Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом
Галеркина
И Н С Т И Т У Т П Р И К Л А Д Н О Й М АТ Е М АТ И К И И М . М . В . К Е Л Д Ы Ш А
Р О С С И Й С К О Й А К А Д Е М И И Н АУ К
Ладонкина М.Е., Неклюдова О.А., Тишкин В.Ф.
Международная молодёжная конференция – школа«СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ»
22-27 августа 2012 года, Дубна
План доклада
Разрывный метод Галеркина для уравнений Эйлера.Лимитеры.Тестовая задача.
Метод Галеркина с разрывными базисными функциями (РМГ) для уравнений Эйлера
Рассматрим уравнения одномерной идеальной газовой динамики
( )0
U F U
t x
E
uU
upE
pu
u
F
)(
2
2
2uE
u
p
( 1)p
Эти уравнения должны быть дополнены начальными и граничными условиями, вид которых зависит от конкретной задачи, и будут конкретизированы далее.
(1)
(2)
- плотность- скорость- удельная внутренняя
энергия- давление
- полная энергия на единицы объема
- показатель адиабаты
приближенное решение системы уравнений (1) будем искать в виде
проекции вектора консервативных переменных
на пространство полиномов P(х) степени р
в базисе с зависящими от времени коэффициентами.
1/2 3/2 1/20 ...
Nx x x L 1/2 1/2
( )i i ix x x
0
0
0
( , ) ( ) ( ),
( , ) ( ) ( ),
( , ) ( ) ( ),
p
h k kk
p
h k kk
p
h k kk
x t t x
u x t u t x
E x t E t x
),,( EuU
( )k x
(3)
Приближенное решение системы (1) в разрывном методе Галеркина ищется как решение следующей системы
( , ) ( ) ( ( , )) ( )
i i
t h k h x kI I
U x t x dx F U x t x dx
1/2 1/2 1/2 1/2( ) ( ) 0l ri k i i k iF x F x
где i = 0,…,N, k = 0,1,2.
( , ) ( , ), ( , ), ( , )T
h h h hU x t x t u x t E x t
1/2 1/2( ), ( )l rk i k ix x
1/2 1/2,i iF F
1/2 1/2 1/2
1/2 1/2 1/2
( ( , ), ( , ))
( ( , ), ( , ))
l ri h i h i
l ri h i h i
F U x t U x t
F U x t U x t
для которых выполнено условие согласования:
( ( , ), ( , )) ( ( , ))h i h i h iU x t U x t F U x t
- вектор решения
- дискретные потоки, являющиеся монотонными функциями двух переменных
1/2 1/2,i ix x
- базисная функция с номером k на интервале iI , вычисленная в точках
Численные потоки
Поток Русанова-Лакса-Фридрихса
1/2 1/2
1/2 1/2 1/2 1/2
1/2 1/2 1/2 1/2
( ( , ), ( , ))
1( ( , ) ( ( , )) ( ( , ) ( , ))) ,
2
max , ,
l rh i h i
l r r lh i h i h i h i
l l r ri i i i
i
U x t U x t
F U x t F U x t A U x t U x t
A u c u c
1/2iu
1/2ic
РусановВ.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями. 1961, Журнал вычислительной математики и математической физики, т.I, №2, 267- 279.
- скорость
- скорость звука
ЛимитерыОграничитель (лимитер) представляет собой некоторый оператор, действующий на функцию приближенного решения на каждом интервале 2/12/1 , ii xx
Обозначим действие этого оператора на функцию u через hu
для линейной функции 0 1i
i
x xu u u
x
можно записать как 0 1 ,ih
i
x xu u u
x
1 1/2 0 1/2 0 0 1/22 ( ) , ,i i i i i iu minmod u x u u u u u
- среднее интегральное значение приближенного решения на интервале 0uiI
0 1 0 0 1 01/2 1/2,
2 2i i i i
i iu u u u
u u
1 11
min ,..., , ( ) ... ( ),( ,..., )
0, .
N NN
s a a если s sign a sign aminmod a a
иначе
где
Ограничитель Кокбурна
1 11 1 0 0 0 0min mod , ,i i i i iu u u u u u
1( ,..., )Nminmod a a 1( ,..., )Nminmod K a a
1 1/2 0 1/2 0 0 1/22 ( ) , ,i i i i i iu minmodK u x u u u u u
1 1 1( ,..., ) ( ) (| |,...,| |)N NminmodK a a sign a min a a
Kh
вместо функции используется функция
Обозначим его
.
