Glava 2
KONTINUALNI SIGNALI
Kontinualni signal je jednoznačno definisan za svaku vrijednost nezavisne varijable, osim u konačnom broju tačaka. Ukoliko amplituda kontinualnog signala može da poprimi proizvoljnu vrijednost iz dozvoljenog opsega, kažemo da se radi o analognom signalu. Za signale čije vrijednosti amplitude pripadaju konačnom skupu kažemo da su kvantovani po amplitudi ili samo kvantovani, ukoliko podrazumijevamo da radimo sa signalima kontinualnim u vremenu.
Podrazumijevajući da radimo sa jednodimenzionalnim signalima kod kojih je nezavisna varijabla vrijeme, kontinualni signal označavamo sa ( )x t , gdje je t simbol za nezavisnu varijablu. Primjeri analitičkih izraza za kontinualne signale su: ( ) tx t e−= , ( ) cosx t t= i ( ) ( )0 01, 0,x t t T x t t T= ≤ ∧ = > . Na Slici 2.1 grafički su prikazani primjeri kontinualnih signala.
Kontinualni signali
9
2.1 Klasifikacija kontinualnih signala
Klasifikacija signala je zasnovana na njihovim osobinama koje vrlo često oslikavaju osobine fizičkih pojava koje opisuju. Tako govorimo o realnim i kompleksnim, periodičnim i neperiodičnim, determinističkim i stohastičkim, te signalima energije i signalima snage. Budući da su u osnovi funkcije, klasifikacija signala je slična klasifikaciji funkcija.
2.1.1 Jednodimenzionalni i višedimenzionalni signali
Signali mogu biti funkcije jedne ili više nezavisnih varijabli, te govorimo o jednodimenzionalnim ili višedimenzionalnim signalima. Prilikom posmatranja jednodimenzionalnih signala najčešće podrazumijevamo da je nezavisna varijabla vrijeme, kod dvodimenzionalnih prostorne varijable, a kod trodimenzionalnih tri prostorne ili dvije prostorne i jedna vremenska varijabla.
2.1.2 Realni i kompleksni signali
Signal može biti realna ili kompleksna matematička funkcija realne ili kompleksne nezavisne varijable. Shodno tome govorimo o realnim signalima, odnosno o kompleksnim signalima. Realni signali svakoj vrijednosti nezavisne varijable pridružuju realan broj, dok su vrijednosti kompleksnih signala za svaku vrijednost nezavisne promjenljive kompleksni brojevi, predstavljeni svojim realnim i imaginarnim dijelom, ili modulom i argumentom. Kompleksni signali se uglavnom vještački formiraju uzimajući za realni i imaginarni dio, ili za modul i argument, dva realna signala. Na primjer, modul kompleksnog signala može da predstavlja intenzitet, a argument smjer vjetra, električnog ili magnetnog polja u toku vremena u nekoj tački prostora. Potrebno je pomenuti da se, prilikom nekih analiza, realni signali realnih varijabli preslikavaju u kompleksne funkcije realnih ili kompleksnih varijabli.
Grafička predstava kompleksnih signala zasniva se na zasebnom prikazu njihovog realnog i imaginarnog dijela, ili zasebnom prikazu modula i argumenta, kao na Slici 2.2.
GLLAVA
10
(a) (b (c) (d
2.
Pacepa
A 2
0
)
b)
)
d)
.1.3
arnientraran
3
i sigralnn ak
P
gnalno sko v
Par
li ssimvrij
ni
su ometri
jedi
S
i n
osnični:
Slika
nep
no ni u
a 2.
par
simod
.2
rni
metrdno
(a)(d)
i si
ričnosu
x
) Re) ar
ign
ni una
(x −
ealnrgum
nali
u oko
)t− =
ni dmen
i
odnoord
x=
dio;nt k
osudina
( )t
(b)kom
u natn
,
) immpl
na oi po
magleks
ordoče
ginasno
dinaetak
arniog s
atu, k. Z
i diosign
doZa s
o; (nala
ok sign
(c) ma.
su nal
mo
nepkaž
odul
parnžem
l i
ni smo
signda
(2.
ali je
.1)
d
Pra
B
p
P
ok
Primazlo
Budu
arn
Prim
je s
mjerožit
ući
ni i n
mjer
sign
ri pti n
da
nep
r ra
nal
parna n
a je:
(xparn
zlag
nep
nih njeg
( )t−
ni d
gan
par
i ngov
) =
dio
nja
S
ran
neppar
{sig
sign
lika
ako
arnrni
x
(x −
gnal
nala
a 2.
o je
nih
{
( )x t
)}t−
la s
{x
{x
a na
.3
e:
x
sig
({x
) =
} +
e o
( )x t
( )x t
a p
(a)
(x −
gnal
( )}t
{
{odre
)} =
)} =
arn
Pa
)t− =
la d i n
(x t
({xeđu
12=
12=
ni i n
arni
x= −
datinep
)}t +
( )t−
uju n
(x
(xnep
i i (
(x ti su
parn
+
)} =
na
)t +
( )t −
parn
(b) n
)t .
u nani
{x
=
slje
(x+
x−
ni d
nep
a S
{
( )x t
({xedeć
( )t−
( t−
dio
parn
lici
(x t
)} .
( )}tći n
) ,
)t .
dat
ni s
i 2.3
)}t
} −
nači
t je
sign
3. Sdio
{in:
na
nal.
Svao:
({x t
a Sli
aki
)}t
ici 2
sig
,
2.4
Kon
gnal
.
ntin
l je
nua
mo
lni s
(2
ogu
(2
(2
(2
(2
sign
11
(a)
(b)
2.2)
uće
2.3)
2.4)
2.5)
2.6)
nali
GLLAVA
12
2.
Akve
Ak
anne
A 2
2
(a (b (c
Sl
.1.4
ko ezan
ko
ntikekau
a)
b)
c)
lika
4 K
sa n d
x
auzuza
2.4
Ka
t =ati
( )tzalaalno
4 D(
auz
0= sig
0≠
an og,
De(b)
zal
oznnal
0 z
akokau
kompar
lni
načl, on
za
o juza
mprni
i n
čimnda
ne
je alno
ozidio
nek
o pa ka
eko
(xog i
icijao sig
kau
počažem
t
)t =an
a siggna
uza
etnmo
0<0,=
tika
gnaala i
aln
ni tro da
0 k
, ∀auz
ala ni (c)
ni s
renua je
kaž
t >zaln
na ) ne
sig
utasig
em
0 . nog
parepa
gna
ak pgnal
mo
Nsig
rni arni
ali
posl ka
da
Na gnal
i nei dio
maauza
je
Slicla.
epao si
atranalan
e si
ci
arniigna
nja n uk
ign
2.5
i dioala.
nekoli
nal
5 s
o: (.
eke iko
nek
su
(a) o
poo je
kau
pri
orig
ojav(x
uzal
ika
gina
ve s)t =
lan.
zan
alni
a k0,=
Si
ni
i sig
kojot∀
ign
pri
gna
om t <
nal
imje
al;
je 0 .
je
eri
2
A
ksiOusijenn
Sl
2.1.
