288 SOLUCIONARIO
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.L.
10 Integral indefinida y definida
■ Piensa y calcula
Calcula: a) y = x5, y' = b) y' = 3x2, y = c) y = e5x, y' = d) y' = e3x, y =
Solución:
a) y' = 5x4 b) y = x3 c) y' = 5e5x d) y = e3x13
1. Reglas de integración
1. ∫3(3x – 5)7 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.
+ k
2. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función racional.
– + k
3. ∫ dx
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
9 L|x + 3| + k
4. ∫ex dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
ex + k
5. ∫
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
L |x + 3| + k
6. ∫ (x2 – 4x) dx
Solución:
– 2x2 + k
7. ∫26x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
+ k
8. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
L |x2 – 1| + k
9. ∫4 dx
Solución:
+ k8x√x
3
√x
12
x dxx2 – 1
26x – 1
3 L 2
x3
3
dxx + 3
9x + 3
16(3x + 5)2
dx(3x + 5)3
(3x – 5)8
8
● Aplica la teoría
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 289
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ño, S
.L.
10. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
+ k
11. ∫6x3 dx
Solución:
+ k
12. ∫ + + dx
Solución:
– – + k
13. ∫ dx
Solución:
+ k
14. ∫2x(x2 + 1) dx
Solución:
+ x2 + k
15. ∫ dx
Solución:
– + k
16. ∫ (x3 – 6x2 + 1) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.
– 2x3 + x + k
17. ∫x(x2 + 5) dx
Solución:
+ + k
18. ∫
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
2 + k
19. ∫ex/2 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
2 ex/2 + k
20. ∫ + k
Solución:
dx
21. ∫ dx
Solución:
Se aplica la integral de una función racional.
– + k
22. ∫ (4x + 1)5 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.
+ k
23. ∫Solución:
L x + k
24. ∫3 · 23x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
+ k
25. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función racional.
– + k
26. ∫ dxex
ex – 5
16(2x – 1)3
dx(2x – 1)4
23x
L 2
dxx
(4x + 1)6
24
1(x – 3)3
3(x – 3)4
–13(x3 + 1)
x2
(x3 + 1)2
√x – 1
dx
√x – 1
5x2
2x4
4
x4
4
1(x + 3)
1(x + 3)2
x4
2
3x3√x4
3√x
1x2
1x
√x
)2x3
1x2
1
2√x(
3x4
2
√7x + 5
7 dx
2√7x + 5
290 SOLUCIONARIO
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ño, S
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Solución:
L |ex – 5| + k
27. ∫ dx
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
L |x2 – 3x + 5| + k
28. ∫2 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
+ k
29. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
arc sen 2x + k
30. ∫e–7x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
– + k
31. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
–L |1 – x| + k
32. ∫ (x4 – 2x – 5) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.
– x2 – 5x + kx5
5
dx1 – x
e–7x
7
2 dx
√1 – (2x)2
5x 5√2x3
5√2x
2x – 3x2 – 3x + 5
■ Piensa y calcula
Halla, contando, el área de la 2ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cadacuadradito es una unidad cuadrada.
Solución:
Tiene exactamente 7,5 u2
2. Integral definida Y
X
5
+2
y = x – 1
x = 5x = 2
[ ]
33. Calcula ∫2
–1(5 – x2) dx
Solución:
a) F(x) = 5x –
b) F(–1) = – , F(2) =
c) ∫2
–1(5 – x2) dx = 12 u2
34. Calcula ∫1
3
(–2x + 1) dx
Solución:Y
X1 3
223
143
x3
3
Y
X– 1 2
● Aplica la teoría
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 291
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a) F(x) = x – x2
b) F(1) = 0, F(3) = –6
c) ∫3
1(5 – x2) dx = –6 u2
35. Siendo |x| el valor absoluto o módulo de x, calcula la
integral definida ∫2
–1|x| dx
Solución:
a) ∫2
–1|x| dx = ∫
0
–1(–x) dx + ∫
2
0x dx
Sea F(x) = ∫(–x) dx
F(x) = –
F(–1) = – , F(0) = 0
∫0
–1(–x) dx = u2
G(x) = ∫x dx
G(x) =
G(0) = 0, G(2) = 2
∫2
0x dx = 2 u2
∫2
–1|x| dx = ∫
0
–1(–x) dx + ∫
2
0x dx = = 2,5 u2
36. Calcula el valor de ∫0
1
Solución:
a) F(x) = – e–x2
b) F(0) = – , F(1) = – e–1
c) ∫1
0= (1 – e–1) = 0,32 u21
2x dxex2
12
12
12
Y
X10
x dxex2
52
x2
2
12
12
x2
2
Y
X– 1 2
■ Piensa y calcula Halla por aproximación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del dibujo delmargen. Cada cuadradito es una unidad cuadrada.
Solución:
La amarilla, 5 u2 aproximadamente, y la verde 2 u2 aproximadamente.
En total, unas 7 unidades cuadradas.
3. Cálculo de áreasY
X431
y = x2 – 2x – 3
x = 1 x = 4
A1
A2
292 SOLUCIONARIO
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37. Halla el área de la región plana limitada por la gráficade f(x) = x3 – 3x2 – x + 3, el eje de abscisas y las rec-tas x = 0, x = 3
Solución:
Raíces: x1 = –1, x2 = 1, x3 = 3
∫(x3 – 3x2 – x + 3) dx = – x3 – + 3x
∫1
0(x3 – 3x2 – x + 3) dx = u2
∫3
1(x3 – 3x2 – x + 3) dx = –4 u2
Área = = 5,75 u2
38. Halla el área del recinto limitado por la recta y = 3 – 2xy la parábola y = 2x – x2
Solución:
Raíces: x1 = 1, x2 = 3
∫(–x2 + 4x – 3) dx = – + 2x2 – 3x
∫3
1(–x2 + 4x – 3) dx = u2
Área = = 1,33 u2
39. Halla el área de la región plana limitada por la gráficade y = x3 – 4x y el eje X
Solución:
Raíces: x1 = –2, x2 = 0, x3 = 2
∫(x3 – 4x) dx = – 2x2
∫0
–2(x3 – 4x) dx = 4 u2
∫2
0(x3 – 4x) dx = –4 u2
Área = 8 u2
40. Calcula el área de la región limitada por la curva
y = y las rectas y = 0, x = 2, x = 3
Solución:
Raíces: x = 0
∫ dx = L |x3 – 2|
∫3
2dx = (L 25 – L 6) u2
Área = (L 25 – L 6) = 0,48 u2
41. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Dibuja el recinto limitado por las curvas:
y = ex + 2, y = e–x, y = 0, x = –2, x = 0
b) Halla el área del recinto considerado en el aparta-do anterior.
