Vilius StakenasTikimybiu teorijospaskaitos
Vilnius 2007
Turinys1 Tikimybine erdve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1. Statistiniai eksperimentai . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Klasikinis modelis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Intermezzo: kelios kombinatorikos formules . . . . . . . 81.4. Geometrines tikimybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Tikimybiu teorijos aksiomos . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Kelios lygybes ir nelygybes . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7. Paprastieji atsitiktiniai dydĀŗiai ir tikimybes . . . . . . 211.8. Tikimybes monotoniĀ²kumas . . . . . . . . . . . . . . . 261.9. Tikimybiniai matai Borelio Ļ-algebroje . . . . . . . . . 271.10. SĀ”lygines tikimybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11. Nepriklausomi ivykiai. Bernulio schema . . . . . . . . 342 Atsitiktiniai dydĀŗiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1. Atsitiktinio dydĀŗio sĀ”voka . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2. Atsitiktiniai dydĀŗiai ir ju skirstiniai . . . . . . . . . . . 442.3. Diskretieji atsitiktiniai dydĀŗiai . . . . . . . . . . . . . . 472.4. AbsoliuĀ£iai tolydus skirstiniai . . . . . . . . . . . . . . 492.5. Nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai . . . . . . . . . . . 562.6. Atsitiktiniu dydĀŗiu vidurkis . . . . . . . . . . . . . . . 612.7. Atsitiktinio dydĀŗio dispersija ir kiti momentai . . . . 682.8. Atsitiktiniu dydĀŗiu konvergavimo ruĀ²ys . . . . . . . . . 742.9. Silpnasis konvergavimas ir kompaktiĀ²kumas . . . . . . 812.10. Charakteringosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . 842.11. Ribines teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
1 Tikimybine erdve1.1. Statistiniai eksperimentaiinoma situacija: galime kartoti tam tikrĀ” bandymĀ” daugybĀ¦ kartu patiki-mai speti, kuo bandymas pasibaigs, visvien neiĀ²moksime. TaĀ£iau galimenusakyti visu baigĀ£iu aibĀ¦.1 pavyzdys. LoĀ²imo kauliukĀ” mete jau 1-os faraonu dinastijos Egiptogyventojai (2950-2650 pr. Kr.). Graiku legenda tvirtina, jog loĀ²imo kauliukĀ”nuobodĀŗiaujantiems prie Trojos sienu graiku kareiviams pasiule Palamedejus.KauliukĀ” mego ir arabai; Āŗodis azartas yra kilĀ¦s iĀ² arabiĀ²ko ĀŗodĀŗio alzar,kuris reiĀ²kia tiesiog kauliukĀ”.1Meskime kauliukĀ” ir mes toks musu eksperimentas. Galimu rezultatuaibeĪ© = Ļ1, . . . , Ļ6,Ā£ia Ļi Āŗymi rezultatĀ” iĀ²krito i akuĀ£iu.2 pavyzdys. Metykime tĀ” pati kauliukĀ”, kol iĀ²kris skaiĀ£ius 6ir raĀ²ykime i eilĀ¦ iĀ²kritusiu akuĀ£iu skaiĀ£ius. Gausime skaiĀ£iu eiles, pasi-baigianĀ£ias Ā²eĀ²etu, taĀ£iau gali buti ir taip, kad Ā²eĀ²eto negausime, tada skaiĀ£iueile bus begaline. Tokias eiles naturalu laikyti bandymo baigtimis, nors Ā²iektiek keista kalbeti apie bandymo baigti tuo atveju, kai bandymas niekaip ne-gali pasibaigti. Galimu baigĀ£iu, susijusiu su tokiu bandymu, aibe Ī© begaline,bet skaiti. JĀ” sudaro baigtiniai arba begaliniai rinkiniai:
Ļ = ćĻ1, . . . , Ļmā1, 6ć, ćĻ1, . . . , ć, Ļj ā 1, 2, . . . 5, m ā„ 1.3 pavyzdys. vilgtelejĀ¦ i termometrĀ” uĀŗ lango ksuokite, kĀ” jisrodo. TeoriĀ²kai galimu rezultatu aibe kontinumo galios: Ī© = [s, S], Ā£ia s termometro skales maĀŗiausioji reikĀ²me, S - didĀŗiausioji. TaĀ£iau vargu ar kasyra teigĀ¦s, kad termometro rodoma temperatura lygi, tarkime ā300 laipsniuĀ²ilumos.4 pavyzdys. Mintinis eksperimentas: isivaizduokite trajektorijĀ”, kuriĀ”ant emes rutulio pavirĀ²iaus breĀŗia jusu kojos, kai gyvenate iprastinĀ¦ savodienĀ”. Galimu tokio bandymo baigĀ£iu aibĀ¦ Ī© sudaro uĀŗdaros kreives (jeinakvojate namuose).1Juliaus Cezario garsiojo posakio alea jacta est paĀŗodinis vertimas yra taipogi kauliukas mestas. 4
ā¢ Triviali iĀ²vada: bandymai, kuriu baigties negalima iĀ² anksto numatyti,buna ivairus.ā¢ Netrivialus klausimas: kokie desningumai tokiu eksperimentu atvejuyra imanomi?ā¢ Empirinis pastebejimas: desningumai iĀ²ryĀ²keja, analizuojant daug kartupakartoto statistinio2Meskime, pavyzdĀŗiui, loĀ²imo kauliukĀ”N kartu, Ā£iaN tikrai didelis skaiĀ£ius.Tegu Ni kartu pasirode i akuĀ£iu. DidĀŗiule loĀ²eju patirtis tvirtina, jog egzis-tuoja nuo paties kauliuko savybiu priklausantys dydĀŗiai pi, kad spejimas
N1
Nā p1, . . . ,
N6
Nā p6pasitvirtina labai daĀŗnai. TaĀ£iau dalykas nera toks paprastas. Kai kurieeksperimentatoriai galbut gaus Āŗymiai besiskirianĀ£ias nuo pi dydĀŗiu Ni/NreikĀ²mes. Bet mes pasikliausime dauguma ir tarsime, jog baigtims Ļi galimapriskirti skaiĀ£ius, apibudinanĀ£ius ju pasitaikymo daĀŗnumĀ”.DaĀŗnai, ivykius susijusius su bandymu, nusakome ĀŗodĀŗiais. PavyzdĀŗiui,jei bandymas yra vieno kauliuko metimas, tai gali rupeti ivykis, iĀ²krito nemaĀŗiau, kaip keturios akutes; jeigu bandymas kortos traukimas iĀ² kalades,gali buti svarbu, ivyks ar neivyks ivykis iĀ²trauktoji korta yra tuzas ir t.t.Ivykis iĀ²krito ne maĀŗiau, kaip keturios akutes ivyks ir tada, kai iĀ²kris ke-turios akutes (t.y. pasirodys baigtis Ļ4), ir kai penkios, ir kai Ā²eĀ²ios. Taiginaturalu Ā²ias baigtis pavadinti palankiomis ivykiui iĀ²krito ne maĀŗiau, kaipketurios akutes, o pati ivyki tiesiog sutapatinti su baigĀ£iu aibe Ļ4, Ļ5, Ļ6.Matematines teorijos pradĀŗios taĀ²kas:Su statistiniu bandymu susiesime jo baigĀ£iu aibĀ¦ Ī©. Visus kitus ivykius,kuriuos nagrinesime, vaizduosime aibes Ī© poaibiais.PavyzdĀŗiui, kauliuko metimo atveju ivyki iĀ²krito lyginis skaiĀ£ius akuĀ£iuvaizduosime aibe Ļ2, Ļ4, Ļ6 .itaip ivykius pavertĀ¦ poaibiais gauname labai sausĀ” matematini reiĀ²kinio,kuri itakoja atsitiktinumai, modeli ir galime kiekybiĀ²kai ji tyrineti.2Status - padetis (lotyniĀ²kai). Statistiniu bandymu arba eksperimentu vadinsime tokibandymĀ”, kurio vienintelis tikslas jo baigties ksavimas, neanalizuojant, kokios butentbandymo sĀ”lygos tĀ” baigti leme. eksperimento rezultatus.5
1.2. Klasikinis modelisTarkime, statistinio eksperimento galimu baigĀ£iu aibe yra baigtine:Ī© = Ļ1, . . . , ĻN.Taip pat tarkime, kad visos jos turi vienodas galimybes atlikus bandymĀ”pasirodyti.3Atsitiktiniais ivykiais baigĀ£iu aibes Ī© poaibius A ā Ī©, visu poaibiuaibĀ¦ Āŗymesime P(Ī©). Tikiuosi, kad Āŗinote, kaip apibreĀŗiama aibiu sĀ”junga,sankirta ir skirtumas. ias operacijas Āŗymesime, kaip iprasta, Āŗenklais āŖ,ā©, \.Baigtines aibes A elementu skaiĀ£iu Āŗymesime |A|.Naudosime tokius terminus:
ā¢ baigtis Ļ ā A vadinsime palankiomis A;ā¢ aibĀ¦ ā vadinsime negalimu, Ī© - butinu ivykiu;ā¢ ivykius A ir A = Ī© \ A vadinsime prieĀ²ingais;ā¢ jei A ā©B = ā , ivykius A,B vadinsime nesutaikomais.Ivykis susijĀ¦s su realiu bandymu ivyksta, kai pasirodo palanki jam baigtis.Kuo daugiau ivykis turi palankiu jam baigĀ£iu, tuo daugiau galimybiu tamivykiui atlikus bandymĀ” ivykti. ia ideja remiasi klasikinis tikimybes apibreĀŗimas,kuri pirmĀ” kartĀ” pradejo naudoti Girolamo Cardano (1501-1576).1 apibreĀŗimas. Tikimybe vadinsime funkcijĀ” P : P(Ī©) ā [0, 1],apibreĀŗiamĀ” lygybe
P (A) =|A||Ī©| .SkaiĀ£iu P (A) vadinsime ivykio A ā Ī© tikimybe.Elementariais ivykiais vadinami ivykiai, kuriems palanki tik viena baigtis,juos atitinka poaibiai, turintys tik vienĀ” elementĀ”. Taigi kiekvienam elemen-tariajam ivykiui
P (Ļ) =1
|Ī©| .Toliau aibĀ¦, sudarytĀ” iĀ² vieno elemento Ļ Āŗymesime tiesiog Ļ ir nepaisysimesubtilaus skirtumo tarp baigties ir elementaraus ivykio.3i teigini konkretaus bandymo atveju priimame arba atmetame remdamiesi ne for-maliu irodymu, bet tam tikra praktine bei mĀ”stymo patirtimi. Jis leidĀŗia mumssudaryti formalu matematini modeli, kuri turint jau galima visai ar iĀ² dalies pamirĀ²tigan neapibreĀŗtas empirines jo atsiradimo prielaidas.6
Toks yra klasikinis tikimybiu skaiĀ£iavimo modelis. O kas gi tie klasikai?Matyt, vienaip ar kitaip galimybes vertino visu laiku azartiniu Āŗaidimu megejai.Iprasta tikimybiu teorijos pradĀŗiĀ” sieti su prancuzu matematiku Blezo Paskaliobei Pjero Ferma darbais.4Tradicija sako, kad Paskali susidometi tikimybiu teorija paakinĀ¦s tulasdidikas ir azartiniu loĀ²imu megejas de Mere (Chevalier de Meray). Su-tikĀ¦s Paskali pakeliui i savo dvarĀ”, jis suformulavo jam du uĀŗdavinius,kurie ir sukele Paskalio susidomejimĀ” tikimybiu arba galimybiu skai-Ā£iavimu. Vienas uĀŗdavinys buvĀ¦s toks.De Mere uĀŗdavinys. Kuri tikimybe didesne: gauti nors vienĀ” Ā²eĀ²etu-kĀ”, keturis kartus metus kauliukĀ”, ar bent vienĀ” kartĀ” du Ā²eĀ²etukus, 24kartus metus kauliuku porĀ”? Pabandykite ispeti atsakymĀ”.Taigi klasikine tikimybine erdve yra matematinis modelis, apraĀ²antis bandymĀ”su vienodai galimomis baigtimis. Tokiu bandymu pavyzdĀŗiai: simetriĀ²koloĀ²imo kauliuko metimas, kortos traukimas iĀ² kalades, rutulio traukimas iĀ²urnos, kurioje visi rutuliai vienodi ir t. t.Akivaizdu, jog klasikiniame modelyjeP (A) =
ā
ĻāA
P (Ļ), P (Ī©) =ā
ĻāĪ©
P (Ļ) = 1.TaĀ£iau bandymai su vienodomis baigtimis tikru bandymu idealizacija. Juknera nei visiĀ²kai simetriĀ²ku kauliuku, nei visiĀ²kai vienodu rutuliu... Taigi daĀŗ-niausiai ne visos baigtys yra lygiavertes, t. y. ne visos elementariuju ivykiutikimybes vienodos. TaĀ£iau svarbiausia egzistuoja intervalo [0; 1] skaiĀ£iai,kurie apibudina baigĀ£iu pasirodymo galimybes, t.y. kiekvienĀ” elementarujiivyki Ļ atitinka jo tikimybe P (Ļ). iuo pastebejimu paremtas toks klasikinestikimybines erdves apibendrinimas.2 apibreĀŗimas. Tegu Ī© yra baigtine arba skaiti aibe, P(Ī©) visu jospoaibiu sistema, P (Ļ), Ļ ā Ī©, neneigiamu skaiĀ£iu aibeā
ĻāĪ©
P (Ļ) = 1.4Pierre de Fermat (1601-1665), Blaise Pascal (1623-1662).Paskalio vardas minimas ne tik matematiku, bet ir ziku, ir losofu ir teologu raĀ²tu-ose. Galbut svarbiausias jo losonis veikalas - fragmentiĀ²ku minĀ£iu ir svarstymu rinkinysMintys. tai viena iĀ² Ā²io rinkinio iĀŗvalgu: Niekas nelaikomas nusimananĀ£iu apie poezijĀ”,jei neturi etiketes, kad yra poetas. PanaĀ²iai ir su matematika ir t.t. O tikrai iĀ²silavinĀ¦Āŗmones nenori etiketes ir nedaro didelio skirtumo tarp poeto ir adytojo. Tikrai iĀ²silavinĀ¦Āŗmones nevadinami poetais, matematikais ir t.t. TaĀ£iau jie tokie yra ir apie visas Ā²ias sritisgeba sprĀ¦sti. 7
Tikimybe vadinsime funkcijĀ” P : P(Ī©) ā [0, 1], apibreĀŗiamĀ” lygybeP (A) =
ā
ĻāA
P (Ļ).TrejetĀ” ćĪ©,P(Ī©), P ć vadinsime diskreĀ£iĀ”ja tikimybine erdve.Taigi diskreĀ£ioji tikimybine erdve yra tikimybinis bandymo su baigtine(arba skaiĀ£ia) nebutinai vienodai galimu baigĀ£iu aibe modelis. TaĀ£iau noredamiji taikyti konkreĀ£iam bandymui, turime suĀŗinoti elementariuju ivykiu tikimybesP (Ļ).Niekas niekada nepasiulys nei formules, nei algoritmo tikslioms tikimybiureikĀ²mems apskaiĀ£iuoti. PraktiĀ²kai galima elgtis Ā²itaip. Tegu Ī© = Ļ1, Ļ2, . . . , Ļmyra bandymo baigĀ£iu aibe; pakartokime bandymĀ” dideli skaiĀ£iu n kartu.SuskaiĀ£iuokime, kiek kartu pasirode baigtys Ļ1, Ļ2, . . . , Ļm; tegu pasirodymuskaiĀ£iai yra n1, n2, . . . , nm.Tada tikimybes galima skaiĀ£iuoti padarius prielaidĀ”,kad
P (Ļ1) ān1
n, P (Ļ2) ā
n2
n, . . . P (Ļm) ā nm
n.Nera garantijos, kad Ā²itaip skaiĀ£iuodami nepadarysime dideles klaidos, kaipkad nera garantijos, kad pirkdami turguje negausite grĀ”Āŗos netikro dvideĀ²imtieslitu banknoto.i teorema apie nesutaikomus ivykius yra tiesiog akivaizdi.1 teorema. Tegu ćĪ©,P(Ī©), P ć yra diskreĀ£ioji tikimybine erdve. Teisin-gos lygybes P (ā ) = 0; P (Ī©) = 1.Jei A ir B yra nesutaikomi ivykiai, tai
P (A āŖ B) = P (A) + P (B).1.3. Intermezzo: kelios kombinatorikos formulesTaikant klasikines tikimybines erdves modeli, daĀŗnai tenka skaiĀ£iuoti, kiekgi elementu yra aibeje Ī© bei jos poaibiuose. UĀŗdavinius, kuriuose reikalau-jama suskaiĀ£iuoti, kiek yra elementu, turinĀ£iu tam tikras savybes, nagrinejakombinatorika. KeletĀ” tokiu uĀŗdaviniu iĀ²sprĀ¦skime.Tarkime turime baigtinĀ¦ aibĀ¦:SN = Ļ1, . . . , ĻN.Parinkime SN elementĀ”, padarykime jo kopijĀ”, grĀ”Āŗinkime elementĀ” i aibĀ¦ irrinkime elementĀ” iĀ² naujo. Tai atlikĀ¦ n kartu gausime rinkinićĻć = ćĻi1 , . . . , Ļinć,8
kuri vadinsime gretiniu su pasikartojimais iĀ² N po n elementu. Ju aibeSn
N = SN Ć . . .Ć SN .?? (1)PaĀŗymekime BnN = |Sn
N |. Jeigu SN yra N raidĀŗiu abecele, tai SnN yra tosabeceles n ilgio ĀŗodĀŗiu aibe. Beveik akivaizdu, kad Bn
N = Nn.Vel parinkime SN elementĀ”, taĀ£iau jo nebegrĀ”Āŗinkime i aibĀ¦. Rinkime iĀ²sumaĀŗejusios aibes naujĀ” elementĀ” ir taip toliau. Dabar gausime rinkinićĻć = ćĻi1 , . . . , Ļinć, Ļiu 6= Ļiv , u 6= v, (2)kuri vadinsime gretiniu be pasikartojimu iĀ² N po n elementu. PaĀŗymekimeju aibĀ¦ Sn
N , ir AnN = |Sn
N |. AibĀ¦ SnN , suskaidykime i nesikertanĀ£ias klases
S(i) = ćĻi1, . . . , Ļinć ā SnN : i1 = i, i = 1, 2, . . . , N.Taigi S(i) sudaro gretiniai su tuo paĀ£iu pirmuoju elementu. Kadangi |S(i)| =
Anā1Nā1, tai
AnN = N Ā· Anā1
Nā1.PasinaudojĀ¦ Ā²iuo sĀ”ryĀ²iu bei tuo, kad su visais m A1m = m, gausime
AnN = N(N ā 1) . . . (N ā n + 1).Dydis An
n = n! yra tiesiog n elementu skirtingu iĀ²destymu i vienĀ” eilĀ¦ skaiĀ£ius.Jeigu n elementu pasirinksime negrĀ”Āŗindami i aibĀ¦, o po to rinkinyje surik-iuosime elementus indeksu didejimo tvarka, gausime derini iĀ² N elementupo nĻi1 , Ļi2 , . . . , Ļin , i1 < i2 < . . . < in, (3)kuri galima tiesiog interpretuoti kaip aibes SN n elementu poaibi. Deriniube pasikartojimu aibĀ¦ paĀŗymekime
DnN , Cn
N = |DnN |.Literaturoje dydis Cn
N daĀŗnai Āŗymimas ir taip: (Nn
). Protinga apibreĀŗti C0
N =1 (iĀ²N elementu aibes nieko nepasirinkti galime tik vienu budu). IĀ² kiekvienoderinio (3) galime sudaryti n! skirtingu (2) gretiniu. IĀ² skirtingu deriniuvisada gauname tik skirtingus gretinius ir visi (2) gretiniai yra Ā²itaip gaunami.Taigi
AnN = n! Ā· Cn
N .Vel rinkime elementus kaip pirmuoju atveju, taĀ£iau nerikiuokime ju kopijui eilĀ¦. Tik parinkĀ¦ visus n elementu, sutvarkykime juos taip:m1ļø· ļøøļøø ļø·
Ļ1 . . . Ļ1
m2ļø· ļøøļøø ļø·Ļ2 . . . Ļ2 . . .
mNļø· ļøøļøø ļø·ĻN . . . ĻN , m1 +m2 + . . .+mN = n, mi ā„ 0. (4)9
(4) rinkini vadinsime deriniu iĀ² N po n su pasikartojimais, ju aibĀ¦ irskaiĀ£iu paĀŗymekimeDn
N , ĪnN = |Dn
N |.Isivaizduokime (4) kaip spalvotu rutuliuku rinkini: viena spalva nudaĀŗyti Ļ1,kita Ļ2 ir t. t.Tarkime turime n nespalvotu rutuliuku . . . .Dydis Īn
N lygus galimybiu nuspalvinti Ā²iuos rutuliukus, kad gautume (4)rinkini, skaiĀ£iui. Parinkime Nā1 pertvarelĀ¦ ir atskirkime rutuliukus, kuriebus spalvinami atitinkamai 1-Ā”ja, 2-Ā”ja,... N-Ā”ja spalvomis. Jei i-oji spalvanebus naudojama, tai iā 1-oji pertvarele stoves greta i-osios: | || . . . | . (5)Dydis Īn
N lygus pertvareliu iĀ²destymo galimybiu skaiĀ£iui. SunumeravĀ¦ (5)objektus (rutuliukus ir pertvareles) skaiĀ£iais nuo 1 iki N+nā1, gausime, kad(5) sekĀ” nusako pertvareliu numeriai. Juos parinkti turime tiek galimybiu,kiek yra budu parinkti N ā 1 elementĀ” iĀ² aibes, kurioje ju yra N + n ā 1.is skaiĀ£ius savo ruoĀŗtu lygus deriniu be pasikartojimu po N ā 1 elementĀ” iĀ²N + nā 1 skaiĀ£iui.Susumuokime savo rezultatus.2 teorema. Teisingi Ā²ie teiginiai:
BnN = Nn, Īn
N = CNā1N+nā1,
AnN = N(N ā 1) . . . (N ā n+ 1), Cn
N =N !
n!(N ā n)!.Visu deriniu be pasikartojimu po n iĀ² N elementu aibĀ¦ Dn
N padalykime idvi klases:D1 = D : Ļ1ieina i D, D2 = D : Ļ1neieina i D.Tada
|DnN | = |D1| + |D2|,arba
CnN = Cnā1
N + CnNā1.ia lygybe naudojamasi sudarant gerai ĀŗinomĀ” Paskalio trikampi:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1.10
ia m-tosios eilutes narys gaunamas, sumuojant du virĀ² jo uĀŗraĀ²ytus mā 1-osios eilutes elementus. Taigi N + 1-oje eiluteje uĀŗraĀ²yti koecientai lygusCn
N .iu kombinatoriniu formuliu nuolat prireikia, taikant klasikinĀ¦ tikimy-biu skaiĀ£iavimo schemĀ”. DaĀŗnai jas taikome kartu su vadinamĀ”ja daugybostaisykle: jei pirmĀ”ji elementĀ” galime parinkti iĀ² n1 elementu aibes, o antrĀ”ji iĀ² n2 elementu aibes, tai iĀ² viso galime sudaryti n1 Ā· n2 skirtingu poru. iĀ”taisyklĀ¦ galime naudodami Dekarto sandaugĀ” (poru aibes sudarymo veiksmĀ”)suformuluoti taip: jeigu A ir B yra baigtines aibes, tai|AĆB| = |A| Ā· |B|.tai vienas tipinis klasikines tikimybines erdves taikymo pavyzdys.5 pavyzdys. Balti ir juodi rutuliaiUrnoje yra n baltu ir m juodu rutuliu. IĀ² urnos iĀ²traukiami u rutu-liai. Kokia tikimybe, jog bus iĀ²traukta v baltu rutuliu, max 0, v ām ā¤ v ā¤
minn, u?BaigĀ£iu aibĀ¦ sudaro deriniai be pasikartojimu iĀ² n + m elementu po uelementu. Taigi baigĀ£iu skaiĀ£ius lygus Cun+m. Baigti, kuri yra palanki ivykiui
Av = iĀ²traukta v baltu rutuliugalime vaizduotis sudetĀ” iĀ² dvieju deriniu: iĀ² n baltu rutuliu parinkta v, iĀ²m juodu rutuliu parinkta uā v. PirmĀ”ji bei antrĀ”ji derinius galima sudarytiatitinkamai Cv
n ir Cuāvm budais. Bendras palankiu ivykiui Av baigĀ£iu skaiĀ£iuslygus Ā²iu dydĀŗiu sandaugai, taigi
P (Av) = P (v) =Cv
nCuāvm
Cun+m
.Tikimybiu P (v) (max 0, v ām ā¤ v ā¤ min(n, u)) rinkinys vadinamas hiper-geometriniu skirstiniu. Kodel hipergeometriniu? is pavadinimas paaiĀ²k-inamas tuo, kad funkcijaf(z) =
ā
v
P (v)zvgali buti reiĀ²kiama specialiomis hipergeometrinemis funkcijomis.Kaip elgiasi hipergeometrinio skirstinio tikimybes?3 teorema. Hipergeometrinio skirstinio tikimybes tenkina sĀ”lygĀ” P (v+1) ā„ P (v) tada ir tik tada, kai
v ā¤ nuām+ uā 1
m+ n + 2.11
Taigi hipergeometrinio skirstinio tikimybes iĀ² pradĀŗiu dideja, o po to imamaĀŗeti.6 pavyzdys. uvys eĀŗereEĀŗere sugauta 10 Āŗuvu, jos paĀŗenklintos ir paleistos atgal. Po kiek laikopagauta 100 Āŗuvu, tarp ju buvo dvi paĀŗenklintos. Kiek Āŗuvu yra eĀŗere?Tarkime, eĀŗere yra x Āŗuvu. Tada antrĀ”ji gaudymĀ” galime interpretuoti,kaip 100 rutuliu traukimĀ” iĀ² urnos, kurioje yra 10 baltu rutuliu (paĀŗymetosiosĀŗuvys) ir x ā 10 juodu (likĀ¦ Āŗuvys). Tarp pagautuju 100 Āŗuvu galejo nebutinei vienos paĀŗenklintos, viena paĀŗenklinta, ir taip toliau. Protinga padarytiprielaidĀ”, kad ivyko tas ivykis, kurio tikimybe didĀŗiausia. Taigi musu hiper-geometrinis skirstinys toks, kad tikimybe yra didĀŗiausia, kai baltuju rutuliuskaiĀ£ius v = 2. PasiremĀ¦ teorema galime tvirtinti, kad1 ā nuām+ uā 1
m+ n+ 2, n = 10, m = xā 10, u = 100.Taigi gauname x ā 554.Galbut pagalvojote, kad toks skaiĀ£iavimas perneyg sudetingas. KodelnepaskaiĀ£iavus paprasĀ£iau. Jeigu eĀŗere yra x Āŗuvu, tai tikimybe pagautipaĀŗenklintĀ” Āŗuvi lygi 10/x. Kadangi 100 Āŗuvu laimikyje buvo dvi Āŗuvys, taiĀ²iĀ” tikimybĀ¦ galime apskaiĀ£iuoti ir taip: 2/100. Taigi
2
100=
10
x, x = 500.Kodel gavome skirtingus rezultus ir kuriuo galime labiau pasikliauti? PrieĀŗastis,kodel rezultatai skiriasi gludi skirtingose prielaidose. Pirmojo skaiĀ£iavimoprielaida kad ivyko tas ivykis, kurio tikimybe didĀŗiausia. Antrojo skaiĀ£i-avimo kad tikimybe 2/100, gauta pasinaudojus Āŗukles rezultatais, lygitikimybei pagauti paĀŗymetĀ” Āŗuvi. Kuri prielaida atrodo labiau pagrista?NusprĀ¦skite patys.
P10(m
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11m
P (X = 3) ā 0.251
12
Hipergeometrinis skirstinys: iĀ² urnos, kurioje yra 10 baltu ir 15 juodurutuliu pasirinkti 9 rutuliai. Grakas vaizduoja tikimybes, kad pasirinkta0, 1, ..., 9 balti rutuliai. is skirstinys daĀŗnai pasitaiko ivairiose inter-pretacijose. PavyzdĀŗiui, urna su rutuliais gali buti gaminiu partija,baltas rutulys brokuotas gaminys ir t. t.1.4. Geometrines tikimybesPrancuzo . Biufono 1777 metais paskelbtame darbe5 iĀ²sprĀ¦stas iĀŗymusis uĀŗ-davinys apie adatĀ”. is darbas dave pradĀŗiĀ” geometriniam tikimybiu skaiĀ£i-avimo modeliui. UĀŗdavinys formuluojamas taip.7 pavyzdys. Biufono uĀŗdavinysPlokĀ²tumoje iĀ²vesta lygiagreĀ£iu tiesiu Ā²eima. Atstumas tarp dvieju gretimutiesiu lygus a. Ant Ā²ios plokĀ²tumos metama l (l < a) ilgio adata. Kokiatikimybe, jog ji kirs vienĀ” iĀ² lygiagreĀ£iu tiesiu?Galime manyti, kad adatos padeti tiesiu atĀŗvilgiu nusako skaiĀ£iu (h, Ļ)pora, Āŗr. breĀŗini.
ĻĻ
ĻĻh h
h h
Todel eksperimento baigtimi (elementariuoju ivykiu) galime laikyti staĀ£i-akampioĪ© = (h, Ļ) : 0 ā¤ h ā¤ a, 0 ā¤ Ļ ā¤ ĻtaĀ²kĀ”, o mus dominanti ivyki galime taip uĀŗraĀ²yti:
A = adata kerta tiesĀ¦ = (h, Ļ) : (h, Ļ) ā Ī©, h ā¤ l sin Ļ.Klasikines tikimybines erdves atveju tikimybĀ¦ apibreĀŗiame santykiuP (A) =
|A||Ī©| .Naturalu vietoje aibes elementu kiekio imti aibes geometrinĀ¦ charakteristikĀ” plotĀ” ir apibreĀŗti tikimybĀ¦ taip:
P (A) =Āµ(A)
Āµ(Ī©),5G.L.L. Buon (1707-1788). Minimas darbas iĀ² tiesu paraĀ²ytas 1733 metais.13
Ā£ia Āµ(B) Āŗymi aibes B plotĀ”. itaip skaiĀ£iuodami gauname tokiĀ” tikimybesreikĀ²mĀ¦P (A) =
2l
Ļa.Gautas rezultatas nelauktai duoda budĀ” skaiĀ£iaus Ļ reikĀ²mei rasti. MeskimeadatĀ” daug kartu: tegu n yra metimu skaiĀ£ius, m adatos ir tiesiu kirtimosiatveju skaiĀ£ius. Pagal didĀŗiuju skaiĀ£iu desni, kuri nagrinesime veliau, kuodidesnis n, tuo labiau tiketina, jog P (A) = 2l/(Ļa) maĀŗai skiriasi nuo m/n.Taigi, Ļ galime skaiĀ£iuoti iĀ² formules
2l/Ļa ā m/n.Galima eksperimentuoti su bet kokio ilgio l adata (pavyzdĀŗiui, degtukuir liniuoto popieriaus lapu). Tarkime metus tokiĀ” adatĀ” n kartu, adata kirtoatitinkamai m1, . . . , mn liniju. Tadam1 + . . .+mn
nā 2l
ĻaPasiremdami igyta patirtimi sudarykime teorini modeli tikimybems skaiĀ£i-uoti tuo atveju, kai eksperimento baigti galima interpretuoti kaip IRn poaibioĪ© taĀ²kĀ”, ir visos baigtys yra lygiavertes. ia ir toliau IR yra realiuju skaiĀ£iuaibe, o Āµ(A) Āŗymesime poaibio A ā IRn n-mati turi, jeigu jis egzistuoja (kain = 1, Āµ reiĀ²kia geometrini ilgi, kai n = 2 plotĀ”). Nagrinesime tik tuossu Ā²iuo bandymu susijusius ivykius, kurie vaizduojami Ī© poaibiais, turinĀ£iaisturi.3 apibreĀŗimas. Tegu Ī© ā IRn, Āµ(Ī©) egzistuoja ir Āµ(Ī©) <ā. Tegu
A = A : A ā Ī©, Āµ(A) egzistuojayra nagrinejamu atsitiktiniu ivykiu sistema, o P : A ā [0, 1] yra funkcija,apibreĀŗta lygybeP (A) =
Āµ(A)
Āµ(Ī©).TrejetĀ” ćĪ©,A, P ć vadinsime geometrine tikimybine erdve.Taigi geometrineje tikimybineje erdveje baigtys yra atitinkamos geometrinessrities taĀ²kai, ivykiai Ā²ios srities poaibiai, kurie turi geometrini matĀ”, o jutikimybes apibreĀŗiamos Ā²iu geometriniu matu santykiu. GeometrinĀ¦ tikimy-binĀ¦ erdvĀ¦ taikome, kai eksperimento baigtis atsitiktinis geometrinio ob-jekto pasirodymas ar pasirinkimas. Kartais atsitiktinumo interpretacija irgibuna pasirinkimo objektas. Nuo atsitiktinumo interpretacijos priklauso patsrezultatas, kaip Āŗinomame Bertrano6 uĀŗdavinyje.6J.L.F. Bertrand (1822-1900) -prancuzu matematikas; pagrindiniai darbai analizesbei algebros srityse. 14
8 pavyzdys. Bertrano uĀŗdavinysAtsitiktinai parenkama vienetinio apskritimo styga. Kokia tikimybe, jogji ilgesne uĀŗ ibreĀŗto i Ā²i apskritimĀ” lygiakraĀ²Ā£io trikampio kraĀ²tinĀ¦?Galime suprasti atsitiktini stygos pasirinkimĀ” ivairiai.Tarkime vienetinio skritulio viduje atsitiktinai pasirenkame taĀ²kĀ” ir imamestygĀ”, einanĀ£iĀ” per Ā²i taĀ²kĀ” statmenai spinduliui, nubreĀŗtam per tĀ” pati taĀ²kĀ”.Tokiu atveju galime taikyti geometrines tikimybines erdves modeli laikydami,jog Ī© yra vienetinis skritulys.Galime taipogi ksuoti vienĀ” apskritimo taĀ²kĀ” P, nubreĀŗti liestinĀ¦ Ā²iametaĀ²ke ir nagrineti stygas, einanĀ£ias per taĀ²kĀ” P. Laikysime, jog styga parinkta,jei parinktas jos ir liestines kampas. Tada taikydami geometrinĀ¦ tikimybinĀ¦erdvĀ¦ imame Ī© = [0, Ļ].Pagaliau galime atsitiktini stygos parinkimĀ” suprasti ir taip. Fiksuojameapskritimo skersmeni ir atsitiktinai parenkame jo taĀ²kĀ”. Nagrinejame stygĀ”,kuri statmena skersmeniui Ā²iame taĀ²ke. Dabar galime imti Ī© = [ā1, 1].
