天体物理学 Ｉ ： 授業の内容天文学は天体からの光を研究する学問です。
そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。
授業計画は、
Ａ．水素原子 Ｂ．エネルギー準位 Ｃ．熱平衡 Ｄ．線吸収 Ｅ．連続吸収
Ｆ．光のインテンシティ Ｇ．黒体輻射 Ｈ．等級 Ｉ．色等級図
Ｊ．光の伝達式 Ｉ Ｋ．光の伝達式 ＩＩ Ｌ．星のスペクトル
という順で進めます。
最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、
というのが目標です。
ＡからＥまでは光の吸収に関係する物理の話です。Ｆでは光の強さをきちん
と定義します。ＧからＩは光の強さを天文学でどう使うかを示します。ＪからＬは
光がガス中を伝わる様子を式に表わし、その式を解いて星のスペクトルを導き
ます。それでは、始めましょう。
Ｊ 輻射の方程式 （Ｉ）今回の内容
（Ｊ．１） 光学的深さ（ Optical Depth ） τ 二点間の吸収の強さを表わす用語です。（Ｊ．２） 源泉関数 (Source Function) ： S 輻射の方程式で媒質からの放射を表わす量です。 （Ｊ．３） 簡単な解 輻射の方程式の意味を理解するために簡単な例を調べます。（ J ．４） 色等級図 二つのバンドでの等級が得られた場合は縦軸を等級、横軸をカラーとしてプ ロットすると色等級図ができます。色等級図は天文学では極めて重要な道 具です。
2
授業の内容は下の HP に掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
Ｉ（ｘ）＋ｄＩ
Ｉ（ｘ）
ｄｘ
σ
Ｊ． 1 ． 光学的深さ（ Optical Depth ） τ
正面（面積Ｓ）から見ると
σ ：粒子断面積 ｎ：粒子数密度
？
総断面積 Σ
Σ ＝ σ ・ dN
＝ σ・ｎ・S・ｄｘ
被覆率 C
C=Σ/S ＝ σ ・ｎ・ｄｘ
ｄ I ＝－ I ・σ ・ｎ・ｄｘ
＝－ I ・ｄ τ
S
ｄｘ
S
σσ
σσ
σσσ
τ ＜＜１ τ= １
横から 正面から
横から 正面から
しかしｄ τ が大きくなると、粒子が重なって見えるケースが現れてきます。
例えば、粒子断面積の総計 Σ ＝ Ｓ の場合を考えてみましょう。つまり、ｄ τ ＝ Σ/ S ＝ｎ σ ｄｘ＝１の場合（右図）です。
この時の正面図には多数の重なり合いが見られます。そのために被覆率Ｃの有効率が低下し、Ｃ＜ｄ τ となります。
では、粒子の重なり合いを考慮した時Ｃはいくつになるのでしょう？
前頁でｄｘを十分に小さく取り、 Σ/ S ＝ｄ τ ＜＜１の場合（左図）を考えます。この場合粒子同士の重なりが無視できるので被覆率 C = dτ が成立します。
光学的深さ（ｏｐｔｉｃａｌ ｄｅｐｔｈ） τ
千切った紙片の大きさを小さくして行った時にＣはいくつになるでしょう？
実験から大体の値を推測して下さい。
左図のように面積Ｓの不透明な紙を板の上に置きます。この場合被覆率は１です。次に紙をＮ個の紙片に切って、板の上に散らします（右図）
Ｓ
（１） 紙片 1個の面積は σ ＝Ｓ /Ｎ です。第 1層の被覆率Ｃ１はいくつですか？透過率Ｔ１は？
右図のようにＮ個の紙片を仮想的にＮ層に分けて考えましょう。
光が上から来てまず第 1層を通過します。
光
（３） こうしてＮ枚の紙片を巻いた時の透過率 ＴＮ はいくつですか？
（２） 次に第 2層を通過します。この時、第 1、第 2層を合わせた被覆率Ｃ２は 2枚の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のＣ２、Ｔ２は幾つでしょう？
