Download pdf - Физика. Часть 1: Рабочая программ и методические указания для студентов заочного отделения и экстерната

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий

УТВЕРЖДЕНА учебно-методическим советом академии “18” мая 1999 г. Председатель, проректор по учебной работе, проф. Е. И. Борзенко

ФИЗИКА РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ЧАСТЬ 1

Методические указания для студентов 2-го курса всех специальностей факультета заочного обучения и экстерната

Кафедра физики

Санкт-Петербург 2006

http://www.pdffactory.com


2

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Учебная работа студента-заочника всех специальностей складывается из самостоятельного изучения курса физики по рекомендованным ниже учебным пособиям, решения задач, выполнения контрольных и лаборатор-ных работ, сдачи зачётов и экзаменов.

Изучение курса физики по учебникам 1. Изучать курс необходимо систематически в течение всего учебного

года последовательно по разделам, соответствующим материалам первых трёх контрольных работ, выполнение которых предусмотрено учебным пла-ном второго года обучения. Программа курса второго года обучения для всех специальностей приведена ниже. Она разбита на отдельные группы вопросов, в конце которых указаны номера параграфов основного учебного пособия, где эти вопросы изложены.

2. Работу по учебнику рекомендуется сопровождать составлением конспекта.

3. Необходимо тщательно изучить системы единиц физических вели-чин. Следует обратить внимание на то, что сами формулы, выражающие физические законы и соотношения (особенно в разделе «Электростатика»), имеют разный вид в различных системах единиц.

Решение задач Успешное овладение курсом физики возможно только при условии

решения задач. Это помогает уяснить физический смысл изучаемых явле-ний, закрепить в памяти формулы, получить навыки практического приме-нения знаний и подготавливает к выполнению контрольных работ. Задачи для самостоятельного решения можно брать из рекомендованных учебных пособий.

Выполнение контрольных работ 1. К выполнению контрольных работ следует приступить только после

изучения теоретического материала по данному разделу программы и вни-мательного ознакомления с примерами решения задач, приведенными в ме-тодических указаниях перед каждой контрольной работой, а также с табли-цами приложения, справочный материал которых облегчит Вашу работу и сэкономит время.

2. Все контрольные работы, от первой до последней, должны выпол-няться по методическим указаниям.

3. Каждая контрольная работа выполняется чернилами в отдельной школьной тетради. Для замечаний преподавателя, проверяющего работу, оставляют поля.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com



3

4. На лицевой стороне тетради приводятся сведения по следующему образцу:

Контрольная работа 1 по физике Студент 2-го курса специализации 170600

СПбГУНиПТ Лебедев В. Н., шифр 12122 Адрес: 21009, г. Витебск, ул. Победы, д.1, кв. 5

5. Каждая задача должна начинаться с новой страницы. Вначале сле-

дует записать полный текст задачи, затем дать буквенную запись условия. Эти требования должны соблюдаться и при повторном выполнении работы с учётом замечаний рецензента.

6. Решение задач, следует проводить исключительно в единицах СИ. Необходимо использовать общепринятые обозначения физических вели-чин. Значения физических постоянных взять из приложений (или других справочных пособий).

7. Во всех случаях, когда это возможно, нужно сделать аккуратный чертёж, поясняющий решение задачи. На чертеже должны быть изображе-ны все векторные величины (силы, импульсы и т. п.).

8. Решение задач необходимо сопровождать подробными пояснения-ми хода рассуждений; приводить формулировки используемых законов и давать определения, раскрывающие физический смысл всех входящих в них величин.

9. Задачи следует решать до конца в общем виде, не делая промежу-точных вычислений (исключения составляют задачи на правила Кирхгофа и особо громоздкие задачи). Получив окончательный буквенный ответ, сле-дует проверить его, подставив единицы входящих физических величин. Ес-ли после необходимых преобразований и сокращений единицы в правой и левой частях равенства не совпадают, то нужно искать ошибку в решении.

10. В окончательное буквенное решение надо подставить числовые значения всех входящих в него величин в единицах одной и той же систе-мы и привести окончательный числовой ответ.

Приступая к вычислениям, помните, что числовые значения физиче-ских величин являются приближёнными. Поэтому при расчетах руково-дствуйтесь правилами действий с приближёнными числами (прил. 1). В контрольных работах по физике студенты должны проводить вычисления с точностью до трёх значащих цифр, за исключением некоторых задач по ядерной физике, где требуется большая точность.




4

11. В том случае, когда контрольная работа не зачтена, студент обязан выполнить незачтенные задачи заново, соблюдая все указанные выше пра-вила.

Заново выполненная работа высылается обязательно вместе с неза-чтенной и с рецензией на нее.

12. Во избежание повторения ошибок высылать следует только одну контрольную работу. Следующая работа выполняется и высылается после того, как зачтена предыдущая.

13. Прием контрольных работ на первое рецензирование прекращает-ся за 10 дней до начала экзаменационной сессии, а на повторное (незачтен-ных) – за 2–3 дня до экзамена.

14. В случае нарушения указанных выше требований контрольная ра-бота не будет проверяться.

15. С 1 июля по 1 сентября контрольные работы на проверку не при-нимаются.

Выполнение лабораторных работ Лабораторные работы выполняются во время сессии на кафедре фи-

зики СПбГУНиПТ. Основная цель лабораторных работ по курсу физики – научить студентов методике экспериментирования и методике обработки результатов опыта. Кроме того, выполнение лабораторных работ закрепля-ет знания студента по самостоятельно прорабатываемому теоретическому материалу.

В процессе проведения работ следует систематически и аккуратно вести запись результатов измерения в таблицы, формы которых надо тща-тельно продумывать. Все факторы, способные оказывать влияние на точ-ность измерений, необходимо также записывать. При работе с измеритель-ными приборами следует помнить о необходимости весьма осторожного, аккуратного обращения с ними. Правильность записей в протокол проведе-ния лабораторной работы заверяется преподавателем, проводящим лабора-торное занятие. Перед выполнением каждой работы студенты должны про-рабатывать выдаваемое кафедрой методическое руководство к ним. После выполнения работ следует оформить отчёты по каждой из них. Обработку результатов измерений произвести в соответствии с методикой, изложен-ной в прил. 1 и 2.

Работа заканчивается написанием краткого отчёта, который включает в себя:

1) объекты и методы измерений, схемы экспериментальной установ-ки, таблицы наблюдений, необходимые графики, расчётные формулы и формулы для определения погрешности измерений;




5

2) полученный результат с указанием абсолютной и относительной погрешности, а также доверительной вероятности;

3) краткий анализ полученного результата. Сдача зачётов

1. Для получения зачёта студент на зачётном занятии предъявляет ус-тановленное число зачтённых контрольных работ и решает задачу из задач-ника по теме каждой контрольной работы.

2. Для получения зачёта по лабораторным работам от студентов тре-буется:

а) знание физического смысла, единицы и методики измерения вели-чины, а также основных теоретических вопросов, на которых базируется работа;

б) умение собрать экспериментальную установку по принципиальной схеме и пользоваться применяемой в работе измерительной аппаратурой;

в) умение вывести формулу для расчёта погрешности измеряемой ве-личины и грамотно округлить погрешность и результат измерения, объяс-нить результаты опытов.

Сдача экзаменов К сдаче экзаменов допускаются студенты, получившие зачёт. В экзаменационные билеты включаются все вопросы программы, при-

веденной в настоящих указаниях. При подготовке к экзамену следует иметь в виду, что от студентов

требуется не только знание законов и формул, но и умение выводить эти формулы.




6

ПРОГРАММА КУРСА ФИЗИКИ для студентов заочной формы обучения всех специальностей

Программа составлена в соответствии с ГОСами ВПО, утверждённы-

ми Госкомвузом РФ.

ЧАСТЬ 1

Введение в курс физики Предмет физики. Современная физическая картина мира. Методы фи-

зического исследования: опыт, гипотеза, эксперимент, теория. Размерность физических величин. Основные единицы системы СИ.

[1, Введение].

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Предмет механики. Классическая механика. Квантовая механика. Не-релятивистская и релятивистская классическая механика. Кинематика и динамика. Физические модели: материальная точка, абсолютно твёрдое те-ло, абсолютно упругое тело, сплошная среда. Механическое движение. Свойства ньютоновского пространства и времени. Система отсчёта.

[1, §1]. 1.1. Кинематика материальной точки

Радиус-вектор, перемещение, траектория и путь. Скорость и ускоре-ние. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения. Прямолиней-ное движение. Движение по окружности. Угловая скорость и угловое уско-рение. (Векторные и псевдовекторные величины.). Закон движения. Равно-мерное и равноускоренное движения.

[1, §1–4]. 1.2. Динамика материальной точки

Инерциальные системы отсчёта. Первый закон Ньютона (закон инер-ции). Понятие силы. Масса и её свойства. Второй закон Ньютона (основной закон динамики). Импульс. Третий закон Ньютона (закон взаимодействия). Фундаментальные взаимодействия. Основные силы в механике. Принцип суперпозиции сил. Закон изменения и сохранения импульса тела. Закон из-менения и сохранения импульса механической системы. Центр инерции (центр масс) механической системы. Закон движения центра инерции.

[1, §5-9,23,272].




7

1.3. Работа и механическая энергия Работа – мера преобразования энергии. Работа силы, мощность. Кине-

тическая энергия. Консервативные и неконсервативные силы. Работа дис-сипативных сил. Гироскопические силы. Потенциальное поле консерватив-ных сил. Потенциальная энергия. Потенциальные кривые. Универсальная связь между потенциальной энергией и силой. Потенциальная энергия ма-териальной точки в поле центральных сил (примеры). Закон изменения и сохранения механической энергии. Универсальный закон сохранения и превращения энергии.

[1, §11–14]. 1.4. Динамика вращательного движения твёрдого тела

Момент силы. Момент импульса. Закон изменения и сохранения мо-мента импульса (уравнение моментов). Уравнение динамики тела, вра-щающегося вокруг неподвижной оси. Момент инерции тела, простейшие примеры. Теорема Штейнера. Работа силы при вращении. Кинетическая энергия при вращательном и плоском движении тела.

[1, §16–19]. 1.5. Элементы гидродинамики

Особенности движения жидкости. Закон Паскаля. Линия и трубка то-ка. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли. Статическое и дина-мическое давление.

[1, §28–30]. 1.6. Движение в неинерциальных системах отсчёта

Кинематика относительного движения. Абсолютное, относительное и переносное ускорение частиц. Силы инерции. Центробежная сила. Сила Кориолиса. Принцип эквивалентности Эйнштейна.

[1, §27, 34]. 1.7. Элементы специальной теории относительности

Преобразования Галилея. Механический принцип относительности Галилея. Постулаты специальной теории относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Относительность пространства и времени. Реля-тивистская скорость. Сложение скоростей в релятивистской кинематике. Основное уравнение релятивистской динамики. Релятивистский импульс. Закон взаимосвязи массы и энергии. Энергия покоя.

[1, §34–40].




8

2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

2.1.Основные характеристики электростатического поля Электрический заряд и его свойства. Напряжённость электростатиче-

ского поля. Силовые линии электростатического поля. Потенциал электро-статического поля. Эквипотенциальные кривые Связь напряжённости и по-тенциала. Поток вектора напряжённости.

[1, §77, 79, 84, 85]. 2.2. Основные законы электростатического поля

Принцип суперпозиции электростатических полей. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Теорема Гаусса для электростатиче-ского поля в вакууме. Циркуляция вектора напряжённости электростатиче-ского поля. Работа сил электростатического поля по перемещению электри-ческого заряда.

Электрическое поле точечного заряда, заряженного проводящего ша-ра, заряженной проводящей сферы, заряженного проводящего бесконечно длинного цилиндра, заряженной проводящей бесконечно длинной нити, за-ряженной проводящей бесконечно большой плоскости, двух заряженных проводящих бесконечно больших плоскостей.