Solución:
Raíces: x = –1
∫–1
–2ex + 2 dx = e – 1 u2
∫0
–1e–x dx = e – 1 u2
Área = 2e – 2 = 3,44 u2
Y
X–1
13
13
x2
x3 – 2
13
x2
x3 – 2
X
Y
32
x2
x3 – 2
x4
4
Y
X2
0– 2
43
43
x3
3
Y
X1
3
234
74
x2
2x4
4
Y
X0 3
1
● Aplica la teoría
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 293
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42. Dada la función, definida en los números reales salvoen x = 0
f(x) = 3 – x –
calcula el área de la región plana limitada por la gráficade f(x) y el semieje positivo X
Solución:
Raíces: x1 = 1, x2 = 2
∫ 3 – x – dx = 3x – – 2L|x|
∫2
13 – x – dx = – 2 L 2 u2
Área = – 2 L 2 = 0,11 u232
32)2
x(x2
2)2x(
X
Y
21
2x
■ Piensa y calcula
Un depósito recoge agua de un grifo a una velocidad que sigue la función f(x) = 2x, donde f(x) se expresa en litros por mi-nuto, y x, en minutos.
Calcula la integral ∫0
5
2x dx e interpreta el resultado.
Solución:
∫0
5
2x dx = 25
Se recogen 25 litros de agua en los 5 primeros minutos.
4. Aplicaciones de la integral definida
43. Se estima que el ritmo de crecimiento de un feto du-rante el embarazo viene dado por la función:
f(x) = – +
donde x se mide en semanas y f(x) en centímetrospor semana. Calcula cuánto ha crecido el feto en las30 primeras semanas.
Solución:
a) El crecimiento será:
∫0
30– + dx
b) F(x) = ∫ – + dx = – +
c) F(30) = 45; F(0) = 0
d) |F(30) – F(0)| = |45 – 0| = 45
Ha crecido 45 cm
x2
10x3
600)x5
x2
200()x
5x2
200(x5
x2
200
● Aplica la teoría
294 SOLUCIONARIO
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44. Una fábrica produce objetos de decoración. La fun-ción de ingreso marginal viene dada por:
i(x) = 5 +
donde x es el número de objetos vendidos e i(x) vie-ne dado en euros.
¿Cuál es el incremento de los ingresos obtenidoscuando se pasa de vender 100 a vender 200 objetos?
Solución:
∫200
1005 + dx = 500 + 3(L 101 – L 51) = 502,05 €
45. La función que mide el caudal que sale de un depósi-to es:
f(x) = 10 – x
donde f(x) está dado en litros por segundo, y x, ensegundos.
¿Qué cantidad de agua sale del depósito entre el se-gundo 4 y el segundo 8?
Solución:
Volumen = ∫8
4(10 – x) dx = 16 litros.
46. En un municipio se estima que el ritmo de generaciónde basura viene dado por la función:
f(x) = 10 000 · e0,5x
donde x se mide en años y f(x) en toneladas por año.Si se considera x = 0 el primer año en el que se iniciael estudio, ¿cuánta basura se generará en el municipiodurante los 5 primeros años?
Solución:
a) El crecimiento será:
∫0
5
10 000 e0,5x dx
b) F(x) = ∫10 000 e0,5x dx = 20 000 e0,5x
c) F(5) = 243 650; F(0) = 20 000
d) |F(5) – F(0)| = |243 650 – 20 000| = 223 650
Se han generado 223 650 Tm
Y
X4 8
)3x + 2(
Y
1
20
X
40 60 80 100 120 140 160 180 200
2345
3x + 2
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 295
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Ejercicios y problemas
Preguntas tipo test
PAU
Calcula la siguiente integral indefinida:
∫ x + 2
dx
– + k
x + 3
+ k
+ 10x – + k
+ L |x| + k
Sea la función f(x) = 3x2 – 6x. Si f '(x) representa suderivada, encuentra una primitiva F(x) de f(x) queverifique F(2) = f '(3)
x3 – 3x2 + 5 x3 – 3x2 + 16
x3 – 3x2 + 13 x3 – 3x2
Calcula el área de la región plana acotada limitada porlas gráficas de las funciones reales de variable real:
f(x) = x2 – x; g(x) = 1 – x2
4/3 u2 8/9 u2
8/3 u2 9/8 u2
Dada la función:
f(x) =
calcula el área del recinto limitado por los ejes decoordenadas y la gráfica de la función.
2/3 u2
1/3 u2
1 u2
No se puede calcular el área porque la funciónes discontinua en x = 0
Dada la función:
f(x) =
calcula el área limitada por la gráfica de la funcióny = f (x), las rectas x = –3, x = 2 y el eje de abscisas.
31/3 u2
11/3 u2
35/3 u2
No se puede calcular el área porque la funciónes discontinua en x = –3
Calcula el área de la región limitada por la parábolay = x2 y la recta y = –x + 2
9 u2
3 u2
21/2 u2
9/2 u2
Dada la función f(x) = –x3 – 2x2 + 3x, calcula el áreaencerrada por la gráfica de la función f(x) y por eleje OX
32/3 u2
71/6 u2
45/4 u2
7/12 u2
Una alfombra de flores lleva 21 rosas por cada 4 dm2
de superficie. Se quiere rellenar de rosas una partede la alfombra cuya gráfica está limitada por las fun-ciones:
y = –x2 + 4x + 3 ; y = 3
Si se mide en metros y cada rosa cuesta 0,3 €,¿cuánto cuesta rellenar esa parte de la alfombra?
1 680 €
3 570 €
840 €
1 890 €
Sea la función f(x) = 3x2 – 6x. Calcula el área limita-da por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3
8 u2
4 u2
6 u2
2 u2
Halla el área limitada por la recta y = –4x + 4 y laparte positiva de los ejes de coordenadas.
2 u2 4 u2
1/2 u2 8 u2
✘
10
✘
9
✘
8
✘
7
✘
6
✘
2 si x Ì –3x2 si –3 < x < 11 si x Ó 1
°§¢§£
5
✘
x2 – 1 si x Ì 0(x – 1)2 si x > 0
°¢£
4
✘
3
✘
2
x4
4
25x
x3
3✘
)5x(1
3
x4
4x4
4
)5x(
1
Contesta en tu cuaderno:
296 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
1. Reglas de integración
47. ∫4(4x – 1)5 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.
+ k
48. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función racional.
– + k
49. ∫ (2x + 7)2 dx
Solución:
+ k
50. ∫e– x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
–e–x + k
51. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
L |x – 1| + k
52. ∫ dx
Solución:
– + k
53. ∫2– 4x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
– + k
54. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
L |x2 + 9| + k
55. ∫ dx
Solución:
+ k
56. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
2 + k
57. ∫ dx
Solución:
2 + k
58. ∫ dx
Solución:
+ k
59. ∫e4x – 7 dx
Solución:
+ k
60. ∫ (5 – 2x)4 dx
Solución:
– + k
61. ∫ – + dx
Solución:
– + + + kL |x2 + 3|
23
2x21x
)xx2 + 3
3x3
1x2(
(5 – 2x)5
10
e4x – 7
4
3 L |x2 – 5|2
3xx2 – 5
√x2 – 1
2x
√x2 – 1
√3x
3 dx
√3x
–3x – 9
3(x – 9)2
12
x dxx2 + 9
2–4x
4 L 2
52x2
5x3
dxx – 1
(2x + 7)3
6
14(x – 1)4
dx(x – 1)5
(4x – 1)6
6
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 297
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62. ∫ (10x4 + 2x3 – x – 1) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.
