材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
1
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
§5-6 梁内的弯曲应变能
§5-5 梁的刚度校核 · 提高梁的刚度的措施
*§5-4 梁挠曲线的初参数方程
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2
§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面 xy 内弯曲时其原来的轴线 AB 将弯曲成
平面曲线 AC1B 。梁的横截面形心 ( 即轴线 AB 上的点 ) 在
垂直于 x 轴方向的线位移 w 称为挠度 (deflection) ,横截面对其原来位置的角位移称为横截面的转角 (angle of rotati
on) 。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
3
弯曲后梁的轴线——挠曲线 (deflection curve) 为一平坦而光滑的曲线,它可以表达为 w=f(x) ,此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直,故横截面的转角也就是挠曲线在该相应点的切线与 x 轴之间的夹角,从而有转角方程:
xfw tan
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
4
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度 ( 挠曲线曲率的大小 ) 有关,也与支座约束的条件有关。图 a 和图 b 所示两根梁,如果它们的材料和尺寸相
同,所受的外力偶之矩 Me 也相等,显然它们的变形程度
( 也就是挠曲线的曲率大小 ) 相同,但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。
第五章 梁弯曲时的位移
(a) (b)
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
5
在图示坐标系中,挠度 w 向下为正,向上为负;
顺时针转向的转角为正,逆时针转向的转角为负。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
6
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出
在 §4-4 中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
EI
M
1
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
7
在横力弯曲下,梁的横截面上除弯矩 M=M(x) 外,还有
剪力 FS=FS(x) ,剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生
影响。但工程上常用的梁其跨长 l 往往大于横截面高度 h
的 10 倍,此时剪力 FS 对梁的变形的影响可略去不计,而
有
注意:对于有些 l/h>10 的梁,例如工字形截面等直梁,如同在核电站中会遇到的那样,梁的翼缘由不锈钢制作,而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作,此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。
EI
xM
xx
1
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
8
从几何方面来看,平面曲线的曲率可写作
2/321
1
w
w
x
式中,等号右边有正负号是因为曲率 1/ 为度量平面曲线( 挠曲线 ) 弯曲变形程度的非负值的量,而 w" 是 = w' 沿x 方向的变化率,是有正负的。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
9
第五章 梁弯曲时的位移
再注意到在图示坐标系中,负弯矩对应于正值 w" ,正弯矩对应于负值的 w" ,故从上列两式应有
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线,上式中的 w2 与 1 相比可略去,于是得挠曲线近似微分方程
EI
xM
w
w
2/321
EI
xMw
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
10
Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
后进行积分,再利用边界条件 (boundary condition) 确定积分常数。
xMwEI
第五章 梁弯曲时的位移
EI
xMw
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
11
当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时 ( 例如图中所示情况 ) 有
1d CxxMwEI
第五章 梁弯曲时的位移
21dd CxCxxxMEIw
以上两式中的积分常数 C1 ,
C2 由边界条件确定后即可得出梁
的转角方程和挠曲线方程。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
12
边界条件 ( 这里也就是支座处的约束条件 ) 的示例如下图所示。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
13
若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时,各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时,都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数,除利用支座处的约束条件(constraint condition) 外,还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件 (continuity condition) 。这两类条件统称为边界条件。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
14
例题 5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程,
并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max 。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
15
解:该梁的弯矩方程为
挠曲线近似微分方程为
以 x 为自变量进行积分得
xlFxM
xlFxMwEI
1
2
2C
xlxFwEI
于是得 00 21 CC ,
该梁的边界条件为:在 x=0 处 , w =00w
第五章 梁弯曲时的位移
21
32
62CxC
xlxFEIw
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
16
从而有 转角方程EI
Fx
EI
Fxlw
2
2
挠曲线方程EI
Fx
EI
lFxw
62
32
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值,以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
17
可见该梁的 max 和 wmax 均在 x=l 的自由端处。于是有
EI
Fl
EI
Fl
EI
Flww lx 362
|333
max
22
|222
max EI
Fl
EI
Fl
EI
Fllx
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
18
由此题可见,当以 x 为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时,所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的:
001 | EIwEIC x
002 | EIwEIwC x
此例题所示的悬臂梁, 0=0 , w0=0 , 因而也有 C1=0 , C2=0 。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
19
两式中的积分在坐标原点处 ( 即 x=0 处 )总是等于零,从而有
001 | EIwEIC x
002 | EIwEIwC x
事实上,当以 x 为自变量时
1d CxxMwEI 21d]d[[ CxCxxxMEIw
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
20
思考 : 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线
方程和转角方程。积分常数 C1 和 C2 等于零吗?