[1, §77, 78, 80–83, 86]. 2.3. Электрическое поле в веществе

Проводник в электростатическом поле. Явление электростатической индукции. Поле в проводнике и вблизи его поверхности. Электростатиче-ская защита.

Электрический диполь, его характеристики и электрическое поле. По-ведение диполя в однородном электрическом поле.

Полярные и неполярные диэлектрики. Диэлектрик в электрическом поле. Поляризация диэлектрика. Поле в диэлектрике. Диэлектрическая про-ни- цаемость. Вектор электрического смещения. Теорема Гаусса для электростатиче-ского поля в диэлектрике.

[1, §87–89, 92]. 2.4. Электрическая ёмкость

Электрическая ёмкость уединенного проводника, конденсаторы. Ём-кость конденсатора. Ёмкость плоского, сферического и цилиндрического конденсаторов. Последовательное и параллельное соединение конденсато-ров.

[1, §93, 94].




9

2.5. Энергия электрического поля Энергия заряженного конденсатора. Энергия однородного электриче-

ского поля. Объёмная плотность энергии электрического поля. [1, §95].

2.6. Постоянный электрический ток Электрический ток проводимости и его характеристики. Сторонние

силы. ЭДС источника тока. Закон Ома в интегральной и локальной формах. Последовательное и параллельное соединение резисторов. Закон Джоуля–Ленца в интегральной и локальной формах. Правила Кирхгофа. Классиче-ская электронная теория проводимости металлов. Электрический ток в жидкостях, газах. Электролиз.

[1, §96–108].

3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

3.1. Основные характеристики магнитного поля Индукция магнитного поля. Напряжённость магнитного поля. Маг-

нитный поток. Силовые линии магнитного поля. [1, §109].

3.2. Основные законы магнитного поля Принцип суперпозиции магнитных полей. Закон Био–Савара–

Лапласа. Закон постоянного тока. Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Закон Ампера. Взаимодействие проводников с током. Взаимодействие движущихся зарядов. Релятивистский характер магнитного поля.

Потокосцепление контура. Работа перемещения проводника с посто-янным током в магнитном поле. Работа перемещения контура с постоян-ным током в магнитном поле.

Магнитное поле движущейся заряженной частицы и различных про-водников с постоянным током.

[1, §110–121]. 3.3. Магнитное поле в веществе

Магнитные характеристики контура с током. Поведение контура с то-ком в магнитном поле. Магнитные моменты атомов. Поведение атома в магнитном поле. Диамагнетики. Парамагнетики. Ферромагнетики. Явление




10

магнитного гистерезиса. Магнитная проницаемость. Закон полного тока для магнитного поля в веществе.

[1, §131–136]. 3.4. Явление электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции. Основной закон электромаг-нитной индукции (закон Фарадея). Правило Ленца. Закон Максвелла для явления электромагнитной индукции. Вращение рамки в магнитном поле. Трансформаторы. Индуктивность. Явление самоиндукции. Экстратоки при размыкании и замыкании электрических цепей. Явление взаимной индук-ции. Коэффициент взаимной индукции.

[1, §122–129]. 3.5. Энергия магнитного поля

Энергия проводника с током. Энергия однородного магнитного поля. Объёмная плотность энергии магнитного поля.

[1, §130]. 3.6. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля Полная система уравнений Максвелла. Вихревое электрическое поле.

Ток смещения. Релятивистская инвариантность уравнений Максвелла. Ос-новные следствия теории Максвелла. Электромагнитные волны. Энергия волны. Плотность потока энергии (вектор Умова–Пойнтинга). Интенсив-ность волны.

[1, §137–139].

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Контрольная работа 1. Тема. Механика. Контрольная работа 2. Тема. Электростатика. Постоянный ток Контрольная работа 3. Тема. Магнитное поле. Электромагнитная ин-

дукция.

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ Лабораторная работа 1. Тема. Кинематика поступательного и враща-

тельного движения. Основы теории погрешностей. Лабораторная работа 2. Тема. Изучение динамики движения тела. Лабораторная работа 3. Тема. Измерение удельного электросопротив-

ления материала. Лабораторная работа 4. Тема. Законы постоянного тока. Лабораторная работа 5. Тема. Магнитное поле.




11

Лабораторная работа 6. Тема. Движение заряженных частиц в элек-тромагнитном поле.




12

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основные учебники: 1. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высш. шк., 1999. – 542 с.

Дополнительные учебники: 2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. – М.: Высш. шк.,

1999. –710 с. 3. Савельев И. В. Курс физики. Т. 1: Механика. Молекулярная физи-

ка. – М.: Наука, 1989. – 352 c. 4. Савельев И. В. Курс физики. Т. 2: Электричество. Колебания и вол-

ны. Волновая оптика. – М.: Наука, 1989. – 464 c. 5. Савельев И. В. Курс физики. Т. 3: Квантовая оптика. Атомная фи-

зика. Физика твёрдого тела. Физика атомного ядра и элементарных час-тиц. – М.: Наука, 1989. – 304 c.

Задачники: 6. Волькенштейн. В. С. Сборник задач по общему курсу физики. –М.:

Наука, 1990. Лабораторный практикум:

7. Расчеты в лабораторных работах: Метод. указания для студентов всех факультетов. – Л.: ЛТИХП, 1990.




13

Приложение 1 О ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

При решении физических задач обычно используются величины с

приближёнными числовыми значениями. Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется определить плот-

ность ρ вещества некоторого тела. При взвешивании тела на весах с точно-стью до 0,01 г определили его массу

( ) г010389 ,,m ±= .

Затем с точностью до 3см010, был измерен объём тела

( ) 3cм010463 ,,V ±= . Без критического подхода к вычислениям можно получить такой результат

33 смгсмг ...,,,

Vm 6599827102

463389

===ρ .

Но числа 9,38 и 3,46 – приближённые. Последние цифры в этих чис-лах недостоверны. Эти числа при измерении могли быть получены такими: первое – 9,39 или 9,37, а второе – 3,47 или 3, 45. В самом деле, при взвеши-вании с указанной выше точностью могла быть допущена ошибка на 0,01 г как в сторону увеличения массы, так и в сторону ее уменьшения. То же са-мое и в отношении объёма. Таким образом, плотность тела, если ее вычис-лить с точностью до девятого десятичного знака, как это сделано выше, могла оказаться

33 смгсмг ...,,, 1307397212453399

==ρ

или

33 смгсмг ...,,, 1842887002473379

==ρ .

Сравнение всех трёх результатов показывает, что они отличаются уже вторыми десятичными знаками и что достоверным является лишь первый десятичный знак, а второй – недостоверен. Цифры, выражающие остальные десятичные знаки, совершенно случайны, способны ввести лишь в заблуж-дение пользующегося вычисленными результатами, и показывают, что ав-тор этих вычислений не знаком с правилами приближённых вычислений и записи приближённых чисел. Следовательно, работа по вычислению боль-шинства знаков затрачена не только впустую, но и во вред автору (показы-вает его неграмотность). Во избежание бесполезных затрат труда и времени




14

принято вычислять кроме достоверных знаков еще только один недосто-верный, для возможности дальнейшего округления.

В рассмотренном примере нужно было вести вычисления до второго десятичного знака

33 смг712смг463389 ,,,

==ρ .

Теория приближённых вычислений позволяет: 1) зная погрешность исходных данных, оценить погрешность резуль-

тата еще до выполнения действий; 2) брать данные с надлежащей точностью, достаточной, чтобы обес-

печить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы из-бавить вычислителя от бесполезных расчетов;

3) рационализировать самый процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на достоверные цифры результа-та.

Значащими цифрами числа называют все цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, в числе 0,00385 три значащие цифры: 3, 8, 5; в числе 2500 – четыре: 2, 5, 0, 0; в числе 31052 ⋅, – две: 2, 5.

Нули, стоящие в середине или в конце числа (справа) являются зна-чащими цифрами, т. к. обозначают отсутствие единиц в соответствующем разряде.

Абсолютной погрешностью приближённого числа называется абсо-лютное значение разности между этим числом и его точным значением.

Относительной погрешностью приближённого числа называется от-ношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу.

Способ записи приближённых чисел. При приближённых вычислени-ях отличают запись 2,4 от 2,40; запись 0,02 от 0,0200 и т. д. Запись 2,4 оз-начает, что достоверны только две значащие цифры – цифры целых и деся-тых; истинное же значение числа может быть, например 2,43 или 2,38. За-пись 2,40 означает, что достоверны три значащие цифры – цифры целых, десятых и сотых; истинное же значение числа может быть, например 2,403 или 2,398, но не 2,421 и не 2,382.

То же отличие проводится и для целых чисел. Запись 382 означает, что достоверны все три значащие цифры; если же за последнюю цифру ру-чаться нельзя, то число округляется и записывается в виде 1038 ⋅ , но лучше записывать так: 310380 ⋅, . Запись же 380 означает, что последняя цифра (0) достоверна.




15

Для каждого приближённого числа должна быть известна его погреш-ность (абсолютная или относительная). Когда она прямо не указана, подра-зумевается, что абсолютная погрешность составляет половину единицы по-следнего выписанного разряда. Так, если приведено приближённое число 4,72 без указания погрешности, то подразумевается, что абсолютная по-грешность составляет половину от одной сотой, т. е. 0,005; для числа 47,2 – 0,05; для числа 472 – 0,5; для числа 4720 – 0,5; для числа 310724 ⋅, – 5.

Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания по-грешности числа, округленного по правилам.

Правила подсчета цифр при выполнении математических действий 1. При сложении, вычитании, умножении и делении в результате со-

храняют столько значащих цифр, сколько их содержится в числе с наи-меньшим количеством цифр.

Например, при сложении чисел 4,462+2,38+1,17273+1,0262=9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т. е. принять ее равной 9,04, т. к. слагаемое 2,38 задано с точностью до сотых долей. Например, вместо вы-числения выражения 18465427233 ,,, ⋅⋅ следует вычислять выражение

254273 ,,, ⋅⋅ . Исключения из этого правила допускаются в тех случаях, когда один

из сомножителей произведения начинается с единицы, а сомножитель, со-держащий наименьшее количество значащих цифр, начинается с какой-нибудь другой цифры. В этих случаях в результате сохраняют на одну циф-ру больше (так называемая запасная цифра), чем в числе с наименьшим ко-личеством значащих цифр.

2. Результат расчета значений функций nx , n x , xln , xlg некоторого приближённого числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x. Например, 741321 2 ,, ≈ или 24 101031102171 −− ⋅≈⋅ ,, .

3. При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну значащую цифру больше, чем рекомендуют правила 1 и 2 (так называемая запасная цифра). В окончательном результате запасная цифра отбрасывает-ся с выполнением правил округления.

Например,

( )310007215

730621723⋅⋅

⋅+,,

,,, .

Сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих цифр – две. По-этому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трёх значащих цифр




16

( ) 3333 10793

10310039

10310921320

10007215730621723 −⋅≈

⋅≈

⋅⋅

≈⋅⋅

⋅+ ,,

,,

,,,,

,,, .

Окончательный результат округляется до двух значащих цифр. После округления до двух значащих цифр получаем 31083 −⋅, .

Правила округления В первую очередь округляется погрешность приближённого числа.

Погрешность должна содержать не более двух значащих цифр. Если первая значащая цифра погрешности 1, 2, 3, то погрешность округляется до двух значащих цифр. Если первая значащая цифра погрешности 4, 5, 6, 7, 8, 9, то погрешность округляется до одной значащей цифры.

Во вторую очередь округляется приближённое число. Оно округляется до того же десятичного разряда, до которого округлялась погрешность это-го числа.

Например:

472±23 47,2±2,3 4,72±0,23 0,472±0,023

472±6 47,2±0,6 4,72±0,06 0,472±0,006 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше чем 5, то последняя из

сохраняемых увеличивается на единицу. 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше чем 5, то последняя из

сохраняемых не изменяется. 3. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, то последняя из со-

храняемых увеличивается на единицу. Если отбрасывается только одна цифра 5, а за ней нет значащих

цифр, то округление производится на ближайшее чётное число, т. е. по-следняя из сохраняемых цифр остается неизменной, если она чётная, и уве-личивается на единицу, если она нечётная.