Atsitiktini stygos parinkimĀ” galima suprasti ivairiaiAtsakymai visais trimis atvejais skirtingi. Tikimybe, jog parinkta stygabus ilgesne uĀŗ ibreĀŗto apskritimo kraĀ²tinĀ¦ lygi atitinkamai 1/4, 1/3 ir 1/2.IĀ²sprĀ¦skite uĀŗdavini trimis atvejais ir isitikinsite.1.5. Tikimybiu teorijos aksiomosNoredami skaiĀ£iuoti su bandymu susijusiu atsitiktiniu ivykiu tikimybes, turimepirmiausia sudaryti bandymo matematini modeli: apibreĀŗti bandymo baigĀ£iuaibĀ¦ Ī©, nusprĀ¦sti, kokius atsitiktinius ivykius nagrinesime (t.y. turime apibreĀŗtinagrinejamu atsitiktiniu ivykiu sistemĀ” A) ir apibreĀŗti tikimybiu priskyrimoivykiams taisyklĀ¦, t.y. funkcijĀ” P : A ā [0; 1]. Visa tai padarĀ¦, gaunametrejetĀ” ćĪ©,A, P ć. Tai ir yra visu musu skaiĀ£iavimu scena, kitaip tariant tikimybinis bandymo modelis. i trejetĀ” vadiname tiesiog tikimybine erdve.Nagrinejome bandymus su vienodai galimomis baigtimis klasikini irgeometrini modelius. Abiem atvejais ivykiu sistemĀ” A ir tikimybiu prisky-rimo funkcijĀ” P apibreĀŗeme pasinaudojĀ¦ baigĀ£iu aibes savybemis. TaĀ£iau15
yra visokiu bandymu ir visokiu jas atitinkanĀ£iu baigĀ£iu. Kiekvieno bandymoatskirai neiĀ²nagrinesime. Todel geriau, kaip iprasta matematikoje, pletotiteorijĀ” aksiomatiĀ²kai: ksuoti maĀŗiausiĀ” skaiĀ£iu savybiu, kurias privalo turetitrys objektai Ī©,A, P, kad ju trejetas turetu teisĀ¦ vadintis tikimybine erdve, ovisas kitas savybes irodineti remiantis Ā²iomis savybemis (aksiomomis) ir, Āŗi-noma, grieĀŗtais loginiais samprotavimais. Taip gauti teiginiai apie ivykius irtikimybes bus teisingi visais imanomais atvejais, nesvarbu, kas yra bandymobaigtys skaiĀ£iai, taĀ²kai ar alaus bokalai.Taigi, kokiu savybiu reikia pareikalauti iĀ² elementariuju ivykiu aibes Ī©,atsitiktiniu ivykiu sistemos A ir funkcijos P : A ā IR ?IĀ² aibes Ī© reikalausime maĀŗiausiai. Pakaks, kad Ā²i aibe butu netuĀ²Ā£ia:Ī© 6= ā .IĀ² A pareikalausime daugiau: kad jungdami ir kirsdami poaibius (atsitik-tinius ivykius) vel gautume tos paĀ£ios Ā²eimos elementus.4 apibreĀŗimas. Tegu Ī© yra netuĀ²Ā£ia aibe. Jos poaibiu sistemĀ” Avadinsime Ļ-algebra, jeigu patenkintos tokios sĀ”lygos:
ā¢ Ī© ā A;ā¢ jei A ā A, tai ir A ā A;ā¢ jei Ai ā A, i = 1, 2, . . . , tai āŖā
i=1Ai ā A.ia A Āŗymi aibes A papildini iki visos aibes Ī©. Pati skurdĀŗiausia Ļ-algebra turi tik du elementus: Aā = ā ,Ī©, paĀ£iai turtingiausiai priklausovisi aibes poaibiai: Aā = P(Ī©).Tiesiogiai iĀ² apibreĀŗimo gauname, jog ā ā A teisinga kiekvienai Ļ-algebrai.Nors apibreĀŗime reikalaujama, kad bet kokios skaiĀ£ios aibiu sistemos sĀ”jungavel priklausytu A, beveik akivaizdu, kad tai teisinga bet kokiai baigtinei aibiusistemai.Jeigu poaibiu Ā²eima tenkina dvi pirmĀ”sias Ļ-algebros apibreĀŗimo sĀ”lygas,treĀ£iĀ”jĀ” tenkina tik su baigtinemis poaibiu sistemomis, t.y. tenkina sĀ”lygĀ”ā¢ jei Ai ā A, i ā I, yra baigtine poaibiu sistema, tai āŖiāIAi ā A,tai A vadinama algebra.tai dar keletas lengvai irodomu poaibiu algebros savybiu.4 teorema. Tegu A yra aibes Ī© Ļ-algebra. Teisingi tokie teiginiai:ā¢ jei Ai, i ā I, yra baigtine arba skaiti aibiu iĀ² A Ā²eima, tai ā©iāIAi ā A;
ā¢ jei A,B ā A, tai A\B ā A. 16
ia Āŗymime A\B = A ā© B.Kaip sudaryti ivykiu Ļ-algebrĀ” A? KonkreĀ£iu atveju pirmiausia reikiapasirupinti itraukti i nagrinejamu ivykiu Ā²eimĀ” mums idomius ivykius, o poto papildyti sistemĀ” ivykiais taip, kad sistema butu Ļ-algebra. PavyzdĀŗiui,jeigu Ī© = 1, 2, 3, 4, 5, o mums labai rupi, kad i nagrinejamu ivykiu sistemĀ”ieitu ivykiai 1, 2, 3, 3, 4, 5 tai maĀŗiausia Ļ-algebra, kuriai priklauso Ā²ieivykiai yra tokia:A =
ā , 1, 2, 3, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 1, 2, 1, 2, 4, 5,Ī©
.Ar visada svarbiu ivykiu sistemĀ” galima papildyti iki Ļ-algebros? Visada.5 apibreĀŗimas. Tegu S yra netuĀ²Ā£ios aibes Ī© poaibiu sistema. Jeigu
Ļ-algebra A tenkina sĀ”lygĀ” S ā A ir turi savybĀ¦: su bet kuria kita Ļ- algebraAā², S ā Aā², teisingaA ā Aā², tai Ļ- algebrĀ”A vadinsime Ļ- algebra, generuotaS ir Āŗymesime A = Ļ(S).
Ļ-algebrĀ” Ļ(S) galime isivaizduoti kaip maĀŗiausiĀ” Ļ-algebrĀ”, kuri aprepiasistemĀ” S.5 teorema. Bet kokiai poaibiu sistemai S Ļ(S) egzistuoja.tai glaustas irodymo iĀ²destymas: bent viena Ļ-algebra Aā²,S ā Aā², egzis-tuoja. PavyzdĀŗiui, visu Ī© poaibiu Ļ-algebra. Visu tokiu Ļ-algebru sankirtair yra Ļ-algebra, tenkinanti generuotos Ļ algebros apibreĀŗimo sĀ”lygas.9 pavyzdys. Svarbus Ļ-algebros pavyzdys. DaĀŗnai bandymo baigtysvaizduojamos tieses ar didesnio matavimo erdves taĀ²kais, o svarbus ivykiai intervalais. Tegu S yra realiuju skaiĀ£iu aibes IR intervalu [a, b) sistema.Tada Ļ(S) vadinama Borelio7 Ļ-algebra. Tieses poaibiu Borelio Ļ-algebrĀ”Āŗymesime B. AnalogiĀ²kai apibreĀ²ime IRn Borelio Ļ-algebrĀ”. Jei S yra visun-maĀ£iu intervalu [a1, b1) Ć . . .Ć [an, bn) sistema, tai Ļ(S) vadinsime erdvesIRn Borelio Ļ-algebra. ymesime: Bn.Borelio Ļ-algebros aibes vadinsime Borelio aibemis. PavyzdĀŗiui, aibe,sudaryta iĀ² vieno taĀ²ko yra Borelio aibe, nes jĀ” galima gauti, kertant skaiĀ£iĀ”intervalu sistemĀ”:
a =āā
n=1
[a, a + 1/n).Visos aibes, kurias paprastai nagrinejame: uĀŗdarieji, atvirieji ir kitokieintervalai bei ju sĀ”jungos, baigtines skaiĀ£iu aibes, taip pat racionaliuju,iracionaliuju skaiĀ£iu aibes yra Borelio aibes.O dabar aptarkime, kokias savybes turi tureti ivykiams tikimybes priskiri-anti funkcija P : A ā IR.7Emile Borel (1871-1956). Paskelbe daug reikĀ²mingu darbu matematines analizes,tikimybiu ir kitose srityse. 17
6 apibreĀŗimas. Tegu A yra netuĀ²Ā£ios aibes Ī© poaibiu Ļ-algebra.FunkcijĀ” P : A ā [0, 1] vadinsime tikimybiniu matu (daĀŗnai tiesiogtikimybe), jeiā¢ P (Ī©) = 1;
ā¢ jei Ai ā A, Ai ā© Aj = ā (i, j = 1, 2, . . . , i 6= j), taiP (
āā
i=1
Ai) =āā
i=1
P (Ai).Priminsime, jog ivykius, kuriems A ā© B = ā , vadiname nesutaikomais.Tikimybes apibreĀŗimo antrĀ”jĀ” sĀ”lygĀ” vadinsime Ļ- adityvumo sĀ”lyga. TaigiĀ²i sĀ”lyga reikalauja, kad nesutaikomu ivykiu sĀ”jungos tikimybe butu lygiivykiu tikimybiu sumai.Kartais nagrinejamos funkcijos P : A ā [0, 1], kurios Ā²iĀ” sĀ”lygĀ”tenkina tik baigtinems nesutaikomu ivykiu sĀ”jungoms. Tokios funkcijos neratikimybiniai matai; sakome, kad jos tenkina baigtinio adityvumo savybĀ¦.O dabar sujunkime visus tris nagrinetus objektus i vienĀ”.7 apibreĀŗimas. TrejetĀ” ćĪ©,A, P ć, Ā£ia A yra netuĀ²Ā£ios aibes Ī© poaibiuĻ-algebra, P tikimybinis matas, vadinsime tikimybine erdve.ios tikimybiu teorijos aksiomatikos autorius rusu matematikas A.N.Kolmogorovas (1903-1987).8 Jo knygele apie tikimybiu teorijos aksiomatiniuspagrindus iĀ²leista 1933 metais.Abi anksĀ£iau nagrinetos tikimybines erdves yra tikimybines erdves nau-jojo apibreĀŗimo prasme. Nors geometrines tikimybines erdves atveju isitikintituo anaiptol nera trivialu!1.6. Kelios lygybes ir nelygybesiame skyriuje nagrinesime tikimybinĀ¦ erdvĀ¦ ćĪ©,A, P ć. Irodysime paprasĀ£i-ausias tikimybiu savybes. Laikysime, kad visi nagrinejami atsitiktiniai ivykiaipriklauso ivykiu Ļ-algebrai A.Priminsime, jog A\B = A ā© B.6 teorema. Teisingi tokie teiginiai8A.N. Kolmogorovas (1903-1987) yra vienas didĀŗiausiu XX amĀŗiaus matematiku. Jomoksliniai interesai buvo labai platus. Mokslinius tyrinejimus pradejĀ¦s realaus kintamojofunkciju srityje veliau jis nagrinejo ivairius aibiu teorijos, logikos, topologijos, mechanikos,dif. lygĀ£iu, informacijos teorijos, tikimybiu teorijos ir kitu sriĀ£iu problemas. Domejosiivairiais matematikos taikymais, o taip pat matematinio Ā²vietimo ir matematikos popu-liarinimo klausimais. 18
1. P (ā ) = 0;2. lygybeP (
ā
iāI
Ai) =ā
iāI
P (Ai),teisinga bet kokiai baigtinei arba skaiĀ£iai nesutaikomu ivykiu sistemaiAi, i ā I;3. P (A\B) = P (A) ā P (A ā© B); atskiru atveju P (Ac) = 1 ā P (A);4. P (A āŖB) = P (A) + P (B) ā P (A ā©B);Irodymas arba tiksliau jo konturai.1) Pritaikykime Ļ-adityvumo savybĀ¦ atvejui, kai visi ivykiai negalimieji:
Ai = ā (i = 1, 2, . . .).2) Jei I yra skaiti aibe nieko naujo netvirtinama. Jeigu I baigtine, pa-pildykime jĀ” tuĀ²Ā£iomis aibemis iki skaiĀ£ios Ā²eimos, pasinaudokime Ļ-adityvumosavybe ir lygybe P (ā ) = 0.3) Ivykiai A\B ir A ā© B yra nesutaikomi, o ju sĀ”junga yra A. Beliekapritaikyti jau irodytĀ” 2) dali.4) Ivykiai A\B ir B yra nesutaikomi, o ju sĀ”junga yra A āŖ B, taigi velpakanka pritaikyti 2) dali.7 teorema. Jei Ai (i ā I) yra baigtine arba skaiti ivykiu sistema, A atsitiktinis ivykis ir A ā āŖiAi, taiP (A) ā¤
ā
iāI
P (Ai). (6)Atskiru atveju, kai A = āŖiAi
P (ā
iāI
Ai) ā¤ā
iāI
P (Ai). (7)Irodymas. Irodykime (6) nelygybĀ¦, kai I sudaro vienas elementas; t. y.irodykime, jog iĀ² A ā B iĀ²plaukia P (A) ā¤ P (B). IĀ² tiesu B = AāŖ (B\A), irivykiai A,B\A nesutaikomi. Tada iĀ² irodytos teoremos gaunameP (A) ā¤ P (A) + P (B\A) = P (B).Tegu aibe I yra begaline, tada galime tarti, jog i = 1, 2, . . . . Ivyki Aā =
āŖiAi uĀŗraĀ²ysime nesutaikomu ivykiu Aāi , A
āi ā Ai, sĀ”junga:
Aā = āŖiAāi , Aā
1 = A1, Aān+1 = An+1\
( nā
i=1
Ai
), Aā
n ā An.19
Tada iĀ² Ļ-adityvumo savybes ir iĀ² P (Aān) ā¤ P (An) gausime
P (A) =ā
iāI
P (Aāi ) ā¤
ā
iāI
P (Ai).Kadangi A ā Aā, taiP (A) ā¤ P
(ā
iāI
Ai
)ā¤
ā
iāI
P (Ai).Teorema irodyta.Panagrinekime vienĀ” pavyzdi. Ji nagrinedami pasinaudosime tikimybiuadityvumo savybemis.10 pavyzdys. Optimalaus pasirinkimo uĀŗdavinysTegu iĀ² n objektu reikia pasirinkti geriausiĀ”. Tie objektai pasirodomums vienas po kito; jeigu vieno nepasirinkome pasirodo kitas, o pirmasisdingsta amĀŗinai. Kokios strategijos reikia laikytis, kad tikimybe pasirinktigeriausiĀ” objektĀ” butu didĀŗiausia?Jeigu norite, galite interpretuoti Ā²i uĀŗdavini kaip sutuoktinio pasirinkimoproblemĀ”.Laikysimes paprastos strategijos: tiesiog susipaĀŗinsime su pirmaisiais mobjektu ju nepasirinkdami (susikursime standartĀ”!), o paskui pasirinksimepirmĀ”ji, kuris bus geresnis uĀŗ geriausiĀ”ji iĀ² m pirmuju.Gali ivykti vienas iĀ² nesutaikomu ivykiu Hj, j = m+ 1, . . . , n, n+ 1,
Hj = pasirinktas i-tasis objektas (m+ 1 ā¤ j ā¤ n),
Hn+1 = nepasirinktas joks objektas.Tegu A = pasirinktasis objektas yra geriausias, tadaA =
nā
j=m+1
A ā©Hj, P (A) =nā
j=m+1
P (A ā©Hj).Ivykis Aā©Hj ivyksta tada, kai susipaĀŗinĀ¦ su m pirmuju objektu renkamepirmĀ”ji geresni uĀŗ juos, tas geresnis pasirodo j-uoju ir yra apskritai patsgeriausias. SkaiĀ£iuosime Ā²io ivykio tikimybĀ¦.Tarkime musu objektai yra skirtingu skaiĀ£iu aibe A = j1, j2, . . . , jn.Kuo skaiĀ£ius didesnis tuo geresnis, taĀ£iau koks skaiĀ£ius didĀŗiausias mes iĀ²anksto neĀŗinome. PaĀŗymekime didĀŗiausiĀ”ji skaiĀ£iuN. SkaiĀ£iai mums pasirodoatsitiktine tvarka vienas po kito. Taigi baigtis kelinys iĀ² Ā²iu skaiĀ£iu: Ļ =ći1, i2, . . . , inć. IĀ² viso yra N = n! skirtingu keliniu, t. y. baigĀ£iu.SkaiĀ£iuokime, kiek yra baigĀ£iu Ļ = ći1, i2, . . . , inć, palankiu A ā©Hj (m+1 ā¤ j ā¤ n). Baigtis Ļ yra palanki A ā© Hj, jei ij = N ir maxi1, . . . , im >20
maxim+1, . . . , ijā1, t.y. elementai im+1, . . . , ijā1 yra blogesni uĀŗ geriausiĀ”jiiĀ² elementu i1, . . . , im.Kiek gi keliniu Ļ = ći1, i2, . . . , inć, su Ā²ia savybe galime sudaryti? SkaiĀ£i-uokime taip: iĀ² skaiĀ£iu aibes A\N parinkime j ā 1 skaiĀ£iu, tai galimapadaryti Cjā1nā1 budais. Sudarysime iĀ² ju gretini. DidĀŗiausiĀ”ji iĀ² atrinktujuskaiĀ£iu iraĀ²ykime i vienĀ” iĀ² pirmuju m vietu, kitus i likusias vietas. itaipgalime sudarytimCjā1
nā1(jā2)! skirtingu gretiniu ći1, i2, . . . , ijā1ć, tenkinanĀ£iusĀ”lygĀ” maxi1, . . . , im > maxim+1, . . . , ijā1. Papildykime toki gretini ikigretinio ći1, i2, . . . , inć, atitinkanĀ£io palankiĀ” ivykiui Aā©Hj , baigti. Kadangiij = N, tai lieka n ā j skaiĀ£iu ir lygiai tiek vietu jiems suraĀ²yti. Gavome,kad baigĀ£iu ći1, i2, . . . , inć, palankiu Aā©Hj , t.y., tenkinanĀ£iu sĀ”lygas ij = Nir maxi1, . . . , im > maxim+1, . . . , ijā1, yra
m Ā· Cjā1nā1 Ā· (j ā 2)! Ā· (nā j)! =
m(nā 1)!
(j ā 1)!.Taigi
P (A) =nā
j=m+1
P (A ā©Hj) =m
nĀ·
nā1ā
j=m
1
j.Geriausio pasirinkimo tikimybe P (A) priklauso nuo strategijos, t. y. nuo
m reikĀ²mes: P (A) = Pm(A) . Kokiam m Ā²i tikimybe didĀŗiausia? Geriausiosstrategijos dydi mn galime nustatyti iĀ² sĀ”lygosPmn
(A) = max0ā¤mā¤n
Pm(A).DydĀŗiui mn teisingi tokie ribiniai sĀ”ryĀ²iaimn
nā 1
e, Pmn
(A) ā 1
e(nā ā).Tad kai objektu aibe yra gausi, geriausia rinktis, ivertinus maĀŗdaug treĀ£dalipretendentu.Galima suskaiĀ£iuoti tikimybĀ¦, kad pagal Ā²iĀ” strategijĀ” pasirinksime ob-jektĀ”, kuris pagal vertĀ¦ yra antras treĀ£ias ir t.t.1.7. Paprastieji atsitiktiniai dydĀŗiai ir tikimybesDaĀŗnai svarbios ne paĀ£ios bandymo baigtys, bet tam tikri priskirti jomsskaiĀ£iai. PavyzdĀŗiui, kauliukĀ” galime ne Ā²iaip sau metyti, bet su juo loĀ²ti.Galime susitarti, pavyzdĀŗiui, kad iĀ²siridenus maĀŗiau kaip keturioms akutems,
1 Lt praloĀ²iame, o iĀ²siridenus daugiau tiek pat iĀ²loĀ²iame. Taigi prieĀ²21
bandymĀ” mes baigtims Ļ1, Ļ2, Ļ3 priskiriame skaiĀ£iu ā1, o kitoms baig-tims reikĀ²mĀ¦ 1. Taigi apibreĀŗiame funkcijĀ” iĀ² baigĀ£iu aibes i reikĀ²miu aibĀ¦X : Ī© ā ā1; 1. Funkcijos reikĀ²mes gauname tik po bandymo, taigi naturalu tokiĀ” funkcijĀ” vadinti atsitiktiniu dydĀŗiu. Kadangi pirmavaizdĀŗiaiXā1(ā1) = Ļ1, Ļ2, Ļ3, Xā1(1) = Ļ4, Ļ5, Ļ6 yra atsitiktiniai ivykiai, taigalime skaiĀ£iuoti tikimybes, kad atsitiktinis dydis X igyja reikĀ²mes ā1 ir 1
P (X = ā1) = P (X = 1) =1
2.ApibreĀ²ime paprastĀ”ji atsitiktini dydi bendruoju atveju.8 apibreĀŗimas. FunkcijĀ” Ī¾ : Ī© ā IR vadinsime paprastu atsitiktiniudydĀŗiu, jei Ī¾ igyja reikĀ²mes iĀ² baigtines aibes ir kiekvienai reikĀ²mei x
Ī¾ā1(x) = Ļ : Ī¾(Ļ) = x ā A.PaprasĀ£iausius atsitiktinius dydĀŗius galime gauti taip: suskaidykime baigĀ£iuerdvĀ¦ Ī© i baigtinĀ¦ nesutaikomu ivykiu sĀ”jungĀ”:Ī© =
mā
i=1
Hi, Hi ā A, Hi ā©Hj = ā , jei i 6= j,ir apibreĀŗkime Ī¾ : Ī© ā IR, imdami Ī¾(Ļ) = xi, kai Ļ ā Hi; Ā£ia xi ā IR ksuotiskaiĀ£iai.Jei A ā A koks nors atsitiktinis ivykis, tai jo kaip poaibio indikatoriusIA(Ļ) =
1, jei Ļ ā A,
0, jei Ļ 6ā A.yra paprastas atsitiktinis dydis. Nesunku isitikinti, jog su bet kokiais ivykiaisA,B
IAāŖB = IA + IB ā IAā©B, IA Ā· IB = IAā©B.Jeigu Ī¾ yra paprastas atsitiktinis dydis, xi jo reikĀ²mes, Hi = Ī¾ā1(xi) yraatsitiktiniai ivykiai. TadaĪ¾(Ļ) =
ā
i
xiIHi(Ļ).Taigi kiekvienĀ” paprastĀ”ji atsitiktini dydi galima iĀ²reikĀ²ti dar paprastes-niais ivykiu indikatoriais. Ivykiu indikatorius galime suvokti tiesiog kaipsignalus, kurie nurodo, ar ivykis ivyko, ar ne.8 teorema. Jei Ī¾, Ī· yra paprasti atsitiktiniai dydĀŗiai, a, b realusskaiĀ£iai, tai Ī¶ = aĪ¾ + bĪ· yra taip pat paprastas atsitiktinis dydis.22
Teiginys yra teisingas ir bendruoju atveju: baigtinio skaiĀ£iaus paprastujuatsitiktiniu dydĀŗiu tiesine kombinacija yra vel paprastasis atsitiktinis dydis.Irodymas. Jei Ī¾ yra paprastasis atsitiktinis dydis, tai aĪ¾ irgi paprastasis.Taigi pakanka teoremĀ” irodyti, kai a = b = 1. Tegu xi yra paprastojo atsi-tiktinio dydĀŗio Ī¾ reikĀ²mes, Gi = Ī¾ā1(xi), yj paprastojo atsitiktinio dydĀŗioĪ· reikĀ²mes, Hj = Ī·ā1(yj). Tada ivykiai Gi ā©Hj skirtingoms poroms i, j yranesutaikomi, o Ī¶ sutampa su paprastuoju atsitiktiniu dydĀŗiu
ā
i,j
(xi + yj)IGiā©Hj.9 apibreĀŗimas.Tegu Ī¾ yra paprastasis atsitiktinis dydis, xi jo reikĀ²mes,Hi = Ī¾ā1(xi) (i =
1, . . . , n). Atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ vidurkiu vadinsime skaiĀ£iuE[Ī¾] =
nā
i=1
xiP (Hi) =
nā
i=1
xiP (Ī¾ = xi).Kodel butent taip apibreĀŗiame vidurki? Panagrinekime iĀ²siaiĀ²kinti na-grinedami monetos metimo bandymĀ”. BaigĀ£iu aibĀ¦ Ī© sudaro dvi baigtys:S = iĀ²krito skaiĀ£ius, H = iĀ²krito herbas.Tarkime S ir H pasirodymo tikimybes yra p ir q = 1 ā p. ApibreĀŗkimepaprastĀ”ji atsitiktini dydi Ī¾, Ī¾(S) = 1, Ī¾(H) = 2. Tarkime, atlikome ilgĀ”metimu serijĀ” ir gavome baigĀ£iu sekĀ” X1, X2, . . . , Xn, Xm ā S,H. Musuintuicija nesiprieĀ²ins, jei padarysime prielaidĀ”, jog baigĀ£iu sekoje S pasikar-toja ā np, H atitinkamai ā n(1 ā p) kartu. Sumuokime gautas Ī¾ reikĀ²mes;gautoji suma ā 1 Ā· np+ 2 Ā· n(1ā p). Tada reikĀ²me, tenkanti vienam metimuilygi ā 1 Ā· p+ 2 Ā· (1 ā p). Tai ir yra matematinis dydĀŗio Ī¾ vidurkis.Pastebekime, jog atsitiktinio ivykio indikatoriuiE[IA] = 0 Ā· P (IA = 0) + 1 Ā· P (IA = 1) = P (A).9 teorema. Jei Ī¾, Ī· yra paprastieji atsitiktiniai dydĀŗiai, a, b realiejiskaiĀ£iai, Ī¶ = aĪ¾ + bĪ·, tai
E[Ī¶ ] = aE[Ī¾] + bE[Ī·].Irodymas. Kai vienas iĀ² skaiĀ£iu a, b lygus nuliui, lygybe iĀ²plaukia tiesiogiĀ² vidurkio apibreĀŗimo. Atvejis, kai nei vienas koecientas nera nulis, ekvi-valentus atvejui a = b = 1. i atveji ir irodinesime.23
ymejimu xi, yj, Gi, Hj prasme tokia pati kaip ankstesnes teoremos iro-dyme: Gi = Ī¾ā1(xi), Hj = Ī·ā1(yj). TadaĪ¶ =
ā
i,j
(xi + yj)IGiā©Hj.Pagal vidurkio apibreĀŗimĀ”:
E[Ī¶ ] =ā
i,j
(xi + yj)P (Gi ā©Hj).PergrupavĀ¦ demenis gausimeE[Ī¶ ] =
ā
i
xi
ā
j
P (Gi ā©Hj) +ā
j
yj
ā
i
P (Gi ā©Hj). (8)Lieka pastebeti, jog ksuotam i ivykiai Gi ā© Hu, Gi ā© Hv, u 6= v, yra nesu-taikomi, o ju sĀ”junga lygi ivykiui Gi = Ļ : Ī¾(Ļ) = xi. TadaP (Gi) =
ā
j
P (Gi ā©Hj).AnalogiĀ²ka lygybe teisinga ir tikimybei P (Hj). PasiremĀ¦ Ā²iomis lygybemis(8) sĀ”ryĀ²yje gausimeE[Ī¶ ] =
ā
i
xiP (Gi) +ā
j
yjP (Hj) = E[Ī¾] + E[Ī·].Teorema nesunkiai apibendrinama ir bet kokiam baigtiniamdemenu skaiĀ£iui.10 teorema. Jei Ī¾1, . . . , Ī¾n yra paprastieji atsitiktiniai dydĀŗiai, a1, . . . , an realieji skaiĀ£iai, taiE[a1Ī¾1 + . . .+ anĪ¾n] = a1E[Ī¾1] + . . .+ anE[Ī¾n].ia vidurkio adityvumo savybe pasinaudosime iĀ²vesdami kelias formulessudetingu ivykiu tikimybems skaiĀ£iuoti. Kaip tai daroma, galime iĀ²bandytiiĀ²kart. Lygybeje
IAāŖB = IA + IB ā IAā©Bimkime vidurkius abiejose pusese ir pasinaudokime tuo, kad P (C) = E[IC]teisinga bet kokiam ivykiui C. IĀ²kart gausimeP (A āŖ B) = P (A) + P (B) ā P (A ā©B).24
i lygybe jau irodyta anksĀ£iau. Apibendrinsime jĀ” bet kokiai ivykiu sĀ”jungaiB =
nā
i=1
Ai.Ivyki B galime interpretuoti kaip ivyki, kuris ivyksta tada ir tik tada, kaiivyksta bent vienas ivykis Ai.11 teorema. Bet kokiems ivykiams Ai (i = 1, . . . , n) teisinga lygybeP
( nā
i=1
Ai
)=
nā
r=1
(ā1)rā1Sr, (9)Ā£iaSr =
ā
1ā¤i1<...<irā¤n
P (Ai1 ā© . . . ā©Air).Irodymas. Tegu B = āŖni=1Ai. IĀ² pradĀŗiu irodykime lygybĀ¦
IB(Ļ) =nā
r=1
(ā1)rā1Xr(Ļ), Xr =ā
1ā¤i1<...<irā¤n
IAi1ā©...ā©Air
. (10)Tam pakanka parodyti, jog (10) lygybeje abi puses lygios 0 arba 1 tuo paĀ£iumetu. Nagrinekime tuos Ļ, kurie priklauso lygiai m,m = 0, 1, . . . , n, ivykiuAi. Jei m = 0, tai IB(Ļ) = 0 ir kiekvienas Xr(Ļ) = 0, taigi (10) lygybeteisinga.Jei m ā„ 1, tai IB(Ļ) = 1. Jei r ā¤ m, tai egzistuoja lygiai Cr
m rinkiniu1 ā¤ i1 < . . . < ir ā¤ n, kad IAi1
ā©...ā©Air(Ļ) = 1, todel Xr(Ļ) = Cr
m. Jei r > m,tai Xr(Ļ) = 0. IĀ² Ā²iu samprotavimu gauname, jog (10) lygybes deĀ²ines pusessuma lygimā
r=1
(ā1)rā1Crm = 1 ā (1 ā 1)m = 1.Taigi (10) lygybe teisinga. Imdami vidurkius abiejose Ā²ios lygybes pusese,gausime (9). Teorema irodyta.UĀŗraĀ²ykime gautĀ”jĀ” formulĀ¦, kai n = 2, 3. Gausime:
P (A1 āŖA2) = P (A1) + P (A2) ā P (A1 ā©A2),
P (A1 āŖ A2 āŖA3) = P (A1) + P (A2) + P (A3) ā P (A1 ā©A2)
ā P (A1 ā© A3) ā P (A2 ā© A3) + P (A1 ā© A2 ā©A3).Dabar nagrinekime ivyki Bk, kuris ivyksta tada ir tik tada, kai ivykstalygiai k sistemos Ai (i = 1, . . . , n) ivykiu. Surasime Ā²io ivykio tikimybĀ¦.25
12 teorema. Tegu Ai (i = 1, . . . , n) bet kokie ivykiai, Bk (k =0, 1, . . . , n) ivykis, kuris ivyksta tada ir tik tada, kai ivyksta lygiai k ivykiuAi. Teisinga lygybe
P (Bk) =
nā
r=k
(ā1)rākCkr Sr, (11)dydĀŗiai Sr apibreĀŗti ansktesneje teoremoje.Irodymas. Irodymo eiga panaĀ²i kaip ankstesneje teoremoje. IĀ² pradĀŗiuirodykime lygybĀ¦
IBk(Ļ) =
nā
r=k
(ā1)rākCkrXr(Ļ). (12)Pasirinkime elementruji ivyki Ļ. Tarkime, jis priklauso lygiaim ivykiu Ai (m =
0, 1, . . . , n). Irodysime, kad visais atvejais abi (12) lygybes puses iĀ² tikrujuigyja tas paĀ£ias reikĀ²mes.Jei m < k, tai IBk(Ļ) = 0, ir taip pat su visais r ā„ k, Xr(Ļ) = 0. Tadaabiejose (12) pusese yra nuliai.Jei m = k, tai IBk(Ļ) = 1, ir Xk(Ļ) = 1, o Xr(Ļ) = 0, kai r > k. Tadaabiejose (12) pusese yra vienetai.Tegu dabar m > k. Kaire (12) puse lygi nuliui, o deĀ²ineje Xr(Ļ) = 0, kai
r > m ir Xr(Ļ) = Crm, kai k ā¤ r ā¤ m. PertvarkĀ¦ reiĀ²kinius gausime
mā
r=k
(ā1)rākCkrC
rm = Ck
m(1 ā 1)māk = 0.Kadangi (12) lygybe teisinga, tai (11) gausime paemĀ¦ vidurkius abiejose Ā²ioslygybes pusese.ParaĀ²ykime gautĀ”jĀ” formulĀ¦, pavyzdĀŗiui, kai n = 3, k = 1. GausimeP (B1) = P (A1) + P (A2) + P (A3) ā 2(P (A1 ā©A2) + P (A1 ā© A3) + P (A2 ā© A3))
+ 3P (A1 ā© A2 ā©A3).11 pavyzdys. Kortu kaladeTegu N skirtingu kortu kalade permaiĀ²oma. Kokia tikimybe, jog po per-maiĀ²ymo bent viena korta liks savo vietoje? Lygiai m (m = 0, 1, . . . , N)kortu liks savo vietoje?PaĀŗymekime Ā²ias tikimybes atitinkamai q(N), pm(N). Tegu Ai ivykis,jog i-toji korta liks savo vietoje. Elementariuju ivykiu yra lygiai tiek, kiek galibuti skirtingu kortu kaladĀŗiu, t. y. N !. Fiksuotiems 1 ā¤ i1 < . . . < ir ā¤ n
P (Ai1 ā© . . . ā© Air) =(N ā r)!
N !.26
TadaSr =
CrN(N ā r)!
N !=
1
r!.Dabar galime taikyti irodytas teoremas:
q(N) = P (
Nā
i=1
Ai) =
Nā
n=1
(ā1)nā1 1
n!= 1 ā
Nā
j=0
(ā1)j 1
j!,
pm(N) =1
m!
