transferencia por la Función Forzante.
( ) ( ) ( )s s s= ⋅Y G X
• Ejemplo, para una función de primer orden y unaFunción Forzante tipo escalón:
1( ) ( )1
Ks ss sτ
= =+
G X
( )1 1( )
1 1 1K A Bs K K
s s s s s s⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥τ + τ + τ +⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Y
( )/( ) 1 tt K e− τ= −Y
8CELSO MONTALVO
Respuestas Transitorias Típicas
/1 2
1 1 [( ) ( ) ]( )( ) ( )( )
1( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1 1( ) ! ( 1) ( 1)
at btbt ct
at bt ct
n bt t an
e e s a a b e a c es a s b b a s b s c c b
e e es a s b s c b a c a c b a b a c b c
a a at e es b n s as s as
− −− −
− − −
− −+
− +− − −
+ + − + + −
+ ++ + + − − − − − −
− −+ + +
/
/2
/2
2 2 2
/ 2 22 2 2
1 .( 1)
1 sen( 1 ) para 12 1 1-
1 1 cos( 1 ) sen( 1 ) para 1( 2 1) 1
t a
t a
t
t
t ea
a e t as as
e ts s
t tes s s
ς τ
ς τ
ς ςτ ςτ ττ ς
ζς ς ςτ ςτ τ τς
−
−
−
−
+
+ −+
− − <+ +
⎡ ⎤+ − − − − <⎢ ⎥
+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦
9CELSO MONTALVO
Respuestas Transitorias Típicas
/2
2 2 2
2 /2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 sen( 1 ) donde arccos( )( 2 1) 1-
11 1 sen( 1 ) donde arctg( )( 2 1) 1-
1 sen( 1 ) donde arccos( )( 2 ) 1-
( )
t
t
t
e ts s s
e ts s s
e ts s s
ss
ς τ
ς τ
ς ω
ς φ φ ςτ ςτ τς
ςς φ φ
τ ςτ τ ςς
ω ω ς φ φ ςςω ω ς
ω
−
−
−
+ − − = −+ +
−− − + =
+ +
+ − − = −+ +
+
2 2 2 2 2 2
2 2
1 sen( )2
1 sen( ) donde arctg( )( )[( ) ] ( ) ( )
cos( ) sen( )( )
at bt
at at
t t
e e ts a s b a b a ba b
ds c c add e t e ts a
ωω
ω φ ωφω ω ω ω
ω ωω ω
− −
− −
−+ =
+ + + − + −− +
+ −⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠
10CELSO MONTALVO
Sistema Integrador
• Se llama así al proceso cuya Función de Transferencia es P/s, donde P = cte.
( ) Pss
=X
• Su respuesta a un escalón es:
( ) ( )P Ks t PK ts s
= ⋅ = ⋅G G
11CELSO MONTALVO
Sistema Capacitivo
• Por analogía con un circuito eléctrico RC se llama así al proceso donde el cambio de su propiedadrepresentativa puede representarse comoproporcional a un fuerza motriz. La constante de proporcionalidad es una resistencia:
FuerzaMotriz PropiedadAcumuladaResistencia CapacidadPropiedad FuerzaMotriz
Resistencia Capacidadτ
∆ ∆= =
∆ ∆= ⋅
• Por ejemplo, para un tanque de nivel variable:h VResistencia CapacidadQ h
FuerzaMotriz h PropiedadAcumulada VVF
τ
∆ ∆= =∆ ∆
∆ = ∆ ∆ = ∆
=
h A V
Q=h/R
F
12CELSO MONTALVO
Respuesta Inversa
• Se produce cuando el Proceso tiene dinámicavariable en el numerador.
( )( )1( )
3 1 15 1nss
s sτ +
=+ +
Y
• Según el valor de τn, la respuesta puede disminuiren vez de aumentar, al iniciar la perturbación. Un ejemplo típico es el nivelde agua en un caldero.
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Step Response
Time (sec)A
mpl
itude
( )( )1( )
3 1 15 1nss
s sτ +
=+ +
Y
13CELSO MONTALVO
TEOREMA DEL VALOR FINAL
• Si la Respuesta Transitoria de un proceso se expresa como una Función de Transferencia F(s), su valor, cuando t ∞ se expresa
como:
[ ] [ ]0
lim ( ) lim ( )t s
f t s s→∞ →
= F
• siempre que el resultado no es infinito para todo valor de S, donde la parte real de s sea ≥ 0.
• Ejemplo. Hallar el valor final de la función y(t) tal que4( )
(2 1)(3 1)s
s s s=
+ +Y
• Operando:
[ ]0
4 4lim ( ) lim ( ) 4(2 1)(3 1) (2 1)(3 1)t s
sy t s ss s s s s→∞ →
= = = =+ + + +
Y
14CELSO MONTALVO
TEOREMA DEL VALOR INICIAL
• Si la Respuesta Transitoria de un proceso se expresa como una Función de Transferencia F(s), su valor, cuando t 0 se expresa
como:
[ ] [ ]0
lim ( ) lim ( )t s
f t s s→ →∞
= F
• Ejemplo. Hallar el valor inicial de la función y(t) tal que4( )
(2 1)(3 1)s
s s s=
+ +Y
• Operando:
[ ]0
4 4lim ( ) lim ( ) 0(2 1)(3 1) (2 1)(3 1)t s
sy t s ss s s s s→ →∞
= = = =+ + + +
Y
15
¡¡FIN!FIN!
Ing. CELSO MONTALVO HURTADOIng. CELSO MONTALVO HURTADOIng. CELSO MONTALVO HURTADO
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