В большинстве задач по физике числовые значения исходных данных

содержат три значащие цифры, поэтому ответ в задаче должен содержать также три значащие цифры. Исключение составляют некоторые задачи по ядерной физике, в которых требуется большая точность и, следовательно, большее число значащих цифр.

Советуем при вычислении пользоваться микрокалькулятором.




17

Приложение 2

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ∗

При измерениях любую искомую физическую величину определяют всегда с некоторой погрешностью. В задачу измерений входит не только получение наиболее вероятного значения искомой величины, но и оценка допущенной при измерениях погрешности.

Принято различать прямые и косвенные измерения. При прямых из-мерениях искомое значение величины находят непосредственно путем на-блюдений (например, измерение длины линейкой, силы тока – ампермет-ром, массы – пружинными весами). При косвенных измерениях искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, определенными в прямых измерениях. (на-пример: определение площади прямоугольника по длине его сторон, силы тока – по напряжению и сопротивлению электрической цепи и т. п.). Неза-висимо от вида измерения экспериментатор должен записывать результат с указанием наиболее вероятного значения (оценки) искомой величины и ин-тервала, в котором оно содержится, а также доверительной вероятности, т. е. надёжности результата измерений.

Обычно измерения проводят многократно, путем нескольких наблю-дений. За лучшую оценку истинного значения 0x искомой физической ве-личины принимают среднее арифметическое из полученных в процессе от-дельных наблюдений значений ix

nx

x i∑= ,

где n – число наблюдений. Абсолютная погрешность измерений ∆ есть абсолютное значение раз-

ности между x и 0x

0xx −=∆ .

Относительная погрешность измерений ε есть отношение абсолютной погрешности ∆ к среднему значению x

%100x∆

=ε .

∗ Более подробно обработка результатов измерений излагается в литературе

“Курепин В.В., Баранов И.В. Обработка экспериментальных данных: Метод. ука-зания для студентов 1, 2 и 3-го курсов всех спец.” (СПб.: СПбГУНиПТ, 2003).




18

Погрешности измерений по их свойствам принято подразделять на систематические и случайные. К систематическим погрешностям относятся такие, которые остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. К ним относятся методи-ческие погрешности, являющиеся следствием недостаточной проработан-ности метода измерений, а также неточности используемых расчётных со-отношений. Значительную долю в этой составляющей погрешности имеют инструментальные и личные погрешности. Первые являются следствием несовершенности измерительных приборов и устанавливаются классом их точности. Вторые определяются индивидуальными особенностями экспе-римента. Систематические погрешности возникают также за счёт непра-вильной установки средства измерения. Обнаруженные и рассчитанные систематические погрешности следует исключать из результата измерения путем введения поправок. Неисключенные остатки систематических по-грешностей переводят в разряд случайных и учитывают, например как ин-струментальные погрешности.

К случайным погрешностям относятся такие, которые изменяются случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины и появляются под влиянием целого ряда случайных причин: вибрации здания, трения в опорах измерительного механизма, скачков напряжения в сети, рассеяния внимания экспериментатора, несовершенства органов чувств и средств измерения. Случайные погрешности подчиняются статистическим закономерностям: увеличение числа наблюдений при одних и тех же усло-виях приводит к уменьшению случайных погрешностей. Необходимое чис-ло наблюдений в конечном итоге определяется соотношением случайной и систематической погрешностей. Если систематическая погрешность явля-ется определяющей, то измерения выполняют один раз, если основной яв-ляется случайная погрешность, то проводят многократные наблюдения.

Различают также грубые погрешности и промахи, явно выходящие за границы отклонений, обусловленных ходом эксперимента, квалификацией экспериментатора, свойствами примененных средств измерений и т. п. Ре-зультаты наблюдений, содержащие грубые погрешности и промахи, исклю-чают из рассмотрения.

Проводя многократные измерения, всегда получают совокупность слу-чайных результатов отдельных наблюдений ix . Математическая обработка результатов измерений (основанная на теории вероятностей) позволяет оп-ределить интервал значений bxa ≤≤ 0 , а также вероятность P , с которой величина 0x оказывается в этом интервале. Область значений [ ]b,a называ-ется доверительным интервалом, а соответствующее ему значение P – до-верительной вероятностью α . Для большинства технических измерений, а




19

также при физических измерениях в учебных лабораториях оценку по-грешностей производят для доверительной вероятности 950,=α .

Рассмотрим последовательность обработки результатов прямых и кос-венных измерений.

Прямые измерения 1. В результате прямых измерений получаем n значений измеряемой

величины

nx...,x,x,x 321 . 2. Находим среднее (наиболее вероятное) значение искомой величины

по формуле

∑=

=n

iix

nx

1

1 . (1)

3. Определяем оценку среднеквадратического отклонения результата из n измерений по формуле

( )

( )11

2

−

−

=∑

=

nn

xxS

n

ii

x . (2)

4. В зависимости от числа проведенных измерений n и для довери-тельной вероятности 950,=α из таблицы находим коэффициент Стьюдента

n,tα .

Число измерений n 2 3 4 5 6 7 10 20 30 n,tα 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,26 2,09 2,04

5. По паспорту измерительного прибора или из таблицы, вывешенной в лаборатории, определяем инструментальную погрешность иx∆ . Величина этой погрешности определяется классом точности или указывается в пас-порте прибора как предельная погрешность, т. е. для доверительной веро-ятности 9970,=α . Поэтому при принятом значении 950,=α инструмен-тальную погрешность результата измерений следует учитывать с коэффи-циентом 32 .

6. Находим абсолютную погрешность по формуле

( ) 2и

232

∆+=∆ α xxn, St . (3)




20

7. Находим относительную погрешность по формуле

%100⋅∆

=εxx . (4)

8. Округляем абсолютную и относительную погрешности до двух зна-чащих цифр (если правая из них меньше или равна 3) или до одной знача-щей цифры (если первая из них больше 3).

9. Округляем результат измерения. Число значащих цифр результата измерений должно быть ограничено порядком величины абсолютной по-грешности.

10. Записываем результат измерений с указанием единиц ∆±= xx ; %K=ε x при 950,=α .

Косвенные измерения При косвенных измерениях физическая величина z определяется

функциональной зависимостью ( )nx...,x,x,xfz 321= , (5)

где nx...,x,x,x 321 – непосредственно измеряемые величины или же величины, значения которых приводятся в справочных таблицах.

Вид этой функции различен и приводится в методических указаниях к лабораторной работе.

Обработка результатов косвенных измерений проводится в следую-щей последовательности:

1. Находим средние значения и погрешности (абсолютную и относи-тельную) каждой из непосредственно измеренных величин: nx...,x,x,x 321 . Погрешности

ix∆ и ixε определяются из прямых измерений или же как

инструментальная погрешность прибора при доверительной вероятности 950,=α . 2. Находится значение z искомой величины при средних арифмети-

ческих значениях параметров ( )nx...,x,x,xfz 321= . (6)

3. Погрешность искомой величины z зависит от погрешностей не-посредственно измеренных величин. Определение погрешности величины z можно выполнить одним из двух способов.




21

Способ 1. Вначале определяется абсолютная погрешность по формуле

∑=

∆

∂∂

=∆n

ix

iz ix

f

1

2

, (7)

где ix∆ – абсолютная погрешность величины ix . Частные производные

ixf

∂∂

вы-

числяются при ii xx = . Затем определяется относительная погрешность по формуле

%100zz

z∆

=ε . (8)

Способ 2. Вначале определяется относительная погрешность по формуле

%ln 1001

2

∑=

∆

∂∂

=εn

ix

iz ix

f , (9)

где ix∆ – абсолютная погрешность величины ix . Частные производные от лога-

рифма ixf

∂∂ ln

вычисляются при ii xx = .

Затем определяется абсолютная погрешность по формуле

100z

zz ε

=∆ . (10)

4. Округляем погрешности. 5. Округляем результат косвенных измерений и записываем с указа-

нием единиц по следующей форме:

zzz ∆±= ; %K=ε z при 950,=α .

Замечания . 1. Если искомая величина является функцией одной переменной

( 1=i ), то следует применять первый способ, и формула (7) принимает вид

xxx xf

xf

∆∂∂

=∆∂∂

=∆ .




22

Например, xAz sin= , где A – величина постоянная,

xAz sin= ; xz xA ∆=∆ cos .

2. Погрешность суммы и разности двух величин следует определять первым способом.

Например, ByAxz ±= . В соответствии с формулой (6) yBxAz ±= .

Абсолютная погрешность находится по формуле (7) 2222

yBA xz ∆+∆=∆ .

3. Если искомая физическая величина определяется как произведение или частное от деления нескольких непосредственно измеряемых величин, то следует использовать второй способ, например

γ

βα

=3

21

xxxA

z .

Прологарифмируем это выражение

321 xxxAz lnlnlnlnln γ−β+α+= . Учитывая, что производная от постоянной величины равна нулю, а

производная от натурального логарифма ii

ixx

x 1=

∂∂ ln , по формуле (9) полу-

чаем

2222222

3

32

2

22

1

1321 xxxz x

xx

xx

xεγ+εβ+εα=

∆γ+

∆β+

∆α=ε .






Баранов И. В., Частый В. Л.

ФИЗИКА КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1






2

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Основы кинематики Средняя скорость материальной точки

12

12ttrr

tr

−−

=∆∆

=rrr

rv ,

где rr∆ – перемещение; t∆ – промежуток времени; rr – радиус-вектор, ха-рактеризующий положение материальной точки в пространстве и прове-дённый из начала системы отсчёта в рассматриваемую точку. В прямо-угольной системе координат радиус-вектор

rr может быть выражен через его проекции x , y , z :

r r r rr x i y j z k= + + , где

r r ri j k, , − единичные векторы

(орты), совпадающие с положительными направлениями соответствующих

осей. Модуль rr определяется выражением: 222 zyxr ++= . Средняя путевая скорость

tS∆

=v ,

где S – путь, пройденный точкой. Мгновенная скорость

tr

ddr

r=v ,

tS

dd

=v ,

ktzj

tyi

tx

zyxrrrrrrr

dd

dd

dd

++=++= vvvv , 222zyx VVV ++=vr ,

где zyx vvv rrr ,, – проекции скорости vr на оси X , Y , Z , соответственно. Среднее ускорение

12

12ttt

a−−

=∆∆

=vvv rrr

r .

Мгновенное ускорение

ta

dd vrr

= ,

kt

jt

it

aaaa zyxzyx

rrrrrrr

dd

dd

dd vvv

++=++= , 222zyx aaaa ++=

r,

где zyx a,a,a rrr – проекции ускорения ar на оси X , Y , Z , соответственно.




3

Нормальное (центростремительное) ускорение

nR

anrr 2v

= , R

an

2v= ,

где R – радиус кривизны траектории в данной точке; nr – единичный век-тор нормали, направленный к центру кривизны.

Тангенциальное ускорение

τ=τrr

r

ta

dd v ,

ta

dd v

=τ ,

где τr – единичный вектор, связанный с движущейся точкой и направлен-

ный по касательной к траектории по вектору скорости vr . Полное ускорение при криволинейном движении

τ+= aaa nrrr , 22

τ+= aaa nr

. Классический закон преобразования (сложения) скорости при перехо-

де от одной инерциальной системы отсчёта к другой ur

rr+= ′vv , ur

rr−=′ vv ,

где vr и v ′r – скорости тела в системах отсчёта K и K ′ , соответственно; ur – скорость движения системы отсчёта K ′ относительно системы отсчёта K ,

const=ur . Преобразование ускорения при переходе от одной инерциальной сис-

темы отсчёта к другой aa ′=rr .

Уравнения кинематики поступательного равнопеременного движения ( )const=ar :

– для радиус-вектора и координат

2

2

00tatrr

rrr r

++= v ,

++=

++=

++=

2

2

2

2

00

2

00

2

00

tatzz

tatyy

tatxx

zz

yy

xx

v

v

v

;

– для скорости tarrr

+= 0vv , taxxx += 0vv , tayyy += 0vv , tazzz += 0vv .




