www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Μαθηµατικά Β΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Επαναληπτικά Θέµατα
Απαντήσεις
Θέµα 10
1. A) Τι ονοµάζουµε διάνυσµα θέσεως; Έστω Ο ένα σταθερό σηµείο του χώρου. Τότε για κάθε σηµείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσµα →
ΟΜ , το οποίο λέγεται διάνυσµα θέσεως του Μ ή διανυσµατική ακτίνα του Μ. Το σηµείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσµατικών
ακτίνων των σηµείων του χώρου, λέγεται σηµείο αναφοράς στο χώρο.
Β) Έστω Ο ένα σηµείο αναφοράς στο χώρο και
�������� ένα τυχαίο διάνυσµα. Να εκφράσετε το �������� συναρτήση των διανυσµατικών ακτίνων ��������� και
���������. Έχουµε : ΑΒ������=ΟΒ������-ΟΑ������
Α
Β
O
www.mathschool
www.mathschool
2.Να εκφράσετεπαρακάτω σχήµατα
3.Να
α) Αν
β) Αν
γ) Αν
δ) αr
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Να εκφράσετε το διάνυσµα �� σε καθέναπαρακάτω σχήµατα ως συνάρτηση των άλλων
διανυσµάτων.
α) x = α +β + γr ur r r
β) x = α +β − γr ur r r
3.Να συµπληρώσετε τα κενά:
Αν βαrr
↑↑ , τότε … α = κβrr
Αν βαrr
↑↓ , τότε … α = −κβrr
Αν 0rr
=α , τότε … 0α = ⋅βrr
βαrr
// ⇔ α = λβrr
, R∈λ
σε καθένα από τα συνάρτηση των άλλων
α = κβr
α = −κβr
α = ⋅βr
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
4. Να δειχτεί ότι :
OA OBOM
2
+=
uuur uuuruuuur
Όπου Ο είναι ένα σηµείο αναφοράς , �������� ένα τυχαίο διάνυσµα και Μ το µέσο του τµήµατος ΑΒ.
Φέρνω τη διανυσµατική ακτίνα →
OM του µέσου Μ του τµήµατος ΑΒ και έχω:
OM OA AM→ → →
= + (1)
και
OM OB BM→ → →
= + (2)
Από (1)+(2) έχω
2OM OA AM OB BM OA OB→ → → → → → →
= + + + = +
Άρα
OA OBOM
2
+=
uuur uuuruuuur
mathschool-online.com Α
Ο
Μ
Β
www.mathschool
www.mathschool
1α) Έστω το παραλληλόγραµµο
Και �������� =���� να βρείτε
β) Στο τρίγωνο
ισούται
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Θέµα 2ο
Έστω το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Αν
να βρείτε το διάνυσµα � ������ καθώς
διάνυσµα �������� .
Έχουµε:
� ������=���� +����
�������� �-����+����
Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΒΕ είναι διάµεσος.Με
ισούται το άθροισµα �������� +� ������;
ΑΒΓ∆ Αν �������� =����
καθώς και το
διάµεσος.Με τι
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Γνωρίζω ότι η διανυσµατική ακτίνα του µέσου Ε του τµήµατος ΑΓ ισούται µε:
A
2
Β +ΒΓΒΕ =
uuur uuuruuur
2α) Έστω ���� =(1,-1) και ����=(1,2).Να υπολογίσετε το διάνυσµα ���� -2����=����
Έχω :
2�=2(1,2)=(2,4)
Eποµένως:
�� -2�=(1,-1)-(2,4) = (-1, + 3)
β) Έστω Α(1,2) και Β(2,0).Να υπολογισθούν οι συντεταγµένες του µέσου του ευθυγράµµου τµήµατος
ΑΒ.
Έστω Μ(x,y)
Έχω:
1 2x xx
2
+=
και
1 2y yy
2
+=
Όπου:
Α(1,2)=Α(x1, y1)
Β(2,0)=B(x2,y2)
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Eποµένως:
1 2 3x
2 2
+= =
2 0 2y 1
2 2
+= = =
Άρα
Μ(x,y)=Μ(3/2 ,1)
γ) Έστω Α(-2,-1) και Β(2,0).Να υπολογισθούν οι συντεταγµένες του διανύσµατος �������� και το µέτρο του.