Ограничитель Колгана
Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. 1972, Ученые записки ЦАГИ. т. 3, №6.,С. 68 – 77.
В случае лимитирование прекращается,
Коэффициент соответствует k- ой производной решения, и он сравнивается с альтернативной аппроксимацией k-ой производной через правую и левую разности (k-1)-ой производной.
Начиная со старших коэффициентов k=p, заменим на
«Моментный» лимитер характеризуется тем, что сохраняет максимально возможный порядок схемы.
2
0 1 21
( ) 2 6 ,2
i i
i i
x x x xu x u u u
x x
2 1 2
0 0 1 2, , .12 2 6
u u uu u u u
iku
iku
Решение лимитируется путем лимитирования его коэффициентов.
1 11 1 1 1, , .i i i i i i
k k k k k k k ku minmod u u u u u
i ik ku u
i ik ku u 1,i
ku
i ik ku u
Лимитер срабатывает, если
иначе лимитируется коэффициент
продолжая до тех пор, пока либо k=1,либо выполнится условие
.
«Моментный» ограничитель
Для применения данного лимитера перейдем к ортогональной системе базисных функций.
Lilia Krivodonova, Limiters for high-order discontinuous Galerkin methods, 2007, Journal of Computational Physics, vol. 226,pp. 879-896.
В случае нелинейных систем следует применять лимитеры к характеристическим переменным.
Лимитер Кокбурна
~
1 1/2 0 1/2 0 0 1/22 ( ) , , ,i i i i i ij j j
j
Lu minmod L u x u L u u L u u
Моментный лимитер
~
1 11 1 1 1, , , 1,2,3i i i i i i
k k k k k k k kj j j
j
Lu minmod Lu L u u L u u j
где L - матрица левых собственных векторов Якобиана системы (1), вычисленная в центральной точке хi интервала Ii , j-номер уравнения в системе.
После лимитирования возвращаемся к исходным консервативным переменным, умножая результаты лимитирования на матрицу, составленную из правых собственных векторов Якобиана системы (1)
~1
1 1u L Lu
.
Схема Рунге-Кутта третьего порядка .
*
** * *
1 ** **
( )
3 1 1( )
4 4 4
1 2 2( )
3 3 3
n nh
nh
n nh
U U tL U
U U U tL U
U U U tL U
.
Исследование влияние различных лимитирующих функций на порядок точности решения разрывным методом Галеркина
2
2 22 2
1 ,
1, ,
l
l xe x l
иначе
[ 1,1], 0.2, 5 / 3x l
2( 1) 2 ( 1)
, ,1 2
uu E
Распределение плотности в начальный момент выберем в виде бесконечно гладкой функции:
Остальные гидродинамические параметры определяются из условий постоянства энтропии и инварианта
R
Начальные профили плотности, импульса и полной энергии:
( 1, ) 1, ( 1, ) 10, ( 1, ) 6,
(1, ) 1, (1, ) 10, (1, ) 6.
t u t E t
t u t E t
На границах области были заданы постоянные граничные условия:
Семейство характеристик, на которых инварианты постоянны в простой волне является прямыми линиями,
и это дает возможность записать решение в неявном виде.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М .Гидродинамика, Теоретическая физика: Т.VI. –М.: Физматлит, 2001.
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( , ) ( ( ( , ) ( , )),0) ( ( ( ) ( ))),
( , ) ( ( ( , ) ( , )),0) ( ( ( ) ( ))),
u x t u x t u x t c x t u x t u x c x
c x t c x t u x t c x t c x t u x c x
0 0 0( ( ) ( )),x x t u x c x
12 1( , )
( , )( 1)
c x tx t
Решение данной задачи сохраняет гладкость до того момента времени, пока характеристики, выпущенные из разных точек, не начнут пересекаться.
0 0 0
0 0 0
( ,0) ( ,0)
( ,0) ( ,0)
x x t u x c x
x x dx t u x dx c x dx
2 2 2
32 1/2 1/2 2
( ),
2 ( 1) ( 1) ( )( ( ) 1)
lt
l
для 53
2/3 2 2 2
2
9 ( )( )
16 10 ( ( ) 1)
lt
l
Вычислим момент возникновения ударной волны
Из графика видно, что момент образования ударной волны приблизительно равен T = 0.09
1
2
4
1* *
1
1 2* *
1
1/41 4* *
1
T T
L
T T
L
T T
L
U U U U dx
U U U U dx
U U U U
*2
*2 /2
log, 1,2,4.
logi
i
Th
L
Th
L
U Up i
U U
Вычисление порядка точности метода.
Таблицы