4

Средняя угловая скорость

12

12tttz −ϕ−ϕ=

∆ϕ∆=ω ,

где zω – проекция вектора угловой скорости ωr на ось вращения, положи-

тельное направление которой связано с направлением вращения правилом правого винта.

Мгновенная угловая скорость

tddϕ=ωr

r,

tz ddϕ=ω .

Среднее угловое ускорение

12

12ttt −ω−ω

=∆ω∆

=εrrr

r , 12

12ttt

zzzz −

ω−ω=

∆ω∆

=ε ,

где zε – проекция вектора углового ускорения εr на ось вращения.

Мгновенное угловое ускорение

tddω

=εr

r , tz

z ddω

=ε .

Уравнения кинематики вращательного равнопеременного движения ( )const=εz

2

2

00tt z

zε

+ω+ϕ=ϕ , tzzz ε+ω=ω 0 .

Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристи-ками

RS ϕ= , Rω=v , Ran2ω= , Ra ε=τ .

Основы динамики материальной точки Импульс материальной точки

vrr mp = , где m – масса точки; vr – скорость движения точки.

Сила гравитационного притяжения двух материальных точек

221

rmmF γ= ,

где γ – гравитационная постоянная, 1110676 −⋅=γ , Н·м2/кг2; 1m и 2m – мас-сы точек; r – расстояние между точками.




5

Напряжённость гравитационного поля

mFG = ,

где F – гравитационная сила, действующая на тело массой m . Сила тяжести вблизи поверхности Земли

mgF = , 2З

З

RMg γ= ,

где g – ускорение свободного падения; ЗM – масса Земли; ЗR – радиус Земли.

Сила трения скольжения (всегда направлена против скорости vr ) давл норм.FF µ= ,

где µ – коэффициент трения скольжения; давл норм.F – сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. По третьему закону Ньютона сила нормального давления равна по модулю силе реакции опоры ( NF

rr−=давл норм. ).

Сила упругости упругодеформированного тела (закон Гука) xkF −= ,

где k – коэффициент упругости; x – деформация. Принцип суперпозиции для сил

∑=

=N

iiFF

1

rr.

Давление – физическая величина, равная силе nF (сжимающей), дей-ствующей по нормали на поверхность единичной площади,

SFp n= .

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона)

Ftp rr

=dd , Fam

rr= ,

где pr – импульс точки; Fr

– результирующая всех сил, действующих на точку; ar – ускорение, приобретаемое точкой.

Импульс силы – векторная физическая величина, равная произведе-нию силы F

r на время t∆ действия данной силы.




6

Положение и скорость центра масс (инерции) системы материальных точек

∑

∑

=

== N

ii

N

iii

c

m

rm

r

1

1

r

r ,

∑

∑

=

== N

ii

N

iii

c

m

m

1

1

vv

r

r .

Закон изменения импульса системы материальных точек

∑=

=N

iiF

tp

1

внешсистd

d rr.

Закон сохранения импульса замкнутой инерциальной системы

0d

d сист =t

pr или constсист =pr .

Однако и в незамкнутых системах закон сохранения импульса можно использовать в следующих случаях:

1) если результирующая всех внешних сил, действующих на любое тело системы, равна нулю (в этом случае 0внеш =∑ iF

r), то импульс систе-

мы сохраняется; 2) если проекции всех внешних сил на какое-то направление в сумме

равны нулю, то проекция импульса на это направление сохраняется; 3) если внешние силы, действующие на систему, много меньше внут-

ренних сил, то изменением импульса системы за счёт действия внешних сил можно пренебречь по сравнению с величиной импульса системы, а внутренние силы импульс системы не изменяют, таким образом,

constсист =pr .

Основы динамики твёрдого тела Момент силы относительно точки

[ ]FrMrrr

×= , ( )α= sinrFM , где rr – радиус-вектор, проведённый из этой точки в точку приложения си-лы F

r, α – угол между направлениями радиус-вектора rr и силы F

r.

Момент силы относительно оси

τ= FRM z ,




7

где R – расстояние от тела до оси Z; τF – проекция силы Fr

на направление вращения в плоскости, перпендикулярной оси Z.

Момент импульса относительно точки

[ ]prL rrr×= , ( )α= sinrpL ,

где pr – импульс; rr – радиус-вектор, проведённый из этой точки в точку приложения силы, α – угол между направлениями радиус-вектора rr и им-пульса pr .

Момент импульса относительно оси τ= pRLz ,

где R – расстояние от тела до оси Z; τp – проекция импульса на направле-ние вращения в плоскости, перпендикулярной оси Z.

Если тело вращается относительно оси Z, то zzz IL ω= ,

где I z – момент инерции тела относительно оси Z. Закон изменения момента импульса системы

∑=

=N

iiM

tL

1

внешсистd

d rr

.

Закон сохранения момента импульса замкнутой инерциальной систе-мы

0d

d сист =t

Lr

, или constсист =Lr

.

Однако и в незамкнутых системах закон сохранения момента импуль-са можно использовать в следующих случаях:

1) если результирующий момент всех внешних моментов сил, дейст-вующих на систему, равен нулю (в этом случае 0внеш =∑ iM

r), то момент

импульса системы сохраняется; 2) если сумма проекции моментов внешних сил на какое-то направле-

ние в сумме равна нулю, то проекция момента импульса на это направление сохраняется.

Момент инерции материальной точки 2mRI = ,

где R – расстояние от оси вращения до точки.




8

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр инерции шара,

2

52 RmIc = ,

где R – радиус шара. Момент инерции цилиндра (диска) относительно оси, совпадающей с

геометрической осью цилиндра (диска), 2

21 RmIc = ,

где R – радиус диска. Момент инерции тонкого обруча относительно оси, совпадающей с

геометрической осью обруча, 2RmIc = ,

где R – радиус обруча. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр

инерции стержня и направленной перпендикулярно оси стержня, 2

121

lmIc = ,

где l– длина стержня. Теорема Гюйгенса–Штейнера

2dmII c += , где I – момент инерции тела относительно произвольной оси Z ; I c – мо-мент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела и параллельной оси Z ; d – расстояние между осями.

Работа и энергия Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

2

2

кvmE = .

Кинетическая энергия вращающегося тела

2

2

кω

=IE ,

где I – момент инерции тела относительно оси вращения. Кинетическая энергия при плоском движении тела




9

22

22

кω

+= cc ImE v ,

где cv – скорость поступательного движения центра инерции тела; ω – уг-ловая скорость вращения относительно оси, проходящей через центр инер-ции тела.

Потенциальная энергия материальной точки массой 1m в гравитаци-онном поле материальной точки массой 2m

rmm

E 21п γ−= .

Потенциальная энергия материальной точки вблизи поверхности Зем-ли

hgmE =п , где g – ускорение свободного падения; h – высота над поверхностью Зем-ли.

Потенциальная энергия упругодеформированного тела

2

2п

xkE = ,

где k – коэффициент упругости; x – деформация. Связь между консервативной силой и потенциальной энергией

пgrad EF −=r

. Работа переменной силы

rFA rrdd = , ( ) SFSFFSFrFA

SSS

r

r

ddcosdd2

1

21 ∫∫∫∫ τ∧

− =τ=τ==rrrrrr

,

где rrd – элементарное перемещение; τr

– орт касательной к траектории движения; τF – проекция силы F

r на орт касательной τ

r.

Работа постоянной силы ( )τ= ∧rrFFSA cos .

Работа при вращении тела относительно неподвижной оси Z

∫ϕ

ϕ

− ϕ=2

1

d21 zMA .

Закон сохранения механической энергии консервативной инерциаль-ной замкнутой системы




10

0d

d м =t

E , constпкм =+= EEE .

Закон изменения механической энергии инерц сил

21ип.силвнутр.дисс

21внеш.сил

21м1м2 −−− ++=− AAAEE . Средняя мощность

tAN∆

= .

Мгновенная мощность

tAN

dd

= , ( ) vvv τ=α== FFFN cosrr,

где α – угол между направлениями силы и скорости. Коэффициент полезного действия (КПД)

затр

полезн

затр

полезнN

NA

A ==η ,

где полезнA и полезнN – полезные работа и мощность; затрA и затрN – за-траченные работа и мощность.

Элементы специальной теории относительности Преобразования Лоренца

21 β−

′+′=

txx v , yy ′= , zz ′= , 2

2

1 β−

′+′=

cxtt v ,

где штрихованные величины относятся к системе отсчёта K ′ , а нештрихо-ванные – к системе отсчёта K ; с – скорость света в вакууме; β – отноше-ние скоростей v и с , cv=β . Инерциальная система отсчёта K ′ движется с постоянной скоростью vr в положительном направлении оси X инерциаль-ной системы отсчёта K . Причем оси X ′и X совпадают, а оси Y ′ и Y и Z ′ и Z параллельны; в начальный момент времени начала координат совпа-дают.

Релятивистское замедление хода часов

20

1 β−

τ=τ ,

где 0τ – промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный по ча-сам, которые движутся вместе с телом (собственное время); τ – промежу-ток времени между теми же событиями, отсчитанный по неподвижным ча-сам.




11

Релятивистское (Лоренцево) сокращение длины 2

0 1 β−= ll , где 0l – длина стержня, измеренная в системе отсчёта, относительно кото-рой стержень покоится (собственная длина); l – длина стержня, измерен-ная в системе отсчёта, относительно которой стержень движется.

Релятивистский импульс

21 β−=

vrr mp ,

где m – масса покоя частицы. Полная энергия релятивистской частицы

2

2

1 β−=

mcE .

Энергия покоя релятивистской частицы 2

0 mcE = . Кинетическая энергия релятивистской частицы

−

β−=−= 1

1

12

20к mcEEE .

Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

2cEp vrr

= , ( )21 mcEEc

p += кк , 222 cmpcE += .




12

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Мяч бросили с поверхности Земли с начальной скоро-

стью 0100 ,=v м/с под углом α к горизонту. Найти: 1) на какую высоту H поднимется мяч; 2) на каком расстоянии L от места бросания мяч упадет на Землю; 3) сколько времени Bt мяч будет находиться в движении; 4) скорость мяча Bv

r в точке падения. Определить нормальное na и танген-циальное τa ускорения, радиус кривизны R в верхней точке A траектории и в момент времени 1511 ,t = с, после начала движения. Сопротивление воз-духа не учитывать.

Дано: Решение 0100 ,=v м/с, °=α 040, ,

1511 ,t = с. L – ? H – ? Bt – ? Bv

r – ? ( )An ta – ? ( )Ataτ – ? ( )1tan – ? ( )1taτ – ?

( )AtR – ? ( )1tR – ?

Выберем систему отсчёта. Начало отсчёта поместим в точке бросания O (рис. 1).

Рис. 1

Ось Y направим вертикально вверх, а ось X горизонтально в сторону движения мяча. Отсчёт времени начинается с момента бросания мяча. Тело совершает сложное движение – одновременно участвует в перемещении по горизонтали (вдоль оси X) и по вертикали (вдоль оси Y ). Траектория дви-жения мяча представляет собой параболу. Покажем на рисунке векторы скоростей 0v

r , Avr , Bv

r , которые являются касательными к траектории. Так как сопротивлением воздуха пренебрегаем, то полное ускорение

ar тела в любой момент времени будет равно ускорению свободного паде-ния gr и направлено вертикально вниз. Следовательно, уравнения кинема-тики поступательного движения тела в векторной форме будут иметь вид

gr

α

Y

X

A

Bβ

O

0vr Av

r

Bvr

xvr

yvr




13

2

200

tgtrrr

rr r++= v , tgrrr

+= 0vv .