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
21
例题 5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程,并
确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max 。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
22
解:该梁的弯矩方程为
挠曲线近似微分方程为
以 x 为自变量进行积分得:
22
22
1
2xlx
qqxx
qlxM
2
2xlx
qxMwEI
1
32
322C
xlxqwEI
21
43
1262CxC
xlxqEIw
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
23
该梁的边界条件为在 x=0 处 w=0 ,在 x=l 处 w=0
于是有 01262
| 0 1
44
2
lC
llqEIwC lx及
即 024 2
3
1 Cql
C ,
从而有 转角方程 323 4624
xlxlEI
qw
挠曲线方程 323 224
xlxlEI
qxw
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
24
根据对称性可知,两支座处的转角 A 及 B 的绝对值相
等,且均为最大值,故
最大挠度在跨中,其值为
EI
qlBA 24
3
max
EI
qlllll
EI
lqww lx 384
5
222
24
2|
4323
2max
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
25
例题 5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程,
并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max 。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
26
解:约束力为
两段梁的弯矩方程分别为
为了后面确定积分常数的方便,右边那段梁的弯矩方程
M2(x) 仍取 x 截面左边的梁为分离体,使方程 M2(x) 中的第
一项与方程 M1(x) 中的项相同。
l
aFF
l
bFF BA ,
axxl
bFxFxM A 0 1
lxaaxFxl
bFaxFxFxM A 2
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
27
两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出,并分别进行积分:
挠曲线近似微分方程
xl
bFxMwEI 11
积分得
1
2
1 2C
x
l
bFwEI
11
3
1 6DxC
x
l
bFEIw
axFxl
bFxMwEI 22
2
22
2 22C
axFx
l
bFwEI
2
2
33
2 66D
xCaxFx
l
bFEIw
左段梁 右段梁 ax 0 lxa
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
28
值得注意的是,在对右段梁进行积分运算时,对于含有(x-a) 的项没有以 x 为自变量而是以 (x-a) 作为自变量进行
积分的,因为这样可在运用连续条件 w1 '|x=a=w2'|x=a 及 w1|x=
a=w2|x=a 确定积分常数时含有 (x-a)2 和 (x-a)3 的项为零而使
工作量减少。又,在对左段梁进行积分运算时仍以 x 为自
变量进行,故仍有 C1=EI0 , D1=EIw0 。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
29
该梁的两类边界条件为
支座约束条件:在 x=0 处 w1=0 ,在 x=l 处 w2=0
连续条件:
在 x=a 处 , w1=w221 ww
第五章 梁弯曲时的位移
由两个连续条件得:
由支座约束条件 w1|x=0=0 得
2121 DDCC ,
01 D 02 D从而也有
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
30
由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有
0
6| 2
33
2
lCalF
b
l
l
bFEIw lx
即 222 6
bll
FbC
从而也有 221 6
bll
FbC
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
31
从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下:
左段梁 右段梁)0( ax )( lxa
222
11 3
1
2xbl
lEI
Fbw
2221 6
xbllEI
Fbxw
2222
22 3
1
2blxax
b
l
lEI
Fbw
xblxaxb
l
lEI
Fbw 2233
2 6
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
32
左、右两支座处截面的转角分别为
lEI
blFab
lEI
blFbxA 66|
22
01
lEI
alFablxB 6
|2
当 a>b 时有 6max lEI
alFabB
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
33
3
2
3
22
1
baablx
显然,由于现在 a>b ,故上式
表明 x1<a ,从而证实 wmax 确
实在左段梁内。将上列 x1 的表
达式代入左段梁的挠曲线方程得 322
1max39
|1
bllEI
Fbww xx
根据图中所示挠曲线的大致形状可知,最大挠度 wmax
所在 处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的转角方程 等于零,得