2x5 + – – x + k
63. ∫x(x + 1)2 dx
Solución:
x4 + x3 + x2 + k
64. ∫ dx
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
+ k
65. ∫ex/3 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
3ex/3 + k
66. ∫ dx
Solución:
x2 – 3x + L |x| + k
67. ∫ 3x2 + 1 – + dx
Solución:
Se aplica la integral de las operaciones.
x3 + x – L |x + 2| – + k
68. ∫ (2x – 1)3 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.
+ k
69. ∫3xex2 dx
Solución:
+ k
70. ∫5 · 7– 5x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
– + k
71. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función racional.
– + k
72. ∫ (2x + e5x) dx
Solución:
x2 + + k
73. ∫ dx
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
L |x3 + 5x – 1| + k
74. ∫ x + dx
Solución:
+ L |x| + k
75. ∫ (x + 1)3 dx
Solución:
+ k(x + 1)4
4
x2
2
)1x(
3x2 + 5x3 + 5x – 1
e5x
5
1x + 7
dx(x + 7)2
7–5x
L 7
3ex2
2
(2x – 1)4
8
2x4
)8x5
1x + 2(
12
x2 – 3x + 1x
5x 5√x3
8
5√x3
12
23
14
x2
2x4
2
298 SOLUCIONARIO
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ño, S
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Ejercicios y problemas
76. ∫ dx
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
+ k
77. ∫23x dx
Solución:
+ k
78. ∫2x dx
Solución:
+ k
79. ∫e5x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
+ k
80. ∫Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
L |5x + 4| + k
81. ∫ (6x2 – x + 2) dx
Solución:
2x3 – x2 + 2x + k
82. ∫x3x2 dx
Solución:
+ k
83. ∫xe–x2 dx
Solución:
– + k
84. ∫ dx
Solución:
2 L |x + 1| + k
85. ∫ x3 + x2 – 8x + 1 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.
+ – 4x2 + x + k
86. ∫ (x + ) dx
Solución:
+ + k
2. Integral definida
87. Calcula ∫2
5( + 1) dx
Solución:
a) F(x) = + x
b) F(2) = 3, F(5) =
c) ∫5
2+ 1 dx = = 8,25 u2
88. Calcula ∫1
3
(x2 – 2x – 4) dx
334)x
2(454
x2
4
Y
2 5
X
x2
2x√x3
x2
2
√x
x3
4x4
4
)34(
2x + 1
e–x2
2
3x2
2 L 3
12
5 dx5x + 4
e5x
5
3(x2 – 1) 3√x2 – 1
4
3√x2 – 1
23x
3 L 2
3(5x + 1) 3√5x + 1
20
3√5x + 1
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 299
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Solución:
a) F(x) = – x2 – 4x
b) F(1) = – , F(3) = –12
c) ∫3
1(x2 – 2x – 4) dx = – = –7,33 u2
El área es negativa porque el recinto está debajo del eje X
89. Sea f : � 8 � la función definida por f(x) = |x2 – 1|
a) Esboza la gráfica de f
b) Calcula ∫0
2
f(x) dx
Solución:
∫2
0|x2 – 1| dx = ∫
1
0(–x2 + 1) dx + ∫
2
1(x2 – 1) dx
Sea F(x) = ∫(–x2 + 1) dx
F(x) = – + x
F(0) = 0, F(1) =
∫1
0(–x2 + 1) dx = u2
G(x) = ∫(x2 – 1) dx
G(x) = – x
G(1) = – , G(2) =
∫2
1(x2 – 1) dx = u2
∫2
0|x2 – 1| dx = ∫
1
0(–x2 + 1) dx + ∫
2
1(x2 – 1) dx = 2 u2
90. Calcula ∫0
e
1 + dx
Solución:
a) F(x) = x + L|x|
b) F(e) = e + 1; F(1) = 1
c) ∫0
e
1 + dx = F(e) – F(1) = e
3. Cálculo de áreas
91. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica def(x) = x3 – 4x, el eje de abscisas y las rectas x = –1,x = 2
Solución:
Raíces: x1 = –2, x2 = 0, x3 = 2
∫(x3 – 4x) dx = – 2x2
∫0
–1(x3 – 4x) dx = u2
∫2
0(x3 – 4x) dx = –4 u2
Área = = 5,75 u2
92. Halla el área del recinto limitado por las gráficas de lasfunciones
y = 2 – x4 y = x2
Solución:
Raíces: x1 = –1, x2 = 1
∫(–x4 – x2 + 2) dx = – – + 2xx3
3x5
5
Y
X1–1
234
74
x4
4
Y
X2
0–1
)1x(
)1x(
43
23
23
x3
3
23
23
x3
3
Y
X0 1 2
223
143
x3
3
Y
X31
300 SOLUCIONARIO
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rupo
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l Bru
ño, S
.L.
Ejercicios y problemas
∫1
–1(–x4 – x2 + 2) dx = u2
Área = = 2,93 u2
93. Dada la función f(x) = 4 – x2, calcula el área encerradaentre la gráfica f(x) y el eje de abscisas.
Solución:
Raíces: x1 = –2, x2 = 2
∫(4 – x2) dx = 4x –
∫2
–2(4 – x2) dx = u2
Área = = 10,67 u2
94. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de lafunción f(x) = –4x3 + 5, el eje de abscisas, la rectax = –1 y la recta x = 1
Solución:
Raíces: x = = 1,08
∫(–4x3 + 5) dx = –x4 + 5x
∫1
–1(–4x3 + 5) dx = 10 u2
Área = 10 u2
4. Aplicaciones de la integral definida
95. El caudal de un grifo viene dado por la función:
f(x) = 1 + 2x
donde x se mide en minutos y f(x) en litros por minuto.
a) Escribe la función que expresa la cantidad de aguaque arroja el grifo al cabo de x minutos.
b) ¿Cuánta agua arroja el grifo durante la quinta hora?
Solución:
La función será:
a) F(x) = ∫(1 + 2x) dx = x + x2
∫4
5
(1 + 2x) dx
b) F(5) = 30; F(4) = 20
c) |F(5) – F(4)| = 10
El grifo ha arrojado 10 litros.
96. La función de ingreso marginal de un producto, en mi-llones de euros, es:
i(x) = 15 – 2x
donde x es el número de unidades vendidas en miles.
a) ¿Qué ingreso se obtiene por la venta de 2 000 uni-dades?
b) ¿Cuál es el ingreso adicional al pasar de 2 000 a 3 000unidades vendidas?
Solución:
∫2
0(15 – 2x) dx = 26 millones de euros.
∫3
2(15 – 2x) dx = 10 millones de euros.
97. Dos hermanos heredan una parcela que han de repartir-se. La parcela es la región plana limitada por la curva
y = y la recta y = (x – 1)
Calcula el área de la parcela.