В проекциях на оси X и Y они примут следующую форму: ( ) tx α= cos0v , (1.1)

constcos0 =α= vvx , (1.2)

( )2

sin2

0gtty −α= v , (1.3)

gty −α= sin0vv . (1.4)

В точке A, которая является точкой максимального подъёма тела, вер-тикальная составляющая скорости ( ) 0=Ay tv . Тогда выражение (1.4) при-мет вид

0sin0 =−α Agtv , (1.5) что позволяет определить время tA достижения телом точки A

gtA

α=

sin0v . (1.6)

Подставив выражение (1.6) для времени tA в уравнение (1.3), опреде-лим максимальную высоту подъёма тела

( )gg

gg

gtttyH AAA 2

sinsin2

sin2

sin22

02

220

220

2

0α

=α

−α

=−α==vvvv . (1.7)

В точке B, которая является точкой падения тела на Землю, координа-та ( ) 0=Bty . Поэтому из выражения (1.3) следует

( ) 02

sin2

sin 0

2

0 =

−α=−α= B

BB

BBgttgttty vv . (1.8)

Решение уравнения (1.8) позволяет определить время tB достижения телом точки B. С учётом того, что tB ≠ 0 , получаем

gtB

α=

sin2 0v . (1.9)

Подстановка полученного выражения (1.9) в формулу (1.1) позволяет определить расстояние L от точки бросания до точки падения




14

( ) ( )gg

ttxL BBαα

=α

α=α==sincos2sin2

coscos200

00vvvv . (1.10)

Модуль скорости тела в любой точке траектории

( ) ( )20

20

22 sincos gtyx −α+α=+= vvvvv . (1.11)

Подставив выражение (1.9) для времени tB в формулу (1.11), получим скорость мяча в точке B

022

022

0

20

022

0 sincossin2sincos vvvvvvv =α+α=

α−α+α=

ggB . (1.12)

Для определения направления вектора vr найдём угол β из соотноше-ния

( )( ) α−=

αα

−=α

α−α==β tg

cossin

cossin2sin tg

0

00v

vvvv

Bx

By

tt

, (1.13)

следовательно, α−=β . Тангенциальное ускорение τa , по определению ta ddv=τ , тогда из

уравнения (1.11) следует ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )202

0

02

02

0

0

sin cos

sin

sin cos

sin221

gt

gtggt

ggta−α+α

α−=

−α+α

−−α=τ

vvv

vvv . (1.14)

Так как полное ускорение 22τ+== aaga n , а тангенциальное уско-

рение τa выражается формулой (1.14), то можно найти нормальное ускоре-ние точки

( ) ( )20

20

022

sincos

cos

gtgagan

−α+α

α=−= τ

vv

v . (1.15)

Поскольку Ran2v= , то можно найти радиус кривизны для любой

точки траектории

( ) ( )( )

( ) ( )[ ]α

−α+α==

cossincos

0

232

02

02

vvvv

ggt

tattR

n. (1.16)

Для нахождения τa , na , R в верхней точке A траектории движения тела подставим в уравнения (1.14) – (1.16) выражение для времени tA (1.6)




15

( )( ) ( )

0 sin cos

sin sin

20

20

00

=−α+α

α−α

=τgt

gg

gta Avv

vv

м/с2,

( )( )

819 sin sin cos

cos2

00

20

0 ,g

gg

gta An ==

α−α+α

α=

vvv

v м/с2,

( ) ( ) ( )( ) 985819

040cos010 cos 220 ,

,,,

gtR A =

°⋅=

α=

v м.

Согласно формуле (1.7), высота подъёма ( )Aty тела в точке A составит

( ) ( ) ( ) 1128192

040sin010 22,

,,,tyH A =

⋅°⋅

== м.

Для нахождения величин τa , na , R в момент времени 1t подставим заданное значение времени в выражения (1.14) – (1.16)

( ) ( )( )( ) ( )( )

2221 см255

151819040sin010040cos010

040sin010151819819 ,,,,,,,

,,,,,ta =⋅−°⋅+°⋅

°⋅−⋅=τ ,

( ) 298255819 221 ,,,tan =−= м/с2,

( ) ( )( ) ( )( )( )( )

92940,0cos010819

15181940,0sin01040,0cos010 2322

1 ,,,

,,,,tR =°⋅⋅

⋅−°⋅+°⋅= м.

Используя формулы (1.9) и (1.10), определим время Bt полёта тела и расстояние L , на котором оно окажется в момент падения,

( ) 311819

40,0sin0102 ,,

,tB =°⋅⋅

= с,

( ) ( ) 0109,81

040sin040cos10,02 2,,,L =

°⋅°⋅⋅= м.

Ответ: 010,L = м, 112,H = м, 311,tB = с, 100 == vvB м/с, ( ) 819,ta An = м/с2, ( ) 0=τ Ata м/с2, ( ) 2981 ,tan = м/с2, ( ) 2

1 см255,ta =τ , ( ) 985,tR A = м, ( ) 9291 ,tR = м.




16

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выра-жаемому формулой 3CtBtA −+=ϕ , где ϕ – угол поворота тела в радианах;

010,B = рад/с; 2000,C = рад/с3; t – время в секундах. Найти величину и направление полного ускорения a точки, находящейся на расстоянии R = 0100, м от оси вращения, для момента времени 001,t = с.

Дано: Решение 3CtBtA −+=ϕ ,

010,B = рад/с; 2000,C = рад/с3,

R = 0100, м, 001,t = с.

a –? τ∧= aa rrβ – ?

На рис. 2 показаны направления векторов ско-ростей и ускорений.

Рис. 2

Известно, что ускорение ar точки при криволинейном движении есть векторная сумма тангенциального ускорения τar , направленного по каса-тельной к траектории, и нормального ускорения nar , направленного к цен-тру кривизны траектории,

naaa rrr+= τ ,

а его модуль равен 22naaa += τ . (2.1)

При вращении тела относительно неподвижной оси тангенциальное τa и нормальное na ускорения точки можно найти из следующих соотно-шений:

Ra ε=τ , Ran2ω= , (2.2)

где ω – угловая скорость тела; ε – его угловое ускорение; R – расстояние от точки до оси вращения тела Z .

Подставляя формулы (2.2) в выражение (2.1), находим 422422 ω+ε=ω+ε= RRRa . (2.3)

ωr

εr τar

nar

ar

R

R

Zvr

β




17

Угловая скорость ωr тела направлена вдоль оси Z в сторону (рис. 2),

связанную с направлением вращения правилом правого винта (т. е. от нас), и определяется следующим образом:

( ) 23 3dd

dd CtBCtBtA

tt−=−+=

ϕ=ω . (2.4)

Угловое ускорение ε тела

( ) CtCtBtt

63dd

dd 2 −=−=

ω=ε . (2.5)

Угловое ускорение является величиной отрицательной, так как кон-станта C больше нуля. Следовательно, тело совершает замедленное движе-ние. Вектор углового ускорения ε

r направлен в сторону, противоположную направлению угловой скорости ω

r . Тангенциальное ускорение τar направле-но в сторону противоположную направлению линейной скорости vr .

Подставляя заданные значения констант C,B , времени t и расстоя-ния R в формулу (2.3), находим значение полного ускорения a

( ) ( ) 84800120003010001200061000422 ,,,,,,,a =⋅⋅−+⋅⋅−= м/с2. (2.6)

Направление ar можно определить, если найти один из углов, которые вектор ar образует с касательной к траектории или с нормалью к ней.

Вычислим угол β (рис. 2). Косинус этого угла найдём, используя вы-ражения (2.2), (2.3), (2.4) и (2.5)

( ) ( )4224236

6βcosCtBCt

Ctaa

−+−=

ω+ε

ε== τ . (2.7)

Произведём вычисления

( ) ( )01360

0012000301000120006

00120006βcos422

,,,,,,

,,=

⋅⋅−+⋅⋅−

⋅⋅= .

Значение искомого угла составит ( ) °== 2890,0136arccosβ , .

Ответ: 848,a = м/с2, °= 289β , .




18

Пример 3. По наклонной плоскости вниз скользит тело массой 00,51 =m кг, связанное с грузом массой 00,22 =m кг нерастяжимой и не-

весомой нитью, перекинутой через невесомый блок. Найти силу натяжения T нити и ускорение a тела и груза, если коэффициент трения между телом и плоскостью 1000,=µ , а угол наклона плоскости к горизонту o0,36=α . Трением в блоке и массой блока пренебречь.

Дано: Решение o0,36=α ,

00,51 =m кг, 00,22 =m кг,

10,0=µ 0. T – ? a – ?

Движение тел можно рассматривать независимо друг от друга, выбирая для каждого из них свою сис-тему координат (рис.3).

Рис. 3 Для тела массой 1m выберем систему координат таким образом, что-

бы ось X была параллельна наклонной плоскости, а ось Y перпендикулярна оси X и направлена вверх. Для груза массой 2m достаточно одной верти-кальной оси Y ′ (рис. 3).

На тело действуют следующие силы: сила тяжести gm r1 , сила нор-

мальной реакции опоры Nr

, сила натяжения нити 1Tr

и сила трения сколь-жения трF

r, которая всегда направлена в сторону, противоположную движе-

нию (скорости) тела (см. рис. 3). Тогда второй закон Ньютона в векторной форме для тела будет иметь вид

11тр11 amFNgmT rrrrr=+++ . (3.1)

gr

αα

2ar

2Tr

gm r2

1ar

Nr

1Tr

трFr

Y ′

gm r1

Y

X




19

Проекции выражения (3.1) на оси X и Y будут иметь вид

11тр11 sin amFgmT =−α+− , (3.2)

0cos1 =α− gmN . (3.3)

Так как сила трения скольжения NF µ=тр , то с учётом выраже-ния (3.3)

α= cosμтр gmF 1 . (3.4)

Подставим формулу (3.4) в выражение (3.2) и получим

11111 amgmgmT =α−α+− cosμsin . (3.5)

На груз действуют сила тяжести gm r2 и сила натяжения нити 2T

r. Вто-

рой закон Ньютона для этого груза в векторной форме приобретает вид

2222 amgmT rrr=+ . (3.6)

Проекция полученного выражения на ось Y ′

2222 amgmT =− . (3.7)

Из условия нерастяжимости нити следует, что 21 aaa == , а из усло-вия невесомости нити и блока, и отсутствия в блоке сил трения следует, что

TTT == 21 . Учитывая эти следствия, уравнения (3.5) и (3.7) можно пере-писать в виде

amgmTgm 111 cossin =αµ−−α , (3.8)

amgmT 22 =− . (3.9) Решая совместно систему уравнений (3.8) и (3.9), получаем

( )21

21 cossinmm

mmga+

−αµ−α= , (3.10)

( ) ( )1cosμsin21

212 +α−α

+=+=

mmmmggamT . (3.11)

Подставим заданные числовые значения в выражения (3.10), (3.11) и произведём расчёт

( ) ( )[ ]7490

002005002036cos1000036sin005

819 ,,,

,,,,,,a =

+−°⋅−°⋅

= м/с2,




20

( ) ( )[ ] 1211036cos1000036sin002005002005819 ,,,,,,,,,T =+°⋅−°

+⋅

= Н.

Ответ: 121,T = Н, 7490,a = м/с2.




21

Пример 4. Движущийся по горизонтальной поверхности со скоростью 0101 ,=v м/с шар массой 20001 ,m = кг ударяется о неподвижный шар мас-

сой 10002 ,m = кг. Удар прямой центральный абсолютно упругий. Найти: а) скорости 1ur и 2ur шаров после удара; б) во сколько раз уменьшится кине-тическая энергия к1E первого шара после удара. Сопротивлением воздуха пренебречь. Трение шаров о поверхность отсутствует.

Дано: Решение 0101 ,=v м/с,

02 =v м/с, 20001 ,m = кг, 10002 ,m = кг.

1ur – ? 2ur – ?

к1

к1EE

′ – ?

В разделе “Динамика материальной точки” тела рассматриваются как материальные точки, что исклю-чает возможность их вращательного движения относи-тельно оси, связанной с самим телом. Таким образом, можно рассматривать только поступательное движение шаров.

На рис. 4 показаны два состояния системы: до и после соударения.