Nāmā
n=0
(ā1)n 1
n!.Pastebekime, jog q(N) ā 1 ā eā1, pm(N) ā eā1/m!, kai N ā ā, Ā£ia e naturiniu logaritmu pagrindas.1.8. Tikimybes monotoniĀ²kumasDabar irodysime dvi teoremas apie didejanĀ£iu ir maĀŗejanĀ£iu ivykiu tikimybes.13 teorema. Tegu ivykiai Ai (i = 1, . . .) monotoniĀ²kai dideja :
A1 ā A2 ā . . . , A =āā
i=1
An.Tada P (An) ā P (A), kai nā ā.Irodymas. Ivykiai Bn = An ā©Anā1 yra nesutaikomi; Ā£ia A0 = ā . Be to,An =
nā
m=1
Bm, A =āā
m=1
Bm.PritaikĀ¦ Ļ-adityvumo savybĀ¦ gaunameP (A) =
āā
i=1
P (Bi) = limnāā
nā
i=1
P (Bi) = limnāā
P (An).AnalogiĀ²ka teorema teisinga ir maĀŗejanĀ£iu ivykiu sekai.14 teorema. Tegu ivykiai Ai (i = 1, . . .) monotoniĀ²kai maĀŗeja :A1 ā A2 ā . . . , A =
āā
i=1
An.Tada P (An) ā P (A), kai nā ā. 27
Irodymas. PrieĀ²ingu ivykiu seka An yra didejanti: A1 ā A2 . . .
āā
i=1
An =
āā
i=1
An = A.ia pasinaudojome Āŗinomu sĀ”ryĀ²iu, siejanĀ£iu aibiu papildinius bei sĀ”jungosir sankirtos veiksmus. PasiremĀ¦ kĀ” tik irodyta teorema, gausimeP (An) = 1 ā P (An) ā P (A) = 1 ā P (A).Tai, Āŗinoma, ekvivalentu Ā²ios teoremos tvirtinimui.1.9. Tikimybiniai matai Borelio Ļ-algebrojeJeigu aibes Ī© poaibiu Ā²eimoje S yra daug aibiu, tai jos generuotoje Ļ-algebroje A = Ļ(S) juo labiau. Kaip apibreĀŗti tikimybinius matus
P : A ā [0, 1]? Atskirais atvejais pakanka gerai apibreĀŗti funkcijĀ” P :S ā [0, 1]. Yra bendros teoremos, kurios garantuoja, kad P galima pratĀ¦stiiki funkcijos P : Ļ(S) ā [0, 1].DaĀŗnai elementarieji su bandymu susijĀ¦ ivykiai vaizduojami skaiĀ£iu tiesestaĀ²kais, o atsitiktiniai ivykiai Borelio aibemis. Todel svarbu iĀ²siaiĀ²kinti,kaip tikimybiniai matai gali buti apibreĀŗti Borelio Ļ-algebroje B.Tegu S yra intervalu
[a, b), (āā, a), [a,ā), (āā,ā)Ā²eima, o F : IRā [0, 1) funkcija, turinti Ā²ias savybes:1. F yra nemaĀŗejanti;2. F yra tolydi iĀ² kaires, t. y. F (xā Īµ) ā F (x), kai Īµ > 0, Īµā 0;3. limxāāā
F (x) = 0, limxāā
F (x) = 1.Aptarsime tikimybinio mato PF = P, P : B ā [0, 1] konstrukcijĀ”, Ā£iaB = Ļ(S) Borelio Ļ-algebra.Visu pirma funkcijĀ” P apibreĀŗkime aibeje S :P ([a, b)) = F (b)āF (a), P ((āā, a)) = F (a), P ([a,ā)) = 1āF (a), P (IR) = 1.(13)Funkcijos F savybes uĀŗtikrina, kad P yra Ļ-adityvi funkcija savo apibreĀŗimoaibeje, t. y. teisingas toks teiginys. 28
15 teorema. Jei Ij ā S, (j = 1, 2, . . .), yra nesikertanĀ£iu intervalusistema ir I = āŖjIj taip pat Ā²eimos S elementas, P : S ā [0, 1] funkcijaapibreĀŗta (13), taiP (I) =
āā
i=1
P (Ij).Detalu Ā²io bei kitu Ā²iame skyrelyje formuluojamu teiginiu irodymus gal-ima rasti knygoje J. Kubilius, Tikimybiu teorija ir matematine statistika,Vilnius, 1980.Prisiminkime, kĀ” vadiname aibiu algebra.10 apibreĀŗimas. Tegu Ī© yra netuĀ²Ā£ia aibe. Jos poaibiu sistemĀ” Avadinsime algebra, jeigu patenkintos tokios sĀ”lygos:ā¢ Ī© ā A;ā¢ jei A ā A, tai ir Ac ā A;ā¢ jei Aj ā A (j ā J) yra baigtine poaibiu sistema, tai
ā
jāJ
Aj ā A.Prisiminkime, jog algebros ir Ļ-algebros apibreĀŗimai skiriasi tik treĀ£iĀ”jasĀ”lyga).Dabar griĀ²ime prie musu nagrinejamu aibiu. ApibreĀ²ime:A =
ā
jāJ
Ij : Ij nesikertantys intervalai iĀ² S, J ā baigtine aibe. (14)Akivaizdu, jog S ā A, tad galima bandyti pratĀ¦sti P iki funkcijos, apibreĀŗtosĀ²ioje didesneje aibiu Ā²eimoje.Jei A ā A, A = āŖjāJIj , kur Ij nesikertantys S intervalai, J baigtineaibe, tai apibreĀ²ime:P (A) =
ā
iāJ
P (Ij). (15)Kol kas dar negalime tvirtinti, jog lygybe (15) iĀ² tiesu apibreĀŗeme funkcijĀ” juk aibĀ¦ A nesikertanĀ£iu intervalu sĀ”junga galima reikĀ²ti ne vieninteliu budu.Butina parodyti, jog (15) lygybe apibreĀŗiamas skaiĀ£ius P (A) nepriklauso nuoto, kuris iĀ² aibes A uĀŗraĀ²ymo budu yra naudojamas. Teisingas toks teiginys.16 teorema. (14) lygybe apibreĀŗta aibiu sistema A yra algebra, o (15)yra korektiĀ²kas Ļ-adityvios funkcijos P : A ā [0, 1] apibreĀŗimas.Pastebekime, jog B = Ļ(S) = Ļ(A).29
Tikimybinio mato konstrukcijai uĀŗbaigti lieka pasiremti galingu matoteorijos rezultatu Caratheodory9 teorema.17 teorema. Tegu A netuĀ²Ā£ios aibes Ī© poaibiu algebra, o Q : A ā[0, 1] Ļ-adityvi funkcija, Q(Ī©) = 1. Tada egzistuoja vienintelis tikimybinismatas P : Ļ(A) ā [0, 1] tenkinantis sĀ”lygĀ”: jei A ā A, tai P (A) = Q(A).i teorema yra teisinga bendresniame nei musiĀ²kis kontekste, Āŗr. jauminetĀ” J. Kubiliaus knygĀ”. Paminesime, kad funkcijaQ iki mato P pratĀ¦siamataip:
P (A) = infā
iāJ
Q(Aj) : J skaiti aibe, A āā
iāJ
Aj , Aj ā A.Taigi tikimybinis matas, apibreĀŗtas Ļ-algebroje B ir intervalams igyjantis(13) reikĀ²mes, egzistuoja.io skyrelio teorija parodo, kaip apibreĀŗti tikimybes, kai ivykiai vaizduo-jami Borelio aibemis: reikia sukonstruoti tinkamĀ” funkcijĀ” F.1.10. SĀ”lygines tikimybesTarkime, egzaminui parengta n bilietu po vienĀ” klausimĀ”, jus neiĀ²mokoteklausimo Nr.X ir nutarete traukti bilietĀ” antra(s). Taigi bandymas dviejubilietu traukimas. PrieĀ² bandymo pradĀŗiĀ” apskaiĀ£iavĀ¦ ivykioA = egzamino iĀ²laikyti nepasiseketikimybĀ¦, gaunate rezultatĀ”: P (A) = 1/n. Tai apriorine tikimybe, gautaneturint jokios papildomos informacijos apie bandymo eigĀ”.Bandymas prasideda, kai iĀ²traukiamas pirmas bilietas. Tarkime, ivykoivykis
B = pirmuoju klausimas Nr. X neiĀ²trauktas.PasiremĀ¦ Ā²ia informacija jus iĀ² naujo galime skaiĀ£iuoti nesekmes tikimybĀ¦. Jilygi 1nā1
. Kadangi skaiĀ£iuojant jĀ” rememes informacija, kuriĀ” mums suteikeivykĀ¦s ivykis B, tai Ā²iĀ” tikimybĀ¦ vadiname sĀ”lygine ir Āŗymime P (A|B). Tai aposteriorine arba sĀ”lygine tikimybe, gauta pasinaudojant papildoma in-formacija apie ivyki B. Pirmuoju atveju teko atsiĀŗvelgti i visus ivykiuiA palankius elementariuosius ivykius, antruoju atveju tik i tuos, kuriepalankus ir B.Toliau manysime, jog tam tikra tikimybine erdve ćĪ©,A, P ć ksuota, irnagrinejami ivykiai priklauso A.9C. Caratheodory (1873-1950) vokieĀ£iu matematikas, nuo 1939 metu Atenu univer-siteto rektorius. 30
11 apibreĀŗimas. Tegu A,B du atsitiktiniai ivykiai, P (B) > 0.SĀ”lygine A tikimybe su sĀ”lyga, kad ivykis B yra ivykĀ¦s, vadinsime skaiĀ£iuP (A|B) =
P (A ā© B)
P (B).Funkcija P (Ā·|B) : A ā [0, 1] yra naujas tikimybinis matas, o ćĪ©,A, P (Ā·|B)ćyra nauja tikimybine erdve.Visi teiginiai, kuriuos tikimybiniam matui irodeme ankstesniame skyre-lyje, yra teisingi ir sĀ”lyginei tikimybei. TaĀ£iau atsiranda ir nauju, vien sĀ”ly-ginei tikimybei budingu aspektu ir jos taikymo galimybiu.18 teorema. Tegu Hi (i ā I) baigtine arba skaiti nesutaikomu ivykiusistema, P (Hi) > 0 ir āŖiHi = Ī©. Tada bet kokiam ivykiui A
P (A) =ā
iāI
P (A|Hi)P (Hi). (16)Irodymas. Ivyki A galime iĀ²reikĀ²ti nesutaikomu ivykiu sĀ”junga: A =āŖiāI(A ā©Hj). Taigi
P (A) =ā
iāI
P (A ā©Hi).Belieka pasinaudoti tuo, kad P (A ā©Hi) = P (A|Hi)P (Hi).(16) lygybe vadinama pilnosios tikimybes formule: apriorine tikimybesuskaiĀ£iuojama, sudedant aposteriorines tikimybes, atitinkanĀ£ias nesutaiko-mus ivykius arba hipotezes Hj . itaip ivykio tikimybes skaiĀ£iavimo uĀŗdavinitarsi suskaidome i paprastesnius.19 teorema. Tegu Hi (i ā I) baigtine arba skaiti nesutaikomu ivykiusistema, P (Hi) > 0 ir āŖiHi = Ī©. Tada bet kokiam ivykiui Hj
P (Hj|A) =P (A|Hj)P (Hj)āiāI P (A|Hi)P (Hi)
. (17)Irodymas. LygybejeP (Hj|A) =
P (A ā©Hj)
P (A)pasinaudojĀ¦ lygybe P (A ā©Hj) = P (A|Hj)P (Hj) ir (16), gausime (17). (17)lygybe vadinama Bajeso10 hipoteziu tikrinimo formule. Ja kartais galime10Bayes Thomas (1702-1761) anglu matematikas. Darbas, kuriame yra Ā²i formule,paskelbtas po mirties 1763 metais. 31
remtis, kai naudojantis tam tikra informacija reikia pasirinkti vienĀ” iĀ² keliualternatyvu arba hipoteziu. Tarkime, Āŗinome, jog ivyko vienas ivykis iĀ²nesutaikomu ivykiu Ā²eimos Hi (i ā I) (teisinga viena iĀ² keliu hipoteziu).Kuris iĀ² ivykiu ivyko neĀŗinome, taĀ£iau turime netiesioginĀ¦ informacijĀ”:ivyko ivykis A. Tarkime, reikia nusprĀ¦sti, kuria hipoteze Hi vadovautis, pri-imant sprendimĀ” apie tolimesnius veiksmus. MaĀŗiausia tikimybe suklysti bustada, jei savo sprendimĀ” grisime ta hipoteze, kuriai P (Hi|A) yra didĀŗiausia.ias tikimybes galime rasti iĀ² Bayeso formules.20 teorema. Tegu Ai (i = 1, 2, . . . , n) bet kokie atsitiktiniai ivykiai,P (A1 ā© . . . Ā· ā©Anā1) > 0. Teisinga lygybe
P (A1 ā© . . . ā©An) = P (A1)P (A2|A1) Ā· . . . Ā· P (An|A1 ā© . . . Ā· ā©Anā1).FormulĀ¦ galime matematines indukcijos metodu. JĀ” vadinsime tikimy-biu sandaugos formule. Kartais ja pasinaudojus ivykio tikimybĀ¦ suskaiĀ£iuotivisiĀ²kai paprasta.12 pavyzdys. Rutuliai iĀ² urnosTegu, pavyzdĀŗiui, urnoje yra n baltu irm juodu rutuliu. IĀ²traukus rutuli,jis grĀ”Āŗinamas i urnĀ”, o be to dar idedama k tos paĀ£ios spalvos rutuliu. Poto iĀ² urnos traukiamas antras rutulys. Kokia tikimybe, kad abu iĀ²trauktiejirutuliai bus balti?Jeigu sprĀ¦stume uĀŗdavini naudodamiesi klasikiniu tikimybes apibreĀŗimu,turetume galvoti, kas yra bandymo baigtys ir kiek ju yra. TaĀ£iau naudojantistikimybiu sandaugos formule, uĀŗdavini iĀ²sprĀ¦sti visai paprasta. Tegu A1 yraivykis, kad pirmasis rutulys yra baltas, A2 kad antrasis baltas. Mums reikiasurasti tikimybĀ¦ P (A1 ā© A2). Beveik akivaizdu, kadP (A1) =
m
n+m, P (A2|A1) =
m+ k
n+m+ k.SudauginĀ¦ Ā²ias tikimybes gauname P (A1 ā© A2).Panagrinesime keletĀ” idomesniu uĀŗdaviniu, sprendĀŗiamu panaudojant sĀ”-lygines tikimybes. Kiek pakeisime savo samprotavimu stiliu: skaiĀ£iuosi-me tikimybes naudodamiesi ivykiu tikimybes siejanĀ£ias formules ir nelabairupindamiesi, kaip nusakyti trejetĀ”, sudaranti tikimybinĀ¦ erdvĀ¦. Kiekvienuatveju tai galima butu padaryti.13 pavyzdys. LoĀ²imas su moneta. Du loĀ²ejai meto simetriĀ²kĀ” monetĀ”.Jei iĀ²krinta herbas (H), pirmasis iĀ²loĀ²ia 1 Lt, antrasis tiek pat praloĀ²ia.Jei iĀ²krinta skaiĀ£ius (S) pirmasis praloĀ²ia, o antrasis iĀ²loĀ²ia 1 Lt. Pirmojopradinis kapitalas lygus x, antrojo neribotas. Pirmasis loĀ²ejas nusiteikĀ¦s32
loĀ²ti, kol jo turima suma pasidarys lygi a arba kol prasiloĀ² iki paskutiniosiulelio. Kokia tikimybe, kad jis prasiloĀ²?Tikimybe prasiloĀ²ti priklauso tik nuo pradinio kapitalo dydĀŗio. PaĀŗymekimep(x) tikimybĀ¦ prasiloĀ²ti, kai pradine turima suma lygi x, x ā¤ a. Tegu A ivykis, kad pirmasis prasiloĀ²e. PaĀŗymekime H1 ivyki, kad pirmasis iĀ²loĀ²e 1 Ltpirmajame loĀ²ime, H2 kad 1 Lt praloĀ²e. Pagal pilnosios tikimybes formulĀ¦
P (A) = P (A|H1)P (H1) + P (A|H2)P (H2).TaĀ£iau P (H1) = P (H2) = 0,5, o P (A|H1) = p(x + 1), P (A|H2) = p(x ā 1).Taigi gauname toki sĀ”ryĀ²i:p(x) =
1
2(p(x+ 1) + p(xā 1)),arba
p(x+ 1) = 2p(x) ā p(xā 1).Nagrinekime gautĀ” skirtuminĀ¦ lygybĀ¦. Kadangip(x+ 1) ā p(x) = p(x) ā p(xā 1),tai seka p(x) yra aritmetine progresija: p(x) = k + dx. Pasinaudodami sĀ”ly-gomis p(a) = 0, p(0) = 1, gauname
p(x) = 1 ā x
a.14 pavyzdys. Laplaso11 desnis.Jeigu n kartu mums kaĀŗkas pavyko, kokia tikimybe, kad tai pavyks n+1-Ā”ji kartĀ”? Jeigu 30 dienu iĀ² eiles buvo sauleta, ar 31 Ā”jĀ” dienĀ” irgi Ā²viessaule? Formalizuokime situacijĀ” tokiu budu. Urnoje yra tik balti ir juodirutuliai, bet kiek ju neĀŗinia. Atsitiktinai traukeme n kartu po rutuli, ji velgrĀ”Āŗindami; tarkime, ivyko ivykis
An = visi n rutuliai buvo balti .Kokia tikimybe, kad ir n+1-Ā”ji kartĀ” iĀ²trauktas rutulys bus baltas, t. y. kadivyks ivykis An+1.Taigi norime apskaiĀ£iuoti tikimybĀ¦ P (An+1|An). Kadangi jokios papildo-mos informacijos neturime, laikysime, jog rutuliu urnoje yra N , o baltu iĀ²11Laplace Pierre Simon (1749-1827) prancuzu astronomas, matematikas ir zikas.33
ju su vienodomis tikimybemis gali buti m = 0, 1, . . . , N . Taigi nagrinejameN + 1 poromis nesutaikomu ivykiu Ā²eimĀ”:
Hm = urnoje yra m baltu rutuliu, P (Hm) =1
N + 1.Nesunku suskaiĀ£iuoti, jog P (An|Hm) = (m/N)n. Pagal pilnos tikimybesformulĀ¦ gauname
P (An) =ā
m
P (An|Hm)P (Hm) =1
N + 1
ā
m
(mN
)n
.Pastebekime, kad kai N ā ā, taiP (An) ā
ā« 1
0
und =1
n+ 1.Taip pat iĀ²reiĀ²kiama ir tikimybe P (An+1). Kadangi An+1 ā An, tai An ā©
An+1 = An+1, irP (An+1|An) =
P (An+1)
P (An)=
ām
(mN
)n+1
ām
(mN
)n .Kai n didelis, P (An+1|An) ā (n+ 1)/(n+ 2).Tai ir yra Laplaso desnis. Kokiais atvejais juo galima pasikliauti? At-sakymĀ” duoti nera taip paprasta. TaĀ£iau galima pateikti paprastĀ” pavyzdi,kai jis tikrai netinka. Tarkime, deĀ²imt kartu iĀ² eiles metus simetriĀ²kĀ” mon-etĀ” atvirto herbas. Jeigu manysite, kad didele tikimybe, jog vienuoliktamemetime irgi pasirodys herbas, klysite. TaĀ£iau jeigu neĀŗinote, ar monetasimetriĀ²ka, tada deĀ²imtyje metimu gavus herbĀ” galvoti, kad vienuoliktajameirgi bus tas pats logiĀ²ka!1.11. Nepriklausomi ivykiai. Bernulio schemaTarkime ćĪ©,A, P ć tikimybine erdve, A,B ā A. Jeigu tikimybes P (A) irP (A|B) yra skirtingos, naturalu manyti, kad ivykis A priklauso vienas nuoB. Jeigu P (A) = P (A|B), galime sakyti, kad A nepriklauso nuo B. TaĀ£iauformaliame apibreĀŗime tektu atskirai aptarti atveji, kai P (B) = 0, nes Ā²iuoatveju sĀ”lygines tikimybes nesame apibreĀŗĀ¦. Kita vertus lygybeje P (A) =P (A|B) ivykiai dalyvauja nevienodai.IĀ² P (A) = P (A|B) iĀ²plaukia, kad
P (A ā© B) = P (A)P (B).34
Pastaroji lygybe prasminga su bet kokiais ivykiais A,B ir abu jie ieina ilygybĀ¦ vienodai. Tad su ja ir formuluosime ivykiu nepriklausomumo sĀ”vokĀ”.12 apibreĀŗimas. Atsitiktinius ivykius A,B ā A vadinsime nepriklau-somais, jeiP (A ā© B) = P (A)P (B).PavyzdĀŗiui, tegu A,B,C yra atsitiktiniai ivykiai, susijĀ¦ su kauliuko metimu:
A = iĀ²kritusiu akuĀ£iu skaiĀ£ius dalijasi iĀ² 2,B = iĀ²kritusiu akuĀ£iu skaiĀ£ius dalijasi iĀ² 3,C = iĀ²kritusiu akuĀ£iu skaiĀ£ius didesnis uĀŗ 2. Nesunku pasinaudojus apibreĀŗimu patikrinti, kad ivykiai A,B ir A,C yranepriklausomi, o ivykiai B,C priklausomi.Kaip formuluoti keliu atsitiktiniu ivykiu nepriklausomumo sĀ”vokĀ”? Tarkime,tokiu ivykiu yra trys. Jeigu jie butu tikrai nepriklausomi, tai iĀ² to, kadivyko du, neturetume gauti jokios informacijos apie treĀ£iĀ”ji. Galbut pakankapareikalauti, kad bet kurie du iĀ² triju ivykiu butu nepriklausomi? Paprastaspavyzdys rodo, kad ne.15 pavyzdys. RuleteTarkime, ruletes skritulys padalytas i keturis ketvirĀ£ius, kurie suĀŗymetiskaiĀ£iais 0, 1, 2, 3, o loĀ²eju yra trys. Jei ruletes strele sustoja 0 ketvirtyje laimi visi, jei 1 tik pirmasis ir taip toliau. Nagrinekime ivykius A1, A2, A3,kurie atitinkamai reiĀ²kia, kad laimejo pirmasis, antrasis ir treĀ£iasis. Nesunkuisitikinti, kad kiekviena pora iĀ² Ā²io trejeto yra nepriklausoma. TaĀ£iau jeiguĀŗinome, kad ivyko A1 ir A2, tai galesime padaryti iĀ²vadĀ”, kad ivyko ir treĀ£iasisivykis. Taigi sakyti, kad visi trys ivykiai yra nepriklausomi, negalime.Nepriklausomu ivykiu sistemĀ” apibreĀ²ime taip.13 apibreĀŗimas. Sakysime, kad atsitiktiniu ivykiu sistemĀ” S = AĪ» ā
A : Ī» ā Ī, sudaro tarpusavyje nepriklausomi ivykiai, jei bet kuris ivykisAĪ» ā S nepriklauso nuo bet kurio ivykio ā©jāJAj , Ā£ia J ā Ī yra baigtineaibe, Ī» 6ā J.Kiek pagalvojus, galime isitikinti, kad sistemĀ” S = AĪ» ā A : Ī» āĪ tada ir tik tada sudaro nepriklausomi ivykiai, kai visiems skirtingiemsĪ»1, Ī»2, . . . , Ī»n, teisnga lygybe
P (AĪ»1 ā© . . . ā© AĪ»n) = P (AĪ»1) Ā· Ā· Ā·P (AĪ»n
).Negalimas ivykis yra nepriklauso nuo bet kurio kito ivykio. Tai taip patteisinga ir butinajam ivykiui. Isitikinsime, kad ivykiu poros nepriklausomu-35
mui nedaro itakos, jeigu vienĀ” arba abu juos keiĀ£iame prieĀ²ingais. Patogumodelei Āŗymekime: A1 = A,A0 = Ac.21 teorema. Jei egzistuoja indeksai i0, j0 ā 0, 1, kad ivykiai Ai0, Bj0yra nepriklausomi, tai Ai, Bj yra nepriklausomi ivykiai su bet kokia indeksupora i, j ā 0, 1.Irodymas. Pakaks parodyti, kad iĀ² A,B nepriklausomumo iĀ²plaukiaA,B nepriklausomumas. TaĀ£iau tai iĀ²plaukia iĀ² paprastu lygybiu grandineles:P (A ā© B) = P (B) ā P (A ā© B) = P (B) ā P (A) Ā· P (B) = P (B)(1 ā P (A)).TeoremĀ” nesunku apibendrinti tarpusavyje nepriklausomu atsitiktiniu ivykiusistemai.22 teorema. Jeigu sistemĀ” S = AĪ» ā A : Ī» ā Ī, sudaro tarpusavyjenepriklausomi ivykiai, tai su bet kokiais iĪ» ā 0, 1 sistemĀ” Sā = AiĪ»
Ī» : Ī» āĪ taip pat sudaro tarpusavyje nepriklausomi ivykiai.Pritaikysime Ā²iĀ” nepriklausomu ivykiu savybĀ¦ idomiam teiginiui irodyti.is teiginys tikimybiu teorijoje paprastai vadinamas Borelio- Cantelli lema.12Jei A1, A2, . . . yra begaline ivykiu seka, tai Ī© poaibis B, sudarytas iĀ² tuĻ ā Ī©, kurie priklauso be galo daugeliui Ai, yra ivykis, t. y. priklauso A. IĀ²tiesu, jei Ļ ā B, tai Ļ ā Bm, Bm = āŖnā„mAn. Todel Ļ ā ā©mBm. Teisingas iratvirkĀ²tinis teiginys. Taigi B = ā©mBm. Ivykis B paprastai vadinamas ivykiuAn virĀ²utine riba ir Āŗymimas lim supAn. Taigi
lim supAn =ā
mā„1
ā
nā„m
An.Isivaizduokime, pavyzdĀŗiui, kad monetĀ” metame be galo daug kartu. TeguAi yra ivykis, kad i-ajame metime iĀ²krito herbas. Tada ivyki lim supAnĀŗodĀŗiais galime nusakyti taip: metus monetĀ” be galo daug kartu, herbaspasirode taip pat be galo daug kartu. Tokiu atveju skaiĀ£ius galejo pasirodytibaigtini skaiĀ£iu kartu, taĀ£iau galejo pasirodyti ir be galo daug kartu.23 teorema.Tegu sekĀ” A1, A2, . . . , sudaro tarpusavyje nepriklausomi ivykiai, pn =P (An), ā
n
pn = ā.Tada tikimybe, jog ivyks be galo daug ivykiu An, lygi 1.12Cantelli Francesco Paolo (1875 -?) italu matematikas, ekonomikos ir prekybos aukĀ²-tosios mokyklos Romoje profesorius. Darbai iĀ² matematines statistikos srities.36
Irodymas. Tegu Byra ivykis, kuris reiĀ²kia, kad ivyks be galo daugivykiu An, Bm = āŖnā„mAn. Tada B = ā©mBm. Kadangi ivykiai Bm yramaĀŗejantys, tai P (B) = limmāā P (Bm). Tad pakaks irodyti, kad P (Bm) ā 1arba P (Bm) ā 0, kai mā ā.Naudodamiesi aibiu papildiniu (kitaip tariant prieĀ²ingojo ivykio sudarymoveiksmu) savybe, gauname Bm = ā©nā„mAn, o ivykiai An nepriklausomi.Todel turimeP (Bm) = P (
ā
nā„m
An) ā¤ P (ā
mā¤nā¤m+t
An) = (1 ā pm)(1 ā pm+1) . . . (1 ā pm+t).TaĀ£iau gautosios nelygybes deĀ²ines puses reiĀ²kinys arteja prie nulio, kai tāā. Taigi P (Bm) = 0.Teorema irodyta. Iki Ā²iol nagrinejome tikimybines erdves, kurios tinkapavieniams statistiniams bandymams apraĀ²yti. Dabar nagrinesime statistiniubandymu sekĀ”.Tarkime, n kartu kartojamas bandymas, kurio baigĀ£iu aibe Ī©1 = 0, 1.Vadinsime pirmĀ”jĀ” baigti nesekme, antrĀ”jĀ” sekme. Bandymu serijos baigĀ£iuaibe yra
Ī© = Ī©n1 = ćĻ1, . . . , Ļnć : Ļi = 0, 1.Reikia apibreĀŗti baigĀ£iu Ļ = ćĻ1, . . . , Ļnć tikimybes. Baigti Ļ galime inter-pretuoti kaip ivykiu sankirtĀ”: pirmajame bandyme pasirode Ļ1, antrajame Ļ2 ir t.t. PaĀŗymejĀ¦ P (Ļm|Ļ1, . . . , Ļmā1) tikimybĀ¦, kad m-ajame bandymepasirode baigtis Ļm su sĀ”lyga, kad ankstesniuose bandymuose pasirode baig-tys Ļ1, . . . , Ļmā1 tikimybĀ¦ P (Ļ) galime apibreĀŗti pasinaudojĀ¦ tikimybiu san-daugos teorema:
P (Ļ) = P (Ļ1)P (Ļ2|Ļ1) Ā· . . . Ā· P (Ļn|Ļ1, . . . , Ļnā1).Tarkime dabar, kad bandymai nepriklauso vienas nuo kito, o sekmes tikimybevisuose bandymuose yra ta pati ir lygi p (0 ā¤ p ā¤ 1), o nesekmes q = 1āp.Tada P (Ļm|Ļ1, . . . , Ļmā1) = P (Ļm), Ā£ia P (Ļm) = p, jei Ļm = 1 (sekme) irP (Ļm) = q, jei Ļm = 0 (nesekme). Galime abi Ā²ias lygybes uĀŗraĀ²yti sujungtii vienĀ”: P (Ļm) = pĻmq1āĻm .Tada baigties Ļ ā Ī©n, Ļ = ćĻ1, . . . , Ļnć tikimybe:
P (Ļ) = P (Ļ1) Ā· Ā· Ā·P (Ļn) = pĻ1q1āĻ1 Ā· pĻ2q1āĻ2 Ā· . . . Ā· pĻnq1āĻnPaĀŗymejĀ¦ s(Ļ) = Ļ1 + . . .+ Ļn, gausimeP (Ļ) = ps(Ļ)qnās(Ļ).37
Sudareme diskreĀ£iĀ”jĀ” tikimybinĀ¦ erdvĀ¦ ćĪ©,P(Ī©), P ć. Ji vadinama Bernulioschema.1314 apibreĀŗimas. Bernulio schema vadiname diskreĀ£iĀ”jĀ” tikimybinĀ¦erdvĀ¦ ćĪ©,P(Ī©), P ć, Ā£iaĪ© = ćĻ1, . . . , Ļnć : Ļi ā 0, 1, P(Ī©)yra visuĪ©poaibiu Ļ-algebra,kiekvienam elementariajam ivykiui Ļ ā Ī©, Ļ = ćĻ1, . . . , Ļnć,
P (Ļ) = ps(Ļ)qnās(Ļ), s(Ļ) = Ļ1 + . . .+ Ļn.Bernulio schema yra n vienodu ir nepriklausomu bandymu su dviem baig-timis ir tomis paĀ£iomis Ā²iu baigĀ£iu tikimybemis matematinis modelis. VienĀ”baigti paprastai vadiname sekme, kitĀ” nesekme. Tokio bandymo pavyzdys monetos metimas.DaĀŗnai svarbu suskaiĀ£iuoti tikimybĀ¦, kad bandymĀ” pakartojĀ¦ m kartu,gausime m sekmiu.24 teorema. Tegu Sn sekmiu skaiĀ£ius n nepriklausomu bandymuserijoje su sekmes ir nesekmes viename bandyme tikimybemis p, q = 1 āp, 0 ā¤ p ā¤ 1. Tada
P (Sn(Ļ) = m) = Cmn p
mqnām, m = 0, 1, . . . , n.Irodymas. TikimybĀ¦ skaiĀ£iuosime naudodami Bernulio schemĀ”. Ele-mentarieji ivykiai yra gretiniai ćĻ1, . . . , Ļnć, Ā£ia Ļi = 1, jei i-ajame bandymebuvo sekme ir Ļi = 0, jei nesekme. Kad butu Sn(Ļ) = m, lygiai m elementuĻi turi buti lygus vienetui, o kiti nuliui. Tada
s(Ļ) = Ļ1 + . . .+ Ļn = m, P (Ļ) = pmqnām.Lieka suskaiĀ£iuoti, kiek yra Ļ, kuriuose yra lygiai m vienetu. is kiekis lygusderiniu iĀ² n po m skaiĀ£iui. Taigi skaiĀ£iuodami P (Sn = m) turime susumuotiCm
n demenu, kurie visi lygus pmqnām. Teorema irodyta.Tikimybiu rinkiniP (Sn(Ļ) = m) = Cm
n pmqnām, m = 0, 1, . . . , n.vadiname binominiu skirstiniu. Bernulio schema ir binominis skirstinyspasirodo ivairiuose tikroves reiĀ²kiniu modeliuose. PavyzdĀŗiui, naudodamiesi13Jakobas Bernulis (1654-1705) Ā²veicaru matematikas, vienas iĀ² garsios mokslininkudinastijos atstovu. Jo veikalas Ars conjectandi padare didelĀ¦ itakĀ” tikimybiu teorijosraidai. TaĀ£iau Jakobas Bernulis yra taip pat ir daugelio kitu svarbiu matematiniu veikaluautorius. PavyzdĀŗiui, jis ir jo brolis Johanas laikomi va- riacinio skaiĀ£iavimo pradininkais.38
Bernulio schema galime tyrineti atsitiktini daleles klaidĀŗiojimĀ” plokĀ²tumostaĀ²kais, kuriu koordinates yra sveikieji skaiĀ£iai.16 pavyzdys. Daleles klaidĀŗiojimasSu Bernulio schemos elementariuoju ivykiu ćĻ1, . . . , Ļnć susiekime lauĀŗtĀ¦,kuri jungia plokĀ²tumos taĀ²kusć0; 0ć, ć1;Ļ1ć, ć2;Ļ1 + Ļ2ć, . . . , ćn;Ļ1 + . . .+ Ļnć.Tada tuos Ļ, kuriems Sn(Ļ) = m atitinka lauĀŗtes, kurios baigiasi taĀ²ke
ćn;mć. Musu lauĀŗtes gali tik kilti i virĀ²u. TaĀ£iau jeigu bandymo baigtispaĀŗymetume ā1 ir 1, o lauĀŗtes apibreĀŗtume analogiĀ²kai, tai lauĀŗtes ir kiltuir smigtu.Apibendrinkime Bernulio schemĀ”. Tarkime, kad vieno bandymo skirtingubaigĀ£iu yra ne dvi, bet r (r ā„ 2) : Ī©1 = 1; 2; . . . ; r, o Ā²iu baigĀ£iu tikimybeslygios atitinkamaip1, . . . , pr, 0 ā¤ pi ā¤ 1, p1 + p2 + . . .+ pr = 1.Tarkime, tĀ” pati bandymĀ” kartojame n kartu ir vienas bandymas nedaroitakos kitam. Tada tokios bandymu sekos baigtys yra gretiniai
Ļ = ćn;Ļ1, . . . , Ļnć, Ļi ā 1; 2; . . . ; r,o ju tikimybesP (Ļ) = pĻ1pĻ2 . . . pĻn
.TikimybinĀ¦ erdvĀ¦, kuri apraĀ²o n nepriklausomu vienodu bandymu su baigĀ£iuskaiĀ£iumi r sekĀ” vadinsime polinomine schema.15 apibreĀŗimas. Polinomine schema vadiname diskreĀ£iĀ”jĀ” tikimybinĀ¦erdvĀ¦ ćĪ©,P(Ī©), P ć, Ā£iaĪ© = ćĻ1, . . . , Ļnć : Ļi ā 1, 2, . . . , r, P(Ī©)yra visuĪ© poaibiu Ļ-algebra,kiekvienam elementariajam ivykiui Ļ ā Ī©, Ļ = ćĻ1, . . . , Ļnć,
P (Ļ) = pomega1 Ā· pomega2 Ā· Ā· Ā· pomegan.25 teorema. Tegu Si
n n vienodu ir nepriklausomu bandymu serijojepasirodĀŗiusiu baigĀ£iu i skaiĀ£ius, p1, p2, . . . , pr baigĀ£iu 1, 2, . . . , r pasirodymotikimybes viename bandyme. Tada su visais mi ā„ 0, m1 + . . .+mr = n,
P (S1n = m1, . . . , S
rn = mr) =
n!
m1! . . .mr!pm1 Ā· . . . Ā· pmr ,Ā£ia mi ā„ 0, m1 + . . .+mr = n.is tikimybiu rinkinys vadinamas polinominiu skirstiniu.Naudojantis polinomine schema galime skaiĀ£iuoti, pavyzdĀŗiui, tikimybes,susijusias su loĀ²imo kauliuko metimu serija ir t.t.39
2 Atsitiktiniai dydĀŗiai2.1. Atsitiktinio dydĀŗio sĀ”vokaTegu ćĪ©,A, P ć yra tikimybine erdve. Nagrinesime funkcijas Ī¾ : Ī© ā IR, jospriskiria elementariesiems ivykiams skaiĀ£ius. Ivairiuose uĀŗdaviniuose tenkaskaiĀ£iuoti tikimybes, kad funkciju reikĀ²mes priklauso vienai ar kitai aibei.TaĀ£iau tai ne visada gali buti imanoma padaryti. Isivaizduokime, pavyzdĀŗiui,kad Ā²audoma i taikini: jei pataikoma i centrini skrituli, gaunama 10 taĀ²ku, jeii pirmĀ”ji koncentrini ĀŗiedĀ” 9 ir taip toliau. Elementariaisiais ivykiais galimelaikyti taikinio taĀ²kus. TaĀ£iau jei domimes pelnytais taĀ²kais, tai pakaks na-grineti ivykiu Ļ-algebrĀ”, kuriĀ” generuoja centrinis skritulys ir koncentriniaiĀŗiedai.