0w
1w
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
34
由上式还可知,当集中荷载 F
作用在右支座附近因而 b 值甚小,以致 b2 和 l2 相比可略去不计时有
EI
Fbl
EI
Fblw
22
max 0642.039
它发生在 处。而此时 处 ( 跨中点 C) 的挠度 w
C 为
ll
x 577.03
1 ll
x 500.02
EI
Fbl
EI
Fblbl
EI
Fbww lxC
2222
21 0625.016
4348
|
3221max
39|
1bl
lEI
Fbww xx
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
35
当集中荷载 F 作用于简支梁的跨中时 (b=l/2) ,最大转角
max 和最大挠度 wmax 为
EI
FlBA 16
2
max EI
Flww C 48
3
max
可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下,跨中挠度与最大挠度也只相差不到 3% 。因此在工程计算中,只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
36
思考 : 试绘出图示两根简支梁的弯矩图,并描出它们的挠曲线。并指出: (1) 跨中挠度是否最大? (2) 跨中挠度的值是否接近最大挠度值?
第五章 梁弯曲时的位移
l/4l/2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
37
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
当梁的变形微小,且梁的材料在线弹性范围内工作时,梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下,当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时,梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理 (principle of superposition) 。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
38
悬臂梁和简支梁在简单荷载 (集中荷载,集中力偶,分布荷载 ) 作用下,悬臂梁自由端的挠度和转角表达式,以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理,往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
39
例题 5-5 试按叠加原理求图 a 所示等直梁的跨中截面
挠度 wC 和两支座截面的转角 A 及 B 。
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
解:此梁 wC 及 A , B 实际上可不按叠加原理而直接
利用本教材附录Ⅳ表中序号 13 情况下的公式得出。这里是作为灵活运用叠加原理的例子,假设没有可直接利用的现成公式来讲述的。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
40
作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面 C
正对称和反对称荷载的叠加 ( 图 b) 。
第五章 梁弯曲时的位移
(b)
(a)
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
41
在集度为 q/2 的正对称均布荷载作用下,利用本教材附录Ⅳ表中序号 8 的公式有
EI
ql
EI
lqwC 768
5
384
2/5 44
1
4824
2/ 33
1 EI
ql
EI
lqB
4824
2/ 33
1 EI
ql
EI
lqA
第五章 梁弯曲时的位移
C
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
42
注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零,而且该截面上的弯矩亦为零,但转角不等于零,因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB 分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录Ⅳ表中序号 8
情况下的公式有
38424
2/2/ 33
22 EI
ql
EI
lqBA
第五章 梁弯曲时的位移
在集度为 q/2 的反对称均布荷载作用下,由于挠曲线也是与跨中截面反对称的,故有
02 Cw
C
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
43
按叠加原理得
EI
ql
EI
qlwww CCC 768
50
768
5 44
21
384
7
38448
333
21 EI
ql
EI
ql
EI
qlBBB
128
3
38448
333
21 EI
ql
EI
ql
EI
qlAAA
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
44
例题 5-6 试按叠加原理求图 a 所示等直外伸梁其截面 B
的转角 B ,以及 A 端和 BC 段中点 D 的挠度 wA 和 wD 。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
45
第五章 梁弯曲时的位移
解:为利用本教材附录Ⅳ中简支梁和悬臂梁的挠度和转角资料,将图 a 所示外伸梁看作由悬臂梁 ( 图 b) 和简支梁( 图 c) 连接而成。原来的外伸梁在支座 B左侧截面上的剪力 和弯矩 应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上,它们的指向和转向也应与 的正负相对应,如图 b 及图 c 中所示。