Έστω x , y οι συντεταγµένες του διανύσµατος ΑΒ������
∆ηλαδή ΑΒ������(x,y)
Έχω:
2 2 1 1 2 1 2 1(x, y) (x , y ) (x , y ) (x x , y y )= − = − −
Όπου:
Α(-2,-1)= Α(x1, y1)
Β(2,0)= B(x2,y2)
Eποµένως:
2 2 1 1 2 1 2 1(x, y) (x , y ) (x , y ) (x x , y y )
(x, y) (2 ( 2),0 ( 1)) (2 2, 1) (4,1)
= − = − −
= − − − − = + + =
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Mέτρο του �������� :
�ΑΒ������� =2 2x y+ →
�ΑΒ�������= 2 24 1+ →
�ΑΒ�������= 16 1 17+ =
Θέµα 3ο
1.α) Με βάση την εξής συνθήκη παραλληλίας :
1 1
2 2
x y/ / 0
x yα β⇔ =
rr
να εξετάσετε εάν τα διανύσµατα ����(1,3)= ���� (x1, y1) και ����(2,6)= ���� (x2,y2) είναι παράλληλα.
Έχω:
1 31.6 2.3 6 6 0
2 6= − = − =
Εποµένως τα ���� και ���� είναι παράλληλα.
β) Να συµπληρώσετε τα κενά :
i) Αν α���//xx΄ τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α��� είναι ... λ=0
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
ii) Αν α���//yy΄ τότε …δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α���
iii) α��� // β���� αν και µόνο αν ... λ1=λ2 , όπου λ1,λ2 οι συντελεστές διεύθυνσης των α��� , β���� αντίστοιχα.
2.α) ∆ίνεται το διάνυσµα ���� =(λ-2 , λ2-4) , λ ∈R.
Για ποια τιµή του λ είναι i) ����//xx΄ ii) ����= ����.
i) Θέλω α���//xx΄ , αυτό σηµαίνει ότι πρέπει συντελεστής διεύθυνσηςτου α��� να είναι µηδέν.
∆ηλαδή:
0α
λ =ur
2
2 2
0
40
2
20
2
( 2)( 2)0
2 0
2 0 2
2
α
α
α
α
α
λ = →
λ −λ = = →
λ −
λ −λ = = →
λ −
λ − λ +λ = = →
λ −λ = λ + = →
λ λ −+ = → =
ur
ur
ur
ur
ur
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
ii) Θέλω
����= ���� Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει oι συντεταγµένες του α��� να
είναι µηδέν.
∆ηλαδή:
λ-2=0 και λ2-4=0 Τα παραπάνω πρέπει να συµβαίνουν
ταυτόχρονα.Εποµένως πρέπει να επαληθεύονται και οι δύο εξισώσεις.
Έχω:
(1) λ-2= 0→λ=2
και
(2) λ-2=0→(λ-2)(λ+2)=0→λ=2 ή λ=-2 Η τιµή λ=-2 δεν επαληθεύει τη πρώτη (1)
εξίσωση. Εποµένως δεκτή λύση είναι η λ=2.
β) ∆ίνονται τα διανύσµατα ����(1,µ) και ����(3,2).Για ποιά τιµή του µ είναι ���� // ����.
Υπόδειξη : Θα χρησιµοποιήσεις τη συνθήκη
1 1
2 2
x y/ / 0
x yα β⇔ =
rr
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Θέλω α��� // β�� Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει :
1
0 1.2 3. 03 2
2 3
2
3
0 3 2
3 2
3 3
µ= → − µ = →
− µ = → − µ = − →
− µ −= →
− −µ =
3.α) Τί ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη
µηδενικών διανυσµάτων ���� και ���� ;
Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών
διανυσµάτων αr
και r
β και το συµβολίζουµε µε
α ⋅βrr
τον πραγµατικό αριθµό
| | | |συνα ⋅β = α ⋅ β ⋅ ϕr rr r
,
όπου ϕ η γωνία των διανυσµάτων rα και
r
β .
β) Να συµπληρώσετε τα κενά:
α) Αν r rα = 0 ή
r
β = 0 , τότε …. 0=⋅ βαrr
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
β) Αν α ⊥ βrr
, τότε … 0α ⋅β =rr
και αντιστρόφως.
γ) Αν α ↑↑ βrr
, τότε ... | | | |α ⋅β = α ⋅ βr rr r
και αντιστρόφως.
∆) Αν α ↑↓ βrr
, τότε ... | | | |α ⋅β = − α ⋅ βr rr r
και αντιστρόφως.