Ako
ažeigna
Osnoslovignae kajmepe
lika
5
po
emoal povniv pale
konmanerio
a 2.5
P
osto
o daperi pperiizustan
nja podič
5
Per
oji p
a jeriodperioiodiuzevntnpozčno
(a)
rio
poz
e sigdičaod ičnv k
ni szitivog s
Ne
dič
zitiv
gnaan
0Tnostonssignvnasign
ekau
čni
vna
al pesa
0T ti isstannal a vrnala
uza
i i
a vri
eriodperje
spunte.pe
rijeda.
alni
ne
ijed
dičariod
nunje. U
eriodno
sig
epe
dno
(x tan sdom
najmen.
sludičost
gna
erio
ost z
)t =
sa pm man
Ovučajčan
za
l; (b
odi
za
(x=
periT
nja va dju kzaT
b) k
ičn
T t
t +
odoje po
defkona b. N
kau
ni s
takv
) ,T
ompe
ozifinicnstabilo Na S
uzaln
sig
kva
, t∀
m Triotivncijaante
koSlici
ni s
gna
da
t ,
, u dična a ose osoji i 2.
sign
ali
vrij
supan
vrsnosnoizb
.6 d
nal
jedi
proi s
rijeovnovnibor dati
i (c
i:
otnosa
ednonogi peT
i su
c) an
omperostpe
erioT , u pr
ntik
m je riodT
eriood jtakrim
kau
nepdomT
oda je n
ko mjeri
Kon
uzal
periom m
zavri
nedda i pe
ntin
lni s
odičamT
a ijedefinne
erio
nua
sign
čan. ,T m
kojdi znisae podič
lni s
nal.
(2
Svm∈ju za san,
postčno
sign
13
(a)
(b)
(c)
2.7)
aki .je
sve jer
toji og i
nali
GLLAVA
14
(a) (b
2.
En
do
Sigtak
jed
A 2
4
)
b)
.1.6
ner
ok j
gnakvi
dna
6
rgija
je u
ale h si
aka
S
a sig
ukup
sa ign
nu
Sl
Sign
gna
pna
konnala
uli, j
lika
nal
ala n
a en
načje
jer
a 2.6
li e
na
nerg
čnosre
je lT
6
ene
zat
gija
om dnj
limT→∞
(a)
erg
tvor
a sig
ukuja s
m TW∞
Per
gije
ren
gna
upnnag
xP
T ko
riod
e i
nom
TW
ala:
xW
nomga,
lT
=
ona
diča
sig
m in
TW =
x =
m ekoj
limT→∞
ačn
an
gn
nterv
2
1
t
t
x
x∞
−∞
enerja s
1T
−
o, o
sign
ali
valu
( )x t
( )x t
rgije d
2
2
T
T
x−
oda
nal
i sn
u v
) 2d
) 2d
omdefin
( )x t
akle
i (b
nag
vrem
dt ,
dt .
m naniše
) 2d
e sli
b) n
ge
men
azive sa
dt ,
ijed
nep
na T
vama:
di d
perio
T =
mo
a je
odi
[ 1t=
ene
e:
ičan
]2,t
erget
n si
] je
tski
gna
de
im s
al.
efin
sign
nisan
nalim
na s
ma.
(
sa:
(2.
(2.
Ko
(2.1
.8)
.9)
od
0)
Kontinualni signali
15
lim Tx
T
WP
T→∞= (2.11)
jednako nuli.
Kod signala čija je ukupna energija limx TT
W W→∞
= beskonačno velika srednja
snaga može biti konačna ili beskonačna. Signale sa beskonačno velikom energijom i konačnom srednjom snagom (različitom od nule) nazivamo signalima snage. Periodični signali imaju beskonačnu energiju, ali im je srednja snaga najčešće konačna, te ih ubrajamo u signale snage.
2.1.7 Deterministički i stohastički signali
Deterministički signal je matematička funkcija koja je jednoznačno definisana za svaku vrijednost nezavisne varijable.
Stohastički signal ili slučajni proces ima vrijednosti koje u svakom vremenskom trenutku predstavljaju slučajnu varijablu. Slučajni proces je funkcija dva nezavisna argumenta. Prvi argument, vrijeme, pripada skupu realnih brojeva. Drugi argument je slučajna varijabla koja predstavlja ishod hipotetičkog fizičkog eksperimenta. Slučajni proces predstavlja familiju (ansambl) realizacija (matematičkih funkcija vremena) za različite ishode eksperimenta. Za svaki ishod eksperimenta dobija se jedna realizacija slučajnog procesa. Analiza i obrada stohastičkih signala se zasniva na teoriji vjerovatnoće i slučajnih varijabli i izlazi iz okvira ove knjige.
2.2 Elementarni signali
Analiza i obrada signala se pojednostavljuje uvođenjem elementarnih signala i svođenjem složenih problema analize i obrade signala na jednostavnije slučajeve analize i obrade elementarnih signala. U ovom dijelu uvešćemo nekoliko posebno važnih kontinualnih signala, koji ne samo da se često pojavljuju u prirodi, već ih često koristimo pri konstrukciji složenijih signala. Među njima najvažnija mjesta zauzimaju jedinični odskočni signal, signal znaka, signal nagiba, pravougaoni i trougaoni impuls, jedinični impuls beskonačno velike amplitude, te kompleksni eksponencijalni, sinusni i sinc signali.
GLLAVA
16
2.
Jed
VrfunH
JesigJe
A 2
6
.2.1
dini
rijenkcevi
dingnadin
1
ični
dnocija, sajd
ničnala ničn
Je
ods
ost u
dov
ni oim
ni o
edi
skoč
u ča
va f
odsmaju
dsk
ini
čni s
nuast fun
koču dkoč
ičn
sign
uli naukcij
čni diskčni s
ni o
al s
nijeučnja o
sigkonsign
S
ods
se d
e dnikaorig
gnatinunal
Slik
sko
defi
defia Hgina
u
al juiteigr
ka 2
očn
niš
(u t
inisHevalno
(hu t
e pet a v
2.7
ni
e sa
)t =
sanavisao de
)t =
priku
važn
Je
sig
a:
01
=
a. Oajdaefin
0121
=
kazat =
nu u
edin
gna
0,,
Ova (Oniše
0,1 ,2,
an 0= ,
ulog
ničn
al
t
t
<>
vaj Olive sa
t
t
t
<
=
>
natj
gu
ni o
00
.
signvera:
0
0
0
<
=
>
a Sl. uu is
odsk
nal r H
.
lici (0u
spit
koč
seHeav
2.7)0+ ≠
tiva
čni
e čevisi
7. u≠
anju
sign
estoide,
Pri(0−
u os
nal
o n, 1
mij)−
sob
.
naz850
jetimi
bina
iva0-19
mo(hu
a sis
a i 925
o d(0+
stem
He5),
a o) ≠ma.