2222
1qaaqM
B
BBMF 和
S
qaFB
2S
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
46
图 c 中所示简支梁 BC 的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁 BC 段完全相同,因此再注意到简支梁 B 支座左侧的外力 2qa 将直接传递给支座 B 而不会引起弯曲后,便可知道
按图 d 和图 e 所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求 Bq , B
M 和 wDq , wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的 B 和 wD 。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
47
)(
24
1
16
22
384
5 4224
EI
qa
EI
aqa
EI
aqwww DMDqD
3
1
3
2
24
2 323
EI
qa
EI
aqa
EI
aqBMBqB
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
48
图 b 所示悬臂梁 AB 的受力情况与原外伸梁 AB 段相同,但要注意原外伸梁的 B 支座截面是可以转动的,其转角就
是上面求得的 B ,由此引起的 A 端挠度 w1=|B|·a 应叠加到
图 b 所示悬臂梁的 A 端挠度 w2 上去才是原外伸梁的 A 端挠
度 wA :
第五章 梁弯曲时的位移
EI
qa
EI
aqa
EI
qa
wwwA
4
43
21
12
7
8
2
3
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
49
§5-4 梁挠曲线的初参数方程
Ⅰ. 初参数方程的基本形式
前已得到等直梁的挠曲线近似方程为
弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为
后一个微分关系按 q(x) 向上为正导出。
xMwEI
xqxFxFxM SS ,
*
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
50
为了使下面导出的挠曲线初参数方程 (initial parametric equ
ation) 中除了包含与位移相关的初参数 0 和 w0 以外,也包含
与内力相关的初参数 FS0 和 M0 ,先将二阶的挠曲线近似微分
方程对 x取二阶导数求得等直梁挠曲线的四阶微分方程 xqwEI
第五章 梁弯曲时的位移
然后进行积分得
1S d CxxqxFxMwEI 21
2d CxCxxqxMwEI
32213
2d CxCx
CxxqEIwEI
4322314
26d CxCx
Cx
CxxqEIw
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
51
1S d CxxqxFxMwEI 21
2d CxCxxqxMwEI
32213
2d CxCx
CxxqEIwEI
4322314
26d CxCx
Cx
CxxqEIw
以 x=0代入以上四式,并注意到以 x 为自变量时上列四式中的积分在坐标原点 (x=0) 处均为零,于是得
0403020S1 EIwCEICMCFC ,,,
第五章 梁弯曲时的位移
式中, FS0 , M0 , 0 和 w0 为坐标原点处横截面 (初始截
面 ) 上的剪力、弯矩、转角和挠度,它们是初参数方程中的四个初参数。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
52
将积分常数 C1 , C2 , C3 , C4代入上述表达式中的后
二式即得转角和挠曲线初参数方程的基本形式:
初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件确定。
0020S3
2d EIxMx
FxxqEI
002030S4
26d EIwxEIx
Mx
FxxqEIw
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
53
显然,如果梁上的分布荷载是满布的 ( 分布荷载在全梁上连续 ) ,而且除梁的两端外没有集中力和集中力偶,亦即荷载和内力在全梁范围内为连续函数,则可直接应用上述两个方程。简支梁或悬臂梁受满布分布荷载作用时就属这种情况。在此条件下,当分布荷载为向下的均布荷载时,q(x)=-q ,从而有
x x x xx x x qx
xqqx
xq0 0 0
44
00 0 0
33
24d
6d ,
第五章 梁弯曲时的位移
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
54
例题 5-7 试利用初参数方程求图示等直梁的跨中挠度 w
C 和支座 B 处截面的转角 B 。
第五章 梁弯曲时的位移
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
55
解: 1. 根据边界条件确定初参数
另一初参数 0 需利用 x=l 处挠度等于零的边界条件求
出。根据挠曲线的初参数方程有
由 x=0 处的边界条件得: 002 000S wMql
F ,,
0026
1
240 0
34
lEIl
qlql
从而得
EI
ql
24
3
0
第五章 梁弯曲时的位移
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
56
2. 列出挠曲线方程和转角方程,求所需挠度和转角
将已得到的四个初参数代入初参数方程得:
挠曲线方程 024
026
1
24
33
4
x
qlx
qlqxEIw
即 323 224
xlxlEI
qxw
转角方程
240
22
1
6
32
3 qlx
qlqxEI
即 323 4624
xlxlEI
q