Рис. 4

Направление скорости 1ur первого шара после соударения выберем произвольно. Допустим, что скорости 1ur и 2ur направлены в противополож-ные стороны.

Выберем направление оси X , совпадающее с направлением скорости 1v

r первого шара до соударения. На шары действуют внешние силы: сила тяжести и сила нормальной

реакции опоры, однако проекции этих сил на ось X равны нулю, поэтому проекция импульса системы на ось X сохраняется

xx pp систсист ′= , (4.1)

где xx pp систсист , ′ – проекции импульсов системы до и после соударения.

11221121сист vvv mmmppp xxx =+=+= , (4.2)

соударения До соударения ПослеX

1m 2m1v

r02 =vr

Y1ur 2ur1m 2m

X

Yа б




22

221121сист umumppp xxx +−=′+′=′ , (4.3)

где xxxx p,p,p,p 2121 ′′ – проекции импульсов тел до и после удара. По условию удар является абсолютно упругим, следовательно, систе-

ма является консервативной, и появляется возможность использовать закон сохранения механической энергии

мм EE ′= . (4.4)

За нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии пE системы при-мем прямую, проходящую через центры масс шаров. Ввиду того, что высо-та центров масс тел в процессе соударения не изменяется, потенциальная энергия пE системы остаётся постоянной и равной нулю ( )0п =E . Таким образом, механическая энергия мE системы равна кинетической энергии. До соударения механическая энергия системы равна кинетической энергии только первого шара (так как второй шар покоится)

2

211

к1мVmEE == . (4.5)

После взаимодействия механическая энергия системы будет включать в себя кинетические энергии двух шаров

22

222

211

к2к1мumumEEE +=′+′=′ . (4.6)

Таким образом, законы сохранения (4.1) и (4.4) с учётом выражений (4.2), (4.3), (4.5), (4.6) можно записать следующим образом:

112211 umumm −=v , (4.7)

222

211

222

211 umumm

+=v . (4.8)

Решим систему уравнений (4.7), (4.8) относительно 21 u,u . Умножив на 2 уравнение (4.8) и сгруппировав члены, содержащие 1m в левой части уравнений (4.7) и (4.8), получим

( ) 22111 umum =+v , (4.9)

( ) 222

21

211 umum =−v . (4.10)

Преобразуем уравнение (4.10)

( )( ) 22211111 umuum =−+ vv , (4.11)




23

а затем разделим уравнение (4.11) на выражение (4.9), получим

211 uu =−v . (4.12) Выражение (4.12) подставим в уравнение (4.7)

( ) 1111211 umumm −−= vv , откуда получаем формулу для скорости 1u

21

1211 mm

mmu+−

= v . (4.13)

Используя выражения (4.12) и (4.13), находим скорость 2u

21

112

2mm

mu+

= v . (4.14)

Произведём вычисления по формулам (4.13) и (4.14)

33310002000200010000101 ,,,,,,u −=

+−

= м/с, 31310002000

200020102 ,,,

,,u =+

⋅= м/с.

Отрицательное значение скорости 1u свидетельствует о том, что на-правление движения первого тела после соударения было угадано неверно, но исправлять направление вектора 1ur на рисунке нельзя, так как это при-ведет к изменению выражения (4.3) и, следовательно, всего решения.

Кинетическая энергия первого шара после удара 2

21

12к1

2

21

1221

1211

к1 22

+−

=

+−

==′mmmmE

mmmmmumE v ,

следовательно,

0092000100010002000 22

12

21

к1

к1 ,,,,,

mmmm

EE

=

−+

=

−+

=′

.

Ответ: 3331 ,u −= м/с, 3132 ,u = м/с, 009к1

к1 ,EE

=′

.




24

Пример 5. Движущийся по горизонтальной поверхности со скоро-стью 0101 ,=v м/с шар массой 20001 ,m = кг ударяется о неподвижный шар массой 10002 ,m = кг. Удар прямой центральный абсолютно неупругий. Найти: а) скорость ur шаров после удара; б) часть кинетической энергии

к1EQ , которая переходит в теплоту. Сопротивлением воздуха и трением шаров о поверхность пренебречь.

Дано: Решение 0101 ,=v м/с,

02 =v м/с, 20001 ,m = кг, 10002 ,m = кг.

а) ur – ? б) к1E

Q –?

Выбор системы координат аналогичен примеру 4. Состояния системы до и после удара показаны на рис. 5.

При неупругом ударе в системе возникают неуп-ругие деформации и механическая энергия мE системы частично переходит в теплоту Q , поэтому механиче-ская энергия системы изменяется, т. е. закон сохране-ния механической энергии системы не выполняется.

Рис. 5

На шары действуют внешние силы: сила тяжести и сила нормальной реакции опоры, однако проекции этих сил на ось X равны нулю, поэтому проекция импульса системы на ось X сохраняется

xx pp систсист ′= , (5.1)

где xx pp систсист , ′ – проекции импульсов системы до и после соударения. Импульс системы до соударения

11221121сист vvv mmmppp xxx =+=+= , (5.2)

После абсолютно неупругого удара шары будут двигаться как единое тело со скоростью u , поэтому импульс системы после соударения

( )ummumumppp xxx 212121сист +=+=′+′=′ . (5.3)

соударения До соударения После

X

1m 2m1v

r02 =vr

Yur

( )21 mm +Y

X

а б




25

Из выражений (5.1), (5.2) и (5.3) получаем скорость u шаров после соударения

121

1 vmm

mu+

= . (5.4)

Теплоту Q , выделившуюся при соударении шаров, определим по за-кону изменения механической энергии

мм EEQ ′−= , (5.5) где мE , мE ′ – механические энергии системы до и после соударения. Фор-мулы для расчёта механических энергий имеют следующий вид (объясне-ние см. в примере 4):

2

211

к1мvmEE == , (5.6)

( )222

221

22

21

к2к1кмummumumEEEE +

=+=′+′=′=′ . (5.7)

Преобразуем формулу (5.5) с учётом соотношений (5.4), (5.6) и (5.7)

( )

+

=

+

=+

−=21

2к1

21

2211

221

211

222 mmmE

mmmmummmQ vv . (5.8)

Искомая доля кинетической энергии к1E , перешедшей в теплоту Q ,

+

=21

2

к1 mmm

EQ . (5.9)

Произведём вычисления по формулам (5.4) и (5.9)

67601010002000

2000 ,,,,

,u =⋅+

= м/с, 333010002000

1000

к1,

,,,

EQ

=

+= .

Ответ: 676,u = м/с, 3330к1

,EQ

= .




26

Пример 6. Снаряд массой 0m , летевший горизонтально со скоростью 100=v м/с, разрывается на две равные части на высоте 040,h = м. Одна

часть падает через 251,t = с на Землю точно над местом взрыва. Опреде-лить величину и направление скорости 2u второй части снаряда сразу после взрыва. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: Решение

,mmmm2

021 ===

100=v м/с, 040,h = м,

251,t = с. 2u – ?

α – ?

Точка O начала отсчёта системы координат нахо-дится на поверхности Земли (рис. 6), ось X горизон-тальна и направлена в сторону движения снаряда. Ось Y направлена вертикально вверх.

Рис. 6 Силы, возникающие при взрыве снаряда, настолько велики, что внеш-

ними силами можно пренебречь. И для момента взрыва к рассматриваемой системе “снаряд – осколки” можно применить закон сохранения импульса

систсист pp ′=rr . (6.1)

До взрыва импульс системы vrr

0сист mp = . (6.2) После взрыва импульс системы

221121сист umumppp rrrrr+=′+′=′ , (6.3)

где 21 p,p ′′ rr и 21 u,u rr – импульсы и скорости первого и второго осколков после взрыва.

Подставим выражения (6.2) и (6.3) в закон (6.1), получим

22110 umumm rrr+=v . (6.4)

систp′r

1p′r

2p′r

α

Y

XO

систpr

h

разрыва До разрыва После




27

В проекциях на оси координат выражение (6.4) примет вид: проекция на ось X

xumm 220 =v , откуда

vv 22

02 ==

mmu x , (6.5)

проекция на ось Y

11220 umum y −= , откуда

12 uu y = . (6.6)

Выражения (6.5) и (6.6) позволяют найти искомые величины

21

2222 4 uuuu yx +=+= v ,

=

=α

v2arctgarctg 1

2

2 uuu

x

y .

Для нахождения скорости 1u воспользуемся уравнением движения первого осколка

2

210

tgturrr

rrr++=

и спроектируем его на ось Y

2

2

1gttuhy −−= . (6.7)

В момент падения первого осколка на Землю координата 0=y и из уравнения (6.7) имеем

−=

−=

222

1gt

th

tgthu .

Таким образом, окончательные расчётные формулы примут вид 2

22 2

4

−+=

gtthu v ,

−=α

v21

2arctg gt

th .


2022

251819251

04010042

22 =

⋅

−+⋅=,,

,,u м/с,




28

°≈

⋅

⋅

−=α 37710021

2251819

251040arctg ,,,

,, .

Ответ: 2022 =u м/с, °=α 377, .




29

Пример 7. Найти работу A, совершаемую при подъёме тела массой 010,m = кг с поверхности Земли ( 01 =h ) на высоту 1002 =h м. Тело пере-

мещается из состояния покоя с ускорением 5000,a = м/с2. Силу сопротив-ления воздуха не учитывать.

Дано: Решение 010,m = кг,

01 =h м, 01 =v м/с 1002 =h м, 5000,a = м/с2.

A – ?

Точка O начала отсчёта находится на поверхно-сти Земли. Выберем направление оси Y , совпадающее с направлением движения тела (рис. 7).

Рис. 7 1-й способ. На тело действуют сила тяжести gmr и сила F

r. Согласно

второму закону Ньютона,

amgmF rrr=+ .

Проектируя это выражение на ось Y , получаем mamgF =− . (7.1)

Так как const=a , то справедливо утверждение, что сила постоянна. Работа, совершаемая постоянной силой,

α= cosSFA , (7.2)

где S – путь, пройденный телом, α – угол между направлением силы Fr

и направлением перемещения. С учётом выражения (7.1) и того, что

212 hhhS =−= и °=α 0 , преобразуем формулу (7.2)

( ) ( ) 2212 hagmFhhhFA +==−= . (7.3) 2-й способ. Данную задачу можно решить с использованием закона

изменения механической энергии, согласно которому

м1м2 EEA −= , где м2м1 E,E – механические энергии тела на поверхности Земли ( )01 =h и на высоте 2h , соответственно. По определению, механическая энергия тела

пкм EEE += ,

ar

gmr

FrY

O X




30

где пк E,E – кинетическая и потенциальная энергии тела. Принимая за уро-вень отсчёта потенциальной энергии поверхность Земли ( )0п1 =E и учиты-вая, что начальная скорость тела 01 =v , получим 0м1 =E . Таким образом, работа A по подъёму данного тела на высоту 2h

2

22

п2к2м2 2mghmEEEA +=+==

v . (7.4)

где 2v – скорость тела на высоте 2h . Так как тело участвует в равноускоренном движении, то уравнения

кинематики материальной точки

2

2

11tatrr

rrr r

++= v , tarrr+= 1vv ,

в проекциях на ось Y для момента времени t (достижения высоты 2h ) при-мут вид

2

2

2ath = , at=2v .

Из выражения для высоты 2h получаем время подъёма, которое по-зволяет определить скорость на высоте 2h ,

аht 22= , ah

аha 2

22 22 ==v .

Тогда выражение (7.4) для работы запишем в виде

( )gamhmghahmEA +=+== 222

м2 22 . (7.5)

Итак, мы получили выражение, тождественное формуле (7.3). Подста-вим значения заданных величин и найдём

( ) 310Дж 103101005000819010 ,,,,A ==+= кДж.

Ответ: 310,A = кДж.




31

Пример 8. Через блок в виде однородного цилиндра массой 300=m г, вращающегося вокруг горизонтальной оси, перекинута невесо-

мая и нерастяжимая нить, на концах которой закреплены грузы массами 3001 =m г и 2002 =m г. Пренебрегая трением в оси блока, найти линейное

ускорение a грузов и силы натяжения нитей 21 T,T .