1枚重ならない 2枚
重なる 2枚
（４） Ｎを無限に大きくしていった時の ＣＮ、ＴＮ は幾つでしょう？
（５） 始めに用意する紙がＫ枚の時に、Ｎを無限に大きくしていった時の ＣＮ、ＴＮ は幾つになるでしょう？
こうして、光学的深さ τ と透過率 T、被覆率 Cの関係は、
T=exp（－ τ ）、 C=１－ T＝１－ exp（－ τ ） とわかります。
τ＜＜１のときは、 C=１－（１－ τ ）＝ τ で最初の結果が確認されます。
微分方程式による考え方
授業の最初に出てきた図に戻ると、
ｄ I=-Idτ だから、
I － I ｄτ
I
ｄｘ
eIIId
dI0,
右上の解に出てくる e ー τ が最初の導出にあった Tにあたります。
ここまでは途中の粒子は何の光も放出せず、もっぱら光を吸収するだけと仮定していました。
次に、粒子が吸収と同時に自身で光を放出する場合を扱います。
光学的深さ τ と被覆率 C
４ πε ｄＶ＝体積ｄＶからの輻射エネルギー発生率で 、 ε＝体積輻射係数 を定義します。 テキストによっては εに４ πをつけないので注意して下さい。
εを輻射の式にどう組み込むかを考えましょう。
ｄＸ
ｄΩ
輻射エネルギー発生率
ε
Ａ点
輻射強度を定義するため、いつものようにＡ点に微小面積ｄＳを立て、ｄＳを通ってｄ Ω に流れる輻射エネルギーの量ｄＥを計算しましょう。
そのため上の図で、断面積 ｄＳの後ろに、深さ ｄＸの箱を考えの中にもっと小さいｄｖの微小体積を考えます。この箱の体積は ｄＶ＝ｄＸ・ｄＳ、箱から放出される輻射エネルギーは ４ πε ｄＶ です。 しかし、このエネルギーは全立体角４ πにばら撒かれてしまいます。ｄＥに必要なのはその内ｄ Ω 方向に流れる部分だけです。
その割合は、ｄ Ω/ ４ πです。
ｄＳ
したがって、巾ｄＸの箱からｄ Ω 方向に流れていく放射エネルギーは、
ｄＥ＝４ πε ｄＶ（ｄ Ω/ ４ π）
＝ ４ πε ｄＳ・ｄＸ・（ｄ Ω/ ４ π）
＝ εｄＸ・ｄＳ・ｄ Ω
です。
輻射強度 I の定義は、
ｄＥ＝Ｉ・ｄＳ・ｄ Ω
でした。
二つの式を見較べると、Ｉ の方向に沿った微小区間 ｄＸ から Ｉ へ εｄＸ の寄与があることが判ります。つまり、
ｄＩ ＝ εｄＸ
です。
k dx ＝ dτ τ ＝ Optical Depth ( 光学的深さ )
ε/ k ＝Ｓ Ｓ＝ Source Function ( 源泉関数 ) で、 τ とＳを定義すると、
吸収と放射の両方を合わせて、
ｄ I = -I k d ｘ＋ εｄｘ
d I(x) /dx = - I k +ε
d I(x) /kdx = - I+ (ε/ k)
とし、
Ｉ（ｘ）
Ｉ（ｘ＋ｄｘ）
ここまでに、 吸収： ｄＩ＝－Ｉ σ ｄＮ＝ －Ｉ σ ｎ ｄｘ＝－Ｉ k ｄｘ＝－ I ｄ τ 放射： ｄＩ＝ εｄｘの二つの過程を見てきました。
)()()(
)()()(
SId
dI
SId
dI
輻射の基礎方程式
equation of radiative transfer
輻射の方程式
前頁の式では、簡単のため表示方式を指定していません。実際は周波数表示、波長表示、総エネルギー表示の式を一括して書いてあるので注意がいります。
)()()(
),()()(
),()()(
SId
dISI
d
dISI
d
dI
具体的には下の３式をまとめて書いたのが前頁の式です。
最初の総輻射強度に対する式で、 τ をどう定義するかは後で議論します。
)()()(
SId
dI
輻射の方程式の直感的な理解