(
evisaiak
(
oba
hu
.
(2.1
ajdoko
(2.1
a ov(0−
2)
ova se
3)
va ) .
2
S
Ofu
2
S
Si
2.2.
Signa
Ovaunk
2.2.
Signa
ign
.2
al z
aj skcije
.3
al n
nal n
S
znak
signe p
S
nagib
nag
Sig
ka s
nal ost
Sig
ba j
giba
gna
se d
je toji
gna
e d
a je
al z
defi
prislje
al n
defin
pri
zna
iniš
ikaede
nag
nisa
ikaz
aka
e sa
zaneća v
gib
an
zan
a
a:
s
n nvez
ba
sa:
n na
sgn
na za:
sgn
Sli
(r
a Sli
( )t
Slic
( )n t
ika
( )t =
ici 2
=
ci 2
) =
2.8
=
2.9
1,0,1,
−
2.8.
2 hu
8 S
0,,t
.
, t
t
t
. Iz
( )h t
Sign
t
t
<≥
0t
t
t
<=>
zm
) 1−
nal
00
<≥
.
000
.
eđu
1 .
zna
.
u s
aka
sign
a.
nalaa znnakka
Kon
i H
ntin
Hev
nua
visa
lni s
(2.1
ajdo
(2.1
(2.1
sign
17
14)
ove
15)
16)
nali
GLLAVA
18
Sa
2.
Pr
pr
de
do
A 2
8
a jed
.2.4
ravo
rika
efinV
obit
din
4
ouga
azan
nisarijeti n
ničn
P
aoni
n je
ne.ednna sl
nim
Prav
i imp
e n
ostljed
od
vo
mpuls
na S
ti prdeći
dsko
ug
ls, d
Slic
ravi na
očn
gao
dat s
ci 2
vougačin
nim
oni
sa:
2.10
gaon:
S
sig
u
i im
p
0. V
ono
Slik
gnal
(r t
( )u t
mp
(p tτ
Vrij
g im
ka 2
lom
)t =
) =
puls
)t =
edn
mp
2.9
m je
t
−∞
=
(drd
s
1
0
=
nos
uls
Si
e po
(u τ
( ),
t
dt
1,
0,
sti p
a se
igna
ove
)dτ
, t ≠
t
t
<
>
pra
e iz
al n
ezan
dτ ,
0≠
2
2
τ
τ
<
>
avou
z jed
nagi
n na
.
,
uga
din
iba
a sl
aon
ničn
.
ljed
nog
nog
deći
im
od
na
mpu
dsko
ačin
ulsa
očn
n:
za
nog
a t
sig
= ±
gnal
(
(
(
2τ±
la m
(2.1
(2.1
(2.1
ni
mog
7)
8)
9)
su
gu
2
T
2.2.
Troug
.5
ugao
T
oni i
Tro
impu
oug
uls,
p
ga
pri
(pτ
on
ikaz
S
)t =
ni im
zan
pτΔ
Slik
u=
mp
n na
( )tΔ
Slik
a 2
t +
pul
a Sl
)
=
ka 2
.10
2τ +
ls
lici
1
1
0,
+ −
2.1
P
−
2.1
2
2
t
tτ
τ
+
−
1
Prav
u
1, s
,
,
t
tτ
τ
Tro
vou
t −
se a
2
0
t
τ−
≤
oug
ugao
2τ
ana
2
2
t
τ
τ
≤
≤
>
gao
oni
, ∀
litič
2
2
t
τ
τ
≤
≤
ni i
i im
t∀ ≠
čki
0
2τ
≤
imp
mpu
2τ≠ ±
zap
.
puls
uls.
2τ
.
pisu
s.
uje sa:
Konntinnualni s
(2.2
(2.2
sign
19
20)
21)
nali
GLLAVA
20
Tr
2.
Jedfizpr
kapoim
Oim
A 2
0
rou
.2.6
dinizičaravo
ada ovr
mpu
vakmpu
ugao
6
ičnaara oug
njšina
uls s
ko ulsa
oni
D
a imDir
gaon
egoa imse m
uva se
im
Dir
mpuraknog
ovampmož
vededo
mpul
ak
lsnaka (Pg im
a šiulsaže z
en obije
ls s
pτΔ
kov
a fuPaumpu
irina ozap
Die ka
S
e m
(tτΔ
v im
unkul Dulsa
na tostapisa
rakao g
Slik
mož
) =
mp
kcijaDiraa p
težiaje jti k
kov gra
ka 2
že iz
2τ
puls
a, nac,
(p tε
i kjedn
kao:
imanič
2.12
zra
r t
s
nazv190)t je
εδ
ka nnak:
(δ
mpučni
2 J
ziti
tτ+
van02-edi
( )tε
nulika j
( )t =
uls sluč
Jedi
i pr
2τ
na D198nič
)ε
=
i, ajedi
liε →
=
je čaj
inič
reko
2−
Dir84),ne
1p
ε
a ainic
0mδ
→
nekau
čni
o si
(2r t
rako, sepov
(p tε
ampci, p
(tεδ
ekauuza
pra
igna
)t +
ova e mvrš
)t ,
plitupog
)t .
uzaalno
avo
ala
r+
funožeine
udagled
lanog i
uga
nag
t −
nkcije poe (je
a bdati
n. Kmp
aon
giba
2τ
ijaosmedini
beski Sli
Kaupuls
ni im
a sa
.
ili matičnog
koniku
uzalsa, k
mpu
a:
Dirati
og pr
načnu 2.
lna kao
ulsi
iraki karavo
no 12.
veo na
i.
kov ao gouga
ras D
erzia Sl
impgranaono
ste.akl
ija lici
pulsničnog im
Ple, D
Dir2.1
(
s u ni simpu
(
ri tDir
(
rak3.