Дано: 300=m г = 300,0 кг, 3001 =m г = 300,0 кг, 2002 =m г = 200,0 кг.

a – ? 1T – ? 2T – ?

Решение Выберем системы отсчёта для тел, рас-

сматриваемых в задаче. Блок вращается вокруг неподвижной оси. Поэтому для описания его движения воспользуемся осью Z , совпадающей с осью вращения блока и направленной от нас (рис. 8).

Рис. 8

Грузы двигаются прямолинейно, поэтому для описания их движения достаточно одной оси Y , направленной вертикально вниз (по движению более тяжелого груза).

Каждый из грузов находится под действием двух сил: силы тяжести gm r и силы натяжения нити T

v. Тогда для данных грузов второй закон Нью-

тона будет иметь вид

1111 amgmT rrr=+ , (8.1)

2222 amgmT rrr=+ , (8.2)

εr

R Z

1Mr

2Mr

gr

2Tr

gm r2

2ar

б2Tr

R

1Tr

1ar

б1Tr

gm r1 Y

gmr

Nr




32

Нить нерастяжима, поэтому грузы будут двигаться с ускорениями, равными по модулю ( 21 aaa == ), но направленными в противоположные стороны. Проектируя на ось Y уравнения (8.1) и (8.2), получим

amTgm 111 =− , (8.3)

amTgm 222 −=− . (8.4) Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходя-

щей через его центр, поэтому моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Так как нить движется без скольжения относительно блока, то можно утверждать, что вращение блока вызывается действием сил натяже-ния б1T

r и б2T

r. Основное уравнение динамики вращательного движения

твёрдого тела

ε=+rrr

IMM 21 , (8.5)

где 21 M,Mrr

– моменты сил натяжения нити б1Tr

и б2Tr

, модули которых со-ответственно равны

RTM 1б1 = , RTM 2б2 = ,

где R – плечо сил б1Tr

и б2Tr

(радиус диска). Проектируя уравнение (8.5) на ось Z , получим

ε=− IMM 21 , ε=− IRTRT б21б . Учитывая, что угловое ускорение связано с тангенциальным Ra=ε , а

из условия невесомости нити следует, что 1б1 TT = , 2б2 TT = , запишем

( )RaIRTT =− 21 . (8.6)

Как известно, момент инерции блока (сплошного диска)

2

2mRI = ,

поэтому выражение (8.6) упрощается

amTT221 =− . (8.7)

Получена система уравнений, включающая выражения (8.3), (8.4) и (8.7),




33

=−

+=

−=

amTT

amgmT

amgmT

221

222

111

.

Решив данную систему относительно 21 и TT,a , получим

221

21mmm

mmga++

−= ,

2

22

21

21

1 mmm

mmmgT

++

+

= ,

2

22

21

12

2 mmm

mmmgT

++

+

= .

Подставив заданные числовые значения в полученные выражения, рассчитаем искомые величины

5112300020003000

20003000819 ,/,,,

,,,a =++

−= м/с2,

492

2300020003000

23000200023000

8191 ,,,,

,,,,T =

++

+⋅

= Н,

262

2300020003000

23000300022000

8192 ,,,,

,,,,T =

++

+⋅

= Н.

Ответ: 511,a = м/с2, 4921 ,T = Н, 2622 ,T = Н.




34

Пример 9. Стержень из однородного материала массой 0,601 =m г и длиной 0501 ,=l см висит вертикально в положении равновесия. Он может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси Z , проходящей через один из его концов. В точку, отстоящую от оси вращения на расстоянии

0402 ,=l см, попадает пуля массой 0,102 =m г, летящая горизонтально со скоростью 400=v м/с перпендикулярно оси вращения. Пуля застревает в стержне. Найти угловую скорость ω, с которой начинает двигаться стер-жень сразу после попадания пули, и максимальный угол отклонения стерж-ня ϕ .

Дано: Решение

0501 ,=l см = 500,0 м, 0402 ,=l см = 0,400 м, 0,601 =m кг, 0,102 =m г = 310010 −⋅, кг,

400=v м/с. ω – ? ϕ – ?

На стержень действует сила нормальной реакции опоры N

r, приложенная к точке O , и

сила тяжести gm r1 , приложенная к центру

масс стержня (рис. 9).

Рис. 9

На пулю действует сила тяжести gm r2 . В течение взаимодействия пу-

ли со стержнем моменты сил Nr

, gm r1 , gm r

2 относительно точки O равны нулю, так как линия их действия проходит через эту точку (плечо силы равно нулю).

Таким образом, для системы “пуля – стержень” можно применить за-кон сохранения момента импульса относительно точки O

систсист LL ′=rr

, (9.1)

где систLr

, систL′r

– моменты импульса до и после взаимодействия.

O

vr

gm r2

1l

2l

ωr

систLr

1h∆

2h∆

ϕ

rr

Nr

gm r1

Z




35

Учитывая, что система состоит из двух тел, запишем

2121 LLLLrrrr′+′=+ , (9.2)

где 1Lr

и 2Lr

– моменты импульса стержня и пули до взаимодействия; 1L′r

и

2L′r

– моменты импульса стержня и пули после взаимодействия. До взаимодействия с пулей стержень был неподвижен, следовательно,

его момент импульса 01 =Lr

. Момент импульса пули 2Lr

, движущейся по-ступательно,

[ ]vrrr22 mrL = , (9.3)

где rr – радиус–вектор пули относительно точки O ; 2m – масса пули; vr – линейная скорость пули.

После абсолютно неупругого соударения стержень и пуля будут дви-гаться вместе, начиная вращение относительно оси Z с угловой скоро-стью ω

r.

( )ω+=ω+ω=′+′ rrrrr212121 IIIILL , (9.4)

где 1I и 2I – моменты инерции стержня и пули относительно оси Z . Таким образом, закон сохранения момента импульса (9.2) приобретёт

вид

[ ] ( )ω+=rr r

212 IImr v . (9.5) Выберем направление оси Z , совпадающее с вектором ω

r (от нас). Проекция уравнения (9.5) на ось Z запишется в следующем виде:

( ) ω+= 2122 IIm vl . (9.6) Моменты инерции стержня и пули относительно оси вращения Z

3212

211

21

1

211

1lll mmmI =

+= , 2

222 lmI = .

Подставляя выражения для моментов инерции 21, II в уравнение (9.6) и решая его относительно угловой скорости ω, получим

v222

211

22

33

ll

l

mmm+

=ω .

Используя исходные значения, вычисляем




36

320040040001001035000060

4000100103232

3,

,,,,,,

=⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅=ω −

− рад/с.

После соударения систему “пуля–стержень” можно считать консерва-тивной. Поэтому воспользуемся законом сохранения механической энергии

вм

нм EE = , (9.7)

где нмE и в

мE – механическая энергия системы в нижнем и в верхнем поло-жениях стержня.

Механическая энергия нмE системы сразу после попадания пули

(окончания абсолютно неупругого удара)

( )2211

221н

пнк

нм 2

ghmghmIIEEE ++ω+

=+= , (9.8)

где 1h и 2h – высоты центров масс стержня и пули относительно поверхно-сти Земли.

Механическая энергия вмE системы в момент окончания вращательно-

го движения

2211вп

вм hgmhgmEE ′+′== , (9.9)

где 1h′ и 2h′ – высоты центров масс стержня и пули относительно поверхно-сти Земли в верхнем положении.

Подставим выражения (9.8) и (9.9) в закон сохранения энергии (9.7)

( )22112211

221

2hgmhgmghmghmII ′+′=++

ω+ .

После преобразований получим

( )2211

221

2hgmhgmII

∆+∆=ω+ , (9.10)

где 21 hh ∆∆ , – высоты подъёма центров масс стержня и пули, соответст-венно, которые найдём, воспользовавшись рис. 9,

( )ϕ−=∆ cos121

1lh , ( )ϕ−=∆ cos122 lh . (9.11)

На основе выражений (9.10) и (9.11) получим

( ) ( ) ( )

ϕ−+ϕ−=

ω+ cos1cos122 221

1

221 l

l mmgII ,




37

откуда выразим, а затем рассчитаем значение искомого угла отклонения ϕ

( )( )

+ω+

−=ϕ2211

2222

211

6331arccos

ll

ll

mmgmm ,

( )( ) °=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅

−=ϕ−

−383

4000100106500006038193200400010010350000601arccos 3

2232,

,,,,,,,,,, .

Ответ: 3200,=ω рад/с, °=ϕ 383, .




38

Пример 10. Определить импульс p и кинетическую энергию кЕ электрона (в мегаэлектронвольтах), движущегося со скоростью c,90=v , где с – скорость света в вакууме.

Дано: Решение 31

0 1011,9 −⋅=m кг, c,90=v .

p – ? кE – ?

Так как скорость электрона близка к скоро-сти света, то его необходимо рассматривать как релятивистскую частицу с импульсом

( )22 11 cV

mmp−

=β−

=vv .


22831

10645103908101

10119 −−

⋅=⋅⋅−⋅

= ,,,

,p кг⋅м/с.

Кинетическая энергия кE релятивистской частицы определяется как разность между ее полной энергией E и энергией покоя 0E

( )

−

−=−= 1

1

12

20к

cmcEEE

v.


( ) 132831к 100611

8101110310119 −− ⋅=

−

−⋅⋅= ,

,,E Дж = 0,663 МэВ.

Ответ: 2210645 −⋅= ,p кг⋅м/с, 6630к ,E = МэВ.




39

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1

Вариант контрольной работы выбирается из таблицы по двум послед-ним цифрам номера зачетной книжки (шифра).

Номер варианта Порядковый номер задачи Предпоследняя цифра шифра

Последняя цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7

1 101 112 123 134 145 156 167 2 102 113 124 135 146 157 168 3 103 114 125 136 147 158 169 4 104 115 126 137 148 159 170

0, 1, 2, 3 5 105 116 127 138 149 160 161 6 106 117 128 139 150 151 162 7 107 118 129 140 141 152 163 8 108 119 130 131 142 153 164 9 109 120 121 132 143 154 165 0 110 111 122 133 144 155 166 1 101 113 125 137 149 151 163 2 102 114 126 138 150 152 164 3 103 115 127 139 141 153 165 4 104 116 128 140 142 154 166

4, 5, 6 5 105 117 129 131 143 155 167 6 106 118 130 132 144 156 168 7 107 119 121 133 145 157 169 8 108 120 122 134 146 158 170 9 109 111 123 135 147 159 161 0 110 112 124 136 148 160 162 1 101 114 127 140 143 156 169 2 102 115 128 131 144 157 170 3 103 116 129 132 145 158 161 4 104 117 130 133 146 159 162

7, 8, 9 5 105 118 121 134 147 160 163 6 106 119 122 135 148 151 164 7 107 120 123 136 149 152 165 8 108 111 124 137 150 153 166 9 109 112 125 138 141 154 167 0 110 113 126 139 142 155 168




40

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 1 101. Точка движется по окружности радиусом 20,1=R м. Уравнение

движения точки имеет вид: 3BtAt +=ϕ , где 500,0=A рад/с, 200,0=B рад/с3. Определить тангенциальное τa , нормальное na и полное

a ускорения точки в момент времени 00,4=t с. 102. Тело брошено со скоростью 0v =20,0 м/с под углом °=α 030, к

горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени 501,t = с после начала движения нормальное na и тангенциальное

τa ускорение. 103. Определить скорость v и полное ускорение a точки в момент

времени 00,2=t с, если она движется по окружности радиусом 00,1=R м согласно уравнению 3BtAt +=ϕ , где 00,8=A рад/с, 00,1−=B рад/с3.

104. Тело брошено горизонтально со скоростью 0v =8,71 м/с с башни, высота которой H =35,0 м. Определить радиус кривизны траекторииR в момент времени =t 0,50 с после начала движения и дальность полета тела S в момент падения его на Землю.