Centrinis skritulys ir koncentriniai Āŗiedai generuoja Ļ-algebrĀ”, kuriojeyra iĀ² viso 210 aibiu. TaĀ£iau jeigu noretume nagrineti taĀ²ko atstumoiki skritulio centro funkcijĀ”, tai Ā²ios Ļ-algebros atĀŗvilgiu Ā²i funkcijanebutu atsitiktinis dydis. Kad tokiĀ” funkcijĀ” galetume nagrineti kaipatsitiktini dydi, turetume pakeisti Ļ-algebrĀ”.inodami, su kokiomis tikimybemis pataikoma i Ā²ias aibes, galesime suskaiĀ£i-uoti ir visu kitu musu Ļ-algebros ivykiu tikimybes. Tegu Ī¾ yra atstumas nuotaĀ²ko,i kuri pataikeme iki skritulio centro. Ne visas su Ā²ia funkcija susijusiastikimybes galesime suskaiĀ£iuoti. Taigi Ā²i funkcija nera suderinta su musunagrinejamu tikimybines erdves modeliu.Todel tikslinga atsitiktiniais dydĀŗiais vadinti tik tas funkcijas, kurios yrasuderintos su tikimybines erdves struktura. Dabar apibreĀ²ime Ā²iĀ” savokĀ”matematiĀ²kai.Jau anksĀ£iau apibreĀŗeme paprastuosius atsitiktinius dydĀŗius. Tai funkci-jos Ī¾ : Ī© ā IR, kuriu reikĀ²miu aibe baigtine, o kiekvienai reikĀ²mei x teisingassĀ”ryĀ²is Ī¾ā1(x) ā A. Dabar apibendrinsime Ā²iĀ” sĀ”vokĀ”.16 apibreĀŗimas. FunkcijĀ” Ī¾ : Ī© ā IR vadinsime atsitiktiniu dydĀŗiu,jei su kiekviena Borelio aibe B ā B 40
Ļ : Ī¾(Ļ) ā B = Ī¾ā1(B) ā A. (18)FunkcijĀ” Ī¾ : Ī© ā IRn vadinsime atsitiktiniu vektorium, jei (18) galioja sukiekviena Borelio aibe B ā Bn.Taigi jei Ī¾ yra atsitiktinis dydis, tai galima skaiĀ£iuoti, pavyzdĀŗiui, tokiastikimybes:P (a < Ī¾(Ļ) < b), P (Ī¾(Ļ) ā„ b), P (Ī¾(Ļ)yra racionalusis skaiĀ£ius )ir t. t.Jei Ī¾ = ćĪ¾1, . . . , Ī¾nć yra atsitiktinis vektorius, tai nesunku isitikinti, kadkiekviena jo komponente yra atsitiktinis dydis. IĀ² tiesu, su kiekviena tiesesBorelio aibe B
Ī¾ā11 (B) = Ļ : Ī¾1(Ļ) ā B, Ī¾j(Ļ) ā IR, j = 2, ..., n = Ī¾ā1(BĆIRĆ. . .ĆIR) ā A.Kadangi Borelio aibiu yra neaprepiamai daug, tai tiesioginis (18) sĀ”lygostikrinimas beviltiĀ²kas darbas. Nuo jo mus iĀ²vaduoja toks paprastas teiginys.26 teorema. Tegu S aibes IR poaibiu sistema ir Ļ(S) = B. FunkcijaĪ¾ : Ī© ā IR yra atsitiktinis dydis tada ir tik tada, kai su kiekviena aibe B ā Steisingas sĀ”ryĀ²is Ī¾ā1(B) ā A.Irodymas. Netrivialus tik sĀ”lygos pakankamumas. Ji ir irodinesime.ApibreĀŗkime
Bā² = B : B ā IR, Ī¾ā1(B) ā A.IĀ² teoremos sĀ”lygos turime S ā Bā². Jeigu parodysime, jog Bā² yra Ļ-algebra,tai iĀ² karto gausime B ā Bā² (nes B yra maĀŗiausia Ļ-algebra, aprepianti S), otai reiĀ²kia, kad Ī¾ yra atsitiktinis dydis.Reikia patikrinti, kad Bā² tenkina Ļ-algebros apibreĀŗimo sĀ”lygas. Patikrin-sime vienĀ” ju. Kitos tikrinamos analogiĀ²kai.Tegu Bi ā Bā² (i ā I), Ā£ia I baigtine arba skaiti aibe. Reikia parodyti,kad B = āŖiāIBi irgi Bā² elementas. Tai ekvivalentu tvirtinimui, kad Ī¾ā1(B) āA. TaĀ£iau
Ī¾ā1(B) = Ī¾ā1( ā
iāI
Bi
)=
ā
iāI
Ī¾ā1(Bi).Kadangi A yra Ļ -algebra, o Ī¾ā1(Bi) ā A, tai ā A.Priminsime, kad Borelio Ļ-algebrĀ” generuoja intervalai [a, b). TaĀ£iau pakankaimti tik begalinius intervalus (āā, b). IĀ² irodyto teiginio iĀ²kart gauname, kadnoredami patikrinti, ar Ī¾ yra atsitiktinis dydis galime apsiriboti (18) sĀ”lygos41
tikrinimu, kai B = (āā, x), x ā IR. Nesunku suformuluoti analogiĀ²kĀ” teiginiir atsitiktiniams vektoriams.17 apibreĀŗimas. FunkcijĀ” f : IRn ā IRm vadinsime Borelio funkcija,jei su kiekviena Borelio aibe B ā Bm
fā1(B) ā Bn. (19)Tikrinant ar f : IRn ā IRm yra Borelio funkcija, taip pat nebutina (19)sĀ”lygĀ” tikrinti kiekvienai Borelio aibei B ā Bm. Jei Bm = Ļ(S), tai pakankaminetĀ” sĀ”lygĀ” patikrinti aibems B ā S. DaĀŗnai patogu naudoti generuo-janĀ£iĀ” Bm intervalu sistemĀ”S = (āā, b1) Ć . . .Ć (āā, bm) : bi ā IR.Toliau Ā²iame skyrelyje nagrinesime, kokie veiksmai su atsitiktiniais dy-dĀŗiais arba vektoriais vel duoda atsitiktinius dydĀŗius ir atsitiktinius vekto-rius. Atsakymas labai paprastas algebriniai veiksmai (sudetis, atimtis,daugyba ir dalyba), o taip pat ir analizes operacijos su atsitiktiniais dydĀŗiais(ribos, minimumai ir maksimumai) vel duoda atsitiktinius dydĀŗius. Skaityto-jas, kuriam neidomu suĀŗinoti, kaip tai matematiĀ²kai irodoma, gali irodymuspraleisti ir vel skaityti nuo kito skyrelio pradĀŗios.27 teorema. Tegu Ī¾ : Ī© ā IRn yra atsitiktinis vektorius, o f : IRn ā
IRm Borelio funkcija. Tada Ī· = f(Ī¾) yra taip pat atsitiktinis vektorius.Irodyti teigini galime tiesiogiai patikrinĀ¦, kad Ī· tenkina atsitiktinio dydĀŗioapibreĀŗimo sĀ”lygas.IĀ²vada. Jei Ī¾ : Ī© ā IR yra atsitiktinis dydis, o c konstanta, tai Ī¾+c, cĪ¾, |Ī¾|, Ī¾2irgi yra atsitiktiniai dydĀŗiai.Irodymas. Pakanka isitikinti, kad funkcijos f(x) = x + c, cx, |x|, x2yra Borelio funkcijos. (19) sĀ”lygĀ” pakanka tikrinti intervalams. IĀ² tikruju,pavyzdĀŗiui, funkcijai f(x) = x2 ir B = (āā, u) turime:fā1(B) =
ā , jei u ā¤ 0,
(āāu,āu), jei u > 0,taigi visais atvejais fā1(B) ā B.Naudojant Borelio funkcijas iĀ² atsitiktiniu vektoriu galime gauti naujusatsitiktinius vektorius, iĀ² atsitiktiniu dydĀŗiu naujus atsitiktinius dydĀŗius.Atsitiktinius dydĀŗius sudedami, atimdami, daugindami ir dalydami taip patgauname naujus atsitiktinius dydĀŗius.28 teorema. Tegu Ī¾, Ī· : Ī© ā IR yra atsitiktiniai dydĀŗiai. Tada
Ī¾ Ā± Ī·, Ī¾ Ā· Ī·, Ī¾/Ī· (jei Ī· 6= 0) yra irgi atsitiktiniai dydĀŗiai.42
Irodymas. Irodykime, kad Ī¾+Ī· yra atsitiktinis dydis. Pakaks isitikinti,kad su kiekvienu ksuotu uĻ : Ī¾(Ļ) + Ī·(Ļ) < u ā A.Jeigu teisinga nelygybe Ī¾(Ļ) + Ī·(Ļ) < u, tai teisinga ir nelygybe Ī¾(Ļ) <
u ā Ī·(Ļ). Kadangi racionaliuju skaiĀ£iu aibe yra visur tirĀ²ta (tarp bet kuriudvieju skaiĀ£iu visada yra ir racionaliuju), tai galesime rasti racionaluji skaiĀ£iuq, kad butu teisinga ir nelygybe Ī¾(Ļ) < q < u ā Ī·(Ļ). Kita vertus, jei sukokiu nors q teisinga Ā²i nelygybe, tai teisinga ir nelygybe Ī¾(Ļ) + Ī·(Ļ) < u.PasinaudojĀ¦ tokiais samprotavimais, uĀŗraĀ²ykime:
Ļ : Ī¾(Ļ) + Ī·(Ļ) < u =ā
q
Ļ : Ī¾(Ļ) < q < uā Ī·(Ļ)
=ā
q
Ļ : Ī¾(Ļ) < q ā© Ļ : Ī·(Ļ) < uā q,Ā£ia sĀ”jungos imamos pagal visus racionaliuosius skaiĀ£ius. TaĀ£iau racionaliujuskaiĀ£iu aibe yra skaiti, todel paskutineje sĀ”jungoje jungiama skaiti ivykiu,priklausanĀ£iu Ļ-algebrai A, sistema. Tada ir sĀ”jungos rezultatas turi prik-lausyti Ā²iai Ļ-algebrai, t.y,Ļ : Ī¾(Ļ) + Ī·(Ļ) < u ā A.KadangiāĪ· irgi yra atsitiktinis dydis, tai pasinaudojĀ¦ jau irodytu teiginiugausime, kad Ī¾ ā Ī· yra atsitiktinis dydis.PasinaudojĀ¦ jau irodytais faktais, teoremos iĀ²vada ir lygybeĪ¾ Ā· Ī· =
1
4(Ī¾ + Ī·)2 ā 1
4(Ī¾ ā Ī·)2,gausime, kad Ī¾ Ā· Ī· yra atsitiktinis dydis.I Ī¾/Ī· galime Āŗvelgti kaip i atsitiktiniu dydĀŗiu Ī¾ ir 1/Ī· sandaugĀ”. Kad 1
Ī·yra atsitiktinis dydis irodyti nesunku. Tada ir sandauga Ī¾ Ā· 1Ī·yra atsitiktinisdydis. Teorema irodyta.Isitikinsime, kad analizines (innimumo bei supremumo, virĀ²utines ir ap-atines ribu) operacijos su atsitiktiniais dydĀŗiais irgi duoda atsitiktinius dy-dĀŗius. Priminsime, kad skaiĀ£iu sekos xn apatine ir virĀ²utine ribos apibreĀŗiamostaip:
lim infn
xn = supn
infkā„n
xk, lim supn
xn = infn
supkā„n
xk,kitaip tariant lim inf xn yra maĀŗiausias sekos xn ribinis taĀ²kas, o lim sup xn didĀŗiausias. 43
29 teorema. Tegu Ī¾n : Ī© ā IR (n = 1, 2, . . .) yra atsitiktiniai dydĀŗiai.Tada funkcijosĪ·1 = inf
nĪ¾n, Ī·2 = sup
nĪ¾n, Ī·3 = lim inf
nĪ¾n, Ī·4 = lim sup
nĪ¾nirgi yra atsitiktiniai dydĀŗiai.Jei Ī¾n yra atsitiktiniu dydĀŗiu seka ir su kiekvienu Ļ ā Ī© seka Ī¾n(Ļ)konverguoja, tai riba Ī¾(Ļ) = limn Ī¾n(Ļ) irgi yra atsitiktinis dydis.Irodymas. SkaiĀ£iu sekos minimumas yra maĀŗesnis uĀŗ u, tada ir tiktada, kai bent vienas jos narys yra maĀŗesnis uĀŗ u. taigi
Ļ : Ī·1(Ļ) < u =
āā
n=1
Ļ : Ī¾n(Ļ) < u ā A.i lygybe reiĀ²kia, kad Ī·1 yra atsitiktinis dydis.DydĀŗius Ī·2, Ī·3, Ī·4 galime iĀ²reikĀ²ti taip:Ī·2 = ā inf
n(āĪ¾n), Ī·3 = sup
ninfkā„n
Ī¾k, Ī·4 = infn
supkā„n
Ī¾k.Kadangi jau irodeme, jog imdami atsitiktiniu dydĀŗiu sekos innimumĀ”, velgauname atsitiktini dydi, tai iĀ² Ī·2 iĀ²raiĀ²kos iĀ²plaukia, jog Ī·2 yra atsitiktinisdydis, t. y. atsitiktiniu dydĀŗiu supremumas yra atsitiktinis dydis. IĀ² Ī·3, Ī·4iĀ²raiĀ²ku iĀ²plaukia, kad Ā²ie dydĀŗiai irgi yra atsitiktiniai.Jeigu atsitiktiniu dydĀŗiu reikĀ²miu seka Ī¾n(Ļ) konverguoja su visais Ļ, tairiba lygi apatinei ribai lim inf Ī¾n(Ļ), (o taip pat ir virĀ²utinei ribai lim inf Ī¾n(Ļ)).Taigi funkcija, priskirianti Ļ ribines sekos Ī¾n(Ļ) reikĀ²mes, yra atsitiktinis dy-dis.TaĀ£iau atsitiktiniu dydĀŗiu seka gali konverguoti tik kai kuriems Ļ. Argalime apie konvergavimo aibĀ¦ kalbeti kaip apie atsitiktini ivyki? Taip.30 teorema. Tegu Ī¾n yra atsitiktiniu dydĀŗiu seka. Tada aibeA = Ļ : lim
nāāĪ¾n(Ļ) egzistuojayra atsitiktinis ivykis.Irodymas. Jeigu kokiam nors Ļ ā Ī© limn Ī¾n(Ļ) egzistuoja, tai seka
Ī¾n(Ļ) tenkina Caushy kriteriju:kiekvienam naturiniam k egzistuoja n = n(Ļ), kad|Ī¾u(Ļ) ā Ī¾v(Ļ)| < 1
k, kai u, v ā„ n(Ļ)Tada visu Ļ, su kuriais seka tenkina kriteriju, aibĀ¦ A galime uĀŗraĀ²yti Ā²itaip:
A =
āā
k=1
āā
n=1
āā
u=n
āā
v=n
Ļ : |Ī¾u(Ļ) ā Ī¾v(Ļ)| < 1
k
.IĀ² Ā²ios iĀ²raiĀ²kos iĀ²plaukia, kad A ā A.44
2.2. Atsitiktiniai dydĀŗiai ir ju skirstiniaiVisiems tyrinejimams, kuriuos atliksime Ā²iame skyrelyje, reikia tikimybineserdves. Isivaizduokime, kad jĀ” jau pasirinkome: ćĪ©,A, P ć yra tikimybineerdve.Nagrinesime atsitiktinius dydĀŗius Ī¾ : Ī© ā IR bei atsitiktinius vektoriusĪ¾ : Ī© ā IRm. Visu pirma su jais susiesime tam tikras funkcijas.18 apibreĀŗimas. Tegu Ī¾ : Ī© ā IRm atsitiktinis vektorius, Ī¾ =ćĪ¾1, . . . , Ī¾mć. Jo pasiskirstymo funkcija vadinsime funkcijĀ” FĪ¾ : IRm ā [0, 1],apibreĀŗiamĀ” taip:
FĪ¾(x1, . . . , xm) = P (Ī¾1 < x1, . . . , Ī¾m < xm).Jei m = 1, tai Ī¾ yra atsitiktinis dydis, o FĪ¾(x) = FĪ¾(x) vieno kintamojofunkcija: FĪ¾(x) = P (Ī¾ < x).Taigi atsitiktinio dydĀŗio pasiskirstymo funkcija tarsi saugo visas tikimybesP (Ī¾ < x). Naudojantis Ā²ia funkcija galima skaiĀ£iuoti ir kitas su atsitiktiniudydĀŗiu susijusias tikimybes, pavyzdĀŗiui,
P (a ā¤ Ī¾ < b) = P (Ī¾ < b) ā P (Ī¾ < a) = FĪ¾(b) ā FĪ¾(a).Toliau daĀŗniausiai nagrinesime atsitiktinius dydĀŗius ir ju pasiskirstymofunkcijas.Pirmiausia iĀ²tirkime paprasĀ£iausias pasiskirstymo funkciju savybes.31 teorema. Atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ pasiskirstymo funkcija FĪ¾ turi Ā²iassavybes:1. FĪ¾ yra nemaĀŗejanti funkcija;2. FĪ¾ yra tolydi iĀ² kaires;3. limxāāā
FĪ¾(x) = 0, limxāā
FĪ¾(x) = 1.Irodymas. ymesime Ax = Ļ : Ī¾(Ļ) < x. Tada FĪ¾(x) = P (Ax).1) Jei x < y, tai Ax ā Ay. Tada P (Ax) ā¤ P (Ay).2) Jei x1 < x2 < . . . < x, limnāā xn = x, tai Ax1 ā Ax2 ā . . . irāŖnAxn
= Ax. PasiremĀ¦ teorema apie tikimybiu monotoniĀ²kumĀ”, gausime:lim
nāāP (Axn
) = P (Ax), arba limnāā
FĪ¾(xn) = FĪ¾(x).is sĀ”ryĀ²is ekvivalentus teoremos teiginiui.3) Tegu x1 < x2 < . . . , limn xn = ā. Tada āŖnAxn= Ī©. Irodymui, kad
limxāā FĪ¾(x) = 1 uĀŗbaigti vel pakanka pasiremti tikimybiu monotoniĀ²kumosavybe. 45
Tegu x1 > x2 > . . . , limn xn = āā. Tada ā©nAxn= ā . Teiginys
limxāāā
FĪ¾(x) = 0vel gaunamas iĀ² tikimybiu monotoniĀ²kumo savybes.Funkcija FĪ¾ turi visas tas savybes, kuriu reikia tikimybiniam matui PF :B ā [0 , 1] konstruoti, naudojantis tuo budu, kuris apraĀ²ytas skyrelyje apieBorelio Ļ-algebros matu konstravimĀ”. ymesime Ā²i matĀ” PĪ¾ ir vadinsime jiatsitiktinio dydĀŗio Ī¾ skirstiniu.Tad su kiekvienu atsitiktiniu dydĀŗiu galime susieti tikimybinĀ¦ erdvĀ¦ ćIR,B, PĪ¾ć.Atsitiktiniam vektoriui taip pat galime sukonstruoti analogiĀ²kĀ” tikimybinĀ¦erdvĀ¦.Yra visokiu atsitiktiniu dydĀŗiu. IĀ²skirsime svarbiausias atsitiktiniu dydĀŗiuklases.19 apibreĀŗimas. Jeigu atsitiktinio dydĀŗio (arba atsitiktinio vektori-aus) reikĀ²miu aibe yra baigtine arba skaiti, tai toki atsitiktini dydi vadinsimediskreĀ£iuoju.PavyzdĀŗiui, visi paprastieji atsitiktiniai dydĀŗiai, kuriuos nagrinejome anksĀ£iau,yra diskretieji atsitiktiniai dydĀŗiai.Tegu Ī¾ yra diskretusis atsitiktinis dydis. Tada jo reikĀ²mes galima sunumeruoti.Tarkime, Ā²ios reikĀ²mes yra si, i ā I, Ā£ia I yra baigtine arba begaline taĀ£iauskaiti indeksu (numeriu) aibe. Ivykiai Ļ : Ī¾(Ļ) = si, (i ā I) yra nesu-taikomi, o ju sĀ”junga visa baigĀ£iu aibe Ī©. Taigi
ā
iāI
P (Ī¾(Ļ) = si) = 1.Savo ruoĀŗtuFĪ¾(x) =
ā
si<x,
iāI
P (Ī¾(Ļ) = si). (20)DiskreĀ£iojo atsitiktinio dydĀŗio pasiskirstymo funkcija turi trukius taĀ²kuosesi, kuriuose P (Ī¾(Ļ) = si) > 0. IĀ² tikruju, jei Īµ > 0, tai
FĪ¾(si + Īµ) ā FĪ¾(si ā Īµ) =ā
siāĪµ<sj<si+Īµ
P (Ī¾(Ļ) = sj) > P (Ī¾(Ļ) = si).TodellimĪµā0
(FĪ¾(si+Īµ)āFĪ¾(siāĪµ)
)ā„ P (Ī¾(Ļ) = si) > 0, t.y. lim
xāsiā0FĪ¾(x) 6= lim
xāsi+0FĪ¾(x).IĀ² tikruju nesudetinga isitikinti, kad pasiskirstymo funkcijos Ā²uolis taĀ²ke siyra tiksliai lygus P (Ī¾(Ļ) = si). 46
Taigi diskreĀ£iuju atsitiktiniu dydĀŗiu (o taip pat ir vektoriu) pasiskirstymofunkcijos yra sutrukusios.20 apibreĀŗimas. Jeigu atsitiktinio dydĀŗio (atsitiktinio vektoriaus) Ī¾pasiskirstymo funkcija FĪ¾ yra visur tolydi, tai ji vadinsime tolydĀŗiu.IĀ²skirsime atskirĀ” tolydĀŗiuju dydĀŗiu, kuriems teisinga lygybe, analogiĀ²ka(20) lygybei, klasĀ¦. SumĀ”, suprantama, keisime integralu.21 apibreĀŗimas. Atsitiktini dydi Ī¾ vadinsime absoliuĀ£iai tolydĀŗiu, jeiegzistuoja neneigiama integruojama funkcija pĪ¾(s), kadFĪ¾(x) =
ā« x
āā
pĪ¾(s)ds.FunkcijĀ” pĪ¾(s) vadinsime atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ tankiu. Atsitiktini vektoriuĪ¾ : Ī© ā IRm vadinsime absoliuĀ£iai tolydĀŗiu, jei egzistuoja neneigiama inte-gruojama funkcija pĪ¾(s1, . . . , sm), kad
FĪ¾(x1, . . . , xm) =
ā«
s1<x1,...,sm<xm
pĪ¾(s1, . . . , sm)ds1 Ā· . . . Ā· dsm.FunkcijĀ” pĪ¾(s1, . . . , sm) vadinsime atsitiktinio vektoriaus Ī¾ tankiu.IĀ² matematines analizes kurso teoremos apie integralo su kintamu virĀ²u-tiniu reĀŗiu iĀ²vestinĀ¦ gauname, kad beveik visiems x teisingas toks atsitiktiniodydĀŗio pasiskirstymo funkcijos ir tankio (jei jis egzistuoja) sĀ”ryĀ²is:F ā²
Ī¾(x) = pĪ¾(x).Taigi Āŗinodami atsitiktinio dydĀŗio tanki, pasiskirstymo funkcijĀ” gauname in-tegruodami, o Āŗinodami pasiskirstymo funkcijĀ” tanki gauname diferenci-juodami.17 pavyzdys.Vienetineje atkarpoje atsitiktinai parenkamas taĀ²kas, atstumĀ” nuo parink-tojo taĀ²ko iki atkarpos vidurio paĀŗymekime Ī¾. Raskime Ā²io atsitiktinio dydĀŗiopasiskirstymo funkcijĀ”, jei visi taĀ²kai turi vienodas galimybes buti parinkti.Taikysime geometriniu tikimybiu schemĀ”. Nesunku isitikinti, kadFĪ¾(x) =
0, jei ā¤ 0,
2x, jei 0 ā¤ x ā¤ 12,
1, jei x ā„ 12.Atsitiktinis dydis Ī¾ turi ir tanki:
pĪ¾(x) =
0, jei x 6ā [0; 1],
2, jei x ā [0; 1].47
2.3. Diskretieji atsitiktiniai dydĀŗiaiiame skyriuje nagrinesime svarbius diskreĀ£iuju atsitiktiniu dydĀŗiu pavyzdĀŗius.18 pavyzdys. IĀ²sigimĀ¦s atsitiktinis dydis ir jo skirstinysGali buti, kad atsitiktinis dydis igyja vienintelĀ¦ reikĀ²mĀ¦, t.y. yra toksskaiĀ£ius a, kad P (Ī¾ = a) = 1. Toki atsitiktini dydi vadinsime iĀ²sigimusiu, jopasiskirstymo funkcija:FĪ¾(x) =
0, jei x ā¤ a,1, jei x > a.
FĪ¾(x
)
x
1
0 aIĀ²sigimusio skirstinio pasiskirstymo funkcija turi vienĀ”, taĀ£iau didelitruki.inoma, tokio dydĀŗio galima ir nevadinti atsitiktiniu, taĀ£iau teorija tuopaprastesne, kuo iĀ²imĀ£iu ir atskiru atveju yra maĀŗiau.19 pavyzdys. Binominis skirstinysNagrinekime Bernulio schemĀ”; tegu n bandymu skaiĀ£ius, p sekmestikimybe, Ī¾n sekmiu skaiĀ£ius atlikus n bandymu. Jau Āŗinome, jog Ā²io dydĀŗioreikĀ²miu aibe yra SĪ¾ = 0, 1, . . . , n irFĪ¾(x) =
ā
0ā¤s<x
sā¤n
Csnp
s(1 ā p)nās.i skirstini vadinsime binominiu, raĀ²ysime Ī¾n ā¼ B(n, p).
P10(m
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11m
P10(6) ā 0.251
48
Bernulio skirstinio B(10, 0, 6) tikimybes P10(m) = P (Ī¾10 = m).20 pavyzdys. Paskalio skirstinysNagrinekime Bernulio schemĀ” kaip ankstesiajame pavyzdyje, taĀ£iau bandy-mus kartokime tol, kol surinksime n sekmiu. Tegu Īøn atliktu bandymuskaiĀ£ius, o Ī·n = Īøn ā n. Tada Ī·n yra atsitiktinis dydis, jo reikĀ²me lyginesekmiu, gautu atliekant bandymus iki surenkama n sekmiu, skaiĀ£iui. Dy-dĀŗio reikĀ²miu aibĀ¦ sudaro visi neneigiami sveikieji skaiĀ£iai: S = SĪ·n=
0, 1, . . . , , irFĪ·(x) =
ā
0ā¤s<x
Csn+sā1p
n(1 ā p)s.Atsitiktinio dydĀŗio Ī·n skirstini vadinsime Paskalio skirstiniu, raĀ²ysime:Ī·n ā¼ Bā(n, p). 14DydĀŗio Ī·1 (jo reikĀ²me nesekmiu iki pirmosios sekmes skaiĀ£ius) skirstinysvadinamas geometriniu. Tikimybes
P (Ī·1 = m) = pqm, q = 1 ā p,yra tiesiog geometrines progresijos nariai.21 pavyzdys. Puasono skirstinysTai tiek teorijai, tiek taikymams labai svarbus skirstinys. Ji taipogiatrasime nagrinedami Bernulio schemas.32 teorema. Tegu atliekama n Bernulio schemos su sekmes tikimybe pnbandymu, tegu Ī¾n sekmiu skaiĀ£ius Ā²ioje bandymu serijoje. Jeigu egzistuojateigiamas skaiĀ£ius Ī», kad npn ā Ī», kai nā ā, tai su kiekvienu m = 0, 1, . . .
P (Ī¾n = m) = Cmn p
mn q
nāmn ā Ī»m
m!eāĪ»,Ā£ia qn = 1 ā pn.Irodymas. PaĀŗymejĀ¦ Ī»n = npn ir pasinaudojĀ¦ binominiu koecientuiĀ²raiĀ²ka faktorialais, gausime
P (Ī¾n = m) =n(nā 1) . . . (nām+ 1)
m!
(Ī»n
n
)m(1 ā Ī»n
n
)nām
=
Ī»mn
m!
(1 ā Ī»n
n
)n(1 ā 1
n
)(1 ā 2
n
). . .
(1 ā mā 1
n
)(1 ā Ī»n
n
)ām
.14Toks Āŗymejimas paaiĀ²kinamas tuo, jog Paskalio skirstinys atskiras taip vadinamojoneigiamo binominio skirstinio atvejis. 49
Nagrinekime kiekvieno daugiklio elgesi, kai nā ā. Kadangi m ksuo-tas, Ī»n ā Ī», kai nā ā, tai Ī»mn ā Ī»m,
(1 ā Ī»n
n
)n
ā eāĪ»,o visi kiti daugikliai arteja prie vieneto.22 apibreĀŗimas. Jeigu atsitiktinis dydis Ī¾ igyja sveikas neneigiamasreikĀ²mes su tikimybemisP (Ī¾ = m) =
Ī»m
m!eāĪ» (m = 0, 1, 2, . . .),Ā£ia Ī» > 0, tai sakysime, kad Ī¾ reikĀ²mes pasiskirstĀ¦ pagal Puasono15 desni(arba Puasono skirstini) su parametru Ī». SimboliĀ²kai raĀ²ysime Ī¾ ā¼ P(Ī»).