を戻して、 ｄＩ ＝ －Ｉ ・ｄ τ ＋ Ｓ・ｄ τ
で改めて式の意味を考えましょう。まず、－Ｉ ・ｄ τ は ｄ τ≒１くらいで初めの I は消えてしまうことを意味します。そして、 Ｓ・ｄ τ は ｄ τ≒１くらいで初めの I がＳに置き換わってしまうことを意味します。
結局荒っぽい言い方をすると、τ ＝１のあたりまでの光が輻射強度に貢献しているのです。
τ ＝１
τ ＝１０
τ ＝１００
このあたりの放出光は殆ど届かない
このあたりの放出光が届く。
それを、さらに粗く、 τ ＝１ の源泉関数Ｓ（ τ ＝１）を見る、とも言います。
局所熱平衡の仮定： 各点での吸収係数 κ や放射係数 εが温度Ｔと密度 ρ
（ＬＴＥ） で決定されると考えます。
ε(x) ＝ εν (ρ,T) 、 κ ＝ κν (ρ,T)
すると、 Ｓ ν (τν) =εν (τν) /κν (τν) ＝Ｓ ν (ρ,T)
Ｓは温度Ｔと密度 ρ の関数とられます。
Ｊ．２． Source Function ( 源泉関数 ) ： S
Ｔ＝Ｔ（ｘ） ： Ｔが場所によって変わる一般的な環境を考えます。輻射の式によって、Ⅰはｄｘの間に、 Δ Ｉ＝－ [Iν (x) －Ｓ ν (ρ,T)] dτν の変化を受けます。
源泉関数Ｓはどう表せるのか？
1
(ρ,T)
０
I(x+dx) =I(x)- I(x)κ (ρ,T) dx＋ ε(ρ,T) ｄｘ
＝ I(x) － [I(x) －Ｓ (ρ,T)] dτ I(x)
吸収係数 κ や放射係数 εはイメージが湧きますが、源泉関数Ｓがどんなものか、いまいちピンときません。通常の環境でＳは何と考えればいいでしょう？
ｄｘ
それでは輻射強度を決めている源泉関数Ｓとは何なのでしょう？。
Ａ点
その他の点でも温度がＡ点と同じＴになった特別な状況（熱平衡）を考えてみます。
I(x)= Ｂ (T,ν) I(x+dx)= Ｂ (T,ν) － [ Ｂ (T,ν) －Ｓ ν (ρ,T)]dτλ
すると、Ⅰ ν( ｘ )はどこでも、Ⅰ ν ＝Ｂ (T,ν)
Ｓ ν ( ｘ )は前と同じ、
Ｓ ν ＝Ｓ ν(ρ,T)
I (x) ＝ I (x+dx)= Ｂ (T,ν) なので
Ｂ (T,ν) －Ｓ ν (ρ,T) ＝０
熱平衡状態では
Ｓ ν (ρ,T) ＝Ｂ (T,ν)
ところが、Ｓ ν (ρ,T) は系全体が熱平衡か
どうかには関係なく、そこがＬＴＥであれば
そこの (ρ,T) から決まるので、
一般に Ｓ ν (ρ,T) ＝Ｂ (T,ν) が成立します。
2
普通の状況（ＬＴＥ）では、源泉関数Ｓは黒体輻射強度Ｂだったのです。dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)= Ｂ λ[ Ｔ (τλ)] ： LTE の輻射の方程式
ｘ＝０
ｘ
Iλ (x=0) Iλ(x)
Ｊ．３．簡単な解
（ i ） ελ （ｘ）＝０ ：途中の物質がとても冷たい。ｘ＝０に光源 Iλ０が
あります。
または
光源 吸収体
0)0(
)()(
II
Id
dI
0)0(
)()(
IxI
xIkdx
xdI
ελ ＝０ つまり、 Sλ ＝０ なので、輻射の方程式は下のように書けます。
)(00
xdxkeIeIxI
吸収体入射光 出射光
τ
５
０
ｋ
Ｉ / Ｉ o
0 τ
下のグラフは、 1995 ApJ 450, 74-89 Forster, Rich and McCarthy による、 活動銀河 Ｍｒｋ２３１ のスペクトルです。
この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続（滑らかな）スペクトルが銀河内星間ガスにより吸収を受けています。