(2.2
u časlučulsa
(2.2
tomrako
(2.2
kovo
22)
ast čaj a):
23)
me ov
24)
og
u je
sa
jeseb
Dnu
edn
a os
Vedne desk
Dirauli
naka
sob
Vrijenakadefikon
akoimaa nu
bino
edna jefinišnačn
v ima buli:
om
nostedinše no v
Sl
mpbesk
da
t inici kaoveli
lika
pulskon
je:
−
inteak
o pikoj
a 2.1
s, prnačn
δ∞
−∞
egrako opovj vr
13
rikano
( )tδ
ala oblavrširijed
K
Sl
azavel
)dt
Dast inadno
Kauz
lika
n nliku
(δ
0
0
+
−
=
Dirakintim
osti
zaln
a 2.
na Su vr
( )t =
(δ
kovtegrmpui.
ni je
14
Slicrije
∞=
)t d
vograljeulsa
edin
D
ci 2.dno
,0,∞
dt =
g imenjaa č
ničn
Dira
.14ost,
t
t
=≠
0limε →
mpa očije
ni p
kov
, se, do
00
=≠
0m
ε
ε
δ−
ulsobuh
tr
prav
v im
e mok
,
(εδ
a hva
rajan
vou
mpu
možeje
)t d
sa ata nje
uga
uls.
e du s
dt =
prDite
aoni
definsva
1 .
oizirakeži
i im
nisaakom
zvolkov
ka
mpu
ati m d
ljniim
a n
ulsi.
kaodru
im mpunuli
Kon
.
o fuugom
grauls. Ji a
ntin
unkm
aniJač
am
nua
kcijatren
camčina mp
lni s
a konut
(2.2
(2.2
ma ud
plitu
sign
21
oja tku
25)
26)
je darauda
nali
GLLAVA
22
svjedIaće
(Gamin
Sliud
da
Kresv
nako
A 2
2
Avakodin
ako emo
DGaumplteg
Siici dara
Za je
Kažezul
vojs
Svačinoja
ko om
nici (2.
o u
Dirakusovlitudgrala
imb2.1a.
a b:
emoltujustvo
vojsn izje n
x∞
−∞
sigdr
već.25)nas
kovve da a.
boli5. R
ilo
o dućeo D
stvozračnep
(x t
gnarugoć ne) i stav
v imfunbe
ičkaRaz
ko
da eg D
Dira
o očun
prek
)t δ
al imomeko(2.2vku
mpunkcesko
a przliči
ju m
DiDirakov
odana ikidn
(t −
Sl
ma m troj v26)
u izl
uls cije,ona
redite v
mat
irakakovog
biraintena u
)0t−
lika
berenuvrije
vrlaga
se, tračn
stavveli
tem
kovovog im
anjaegrau ta
)dt
a 2.
eskoutkuednrijedanja
mrougno
va Dičin
mati
(x tv imog immpu
a Dal pački
∞
−∞
=
15
onau, aostde a p
možegaoras
Dirne s
ičku
)t δ
mpmpulsa
Diraproi dj
(x∞
∞
D
ačna pti Φi zodr
e ponoste,
rakostre
u fu
(tδ −
pulsuls
a ilu
akooizvelo
( )0t
Dira
no vpri Φ , ra krazu
posmog i
p
ovoelice
unk
0t−
s ima b
ustr
ovovodovan
(δ
akov
velitomradikauzum
matimpri
og ie se
kciju
) =
ma ira ova
g ia Dnja
t −
v im
iku me i sezala
mijev
tratpulsčem
impe m
u x
(x tsv
vriano
mpDirDir
)0t d
mpu
vrvri
e o an vati
ti i sa) mu
pulsmogu
( )x t
)0t δ
vojstijedo je
pulsakorak
dt =
uls
rijedijedDiri zi ne
kaka
u s
sa ju k
) ko
(tδ
tvo dno
na
sa oovokovo
(x=
jač
dnodnoraka nekau
ao gada e z
ačinkori
oja
t t−
odst fSli
omog iog i
)0t
čine
ostst i
kovonekauza
granji
zad
ne ustit
je n
)0t .
dabifunkici 2
oguimpimp
δ∞
−∞
e ud
u inteomauzalan
aničiho
drža
udati da
nep
iranjkcij2.16
ućapulspul
(tδ
dara
nuegra
m imzalan D
čni ova ava
araa oz
prek
ja,je u6.
ava sa sa:
0t−
a Φ
uli iala
mpuan Dirak
sluširje
Φzna
kidn
jeru ta
da i p
)0 d
Φ .
i vr(2.
ulsuDirkov
učaj rinaedin
priače
na u
r zački
seproi
dt x=
rije.26)
u jačako
v im
dra teničn
ikazraz
u t
za i dje
e naizvo
( 0x t
edno) ničineov mpu
rugieži na
zanzliči
0t=
jačelov
a jeoljn
)0 .
ost ije e udimp
uls.
ih kavr
na jeite j
0 v
činuvan
ednne
nujeddarpul
funa nurijed
e njači
rije
(
u unja.
nostfun
(
ula dnara Φls, m
nkculi, dno
na ine
edi
(2.2
udaOv
tavankc
(2.2
u ka Φ . mi
ija a
ost
27)
ara vo
an ije
28)
Ak
Z
P
Akooris
Zbo
Posm
je steć
og p
Sli
mat
neći (2
parn
ika
traj
eka 2.2
∞
−∞
nos
2.1
mo
fun8) d
(x∞
∞
ti n
6
o ne
nkcdob
( )t δ
neka
SvmaDi(c)
eka
cija bija
(tδ
auz
ojsatemirak) pr
auza
(xamo
)dt
zaln
tvomatkovroiz
alni
( )to da
x=
nog
o odtičk
vog zvo
i Di
δ
nepa je
( )0x
g Di
dabka fimd d
irak
(tδ
pre:
)0
0
δ−
irak
biranfunk
mpuldate
kov
)t =
ekid
(tδ
kov
nja kcijlsa;e fu
v im
(δ=
dna
)dt
vog
Dija n (b)
unkc
mpu
( )t−
u
t x+
im
iraknep) pocije
uls k
) .
nul
(0x
mpul
kovprekome i p
koji
li, t
)0
0
0+
lsa
vog kidn
mjerepom
i je
tada
(tδ
vri
impna uen D
mjer
pa
a je
)t d
jed
pulu taDirren
aran
e x
dt =
di da
lsa: ačkirako
nog
n sig
(0−
(0x
a je
(a)i djov Di
gna
)− =
)0 .
e:
) preloimp
irak
al:
(x=
Kon
roizvanpul
kovo
( )0+
ntin
zvolnja ls i og
) =
nua
ljna
imp
(0x
lni s
a
pul
(2.2
)0 ,
(2.3
sign
23
(a)
(b)
(c)
lsa.
