1.Значения тригонометрических функций.
1.Значения тригонометрических функций.
1.Значения тригонометрических функций.
1.Значения тригонометрических функций.
1.Значения тригонометрических функций.
2. Простейшие тригонометрические уравнения:
Решение тригонометрических уравнений.
1. sin x = a,2. cos x =
a, 3. tg x = a,
4. ctg x = a,
2. Простейшие тригонометрические уравнения:
Решение тригонометрических уравнений.
1. sin x = a, x=(-1)ⁿ ∙ arc sin a + n, n є Ζ │a│≤ 1.2. cos x = a,3. tg x = a,4. ctg x = a,
2. Простейшие тригонометрические уравнения:
Решение тригонометрических уравнений.
1. sin x = a, x=(-1)ⁿ ∙ arc sin a + n, n є Ζ │a│≤ 1.2. cos x = a, x=± arc cos a + 2 n, n є Ζ │a│≤ 1.3. tg x = a,
4. ctg x = a,
2. Простейшие тригонометрические уравнения:
Решение тригонометрических уравнений.
1. sin x = a, x=(-1)ⁿ ∙ arc sin a + n, n є Ζ │a│≤ 1.2. cos x = a, x=± arc cos a + 2 n, n є Ζ │a│≤ 1.3. tg x = a, x= acr tg a + n, n є Ζ a єR .4. ctg x = a,
2. Простейшие тригонометрические уравнения:
Решение тригонометрических уравнений.
1. sin x = a, x=(-1)ⁿ ∙ arc sin a + n, n є Ζ │a│≤ 1.2. cos x = a, x=± arc cos a + 2 n, n є Ζ │a│≤ 1.3. tg x = a, x= acr tg a + n, n є Ζ a єR .4. ctg x = a, x= acr ctg a + n, n є Ζ a єR .
3. Частные случаи ( а=0, а=1, а=-1)
Sin x = 0,Sin x = 1,Sin x = -1,
Cos x = 0,Cos x = 1,Cos x =-1,
Tg x = 0,Ctg x = 0,
3. Частные случаи ( а=0, а=1, а=-1)
Sin x = 0, x = n, nєΖSin x = 1, x = ⁄ 2 + 2n, nєΖSin x = -1, x = - ⁄ 2 + 2n, nєΖ
Cos x = 0,Cos x = 1,Cos x =-1,
Tg x = 0,Ctg x = 0,
3. Частные случаи ( а=0, а=1, а=-1)
Sin x = 0, x = n, nєΖSin x = 1, x = ⁄ 2 + 2n, nєΖSin x = -1, x = - ⁄ 2 + 2n, nєΖ
Cos x = 0, x = ⁄ 2 + n, nєΖCos x = 1 , x = 2n, nєΖCos x =-1, x = + 2n, nєΖ
Tg x = 0,Ctg x = 0,
3. Частные случаи ( а=0, а=1, а=-1)
Sin x = 0, x = n, nєΖSin x = 1, x = ⁄ 2 + 2n, nєΖSin x = -1, x = - ⁄ 2 + 2n, nєΖ
Cos x = 0, x = ⁄ 2 + n, nєΖCos x = 1 , x = 2n, nєΖCos x =-1, x = + 2n, nєΖ
Tg x = 0, x = n, nєΖCtg x = 0, x = ⁄ 2 + n, nєΖ
sin² α + cos² α =
4.Основные тригонометрические тождества
sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α =
4.Основные тригонометрические тождества
sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α = 1
4.Основные тригонометрические тождества
tg α =
sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α = 1
4.Основные тригонометрические тождества
tg α = sin α / cos αctg α =
sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α = 1
4.Основные тригонометрические тождества
tg α = sin α / cos αctg α = cos α / sin α
1 + tg² α =
sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α = 1
4.Основные тригонометрические тождества
tg α = sin α / cos αctg α = cos α / sin α
1 + tg² α = 1/ cos² α1 + ctg² α =
sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α = 1
4.Основные тригонометрические тождества
tg α = sin α / cos αctg α = cos α / sin α
1 + tg² α = 1/ cos² α1 + ctg² α = 1/ sin² α
5. Формулы суммы и разности аргументов.
sin (x ± y) =
5. Формулы суммы и разности аргументов.
sin (x ± y) = sin x ∙ cos y ± cos x ∙ sin ycos (x ± y) =
5. Формулы суммы и разности аргументов.
sin (x ± y) = sin x ∙ cos y ± cos x ∙ sin ycos (x ± y) = cos x ∙ cos y ∓ sin x ∙ sin ytg (x ± y) =
5. Формулы суммы и разности аргументов.
sin (x ± y) = sin x ∙ cos y ± cos x ∙ sin ycos (x ± y) = cos x ∙ cos y ∓ sin x ∙ sin ytg (x ± y) = ( tg x ± tg y ) / ( 1 ∓ tg x ∙ tg y )
6. Формулы двойного аргумента(тройного).
sin 2 α =cos 2 α = tg 2 α =
sin 3 α = cos 3 α =tg 3 α =
6. Формулы двойного аргумента(тройного).
sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α =tg 2 α =
sin 3 α = cos 3 α =tg 3 α =
6. Формулы двойного аргумента(тройного).
sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α = cos² α - sin² αtg 2 α =
sin 3 α = cos 3 α =tg 3 α =
6. Формулы двойного аргумента(тройного).
sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α = cos² α - sin² αtg 2 α = 2tg α / (1-tg² α)
sin 3 α = cos 3 α =tg 3 α =
6. Формулы двойного аргумента(тройного).
sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α = cos² α - sin² αtg 2 α = 2tg α / (1-tg² α)
sin 3 α = 3sin α - 4sin³ αcos 3 α =tg 3 α =
6. Формулы двойного аргумента(тройного).
sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α = cos² α - sin² αtg 2 α = 2tg α / (1-tg² α)
sin 3 α = 3sin α - 4sin³ αcos 3 α = 4cos³ α - 3cos αtg 3 α =
6. Формулы двойного аргумента(тройного).
sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α = cos² α - sin² αtg 2 α = 2tg α / (1-tg² α)
sin 3 α = 3sin α - 4sin³ αcos 3 α = 4cos³ α - 3cos αtg 3 α = (3tg x – tg³ α) / (1-3tg² α)
7. Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени.
sin² α /2 =
cos² α /2 =
tg α /2=
7. Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени.
sin² α /2 = (1-cos α) /2
cos² α /2 =
tg α /2=
7. Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени.
sin² α /2 = (1-cos α) /2
cos² α /2 = (1+cos) /2
tg α /2=
7. Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени.
sin² α /2 = (1-cos α) /2
cos² α /2 = (1+cos) /2
tg α /2= sin α / (1+cos α) = (1-cos α) /sin α
8.Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в
произведение.
sin x ± sin y =
cos x + cos y =
cos x – cos y =
tg x ± tg y =
8.Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в
произведение.
sin x ± sin y = 2 sin (x ± y)/2 ∙ cos (x ∓ y)/2
cos x + cos y =
cos x – cos y =
tg x ± tg y =
8.Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в
произведение.
sin x ± sin y = 2 sin (x ± y)/2 ∙ cos (x∓y)/2
cos x + cos y = 2 cos (x+y)/2 ∙ cos (x-y)/2
cos x – cos y =
tg x ± tg y =
8.Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в
произведение.
sin x ± sin y = 2sin (x ± y)/2 ∙ cos (x∓y)/2
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 ∙ cos (x-y)/2
cos x – cos y = -2sin (x+y)/2 ∙sin (x-y)/2
tg x ± tg y =
8.Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в
произведение.
sin x ± sin y = 2sin (x ± y)/2 ∙ cos (x∓y)/2
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 ∙ cos (x-y)/2
cos x – cos y = -2sin (x+y)/2 ∙sin (x-y)/2
tg x ± tg y = (sin ∙(x ±y))/(cos x∙ cos y)
9.Формулы приведения:
1) /2 и 3/2 │ => и 2 │ =>
2) Знаки по четвертям:
sin α cos α tg α, ctg α
9. Формулы приведения:
1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ =>
2) Знаки по четвертям:
sin α cos α tg α, ctg α
9. Формулы приведения:
1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ => функция остается
2) Знаки по четвертям:
sin α cos α tg α, ctg α
9. Формулы приведения:
1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ => функция остается
2) Знаки по четвертям:
sin α cos α tg α, ctg α y y y
x x x
-
9. Формулы приведения:
1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ => функция остается
2) Знаки по четвертям:
sin α cos α tg α, ctg α y y y
x x x
+ +
- -
-
9. Формулы приведения:
1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ => функция остается
2) Знаки по четвертям:
sin α cos α tg α, ctg α y y y
x x x
+ +
- -
-
-
+
+
-
9. Формулы приведения:
1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ => функция остается
2) Знаки по четвертям:
sin α cos α tg α, ctg α y y y
x x x
+ +
- -
-
-
+
+
+
+
--
-
Способы решения тригонометрических уравнений.
Метод замены переменной
Метод разложения на множители
Однородные
Способы решения тригонометрических уравнений.
Метод замены переменной
Метод разложения на множители
Пример:1) 2sin²x – 5sin x + 2 = 0;2) cos²x - sin²x – cos x= 0;3) tg x/2 + 3ctg x/2 = 4;
Однородные
Способы решения тригонометрических уравнений.
Метод замены переменной
Метод разложения на множители
Пример:1) 2sin²x – 5sin x + 2 = 0;2) cos²x - sin²x – cos x= 0;3) tg x/2 + 3ctg x/2 = 4;
Пример:1) (sin x- 1/3) ∙ (cos x+ 2/5) = 0;2) 2sin x ∙ cos 5x – cos 5x = 0;
Однородные
Способы решения тригонометрических уравнений.
Метод замены переменной
Метод разложения на множители
Пример:1) 2sin²x – 5sin x + 2 = 0;2) cos²x - sin²x – cos x= 0;3) tg x/2 + 3ctg x/2 = 4;
Пример:1) (sin x- 1/3) ∙ (cos x+ 2/5) = 0;2) 2sin x ∙ cos 5x – cos 5x = 0;
Однородные
1-ой степениa ∙ sin x ± b ∙ cos x = 01) 2sin x- 3cos x = 02) sin 2x + cos 2x = 0
2-ой степениa ∙ sin²x+b ∙ sin x ∙ cos x + c ∙ cos²x = 01) sin²x – 3sin x ∙ cos x + 2cos² x = 02) √3 sin x ∙ cos x + cos²x = 03) sin³x + sin²x ∙ cos x – 3sin x ∙cos² x –- 3cos³x = 04) 3sin² 3x – 2√3 sin3x ∙ cos 3x + + 5cos² 3x = 2