吸収を受けた光
連続光星間ガス
活動核Ｍｒｋ ２３１
波長５９８０Ａ（＝０．５９８ μｍ）の吸収線はＭｒｋ２３１星間ガス中のＮａ原子によるもので、Ｄ線と呼ばれます。
吸収線の深さから Ｍａｒ２３１銀河内のＮａ原子のコラム密度 N を求めましょう。
５９７０ Ａ
５９８０ Ａ
５９９０ Ａ
１
０
０ .５
λ
吸収の強さ＝
)exp()exp(0
NI
I の関係が使えそうです。
(i) の例１： ＡＧＮ銀河のＮａガス
吸収線中央では ( Ｉ / Ｉｏ ) = e ｘｐ（ー τ ）＝０．５ τ ＝０．７
Ｎａ原子のコラム密度を Ｎ （ｃｍ－２） とすると、 τ ＝Ｎ σ でした。
したがって、Ｎ＝０．７ / （ １．２２ × １０－２３ ）＝５．８ × １０２２ / ｃｍ２
この値は、詳しいラインフィットの手法で求めたＮａコラム密度とファクター
２程度しか違わいませんでした。
そのためには、 D 線中央部での Na 原子吸収断面積 σ が必要です。
Ｄ線中央の吸収断面積は σ ＝ ( ２ . ２ × １０ －２３ /D ) cm2 で与えられます。 ここに D は吸収線の幅を A （オングストローム）で表した値です。グラフから読み取ると Ｄ≒１．８Ａです。ですから、 σ ＝１．２２ × １０－２３ cm2 です。銀河では D は星間ガスの運動による Na 原子の視線速度のばらつきを表わします。
実験室では D は Na ガスの温度に対応し、 Ｄ＝１．１ × １０－３ √Ｔ （Ａ） です。
グラフから読み取ると Ｄ≒１．８Ａです。ガス温度と考えると Ｔ ＝１．６４ × １０６ K となりますが、星間ナトリウムがそんなに高い温度で中性原子でいるわけはありません。ガス運動速度のばらつき V と考えると、 V/c=1.8A/5980A, V=90km/sec です。
x=0 ｘ
I(x,λ)I=0
簡単な解（ ii ） I(x=0) = 0
S(τλ) ＝一定
天体の向こう側からは光が来ない。簡単のため、 Sλ(τλ) ＝一定と仮定。
0)0(,)()()( 0
ISSId
dI
この式の解は、 dtetSI t )(
0)()(
0)( SS 上の仮定のように
＝一定の場合は、
eSeeSdteeSI t 11)( 00
0
0
０ １ ２ ３
eSI 1)( 0
I
0S
右のグラフから分かるように、
)1()(
)1()(0
0
SI
SI
ＬＴＥが成立 [ つまり S(τλ)=Bλ(T) ]
の場合には上の式の S を B に置き換えて
)1()()(
)1()()(
TBI
TBI
光学的に薄い（ τ ＜＜１）星雲では、星では吸収線が見える波長に、しばしば輝線が現れます。例えば、温度１０，０００ＫのＡ型星では0.656μ に強いＨ α 吸収線が見られますが、温度の同じ１０，０００Ｋの放射星雲からは強いＨ α輝線が観測されています。
（ ii ）の例１： 放射星雲の輝線
G型星スペクトル
Ｈ α ＝６５６nm
Ｈ β ＝４８６nm
吸収線
惑星状星雲スペクトル
Ｈ α ＝６５６ nm
Ｈ β ＝４８６ nm
輝線
この現象は τ ＜＜１では、Ｉ＝ τ ・Ｂ となることから容易に理解できます。
吸収の強い波長では、光学的にアクティブで他より速く黒体輻射に達しようとしていると考えると理解しやすいです。
Ｈ α線
Ｈ β線
これが、星雲に輝線が見つかる理由です。
では星ではなぜ吸収線になるのか？
それは次回。
星雲の光学的深さはラインで τL ＝Ｘ・ｋ L 、 連続光の所で τ Ｃ＝Ｘ・ｋＣ と大きく異なります。しかし星雲は希薄な為、ラインでさえ τL <<１です。