29)
pa
30)
nali
GLAVA 2
24
( ) ( )00
0 0
12
t dt t dtδ δ+
−
= = . (2.31)
Prethodno razmatranje nam omogućava da izračunamo vrijednosti sljedećih intergala:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0
10 02
x t t dt x t dt xδ δ−−∞
= = , (2.32)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0 0
10 02
x t t dt x t dt xδ δ+∞
= = . (2.33)
Slično vrijedi za integrale proizvoda pomjerenog Dirakovog impulsa i funkcije ( )x t koja je neprekidna u 0t t= :
( ) ( ) ( )0
0 012
t
x t t t dt x tδ−∞
− = , (2.34)
( ) ( ) ( )0
0 012t
x t t t dt x tδ∞
− = . (2.35)
Već smo spomenuli da se Dirakov impuls može posmatrati i kao granični slučaj trougaonog impulsa:
( )
1 , 0
1 , 0
0,
tt
tp t t
t
ε
εε
εε
ε
Δ
+ − ≤ ≤= − ≤ ≤
>
, (2.36)
tako da je:
( ) ( )20
1limt p tεεδ
εΔ
→= . (2.37)
Ovakvo posmatranje omogućava da se odredi izvod Dirakovog impulsa:
Izimim
SlD
D
d
zvompumpu
ličnDira
UDira
d
d
δ
d
d
δ
od ulsaulsa
no akov
U anakov
S
( )tdt
δ
( )tdt
δ
Dira ua je
se vog
nalivog
(δ
Slik
lε
=
)=
raku ne ne
mg im
izi g im
( )t =
ka 2
0im
ε →
0limε →
kovonuliepar
mogmpu
sigmpu
liε →
=
2.17
1 dε
20
1mε
og i saran
gu ulsa
gnalulsa
0mδ
→
7 S
2dp
dε
Δ
2 p
d
d
δ
ima b
n:
odra pr
la ia i j
(tεδ
Sim
( )tdtε
pε
( )tdt
δ
mpubesk
redrika
i siedi
)t =
mbo
)=
t +
lε
=
ulsa kon
diti azan
steminič
limε →
=
oličk
0limε →
2ε
0limε →
jenač
d
d
δ
izvna j
ma čnog
0
1mε→
ka p
0
1mdε
p −
1mε
e imčno
( )tdt
δ
vodje n
veg o
pε
pred
d
dt
pε
δ
mpuve
)= −
di vna S
eza odsk
( )t
dst
1
1
0,
+
−
t −
t +
ulsnielik
d−
višeSlici
vekoč
liε
=
tava
,
,
t
tε
ε
+
−
2ε
2ε
i dkim
(d
dt
δ
eg i 2.
eomčnog
0im
ε ε→
a izv
,
, 0
t
−
=
δ −
dubleja
)tt
−
red17.
ma jg si
1u
ε
vod
0
t
ε− ≤
≤
>
limε →
=
tδ
let, ačin
.
da.
je vign
u t
da D
t
t
ε
≤
≤
0
1mε→
2t
ε−
prenam
Si
važala.
tε+
Dir
0
ε
≤
≤
εδ
2ε
edsma
imb
žno . N
2ε
rako
0
=
tεδ
.
tavuda
boli
usa o
u−
ovo
1
0,
ε−
2ε+
vljenara
ička
spoosno
t −
og i
2
2
1 ,
1
,
ε
ε
2ε −
n s. I
a p
ostavovu
2ε−
imp
,
εδ−
sa Izvo
pre
avitiu:
2ε
Kon
puls
0
t
ε−
≤
>
tεδ
dvaod
dst
i ve
,
ntin
sa.
t
t
ε
≤
≤ ≤
>
2ε−
a DDi
ava
ezu
nua
t
ε
≤
≤
2ε
Dirairak
a iz
u iz
lni s
0
,
,
(2.3
akokov
(2.3
zvo
me
(2.4
sign
25
38)
ova vog
39)
oda
eđu
40)
nali
GLLAVA
26
zasig
diko
odim
Po
A 2
6
akljugna
Iafere
onti
Kdsk
mpu
ovr
S
učuala:
ako encinu
Kao očn
ulsu
ršin
Slika
S
ujem
zbcijabualn
štonogu εδ
a n
a 2
Slik
mo
bogbila
ne fu
o mg si
( )tεδ
norm
.18
ka 2
da
g dian, unk
možigna) , t
mal
K
2.19
a j
iskoov
kcij
žemala e je
lizo
Kon
9 I
e D
ontvu ve u
mo dje
e:
ovan
ntin
Izvo
Dir
tinuvez
(u tε
da jed
nog
nual
od
rako
uitezu
)t ,
viddna
g pr
lna
apr
ov
δ
ta mopri
dimak
εδ
ravo
ap
rok
im
( )tδ
u nožemkaz
mo sran
( )tεδ
oug
rok
ksim
mpu
) =
nulimozan
sa Snije
) =
gao
ksim
maci
uls
du
d
i jeo ine n
Slik de
du
dε
onog
mac
ije
jed
( )tdt
edinnterna S
ke 2efin
( )tdtε
g im
cija
jed
dna
.
ničnrpreSlici
2.19nisa
).
mpu
jed
inič
k i
ni oetiri 2.1
9, iano
ulsa
dini
čno
izvo
odsati 18.
izvoom
a δ
ično
og o
odu
skoka
od jed
(tεδ
og o
ods
u j
očniao g
aprdini
)t je
ods
koč
edi
i sigra
rokično
e je
sko
čno
inič
ignanič
ksimom
edn
čno
og s
čno
al fčni
macm pr
aka
og s
sign
g o
formslu
cije rav
a jed
sign
nala
ods
malučaj
jedvoug
din
nala
a.
sko
(
lno iz
dinigao
(
nici.
a.
očno
(2.4
o nzvod
ičnoono
(2.4
og
41)
ije da
og om
42)
KD
go
(pfu
KadDira
Zorn
posunk
S
da akov
Znanjom
stupkcije
Slika
ε →vom
ajućm g
pak e i D
a 2.