ε)
2 2| |α = αr r
στ) Aν α��� (x1, y1) και β��(x2,y2) τότε ... r r
α β⋅ = +x x y y1 2 1 2
ζ) 1 2 , ό ... . 1λΑν α ⊥β τ τε λ = −rr
όπου λ1 , λ2 οι συντελεστές διεύθυνσης των
α��� και β�� ; γ) Αν ���� (1,2)= ���� (x1,y1) και ���� (3,1)= ���� (x2,y2) να υπολογισθεί η γωνία θ των διανυσµάτων ���� και ���� .
Έχω:
1 2 1 2
2 2 2 21 1 2 2
x x y yσυν
x y x y
+θ =
+ ⋅ +
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Eποµένως :
2 2 2 2
1 3 2 1συν
1 2 3 1
5 1 2συν
25 10 2
⋅ + ⋅θ = →
+ ⋅ +
θ = = =⋅
συνθ=συν π/4→θ=2κπ+π/4 (1)
ή θ=2κπ- π/4 (2)
Επειδή όµως η γωνία θ είναι η γωνία των
διανυσµάτων α��� και β�� ,δηλαδή : 0 ≤ θ ≤ 1800
Η (2) απορίπτεται
Εποµένως έχω ότι :
(1) θ=2κπ+π/4 → θ=π/4 , κ=0 4. Αν ���� (1,0)= ���� (x1,y1) και ���� (1,1)= ���� (x2,y2) να βρείτε το λ Ώστε τα διανύσµατα
και + λα α βur uur r
να είναι κάθετα.
Γνωρίζω ότι : α ⊥ βrr
↔ 0α ⋅β =rr
Εποµένως :
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
( ) 0α α + λβ =
ur ur r
2
2
( ) 0
. 0
0
0 (1)
α α + λβ = →
αα + λαβ = →
α + λαβ = →
α + λαβ =
ur ur r
ur ur urr
ur urr
ur urr
Yπολογίζω το µέτρο του α��� και το εσωτερικό γινόµενο
α ⋅βrr
2 21 0 1
. 1.1 0.1 1
α = + =
αβ = + =
ur
ur r
Εποµένως :
2
2
(1) : 0
1 .1 0
1 10
α +λαβ = →
+λ = →
+λ = →λ = −
ur urr
Θέµα 4ο
1.α) Με τι ισούται ο συντελεστής διεύθυνσης λ µιας ευθείας που διέρχεται από τα σηµείαΑ(x1, y1) και B(x2,y2), µε x1≠x2
Ο συντελεστής διεύθυνσης λ
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
µιας ευθείας που διέρχεται από τα σηµείαΑ(x1, y1) και B(x2,y2) µε x1≠x2 ισούται µε :
2 1
2 1
y y
x x
−λ =
−
β) Να υπολογισθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(4,2) και Β(6,4)
4 2
6 42
21
−λ = →
λ = → λ =
−
γ) Να συµπληρώσετε τα κενά: i) ε1//ε2 αν και µόνο αν ... λ1= λ2
ii) 1 2 1 2 ... λ .. 1λ⊥ ε ⇔ = −ε δ) Τι παριστάνει η εξίσωση y-y0 = λ(x-x0) ; H εξίσωση y-y0=λ(x-x0) παριστάνει ευθεία µε συντελεστή διεύθυνσης το λ ,η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0). ε) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=-1 και η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(2,0) Έχω : y-y0=λ(x-x0)→y-0=-1(x-2)→ y = -x+2 στ) Τι εκφράζει η ευθεία x=x0; Ποια είναι η εξίσωση της κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(5,4) Η ευθεία x=x0 εκφράζει τη κάθετη(κατακόρυφη) στον άξονα xx΄ευθεία. Η εξίσωση της κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(5,4) είναι : x = 5 ζ) Τι εκφράζει η ευθεία y=y0; Ποια είναι η εξίσωση της παράλληλης στον άξονα xx΄ ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(-2,6)
Η ευθεία y=y0 εκφράζει τη
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
παράλληλη στον άξονα xx΄ ευθεία. Η εξίσωση της παράλληλης στον xx΄ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(-2,6) είναι : y = 5 2. ∆ίνεται τρίγωνο µε κορυφές Τα σηµεία Α(2,0),Β(-6,4) και Γ(-4,2). Να βρεθούν οι εξισώσεις: i) Του ύψους που άγεται από