すると、例 (2) で見たように、星雲からの輻射強度は、
Ｉ L ＝ τL ・Ｂ（Ｔ）
ＩＣ ＝ τ Ｃ・Ｂ（Ｔ）
となります。
ｋ
λ
λL λCX
τL ＝Ｘ・ｋ Lτ Ｃ＝Ｘ・ｋＣ
Ｔ
星雲
Ｉ
λ
λL λC
無限に広がる２枚の透明な板の間に、温度Ｔ＝５０００Ｋのガスが詰まっています。表面に垂直な方向のガスの光学的深さ τ （ λ,θ ＝０ ° ）は下図のようで、波長 λ ＝ 0.6μｍから 0.7μｍの吸収帯では両側波長での１０倍吸収が強くなっています。
τ （ λ 、 θ ＝０ ° ）１
0.5
0.1
00.6 0.7 10.3
λ （ μｍ）
θ
垂直から θ の方向に対する光学的深さを表にすると、
θ （ ° ） ０ ３０ ６０ ８０ ８７
τ （吸収帯） 1.000 1.155 2.000 5.759 19.107
τ( 連続光 ) 0.100 0.116 0.200 0.576 1.911
（ ii）の例２： ガス板からの輻射スペクトルの方向による変化
θ ＝０，３０，６９ ° では、
λ ＝０．６－０．７ μｍの
吸収帯が逆に強い放射帯
として現れます。
θ ＝８０，８７ ° になると、
吸収帯の τ＞＞１となり、
Ｂ（Ｔ＝５０００Ｋ）で頭打ち、
一方、連続光は τ ーー＞１
でＢ（Ｔ）に近づくので相対
的にバンドは弱くなります。
)(),(exp(1),( TBI
m/2W/m
exp
14388.1
15
810191.1),(
4m
m
T
TB
λ μ μ＝０．６ ｍ－と０．６ ｍ＋の輻射強度角度分布
0.E+00
5.E+06
1.E+07
-2.E+07 -1.E+07 -5.E+06 0.E+00 5.E+06 1.E+07 2.E+07
λ ＝０．６＋ λ ＝０．６－
下に示すのは、 λ ＝０．６ μｍ、吸収帯の短波長端での連続光と放射バンドの
Ｉ（ θ 、 λ ＝０．６ μｍ－） と Ｉ（ θ 、 λ ＝０．６ μｍ + ）の角度分布です。
θ→９０ ° になるにつれ、バンドでも連続光でも、Ｉ→Ｂ（Ｔ）に接近していくことが分かります。
θ
Ｉ（ θ 、放射バンド）
Ｉ（ θ 、連続光）
（ ii）の例３： 町の灯り黒体表面での輻射強度は等方的です。すなわち、黒体表面をどのような角
度から見ても同じ輝き（表面輝度）に見えます。それは、面表面での輻射強度が等方的だからです。
Ａ点
ＩＩ
ＩＩ
θ
Ａ点から黒体表面上の点への角度 θ を図のようにとります。Ａ点から θ 方向を見た時の輻射強度をＩ（ θ ）としてグラフを描くと下のように Ｉ（ θ ）＝一定の線となります。
θ０ ° ９
０ °
Ｉ（ θ）
仮にそのような板を写真に撮ると下のようになるでしょう。
そのような等方的に光る板のモデルとして、板の上に一様に電球を並べます。電球を十分小さくして、並べ方を密にすれば一様に光る板ができそうです。
下の写真はグリフィス公園から見たロサンゼルスの夜景です。一様に光っているというより、地平線に近づくに連れて表面輝度が増加しているように見えませんか？
平らな面上に、Ｗ＝１００ワットの電球を ｎ＝０． 1個 / １ｍ２ の割合で並べます。この面を高さＨ＝５０ｍの公園Ｇから眺めます。真下から角度 θ の方向を見た時の輻射強度 Ｉ（ θ ）を求めましょう。
ｄω
Ｇ
Θ
ｄＳ
Ｈ
Ｒ＝Ｈ /cosθ
（１） 図のようにＧから θ の方向に ｄ ω の立体角をとると、面上での面積ｄＳ はいくつになりますか？そこにある電球の数ｄＮはいくつですか？