Solución:
Área = ∫5
1( – ) dx = = 1,33 u24
3x – 1
2√x – 1
Y
X1 5
12√x – 1
3√102
Y
X1–1
323
323
x3
3
Y
X2–2
4415
4415
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 301
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rupo
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98. Calcula tres primitivas de la función:
y = x
Represéntalas. ¿En qué se parecen?
Solución:
y =
y = + 1
y = – 3
Todas las curvas tienen en común que son traslaciones ver-ticales de la integral sin constante.
99. Dada la función:
y = – x + 1
a) calcula su integral indefinida.
b) halla la primitiva que pasa por el punto P(4, – 1)
c) dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en elapartado anterior.
Solución:
a) ∫ (–x + 1)dx = – + x + k
b) – + 4 + k = –1
k = 3
y = – + x + 3
c)
100. Calcula la integral de la función:
f(x) = x3 – 4x
Solución:
Es la integral de un polinomio.
– 2x2 + k
101. ∫ dx
Solución:
+ k
102. ∫ + 3x2 dx
Solución:
L |x| + x3 + k
103. Calcula la integral de la función:
y = ex + 2
Solución:
Es la integral de una función exponencial.
ex + 2 + k
104. ∫ dx
Solución:
– L |x| – + k
105. ∫ x + dx
Solución:
– + k
106. Calcula la integral de la función:
f(x) =
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
(x – 1) + k√x – 123
√x – 1
1x
x2
2
)1x2(
2x
x2
2
)x3 – x + 2x2(
)1x(
–12e2x
1e2x
x4
4
Y
X
x2
2
42
2
x2
2
Y
X
x2
2
x2
2
x2
2
Para ampliar
107. Calcula ∫0
3
dx
Solución:
a) F(x) = L |x + 1|
b) F(0) = 0, F(3) = L 4
c) ∫3
0dx = L 4 = 1,39 u2
108. Sea la función f(x) = 2x3 + bx2 + ax – 5
a) Halla los valores de a y b, de forma que f(x) tengaun máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2
b) Halla el área de la región limitada por la gráfica f(x) yel eje X entre x = 0 y x = 3
Solución:
a) f '(x) = 6x2 + 2bx + a
En los puntos en los que tiene el máximo y el mínimo,la primera derivada se anula.
Se obtiene el sistema:
ò a = 12, b = –9
y = 2x3 – 9x2 + 12x – 5
b) Raíces: x1 = 1, x2 =
• F(x) = – 3x3 + 6x2 – 5x
• F(0) = 0, F(1) = – , F(5/2) = – , F(3) = –
• Área = = 3,19 u2
109. Sea la función f(x) = 3x – x3
Halla el área de la región limitada por el eje X y dichafunción.
Solución:
Raíces: x1 = – , x2 = 0, x3 =
a) F(x) = – +
b) F(– ) = , F(0) = 0, F( ) =
c) Área = = 4,5 u2
110. Considera las funciones f, g : � 8 � definidas por:
f(x) = 6 – x2, g(x) = |x|, x é�
a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas f y g
b) Calcula el área del recinto descrito en el apartadoanterior.
Solución:
a) Dibujo:
b) Raíces: x1 = –2, x2 = 2
∫0
–2(6 – x2 + x) dx =
∫2
0(6 – x2 – x) dx =
Área = = 14,67 u2
111. Calcula el valor de a, positivo, para que el área encerra-da entre la curva y = ax – x2 y el eje de abscisas sea 36.Representa la curva que se obtienen para dicho valorde a
443
223
223
Y
X2–2
92
94√3
94√3
3x2
2x4
4
Y
X0– √
—3
√—3
√3√3
5116
32
7532
32
x4
2
Y
X13
5–2
52
°¢£
a + 2b + 6 = 0a + 4b + 24 = 0
1x + 1
Y
X3
1x + 1
302 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 303
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Solución:
ax – x2 = 0 ò x = 0, x = a
∫a
0(ax – x2) dx = 36 ò a = 6
y = 6x – x2
112. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Dibuja la región limitada por la curva de ecuacióny = x(3 – x) y la recta de ecuación y = 2x – 2
b) Halla el área de la región descrita en el apartado an-terior.
Solución:
a) Gráfica:
b) Raíces: x1 = –1, x2 = 2
Área = ∫2
–1(–x2 + x + 2) dx = = 4,5 u2
113. Halla los valores de m para que el área de la región li-mitada por la parábola y2 = x y la recta y = mx sea 1
Solución:
Raíces: x1 = 0, x2 =
∫ 0
1/m2
( – mx) = 1
m =
114. Calcula el área de la región limitada por la curva y = ex
y las rectas x = 0 y x = 2
Solución:
a) ∫ex dx = ex
b) F(2) = e2; F(0) = 1
c) Área = ∫0
2ex dx = |F(2) – F(0)| = e2 – 1 u2
115. Halla el valor del parámetro a sabiendo que el área li-mitada por la gráfica de la parábola y = x2 – ax y el
eje X es
Solución:
x2 – ax = 0 ò x = 0, x = a
∫a
0(x2 – ax) dx =
|a3| = 64
a = 4
a = –4
323||
323
Y
X2
2
3√62
6
√x
Y
X1—
m2
1m2
94
Y
X2
–1
Y
X0 6
304 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
116. Calcula tres primitivas de la función:
y = – x
Represéntalas. ¿En qué se parecen?
Solución:
y = –
y = – + 3
y = – – 1
Todas las curvas tienen en común que son traslaciones ver-ticales de la integral sin constante.
117. Dada la función: y = ex
a) calcula su integral indefinida.
b) halla la primitiva que pasa por el punto P(1, 1)
c) dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en elapartado anterior.
Solución:
a) ∫ ex dx = ex + k
b) e1 + k = 1 ò k = 1 – e ò y = ex + 1 – e
c)
118. Calcula la integral de la función:
f(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x
Solución:
Es la integral de un polinomio.
– x4 + + 3x2 + k
119. Calcula la integral de la función:
f(x) =
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
La descomposición es:
x – 3 +
La integral es:
– 3x + 2 L |x| + kx2
2
2x
x2 – 3x + 2x
x3
3x5
5
Y
X
Y
X
x2
2
x2
2
x2
2
Problemas
Y
X40
Y
X0– 4
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 305
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120. Calcula la integral de la función:
y = e– x
Solución:
Es la integral de una función exponencial.