P(Ī¾
=m
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11mPuasono skirstinio su parametru Ī» = 4 tikimybes.Taigi Ā²iame skyrelyje irodyta teorema teigia, kad binominio skirstiniotikimybes, kai bandymu skaiĀ£ius n yra didelis, o sekmes tikimybe p yra maĀŗa,artimas Puasono skirstinio su parametru Ī» = np tikimybems. Todel bino-minio skirstinio tikimybes, kurias tiksliai skaiĀ£iuoti gali buti sunku, galimekeisti Puasono skirstinio tikimybemis.2.4. AbsoliuĀ£iai tolydus skirstiniaiJeigu atsitiktinis dydis Ī¾ yra absoliuĀ£iai tolydus, tai egzistuoja tankis, t. y.tokia neneigiama funkcija p(u), kad
FĪ¾(x) = P (Ī¾ ā (āā, x)) =
ā« x
āā
p(u)du.15Simeon Deni Poisson (1781-1840) prancuzu matematikas. ParaĀ²e apie 350 darbuiĀ² ivairiu matematikos ir jos taikymu sriĀ£iu: mechanikos, matematines zikos, taip pat irtikimybiu teorijos. 50
PasiremĀ¦ Ā²ia lygybe bet kokiam intervalui B = [a; b) gautume:P (Ī¾ ā B) =
ā«
B
p(u)du.i lygybe teisinga ne tik intervalams, bet ir bet kokioms Borelio aibems. KaiB = IR, tai
P (Ī¾ ā IR) =
ā« infty
āā
p(u)du = 1.Panagrinesime kelis svarbius absoliuĀ£iai tolydĀŗiu skirstiniu pavyzdĀŗius.22 pavyzdys. Tolygusis skirstinysRulete: vienetinis apskritimas ir besisukanti strele. Jai sustojus pasirenkameapskritimo taĀ²kĀ”, i kuri nukreipta strele. Galime nustatyti abipus vien-areikĀ²mĀ¦ vienetinio apskritimo C ir vienetinio intervalo I = [0, 1) taĀ²kuatitikti Ļ : I ā C; Ā£ia Ļ(t) yra vienetinio apskritimo taĀ²kas, kurio polineskoordinates Ļ = 1, Ļ = 2Ļt.Tada galime tarti, kad su rulete atsitiktinai pasirenkame skaiĀ£iu Ī¾ iĀ² viene-tinio intervalo. Dydis Ī¾ yra atsitiktinis ir visos jo reikĀ²mes turi vienodasgalimybes pasirodyti. Naudodami geometriniu tikimybiu modeli gaunameFĪ¾(x) =
0, jei x ā¤ 0,
x, jei 0 ā¤ x ā¤ 1,
1, jei x > 1.Taigi Ī¾ yra absoliuĀ£iai tolydus atsitiktinis dydis, turintis tankipĪ¾(x) =
0, jei x 6ā [0, 1] ,1, jei x ā [0, 1].Sakysime, dydis tolygiai pasisikirstĀ¦s intervale [0; 1], kitaip tariant, Ī¾skirstinys yra tolygusis.PanaĀ²iai apibreĀŗiame ir tolyguji skirstini intervale [a; b].23 apibreĀŗimas. Sakysime, kad atsitiktinis dydis yra tolygiai pa-siskirstĀ¦s intervale [a; b], jeigu jis turi tanki pĪ¾(x), kuris lygus nuliui, kai
x 6ā [a; b], o visiems x ā [a; b] pĪ¾(x) igyja tĀ” paĀ£iĀ” reikĀ²mĀ¦.Tarkime pĪ¾(x) = c. Kadangi tankio integralas pagal visĀ” tiesĀ¦ turi butilygus vienetui, tai1 =
ā« ā
āā
pĪ¾(x)dx = c
ā« b
a
dx = c(bā a), c =1
bā a.51
Taigi tolygiai intervale [a; b] pasiskirsĀ£iusio atsitiktinio dydĀŗio tankis yrapĪ¾(x) =
0, jei x 6ā [a; b],
1bāa
, jei x ā [a; b].
a b
FX
(x)
a b
pX
(x)
Tolygiai intervale [a; b] pasiskirsĀ£iusio atsitiktinio dydĀŗio pasikirstymofunkcijos ir tankio grakai.23 pavyzdys. Eksponentinis skirstinysRadĀŗio atomas skyla, virsdamas radono atomu ir iĀ²spinduliuodamas alfadalelĀ¦:Raā Rn+ Ī±.Tarkime, Ī¾ yra laikotarpis nuo atomo stebejimo pradĀŗios iki skilimomomento.Atomas nera svarstantis ir skilimui vidujai besiruoĀ²iantis subjektas: jeigupraejus laikotarpiui s jis vis dar nera skilĀ¦s, tai tikimybe kad jis dar iĀ²tverslaiko intervalĀ” t, yra ta pati, koks bebutu s. iĀ” savybĀ¦ analiziĀ²kai uĀŗraĀ²ysimetaip:
P (Ī¾ ā„ t+ s|Ī¾ ā„ s) = P (Ī¾ ā„ t).PaĀŗymejĀ¦ G(t) = P (Ī¾ ā„ t) ir pasiremĀ¦ tuo, jogP (Ī¾ ā„ t+ s|Ī¾ ā„ s) =
P (Ī¾ ā„ t+ s)
P (Ī¾ ā„ s),gauname
G(t+ s) = G(t)G(s). (21)Analizes metodais galime iĀ²sprĀ¦sti funkcinĀ¦ (21) lygti. Sprendiniai yra funkci-josG(t) = eāĪ»t, t ā„ 0;Ā£ia Ī» > 0 parametras, priklausantis nuo ziniu radono savybiu. Dabar
FĪ¾(x) =
0, kai x ā¤ 0,
1 ā eāĪ»t, kai x > 0.52
Taigi Ī¾ yra absoliuĀ£iai tolydus atsitiktinis dydis, turintis tankipĪ¾(x) =
0, kai x ā¤ 0,
Ī»eāĪ»x, kai x > 0.(22)24 apibreĀŗimas. Jeigu atsitiktinis dydis Ī¾ turi tanki, uĀŗraĀ²omĀ”(22) lygybe, kurioje Ī» > 0, tai sakysime, kad atsitiktinis dydis pasiskirstĀ¦spagal eksponentini desni, o jo skirstini vadinsime eksponentiniu. SimboliĀ²kairaĀ²ysime: Ī¾ ā¼ E(Ī»).
FX
(x)
x0
pX
(x)
x0Eksponentiniu skirstiniu pasiskirstymo funkciju ir tankiu grakaiEksponentinis skirstinys yra atskiras gama skirstiniu Ā²eimos atvejis. Gamaskirstini atitinkantis tankis lygus nuliui neigiamoms argumento reikĀ²mems, oteigiamoms apibreĀŗiamas panaudojant du teigiamus parametrus:p(x|Ī», Ī·) =
Ī»Ī·
Ī(Ī·)xĪ·ā1eāĪ»x,Ā£ia Ī(Ī·) yra vadinamoji gama funkcija, kuri teigiamiems Ī· gali buti uĀŗraĀ²ytaintegralu
Ī(Ī·) =
ā« ā
0
eāttĪ·ā1dt.Jei atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ skirstinys gama skirstinys su parametrais Ī», Ī·,raĀ²ysime Ī¾ ā¼ G(Ī», Ī·).24 pavyzdys. Normalusis skirstinysNagrinekime Bernulio schemĀ”, tegu p sekmes tikimybe viename bandyme,o n bandymu skaiĀ£ius. Nagrinekime schemĀ” su vis didesniu bandymu skaiĀ£i-umi n.Teisinga tokia teorema. 53
33 teorema. Tegu sekmes tikimybe Bernulio schemoje lygi p , o Ī¾n sekmiu skaiĀ£ius po n bandymu. Tada bet kokiam x
P
(Ļ :
Ī¾n(Ļ) ā npānp(1 ā p)
< x
)ā 1ā
2Ļ
ā« x
āā
eāt2/2dt, nā ā.i teorema vadinama Muavro-Laplaso integraline teorema.ioje teoremoje pasirodo labai svarbus tikimybiu teorijoje skirstinys.25 apibreĀŗimas. Jeigu atsitiktinis dydis Ī¾ turi tankip(x) =
1ā2Ļeāx2/2, āā < x <ā,tai sakysime, kad jis pasiskirstĀ¦s pagal standartini normaluji desni, jo skirstinivadinsime standartiniu normaliuoju. Jeigu Ī¾ skirstinys yra standartinis nor-malusis, raĀ²ysime Ī¾ ā¼ N (0, 1).
pX
(x)
x0 1
0, 1Standartinio normaliojo desnio tankis.Normaluji skirstini apibreĀ²ime ir n-maĀ£iu atveju.26 apibreĀŗimas. Sakysime, kad atsitiktinio vektoriaus Ī¾ : Ī© ā IRnskirstinys yra standartinis normalusis, jei Ī¾ yra absoliuĀ£iai tolydus atsitiktinisvektorius, turintis tankipĪ¾(x1, . . . , xn) =
1
(2Ļ)n/2exp
ā 1
2
nā
k=1
x2k
.Panagrinesime absoliuĀ£iai tolydĀŗiuju atsitiktiniu dydĀŗiu ir vektoriu savybes.Jei Ī¾ yra absoliuĀ£iai tolydus atsitiktinis dydis, pĪ¾ Ā²io atsitiktinio dydĀŗiotankis, B yra Borelio aibe, tai
P (Ī¾ ā B) =
ā«
B
pĪ¾(u)du.AnalogiĀ²ka lygybe teisinga ir atsitiktiniams vektoriams. Tegu Ī¾ = ćĪ¾1, . . . , Ī¾mć, Ī¾ :Ī© ā IRm, absoliuĀ£iai tolydus atsitiktinis vektorius, pĪ¾ Ā²io atsitiktinio vekto-riaus tankis, B ā Bm bet kokia Borelio aibe. Tada54
P (Ī¾ ā B) =
ā«
B
pĪ¾(u1, u2, . . . , um)du1du2 . . . dum. (23)ImkimeB = (āā, x1) Ć (āā, x2) Ć . . .Ć (āā, xmā1) Ć IR.Tada P (Ī¾ ā B) = P (Ī¾1 < x1, . . . , Ī¾mā1 < xmā1) = FĪ¾ā²(x1, . . . , xmā1), Ā£ia
Ī¾ā² = ćĪ¾1, . . . , Ī¾mā1ć. PritaikĀ¦ (23) formulĀ¦ gausime:FĪ¾ā²(x1, x2, . . . , xmā1) =
ā«
ui<xii=1,...,mā1
(ā« ā
āā
pĪ¾(u1, u2, . . . , um)dum
)du1du2 . . . dumā1.Jeigu paĀŗymesime:
f(u1, u2, . . . , umā1) =
ā« ā
āā
pĪ¾(u1, u2, . . . , um)dum,tai gausimeFĪ¾ā²(x1, x2, . . . , xmā1) =
ā«
ui<xii=1,...,mā1
f(u1, u2, . . . , umā1)du1 . . . dumā1,taigi f(u1, u2, . . . , umā1) yra trumpesnio atsitiktinio vektoriaus tankis. Su-formuluokime gautĀ”ji rezultatĀ” kaip teoremĀ”:34 teorema. Jeigu absoliuĀ£iai tolydaus atsitiktinio vektoriaus Ī¾ =ćĪ¾1, . . . , Ī¾mć tankis yra pĪ¾(u1, . . . um), tai atsitiktinis vektorius Ī¾ā² = ćĪ¾1, . . . , Ī¾mā1ćtaip pat yra absoliuĀ£iai tolydus ir jo tankis yra
pĪ¾ā²(u1, u2, . . . , umā1) =
ā« ā
āā
pĪ¾(u1, u2, . . . , um)dum.Beveik akivaizdu, kaip gauti kitu trumpesniu atsitiktiniu vektoriu tankius reikia ilgojo vektoriaus tanki suintegruoti pagal tam tikras komponentes.Teigini apie atsitiktiniu vektoriu tankius neformaliai galime suformuluotitaip: trumpesniojo" atsitiktinio vektoriaus tanki gauname iĀ² ilgesniojo at-sitiktinio vektoriaus tankio, suintegravĀ¦ pastarĀ”ji pagal nereikalingas kom-ponentes.25 pavyzdys.Atsitiktinis vektorius Ī¾ = ćĪ¾1, Ī¾2ć igyja reikĀ²mes iĀ² aibesā = < u1, u2 >: u1, u2 ā„ 0, u1 + u2 ā¤ 1,55
visos reikĀ²mes yra vienodai galimos. Raskime tankius pĪ¾(u1, u2) ir pĪ¾1(u).PlokĀ²tumoje aibe ā reiĀ²kia trikampi, kurio plotas s(ā) = 1/2. Jei B bet kokia iĀ²matuojama plokĀ²tumos aibe, taiP (Ī¾ ā B) =
s(ā ā©B)
s(ā)= 2s(B ā© ā) =
ā«
B
2Iā(u1, u2)du1du2.TaigipĪ¾(u1, u2) =
2, < u1, u2 >ā ā,
0, < u1, u2 > 6ā ā.TadapĪ¾1(u) =
ā« ā
āā
pĪ¾(u, u2)du2.Kai u < 0 arba u > 1, pĪ¾1(u) = 0, kai 0 ā¤ u ā¤ 1
pĪ¾1(u) =
ā« u
0
2du2 = 2u.Jei Ī¾ yra atsitiktinis dydis, o Ļ Borelio funkcija, tai Ī· = Ļ(Ī¾) irgi yraatsitiktinis dydis. Jeigu Ī¾ turi tanki, ar Ī· taip pat turi tanki? Apsiribosimemonotonines, tolydĀŗiai diferencijuojamos funkcijos Ļ atveju.35 teorema. Jei Ī¾ : Ī© ā IR yra atsitiktinis dydis, o Ļ : IR ā IR monotonine tolydĀŗiai diferencijuojama funkcija, tai atsitiktinio dydĀŗio Ī· =Ļ(Ī¾) tankis yra
pĪ·(t) = pĪ¾(Ļā1(t)) Ā· |Ļā²(Ļā1(t))|ā1.Irodymas. Irodymas remiasi kintamojo keitimo integrale formule. Tegu
Ļ monotoniĀ²kai didejanti funkcija. Tada turimeFĪ·(y) = P (Ļ(Ī¾) < y) = P (Ī¾ < Ļā1(y)) =
ā« Ļā1(y)
āā
pĪ¾(u)du.Dabar belieka pakeisti kintamĀ”ji u kintamuoju t, kad galiotu sĀ”ryĀ²is t = Ļ(u).26 pavyzdys. Tegu Ī¾ ā¼ N (0, 1), o Ī· = a + ĻĪ¾, Ā£ia Ļ > 0. TadapritaikĀ¦ teoremos iĀ²vadĀ” gausime, jog atsitiktinis dydis Ī· turi tankipĪ·(y) =
1
Ļā
2Ļexp
ā 1
2Ļ2(xā a)2
.Sakysime, kad Ī· skirstinys yra normalusis su parametrais a, Ļ ir raĀ²ysime
Ī· ā¼ N (a, Ļ). 56
pX
(x)
x0Normaliuju dydĀŗiu tankiai. DydĀŗio Ī· ā¼ N (a, Ļ) tankio grakas simetriĀ²kastieses x = a atĀŗvilgiu. Kuo maĀŗesne Ļ reikĀ²me, tuo statesnis tankiograkas.TaĀ£iau sprendĀŗiant uĀŗdavinius galima ir nesinaudoti irodytos teoremosformule. Juk tanki galime rasti iĀ² pradĀŗiu suradĀ¦ pasiskirstymo funkcijĀ”, opo to apskaiĀ£iavĀ¦ jos iĀ²vestinĀ¦.27 pavyzdys. Tegu Ī¾ yra atsitiktinis dydis, pasiskirstĀ¦s tolygiaiintervale [0; 1]. Raskime atsitiktinio dydĀŗio Ī· = 1Ī¾tanki.IĀ² pradĀŗiu apskaiĀ£iuokime pasiskirstymo funkcijĀ” FĪ·(x). Pakanka surastiĀ²ios funkcijos reikĀ²mes, kai x yra teigiamas. PasinaudojĀ¦ tuo, kad atsitiktiniodydĀŗio Ī¾ tanki Āŗinome, gausime:
FĪ·(x) = P (Ī· < x) = P(1
Ī¾< x
)= P
(Ī¾ >
1
x
)=
ā«
[0;1]ā©( 1x;+ā)
du.Jeigu x < 1, tai aibe, pagal kuriĀ” integruojame, yra tuĀ²Ā£ia, todel ir integralaslygus nuliui. Kai x ā„ 1, tai integralas lygus 1 ā 1x. Taigi
FĪ¾(x) =
0, jei x ā¤ 1,
1 ā 1x, jei x > 1,
pĪ¾(x) =
0, jei x ā¤ 1,1x2 , jei x > 1.Teigini apie tankius galima suformuluoti ir irodyti atsitiktiniams vektori-ams.36 teorema. Tegu Ī¾ : Ī© ā IRn atsitiktinis vektorius, o Ļ : IRn ā IRnabipus vienareikĀ²mis, tolydĀŗiai diferencijuojamas atvaizdis, Ļ = ćĻ1, . . . Ļnć,
J(x) =
ā£ā£ā£ā£ā£ā£ā£
āĻ1
āx1. . . āĻ1
āxn... Ā· Ā· Ā· ...āĻn
āx1. . . āĻn
āxn
ā£ā£ā£ā£ā£ā£ā£6= 0.Jei pĪ¾(x) yra atsitiktinio vektoriaus Ī¾ tankis, o Ī· = Ļ(Ī¾), tai pastarojo vek-toriaus tankis yra
pĪ·(y) = pĪ¾(Ļā1(y)) Ā· |J(Ļā1(y))|ā1.57
28 pavyzdys. Normalieji vektoriaiTegu Ī¾ = ćĪ¾1, . . . , Ī¾nć yra n-matis atsitiktinis vektorius, pasiskirstĀ¦s pagalstandartini normaluji desni, t. y. jo tankis yrapĪ¾(x1, . . . , xn) =
1
(2Ļ)n/2exp
ā 1
2
nā
k=1
x2k
.Su vektorium a = ća1, . . . , anć ir matrica
Ī£ =
Ļ11 . . . Ļ1n... Ā· Ā· Ā· ...Ļn1 . . . Ļnn
, |Ī£| 6= 0,apibreĀ²ime abipus vienareikĀ²mi atvaizdi Ļ : IRn ā IRn : Ļ(x) = a+ Ī£xā„, Ā£ia
ā„ Āŗymi transponavimo veiksmĀ”. PritaikĀ¦ teoremĀ” galime rasti atsitiktiniovektoriaus Ī· = a+ Ī£Ī¾ā„ tanki:pĪ·(x) =
1
|Q|1/2(2Ļ)n/2exp
ā 1
2(xā a)Q(xā a)ā„
,Ā£ia Q =
(Ī£Ī£ā„
)ā1.2.5. Nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiaiApibreĀ²ime nepriklausomus atsitiktinius dydĀŗius. Naturalu pavadinti atsi-tiktinius dydĀŗius Ī¾1, Ī¾2 nepriklausomais, jei su bet kokiomis Borelio aibemis
B1, B2 ivykiai Ļ : Ī¾1(Ļ) ā B1, Ļ : Ī¾2(Ļ) ā B2 yra nepriklausomi.27 apibreĀŗimas. Atsitiktinius dydĀŗius Ī¾1, Ī¾2 vadinsime nepriklauso-mais, jei su bet kokiomis Borelio aibemis B1, B2
P (Ī¾1 ā B1, Ī¾2 ā B2) = P (Ī¾1 ā B1)P (Ī¾2 ā B2).Norint apibreĀŗti du nepriklausomus vektorius, pakanka tik truputi pakeistiapibreĀŗimĀ”.28 apibreĀŗimas. Atsitiktinius vektorius Ī¾1, Ī¾2 : Ī© ā IRn vadinsimenepriklausomais, jei su bet kokiomis Borelio aibemis B1, B2 ā B(IRn)
P (Ī¾1 ā B1, Ī¾2 ā B2) = P (Ī¾1 ā B1)P (Ī¾2 ā B2).Intuityviai du nepriklausomus ivykius suvokiame taip: du ivykiai yranepriklausomi, jeigu suĀŗinojĀ¦, kad vienas iĀ² ju ivyko (arba neivyko), negau-name jokios naujos informacijos apie tai, ar ivyko antrasis. PanaĀ²iai galimeisivaizduoti ir du nepriklausomus dydĀŗius ar vektorius.58
TaĀ£iau gali pasitaikyti ir tokios atsitiktiniu ivykiu (o taip pat ir atsitiktiniudydĀŗiu) sistemos, kad bet kurie du tos sistemos atsitiktiniai dydĀŗiai yranepriklausomi, taĀ£iau visumoje juos sieja tam tikri tarpusavio ryĀ²iai. tai pa-prastas pavyzdys. Tarkime, kad metamos dvi simetriĀ²kos monetos. ApibreĀ²kimeivykius:A = pirmoji moneta atvirto herbu, B = antroji moneta atvirto herbu,ir C = tik viena moneta atvirto herbu . Tada ivykiu poros A,B ir B,C, otaip pat ir A,C yra nepriklausomos, taĀ£iau visĀ” ivykiu trejetĀ” A,B,C sudaropriklausomi ivykiai. IĀ² tiesu, jei Āŗinome, kad du iĀ² ivykiu (pavyzdĀŗiui, A,B)ivyko, tai galime pasakyti, ivyko ar neivyko treĀ£iasis.Taigi norint apibreĀŗti nepriklausomu atsitiktiniu ivykiu (o taip pat irdydĀŗiu) sistemĀ”, nepakanka pareikalauti, kad jie butu poromis nepriklausomi.29 apibreĀŗimas. Tegu Ī¾Ī» : Ī© ā IRm (Ī» ā Ī) atsitiktiniu vektoriusistema. Jei bet kokiam atsitiktiniu vektoriu Ī¾Ī»1 , . . . , Ī¾Ī»m
(m ā„ 2) ir Borelioaibiu B1, B2, . . . , Bm rinkiniui teisinga lygybeP (Ī¾Ī»1 ā B1, . . . , Ī¾Ī»m
ā Bm) = P (Ī¾Ī»1 ā B1) Ā· Ā· Ā·P (Ī¾Ī»mā Bm),tai sistemĀ” sudaro nepriklausomi atsitiktiniai vektoriai.Tikrinti, ar du atsitiktiniai dydĀŗiai yra nepriklausomi, naudojantis apibreĀŗimu labai sudetinga. TiesĀ” sakant visai nebutina, nes nepriklausomumo sĀ”lygĀ”galima reikĀ²ti tikrinimui patogesniu budu: naudojant pasiskirstymo funkci-jas, tankius, reikĀ²miu igijimo tikimybes.37 teorema. Atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾, Ī· : Ī© ā IR yra nepriklausomi tadair tik tada, kai
P (Ī¾ < u, Ī· < v) = P (Ī¾ < u)P (Ī· < v). (24)iĀ” teoremĀ” galime performuluoti taip.38 teorema. Atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾, Ī· : Ī© ā IR yra nepriklausomitada ir tik tada, kai atsitiktinio vektoriaus Ī¶ = ćĪ¾, Ī·ć pasiskirstymo funkcijareiĀ²kiama taip:FĪ¶(u, v) = FĪ¾(u)FĪ·(v), (25)Ā£ia Ī¶ = ćĪ¾, Ī·ć.Irodymas. Beveik akivaizdu, kad nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiaibutinai tenkina (24) sĀ”lygĀ”.Todel pakanka parodyti, jog iĀ² (24) iĀ²plaukia,kad su bet kokioms Borelio aibems B1, B2
P (Ī¾ ā B1, Ī· ā B2) = P (Ī¾ ā B1)P (Ī· ā B2). (26)59
Beveik akivaizdu, jog Ā²i sĀ”lyga yra patenkinta, jeigu P (Ī¾ ā B1) = 0 arbaP (Ī· ā B2) = 0, todel pakanka (26) lygybĀ¦ irodyti, kai abi Ā²ios tikimybes yrateigiamos.Imkime B2 = (āā, v), paĀŗymekime
Q(B) = P (Ī¾ ā B|Ī· ā B2) =P (Ī¾ ā B1, Ī· ā B2)
P (Ī· ā B2), R(B) = P (Ī¾ ā B)ir perraĀ²ykime irodytinĀ” (26) lygybĀ¦ taip: Q(B1) = R(B1). Abi funkcijos
Q,R yra tikimybiniai matai, apibreĀŗti Borelio Ļ-algebroje. IĀ² (24) gauname,jog lygybe Q(B1) = R(B1), o tuo pat metu ir (26) galioja, kai B1 = (āā, u).Prisiminkime skyrelio apie tikimybes Borelio Ļ-algebroje teiginius ir kon-strukcijas. IĀ² ju iĀ²plaukia, kad tikimybiniai matai, sutampantys begalini-ams intervalams (āā, u), sutampa visoms Borelio aibems. Taigi lygybeQ(B1) = R(B1) galioja bet kokioms Borelio aibems B1. Tai ekvivalentutvirtinimui, jog (26) galioja bet kokiai Borelio aibei B1 ir bet kokiam inter-valui B2 = (āā, v). Lieka parodyti, kad ir aibe B2 Ā²ioje lygybeje gali butibet kokia Borelio aibe. Pasirinkime Borelio aibĀ¦ B1, kad P (Ī¾ ā B1) > 0 irperraĀ²ykime (26) Ā²itaip:
P (Ī· ā B2|Ī¾ ā B1) = P (Ī· ā B2); (27)Ā²i lygybe teisinga bet kokiam intervalui B2 = (āā; u). PaĀŗymekimeQ(B) = P (Ī· ā B|Ī¾ ā B1), R(B) = P (Ī· ā B).Funkcijos Q(B) ir R(B) yra tikimybiniai matai; iĀ² (27) gauname, kad jiesutampa bet kokiems begaliniams intervalams B = (āā, v). IĀ² anksĀ£iaupateiktu argumentu iĀ²plaukia, kad jie turi sutapti visoms Borelio aibems.Taigi (26) lygybe teisinga su bet kokiomis Borelio aibemis B1, B2.IrodytĀ”jĀ” teoremĀ” nesunku suformuluoti, ne dvieju, bet m atsitiktiniudydĀŗiu atveju. Kai dydĀŗiai yra diskretus arba absoliuĀ£iai tolydus, nepriklau-somumo sĀ”lygĀ” galime reikĀ²ti tiesiog reikĀ²miu tikimybemis arba tankiais.39 teorema. Diskretus atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾, Ī· : Ī© ā IR yra neprik-lausomi tada ir tik tada, kai su bet kokiais x, y
P (Ī¾ = x, Ī· = y) = P (Ī¾ = x)P (Ī· = y).29 pavyzdys. Rutuliai iĀ² urnosTarkime, kad urnoje yra penki rutuliai du balti ir trys juodi. IĀ² urnospo vienĀ” rutuli traukiame du kartus. Jeigu pirmasis iĀ²trauktas rutulys yrabaltas, tai dydĀŗiui Ī¾ priskirsime reikĀ²mĀ¦ 1, jeigu juodas reikĀ²mĀ¦ 0. Su60
antrojo rutulio traukimu analogiĀ²kai susiekime dydi Ī·. Jeigu iĀ²traukĀ¦ rutuliiĀ² urnos ji vel sugrĀ”Āŗiname atgal, tai Ī¾, Ī· nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai,jeigu negrĀ”Āŗiname, tai dydĀŗiai yra priklausomi.30 pavyzdys. Bernulio dydĀŗiaiNepriklausomu atsitiktiniu dydĀŗiu Ā²eimos pavyzdi gauname iĀ² Bernulioschemos. Jei Ī¾m igyja reikĀ²mĀ¦ lygiĀ” 1 sekmes m-tajame Bernulio schemosbandyme atveju ir 0 nesekmes, tai Ī¾1, Ī¾2, . . . , Ī¾n yra nepriklausomi atsitik-tiniai dydĀŗiai.Jeigu atsitiktiniai dydĀŗiai yra absoliuĀ£iai tolydus, tai ju nepriklausomumosĀ”lygĀ” galime suformuluoti pasinaudojĀ¦ tankiais.40 teorema. Jei Ī¾, Ī· : Ī© ā IR absoliuĀ£iai tolydus ir nepriklausomiatsitiktiniai dydĀŗiai, turintys tankius pĪ¾, pĪ·, tai atsitiktinis vektorius Ī¶ =ćĪ¾, Ī·ć irgi absoliuĀ£iai tolydus, bei
pĪ¶(u1, u2) = pĪ¾(u1)pĪ·(u2).Jei atsitiktinis vektorius Ī¶ = ćĪ¾, Ī·ć yra absoliuĀ£iai tolydus, pĪ¶ , pĪ¾, pĪ· yra Ā²iovektoriaus ir jo komponenĀ£iu tankiai, be to,pĪ¶(u1, u2) = pĪ¾(u1)pĪ·(u2),tai atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾, Ī· yra nepriklausomi.PasiremĀ¦ vien nepriklausomu atsitiktiniu dydĀŗiu bei Borelio funkciju apibreĀŗimaisgalime irodyti toki teigini.41 teorema. Jei Ī¾1, Ī¾2 : Ī© ā IRn yra nepriklausomi atsitiktiniaivektoriai, o f1, f2 : IRn ā IRm yra dvi Borelio funkcijos, tai atsitiktiniaivektoriai Ī·1 = f1(Ī¾1), Ī·2 = f2(Ī¾2) irgi nepriklausomi.DaĀŗnai tenka sumuoti dvieju ar daugiau nepriklausomu atsitiktiniu dydĀŗiureikĀ²mes. PavyzdĀŗiui, dalyvavus dviejose loterijose naturalu suvesti laimejimuar pralaimejimu balansĀ” ir t.t. Dvieju atsitiktiniu dydĀŗiu suma vel yra atsi-tiktinis dydis. Kaip jo skirstinys priklauso nuo demenu skirstiniu?42 teorema. Jei Ī¾, Ī· yra nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai, Ī¶ = Ī¾ + Ī·,tai
P (Ī¶ = z) =ā
x,y
x+y=z
P (Ī¾ = x) Ā· P (Ī· = y).Irodymas. Ivyki Ī¶ = z galime iĀ²skaidyti i nesutaikomu ivykiu Ī¾ =x, Ī· = y, sĀ”jungĀ”, Ā£ia x yra atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ reikĀ²me. Taigi
P (Ī¶ = z) =ā
x,y
x+y=z
P (Ī¾ = x, Ī· = y) =ā
x,y
x+y=z
P (Ī¾ = x) Ā· P (Ī· = y).61