0→m im
ći dgran
iluDir
.20
0 , mp
da nico
ustrrako
K
izvpuls
δ
je om
rovaovo
Kliz
vodsu:
(tδ
vriint
an og i
zeći
d
)t =
ijedtegr
na imp
i int
apr
limε →
=
dnoraci
t
−∞
Slpuls
tegr
rok
0m εδ
→
ost ije)
(δ τ
ici sa:
hu
ral
ksim
( )tεδ
kliDi
)dτ
2.2
( )t
Dir
mac
) lε
=
izećirak
dτ =
20),
t
−∞
=
rak
cije
0limε →
ćeg kov
0121
=
, us
t
δ∞
ovo
je
mdu
d
inve fu
0,1 ,21,
spo
( )τ
og i
edin
(u t
dtε
ntegunk
t
t
t
<
=
>
osta
dτ
imp
ničn
)t=
gralkcij
0
0
0
<
=
>
avlja
.
puls
nog
du
d=
la (e:
,
amo
sa:
g
( )u t
dt
(int
o v
(a)
ods
).
tegr
vezu
) t <
sko
rala
u i
0<
očn
a sa
zm
i (
og
a p
među
Kon
(b)
si
pro
u H
ntin
t >
ign
omje
Hev
nua
0 .
nala
enl
visa
lni s
t
(2.4
jivo
(2.4
ajdo
(2.4
sign
27
(a)
(b)
teži
43)
om
44)
ove
45)
nali
GLAVA 2
28
2.2.7 Kompleksni eksponencijalni i sinusni signali
Kompleksni eksponencijalni signal se definiše sa:
( ) tx t Cα= , (2.46)
gdje su C i α u opštem slučaju kompleksne konstante. Za ,C α ∈ signal dat sa (2.46) postaje realni eksponencijalni signal. Na Slici 2.21 su prikazani osnovni realni eksponencijalni signali. Kod tih signala, sa porastom vremenske varijable t , za 1α > signal eksponencijalno raste, za 0 1α< < signal eksponencijalno opada, dok se za 0α = i 1α = radi o konstantnom signalu ( )x t C= . Signali koji eksponencijalno rastu se koriste pri opisivanju nekih prirodnih pojava, kao što su lančane reakcije kod složenih hemijskih procesa ili neograničeni porast populacije bakterijskih kultura. U prirodi se fizičke pojave češće opisuju signalima koji eksponencijalno opadaju. Primjeri signala koji eksponencijalno opadaju su odzivi RC kola i signali koji opisuju radioaktivno raspadanje.
Sa kompleksnim eksponencijalnim signalima usko su povezani sinusni signali. Opšti oblik realnog sinusnog signala je:
( ) ( )0cos ,x t A t Aθ= Ω + ∈ . (2.47)
Faza θ je izražena u radijanima, a ugaona frekvencija 0Ω u radijanima po sekundi. Ugaona frekvencija 0Ω , odnosno učestanost izražena u radijanima u sekundi, je sa frekvencijom 0F izraženom u Hz povezana relacijom:
0 02 FπΩ = . (2.48)
Zapisujući kompleksne brojeve C i α u polarnom obliku: jC C e θ= i 0jeα α Ω= , kompleksni eksponencijalni signal ( ) tx t Cα= možemo zapisati sa:
( ) ( ) ( )0 0cos sint tx t C t j C tα θ α θ= Ω + + Ω + . (2.49)
Za 1α = , uz oznaku C A= , (2.49) poprima sljedeći oblik:
( ) ( ) ( ) ( )000 0cos sinj tj tx t Ce C e A t jA tθ θ θΩ +Ω= = = Ω + + Ω + . (2.50)
Za realni dio signala (2.50) vrijedi da je:
Si
fa
teta
inu
azn
e jeako
usna
no p
e iođe
Im
S
a i
pom
imasin
{m x
Slika
ko
mjer
aginnusn
( )x t
a 2
sin
ren
narnni s
} =
.21
Re
nusn
ne z
ni sign
C
R(a
({xna m
za π
dional:
Im
Reala) α
( )}tma
2π :
c
s
o p
{ je
lni α >
A=
atem
cos
sin
pos
( 0j tΩ +
eks1 i
RA
mati
(Ω
( 0Ω
ma
)}θ+
spo(b)
{Re e
ičk
)0tΩ
)0t
atra
} =
onen) 0
(je Ω
a fu
s=
c=
nog
siA
ncijα<
)0t θ+
funk
sin
os
g k
(in Ω
jalnα <
)} =
kcij
0Ω
0Ωkom
0tΩ
ni si1.
A=
a s
0t +
0t −
mpl
t θ+
ign
cos
su i
2π
2π
leks
)θ =
ali
(s Ω
isto
,
,
sno
A=
obl
0tΩ +
og o
og
cos
lika
)θ+
obl
eks
sΩ
a (x
) .
lika
spo
0tΩ
( )t
a, al
onen
θ+
C=
li s
nci
πθ −
Kon
tCα
su m
jaln
2π
ntin
:
međ
nog
.
nua
đus
g si
lni s
(2.5
sob
(2.5
(2.5
ign
(2.5
sign
29
(a)
(b)
51)
bno
52)
53)
nala
54)
nali
GLLAVA
30
Zbko
sinuč
sinjed
Va
Ak
sv
A 2
0
bogomp
nusčest
Prnusdno
ažn
ko
vaku
g topleks
sni tano
rimsoidom
na o
je
u vr
oga snim
sigosti
mjer dalnton
osob
0Ωrije
ćem si
gnai i i
sinnognu
bin
0 =edno
moinus
al sisto
nusng simu
na si
0 r
ost
o kosnim
se mog fa
A
nogign
uzik
inu
rad
T
omm sig
mofazn
cos
g siala,
ke.
usni
di s
. A
Sli
plegnal
e
ože nog
(s Ω
igna, k
ih s
e
e o
Ako
ika
eksnlima
0je Ω
zag sta
0tΩ +
ala kao
sign
0j te Ω
o k
je
2.2
ne ea. K
t =
apisava
)θ+
je i
nala
e=
ons
0Ω
22
eksKor
cos
sati ka
) =
privar
a je
0je Ω
je
stan
0≠
0T
Sin
ponriste
0sΩ
pro:
(2A
kazrija
njih
(0 t T+
0j TΩ
ntn
0 ta
0 =
nus
neneći
0t +
rek
(( je Ω
zan cije
hov
)T =
1T =
om
ada
0
2πΩ
sni
ncijaOjl
sij+
ko
0t θΩ +
nae a
va p
je Ω=
1.
m si
a je
0
π.
sign
alnlero
in Ω
kom
)θ +
a Slakus
per
0t jeΩ
igna
osn
nal
e siovu
0tΩ
mp
e−+
ici stič
iod
0j TΩ
alu
nov
(θ
ignu re
,
lek
( 0j Ω
2.2čkog
dičn
T ,
(xvni
0θ ≥
nale elaci
ksno
)t θ+
22. g p
nost
( )t =per
0 ).
koiju:
og
) .