–e–x + k
121. La recta que pasa por los puntos (0, – 6) y (1, 0) (obser-va el dibujo) es la gráfica de la función derivada segundaf’’ de una cierta función f: � 8 �. Se sabe que el origenpertenece a la curva y = f(x) y que en ese punto la rec-ta tangente tiene pendiente igual a 3. Determina unaexpresión de la función f
Solución:
f "(x) = 6x – 6
f '(x) = 3x2 – 6x + k1
f '(0) = 3 ò k1 = 3
f '(x) = 3x2 – 6x + 3
f(x) = x3 – 3x2 + 3x + k2
f (0) = 0 ò k2 = 0
f(x) = x3 – 3x2 + 3x
122. Se considera la función real de variable real definida por:
f(x) =
Calcula el valor de a > 0 para el cual se verifica la igual-
dad ∫0
a
f(x) dx = 1
Solución:
∫a
0dx = L (a2 + 1)
Se resuelve la ecuación y se toma a > 0:
L (a2 + 1) = 1 ò a =
123. Calcula el valor de a > 0 para que ∫0
a
dx = 3
Solución:
∫a
0= L (a + 1)
L (a + 1) = 3 ò a = e3 – 1
124. Se consideran las funciones f(x) = x2 – 2x + 3,g(x) = ax2 + b
a) Calcula a y b para que las gráficas f(x) y g(x) seantangentes en el punto de abscisa x = 2
b) Para los mismos valores de a y b, halla el área limita-da por las gráficas de las funciones y el eje vertical Y
Solución:
a) a = , b = 1
b) Área:
∫2
0dx = = 1,33 u24
3x2 – 4x + 4
2
X
Y
0 2
12
Y
2
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
4 6 8 10 12 14 16 18 20
X
dxx + 1
1x + 1
Y
0,5
0,5
1
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
X
√e2 – 112
12
xx2 + 1
xx2 + 1
Y
X
Y
Xy = f ''(x)
306 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas125. Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b, g(x) = –x2 + c
a) Determínense a, b y c sabiendo que las gráficas deambas funciones se cortan en los puntos (–2, –3) y(1, 0)
b) Calcula el área de la región limitada por las gráficasf(x) y g(x)
Solución:
a) f(x) = x2 + 2x – 3, g(x) = –x2 + 1
b) Área:
Área = ∫1
–2(–2x2 – 2x + 4) dx = 9 u2
126. Halla el área del recinto delimitado por la curvay = x2 + 4x + 5 y la recta y = 5
Solución:
Área = ∫0
–4(–x2 – 4x) dx = = 10,67 u2
127. Sea la función f(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x
Calcula el área determinada por la gráfica f(x), el eje ho-rizontal y las rectas x = –1 y x = 2
Solución:
Raíces: x1 = –1, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 3
a) F(x) = – x4 + + 3x2
b) F(–1) = , F(0) = 0, F(2) =
c) Área = = 6,53 u2
128. Se quiere dividir la región plana encerrada entre la pará-bola y = x2 y la recta y = 1 en dos regiones de igual áreamediante una recta y = a. Halla el valor de a
Solución:
Aplicando el cálculo integral, se tiene:
∫1
–1(1 – x2) dx = u2
Si y = a, y = x2
x2 = a ò x1 = – , x2 =
La mitad de es
∫0
√–a
(a – x2) dx =
= ò a =
129. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivosde coordenadas y las curvas:
y = x2 + 1, y = e y = x – 1
b) Halla el área del recinto considerado en el apartadoanterior.
Solución:
a) Recinto:
b) Área del recinto.
∫1
0(x2 + 1) dx =
43
Y
X210
2x
3√22
13
2a√a3
13
23
43
√a√a
43
Y
X
9815
7615
2215
x3
3x5
5
Y
X– 1 320
323
X
Y
– 4 0
X
Y
– 2
1
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 307
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∫2
1– x + 1 dx = – + L 4
Área = + L 4 = 2,22 u2
130. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Dibuja el recinto limitado por la curva y = ,
la recta tangente a esta curva en el punto de abscisax = 1 y el eje de abscisas.
b) Calcula el área del recinto considerado en el aparta-do anterior.
Solución:
a) Recta tangente:
y =
b) Área del recinto.
∫3
1– dx =
∫5
3dx = 1
Área = = 1,67 u2
131. De la función f : � 8 � definida por:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un
punto de inflexión en (0, 0) y que: ∫0
1
f(x) dx =
Calcula a, b, c y d
Solución:
Si tiene un máximo relativo en x = 1, la primera derivadase anula para x = 1
3a + 2b + c = 0
Si tiene un punto de inflexión en (0, 0), pasa por ese pun-to; por tanto, d = 0 y la segunda derivada se anula en x = 0
b = 0
De donde se obtiene: c = –3a
La función es:
f(x) = ax3 – 3ax
∫1
0(ax3 – 3ax) dx =
– =
a = –1
f(x) = –x3 + 3x
Para profundizar
132. La recta de ecuación 3x – y + 2 = 0 es tangente a la pa-rábola de ecuación y = ax2 + c en el punto P(1, 5)
a) Calcula las constantes a y c de la ecuación de la pará-bola describiendo el procedimiento que sigas.
b) Dibuja la región plana limitada por el eje Y, la parábo-la y la recta tangente.
c) Calcula el área de la región descrita en el apartadoanterior.
Solución:
a) La pendiente de la recta es m = 3
La derivada de la parábola es y' = 2ax
Por tanto, para x = 1 ò 2a = 3 ò a =
Si la parábola pasa por el punto P(1, 5), se deduce que
c =
b) Dibujo:
c) ∫1
0+ – 3x – 2 dx =
Área = = 0,5 u212
12)7
23x2
2(
Y
X0 1
72
32
Y
X0 1
54
5a4
54
54
53
5 – x2
23)9 – x2
45 – x
2(
Y
X
1 3 5
5 – x2
9 – x2
4
56
12)2
x(
308 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas133. La figura siguiente representa la gráfica de una función
f : [0, 7] 8 �
Sea F : [0, 7] 8 � la función definida por:
F(x) = ∫0
x
f(t) dt
a) Calcula F(4) y F(7)
b) Dibuja la gráfica F(x) explicando cómo lo haces.
Solución:
a) F(4) es el área comprendida entre el eje X y la funciónen el intervalo [0, 4], F(4) = 4 u2
F(7) se obtiene como F(4), pero hay media unidad máspositiva y una y media negativa, F(7) = 3 u2
La fórmula de F(x) es:
• En el intervalo [0, 4] es:
f(t) = 1 ò F(x) = x
• En el intervalo [4, 6] es:
f(t) = –x + 5 ò F(x) = – + 5x + k1
con la condición de que debe pasar por el puntoP(4, 4). De donde se obtiene que k1 = –8
F(x) = – + 5x – 8
• En el intervalo [6, 7] es:
f(t) = –1 ò F(x) = –x + k2
con la condición de que debe pasar por el puntoP(6, 4). De donde se obtiene que k2 = 10
F(x) = –x + 10
F(x) =
b)
134. Halla la recta tangente a la curva de ecuación y = x3 – 3xen el punto de abscisa x = –1
Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y lacurva dada, y calcula su área.
Solución:
La recta tangente en el punto de abscisa x = –1 es y = 2
∫2
–1(2 – x3 + 3x) dx =
Área = = 6,75 u2
135. Calcula el área de la región limitada por las curvas y = ex,y = e–x y la recta x = 1
Solución:
∫1
0(ex – e–x) dx = e + – 2
Área = e + – 2 = 1,09 u2
136. En la figura aparece una curva que representa una fun-ción polinómica de grado 2. Los puntos de intersecciónde la curva con el eje X son el A(1, 0) y el B(3, 0).Ade-más, el área limitada por la curva y los dos ejes coor-denados vale 4/3. Halla la expresión de dicha función.