την κορυφή Α. ii) Tης διαµέσου που άγεται
από την κορυφή Β. iii) Της µεσοκαθέτου της πλευράς
ΑΓ. i) Έχω:
B
B B
2 4 2
4 ( 6) 4
1
6
2
2Γ Γ
Γ
− −λ = =
− − − −
−→ λλ = = −
+
Όµως: λυ. λΒΓ = -1 → λυ.(-1) = -1→ -λυ=-1→λυ = 1
Εποµένως, η εξίσωση του ύψους που άγεται από το Α είναι:
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
y 0 1(x 2)− = − →
y x 2= −
ii)
To µέσο Μ(x,y) του τµήµατος ΑΓ έχει συντεταγµένες:
1 2x xx
22 4
x22
x 12
+= →
−= →
−= = −
και
1 2y yy
20 2
y 12
+= →
+= =
Άρα Μ(x,y)=M(-1,1)
Εποµένως, ο συντελεστής διεύθυνσης της διαµέσου ΒΜ είναι :
2 1
2 1
y y
x x
−λ =
−
Όπου :
Μ(x,y)=M(-1,1)=Μ(x2,y2)
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Β(-6,4)=B(x1,y1)
Eποµένως:
2 1
2 1
y y
x x
1 4
1 ( 6)
−λ = →
−
−λ = →
− − −
1 4
1 ( 6)
3 3
1 6 5
−λ = →
− − −
− −λ = → λ =
− +
Άρα η εξίσωση της διαµέσου ΒΜ είναι:
y - y0 = λ(x - x0) → y-1=-3/5(x-(-1))→ y-1=-3/5(x+1)→
3y 1 (x 1)
53 3
y x 15 53 2
y x5 5
− = − + →
= − − + →
= − +
iii)
Η ευθεία ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
2 1
2 1
y y
x x
−λ =
−
Όπου:
Α(2,0)=Α(x1, y1) και Γ(-4,2)=Γ(x2, y2) Εποµένως:
2 1
2 1
y y
x x
2 0
4 ( 2)
2
4 2
21
2
−λ = →
−
−λ = →
− − −
λ = →− +
λ = →λ = −−
H κάθετος σε αυτήν έχει συντελεστή διεύθυνσης λκαθ. και ισχύει : λκαθ..λΑΓ = -1→ λκαθ.(-1) = - 1→ - λκαθ..= -1→ λκαθ..=1
To µέσο Μ(x,y) του τµήµατος ΑΓ έχει συντεταγµένες : Μ(x,y)=M(-1,1)
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Εποµένως η εξίσωση της
µεσοκαθέτου της ΑΓ είναι: y-y0=λ(x-x0)→y-1=1(x-(-1)) →y-1=x+1→y=x+2 3.α)Nα γράψετε την εξίσωση κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ. Έχω: x2+y2=ρ2
3.β)Nα γράψετε την εξίσωση κύκλου κέντρου Κ(x0,y0) και ακτίνας ρ. Έχω: (x-x0)
2+(y-y0) 2=ρ2
γ)Να βρείτε την εξίσωση κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ σε καθεµια από τις περιπτώσεις:
i)Οταν διέρχεται από το σηµείο
( )1, 3Α −
ii) Οταν διέρχεται από το σηµείο
B(0,-4)
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
Έχω:
i) x2+y2=ρ2→
(-1)2+(√3)2=ρ2→
1+3=ρ2→ρ2=4→ρ=2
Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι:
x2+y2=4
ii) x2+y2=ρ2→
0+(-4)2= ρ2→
16= ρ2→
ρ=√16→
ρ=4
Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι:
x2+y2=16
δ)Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το Κ(2,3),
όταν διέρχεται από το σηµείο Α(0,1).
Έχω:
(x-x0)2+(y-y0)
2=ρ2→
(x-2)2+(y-3)2= ρ2
Όµως διέρχεται από το σηµείο Α(0,1)
Εποµένως:
(0-2)2+(1-3)2=ρ2→
4+(-2)2= ρ2→
4+4= ρ2→
www.mathschool-online.com
www.mathschool-online.com
8= ρ2→
ρ=√8
Εποµένως:
H εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το Κ(2,3),
που διέρχεται από το σηµείο Α(0,1) είναι:
(x-2)2+(y-3)2= 8
Kαλή Ανάγνωση!
http://mathschool-online.pblogs.gr/