Odprit
t. U
1=riod
od k
sin
dzivtisk
Uslo
ko
d T
koji
nusn
v LCka k
ov p
oji
0T d
ih j
nog
C kkoj
peri
je
dat s
je α
g s
kolae o
iod
per
sa:
α =
sign
a imodg
dičn
riod
1=
(
nala
(
ma gov
nost
(
(
diča
(
zva
(2.5
a is
(2.5
oblvara
ti je
(2.5
(2.5
an
(2.5
ati
55)
ste
56)
lik aju
e:
57)
58)
za
59)
Nissub
ppkpseksisi
Na osti ou pržim
rosros
kompseudkspinuinu
S
osnosnperiom oPo
Zastopstopplekdopeponsnimsnim
Slik
novunovnodioscism
kljuperiperiksnieriod
nencm m
ka 2
u pni pičniilacatra
(x
učiliodiodim dičncijasig
2.23
pretperii zacijamajm
)t =
li dičndičn
eksni slna
gnalsig
3 (p
thoioda svma
mo p
C=
smni kni rsponsinu
a flimanal
(a) Rpse
dnid. Kvakusig
pon
C α
o komrealnencusnifunka, dlima
Raseudo
ih rKon
u vgnalnov
cotα
dample
ni cijali sikcijdoka.
stućope
relantinuvrijela. vo o
(os
a seksnsinlnimignaja, k s
O
ći perio
acijaualnedn
opš
0tΩ
se ni
nusnm sali.
pae zOp
pseuodič
a lani k
nost
ti o
t θ+
iz sinuni sign
Za za
pada
udočni
ako komt Ω
obli
)θ +
ousnsign
nalimaih α
ajuć
opersin
zakmpl
0Ω ,
ik k
j+
opštni snalima, αna1ći
riodnusn
kljulekspri
kom
C
teg signi. Zči
1azivrad
p
dičnni s
učusni i če
mple
tα
onali Zaiji
anvamdi pseu
ni sign
jemeks
emu
eks
cos
obličijαsu
nvemo o oudo
sinunal.
mo spou v
nog
sΩ
ikai su
1α ≠u relop
raopaope
usn
da onenveća
g ek
0tΩ
(2u r1 rrealnpa astuadajerio
i sig
signcija vr
ksp
θ+
2.60ealnradini ov
ućimjući
odič
gna
gnaljalnrije
pon
πθ −
0) ni ii sei
vihm im čni
al i
li eni sidno
nenc
2π
zai ime oimsigpsps
(b)
0j tΩ
ignost
cija
.
a mago p
magignaseudseudsin
Kon
op
i enali
Ω
lno
α =ginapseudinarala dopdopnusn
ntin
pada
je− Ω
obl
0 o
og s
1= arnidoprni
je periperini
nua
ajuć
0tΩ likaodg
sign
di dierio
dira
iodiod
lni s
ći
imaa jegova
nala
(2.6
dobijeloodičnijeloastu
dičndičnsign
sign
31
(a)
(b)
aju 0j tΩ
ara
a:
60)
biju ovi nim ovi ućanim nim nal
nali
GLAVA 2
32
( ) ( )0costx t C tα θ= Ω + , 1α , se često naziva prigušena sinusoida. Kao primjer ovakvih signala možemo navesti odziv RLC kola. Oblici pseudoperiodičnih sinusnih signala za ova dva slučaja su prikazana na Slici 2.23. Crtkana linija predstavlja anvelopu oscilacija.
Kompleksni eksponencijalni signali igraju centralnu ulogu u predstavljanju fizičkih pojava. Ako je 0T osnovni period, osnovna kružna učestanost se definiše sa
0 02 TπΩ = . U analizi i obradi signala korisno je uvesti pojam harmonijski vezanih kompleksnih eksponencijalnih signala, tj. skupa periodičnih kompleksnih eksponencijalnih signala, čije su osnovne frekvencije jednake cjelobrojnom umnošku jedne pozitivne frekvencije 0Ω :
( ) 0 , 0, 1, 2,...jk tk kx t C e kΩ= = ± ± (2.61)
Elementi ( )kx t ovog skupa nazivaju se harmonicima. Nulti harmonik
( )0 0x t C= je konstanta, dok je za svaku drugu vrijednost k harmonik ( )kx t periodičan kompleksni eksponencijalni signal sa osnovnim periodom
( )02 kπ Ω , te je njegova osnovna učestanost 0kΩ .
Kako je signal koji je periodičan sa periodom T takođe periodičan i sa periodom mT za svaki pozitivan cio broj m , jasno je da svi signali ( )kx t imaju
zajednički period 02π Ω . Korišćenje termina harmonijski je konzistentno sa njegovim korišćenjem u muzici, gdje se odnosi na tonove koji nastaju od varijacija akustičkog pritiska na frekvencijama koje su harmonijski zavisne.
2.2.8 Sinc signal
Nenormalizovani sinc signal, prikazan na Slici 2.24, je definisan sa:
( ) ( )sinsinc
tt
t= . (2.62)
Normalizovana verzija sinc signala je data sa:
( ) ( )sinsinc
tt
t
ππ
= . (2.63)
o
nu la
p
otaslovza
Obla
Valaztač
ako
Bred
Bbjaačkalučadnoelikado
Ovaast p
Vrijeze učkaćem
Buddsta
Bez asniamaju osuku vovo
aj siprim
ednu taamamo
dućiavu
upiti na tjed
u navrij
oljen
ignamje
nostačka to do
i dDi
pušna s
= ±dnaa ajednni s
al iene,
t siam= ±
oka
da iirak
tansljed
,ε±ake ampnossu s
S
ima, po
inc ma t
1,± ±azat
imakov
nja deć
2ε±nul
plitust. svi u
Slik
a veoseb
sign=
2,± ti da
a jevog
u sći n
,ε li zuduPri uslo
ka 2
eombno
gna,nπ
a je
edinimp
stronači tza tu g
toovi
2.24
ma vo u
ala n =
U e int
ničpul
liε
ogi in. Kteže
0t ≠glavome
iz
4 G
važob
u n= ±Glategr
∞
−∞
nu lsa.