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
57
Ⅱ. 一般情况的处理
这里所说的一般情况是指梁上分布荷载不连续,梁上除两端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情况。此时,外力 ( 荷载和约束力 ) 将梁分为数段,每段梁的挠曲线方程和转角方程各不相同,但相邻两段梁在交界处的挠度和转角仍连续。
现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
58
初参数: 0
2 0
2
0S
Ml
alqFF A ,
0≠0( 其值未知 ) , w0=0
第五章 梁弯曲时的位移
情况一
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
59
转角方程:
挠曲线方程:
0
22
02
2
1
22
1
022
10
EIxl
alq
EIxl
alqEI
xEIx
l
alq
xEIxl
alqEIw
03
2
03
2
1
26
1
0026
10
6
d
3
1
312
axqEI
xqEIEIx
a
x
a
x
a
24
d
4
1
412
axqEIw
xqEIwEIwx
a
x
a
x
a
x
a
AC 段梁 ( 0≤x≤a) CB 段梁 ( a≤x≤l)
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
60
CB 段梁转角和挠曲线方程中带积分的项,是由于自 x=
a 处开始有向下的均布荷载而在 AC 段梁延续过来的相应
方程 EI1 和 EIw1 中增加的项。
未知初参数 0 可由 x=l 处 wB=w|x=l=0 的边界条件求
得。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
61
情况二
初参数: 0
2
200S
M
l
blqbFF A ,
0≠0( 其值未知 ) , w0=0
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
62
AC 段梁 ( 0≤x≤b) CB 段梁 ( b≤x≤l)
转角方程:
挠曲线方程:
0
23
0
2
0 0 0
31
2
2
2
1
6
0
2
2
2
1d
EIxl
blqbqx
EI
xl
blqbxqEI
x x x
xEIx
l
blqbqx
xEIxl
blqb
xqEIwx x x x
03
4
03
0 0 0 0
41
2
2
6
1
24
002
2
6
1
d
6
d
3
1
312
bxqEI
xqEIEIx
b
x
b
x
b
24
d
4
1
412
bxqEIw
xqEIwEIwx
b
x
b
x
b
x
b
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
63
CB 段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项,是由于考虑 C 截面 (x=b) 以右没有向下的均布荷载,而从由 AC 段
梁延续过来的相应方程 EI1 和 EIw1 中减去了的那部分在
C 截面以右的均布荷载产生的影响的相关项。未知初参数 0 可由 wB=w|x=l=0 的边界条件求得。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
64
情况三 初参数: 000S MFF ,
0≠0( 其值未知 ) w0≠0( 其值未知 )
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
65
CA 段梁 (0≤x≤c) AB 段梁 (c≤x≤c+l)
转角方程:
挠曲线方程:
02
02
1
2
02
10
EIxF
EIxFEI
003
003
1
6
06
10
EIwxEIxF
EIwxEIxFEIw
21
212
2
1
2
cxl
clFEI
cxF
EIEI A
31
312
6
1
6
cxl
clFEIw
cxF
EIwEIw A
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
66
AB 段梁的转角和挠曲线方程中的第二项,是由于考虑在
由 CA 段梁延续过来的相应方程 EI1 和 EIw1 中,应将向上
的约束力在 A 截面 (x=c)偏右截面上产生的剪力的影响包含进去而增加的项。
未知初参数 0 和 w0 可由边界条件 wA=w|x=c=0 和 wB=w|x=l
+c=0 求得。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
67
情况四 初参数:00
0
00
e00S
w
MMMFF AA
,,
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
68
AC 段梁 (0≤x≤d) CB 段梁 (d≤x≤l)
转角方程:
挠曲线方程:
xM
xMEI
e
e1
000
2e
2e1
2
002
100
xM
xMEIw
dxMEI
dxMEIEI
e1
e12
2e1
2e12
2
2
1
dxM
EIw
dxMEIwEIw
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
69
CB 段梁的转角和挠曲线方程中第二项,是由于考虑在
由 AC 段梁延续过来的相应方程 EI1 和 EIw1 中,应将外
力偶矩 Me 在 C 截面 (x=d)偏右截面上对应的弯矩所产生
的影响包含进去而增加的项。在此例中,四个初参数都是已知的。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
70
思考 : 对于情况四中的等直梁,试检验由初参数方程
所求得的 wB , wC , C 是否符合如下关系:
dlww CCB
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
71
§5-5 梁的刚度校核 · 提高梁的刚度的措施