Solución:
f(x) = a(x – 1)(x – 3)
f(x) = a(x2 – 4x + 3)
a∫1
0(x2 – 4x + 3) dx = – ò a = –1
f(x) = –x2 + 4x – 3
43
Y
X
1e
1e
Y
X10
274
274
Y
X2–1
Y
X
x si 0 Ì x Ì 4x2
– — + 5x – 8 si 4 < x < 62
–x + 10 si 6 Ì x Ì 7
°§§¢§§£
x2
2
x2
2
Y
X
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 309
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137. Dibujar con la mayor exactitud posible las gráficas delas funciones f(x) = 3x2 – 6x y g(x) = –x2 + 6x – 8. Re-presenta el recinto limitado por ambas funciones y ob-tén su área.
Solución:
Raíces: x1 = 1, x2 = 2
∫2
1(–4x2 + 12x – 8) dx =
Área = = 0,67 u2
138. Representa gráficamente el recinto plano limitado porla curva y = x3 – x y su recta tangente en el punto deabscisa x = 1. Calcula su área.
Solución:
La ecuación de la recta tangente en el punto P(1, 0) es:y = 2x – 2
∫1
–2(x3 – 3x + 2) dx =
Área = = 6,75 u2
139. Determina el área comprendida entre las curvas y = x2,y = y la recta que pasa por los puntos A(2, 4) yB(4, 2)
Solución:
Raíces: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4
∫ 1
2(x2 – ) dx = 3 –
∫ 2
4(6 – x – ) dx = +
Área = = 3,67 u2
140. Calcula el valor de a > 0 para que:
∫0
3
dx = 5
Solución:
∫ 0
3
dx = L (3 + a) – L a = L
L = 5 ò = e5 ò a =
141. Se consideran las curvas y = x2 e y = a, donde a es unnúmero real comprendido entre 0 y 1(0 < a < 1).Ambascurvas se cortan en el punto (x0, y0) con abscisa positi-va. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambascurvas desde x = 0 hasta x = x0 es igual a la encerradaentre ellas desde x = x0 hasta x = 1
Solución:
Al punto (x0, y0) se le puede llamar ( , a)
∫ 0
√–a
(a – x2) dx = ∫1
√–a(x2 – a) dx
a = a – a +
a =
142. Considera la función f : � 8 � definida por:
f(x) = 2 + x – x2
Calcula a, a < 2, de forma que ∫a
2
f(x) dx = 92
13
13√a
23√a
23
√a
Y
X
0,2
0,2
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
0,40,60,81,0
3e5 – 1
3 + aa
3 + aa
3 + aa
1x + a
1x + a
113
23
4√23√x
4√23
√x
X
Y
1 2 4
√x
274
274
Y
X1
–2
23
23
Y
X12
310 SOLUCIONARIO
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rupo
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toria
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ño, S
.L.
Ejercicios y problemas
Solución:
∫2
a(2 + x + x2) dx =
– – 2a + = ò a = –1, a =
El valor a < 2 es a = –1
143. De la gráfica de la función polinómica f : � 8 � dadapor:
f(x) = x3 + ax2 + bx + c
se conocen los siguientes datos: que pasa por el origende coordenadas y que en los puntos de abscisas 1 y –3tiene tangentes paralelas a la bisectriz del segundo ycuarto cuadrantes.
a) Calcula a, b y c
b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la funciónf(x) y el eje de abscisas, y calcula su área.
Solución:
a) a = 3, b = –10, c = 0
f(x) = x3 + 3x2 – 10x
b) Dibujo:
Raíces: x1 = –5, x2 = 0, x3 = 2
F(x) = + x3 – 5x2
F(–5) = – , F(0) = 0, F(2) = –8
Área = = 101,75 u2
144. Determina una constante positiva a sabiendo que la figu-ra plana limitada por la parábola y = 3ax2 + 2x, la rectay = 0 y la recta x = a tiene área (a2 – 1)2
Solución:
La parábola pasa por el origen de coordenadas.
∫a
0(3ax2 + 2x) dx = a4 + a2
Por tanto:
a4 + a2 = (a2 – 1)2
Resolviendo esta ecuación, se obtiene:
a = , a = –
Solo se toma el resultado positivo, como indica el enun-ciado del problema.
√33
√33
Y
aX
4074
3754
x4
4
Y
1
10
20
30
2 3– 3 – 2 – 1– 6 – 5 – 4
X
72
92
103
a2
2a3
3
92
Y
X–1 2
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 311
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149. ∫ (x3 – 6x2 + 1) dx
150. ∫ dx
151. ∫ dx
152. ∫5 · 75x dx
153. ∫ dx
154. ∫ (ex/5 + x2) dx
Solución:
Solución:
1(x + 3)2
Solución:
Solución:
1(3x + 5)2
Solución:
5x3
Solución:
Windows Derive Linux/Windows
145. Calcula la siguiente integral indefinida:
∫ (e5x + x2) dx
146. Calcula la integral:
F(x) = ∫ (2x – 5) dx
Halla la primitiva que pase por el punto P(4, 3).Representa la primitiva obtenida para comprobarque pasa por dicho punto.
147. Dibuja y calcula el área del recinto limitado por eleje X y la función f(x) = x2 – 2x – 3 en el intervalo[1, 4]
148. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemáticas, curso y tema.
Solución:Resuelto en el libro del alumnado.
Solución:Resuelto en el libro del alumnado.
Solución:Resuelto en el libro del alumnado.
Paso a paso
Practica
312 SOLUCIONARIO
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155. Calcula la integral: F(x) = ∫ (3x2 – 4x – 1) dx
Halla la primitiva que pase por el punto P(2, 1).Representa la primitiva obtenida para comprobarque pasa por dicho punto.
156. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la si-guiente integral definida.
∫25(x – 1) dx
Observa y justifica el signo del valor obtenido.
157. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la si-guiente integral definida.
∫14(x2 – 6x + 4) dx
Observa y justifica el signo del valor obtenido.
Solución:
Solución:
Solución:
Linux/Windows
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 313
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158. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la si-guiente integral definida.
∫4
–4|x| dx
159. Dibuja el recinto limitado por las siguientes fun-ciones y calcula su área.
f(x) = 4 – x2 g(x) = 2x + 1
Solución:
Solución:
Windows Derive
314 SOLUCIONARIO
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160. Dibuja y calcula el área del recinto limitado por eleje X y la función:
f(x) = –x3 + x2 + 2x
161. Una fábrica produce chips para ordenadores. Lafunción de ingreso marginal viene dada por:
i(x) = 3 +
donde x es el número de chips vendidos e i(x) vie-ne dado en euros. Si vende 10 000 unidades, ¿cuá-les son los ingresos obtenidos?Dibuja la región correspondiente a los ingresos ob-tenidos.