0im
ε→
maKade ka0 . noge sedef
Gra
žnu brad
nuli1,± ±avi ral
sin∞
∞
poZa
1 siε
atemda a nuAm
g lue zfinic
afič
ulodi si
i je2,± 6,
nor
(nt
ππ
ovra no
inc
maε →
uli, mplukaadrcije
čka
oguign
e je K
narma
)td
π
ršinorm
t
ε
tičk0→
palitua, pržave D
pre
u u ala
ednaKodakonaliz
dt =
nu, mali
=
ki d0 , sa suude pa fva jirak
sin
edst
frei k
akad nn uzov
1= .
sinizov
(tδ
doksve u sv
bofunjedikov
(nc
tav
ekvom
a jenormuvoane
nc van
)t .
kaz,nu
ve vočninkciinič
vog
)t
a si
encmun
edanmal
ođene sin
signi si
, oule ovrijeih lija čna
g im
inc
cijsknika
n, dlizonja nc
gnalinc
vajoveednlukou n
a vrmpu
sig
kojacio
dokovan
Fufun
l sesig
gre funostovanulirijed
ulsa.
gnal
anonim
k sene urijenkci
e mgnal
raniunkti fua sei pdno.
la.
nalizm si
e nsinceovije:
mol vri
ičnikcijeunke moprost
zi siste
nulec fu
ve t
ože rijed
i sle kokcij
mogurimint
Kon
signemi
e siunktran
kodi d
lučaoje e uu z
ma btegr
ntin
nalama
inc kcijensfo
orisda je
aj mse
u grazanebesrala
nua
a i ša.
fune nuorm
titi e:
monalaniemakona. D
lni s
širo
nkcule
maci
(2.6
i
(2.6
ožemlazečnoaritnačDak
sign
33
oku
cije su ije,
64)
za
65)
mo e u om ti u čno kle,
nali
GLAVA 2
34
2.3 Operacije nad signalima
Skoro sve poznate operacije nad matematičkim funkcijama: transformacije nezavisne varijable u koje ubrajamo refleksiju, pomjeranje (translaciju) i skaliranje; osnovne matematičke operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje, zatim diferenciranje i integraljenje, ima smisla primjenjivati i na signale. Osim klasičnog definiše se i generalisani izvod, kako bi bilo moguće raditi izvode signala koji imaju prekide prve vrste. Ipak, najvažnija operacija pri analizi i obradi signala u vremenskom domenu je konvolucija, kojoj ćemo posvetiti posebnu pažnju. Važnu operaciju predstavlja i korelacija koju ćemo, takođe, obraditi u Glavi 4.
2.3.1 Transformacije nezavisne varijable
Refleksija signala oko neke tačke, najčešće 0t = , je ilustrovana na Slici 2.25. Refleksija signala oko nule je data sa:
( ) ( ) ,y t x t t= − ∀ . (2.66)
Translacija signala za neki iznos 0t odgovara pomaku signala po vremenskoj osi za isti iznos:
( ) ( )0 ,y t x t t t= − ∀ . (2.67)
Signal ( )0x t t− je vremenski pomjerena verzija signala ( )x t , kao na Slici 2.26.
Skaliranje signala se dobije linearnom promjenom skale nezavisne varijable:
( ) ( ) , ,y t x at t a= ∀ ∈ . (2.68)
Za 1a > signal je sužen, dok za 1a < dolazi do proširivanja signala, kao na Slici 2.27.
Sli
Sli
ika
ika
2.2
2.2
26
25
Tr
Re
rans
efle
slac
ksij
cija
ja s
sig
sign
gnal
nala
la (
a.
0t > 0> )).
Konntinnualni ssign
35
nali
GLLAVA
36
A 2
6
(a) (b (c
Sl
a)
b)
)
likaa 2.27 Sk
fa
kali
akto
iran
oro
nje
om
sign
a =
nal
2=
a: (
i (c
(a) o
c) s
orig
sign
gina
nal
alni
ska
i sig
alira
gna
an s
al; (b
sa f
b) s
fakt
sign
toro
nal
om
ska
a =
alira12
=
an s
2.
sa
Kontinualni signali
37
2.3.2 Osnovne matematičke operacije nad signalima
Sabiranje i oduzimanje signala ( )1x t i ( )2x t se definišu sa:
( ) ( ) ( )1 2 ,y t x t x t t= ± ∀ , (2.69)
dok je množenje signala dato sa:
( ) ( ) ( )1 2 ,y t x t x t t= ⋅ ∀ . (2.70)
2.3.3 Izvod i integral signala
Jednako kao za matematičke funkcije, definišu se izvod signala:
( ) ( ),
dx ty t t
dt= ∀ (2.71)
i integral signala:
( ) ( ) ,y t x t dt t= ∀ . (2.72)
Pri određivanju izvoda pretpostavlja se da signal nema diskontinuiteta. Uvođenjem Dirakovog impulsa i na njemu zasnovanoj definiciji generalisanog izvoda omogućeno je diferenciranje i onih signala koji imaju prekide prve vrste. Geometrijski gledano, prvi izvod je jednak nagibu tangente povučene na signal u tački diferenciranja. Pošto u tačkama diskontinuiteta signal ima okomit skok, nagib tangente, pa time i prvi izvod je beskonačno velik.
Signal ( )x t koji ima prekid u tački 0t t= možemo zapisati kao razliku kontinualnog signala definisanog sa:
( )( )( )( ) ( ) ( )
0
1 0 0
0 0 0
x t t t
x t x t t t
x t x t x t t t
+
+ −
>= = + − <
(2.73)
GLAVA 2
38
i reflektovanog i pomjerenog jediničnog odskočnog signala ( )0u t t− + , na sljedeći način:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0x t x t x t x t u t t+ − = − − − + . (2.74)
Ilustracija ovakvog zapisa signala sa prekidom prikazana je na Slici 2.28.
Kako je:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0
du t du t tt t t t t
dt dtδ δ δ
− += = − − + = − − , (2.75)
generalisani izvod signala ( )x t definišemo sa:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
10
0 0 0 0
,
, .
dx tt tdx t
dtdt
x t x t t t t tδ+ −
≠=
− − =
(2.76)
Pri tome smo koristili činjenicu da je ( ) ( )1dx t dx t
dt dt= za 0t t≠ . Generalisani
izvod posmatranog signala sa prekidom je prikazan na Slici 2.29.
Ako signal ima diskontinuitet u više tačaka , 0,1,2, ,kt t k n= = , generalisani izvod se definiše sa:
( )
( )
( ) ( ) ( )1
, , 0,1,2, ,
, , 0.,1,2, , .
k
n
k k k kk
dx tt t k n
dx t dtdt
x t x t t t t t k nδ+ −=
≠ ==
− − = =
(2.77)
S
S
lika
Slik
a 2.
ka 2
.29
2.28
G
Φ
8 S
p
Gen
Φ =
Sign
prid
nera
(x t
nal
dru
alisa
)0t +
(xužen
ani
) x−
)t s
ni si
izv
( 0x t
sa p
ign
vod
)0− .
pre
nal b
sig
.
kid
bez
gnal
dom
z pr
la x
m u
reki
(x t
tač
ida
) k
čki
(1x
koji
t =
( )t
im
0t
(isp
a p
(pu
pre
prek
una
kid
kid
lin
dana
u ta
Kon
ija)
a lin
ačk
ntin
i n
nija
ki t
nua
njem
a).
0t=
lni s
mu
0 ,
sign
39
nali