Ⅰ. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件,在满足强度条件的同时,为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制,即还应该满足刚度条件 (stiffness condition) :
式中, l 为跨长, 为许可的挠度与跨长之比 (简称许可挠跨比 ) , []为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。
l
w
l
w
l
wmax ][max
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
72
土建工程中通常只限制梁的挠跨比, 。在机械工程中,对于主要的轴, ;对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角, 。
1000
1~
250
1
l
w
10000
1~
5000
1
l
w
rad001.0~005.0
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
73
第五章 梁弯曲时的位移
例题 5-8 图 a 所示简支梁由两根槽钢组成 ( 图 b) ,试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知 []=17
0 MPa , []=100 MPa , E=210 GPa , 。400
1
l
w
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
74
解:一般情况下,选择梁的截面尺寸或选择型钢的型号时,先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号,然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核,必要时再作更改。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
75
1. 按正应力强度条件选择槽钢型号
作梁的剪力图和弯矩图如图 c 和图 e 。最大弯矩在距左支座 0.8 m 处, M
max=62.4 kN·m 。梁所需的
弯曲截面系数为
36
6
3max m10367
Pa10170
mN104.62
M
Wz
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
76
而每根槽钢所需的弯曲截面系数 Wz≥367×10-6 m3/2=183.5×
10-6m3 。由型钢表查得 20a 号槽钢其 Wz=178 cm3 ,虽略小于所
需的 Wz=183.5×10-6 m3 而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正
应力 [],但如超过不到 5% ,则工程上还是允许的。
超过许用弯曲正应力的百分数为 (175-170)/170≈3% ,未超过 5
% ,故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg
/m)考虑进去,超过许用弯曲正应力的百分数仍不到 5% 。
MPa175Pa10175m101782
mN104.62 636
3
max
现加以检验:
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
77
2. 按切应力强度条件校核
最大剪力 FS,max=138 kN ,在左支座以右 0.4 m 范围内各
横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为
每根 20a 号槽钢其横截面在中性轴一侧的面积对中性轴的静矩,根据该号槽钢的简化尺寸 ( 图 d) 可计算如下:
N10692
kN138
23max,S
F
3
*max,
mm000104
2
mm11100mm773mm11100mm50mm100mm73
zS
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
78
其值小于许用切应力 []=100 MPa ,故选用 20a 号槽钢满足切应力强度条件。
当然, 的值也可按下式得出:*max,zS
3
*max,
mm104000
mm2
11100mm7mm11100mm
2
11100mm11mm73
zS
第五章 梁弯曲时的位移
每根 20a 号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4
于是
MPa57.6Pa106.57
m)107)(m10(1780
m10104N)1069()2/(
6
348-
3-63max,max,S
max
dI
SF
z
z
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
79
3. 按刚度条件校核
此简支梁上各集中荷载的指向相同,故可将跨中截面
C 的挠度 wC 作为梁的最大挠度 wmax 。本教材附录Ⅳ序号
11 中给出了简支梁受单个集中荷载 F 时,若荷载离左支
座的距离 a 大于或等于离右支座的距离 b ,跨中挠度 wC
的计算公式为
可见,对于此梁上的左边两个集中荷载,应为
EI
blFbwC 48
43 22
EI
alFawC 48
43 22
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
80
于是由叠加原理可得
m1066.4m1078012Pa1021048
mN101671
]m6.04m4.23m6.0N1012
m9.04m4.23m9.0N1040
m8.04m4.23m8.0N1030
m4.04m4.23m4.0N10120[48
1
3489
23
22223
22223
22223
22223max
EI
ww C
而许可挠度为
由于 wmax<[w] ,故选用 20a 号槽钢满足刚度条件。