Solución:
2x + 1
Solución:
Linux/Windows
TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 315
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162. Calcula el área encerrada por las funciones:f(x) = x3 + 3x2, g(x) = x + 3
163. En una ciudad de 500 000 habitantes, se estimaque la velocidad de enfermos por día que hay enuna epidemia de gripe sigue la función:
f(x) = 2x + 20donde x se mide en días y f(x) en miles de personascada día.Calcula el número de personas que enfermarán en-tre el segundo día y el quinto día.
Solución:
Solución:
Windows Derive
316 SOLUCIONARIO
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164. El ritmo de crecimiento de una determinada po-blación de peces viene dado por la función:
f(x) = –x2 + 2x + 8donde x se mide en meses y f(x) en miles de pecespor cada mes.Calcula el crecimiento de peces en los tres prime-ros meses.
165. Se estima que el ritmo de crecimiento de un fetodurante el embarazo viene dado por la función:
f(x) = – +
donde x se mide en semanas y f(x) en centímetrospor semana. Calcula cuánto ha crecido el feto enlas 30 primeras semanas.
Solución:
x5
x2
200
Solución:
Linux/Windows
BLOQUE II. ANÁLISIS 317
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Problemas propuestos1. Dada la función f(x) = 4 – 3x2 + x3, determina:
a) la monotonía y la curvatura de f(x)
b) los puntos donde la función alcanza sus extremos rela-tivos.
c) la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en elpunto de abscisa x = –1
Solución:
a) Se calculan la 1ª derivada para estudiar la monotonía yla 2ª derivada para la curvatura:
f '(x) = –6x + 3x2
f ''(x) = –6 + 6x
Estudio de la monotonía:
f '(x) = 0 ò 3x2 – 6x = 0 ò 3x(x – 2) = 0 ò x = 0, x = 2
Si x = 0 ò f(0) = 4 – 3 · 02 + 03 = 4 ò A(0, 4)
Si x = 2 ò f(0) = 4 – 3 · 22 + 23 = 0 ò B(2, 0)
x = 1 ò f '(1) = 3 · 12 – 6 · 1 = 3 – 6 = –3 < 0 (–)
Creciente ( ): (–@, 0) « (2, +@)
Decreciente: ( ): (0, 2)
Estudio de la curvatura:
f ''(x) = 0 ò 6x – 6 = 0 ò x = 1
Si x = 1 ò f(1) = 4 – 3 · 12 + 13 = 2 ò C(1, 2)
x = 0 ò f ''(0) = 6 · 0 – 6 = – 6 < 0 (–)
Convexa («): (1, +@)
Cóncava (»): (–@, 1)
b) Extremos relativos
f ''(0) = 6 · 0 – 6 = –6 < 0 (–) ò A(0, 4) es un máxi-mo relativo
f ''(2) = 6 · 2 – 6 = 6 > 0 (+) ò B(2, 0) es un mínimorelativo
c) Ecuación recta tangente
Si x = –1 ò f(–1) = 4 – 3 · (–1)2 + (–1)3 = 0 ò P(–1, 0)
f '(–1) = 3(–1)2 – 6(–1) = 9
La recta tangente es:
y – 0 = 9(x + 1) ò y = 9x + 9
2. Dada la función:
f(x) =
a) halla el valor de k para que la gráfica sea continua parax = –1
b) para ese valor de k, dibuja la gráfica.
c) calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f yel eje de abscisas.
Solución:
a) f(x) =
La función está definida por cuatro funciones polinómi-cas que son continuas en todo �. Los únicos puntos enlos que puede haber problemas son los valores en losque cambia la definición. En concreto, x = –1, x = 1
Para que sea continua los límites laterales deben coin-cidir y ser iguales al valor de la función.
En x = –1
f(–1) = 1
f(x) = (x + 2) = 1ò k = 1
f(x) = k = k
En x = 1
f(1) = 1
f(x) = k = kò k = 1
f(x) = (x – 2)2 = 1
Para k = 1 la función es continua.
b)
c)
f(x) = 0 ï x = –2, x = 2
F(x) =
x2–— – 2x si x Ì –2
2x2— + 2x si –2 < x Ì –12
x si –1 < x < 1x3— – 2x2 + 4x si x Ó 13
°§§§¢§§§£
Y
X
Y
X
límx8 1+
límx8 1+
°§¢§£
límx8 1–
límx8 1–
límx8 –1+
límx8 –1+
°§¢§£
límx8 –1–
límx8 –1–
–x – 2 si x Ì –2x + 2 si –2 < x Ì –1k si –1 < x < 1(x – 2)2 si x Ó 1
°§§¢§§£
|x + 2| si x Ì –1k si –1 < x < 1(x – 2)2 si x Ó 1
°§¢§£
x 0 1
f '(x) – +
x 0 2
f '(x) + – +
PAU
318 SOLUCIONARIO
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Problemas propuestos
A1 = ∫–2
–1
(x + 2) dx = |F(–1) – F(–2)| =
A2 = ∫–1
1
dx = |F(1) – F(–1)| = 2
A3 = ∫1
2
(x – 2)2 dx = |F(2) – F(1)| =
A = + 2 + = u2
3. a) Si f ' es la derivada de la función dada por
f(x) = 2x3 – 6x2 + (x ? 0), calcula f '(–2)
b) Dibuja la función f(x) = 2x3 – 6x2. Obtén el área que li-mitan la curva y el eje X entre x = 2 y x = 4
Solución:
a) f '(x) = 6x2 – 12x –
f '(–2) =
b)
f(x) = 0 ò x = 0, x = 3
F(x) = ∫(2x3 – 6x2) dx = x4 – 2x3
F(2) = –8; F(3) = – ; F(4) = 0
A1 = ∫2
3
(2x3 – 6x2) dx = |F(3) – F(2)| =
A2 = ∫3
4
(2x3 – 6x2) dx = |F(4) – F(3)| =
Área = + = 19 u2
4. El coste de fabricación en euros de x unidades de un artí-culo viene dado por la función
f (x) = x – 2 + 20
a) ¿Cuál es la función que determina el coste de fabrica-ción unitario?
b) ¿Para qué producción resulta mínimo el coste unitario?¿Cuánto vale éste? Justifica que es mínimo.
Solución:
a) Coste de fabricación unitario
c(x) = = = 1 – +
c(x) = 1 – +
b) Mínimo coste unitario
c'(x) = – ò c'(x) = 0 ò – = 0 ò
x = 400
c''(x) = – + ò c''(400) = 1/6 400 000 > 0 ò
mínimo relativo.
Para x = 400 unidades es mínimo.
c(400) = 1/6 400 000 € cada unidad.
5. Supongamos que tenemos un alambre de longitud a y loqueremos dividir en dos partes que van a servir de base asendos rectángulos. En uno de los rectángulos su altura esel doble de su base y en el otro su altura es el triple de subase. Determina el punto por el cual debemos cortar elalambre para que la suma de las áreas de los dos rectán-gulos sea mínima.
Solución:
a) Datos, incógnitas y dibujo
b) Función que hay que maximizar
A(x, y) = x · 2x + y · 3y = 2x2 + 3y2
Sujeta a las condiciones: x + y = a ò y = a – x
c) Se escribe la función con una sola variable
A(x) = 2x2 + 3(a – x)2
d) Se calculan máximos y mínimos
A'(x) = 4x – 6(a – x) = 10x – 6a
A'(x) = 0 ò 10x – 6a = 0 ò x = 3a/5
e) Se comprueba en la 2ª derivada
A''(x) = 10 > 0 (+) ò mínimo relativo.