Atsakysime i klausimĀ” apie nepriklausomu atsitiktiniu dydĀŗiu sumos skirstini,kai demenys yra absoliuĀ£iai tolydus ir nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai.Tegu Ī¾1, Ī¾2 yra nepriklausomi, absoliuĀ£iai tolydus atsitiktiniai dydĀŗiai,turintys tankius pĪ¾1(u1), pĪ¾2(u2). Tada atsitiktinio vektoriaus Ī¾ = ćĪ¾1, Ī¾2ćtankis yrapĪ¾(u1, u2) = pĪ¾1(u1)pĪ¾2(u2).ApskaiĀ£iuosime pasiskirstymo funkcijĀ”
FĪ¾1+Ī¾2(x) = P (Ī¾1 + Ī¾2 < x) = P (Ī¾ ā B),Ā£ia B yra pusplokĀ²tume, apribota tiese u1+u2 = x. TaĀ£iau tikimybes, susiju-sias su absoliuĀ£iai tolydaus atsitiktinio vektoriaus reikĀ²memis, skaiĀ£iuojamenaudodami tanki, taigiP (Ī¾ ā B) =
ā«
B
pĪ¾(u1, u2)du1du2 =
ā«
B
pĪ¾1(u1)pĪ¾2(u2)du1du2.Pakeisime integralĀ” pagal plokĀ²tumos sriti dvilypiu integralu:FĪ¾1+Ī¾2(x) = P (Ī¾ ā B) =
ā« ā
āā
( ā« xāu1
āā
pĪ¾1(u1)pĪ¾2(u2)du2
)du1
=
ā« ā
āā
pĪ¾1(u1)(ā« xāu1
āā
pĪ¾2(u2)du2
)du1.Pakeiskime vidiniame integrale integravimo kintamĀ”ji u2 kintamuoju v, u2 =
v ā u1. GausimeFĪ¾1+Ī¾2(x) =
ā« ā
āā
pĪ¾1(u1)(ā« x
āā
pĪ¾2(v ā u1)dv)du1
=
ā« x
āā
(ā« ā
āā
pĪ¾1(u1)pĪ¾2(v ā u1)du1
)dv.PrisiminĀ¦, kaip iĀ² atsitiktinio vektoriaus tankio gaunami jo komponenĀ£iutankiai, gausime
pĪ¾1+Ī¾2(v) =
ā« ā
āā
pĪ¾1(u)pĪ¾2(v ā u)du.Suformuluosime teoremĀ”; vienĀ” jos formulĀ¦ jau irodeme, kitos irodymasanalogiĀ²kas.43 teorema. Jei Ī¾1, Ī¾2 absoliuĀ£iai tolydus nepriklausomi atsitiktiniaidydĀŗiai, turintys tankius pĪ¾1, pĪ¾2 , tai atsitiktinis dydis Ī· = Ī¾1 + Ī¾2 yra taippat absoliuĀ£iai tolydus o jo tankispĪ¾1+Ī¾2(u) =
ā« ā
āā
pĪ¾1(v)pĪ¾2(uā v)dv =
ā« ā
āā
pĪ¾2(v)pĪ¾1(uā v)dv.62
2.6. Atsitiktiniu dydĀŗiu vidurkisJau Āŗinome, kas yra paprastojo atsitiktinio dydĀŗio vidurkis. Jei Ī¾ yra pa-prastas atsitiktinis dydis, tai jo vidurkis lygusE[Ī¾] =
ā
x
xP (Ī¾ = x).31 pavyzdys. Binominis dydis Jei Ī¾ ā¼ B(p, n), tai Ī¾ igyja reikĀ²mesk = 0, 1, . . . , n su tikimybemis
P (Ī¾ = k) = Cknp
k(1 ā p)nāk.TaigiE[Ī¾] =
nā
k=0
kCknp
k(1 ā p)nāk = np
nā1ā
k=0
Cknā1p
k(1 ā p)nā1āk = np.iame skyriuje pateiksime atsitiktinio dydĀŗio vidurkio apibreĀŗimĀ” ben-druoju atveju. Pirmasis Āŗingsnelis nuo paprastuju atsitiktiniu dydĀŗiu priediskreĀ£iuju.30 apibreĀŗimas. Tegu Ī¾ yra diskretus atsitiktinis dydis, be to eiluteā
x
xP (Ī¾ = x) (28)absoliuĀ£iai konverguoja. Tada Ā²ios eilutes sumĀ” Āŗymesime E[Ī¾] ir vadinsimeatsitiktinio dydĀŗio Ī¾ matematiniu vidurkiu.Priminsime, jog absoliutus (28) eilutes konvergavimas reiĀ²kia, jog eilutesā
x
|x|P (Ī¾ = x) (29)suma yra baigtine. IĀ² apibreĀŗimo matome, kad jeigu atsitiktinis dydis Ī¾ turividurki, tai diskretaus atsitiktinio dydĀŗio |Ī¾| vidurkis yra taip pat apibreĀŗtas.32 pavyzdys. Puasono dydis. Jei Ī¾ ā¼ P(Ī»), tai Ī¾ igyja sveikasneneigiamas reikĀ²mes k su tikimybemis P (Ī¾ = k) = Ī»kek/k!, taigiE[Ī¾] =
āā
k=0
kĪ»k
k!eāĪ» = Ī».Pastebesime, kad apreĀŗto diskreĀ£iojo atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ vidurkis visadaegzistuoja. PasiremĀ¦ vien vidurkio apibreĀŗimu galime irodyti dar daugiau:63
jeigu Ī¾ ir Ī· yra du diskretieji atsitiktiniai dydĀŗiai, |Ī¾| ā¤ Ī·, ir atsitiktiniodydĀŗio Ī· vidurkis egzistuoja, tai egzistuoja ir atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ vidurkis.Irodysime paprasĀ£iausias diskreĀ£iuju atsitiktiniu dydĀŗiu vidurkiu savybes.44 teorema. Tegu Ī¾, Ī¾1, Ī¾2 yra diskretus atsitiktiniai dydĀŗiai, kuriumatematiniai vidurkiai egzistuoja. Teisingi tokie teiginiai:1. su bet kokiomis konstantomis c1, c2 dydĀŗio c1Ī¾1 + c2Ī¾2 matematinisvidurkis taip pat egzistuoja irE[c1Ī¾1 + c2Ī¾2] = c1E[Ī¾1] + c2E[Ī¾2];2. jei Ī¾1 ā¤ Ī¾2, tai E[Ī¾1] ā¤ E[Ī¾2];3. |E[Ī¾]| ā¤ E[|Ī¾|];4. E[|Ī¾|IĪ¾>a] ā 0, aā ā;5. Jei Ī¾1, Ī¾2 yra nepriklausomi, tai atsitiktinio dydĀŗio Ī¾1 Ā· Ī¾2 vidurkis egzis-tuoja, ir
E[Ī¾1 Ā· Ī¾2] = E[Ī¾1] Ā· E[Ī¾2]. (30)Irodymas. 1. Irodymas beveik toks pat kaip paprastuju atsitiktiniudydĀŗiu atveju. Tik vietoj baigtiniu aibiu dabar skaiĀ£ios, o vietoje baigtiniusumu absoliuĀ£iai konverguojanĀ£ios eilutes.2. Kadangi Ī¾2 = Ī¾1 + Ī¾2 ā Ī¾1 ir Ī¾2ā Ī¾1 ā„ 0 ir Ī¾2 yra diskretusis atsitiktinisdydis, tai pasinaudojĀ¦ jau irodyta 1) dalimi, gausimeE[Ī¾2] = E[Ī¾1 + Ī¾2 ā Ī¾1] = E[Ī¾1] + E[Ī¾2 ā Ī¾1] ā„ E[Ī¾1],nes neneigiamo diskreĀ£iojo atsitiktinio dydĀŗio Ī¾2 ā Ī¾1 matematinis vidurkisirgi neneigiamas.3. Nelygybe iĀ²plaukia iĀ² nelygybes ā|Ī¾| ā¤ Ī¾ ā¤ |Ī¾| ir jau irodytos 2)dalies.4. Turime
E[|Ī¾|IĪ¾>a] =ā
x>a
|x|P (Ī¾ = x).Teiginys iĀ²plaukia iĀ² (29) eilutes absoliutaus konvergavimo.5. IĀ² pradĀŗiu tarkime, jog Ī¾1, Ī¾2 igyja tik neneigiamas reikĀ²mes. DydĀŗiuĪ¾1, Ī¾2 reikĀ²mes Āŗymesime atitinkamai x, y. Tada
ā
x,y
xyP (Ī¾1 = x, Ī¾2 = y) =ā
x,y
xyP (Ī¾1 = x)P (Ī¾2 = y).64
Kadangi uĀŗraĀ²ytosios eilutes visi nariai neneigiami, tai bet kaip juos sugru-pavĀ¦ ir po to sumuodami, mes gautume tĀ” paĀ£iĀ” reikĀ²mĀ¦, kai pradine eilutekonverguoja, ir diverguojanĀ£iĀ” eilutĀ¦, kai pradine eilute diverguoja. Tadaā
x,y
xyP (Ī¾1 = x)P (Ī¾2 = y) =ā
x
xP (Ī¾1 = x)ā
y
yP (Ī¾2 = y) = E[Ī¾1] Ā· E[Ī¾2].Irodeme, kad E[Ī¾1 Ā· Ī¾2] egzistuoja ir (30) lygybe teisinga.Tegu dabar Ī¾1, Ī¾2 yra bet kokie diskretus nepriklausomi atsitiktiniai dy-dĀŗiai. Tada |Ī¾1|, |Ī¾2| yra neneigiami ir nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiaiturintys vidurkius. Pagal jau irodytĀ” dali atsitiktinio dydĀŗio |Ī¾1Ī¾2| vidurkisegzistuoja. Tada egzistuoja ir Ī¾1Ī¾2 vidurkis, beiE[Ī¾1Ī¾2] =
ā
x,y
xyP (Ī¾1 = x, Ī¾2 = y) =ā
x,y
xyP (Ī¾1 = x)P (Ī¾2 = y) (31)=
ā
x
xP (Ī¾1 = x)ā
y
yP (Ī¾2 = y) = E[Ī¾1] Ā· E[Ī¾2]. (32)ia nariu grupavimĀ” atlikome nedvejodami todel, kad eilute absoliuĀ£iai kon-verguoja.Dabar mes jau pasirengĀ¦ apibreĀŗti matematini vidurki bendru atveju.Prisiminkime vienĀ” matematines analizes apibreĀŗimĀ” ir suformuluokime jiatsitiktiniams dydĀŗiams.31 apibreĀŗimas. Jei Ī¾n, Ī¾ : Ī© ā IR ir kiekvienam Ī“ > 0 egzistuojanĪ“ , kad |Ī¾n(Ļ) ā Ī¾(Ļ)| < Ī“, kai n ā„ nĪ“, su visais Ļ ā Ī©, tai sakysime, jogatsitiktiniu dydĀŗiu seka Ī¾n tolygiai konverguoja i atsitiktini dydi Ī¾.Jei Ī¾ yra atsitiktinis dydis, tai nesunku sudaryti diskreĀ£iu atsitiktiniudydĀŗiu sekĀ” tolygiai konverguojanĀ£iĀ” i Ī¾. IĀ²ties ksuotam Īµ > 0 apibreĀŗĀ¦diskretu atsitiktini dydi Ī¾Īµ,
Ī¾Īµ(Ļ) = nĪµ, jei Ī¾(Ļ) ā [nĪµ, nĪµ + Īµ), n = 0,Ā±1,Ā±2, . . . ,turesimeĪ¾(Ļ) ā Īµ ā¤ Ī¾Īµ(Ļ) ā¤ Ī¾(Ļ), |Ī¾Īµ(Ļ) ā Ī¾(Ļ)| ā¤ Īµ.Atsitiktinis dydis Ī¾Īµ tai tarsi iĀ²tiesintas atsitiktinis dydis Ī¾.ParinkĀ¦ teigiamu skaiĀ£iu sekĀ” Īµn ā 0, gausime diskreĀ£iuju atsitiktiniudydĀŗiu sekĀ” Ī¾n = Ī¾Īµn, tolygiai konverguojanĀ£iĀ” i Ī¾.Jeigu diskreĀ£iu atsitiktiniu dydĀŗiu seka Ī¾n tolygiai konverguoja i Ī¾, taiduotam Ī“ > 0 egzistuoja nĪ“, kad|Ī¾n(Ļ) ā Ī¾m(Ļ)| < Ī“, kai Ļ ā Ī©, n,m ā„ nĪ“.65
IĀ² tikruju:|Ī¾n(Ļ) ā Ī¾m(Ļ)| ā¤ |Ī¾n(Ļ) ā Ī¾(Ļ)| + |Ī¾m(Ļ) ā Ī¾(Ļ)| ā¤ Ī“/2 + Ī“/2 = Ī“,kai n,m ā„ nĪ“.Jeigu visi vidurkiai E[Ī¾n] egzistuoja, tai
|E[Ī¾n] āE[Ī¾m]| < E[|Ī¾n ā Ī¾m|] < Ī“, textkai n,m ā„ nĪ“.Tai savo ruoĀŗtu reiĀ²kia, jog seka E[Ī¾n] tenkina KoĀ²i konvergavimo kriterijuir todel turi konverguoti. Jeigu Ī¾ā²n yra kita tolygiai i Ī¾ konverguojanĀ£iudiskreĀ£iuju atsitiktiniu dydĀŗiu seka, tai|Ī¾ā²n ā Ī¾n| ā¤ |Ī¾ā²n ā Ī¾| + |Ī¾n ā Ī¾| ā¤ Īµ (n ā„ nĪµ).Taigi E[|Ī¾ā²n ā Ī¾n|] ā¤ Īµ. Tada
|Ī¾ā²n| ā¤ |Ī¾n| + |Ī¾ā²n ā Ī¾n|ir vidurkiai E[|Ī¾ā²n|] , o taip pat ir E[Ī¾ā²n] (n ā„ nĪµ) egzistuoja. TaĀ£iau|E[Ī¾n] ā E[Ī¾ā²n]| < E[|Ī¾n ā Ī¾ā²n|] < Īµ,kai n ā„ nĪµ. Todel turi buti E[Ī¾n] ā E[Ī¾ā²n] ā 0. Taigi sekos E[Ī¾n] ribanepriklauso nuo to, kokiĀ” tolygiai konverguojanĀ£iĀ” i Ī¾ diskreĀ£iuju atsitiktiniudydĀŗiu sekĀ” Ī¾n pasirenkame. iais samprotavimais paruoĀ²eme dirvĀ” tokiamapibreĀŗimui.32 apibreĀŗimas. Tegu Ī¾ atsitiktinis dydis, o Ī¾n diskreĀ£iuju atsitiktiniudydĀŗiu seka, tolygiai konverguojanti i Ī¾. Jei visi Ī¾n turi vidurkius, tai atsi-tiktinio dydĀŗio Ī¾ vidurkiu vadinsime ribĀ”
E[Ī¾] = limnāā
E[Ī¾n].Jeigu atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ vidurkis egzistuoja, taiE[Ī¾] = lim
Īµā0E[Ī¾Īµ] =
āā
k=āā
(Īµk)Ā·P (Ī¾ ā [Īµk, Īµk+Īµ)) = limĪµā0
āā
k=āā
Īµk[FĪ¾(Īµk+Īµ)āFĪ¾(Īµk)].(33)Paskutinioji suma primena apibreĀŗtinio integralo dalines sumas. Tai bent iĀ²dalies paaiĀ²kina toki matematinio vidurkio uĀŗraĀ²ymĀ”:1616Tai vidurkio reiĀ²kimas Rymano-Styltjeso integralu; Āŗr. J. Kubilius, Tikimybiu teorijair matematine statistika, Vilnius, Mokslas,1980, p. 146-149.66
E[Ī¾] =
ā« ā
āā
xdF (x).Panagrinekime, kaip (33) iĀ²raiĀ²ka atrodo tuo atveju, kai Ī¾ yra absoliuĀ£iaitolydus atsitiktinis dydis, turintis tanki p(u). Vengdami tam tikru techniniudetaliu, tarkime, jog tankis yra tolydus. Tada iĀ² viduriniu reikĀ²miu teoremosgausimeF (Īµk + Īµ) ā F (Īµk) =
ā« Īµk+Īµ
Īµk
p(u)du = p(Īµk + ĪøkĪµ)Īµ, 0 ā¤ Īøk ā¤ 1.Tadaāā
k=āā
Īµk[F (Īµk+Īµ)āF (Īµk)] =āā
k=āā
(Īµk+ĪøkĪµ)p(Īµk+ĪøkĪµ)Īµāāā
k=āā
Īøkp(Īµk+ĪøkĪµ)Īµ2.(34)Jeigu integralas ā« ā
āā
|u|p(u)duyra baigtinis, tai imant ribĀ”, kai Īµā 0, antroji suma (??) lygybeje nyksta, opirmoji konverguoja i E[Ī¾], kuri galime reikĀ²ti integralu su begaliniais reĀŗiais:E[Ī¾] =
ā« ā
āā
up(u)du.Suformuluosime bendresni teigini apie vidurkio reiĀ²kimĀ” integralu.45 teorema. Tegu Ī¾ yra atsitiktinis dydis, turintis tanki p(u), Ļ Borelio funkcija, Ī· = Ļ(Ī¾). Atsitiktinis dydis Ī· turi vidurki tada ir tik tada,kai integralas ā« ā
āā
|Ļ(u)|p(u)duyra baigtinis. TadaE[Ī·] =
ā« ā
āā
Ļ(u)p(u)du.Nesunku suformuluoti analogiĀ²kĀ” teigini diskreĀ£iajam atsitiktiniam dy-dĀŗiui.Atsitiktiniams absoliuĀ£iai tolydiems vektoriams teisingas toks teiginys.46 teorema. Tegu Ī¾ = ćĪ¾1, Ī¾2, . . . , Ī¾nć yra absoliuĀ£iai tolydus atsitiktinisdydis f : IRn ā IR tokia Borelio funkcija, kad integralasā« ā
āā
. . .
ā« ā
āā
|f(u1, . . . , un)|pĪ¾(u1, . . . , un)du1 . . . dun67
yra baigtinis. Tada atsitiktinis dydis Ī· = f(Ī¾1, Ī¾2, . . . , Ī¾n) turi matematinividurki irE[Ī·] =
ā« ā
āā
. . .
ā« ā
āā
f(u1, . . . , un)pĪ¾(u1, . . . , un)du1 . . . dun.33 pavyzdys. Atstumas iki centro Tarkime, vienetiniame skritulyje Satsitiktinai parenkamas taĀ²kas A(Ī¾1, Ī¾2). KoordinaĀ£iu vektorius Ī¾ = ćĪ¾1, Ī¾2ćyra tolygiai pasiskirstĀ¦s vienetiniame skritulyje S, t. y. turi tankipĪ¾(u1, u2) =
1Ļ, jei ću1, u2ć ā S
0, jei ću1, u2ć 6ā S.Raskime taĀ²ko A nuotolio iki skritulio centro matematini vidurki. is atstu-mas yra atsitiktinis dydisĪ· =
āĪ¾21 + Ī¾2
2 ,taigiE[Ī·] =
1
Ļ
ā«
S
āu2
1 + u22du1du2.Pereidami prie poliniu koordinaĀ£iu u1 = Ļ cosĻ, u2 = Ļ sinĻ gauname
E[Ī·] =1
Ļ
ā« 2Ļ
0
ā« 1
0
Ļ Ā· Ļ Ā· dĻ Ā· dĻ =1
ĻĀ· 1
3Ā· 2Ļ =
2
3.Dabar jau turime atsitiktinio dydĀŗio vidurkio apibreĀŗimĀ” paĀ£iu bendriau-siu atveju. Tos vidurkio savybes, kurias irodeme diskretiesiems atsitiktiniamsdydĀŗiams teisingos ir bendruoju atveju. TaĀ£iau tai reikia irodyti! IĀ² pradĀŗiuirodysime vienĀ” paprastĀ”, bet naudingĀ” teigini.47 teorema. Tegu Ī¾, Ī· yra du atsitiktiniai dydĀŗiai. Jei |Ī¾| ā¤ Ī· iratsitiktinio dydĀŗio Ī· vidurkis egzistuoja, tai Ī¾ vidurkis irgi egzistuoja.Jei P (Ī¾ 6= Ī·) = 0, ir E[Ī·] egzistuoja, tai E[Ī¾] irgi egzistuoja, ir E[Ī¾] = E[Ī·].Irodymas. Irodysime pirmĀ”ji teigini. Jis yra teisingas, kai Ī¾ ir Ī· yradiskretieji atsitiktiniai dydĀŗiai. Tai buvo prabegomis pamineta anksĀ£iau,irodyti nesunku, pasiremus vien diskreĀ£iuju atsitiktiniu dydĀŗiu vidurkiu apibreĀŗimu.Bendruoju atveju pakanka irodyti, kad visu atsitiktiniu dydĀŗiu |Ī¾|Īµ (Īµ > 0)vidurkiai egzistuoja. Tada prisiminĀ¦ bendrĀ”ji atsitiktiniu dydĀŗiu vidurkioapibreĀŗimĀ”, galesime padaryti iĀ²vadĀ”, kad E[Ī¾] irgi egzistuoja.Prisiminkime, kad bet kokiam atsitiktiniam dydĀŗiui Ī¶ ir iĀ²tiesintam dy-dĀŗiui Ī¶Īµ teisinga nelygybe Ī¶Īµ ā¤ Ī¶ ā¤ Ī¶Īµ+Īµ. PasinaudojĀ¦ Ā²ia nelygybe dydĀŗiams68
Ī¾, Ī· gausime |Ī¾|Īµ ā¤ |Ī¾| ā¤ E[Ī·] ā¤ Ī·Īµ+Īµ. Kadangi diskreĀ£iojo atsitiktinio dydĀŗioĪ·Īµ + Īµ vidurkis egzistuoja, tai egzistuoja ir dydĀŗio |Ī¾|Īµ vidurkis.Irodykime antrĀ”ji teigini. Jei P (Ī¾ 6= Ī·) = 0, tai P (Ī¾ ā [nĪµ, nĪµ + Īµ)) =P (Ī· ā [nĪµ, nĪµ + Īµ) ir E[Ī·Īµ] = E[Ī¾Īµ]. Taigi E[Ī·] = E[Ī¾].Irodysime vidurkio savybes, kurias jau irodeme diskretiesiems atsitiktini-ams dydĀŗiams.48 teorema. Tegu Ī¾, Ī¾1, Ī¾2 yra atsitiktiniai dydĀŗiai, kuriu matematiniaividurkiai egzistuoja. Teisingi tokie teiginiai:1. su bet kokiomis konstantomis c1, c2 dydĀŗio c1Ī¾1 + c2Ī¾2 matematinisvidurkis taip pat egzistuoja ir
E[c1Ī¾1 + c2Ī¾2] = c1E[Ī¾1] + c2E[Ī¾2];2. jei Ī¾1 ā¤ Ī¾2, tai E[Ī¾1] ā¤ E[Ī¾2];3. |E[Ī¾]| ā¤ E[|Ī¾|];4. E[|Ī¾|IĪ¾>a] ā 0, aā ā;5. jei Ī¾1, Ī¾2 yra nepriklausomi, tai atsitiktinio dydĀŗio Ī¾1 Ā· Ī¾2 vidurkis egzis-tuoja, irE[Ī¾1 Ā· Ī¾2] = E[Ī¾1] Ā· E[Ī¾2.]Irodymas. 1 3 teiginius galime irodyti Ā²itaip: sudarykime diskreĀ£iuo-sius atsitiktinius dydĀŗius Ī¾Īµ, Ī¾Īµ1, Ī¾
Īµ2, uĀŗraĀ²ykime jiems reikiamus sĀ”ryĀ²ius beiimkime Īµā 0. Riboje gausime sĀ”ryĀ²ius, suformuluotus dydĀŗiams Ī¾, Ī¾1, Ī¾2.4. IĀ² |Ī¾| ā¤ |Ī¾|Īµ + Īµ iĀ²plaukia
|Ī¾|I|Ī¾|>a ā¤ |Ī¾|ĪµI|Ī¾|>a + Īµ ā¤ |Ī¾|ĪµI|Ī¾|Īµ>aāĪµ + Īµ.TaigiE[|Ī¾|I|Ī¾|>a] ā¤ E[|Ī¾|ĪµI|Ī¾|Īµ>aāĪµ] + Īµ.Dabar pasiremkime teoremos apie diskreĀ£iuju atsitiktiniu dydĀŗiu teiginiu,kuriame tvirtinama, kad diskreĀ£iuju atsitiktiniu dydĀŗiu uodegu vidurkiainyksta.5. Kadangi |Ī¾1Ī¾2| ā¤ (|Ī¾1|Īµ + Īµ)(|Ī¾2|Īµ + Īµ), o deĀ²ineje nelygybes pusejeuĀŗraĀ²yto atsitiktinio dydĀŗio matematinis vidurkis egzistuoja, tai Ī¾1Ī¾2 vidurkisegzistuoja taip pat (Āŗr. anksĀ£iau irodytĀ” teoremĀ”). Turime
|Ī¾1Ī¾2āĪ¾Īµ1Ī¾
Īµ2| ā¤ |Ī¾1Ī¾2āĪ¾Īµ
1Ī¾Īµ2|Ī¾1Ī¾Īµ
2āĪ¾Īµ1Ī¾
Īµ2+Ī¾1Ī¾2āĪ¾1Ī¾Īµ
2| ā¤ |Ī¾1āĪ¾Īµ1||Ī¾Īµ
2|+ |Ī¾2āĪ¾Īµ2||Ī¾1|.69
IĀ² Ā²ios nelygybes iĀ²plaukia, kad|E[Ī¾1Ī¾2] ā E[Ī¾Īµ
1Ī¾Īµ2]| ā¤ Īµ(E[|Ī¾1|] + E[|Ī¾Īµ
2|]).TaĀ£iau atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾Īµ1, Ī¾
Īµ2 yra diskretus ir nepriklausomi, todel ju san-daugos vidurkis lygus vidurkiu sandaugai, taigi
E[Ī¾1Ī¾2] = limĪµā0
E[Ī¾Īµ1Ī¾
Īµ2] = lim
Īµā0E[Ī¾Īµ
1] Ā· E[Ī¾Īµ2] = E[Ī¾1]E[Ī¾2].Teiginys irodytas.Atsitiktinio dydĀŗio nebutinai egzistuoja. tai vienas paprastas pavyzdys.34 pavyzdys. Sankt-Peterburgo paradoksas.Bankas nutare paskelbti tokiĀ” loterijĀ”: dalyvis sumoka bankui dalyviomokesti x ir meto monetĀ” tol, kol pasirodo pirmas herbas. Jeigu tai ivyksta
r-ajame metime, dalyvis gauna iĀ² banko sumĀ” 2r. Koks turi buti dalyvioinaĀ²as x, kad bankui Ā²i loterija nebutu nuostolinga?Kadangi dalyvio iĀ²loĀ²is Ī¾ yra atsitiktinis dydis, naturalu pareikalauti, kadE[Ī¾] ā„ x. TaĀ£iau P (Ī¾ = 2r) = 2ār, todel
E[Ī¾] =āā
r=1
2r2ār = +ā,Su bet kokiu pradiniu inaĀ²u loĀ²imas negali buti naudingas bankui.D. Bernulio straipsni su Ā²iuo paradoksu paskelbe Sankt-Peterburgo moksluakademija XVIII-ame amĀŗiuje.Paradoksalu Ā²ioje situacijoje tikriausiai ne tai, kad vidurkis neegzistuoja,bet tai, kad iĀ² tikruju paskelbus toki loĀ²imĀ” su, pavyzdĀŗiui, 5000 litu pradiniuinaĀ²u ir reklaminiame plakate iĀ²desĀ£ius matematini irodymĀ”, kad loĀ²imas nerabankui naudingas, tikriausiai nedaug atsirastu Āŗmoniu, kurie panoretu Ā²iameloĀ²ime dalyvauti.2.7. Atsitiktinio dydĀŗio dispersija ir kiti momentaiTĀ” pati vidurki gali tureti labai skirtingi atsitiktiniai dydĀŗiai. Tegu, pavyzdĀŗiui,Ī¾k, k = 0, 1, . . . atsitiktiniai dydĀŗiai, igyjantys po dvi reikĀ²mes:
P (Ī¾k = Ā±k) =1
2.Visu dydĀŗiu vidurkiai vienodi (E[Ī¾k] = 0) taĀ£iau patys dydĀŗiai labai skiriasi:kuo didesnis k, tuo labiau iĀ²sibarstĀ¦ atsitiktinio dydĀŗio Ī¾k reikĀ²mes.Vienos atsitiktinio dydĀŗio skaitines charakteristikos vidurkio daĀŗniausiainepakanka dydĀŗio savybems apibudinti.70
33 apibreĀŗimas. Tegu Ī¾ atsitiktinis dydis, k ā„ 0. Jeigu vidurkiaiE[Ī¾k],E[|Ī¾|k] egzistuoja, tai juos vadinsime atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ k-uoju irk-uoju absoliuĀ£iuoju momentais.Diskretaus atsitiktinio dydĀŗio k-tasis momentas reiĀ²kiamas eilute
E[Ī¾k] =ā
x
xkP (Ī¾ = x),o absoliuĀ£iai tolydaus integraluE[Ī¾k] =
ā« ā
āā
ukp(u)du.IĀ² elementarios nelygybes|Ī¾|r ā¤ 1 + |Ī¾|k, 0 ā¤ r ā¤ k,irodytos vidurkiu savybes gauname, jog iĀ²E[|Ī¾|k] egzistavimo iĀ²plaukiaE[|Ī¾|r]egzistavimas. Jeigu E[|Ī¾|k] egzistuoja, tai su bet kokiu skaiĀ£iumi a vidurkis
E[|Ī¾ ā a|k] taip pat egzistuoja. Tuo galime isitikinti pasiremĀ¦ akivaizdĀŗianelygybe |Ī¾āa|k ā¤ (|Ī¾|+|a|)k. PakelĀ¦ nelygybes deĀ²ines puses reiĀ²kini laipsniugausime sumĀ”, kurios demenys iĀ² skaitiniu koecientu padauginti dydĀŗiai|Ī¾|r (r ā¤ k). Kadangi visu Ā²iu dydĀŗiu vidurkiai egzistuoja, tai egzistuoja irE[(|Ī¾| + |a|)k]. Tada egzistuoja ir E[|Ī¾ ā a|k].34 apibreĀŗimas. Tegu Ī¾ atsitiktinio dydĀŗio k-asis momentas E[|Ī¾|k]egzistuoja (k ā„ 1). SkaiĀ£ius E[(Ī¾āE[Ī¾])k],E[|Ī¾āE[Ī¾]|k] vadinsime atitinka-mai Ī¾ k-uoju centriniu, k-uoju centriniu absoliuĀ£iuoju momentais. AntrĀ”jicentrini momentĀ” vadinsime dispersija. DispersijĀ” Āŗymesime
D[Ī¾] = E[(Ī¾ ā E[Ī¾])2].Antrasis centrinis atsitiktinio dydĀŗio momentas arba tiesiog dispersija yraatsitiktinio dydĀŗio reikĀ²miu iĀ²sibarstymo matas. Irodysime keletĀ” dispersijossavybiu.49 teorema. Tegu Ī¾, Ī¾1, Ī¾2 yra atsitiktiniai dydĀŗiai, turintys antruosiusmomentus. Teisingi tokie teiginiai:1. D[Ī¾] = E[Ī¾2] ā (E[Ī¾])2;2. D[Ī¾] = infaE[(Ī¾ ā a)2];3. D[cĪ¾] = c2D[Ī¾]; 71
4. jei Ī¾1, Ī¾2 yra nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai, taiD[Ī¾1 + Ī¾2] = D[Ī¾1] + D[Ī¾2].5. D[Ī¾] = 0 tada ir tik tada, kai P (Ī¾ = E[Ī¾]) = 1.Irodymas. 1. PaemĀ¦ abieju lygybes
(Ī¾ ā E[Ī¾])2 = Ī¾2 ā 2Ī¾ Ā· E[Ī¾] + (E[Ī¾])2pusiu vidurkius, gaunameE[(Ī¾ ā E[Ī¾])2] = E[Ī¾2] ā 2E[Ī¾] Ā· E[Ī¾] + E[(E[Ī¾])2].PertvarkĀ¦ Ā²ios lygybes deĀ²inĀ¦ pusĀ¦, gausime teoremos tvirtinimĀ”.2. Visai paprastoje lygybeje
(Ī¾āa)2 = (Ī¾āE[Ī¾]+E[Ī¾]āa)2 = (Ī¾āE[Ī¾])2+2(Ī¾āE[Ī¾])(E[Ī¾]āa)+(E[Ī¾]āa)2pereikime prie vidurkiu. GausimeE[(Ī¾ ā a)2] = E[(Ī¾ ā E[Ī¾])2] + 2(E[Ī¾] ā E[Ī¾])(E[Ī¾]ā a) + (E[Ī¾] ā a)2
= E[(Ī¾ ā E[Ī¾])2] + (E[Ī¾] ā a)2.Akivaizdu, kad dydĀŗio E[(Ī¾ā a)2] reikĀ²me maĀŗiausia, kai a = E[Ī¾]. TaĀ£iau Ā²imaĀŗiausioji reikĀ²me ir yra dispersija.3. LygybĀ¦ gausime iĀ² 1) lygybes, istatĀ¦ i jĀ” vietoje Ī¾ atsitiktini dydi cĪ¾ir pasinaudojĀ¦ vidurkio savybemis.4. Kadangi E[Ī¾1 + Ī¾2] = E[Ī¾1] + E[Ī¾2], oE[(Ī¾1 + Ī¾2)
2] = E[Ī¾21] + 2E[Ī¾1Ī¾2] + E[Ī¾2
2 ] = E[Ī¾21 ] + 2E[Ī¾1] Ā·E[Ī¾2] + E[Ī¾2
2 ],tai istatĀ¦ Ā²ias lygybes i 1) dalyje irodytĀ” formulĀ¦ ir sutvarkĀ¦ iĀ²raiĀ²kas gausimenorimĀ” lygybĀ¦.5. Pakankamumas yra trivialus. Irodinesime butinumĀ”.Tegu D[Ī¾] = E[(Ī¾ ā E[Ī¾])2] = 0. Jeigu butu P (Ī¾ = E[Ī¾]) < 1, taiegzistuotu Ī“ > 0, kad P (|Ī¾āE[Ī¾]| > Ī“) > 0. Imkime A = Ļ : |Ī¾(Ļ)āE[Ī¾]| >Ī“ ir apibreĀŗkime Ī· = IA. Tada E[Ī·2] > 0 ir |Ī¾ ā E[Ī¾]| > Ī“Ī·. Todel turetubuti
D[Ī¾] = E[(Ī¾ āE[Ī¾])2] > Ī“2E[Ī·2] > 0.Gavome prieĀ²taravimĀ”. Teiginys irodytas.Ketvirtoji dispersijos adityvumo savybe teisinga ne vien tik porainepriklausomu atsitiktiniu dydĀŗiu. 72