（２） Ｇ点でｄ ω 方向と垂直に小面積ｄｓを立てます。ｄＳにある出力Ｗの電球の光の内、ｄｓを通過するエネルギーはいくつですか？
（３） ｄＳ内のｄＮ個の電灯の光の内ｄｓを通過するエネルギーｄＰはいくつになるでしょう？
Ｗ
ｄｓＲＨ
Ｇ
（４） ｄＰの式から、Ｉ（ θ ）をＷ、ｎ、 θ の関数として表わして下さい。
（５）Ｗ、ｎの数値を使い、 Ｉ（ θ ）をグラフにして下さい。
（ ii）の例４： 花火下の花火の写真を見ると、中央よりも縁の方が火の粉が多いことに気付きま
す。
左側の花火の写真を中心から等間隔のリングにわけてその中の火の粉の数を数えます。花火の半径＝Ｒ＝５としました。
中心距離 数 面積 面密度
０．５ ４ １ π １．３
１．５ １９ ３ π ２．０
２．５ １９ ５ π １．２
３．５ ４３ ７ π ２．０
４．５ １０２ ９ π ３．６
火の粉が半径Ｒ＝５の表面に一様に面密度ｎで分布しているというモデルを立て、それを遠方から見た時の面密度 Ｎ を考えると、
ｄｓ
ｒ
ｄｒ
見かけ（投影）面積はｄＳ＝２ πｒｄｒ だから
ｄｓ
22
22 44rR
rdrRrRRdds
見かけ半径ｄｒに対応する表面積は
2222
24
2
1
rR
Rn
rR
rRn
rdS
dsnN
半径５内の火の粉の総数はＴ＝１８７だから、４ π・Ｒ２・ｎ＝１８７ でモデルと測定の火の粉のより総数
を揃えると、222222222 5
1
52
187
2
1
4
22
rR
T
rRR
T
rR
R
rR
RnN
輝度温度（ brightness temperature ） Tb
Ⅰ（ ν ）＝Ｂ（Ｔｂ， ν ）
： Ｔｂの定義
ν
Ｂ（Ｔ
２， ν ）
Ｂ（Ｔ
１， ν ）
Ⅰ（ ν ）
Ⅰ（ ν ）
ν Ａ
ν Ｂ
Ｔｂ（ ν Ｂ）＝Ｔ１
Ｔｂ（ ν Ａ）＝Ｔ２
したがって、周波数 ν （または波長 λ ）毎に輝度温度Ｔｂは変わります。輝度温度が実際に使われるのは
（１） Reyleigh-Jeans 近似が成立し、（主に電波波長域）
（２）光学的深さ τ ＜＜１
つまり、希薄な星雲の電波観測が相当します。
星雲の温度＝ Tc とすると、 （２）より、 Ｉ（ ν ）＝ τν Ｂ（Ｔ c, ν ）
Ｔ b= τνTc
2
2
2
3 2
1exp
12),(
c
kT
kThc
hTB C
C
C
つまり、輝度温度 Tb は星雲の実際の温度に光学的深さ τ をかけた値であす。
τν は ν により変わるので Tb は周波数 ν により変化することに注意して下さい。
(1)より、
したがって、2
2
2
2 22)(
c
kT
c
kTI BC
Io(λ) I(λ)
I(x,λ) = Io(λ) exp ( －∫ κ(λ)ρ(x)dx ) = Io(λ) exp [－ τλ ] 解(i)
I(x,λ) =∫S(t) exp{－ (τλ － t)} dt 解 (ii)
をあわせて、
I (λ) = Io(λ) exp[－ τ(x,λ)]＋∫ S(τ1λ)exp{－ (τλ － τ1
λ)} dτ1λ
= Io(λ) exp[－ τλ] + Bλ(T)[1－ exp(－ τλ)]
簡単な解（ iii ） I(x=0) =Io(λ)
Sλ (x)＝ Bλ(T)
光源 途中の吸収・放射帯
光源と途中の吸収・輻射帯の両方
τλ ＜＜１の場合には、
Ｉ (λ) ＝ Io(λ)（１－ τλ ）+ Bλ(T)τλ
＝ Io(λ) + [Bλ(T) － Io(λ) ]τλ
例： ＣａＩＩのＫ線の中心部に現れる彩層(chromosphere)輝線
Teff
30,000
9,800
7,300
Teff
6,400
6,250
5,950