m106m4.2400
1 3
l
l
ww
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
81
Ⅱ. 提高梁的刚度的措施
(1) 增大梁的弯曲刚度 EI
由于不同牌号的钢材它们的弹性模量 E 大致相同 (E≈21
0 GPa) ,故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度,钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状,以增大截面
对于中性轴的惯性矩 Iz ,例如工字形截面和箱形截面。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
82
跨长为 l 的简支梁受集度为 q 的满布均布荷载时,最大弯矩和最大挠度均出现在跨中,它们分别为
22
max 125.08
qlql
M
EI
ql
EI
qlw
44
max 0130.0384
5
(2) 调整跨长和改变结构的体系
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
83
如果将两个铰支座各内移一个距离 a 而成为如图 a 所示的外伸梁,且 a=0.207l ,则不仅最大弯矩减小为
而且跨中挠度减小为
22
max
0214.02
qlqa
MMMM BAC
EI
ql
EI
alqa
EI
alqww C
4
22
4
max
616000.0
16
22
2384
25
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
84
而此时外伸端 D 和 E 的挠度也仅为
)(207000.0
2
)2(2
24
)2(
84
2
34
EI
ql
aEI
alqa
aEI
alq
EI
qaww ED
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
85
所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁,例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座,又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
86
§5-6 梁内的弯曲应变能
在本教材的 §3-6 中曾讲述了等直圆杆扭转时的应变能,并利用功能原理导出了密圈圆柱螺旋弹簧受压 (拉 ) 时弹簧高度变化量的计算公式。
本节研究等直梁在线弹性范围内工作时,由于作用在梁
上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能 V ,并利用功
能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
87
等直梁在线弹性范围内纯弯曲时 ( 图 a) ,其曲率 为常量,挠曲线为一圆弧,梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为
EI
M
1
EI
lM
EI
Mll e
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
88
(b)
图 b 示出了 Me 与的上列线性关系。图 b 中斜直线下的
三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值 Me 过程中,
外力偶所作的功:
它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能:
MMV2
1
2
1eε
将 代入上式可得EI
lM
EI
Ml e
EI
lMV
EI
lMV
2 ,
2
2
ε
2e
ε
第五章 梁弯曲时的位移
e2
1MW
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
89
梁在横力弯曲时,既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能,又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在 §5-2开始时所述,工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小,可略去不计。梁在横力弯曲时其长为 dx 的微段内的弯曲应变能为
x
EI
xMV d
2d
2
ε
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
90
从而全梁内的弯曲应变能为
式中, M(x) 为任一横截面上弯矩的表达式,亦即弯矩方程。
此式在求梁系 ( 例如两根交叉在一起的梁 ) 的位移等时是有用的。
l
xEI
xMV d
2
2
ε
ll
xwEI
xEI
wEIV d
2d
22
2
ε
顺便指出,由于直梁横力弯曲时, ,因此上式也可写作
xMwEI
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
91
例题 5-9 求图示等直梁的弯曲应变能 V ,并利用功能
原理求自由端 A 的挠度 wA 。
第五章 梁弯曲时的位移
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
92
解:梁的弯矩表达式为 M(x)=Fx ,于是得弯曲应变能
自由端的集中力由零增加到最终值 F 的过程中所作的功为
根据功能原理,有 W=V ,即
EI
lFx
EI
FxV
l
6d
2
32
0
2
ε
AFwW2
1
EI
lFFwA 62
1 32
第五章 梁弯曲时的位移
从而得EI
FlwA 3
3
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
93
所求得的 wA 为正值,表示 wA 的指向与集中力 F 的指向相
同,即向上。
第五章 完
第五章 梁弯曲时的位移