IĀ²vada. Jei Ī¾1, Ī¾2, . . . , Ī¾n yra nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai, turintysdispersijas, tai ju suma irgi turi dispersijĀ”D[Ī¾1 + Ī¾2 + . . .+ Ī¾n] = D[Ī¾1] + D[Ī¾2] + . . .+ D[Ī¾n].50 teorema. Tegu atsitiktinis dydis Ī· igyja tik neneigiamas reikĀ²mesir turi vidurki. Tada bet kokiam Ī“ > 0 teisinga nelygybe
P (Ī· ā„ Ī“) ā¤ E[Ī·]
Ī“.Irodymas. PaĀŗymekime A = Ļ : Ī·(Ļ) ā„ Ī“. Nesunku isitikinti, kadteisinga nelygybe
Ī“ Ā· IA(Ļ) ā¤ Ī·.Imdami abieju nelygybes pusiu vidurkius gausimeE[Ī“ Ā· IA(Ļ)] ā¤ E[Ī·], Ī“P (A) ā¤ E[Ī·], P (A) ā¤ E[Ī·]
Ī“.PasinaudojĀ¦ Ā²iuo teiginiu irodysime vienĀ” daĀŗnai naudojamĀ” tikimybiu teori-joje nelygybĀ¦. Ji daĀŗniausiai vadinama ebyĀ²ovo nelygybe.51 teorema. Tegu Ī¾ yra atsitiktinis dydis turintis dispersijĀ”. Tada betkokiam Īµ > 0 teisinga nelygybe
P (|Ī¾ āE[Ī¾]| ā„ Īµ) ā¤ D[Ī¾]
Īµ2.Irodymas. Akivaizdu, kad
P (|Ī¾ ā E[Ī¾]| > Īµ) = P (|Ī¾ ā E[Ī¾]|2 > Īµ2).IrodymĀ” uĀŗbaigsime pasinaudojĀ¦ anksĀ£iau irodyta teoremĀ”, kurioje reikiaimti Ī· = (Ī¾ āE[Ī¾])2, Ī“ = Īµ2.Dabar jau galime suformuluoti ir irodyti vienĀ” paprastĀ” ribinĀ¦ teoremĀ” atskirĀ” didĀŗiuju skaiĀ£iu desnio atveji.52 teorema. Tegu Ī¾1, Ī¾2, . . . nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai, turintysantruosius momentus, bei tenkinantys sĀ”lygĀ”nā2
nā
k=1
D[Ī¾k] ā 0, nā ā.73
Tegu Sn = Ī¾1 + . . .+ Ī¾n, En = (E[Ī¾1]+ . . .+E[Ī¾n])/n. Tada bet kokiam Īµ > 0
P (|nā1Sn āEn| ā„ Īµ) ā 0, nā ā.Irodymas. Pasinaudokime ebyĀ²ovo nelygybe, imdami Ī¾ = nā1Sn.GausimeP (|nā1Sn ā En| ā„ Īµ) ā¤ D[(nā1Sn]
Īµ2.Dabar pasinaudokime dispersijos savybemis (konstantos iĀ²kelimo ir adityvumo):D[nā1Sn] = nā2
nā
k=1
D[Ī¾k] ā 0, nā ā.IĀ²vada. Jei Ī¾1, Ī¾2, . . . nepriklausomi ir vienodai pasiskirstĀ¦ atsitiktiniai dy-dĀŗiai, turintys vidurki a ir antruosius momentus, tai bet kokiam Īµ > 0
P( ā£ā£ā£ā£Ī¾1 + Ī¾2 + . . .+ Ī¾n
nā a
ā£ā£ā£ā£ > Īµ)ā 0, nā ā.DidĀŗiuju skaiĀ£iu desnis matematine forma iĀ²reiĀ²kia musu gyvenimiĀ²kĀ”patirti. PavyzdĀŗiui, gerai Āŗinome, kad metus simetriĀ²kĀ” monetĀ” dideli skaiĀ£iu
N kartu, herbas tikriausiai pasirodys maĀŗdaug 0,5N kartu.Jeigu atsitiktiniu dydĀŗiu Ī¾1 ir Ī¾2 momentai E[Ī¾21 ],E[Ī¾2
2] egzistuoja, taiE[|Ī¾1Ī¾2|] taip pat egzistuoja. Irodydami pasiremkite akivaizdĀŗia nelygybe
2|Ī¾1Ī¾2| ā¤ Ī¾21 + Ī¾2
2ir vidurkio savybemis.Jei momentai E[Ī¾21],E[Ī¾2
2] yra baigtiniai, tai lygybef(Ī») = E[(Ī»Ī¾1 + Ī¾2)
2] = Ī»2E[Ī¾2
1 ] + 2E[Ī¾1 Ā· Ī¾2]Ī»+ E[Ī¾22]yra korektiĀ²kai apibreĀŗtas antro laipsnio daugianaris, igyjantis vien neneigia-mas reikĀ²mes (Ī» Ā²io daugianario kintamasis). Tokio daugianario diskrimi-nantas turi buti neteigiamas. UĀŗraĀ²Ā¦ ji, gausime naudingĀ” nelygybĀ¦, jĀ” su-formuluosime teoremoje.53 teorema. Tegu atsitiktiniu dydĀŗiu Ī¾1, Ī¾2 antrieji momentai egzis-tuoja. Tada E[|Ī¾1Ī¾2|] yra taip pat egzistuoja, bei
E[|Ī¾1Ī¾2|] ā¤ (E[Ī¾1])1/2(E[Ī¾2])
1/2.IĀ² Ā²ios teoremos gauname, kad atsitiktiniams dydĀŗiams Ī¾1, Ī¾2, turintiemsbaigtinius antruosius momentus, dydis E[(Ī¾1 ā E[Ī¾1])(Ī¾2 ā E[Ī¾2])] taip patapibreĀŗtas. 74
35 apibreĀŗimas. Tegu atsitiktiniu dydĀŗiu Ī¾1, Ī¾2 antrieji momentaiegzistuoja. Dydicov (Ī¾1, Ī¾2) = E[(Ī¾1 ā E[Ī¾1])(Ī¾2 āE[Ī¾2])]vadinsime dydĀŗiu Ī¾1, Ī¾2 kovariacija, o dydi
Ļ(Ī¾1, Ī¾2) =cov (Ī¾1, Ī¾2)āD[Ī¾1] Ā·D[Ī¾2]kai vardiklis nelygus nuliui koreliacijos koecientu.Nesunku isitikinti, kad kovariacijĀ” galime skaiĀ£iuoti taip:
cov (Ī¾1, Ī¾2) = E[Ī¾1Ī¾2] āE[Ī¾1] Ā· E[Ī¾2].Irodysime kelias koreliacijos koeciento savybes.54 teorema. Tegu Ī¾1, Ī¾2 yra atsitiktiniai dydĀŗiai, turintys baigtines irnenulines dispersijas. Teisingi tokie teiginiai:1. |Ļ(Ī¾1, Ī¾2)| ā¤ 1;2. Ļ(Ī¾1, Ī¾2) = 0 tada ir tik tada, kai D[Ī¾1 + Ī¾2] = D[Ī¾1] + D[Ī¾2].3. Lygybe |Ļ(Ī¾1, Ī¾2)| = 1 teisinga tada ir tik tada, kai egzistuoja konstantosĪ»1, Ī»2, Ī»3, ne visos lygios nuliui, kad
P (Ī»1Ī¾1 + Ī»2Ī¾2 = Ī»3) = 1.Irodymas. 1. IĀ²plaukia iĀ² koreliacijos koeciento apibreĀŗimo ir irodytosnelygybes momentams.2. UĀŗraĀ²ykime tapatybĀ¦(Ī¾1+Ī¾2āE[Ī¾1]āE[Ī¾2])
2 = (Ī¾1āE[Ī¾1])2+2(Ī¾1āE[Ī¾1])(Ī¾2āE[Ī¾2])+(Ī¾1āE[Ī¾1])
2.Imdami abieju pusiu vidurkius gausimeD[Ī¾1 + Ī¾2] = D[Ī¾1] + 2Ļ(Ī¾1, Ī¾2) + D[Ī¾2].IĀ² Ā²ios lygybes ir gauname 2) teigini.3. Tegu
P (Ī»1Ī¾1 + Ī»2Ī¾2 = Ī»3) = 1,ir Ī»1 6= 0. Tada P (Ī¾1 = aĪ¾2 + b) = 1,
D[Ī¾1] = a2D[Ī¾2], Ī¾1 ā E[Ī¾1] = a(Ī¾2 ā E[Ī¾2]), cov (Ī¾1, Ī¾2) = aD[Ī¾2].75
TadaĻ(Ī¾1, Ī¾2) =
cov (Ī¾1, Ī¾2)
(D[Ī¾1]D[Ī¾2])1/2=
a
|a| = sgna.Tegu dabar Ļ(Ī¾1, Ī¾2) = 1. ApibreĀŗkime atsitiktini dydiĪ· =
(Ī¾1 āE[Ī¾1]āD[Ī¾1]
ā Ī¾2 ā E[Ī¾2]āD[Ī¾2]
)2
ā„ 0.Nesunku patikrinti, kad E[Ī·] = 0. Bet tada turi butiP
(Ī¾1 ā E[Ī¾1]āD[Ī¾1]
ā Ī¾2 ā E[Ī¾2]āD[Ī¾2]
= 0)
= 1.AnalogiĀ²kai iĀ²tirtume atveji Ļ(Ī¾1, Ī¾2) = ā1. Taigi su tam tikromis konstan-tomis Ī»1, Ī»2, Ī»3 gauname, kad P (Ī»1Ī¾1 + Ī»2Ī¾2 = Ī»3) = 1.2.8. Atsitiktiniu dydĀŗiu konvergavimo ruĀ²ysPradesime nagrineti atsitiktiniu dydĀŗiu seku Ī¾n konvergavimĀ”. Naudo-jamos ivairios konvergavimo ruĀ²ys, apibreĀ²ime svarbiausias.Tegu Ī¾n yra atsitiktiniu dydĀŗiu seka. Elementariuju ivykiu poaibisA = Ļ : egzistuoja baigtine riba lim
nāāĪ¾n(Ļ)yra atsitiktinis ivykis, o
Ī¾(Ļ) =
lim
nāāĪ¾n(Ļ), jei Ļ ā A,
0, jei Ļ 6ā A,yra atsitiktinis dydis. Jei P (A) = 1, tai atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾n beveik visurkonverguoja i atsitiktini dydi Ī¾.36 apibreĀŗimas. Tegu Ī¾, Ī¾n : Ī© ā IR yra atsitiktiniai dydĀŗiai, n =1, 2, . . . . Sakysime, jog atsitiktiniu dydĀŗiu seka Ī¾n konverguoja i atsitiktinidydi Ī¾ su tikimybe 1, jei
P (Ļ : Ī¾n(Ļ) ā Ī¾(Ļ), nā ā) = 1.ymesime: Ī¾n 1ā Ī¾, nā ā.Jei Ī¾n 1ā Ī¾ (n ā ā) ir P (Ļ : Ī¾ā²(Ļ) = Ī¾(Ļ)) = 1, tai Ī¾n 1ā Ī¾ā² (n ā ā).Todel riba nera apibreĀŗta vienareikĀ²miĀ²kai. TaĀ£iau ribiniai dydĀŗiai skiriasitik maĀŗoje (nulines tikimybes) aibeje.76
35 pavyzdys. Tegu Ī© = [0; 1], A aibes Ī© Borelio poaibiu sistema,P (A) geometrinis ilgis. Tegu Ī¾n(Ļ) = 1
n, Ī¾(Ļ) = 0,
Ī¾(1)(Ļ) =
0, jei Ļ 6= 1
2,
1, Ļ = 12, Ī¾(2)(Ļ) =
0, jeiĻ yra iracionalusis skaiĀ£ius,1, jei Ļ racionalusis skaiĀ£ius.Tada atsitiktiniu dydĀŗiu seka Ī¾n konverguoja su tikimybe 1 ir i Ī¾, ir i Ī¾(1), iri Ī¾(2).55 teorema. Atsitiktiniu dydĀŗiu seka Ī¾n konverguoja i atsitiktini dydi
Ī¾ su tikimybe 1 tada ir tik tada, kai su bet kokiu Īµ > 0
P (Ļ : supnā„m
|Ī¾n(Ļ) ā Ī¾(Ļ)| > Īµ) ā 0, mā ā. (35)Irodymas. Pakanka teoremĀ” irodyti, kai Īµ = 1/r; Ā£ia r yra naturalusisskaiĀ£ius. ApibreĀŗkime ivykiusBrm = Ļ : sup
nā„m|Ī¾n(Ļ) ā Ī¾(Ļ)| > 1/r, Br = ā©mBrm.Nesunku isitikinti, kad
B = Ļ : Ī¾n(Ļ) nekonverguoja = āŖrBr.Teorema tvirtina, kad P (B) = 0 tada ir tik tada, kai P (Brm) ā 0, m ā ā.Kadangi ivykiai Br yra didejantys, tai P (B) = limrP (Br), ir lygybe P (B) = 0teisinga tada ir tik tada, kai P (Br) = 0. TaĀ£iau P (Br) = lim
mP (Brm). Taigi
P (B) = 0 teisinga tada ir tik tada, kai kiekvienam r tikimybes P (Brm), kaimā ā, arteja prie nulio. TaĀ£iau kaip tik tai ir tvirtina musu teorema.Tuo ir baigiasi teoremos irodymas.Su (35) sĀ”lyga galetume kitaip apibreĀŗti konvergavimo su tikimybe 1 sĀ”-vokĀ”. SusilpninĀ¦ Ā²iĀ” sĀ”lygĀ” gausime kitĀ” konvergavimo ruĀ²i.37 apibreĀŗimas. Tegu Ī¾, Ī¾n : Ī© ā IR yra atsitiktiniai dydĀŗiai,n = 1, 2, . . . . Sakysime, jog atsitiktiniu dydĀŗiu seka Ī¾n konverguoja pagaltikimybĀ¦ i atsitiktini dydi Ī¾ , jei kiekvienam Īµ > 0
P (Ļ : |Ī¾n(Ļ) ā Ī¾(Ļ)| > Īµ) ā 0, nā ā.ymesime: Ī¾n Pā Ī¾, nā ā.IĀ² apibreĀŗimo bei irodytos teoremos iĀ²kart iĀ²plaukia, kad kiekviena atsitiktiniudydĀŗiu seka, konverguojanti su tikimybe 1, konverguoja ir pagal tikimybĀ¦.TaĀ£iau atvirkĀ²tinis teiginys nera teisingas.77
36 pavyzdys.VienetinĀ¦ atkarpĀ” [0; 1] surieskime i apskritimĀ” A . Tada intervalaipavirs apskritimo lankais. Nagrinekime tikimybinĀ¦ erdvĀ¦ Ī© = A, A Ļ-algebra, generuota A lanku aibes, P : A ā [0; 1] tikimybinis matas,priskiriantis lankams ju ilgius. Atidekime ant apskritimo taĀ²kus A1, A2, . . .rikiuodami juos prieĀ² laikrodĀŗio rodyklĀ¦ taip, kad lanko A1A2 ilgis butu lygus12, lanko A2A3 1
3, ... , lanko Anā1An 1
n.Nagrinekime atsitiktinius dydĀŗius Ī¾n(Ļ) = I(Anā1,An)(Ļ). Akivaizdu, kad
P (Ī¾n = 1) = 1n. Kadangi eilute
ā
n
1
ndiverguoja, tai lankai Anā1An be galo daug kartu padengia apskritimĀ”, taigikiekvienas apskritimo taĀ²kas priklauso be galo daugeliui lanku. Taigilim inf Ī¾n(Ļ) = 0, lim sup Ī¾n(Ļ) = 1,todel seka Ī¾n(Ļ) nekonverguoja kiekvienam Ļ. Kita vertus
P (|Ī¾n(Ļ) ā 0| > Īµ) = P (Ī¾n(Ļ) = 1) =1
nā 0,taigi
Ī¾nPā 0, nā ā.tai dar vienas, kiek sudetingesnis pavyzdys.37 pavyzdys. iek tiek skaiĀ£iu teorijosNagrinekime geometriniu tikimybiu schemĀ”, kurioje Ī© = [0, 1]. ApibreĀŗ-kime atsitiktiniu dydĀŗiu sekĀ”
Ī¾n(Ļ) =ā
1ā¤m<n
(m,n)=1
I(mnā 1
n2 , mn
+ 1n2 )(Ļ), n > 1.Nesunku isitikinti, kad Ī¾n
Pā 0. SkaiĀ£iu teorijoje irodoma, kad kiekvienamiracionaliajam Ī± egzistuoja be galo daug trupmenu m/n, kadā£ā£Ī±ā m
n
ā£ā£ < 1
n2.Todel P (Ļ : lim sup Ī¾n(Ļ) = 1) = 1. Taigi seka Ī¾n nekonverguoja su tikimybe1 i nuli. ApibreĀŗkime kitĀ” atsitiktiniu dydĀŗiu sekĀ”:
Ī·n(Ļ) =ā
1ā¤m<n
(m,n)=1
I(mnā 1
n3 , mn
+ 1n3 )(Ļ), n > 1.78
TadaP (Ļ : sup
nā„m|Ī¾n(Ļ) ā 0| > Īµ) ā¤
ā
nā„m
P (Ī¾n(Ļ) = 1) ā¤ā
nā„m
n Ā· 2
n3
=ā
nā„m
2
n2ā 0, mā ā.i seka konverguoja i nuli su tikimybe 1, taigi ir pagal tikimybĀ¦.Taigi konverguojanti pagal tikimybĀ¦ seka gali nekonverguoti su tikimybe
1. Vis delto konverguojanĀ£iĀ” pagal tikimybĀ¦ atsitiktiniu dydĀŗiu sekĀ” galimapraretinti, kad likĀ¦s posekis konverguotu su tikimybe 1.56 teorema. Jeigu atsitiktiniams dydĀŗiams teisingas sĀ”ryĀ²is Ī¾n Pā Ī¾, nāā, tai galima iĀ²skirti poseki Ī¾nm
, kad galiotu Ī¾nm
1ā Ī¾, mā ā.r. irodymĀ” J. Kubiliaus knygoje Tikimybiu teorija ir matematine statis-tika, Vilnius, Mokslas, 1980, p. 201202.Irodysime teoremĀ” apie konvergavimo pagal tikimybĀ¦ ir vidurkiu konver-gavimo ryĀ²i.57 teorema. Tegu Ī¾n, Ī¾, Ī· yra atsitiktiniai dydĀŗiai, kuriemsĪ¾n
Pā Ī¾, |Ī¾n| ā¤ Ī·, E[Ī·] <ā.Tada E[Ī¾] taip pat egzistuoja ir E[Ī¾] = limnāā
E[Ī¾n].Irodymas. Pagal ankstesnĀ¦ teoremĀ” egzistuoja posekis Ī¾nm, su tikimybe1 konverguojantis i Ī¾. TaĀ£iau tada |Ī¾(Ļ)| ā¤ Ī·(Ļ) beveik visiems Ļ. Tadagauname, kad E[Ī¾] egzistuoja. Dabar imkime skaiĀ£iu a > 0 ir vertinkime:
|E[Ī¾n] ā E[Ī¾]| ā¤ E[|Ī¾n ā Ī¾|] = E[|Ī¾n ā Ī¾|IĪ·ā¤a] + E[|Ī¾n ā Ī¾|IĪ·>a]
ā¤ ĪµP (|Ī¾n ā Ī¾| ā¤ Īµ) + 2aP (|Ī¾n ā Ī¾| > Īµ) + 2E[Ī·IĪ·>a],Ā£ia pasinaudojome tuo, kad beveik visiems Ļ teisinga nelygybe |Ī¾n(Ļ) āĪ¾(Ļ)| ā¤ 2Ī·(Ļ). FiksavĀ¦ skaiĀ£iu Ī“ > 0, galesime parinkti pakankamai maĀŗĀ”Īµ > 0 ir pakankamai didelius a,N, kad deĀ²inioji gautos nelygybiu grandinelespuse butu maĀŗesne uĀŗ Ī“. To pakanka irodymui uĀŗbaigti.Tiek konvergavimo su tikimybe 1, tiek konvergavimo pagal tikimybĀ¦ atve-jais visi atsitiktiniai dydĀŗiai turi buti apibreĀŗti toje paĀ£ioje tikimybinejeerdveje. TaĀ£iau kur apibreĀŗti tie atsitiktiniai dydĀŗiai, su kuriais susiduri-ame gyvenime, kartais keblu pasakyti.Taigi tampa neaiĀ²ku, kaip nagrineti ju konvergavimĀ” pagal tikimybĀ¦ arsu tikimybe 1. ApibreĀ²ime dar vienĀ” atsitiktiniu dydĀŗiu konvergavimo ruĀ²i.79
ios ruĀ²ies konvergavimĀ” galime nagrineti net neĀŗinodami, kokiose baigĀ£iuerdvese apibreĀŗti musu atsitiktiniai dydĀŗiai.38 apibreĀŗimas. Tegu Ī¾n, Ī¾ yra atsitiktiniai dydĀŗiai, o Fn, F jupasiskirstymo funkcijos. Sakysime, kad atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾n silpnai kon-verguoja i Ī¾ jeigu kiekvienam funkcijos F (x) tolydumo taĀ²kui x teisingaFn(x) ā F (x), nā ā.SilpnĀ”ji konvergavimĀ” Āŗymesime: Ī¾n ā Ī¾.Tegu Xn yra intervale [ā1/n; 1/n] tolygiai pasiskirstĀ¦s atsitiktinis dydis,
Yn ir Zn intervaluose [ā1/n; 0] ir [0; 1/n] tolygiai pasiskirstĀ¦ atsitiktiniaidydĀŗiai, o V iĀ²sigimĀ¦s atsitiktinis dydis, P (V = 0) = 1. NubraiĀŗykime Ā²iudydĀŗiu pasiskirstymo funkciju grakus.FXn
(x)
12
1n
ā 1n
FYn(x)
1n
ā 1n
FZn(x)
1n
ā 1n
FV (x) (
PanagrinejĀ¦ juos isitikinsime, kad jei x 6= 0 ir nā ā, taiFXn
(x) ā FV (x), FYn(x) ā FV (x), FZn
(x) ā FV (x).TaĀ£iau taĀ²ke x = 0 pasiskirstymo funkciju elgesys skiriasi:FXn
(0) =1
26ā FV (0) = 0, FYn
(0) = 1 6ā FV (0), FZn(0) = 0 ā FV (0).Taigi dydĀŗiai Xn, Yn, Zn silpnai konverguoja i atsitiktini dydi V, taĀ£iautaĀ²ke x = 0 pasiskirstymo funkciju elgesys skiriasi.Kai visi atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾n apibreĀŗti toje paĀ£ioje tikimybineje erdveje,galima nagrineti, pavyzdĀŗiui, konvergavimo pagal tikimybĀ¦ ir silpnojo kon-vergavimo ryĀ²i. Galima irodyti, kad apibreĀŗtu toje paĀ£ioje tikimybineje80
erdveje atsitiktiniai dydĀŗiu seka, konverguojanti pagal tikimybĀ¦ taip pat kon-verguoja ir silpnai.SilpnĀ”ji atsitiktiniu dydĀŗiu konvergavimĀ” galima apibudinti ir kitaip.58 teorema. Tegu Ī¾n, Ī¾ yra atsitiktiniai dydĀŗiai, o Fn, F ju pa-siskirstymo funkcijos. Atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾n silpnai konverguoja i Ī¾ tadair tik tada, kai bet kokiai tolydĀŗiai ir apreĀŗtai funkcijai f(u) teisingas sĀ”ryĀ²isE[f(Ī¾n)] ā E[f(Ī¾)], nā ā. (36)Irodymas. Irodymas gana techniĀ²kas, t. y. teks pasinaudoti analizesinstrumentais, kuriuos naudojame dydĀŗiams vertinti.Tarkime, sĀ”lyga (36) teisinga visoms apreĀŗtoms ir tolydĀŗioms funkcijoms
f. Naudosime Ā²iĀ” sĀ”lyga su funkcijomis f = Ļ(x|a, Ī“), kurias apibreĀ²ime taip.Su realiaisiais skaiĀ£iais a ir Ī“ > 0 apibreĀ²kime:Ļ(u|a, Ī“) =
1, jei u ā¤ aā Ī“,
max(aāuĪ“, 0), jei aā Ī“ ā¤ u.Funkcijos Ļ(u|a, Ī“) yra apreĀŗtos ir tolydĀŗios. Kai u < aāĪ“, tai Ļ(u|a, Ī“) =
1, kai u ā„ a, Ļ(u|a, Ī“) = 0. Jei Ī“ ā 0, tai nesunku isitikinti, kad su visais uĻ(u|aā Ī“, Ī“) ā I(āā,a)(u).Jeigu Ī¾ yra koks nors atsitiktinis dydis, tai
Ļ(Ī¾|aā Ī“, Ī“)1āIĪ¾<a taigi ir Ļ(Ī¾|aā Ī“, Ī“)
PāIĪ¾<a.PasiremĀ¦ teiginiu apie konvergavimo pagal tikimybĀ¦ ir vidurkiu konvergav-imo ryĀ²i gausime, kadE[Ļ(Ī¾|aā Ī“, Ī“)] ā E[IĪ¾<a] = P (Ī¾ < a) = FĪ¾(a).Tegu a yra funkcijos F (x) tolydumo taĀ²kas. PaĀŗymekime Ļ(u) = I(āā,a)(u).PasinaudojĀ¦ funkcijomis Ļ(u|aā Ī“, Ī“), gausime
Ļ(Ī¾n|aā Ī“, Ī“) ā¤ Ļ(Ī¾n) ā¤ Ļ(Ī¾n|a+ Ī“, Ī“),o paemĀ¦ vidurkiusE[Ļ(Ī¾n|aā Ī“, Ī“)] ā¤ Fn(a) ā¤ E[Ļ(Ī¾n|a+ Ī“, Ī“)].Pereikime gautoje nelygybeje prie ribos, kai nā ā. Gausime
E[Ļ(Ī¾|aā Ī“, Ī“)] ā¤ lim infn
Fn(a) ā¤ lim supn
Fn(a) ā¤ E[Ļ(Ī¾|a+ Ī“, Ī“)].81
Kadangi Ļ(x|a+ Ī“, Ī“) < I(āā,a+Ī“)(x) ir I(āā,aā2Ī“)(x) < Ļ(x|aā Ī“, Ī“), taiE[Ļ(Ī¾|a+ Ī“, Ī“)] ā¤ F (a+ Ī“), F (aā 2Ī“) ā¤ E[Ļ(Ī¾|aā Ī“, Ī“)],ir F (a+ Ī“) ā F (aā 2Ī“) ā 0, Ī“ ā 0, nes F (x) tolydi taĀ²ke x = a.Taigi limnāā
Fn(a) = F (a). Irodeme, kad iĀ² (36) seka silpnasis konvergavi-mas.Tegu dabar atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾n silpnai konverguoja i atsitiktini dydiĪ¾, taigi pasiskirstymo funkcijos Fn(u) konverguoja i F (u) Ā²ios funkcijos toly-dumo taĀ²kuose. Tegu Ļ(u) yra tolydi ir apreĀŗta funkcija, |Ļ(u)| ā¤ A. Fik-suokime skaiĀ£iu Īµ > 0 ir parinkime a < b tokius didelius, kad
P (Ī¾ 6ā [a, b)), P (Ī¾n 6ā [a, b)) ā¤ Īµ
5A.iek tiek pagalvojus galima isitikinti, kad visada galima tokius a, b parinkti.Vertinsime skirtumĀ” (Ā£ia ir kitur vartojame glaustĀ” indikatoriaus funkcijosĀŗymeni: IĪ¾āB = IĻ:Ī¾(Ļ)āB = IĪ¾ā1(B) ):
|E[Ļ(Ī¾n)] ā E[Ļ(Ī¾)]| = |E[Ļ(Ī¾n)(IĪ¾nā[a,b) + IĪ¾n 6ā[a,b))] āE[Ļ(Ī¾)(IĪ¾ā[a,b) + IĪ¾ 6ā[a,b))]| ā¤|E[Ļ(Ī¾n)IĪ¾nā[a,b)] ā E[Ļ(Ī¾)IĪ¾ā[a,b)]| +|E[Ļ(Ī¾n)IĪ¾n 6ā[a,b)]| + |E[Ļ(Ī¾)IĪ¾ 6ā[a,b)]|.PasinaudojĀ¦ a, b pasirinkimu ir sĀ”lyga |Ļ(u)| ā¤ A, gausime
|E[Ļ(Ī¾n)] ā E[Ļ(Ī¾)]| ā¤ 2Īµ
5+ |E[Ļ(Ī¾n)IĪ¾nā[a,b)] āE[Ļ(Ī¾)IĪ¾ā[a,b)]|. (37)Vertinsime antrĀ”ji dydi. IntervalĀ” [a, b) padalysime funkcijos F (x) toly-dumo taĀ²kais (galime manyti, kad a, b yra taip pat Ā²ios funkcijos tolydumotaĀ²kai):
a = xĪµ0 < xĪµ
1 < . . . < xĪµN = b.Tarkime, kad Ā²is padalijimas yra toks smulkus, jog su visais xĪµ
i ā¤ u ā¤ v ā¤xĪµ
i+1 teisinga nelygybe |Ļ(u) ā Ļ(v)| < Īµ/5. ApibreĀ²ime diskreĀ£iuosius atsi-tiktinius dydĀŗiusĪ·Īµ
n =
Nā1ā
i=0
Ļ(xĪµi)IĪ¾nā[xĪµ
i ,xĪµi+1)
, Ī·Īµ =
Nā1ā
i=0
Ļ(xĪµi)IĪ¾ā[xĪµ
i ,xĪµi+1)
.TaĀ²ku xĪµi parinkimas garantuoja, kad
|E[Ļ(Ī¾n)IĪ¾nā[a,b)] ā E[Ī·Īµn]| ā¤ Īµ
5, |E[Ļ(Ī¾)IĪ¾ā[a,b)] ā E[Ī·Īµ]| ā¤ Īµ
5. (38)82
PasinaudojĀ¦ paprastomis nelygybemis su moduliais, gausime|E[Ļ(Ī¾n)IĪ¾nā[a,b)] ā E[Ļ(Ī¾)IĪ¾ā[a,b)]| ā¤ |E[Ļ(Ī¾n)IĪ¾nā[a,b)] ā E[Ī·Īµ
n]| +
|E[Ļ(Ī¾)IĪ¾ā[a,b)] āE[Ī·Īµ]| + |E[Ī·Īµn] ā E[Ī·Īµ]| ā¤ 2Īµ
5+ |E[Ī·Īµ
n] ā E[Ī·Īµ]|.Dar turime ivertinti paskutiniji deĀ²ines puses nari:|E[Ī·Īµ
n] ā E[Ī·Īµ]| = |Nā1ā
i=0
Ļ(xĪµi)(E[IĪ¾nā[xĪµ
i ,xĪµi+1)
] āE[IĪ¾ā[xĪµi ,x
Īµi+1)
])|. (39)TaĀ£iauE[IĪ¾nā[xĪµ
i ,xĪµi+1)
] ā E[IĪ¾ā[xĪµi ,x
Īµi+1)
] = P (Ī¾n ā [xĪµi , x
Īµi+1)) ā P (Ī¾ ā [xĪµ
i , xĪµi+1))
= Fn(xĪµi+1) ā Fn(xĪµ
i) + F (xĪµi+1) ā F (xĪµ
i).Kadangi Fn(x) konverguoja i F(x) pastarosios funkcijos tolydumo taĀ²kuo-se, tai imdami didelius n, galime dydĀŗius E[IĪ¾nā[xĪµi ,x
Īµi+1)
] ā E[IĪ¾ā[xĪµi ,x
Īµi+1)
]paversti maĀŗesniais uĀŗ bet kuri pasirinktĀ” teigiamĀ” skaiĀ£iu. Tada (39) dydisnevirĀ²ija Īµ/5, kai n ā„ n0. IĀ² gautu iverĀ£iu gauname, kad su n ā„ n0
|E[Ļ(Ī¾n)] āE[Ļ(Ī¾)]| ā¤ Īµ.Taigi (36) sĀ”lyga irodyta.2.9. Silpnasis konvergavimas ir kompaktiĀ²kumasSilpnojo atsitiktiniu dydĀŗiu konvergavimo sĀ”lygos nusakomos vien ju pa-siskirstymo funkcijomis. Tad galime kalbeti tiesiog apie pasiskirstymo funkcijusilpnĀ”ji konvergavimĀ”.39 apibreĀŗimas. Tegu Fn(x) yra pasiskirstymo funkciju seka.Sakysime, kad ji silpnai konverguoja, jeigu egzistuoja pasiskirstymo funkcijaF (x), kad kiekviename jos tolydumo taĀ²ke x Fn(x) ā F (x), kai nā ā.Kaip ir atsitiktiniams dydĀŗiams Āŗymesime:
Fn ā F.Kada gi pasiskirstymo funkciju seka silpnai konverguoja? Pradesime tirtiĀ²i svarbu klausimĀ”.59 teorema. Tegu Fn bet kokia pasiskirstymo funkciju seka. Tadaegzistuoja posekis Fnm, bei nemaĀŗejanti ir tolydi iĀ² kaires funkcija G(x), kadĀ²ios funkcijos tolydumo taĀ²kuose Fn(x) ā G(x), kai nā ā.83
i teorema vadinama Helley (Eduard Helley) kompaktiĀ²kumo teorema.Pastebekime, kad ribine funkcija gali buti visai ne pasiskirstymo funkcija.Kiek pagalvojus galima isitikinti, kad kiekviena nemaĀŗejanti ir tolydi iĀ²kaires funkcija G(x), 0 ā¤ G(x) ā¤ 1 gali buti ribine pasiskirstymo funkcijusekos Fn(x) funkcija, t.y. Fn(x) ā G(x) visuose G(x) tolydumo taĀ²kuose.Irodymas. Racionaliuju skaiĀ£iu aibe yra skaiti, tad visus jos elementusgalima sunumeruoti:Q = q1, q2, . . ..Nagrinekime skaiĀ£iu sekĀ” Fn(q1). Kadangi 0 ā¤ Fn(q1) ā¤ 1 tai galima iĀ²rinktikonverguojanti poseki Fnt
(q1) ā g1, Ā£ia t ā ā, 0 ā¤ g1 ā¤ 1. ymesimeatitinkamu pasiskirstymo funkciju poseki F1,n. Nagrinekime skaiĀ£iu sekĀ”F1,n(q2). Vel galime iĀ²rinkti konverguojanti poseki. ymedami atitinkamaspasiskirstymo funkcijas F2,n, gausime F2,n(q2) ā g2, n ā ā. TĀ¦sdami Ā²iprocesĀ” gausime pasiskirstymo funkciju posekiu sekĀ”:
F1,1 F1,2 . . . F1,m . . .F2,1 F2,2 . . . F2,m . . .. . . . . . . . . . . . . . .Fm,1 Fm,2 . . . Fm,m . . .. . . . . . . . . . . . . . .