Hay que cortarla por los 3/5
2x3y
yx
40x3
3√x2x3
20x2
√xx2
20x2
√xx2
20x
2√xx
20x
2√xx
x – 2√x + 20x
f(x)x
√x
272
112
272||
112||
272
12
Y
X1–1
10
20
30
40
3878
12x5
3x4
176
13
12
13||
||
12||
BLOQUE II. ANÁLISIS 319
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6. Un taller artesanal está especializado en la producción decierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, C(x), eneuros están relacionados con el número de juguetes fa-bricados, x, a través de la expresión:
C(x) =10x2 – 1 850x + 25 000
El precio de venta de cada juguete es de 50 €.
a) Plantea la función de ingresos que obtiene el taller conla venta de los juguetes producidos.
b) Plantea la función de beneficios, entendidos como dife-rencia entre ingresos y costes de fabricación.
c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar bene-ficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios?
Solución:
a) Función ingresos
I(x) = 50x
b) Función beneficios
B(x) = I(x) – C(x) = 50x – (10x2 – 1 850x + 25 000)
B(x) = –10x2 + 1 900x – 25 000
c) Maximizar los beneficios
B'(x) = –20x + 1900
B'(x) = 0 ò –20x + 1 900 = 0 ò x = 95 juguetes.
B''(x) = –20 < 0 (–) ò máximo relativo.
B(95) = –10 · 952 + 1 900 · 95 – 25 000 = 65 250 €
Los beneficios ascienden a 65 250 €
7. El consumo de un motor, en un trabajo de 6 horas, vienedado por la expresión
C(t) = – t2 + 8t + 20, siendo t el tiempo en horas,
0 Ì t Ì 6
a) ¿Qué momento es el de mayor consumo? ¿Cuánto esel consumo máximo?
b) ¿Cuánto consume en total el motor en las 6 horas quedura el trabajo?
Solución:
a) Máximo consumo
C'(t) = –2t + 8
C'(x) = 0 ò – 2t + 8 = 0 ò t = 4 horas.
C''(t) = –2 < 0 (–) ò máximo relativo.
C(4) = –42 + 8 · 4 + 20 = 36
b) Consumo total
El consumo total es ∫0
6
(–t2 + 8t + 20) dx
F(t) = ∫(–t2 + 8t + 20) dx = – + 4t2 + 20t
F(0) = 0
F(6) = 192
Consumo total = 192
8. Estudia la continuidad de la función
f(x) =
y clasifica las discontinuidades que se encuentren. ¿Es po-sible definir de nuevo la función para evitar alguna discon-tinuidad?
Solución:
Factorizando el numerador y el denominador se obtiene:
f(x) =
Es discontinua en x = 2, x = 3
a) x = 2 es una discontinuidad evitable; se evita definiendof(x) como la función simplificada
f(x) = =
b) x = 3 es una discontinuidad de 1ª especie de salto in-finito.
9. El número de plazas ocupadas de un aparcamiento, a lolargo de las 24 horas de un día, viene expresado por lafunción
f(t) =
a) ¿A qué hora del día presenta el aparcamiento una ocu-pación máxima? ¿Cuántos coches hay a esa hora?
b) ¿Entre qué horas la ocupación del aparcamiento esigual o superior a 2 000 plazas?
Solución:
a) Máximo
Hay que hallar el máximo absoluto; para ello se hallanlos máximos relativos en cada uno de los intervalos yen los extremos de los intervalos.
El primer trozo es una recta, que vamos a llamar:
g(t) = 1 680 + 20t ò no tiene máximos relativos.
1 680 + 20t si 0 Ì t < 8–10t2 + 260t + 400 si 8 Ì t < 16–10t2 + 360t + 1 200 si 16 Ì t < 24
°§¢§£
x2 + 2x – 1x – 3
(x – 2)(x + 1 – √—2 )(x + 1 + √
—2 )
(x – 2)(x – 3)
(x – 2)(x + 1 – √—2 )(x + 1 + √
—2 )
(x – 2)(x – 3)
x3 – 5x + 2x2 – 5x + 6
t3
3
Y
X
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320 SOLUCIONARIO
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Problemas propuestos
g(0) = 1 680
g(8) = 1 840
El segundo trozo es parte de una parábola; lo vamos allamar:
h(t) = –10t2 + 260t + 400
h'(t) = –20t + 260, h'(t) = 0 ò –20t + 260 = 0 òt = 13
h(13) = 2 090
h''(t) = –20 < 0 (–) ò máximo relativo.
h(8) = 1 840
h(16) = 2 000
El tercer trozo es parte de una parábola; lo vamos a lla-mar:
i(t) = –10t2 + 360t + 1 200
i'(t) = –20t + 360, i'(t) = 0 ò –20t + 360 = 0 ò t = 18
i(18) = 4 440
i''(t) = –20 < 0 (–) ò máximo relativo.
i(16) = 4 400
i(24) = 4 080
El máximo absoluto es para t = 18 horas y en ese mo-mento hay 4 440 coches
b) Ocupación superior a 2 000 plazas
Hay que resolver las inecuaciones:
1 680 + 20t > 2 000 ò x > 16, que no sirve.
–10t2 + 260t + 400 > 2 000 ò 10 < t < 16
–10t2 + 360t + 1 200 > 2 000 ò 2,38 < t < 33,62, solosirve 16 < t < 24
10. La función:
f(t) =
representa la concentración de oxígeno en un estanquecontaminado por residuos orgánicos en un tiempo t(medido en semanas).
a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimientode f(t) para t Ó 0, así como los instantes en los que laconcentración es máxima y mínima.
b) De forma razonada, y conforme a los datos anterio-res, representa gráficamente la función para t Ó 0 yestudia con todo detalle sus asíntotas.
Solución:
a) Máximos, mínimos y crecimiento
f '(t) =
f '(t) = 0 ò t2 – 1 = 0 ò t = 1, t = –1; t = –1 no sirve.
f(1) = 1/2
f ''(t) =
f ''(1) = 1/2 > 0 (+) ò mínimo relativo.
f(0) = 1
El máximo lo alcanza en el instante inicial, t = 0, y el mí-nimo en t = 1
f '(2) = 3/25
Creciente ( ): (1, +@)
Decreciente: ( ): (0, 1)
b) Asíntotas y gráfica
Verticales: no tiene, porque el denominador nunca seanula.
Horizontales:
k = = 1, es cociente de los coeficien-
tes principales.
Asíntota horizontal k = 1
Oblicuas: no tiene, porque el grado del numerador noes uno más que el del denominador.
t2 – t + 1t2 + 1
límt8 +@
Y
X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x 0 1
f '(x) – +
–2t3 + 6t(t2 + 1)3
t2 – 1(t2 + 1)2
t2 – t + 1t2 + 1