Teff Tchrom （高温）
彩層恒星大気
スペクトル
（１） 紙片 1個の面積は σ ＝Ｓ /Ｎ です。第 1層の被覆率Ｃ１はいくつですか？透過率Ｔ１は？
Ｃ１ ＝ σ/ Ｓ＝１ /Ｎ
Ｔ１ ＝１－Ｃ１ ＝ １－ ( １ /Ｎ）
右図のようにＮ個の紙片を仮想的にＮ層に分けて考えましょう。
光が上から来てまず第 1層を通過します。
光
（３） こうしてＮ枚の紙片を撒いた時の透過率 ＴＮ はいくつですか？
Ｃ２ ＝Ｃ１＋Ｔ１ ・Ｃ１ ＝ （１ /Ｎ） ＋ [1- （１ /Ｎ） ] （１ /Ｎ）＝１－ [1- （１ /Ｎ） ] ２
または、 Ｔ２ ＝Ｔ１・Ｔ１ ＝ [1- （１ /Ｎ） ] ２ Ｃ２＝１－ [1- （１ /Ｎ） ] ２
ＴＮ＝ [1- （１ /Ｎ） ]N
（２） 次に第 2層を通過します。この時、第 1、第 2層を合わせた被覆率Ｃ２は 2枚の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のＣ２、Ｔ２は幾つでしょう？
1枚重ならない 2枚
重なる 2枚
ＴＮ＝ lim [1- （１ /Ｎ） ]N ＝１ /ｅ
C Ｎ＝ 1－ １ /ｅ
（４） Ｎを無限に大きくしていった時の ＣＮ、ＴＮ は幾つでしょう？
紙片 1個の面積は σ ＝Ｋ・Ｓ /Ｎ なので、
Ｃ１ ＝ σ/ Ｓ＝Ｋ /Ｎ、 Ｔ１ ＝１－Ｃ１ ＝ １－ ( Ｋ /Ｎ）
ＴＮ＝ lim [1- （Ｋ /Ｎ） ]N ＝（１ /ｅ）Ｋ＝ｅーＫ
（５） 始めに用意する紙がＫ枚の時に、Ｎを無限に大きくしていった時の ＣＮ、ＴＮ は幾つになるでしょう？
平らな面上に、Ｗ＝１００ワットの電球を ｎ＝０． 1個 /ｍ２ の割合で並べます。この面を高さＨ＝５０ｍの公園Ｇから眺めます。真下から角度θ の方向を見た時の輻射強度 Ｉ（ θ ）を求めましょう。
ｄω
Ｇ
Θ
ｄＳ
Ｈ
Ｒ＝Ｈ /cosθ
（１） 図のようにＧから θ の方向に ｄ ω の立体角をとると、面上での面積ｄＳ はいくつになりますか？そこにある電球の数ｄＮはいくつですか？ｄＳ＝ [Ｒ２ｄ ω] / cosθ 、 Ｒ＝Ｈ / cosθなので、ｄＳ＝ [ Ｈ２ / cos ３ θ] ｄ ωｄＮ＝ [ ｎ・Ｈ２ / cos ３ θ] ｄ ω
（２） Ｇ点でｄ ω 方向と垂直に小面積ｄｓを立てます。ｄＳにある出力Ｗの電球の光の内、ｄｓを通過するエネルギーｄｅはいくつですか？電球からｄｓを見こむ立体角は、ｄ Ω ＝ｄｓ /Ｒ２＝ｄｓ [cos ２ θ/Ｈ２ ]なので、ｄｅ＝Ｗ [ ｄ Ω/4π] ＝ｄｓ [cos ２ θ/ Ｈ２ ] ・Ｗ /4π
（３） ｄＳ内のｄＮ個の電灯の光の内ｄｓを通過するエネルギーｄＰはいくつになるでしょう？
ｄＰ＝ｄｅ・ｄＮ ＝ｄｓ [cos ２ θ/ Ｈ２ ] ・ [Ｗ /4π] ・ [ ｎ・Ｈ２ / cos ３ θ] ｄ ω ＝ [Ｗ /4π] ・ [ ｎ / cosθ] ・ｄｓ・ｄ ω
Ｗ
ｄｓＲＨ
Ｇ
（４） ｄＰの式から、Ｉ（ θ ）をＷ、ｎ、 θ の関数として表わして下さい。ｄＰ＝Ｉ・ ｄｓ・ｄ ω なので、前の問から、Ｉ（ θ ）＝ [Ｗ /4π] ・ [ ｎ / cosθ]
Ｉ（ θ ）＝ [Ｗ /4π] ・ [ ｎ / cosθ] ＝ [ １００・０．１ / 4π]/ cosθ W m-2/str ＝ [０．８ / cosθ] W m-2/str W m-2/str ２
１
０ ０ ° ９０ ° θ
（５）Ｗ、ｎの数値を使い、 Ｉ（ θ ）をグラフにして下さい。
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