(40)Parinktieji posekiai turi Ā²ias savybes:Ft,m ā Ftā1,m, Ft,m(qs) ā gs, 1 ā¤ s ā¤ t, mā ā.ApibreĀŗkime funkcijĀ” G : Q ā [0, 1], imdami G(qi) = gi ir pratĀ¦skime jĀ” ikifunkcijos G : IRā [0, 1] apibreĀŗdami
G(x) = supG(q) : q ā Q, q ā¤ x.Tada G(x) yra nemaĀŗejanti, tolydi iĀ² kaires funkcija.Dabar parinkime naujĀ” pradines pasiskirstymo funkciju sekos poseki, im-dami tas funkcijas, kurios (40) lenteleje ant istriĀŗaines17: F1,1, F2,2, . . . . Aki-vaizdu, kad Fm,m(q) ā G(q) bet kuriam racionaliajam q. Tegu x0 yra betkoks funkcijos G(x) tolydumo taĀ²kas, o u, v ā Q, u < x0 < v. IĀ² nelygybiuFm,m(u) ā¤ Fm,m(x0) ā¤ Fm,m(v)17Toks parinkimas daĀŗnai vadinamas Kantoro diagonaline procedura. PanaudojĀ¦s ana-logiĀ²kĀ” samprotavimĀ” G.Kantoras irode, kad realiuju skaiĀ£iu aibe nera skaiti. i faktĀ” Āŗinokiekvienas pirmojo kurso studentas ir juo tikriausiai nesistebi. Pats Kantoras iĀ² pradĀŗiugalvojo, kad realiuju skaiĀ£iu aibe skaiti. Po keliu savaiĀ£iu darbo jis paneige Ā²iĀ” hipotezĀ¦.Idomu, kad kitai klaidingai hipotezei, kad IR ir IRn(n > 1) nera tos paĀ£ios galios aibespaneigti, G. Kantorui prireike net 3 metu. Tokia yra atradimu kaina!84
pereidami prie ribos, kai mā ā, gaunameG(u) ā¤ lim inf
mFm,m(x0) ā¤ lim sup
mFm,m(x0) ā¤ G(v).TaĀ£iau x0 yra funkcijos G(x) tolydumo taĀ²kas, todel
limuāx0ā
G(u) = limvāx0+
G(v) = G(x0),taigi Fm,m(x0) ā G(x0), kai mā ā. Teorema irodyta.Tad bet kokiai pasiskirstymo funkciju sekai Fn, nemaĀŗejanĀ£iu ir tolydĀŗiuiĀ² kaires ribiniu funkciju klaseR(Fn), susidedanti iĀ² tokiu funkcijuG, kuriomsegzistuoja posekis Fnm, kad G tolydumo taĀ²kuose
Fnm(x) ā G(x),yra netuĀ²Ā£ia. Jei Fn silpnai konverguoja i pasiskirstymo funkcijĀ” F , tai
R(Fn) = F; Ā£ia F ribine pasiskirstymo funkcija. Teisingas ir atvirkĀ²ti-nis teiginys.60 teorema. Jei Fn pasiskirstymo funkciju seka, o aibe R(Fn) sudarytaiĀ² vieninteles pasiskirstymo funkcijos F, tai Fn ā F.Irodymas. Tarkime Fn nekonverguoja silpnai i F. Tada egzistuoja Ftolydumo taĀ²kas x, kad Fn(x) 6ā F (x). ApreĀŗta skaiĀ£iu seka Fn(x) turibent vienĀ” ribini taĀ²kĀ” c, c 6= F (x). Parinkime koki nors Fn poseki F ā²n, kad
F ā²n(x) ā c. IĀ² Helley kompaktiĀ²kumo teoremos iĀ²plaukia, kad egzistuoja i tamtikrĀ” nemaĀŗejanĀ£iĀ” funkcijĀ” jos tolydumo taĀ²kuose konverguojantis F ā²
n(x)posekis F ā²nm
(x). Kadangi ribine funkcija yra vienintele, tai F ā²nm
ā F. Taigituri buti F ā²nm
(x) ā F (x). TaĀ£iau tai prieĀ²tarauja sĀ”lygai F ā²nm
(x) ā c, c 6=F (x). Teiginys irodytas. Nors aibe R(Fn) visada turi nors vienĀ” elementĀ”,gali atsitikti, kad nei viena pasiskirstymo funkcija neieina i Ā²ia pasiskirstymofunkciju Ā²eimĀ”. Pakanka panagrineti pavyzdi, kai Fn(x) = I(n,ā)(x). Kad Fnsilpnai konverguotu butina ir pakankama, kad
ā¢ R(Fn) butu sudaryta tik iĀ² pasiskirstymo funkciju;ā¢ R(Fn) turetu vieninteli elementĀ”.IĀ² pradĀŗiu panagrinesime, kada i R(Fn) ieina tik pasiskirstymo funkcijos.Pasiremus Helley teorema nesunku isitikinti, kad aibe R(Fn) sudaryta vientik iĀ² pasiskirstymo funkciju tada ir tik tada, kai iĀ² kiekvieno Fn posekiogalima iĀ²rinkti silpnai konverguojanti poseki.85
40 apibreĀŗimas. Pasiskirstymo funkciju Ā²eimĀ” FĪ± vadinsimesantykinai kompaktiĀ²ka, jei iĀ² kiekvieno jos posekio galima iĀ²rinkti silpnaikonverguojanti poseki.Irodysime J. V. Prochorovo teoremĀ” apie konvergavimo ir santykinio kom-paktiĀ²kumo ryĀ²i.61 teorema. Pasiskirstymo funkciju Ā²eima F = FĪ± yra santykinaikompaktiĀ²ka tada ir tik tada, kai bet kokiam Īµ > 0 egzistuoja toks N, kad suvisais Ī±FĪ±(N) ā FĪ±(āN) ā„ 1 ā Īµ. (41)Irodymas. Tarkime, kad pasiskirstymo funkciju Ā²eima yra santykinaikompaktiĀ²ka, bet netenkina sĀ”lygos. Tada kokiam nors Īµ > 0 ir kiekvienam
n = 1, 2, 3, . . . atsiras Ā²ios Ā²eimos pasiskirstymo funkcija FĪ±nā F , kad
FĪ±n(n) ā FĪ±n
(ān) < 1 ā Īµ.Paprastumo delei Āŗymekime Fn = FĪ±n. Pagal musu prielaidĀ” egzistuoja silp-nai konverguojantis sekos Fn posekis, t. y. egzistuoja Fnm
ir pasiskirstymofunkcija G(u), kad Fnm(u) ā G(u) funkcijos G tolydumo taĀ²kuose. Imkimekoki nors M, kad M,āM butu G tolydumo taĀ²kai irG(M) āG(āM) > 1 ā Īµ.Kai n > M teisinga nelygybe Fn(M) ā Fn(āM) ā¤ Fn(n) ā Fn(ān) < 1 ā Īµ,taĀ£iau kita vertus turi buti Fn(M) ā Fn(āM) ā G(M) ā G(āM) > 1 ā Īµ.Gavome prieĀ²tarĀ”.Tegu dabar pasiskirstymo funkciju Ā²eima F tenkina (2.9.) sĀ”lygĀ”, o Fn yrakokia nors jos elementu seka. Pagal Helley teoremĀ” egzistuoja nemaĀŗejanti,tolydi iĀ² kaires funkcija G(u) ir posekis Fnm
, kad Fnm(u) ā G(u) funkcijos
G tolydumo taĀ²kuose. Mums tereikia parodyti, kad G yra pasiskirstymofunkcija, t. y.G(n) āG(ān) ā 1, nā ā. (42)Bet kokiam skaiĀ£iui Īµ > 0 raskime N , kad galiotu (2.9.) sĀ”lyga. Galime Nparinkti taip kad āN,N butu G tolydumo taĀ²kai. Tada
G(N) āG(āN) = limmāā
[Fnm(N) ā Fnm
(āN)] ā„ 1 ā Īµ.IĀ² Ā²io teiginio iĀ²plaukia (42) sĀ”lyga. 86
2.10. Charakteringosios funkcijosApibreĀ²ime atsitiktinius dydĀŗius su kompleksinemis reikĀ²memis.Kam gi mums reikia tokiu dydĀŗiu? Juk ir kompleksiniu skaiĀ£iu mes kas-dieniame gyvenime neprisimename. Jie netinka nei iĀ²loĀ²iu, nei santaupu dy-dĀŗiams reikĀ²ti, nei kĀ” nors matuoti.Kas gi tada yra tas kompleksinis skaiĀ£ius? Galime isivaizduoti, kad kom-pleksinis skaiĀ£ius z tai dvieju realiuju skaiĀ£iu x, y poros vaizdavimo budas:z = x + iy. ia i yra ypatingas skaiĀ£ius menamasis vienetas, t.y. toksskaiĀ£ius, kurio kvadratas lygus ā1, i2 = ā1; skaiĀ£ius x vadinamas real-iĀ”ja z dalimi, Āŗymime x = Re z, skaiĀ£ius y menamĀ”ja dalimi, Āŗymimey = Im z. ApibreĀŗĀ¦ veiksmus su Ā²iais skaiĀ£iais sukuriame turtingĀ” ivairiaissĀ”ryĀ²iais strukturĀ”, tarsi iranki, kuriuo naudojantis galima tyrineti kitas sri-tis. Viena tokiu sriĀ£iu, kuriu tyrinejimĀ” kompleksiniais skaiĀ£iai palengvina silpnasis atsitiktiniu dydĀŗiu, igyjanĀ£iu realiĀ”sias reikĀ²mes, konvergavimas.IĀ² pradĀŗiu apibreĀ²kime atsitiktinius dydĀŗius su kompleksinemis reikĀ²memis.Atsitiktinis dydis su kompleksinemis reikĀ²memis gaunamas iĀ² dvieju realiĀ”siasreikĀ²mes igyjanĀ£iu atsitiktiniu dydĀŗiu ir atvirkĀ²Ā£iai.41 apibreĀŗimas. Tegu ćĪ©,A, P ć yra tikimybine erdve, C kompleksiniuskaiĀ£iu aibe. FunkcijĀ” Ī¾ : Ī© ā C vadinsime kompleksiniu atsitiktiniu dydĀŗiu,jei Ī¾ = Ī¾1 + iĪ¾2, kur Ī¾1 = Re Ī¾, Ī¾2 = Im Ī¾ yra realieji atsitiktiniai dydĀŗiai.Kompleksinius atsitiktinius dydĀŗius
Ī¾ = Ī¾1 + iĪ¾2, Ī· = Ī·1 + iĪ·2vadinsime nepriklausomais, jei bet kuriĀ” atsitiktiniu dydĀŗiu porĀ” Ī¾i, Ī·j su-daro nepriklausomi dydĀŗiai.Jeigu dydĀŗiu Ī¾1, Ī¾2 vidurkiai egzistuoja, tai atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ vidurki apibreĀ²imeE[Ī¾] = E[Ī¾1] + iE[Ī¾2].Taigi kompleksiniu atsitiktiniu dydĀŗiu vidurkiai yra kompleksiniai skaiĀ£iai.Daugelis vidurkio savybiu yra tos paĀ£ios tiek atsitiktiniams dydĀŗiams surealiomis, tiek su kompleksinemis reikĀ²memis. PavyzdĀŗiui, kaip ir realiujuatsitiktiniu dydĀŗiu atveju, kompleksinio atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ vidurkis egzis-tuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja atsitiktinio dydĀŗio |Ī¾| vidurkis. Kompleksiniuatsitiktiniu dydĀŗiu vidurkiu savybes irodomos, pasiremiant realiuju atsitikti-niu dydĀŗiu savybemis. Suformuluosime keletĀ”.62 teorema. Teisingi tokie teiginiai:1. Jei Ī¾1, Ī¾2 yra kompleksiniai atsitiktiniai dydĀŗiai, turintys vidurkius, o
a, b kompleksines konstantos, tai atsitiktinis dydis Ī¾ = aĪ¾1 + bĪ¾2 irgituri vidurki irE[Ī¾] = aE[Ī¾1] + bE[Ī¾2].87
2. Jei kompleksinis atsitiktinis dydis Ī¾ turi vidurki, tai |E[Ī¾]| ā¤ E[|Ī¾|].3. Tegu Ī¾n yra kompleksiniai atsitiktiniai dydĀŗiai ir beveik visiems ĻĪ¾n(Ļ) ā Ī¾(Ļ), |Ī¾n| ā¤ Ī·; Ā£ia Ī· yra realusis atsitiktinis dydis turintisvidurki. Tada Ī¾n, Ī¾ irgi turi vidurkius,
|E[Ī¾n]| ā¤ E[Ī·], |E[Ī¾]| ā¤ E[Ī·], E[Ī¾n] ā E[Ī¾], nā ā.4. Jei Ī¾1, Ī¾2 yra nepriklausomi kompleksiniai atsitiktiniai dydĀŗiai, turintysvidurkius, tai atsitiktinis dydis Ī¾ = Ī¾1 Ā· Ī¾2 irgi turi vidurki irE[Ī¾] = E[Ī¾1] Ā· E[Ī¾2].Viena iĀ² paĀ£iu svarbiausiu matematikoje yra formule: jei u yra realusisskaiĀ£ius, tai
eiu = cos(u) + i sin(u),Ā£ia e yra naturiniu logaritmu pagrindas. inome, kad su visais u teisingalygybe |eiu| = 1. IstatĀ¦ vietoje u koki nors atsitiktini dydi Ī¾ gauname:eiĪ¾ = cos(Ī¾) + i sin(Ī¾), |eiĪ¾| = 1.Taigi bet kokiam atsitiktiniam dydĀŗiui Ī¾ su realiomis reikĀ²memis vidurkis
E[eiĪ¾] egzistuoja. Taip pat gauname, kad bet kokiam atsitiktiniam dydĀŗiui Ī¾ir realiajam skaiĀ£iui t, kompleksinio atsitiktinio dydĀŗioeitĪ¾ = cos(tĪ¾) + i sin(tĪ¾)vidurkis egzistuoja.42 apibreĀŗimas. Realiojo atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ charakteringĀ”jafunkcija vadinsime realiojo argumento funkcijĀ”
ĻĪ¾(t) = E[eitĪ¾] = E[cos(tĪ¾)] + iE[sin(tĪ¾)].Realiojo atsitiktinio vektoriaus Ī¾ = ćĪ¾1, . . . , Ī¾nć charakteringĀ”ja funkcija vadin-sime funkcijĀ”ĻĪ¾(t1, . . . , tn) = E[eit1Ī¾1+...+itnĪ¾n ].38 pavyzdys. Puasono dydis Tegu atsitiktinis dydis Ī¾ pasiskirstĀ¦spagal Puasono desni: Ī¾ ā¼ P(Ī»). Tada jo charakteringoji funkcija
ĻĪ¾(t) =
āā
m=0
eitmĪ»m
m!eāĪ» = eāĪ»
āā
m=0
(eitĪ»)m
m!= expĪ»(eit ā 1).88
39 pavyzdys. Standartinis normalusis dydisTegu Ī¶ ā¼ N (0, 1). TadaĻĪ¶(t) =
ā« ā
āā
eitupĪ¶(u)du =1ā2Ļ
ā« ā
āā
eituāu2/2du.Pastarasis integralas konverguoja visoms t reikĀ²mems, ne vien tik realiosioms.Imkime t = āiz. TadaĻĪ¶(āiz) =
1ā2Ļ
ā« ā
āā
e2zuāu2/2du =
1ā2Ļ
ez2/2
ā« ā
āā
eā(u+z)2/2d(u+ z) = ez2/2.Imdami z = it, kur t realusis skaiĀ£ius, gausimeĻĪ¶(t) = ĻĪ¶(āi(it)) = eāt2/2.IĀ²vardysime paprasĀ£iausias charakteringuju funkciju savybes. Jos irodomospasinaudojant atsitiktiniu dydĀŗiu vidurkiu savybemis.63 teorema. Teisingi Ā²ie teiginiai:1. Atsitiktinio dydĀŗio charakteringoji funkcija yra tolydi kiekviename taĀ²ke.2. Tegu Ī¾ yra atsitiktinis dydis, a, b dvi konstantos, Ī· = aĪ¾ + b. Tada
ĻĪ·(t) = eitbĻĪ¾(at).3. Tegu Ī¾1, Ī¾2 yra du nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai, Ī¾ = Ī¾1 Ā· Ī¾2. TadaĻĪ¾(t) = ĻĪ¾1(t)ĻĪ¾2(t).Irodykime, pavyzdĀŗiui, 3) savybĀ¦. Jei atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾1, Ī¾2 yra neprik-lausomi, tai atsitiktiniai dydĀŗiai eitĪ¾1 ir eitĪ¾2 irgi yra nepriklausomi (Ā²iek tiekreikia pasamprotauti, norint tuo isitikinti). Be to, Ā²ie dydĀŗiai turi vidurkius.Tada
E[eitĪ¾1 Ā· eitĪ¾2 ] = E[eitĪ¾1+itĪ¾2 ] = E[eitĪ¾1 ] Ā· E[eitĪ¾2 ].TaĀ£iau pastaroji lygybe kaip tik ir reiĀ²kia, kad ĻĪ¾(t) = ĻĪ¾1(t)ĻĪ¾2(t).Nors 3) charakteringuju funkciju savybĀ¦ irodeme dviems nepriklausomiemsatsitiktiniams dydĀŗiams, taĀ£iau ji teisinga bet kokiai baigtinei nepriklausomuatsitiktiniu dydĀŗiu sistemai: 89
IĀ²vada. Jei Ī¾1, Ī¾2, . . . , Ī¾n yra nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai, taiĻĪ¾1+...+Ī¾n
(t) = ĻĪ¾1(t) Ā· ĻĪ¾2(t) Ā· Ā· Ā·ĻĪ¾n(t).Turint vienu dydĀŗiu charakteringĀ”sias funkcijas ir naudojantis irodytomissavybemis, kartais galima surasti kitu dydĀŗiu charakteringĀ”sias funkcijas.40 pavyzdys. Binominis dydisJei Ī·i(i = 1, . . . , n) yra nepriklausomi vienodai pasiskirstĀ¦ atsitiktiniaidydĀŗiai,
P (Ī·i = 1) = p, P (Ī·i = 0) = q = 1 ā p,tai ju suma Ī· = Ī·1+. . .+Ī·n yra atsitiktinis dydis, pasiskirstĀ¦s pagal binominidesni: Ī· ā¼ B(n, p). TadaĻĪ·(t) = ĻĪ·1(t) . . . ĻĪ·n
(t) = ĻĪ·1(t)n = (eitp+ q)n.41 pavyzdys. Normalusis dydisJeigu Ī¶0 ā¼ N (0, 1), t.y. atsitiktinis dydis Ī¶0 pasiskirstĀ¦s pagal standartininormaluji desni, o a ir Ļ yra realieji skaiĀ£iai, tai atsitiktinis dydis Ī¶ = a+ĻĪ¶0pasiskirstĀ¦s pagal normaluji desni su parametrais a, Ļ2, t.y. Ī¶ ā¼ N (a, Ļ2).PasinaudojĀ¦ charakteringuju funkciju savybemis gauname:
ĻĪ¶(t) = eiatĻĪ¶0(Ļt) = eiatāĻ2t2/2.Dabar panagrinesime charakteringosios funkcijos ir atsitiktinio dydĀŗiomomentu ryĀ²i.64 teorema. Jei egzistuoja atsitiktinio dydĀŗio Ī¾ m-asis momentas, taibet kokiam t egzistuoja m-oji charakteringosios funkcijos ĻĪ¾(t) iĀ²vestine. BetoĻĪ¾(t)
(m) = E[(iĪ¾)meitĪ¾]. (43)Charakteringajai funkcijai teisingas toks asimptotinis skleidinys:ĻĪ¾(t) =
mā
l=0
E[Ī¾l](it)l
l!+ rm(t)
(it)m
m!; (44)Ā£ia rm(t) ā 0, tā 0.Irodymas. Irodysime, kad pirmoji ĻĪ¾(t) iĀ²vestine egzistuoja. IĀ² charak-teringosios funkcijos apibreĀŗimo gauname
ĻĪ¾(t+ h) ā ĻĪ¾(t)
h) = E[eitĪ¾
(eihĪ¾ ā 1
h
)].90
Nagrinekime atsitiktinius dydĀŗiusĪ·h = eitĪ¾ Ā·
(eihĪ¾ ā 1
h
).Kai h yra maĀŗas teigiamas skaiĀ£ius |Ī·h| ā¤ 2|Ī¾|, tuo galime isitikinti pasin-audojĀ¦ analizinemis rodiklines funkcijos savybemis. Be to , kai h ā 0,
Ī·h(Ļ) ā iĪ¾eitĪ¾(Ļ) (kiekvienam Ļ ). PasinaudojĀ¦ dydĀŗiu konvergavimo irvidurkiu konvergavimo sĀ”ryĀ²iu gauname:E[Ī·h] ā E[iĪ¾eitĪ¾].is sĀ”ryĀ²is ekvivalentus (43) lygybei. (43) lygybĀ¦ bet kokiamm galima irodytipasinaudojus indukcija.Irodysime (44) lygybĀ¦. Pasinaudosime Tayloro formule: jei realiuju skai-Ā£iu aibeje apibreĀŗta realiĀ”sias reikĀ²mes igyjanti funkcija f(t), be to nulioaplinkoje ji m kartu diferencijuojama, tai Ā²ioje aplinkoje
f(x) =
mā1ā
l=0
f (l)(0)
l!xl +
f (m)(Īøx)
m!xm;Ā£ia Īø = Īø(x) yra skaiĀ£ius tarp 0 ir 1. PasinaudojĀ¦ Ā²ia formule funkcijoms
cosx ir sin x, gausime18eix = cosx+ i sin x =
mā1ā
l=0
(ix)l
l!+
(ix)m
m!(cos(Īø1(x)x) + i sin(Īø2(x)x)
=mā
l=0
(ix)l
l!+
(ix)m
m!(cos(Īø1(x)x) + i sin(Īø2(x)x) ā 1).Istatykime i Ā²iĀ” lygybĀ¦ x = tĪ¾ ir imkime abieju pusiu vidurkius. Gausime(44) lygybĀ¦, kurioje
rm(t) = E[(cos(Īø1(tĪ¾)tĪ¾) + i sin(Īø2(tĪ¾)tĪ¾) ā 1)].Nesunku isitikinti, kad rm(t) ā 0, kai tā 0. Teorema irodyta.Su atsitiktiniais dydĀŗiais galima sieti ivairius ivykius. Visu tokiu ivykiutikimybes galima reikĀ²ti naudojant atsitiktinio dydĀŗio pasiskirstymo funkcijĀ”.Dabar kiekvienam atsitiktiniam dydĀŗiui sukureme dar vienĀ” funkcijĀ” charak-teringĀ”jĀ” funkcijĀ”. Ar ji taip pat saugo visĀ” informacijĀ” apie atsitiktiniodydĀŗio tikimybes?18TiesĀ” sakant, kad isitikintume, jog Ā²i lygybe teisinga, turime pasidarbuoti; reikia atski-rai iĀ²nagrineti atvejus, kai m dalijasi iĀ² 4, dalijant iĀ² 4 duoda liekanas 1, 2, 391
Jeigu du dydĀŗiai turi tĀ” paĀ£iĀ” pasiskirstymo funkcijĀ”, tai ir ju charakte-ringosios funkcijos vienodos. Taigi kiekvienĀ” pasiskirstymo funkcijĀ” atitinkatam tikra charakteringoji funkcija.65 teorema. (Vienaties teorema.) Jeigu pasiskirstymo funkcijos yraskirtingos, tai ju charakteringosios funkcijos irgi skirtingos.is svarbus teiginys teigiamai atsako i anksĀ£iau suformuluotĀ” klausimĀ”.Tad pagal charakteringĀ”sias funkcijas galime atpaĀŗinti pasiskirstymo funkci-jas. TaĀ£iau irodyti Ā²iĀ” teoremĀ” yra gana nelengva. Norintiems suĀŗinoti, kaipjĀ” irodyti, teks pavartyti iĀ²samesnes tikimybiu teorijos knygas.42 pavyzdys. Puasono dydĀŗiaiTarkime Ī¾1, Ī¾2 yra nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai, pasiskirstĀ¦ pagalPuasono desnius: Ī¾1 ā¼ P(Ī»1), Ī¾2 ā¼ P(Ī»2). Pagal koki desni pasiskirsĀ£iusi jusuma?Tegu Ī¾ = Ī¾1 + Ī¾2. Tada Ā²io dydĀŗio charakteringoji funkcija yra tokia:ĻĪ¾(t) = ĻĪ¾1(t)Ā·ĻĪ¾2(t) = expĪ»1(e
itā1)Ā·expĪ»2(eitā1) = exp(Ī»1+Ī»2)(e
itā1).Matome, kad ĻĪ¾(t) yra desni P(Ī»1 + Ī»2) atitinkanti charakteringoji funkcija.Taigi Ī¾ ā¼ P(Ī»1 + Ī»2).43 pavyzdys. Normalieji dydĀŗiaiLygiai taip pat galime isitikinti, kad nepriklausomu atsitiktiniu dydĀŗiuĪ¾i ā¼ N (ai, Ļ
2i ), i = 1, 2, suma pasiskirsĀ£iusi pagal desni N (a1+a2, Ļ
21 +Ļ2
2).Pasiskirstymo funkciju silpnojo konvergavimo tyrimas vienas iĀ² svarbiausiutikimybiu teorijos rupesĀ£iu. Panagrinekime, kaip Ā²iai problemai tirti galimanaudoti charakteringĀ”sias funkcijas.Visu pirma, iĀ² silpnojo konvergavimo savybiu iĀ²plaukia toks teiginys.66 teorema. Jei Fn, F yra pasiskirstymo funkcijos, o Ļn(t), Ļ(t)jas atitinkanĀ£ios charakteringosios funkcijos ir Fn ā F, tai kiekvienam t,Ļn(t) ā Ļ(t), kai nā ā.Taigi silpnai konverguojanĀ£iĀ” pasiskirstymo funkciju sekĀ” atitinka kiekvien-ame taĀ²ke konverguojanti charakteringuju funkciju seka. Svarbu iĀ²tirti, ar iĀ²charakteringuju funkciju konvergavimo galima daryti iĀ²vadĀ” apie silpnĀ”ji pa-siskirstymo funkciju konvergavimĀ”. Priminsime, kad pasiskirstymo funkcijuseka Fn silpnai konverguoja tada ir tik tada, kai ribiniu funkciju aibejeR(Fn) yra vienintele funkcija, be to, Ā²i funkcija yra pasiskirstymo funkcija.Tarkime, jau nustateme, kad pasiskirstymo funkciju seka Fn yra santyk-inai kompaktiĀ²ka. Tada iĀ² Prochorovo teoremos iĀ²plaukia, kad aibe R(Fn)sudaryta tik iĀ² pasiskirstymo funkciju. Tegu pasiskirstymo funkcijos Ļn(t)konverguoja kiekviename taĀ²ke i tam tikrĀ” funkcijĀ” Ļ(t). Jeigu aibeje R(Fn)92
butu bent dvi skirtingos pasiskirstymo funkcijos F,G tai tam tikriems poseki-ams turetumeFnā
mā F, Fnāā
mā G.Charakteringosios funkcijos atitinkanĀ£ios pasiskirstymo funkcijas F,G butuskirtingos. PaĀŗymekime jas f, g. Tada kiekvienam t turetume
Ļnām(t) ā f(t), Ļnāā
m(t) ā g(t), mā ā.TaĀ£iau tada gautume prieĀ²taravimĀ” Ļ(t) = f(t) = g(t).Taigi, jei pasiskirstymo funkciju seka santykinai kompaktiĀ²ka, o charak-teringosios funkcijos konverguoja, tai aibe R(Fn) butu sudaryta tik iĀ² vienospasiskirstymo funkcijos, taigi pasiskirstymo funkciju seka silpnai konverguoja.Tad noredami suformuluoti silpnojo konvergavimo kriteriju vien tik charak-teringosiomis funkcijomis, turime nustatyti, kokia charakteringuju funkcijusavybe garantuoja atitinkamu pasiskirstymo funkciju sekos santykini kom-paktiĀ²kumĀ”. Pasirodo, kad ta savybe labai paprasta: charakteringuju funkcijuriba turi buti tolydi taĀ²ke t = 0 funkcija!TeoremĀ” apie pasiskirstymo funkciju silpnojo konvergavimo ir charakte-ringuju funkciju konvergavimo ryĀ²i dabar galime suformuluoti taip.67 teorema. (Tolydumo teorema.) Pasiskirstymo funkciju seka Fnsilpnai konverguoja i tam tikrĀ” ribinĀ¦ pasiskirstymo funkcijĀ” tada ir tik tada,kai atitinkamu charakteringuju funkciju seka Ļn(t) kiekviename taĀ²ke kon-verguoja i tam tikrĀ” funkcijĀ” Ļ(t), kuri yra tolydi taĀ²ke t = 0. Tokiu atveju
Ļ(t) yra ribinĀ¦ pasiskirstymo funkcijĀ” F atitinkanti charakteringoji funkcija.Tai labai naudinga, bet kartu ir sudetinga teorema. Tenka ir jĀ” palikti beirodymo.Kitame skyrelyje pamatysime, kaip Ā²i teorema palengvina svarbiausiutikimybiu teorijos teiginiu ribiniu teoremu irodymĀ”.2.11. Ribines teoremosKeletas tokiu teoremu suformuluota ankstesniuose skyreliuose. Tai teiginiaiapie tam tikru atsitiktiniu dydĀŗiu Ī¾n skirstiniu artejimĀ” prie ribinio skirstinio,kai nā ā.ApibreĀŗeme silpnojo konvergavimo sĀ”vokĀ” bei sukureme patogu irankisilpnajam konvergavimui tirti charakteringĀ”sias funkcijas. Tad dabar ir iribines teoremas galime kitaip paĀŗvelgti. Puasono teoremĀ” dabar sufor-muluosime taip.68 teorema. Tegu Ī¾n yra atsitiktiniai dydĀŗiai, Ī¾n ā¼ B(n, pn) ir npn ā Ī»,kai nā ā, Ā£ia Ī» > 0. Tada Ī¾n pasiskirstymo funkcijos silpnai konverguoja iPuasono desnio P(Ī») pasiskirstymo funkcijĀ”.93
Irodinedami Ā²io skyrelio teoremas remsimes viena pagrindiniu matema-tines analizes ribu. tai ta riba: jei zn kompleksiniu skaiĀ£iu seka turintibaigtinĀ¦ ribĀ”, t. y. zn ā z, kai nā ā, tai(1 +
zn
n
)n
ā ez, nā ā. (45)Irodymas. Prisiminkime, kaip uĀŗraĀ²oma pagal binomini desni B(n, p)pasiskirsĀ£iusio dydĀŗio charakteringoji funkcija; ji lygi (1 ā p+ peit)n. TaigiĻĪ¾n
(t) = (1 ā pn + pneit)n =(1 +
npneit ā npn
n
)n
.PasinaudojĀ¦ (45) su zn = npneit ā npn ā Ī»eit ā Ī» gaunameĻĪ¾n
(t) ā Ļ(t), Ļ(t) = eĪ»eitāĪ», nā ā,taĀ£iau Ļ(t) yra desnio P(Ī») charakteringoji funkcija. PasiremĀ¦ tolydumoteorema gauname iĀ²vadĀ”, kad pasiskirstymo funkcijos silpnai konverguoja idesnio P(Ī») pasiskirstymo funkcijĀ”. Teorema irodyta. Dabar prisiminkimedidĀŗiuju skaiĀ£iu desni. Ji irodeme nepriklausomiems atsitiktiniams dy-dĀŗiams, turintiems antruosius momentus. Ar antruju momentu egzistavimastikrai butinas?69 teorema. Tegu Ī¾1, Ī¾2, . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstĀ¦atsitiktiniai dydĀŗiai, turintys matematini vidurki a. Tada bet kokiam Īµ > 0
P(ā£ā£Ī¾1 + Ī¾2 + . . .+ Ī¾n
nā a
ā£ā£ > Īµ)ā 0, nā ā.Irodymas. PaĀŗymekime
Sn =Ī¾1 + Ī¾2 + . . .+ Ī¾n
nā a =
nā
m=1
Ī·m, Ī·m =Ī¾m ā a
n.DydĀŗiai Ī·m yra nepriklausomi ir vienodai pasiskirstĀ¦ E[Ī·m] = E[Ī¾m ā a] = 0.Tegu Ļ(t) yra atsitiktinio dydĀŗio Ī¾m ā a charakteringoji funkcija. Tada iĀ²(44) su m = 1 gauname
Ļ(t) = 1 + r1(t)(it), r1(t) ā 0, tā 0.TaigiĻĪ·m
(t) = Ļ( tn
)= 1 + r1
( tn
) itn,94
irĻSn
(t) = ĻĪ·1(t) . . . ĻĪ·n(t) =
(1 + r1
( tn
) itn
)n
ā e0, nā ā.TaĀ£iau funkcija f(t) ā” e0 = 1 yra iĀ²sigimusio atsitiktinio dydĀŗio Ī¾, P (Ī¾ =0) = 1 charakteringoji funkcija. Pagal tolydumo teoremĀ” Sn pasiskirstymofunkcijos Fn silpnai konverguoja i pasiskirstymo funkcijĀ”F (x) = I(0,+ā)(x). Tada
P(ā£ā£Ī¾1 + Ī¾2 + . . .+ Ī¾n
nā a
ā£ā£ > Īµ)ā¤ P (Sn < āĪµ/2) + P (Sn ā„ Īµ/2) =
Fn(āĪµ/2) + 1 ā Fn(Īµ/2) ā 0, nā ā.Teorema irodyta.Paprastai didĀŗiuju skaiĀ£iu desniu pasitikime ir daĀŗnai juo remiames. taidar vienas jo taikymo pavyzdys.44 pavyzdys. Monte Karlo metodasTarkime mums reikia suskaiĀ£iuoti kokios nors sudetingu konturu apri-botos aibes S plotĀ”. Tegu Ā²i aibe yra vienetinio kvadrato poaibis. Gal butneĀŗinodami nuo ko pradeti ememe tiesiog baksnoti aibĀ¦ tuĀ²inuko galu, kartaispataikydami, o kartais ne. Ir tai jau nebloga pradĀŗia!Tarkime turime galimybĀ¦ rinkti vienetinio kvadrato taĀ²kus A1, A2, . . .taip, kad pasirinkimai butu nepriklausomi, ir kiekvienĀ” kartĀ” visi taĀ²kaituretu vienodas galimybes buti parinkti. ApibreĀŗkime nepriklausomus at-sitiktinius dydĀŗiusĪ¾n =
1, jei An ā S,0, jei An 6ā S.Tada Ī¾n yra atsitiktiniai dydĀŗiai, turintys vidurki E[Ī¾n] = s(S), Ā£ia s(S)yra musu aibes plotas. Tada didĀŗiuju skaiĀ£iu desnis tvirtina, kad esantdideliam N labai tiketina, kad
Ī¾1 + Ī¾2 + . . .+ Ī¾NN
ā s(S).Taigi jei atsitiktinai baksnodami aibĀ¦ tuĀ²inuko smaigaliu iĀ² 10,000 kartu iaibĀ¦ pataikete 4,900 kartus, tai protinga manyti, kad s(S) ā 0,49.Nagrinedami Bernulio schemĀ”, kai bandymu skaiĀ£ius didelis, naudojomesMuavroLaplaso integraline teorema. Dabar jau Āŗinome pakankamai, kadgaletume jĀ” irodyti. Galime dar daugiau irodysime vienĀ” pagrindiniutikimybiu teorijos teiginiu centrinĀ¦ ribinĀ¦ teoremĀ”. MuavroLaplaso in-tegraline teorema yra atskiras Ā²ios teoremos atvejis.95
70 teorema. (Centrine ribine teorema.) Tegu Ī¾n yra nepriklausomiir vienodai pasiskirstĀ¦ atsitiktiniai dydĀŗiai, turintys vidurki E[Ī¾n] = a irdispersijĀ” D[Ī¾n] = Ļ2. Tada pasiskirstymo funkcijosFn(x) = P
( nā
m=1
Ī¾n ā a
Ļān
< x)silpnai konverguoja i standartinio normalinio desnio N (0, 1) pasiskirstymofunkcijĀ” Ī¦(x), t. y. su visais x
Fn(x) ā 1ā2Ļ
ā« x
āā
eāu2/2du, nā ā.Tarkime Ī¾n yra atsitiktinis dydis, igyjantis reikĀ²mĀ¦, lygiĀ” 1, jei Bernulioschemos n-asis bandymas baigesi sekme, ir igyjantis reikĀ²mĀ¦ 0, jei bandymasbuvo nesekmingas. ie dydĀŗiai tenkina centrines ribines teoremos sĀ”lygas.Jeigu Sn = Ī¾1 + . . . + Ī¾n yra sekmiu skaiĀ£ius, atlikus n bandymu, o p yrasekmes tikimybe viename bandyme, tai nesunku suskaiĀ£iuoti, kadFn(x) = P
( Sn ā npānp(1 ā p)
< x),taigi centrine ribine teorema tvirtina tĀ” pati, kĀ” ir MuavroLaplaso inte-graline teorema.ia suformulavome pati paprasĀ£iausiĀ” centrines ribines teoremos vari-antĀ”. IĀ² tikruju nera butina, kad visi atsitiktiniai dydĀŗiai butu vienodaipasiskirstĀ¦19Teoremos irodymas. Visi atsitiktiniai dydĀŗiai Ī¾m ā a yra vienodaipasiskirstĀ¦, turi vidurki lygu nuliui ir dispersijĀ”, lygiĀ” Ļ2. PaĀŗymekime jubendrĀ” charakteringĀ”jĀ” funkcijĀ” f(t). IĀ² (44) gauname, kad Ā²i charakteringojifunkcija uĀŗraĀ²oma taip:
f(t) = 1 ā Ļ2t2
2+ r2(t) Ā·
t2
2, r2(t) ā 0, kai tā 0.PaĀŗymekime Ī·m = (Ī¾m ā a)/(Ļ
ān), tada
ĻĪ·m(t) = f
( t
Ļān
)= 1 ā t2
2n+ r2
( t
Ļān
) t2
2Ļ2n.19r. Āŗymiai bendresnĀ¦ centrinĀ¦ ribinĀ¦ teoremĀ” J. Kubiliaus knygoje Tikimybiu teorijair matematine statistika, 1980, Vilnius, p. 264265.96
Kadangi Ī·m yra nepriklausomi atsitiktiniai dydĀŗiai irSn =
nā
m=1
Ī¾n ā a
Ļān
=
nā
m=1
Ī·m,tai Ā²ios sumos charakteringoji funkcija yraĻSn
(t) = ĻĪ·1(t) Ā· . . . Ā· ĻĪ·m(t) =
(1 ā t2
2n+ r2
( t
Ļān
) t2
2Ļ2n
)n
.PasinaudojĀ¦ (45) riba gausimeĻSn
(t) ā expā t2
2
, nā ā.TaĀ£iau funkcija Ļ(t) = expā t2
2 yra standartinio normalinio desnio N (0, 1)charakteringoji funkcija. IĀ² tolydumo teoremos gauname, kad Sn pasiskirstymofunkcijos, t. y. funkcijos Fn(x), visuose taĀ²kuose konverguoja i normaliniodesnio N (0, 1) pasiskirstymo funkcijĀ”.Teorema irodyta.
97
LiteraturaTikimybiu teorijos vadoveliu, monograju daugybe. Visuose vadoveliuosedestomi tie patys pagrindai. Kuris geresnis? Tas, iĀ² kurio galite dau-giausia iĀ²mokti. IĀ²mokti galime iĀ² tu knygu, kuriose destomi mumsnauji dalykai, ir be to suprantamai. Studijuoti reiĀ²kia aiĀ²kintis, ver-sti nesuprantamus dalykus suprantamais, aiĀ²kiais. Taigi ir geriausiojovadovelio titulĀ”, kaip kokiĀ” pereinamĀ”jĀ” sporto taurĀ¦, rimtai studijuo-jant turetu pelnyti vis kitos knygos.Tikimybiu teorijos ir matematines statistikos pradmenys1. Matematika 11, II dalis. TEV, Vilnius, 2002.2. Matematika 12, I, II dalys. TEV, Vilnius, 2003.Tikimybiu teorijos ir matematines statistika nematematiniuspecialybiu studentams3. A. Apynis, E. Stankus. Matematika. TEV, Vilnius, 2001.4. A. BakĀ²tys. Statistika ir tikimybe. TEV, Vilnius, 2006.5. V. ekanaviĀ£ius, G. Murauskas. Statistika ir jos taikymai, 1,2 t. TEV,Vilnius, 2002.6. A. emaitis. Trumpas tikimybiu teorijos ir matematines statistikoskursas. Vilnius: Technika. 2002.Akademiniai tikimybiu teorijos ir matematines statistikos kur-sai7. A. Aksomaitis. Tikimybiu teorija ir statistika. Kaunas: Technologija.2000.8. J. Kubilius. Tikimybiu teorija ir matematine statistika. Vilnius. 1996.Tikimybiu teorija Internete9. http://www.mathcs.carleton.edu/probweb/probweb.html10. http://books.google.com/ IeĀ²kokite: Probability98