105. Точка движется по окружности с постоянным угловым ускоре-нием =ε 3,00 рад/с. Определить радиус окружности, если к концу первой секунды после начала движения полное ускорение точки 507,a = м/с.

106. Начальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, 0080 ,=v м/с. Через =1t 0,500 с после начала движения его скорость стала

равна =1v 7,00 м/с. Под каким углом α к горизонту брошен камень. 107. Точка движется по окружности радиусом 00,8=R м. В момент

времени 1t нормальное ускорение точки 004,=na м/с2, а вектор полного ускорения ar образует с вектором нормального ускорения nar угол °=α 060, . Найти скорость v и тангенциальное ускорение τa точки в этот момент вре-мени 1t .

108. Пуля выпущена с начальной скоростью 2000 =v м/с под углом °=α 060, к горизонту. Определить наибольшую высоту подъема H и даль-

ность полета S пули. Сопротивлением воздуха пренебречь. 109. Диск, радиус которого равен 30,0 см, вращается так, что точка

лежащая на его краю, имеет линейную скорость, меняющуюся по закону 32 ВtАt +=v , где A=4,00 м/с3, B =12,0 м/с4. Определить величину и на-




41

правление полного ускорения ar этой точки и угловое ускорение ε диска при t =0,100 с.

110. Камень, брошенный горизонтально с высоты 00,2=h м над Зем-лей, упал на расстоянии 007,=l м от места бросания (считая по горизонта-ли). Найти начальную 0v и конечную v скорости камня.

111. Брусок массой 050,m = кг начинает двигаться по горизонталь-ной плоскости под действием горизонтальной силы 025,F = Н. Найти ко-эффициент трения скольжения µ , если через время 005,t = с после начала движения модуль скорости бруска 5000,=v м/с.

112. К телу массой 040,m = кг, скользящему по горизонтальной плос-кости, прикладывается сила 060,F = Н, направленная вниз под углом

°=α 030, к плоскости. Коэффициент трения скольжения 1000,=µ . Опреде-лить модуль ускорения a , с которым будет двигаться тело.

113. Груз массой 045,m = кг перемещается по горизонтальной плос-кости равномерно под действием силы 294=F Н, направленной вверх под углом °=α 030, к плоскости. Определить коэффициент трения скольже-ния µ .

114. Два груза массами 98001 ,m = кг и 20002 ,m = кг связаны неве-сомой и нерастяжимой нитью и лежат на гладком столе. К левому грузу 1m приложена сила 3051 ,F = H, направленная в сторону от правого груза 2m . К правому грузу в противоположном направлении приложена сила

9022 ,F = H. Найти силу натяжения нити T при движении грузов (трением пренебречь).

115. Доска приставлена к горизонтальному столу так, что она состав-ляет с плоскостью стола угол °=α 060, . Два груза массами 00121 ,mm == кг каждый соединены между собой невесомой и нерастяжимой нитью, пере-кинутой через неподвижный и невесомый блок. Грузы могут перемещаться, соответственно, вниз по доске и по столу. Найти силу натяжения нити T и модуль ускорения a системы, если коэффициент трения скольжения для обеих поверхностей 3000,=µ .

116. Локомотив массой 050,m = т тянет за собой два вагона массами 0401 ,m = т каждый с постоянной скоростью v . Найти силу тяги F двигате-

ля локомотива и силы 1F и 2F в точках сцепления, действующие на каждый вагон, если коэффициент трения скольжения 310050 −⋅=µ , .

117. Тело массой 010,m = кг поднимают силой 150=F H по наклон-ной плоскости, составляющей угол °=α 030, с горизонтом. Сила, прило-




42

женная к телу направлена горизонтально. С каким ускорением a будет дви-гаться тело, если коэффициент трения скольжения 3000,=µ .

118. Автомобиль движется прямолинейно вдоль оси X так, что урав-нение его движения имеет вид 26000002 t,t,x += м, где t – время, с. Найти силу тяги F двигателя автомобиля, если сила трения скольжения

mg,F ⋅= 1000тр , а масса автомобиля 003,m = т. 119. Тело массой 010,m = кг поднимают силой 139=F H по наклон-

ной плоскости, составляющей угол °=α 040, с горизонтом. Эта сила при-ложена к телу под углом °=β 060, , относительно горизонта и направлена вверх. С каким ускорением a будет двигаться тело, если коэффициент тре-ния скольжения равен 3000,=µ .

120. Тело соскальзывает по гладкой наклонной плоскости ( )0=µ длиной 010,=l м за время 002,t = с. Какой угол α в градусах составляет данная плоскость с горизонтом?

121. При горизонтальном полете со скоростью 250=v м/с снаряд массой 00,8=m кг разорвался на две части. Большая часть массой

00,61 =m кг получила скорость 4001 =u м/с в направлении полета снаряда. Определить модуль и направление скорости 2ur меньшей части снаряда.

122. Шар массой 00,11 =m кг движется со скоростью 0021 ,=v м/с и сталкивается с шаром массой 00,22 =m кг, движущимся навстречу ему со скоростью 0032 ,=v м/с. Каковы скорости 1u и 2u шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим прямым центральным.

123. Снаряд, летевший со скоростью 400=v м/с, разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40 % от массы сна-ряда, полетел в противоположном направлении со скоростью 1501 =u м/с. Определить скорость 2u большего осколка.

124. Шар массой 00,51 =m кг движется со скоростью 0011 ,=v м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой 00,22 =m кг. Найти скорости 1u и 2u шаров после удара? Удар абсолютно упругий прямой центральный.

125. В деревянный шар массой 00,81 =m кг, подвешенный на нити длиной 801,=l м, попадает горизонтально летящая пуля массой

00,42 =m г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застряв-шей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол °=α 003, ?

126. Шар массой 00,11 =m кг движется со скоростью 5031 ,=v м/с, догоняет шар массой 00,22 =m кг, движущийся в том же направлении со




43

скоростью 0012 ,=v м/с и сталкивается с ним. Каковы скорости 1u и 2u ша-ров после удара? Удар считать абсолютно упругим прямым центральным.

127. Шар массой 00,31 =m кг движется со скоростью 0021 ,=v м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой 00,52 =m кг. Какая работа A бу-дет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим прямым центральным.

128. Движущийся шар массой 1m ударяется о неподвижный шар мас-сой 2m . Каким должно быть отношение масс 21 mm , чтобы при централь-ном абсолютно упругом ударе скорость первого шара уменьшилась в 1,50 раза? Какой кинетической энергией к2E′ будет при этом обладать второй шар, если кинетическая энергия первого шара до удара составляла

00,1к1 =E кДж? 129. Шар массой 00,51 =m кг ударяется о неподвижный шар массой

50,22 =m кг, который после удара стал обладать кинетической энергией 00,5к2 =′E Дж. Считая удар центральным и абсолютно упругим, найти для

первого шара кинетические энергии к1E до удара и к1E ′ после удара. 130. Движущийся шар массой 2001 =m г ударяется о неподвижный

шар массой 4002 =m г. Считая удар абсолютно упругим и центральным, найти какую часть кинетической энергии к1E первый шар передает второ-му.

131. Из ствола автоматического пистолета, который жестко закреп-лен, вылетела пуля массой 0,101 =m г со скоростью 3001 =v м/с. Затвор пистолета массой 2002 =m г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой 0,25=k кН/м. На какое расстояние l∆ отойдет затвор после вы-стрела? Какая работа A будет совершена силой упругости упрF пружины?

132. Какую нужно совершить работу A, чтобы пружину жесткостью 800=k кН/м, сжатую на 0061 ,=∆l см, дополнительно сжать на

0082 ,=∆l см? 133. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной

пружины положить груз, то пружина сожмется на 003,=∆l мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты

00,8=h см? 134. При сжатии невесомой пружины в пистолете была совершена

работа 1200,A = Дж. Затем из пружинного пистолета был произведен вы-стрел пулей массой 00,82 =m г. Определить максимальную силу maxF ,




44

прикладываемую для сжатия пружины, и скорость v пули при вылете ее из пистолета. Коэффициент жесткости пружины 150=k Н/м.

135. Груз массой 0,10=m кг перемещают с постоянным ускорением a вверх по наклонной плоскости с углом у основания °=α 045, на расстоя-ние 00,2=S м. Найти работу, совершаемую при перемещении груза, если время движения 00,2=t c, а коэффициент трения скольжения 1000,=µ . Перед началом движения груз находился в состоянии покоя.

136. Какую работу A необходимо произвести, чтобы телеграфный столб массой 2001 =m кг, к вершине которого прикреплена крестовина массой 0,302 =m кг, перевести из горизонтального положения в вертикаль-ное? Длина столба 0,10=L м.

137. Тело массой 00,2=m кг под действием силы 0,50=F H подни-мается по наклонной плоскости с углом у основания °=α 030, на высоту

00,1=h м. Направление силы F совпадает с направлением движения тела. Коэффициент трения тела скольжения 2000,=µ . Определить величину со-вершаемой работы A. Найти скорость v тела в момент окончания подъема.

138. Тело массой 00,5=m кг поднимают вертикально вверх на высо-ту 0,10=h м под действием силы 120=F H. Найти конечную скорость v тела, используя закон сохранения энергии.

139. На тонкой невесомой нити длиной 001,L = м висит груз массой 002,m = кг. Какую начальную скорость 0v нужно сообщить грузу, чтобы он

смог сделать полный оборот? 140. Автомобиль, двигаясь равноускоренно из состояния покоя раз-

вивает скорость 0542 ,=v км/ч. Найти отношение работы 1A , совершаемой двигателем автомобиля при разгоне из состояния покоя до 0271 ,=v км/ч, к работе 2A , затраченной на увеличение скорости от 1v до 2v . Силами трения и сопротивления пренебречь.

141. Тонкостенный цилиндр, масса которого 0,12=m кг, а диаметр основания 0,30=d см, вращается согласно уравнению 3CtBtA ++=ϕ , где

00,4=A рад; 00,2−=B рад/с; 20,0=C рад/с3. Определить действующий на цилиндр момент сил M в момент времени 00,3=t с.

142. На обод маховика (диска) диаметром 0,60=d см намотан неве-сомый и нерастяжимый шнур, к концу которого привязан груз массой

00,2=m кг. Груз, опускаясь, раскручивает маховик. Определить момент инерции I маховика, если он, вращаясь равноускоренно, за время 00,3=t с приобрел угловую скорость 00,9=ω рад/с.




45

143. Невесомая и нерастяжимая нить с привязанными к ее концам грузами массами 0,501 =m г и 0,602 =m г, соответственно, перекинута че-рез блок диаметром 00,4=d см. Определить момент инерции I блока, если он получил угловое ускорение 50,1=ε рад/с2.

144. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середи-ну, согласно уравнению 3BtAt +=ϕ , где 00,2=A рад; 2000,B = рад/с3. Определить вращающий момент M , действующий на стержень через время

00,2=t с после начала вращения, если момент инерции стержня 048,0=I кг·м2. 145. Определить момент силы M , который необходимо приложить к

блоку, вращающемуся с частотой 012,n = с–1, чтобы он остановился в тече-ние времени 00,8=t с. Диаметр блока 0,30=d см. Массу блока 00,6=m кг считать равномерно распределенной по ободу.

146. Блок, имеющий форму диска, массой 4000,m = кг, вращается под действием силы натяжения невесомой и нерастяжимой нити, к концам которой подвешены грузы массами 30001 ,m = кг и 70002 ,m = кг. Опреде-лить силы 1T и 2T натяжения нити по обе стороны блока.

147. Однородный стержень длиной 001,=l м и массой 5000,m = кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходя-щей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если вращающий момент 5000,M = Н·м, а момент силы трения

3тр 10005 −⋅= ,M Н·м

148. Шар массой 0,10=m кг и радиусом 0,20=R см вращается во-круг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид: 32 CtBtA ++=ϕ , где 00,5=A рад; 00,4=B рад/с2; 1000,C −= рад/с3. По какому закону меняется момент сил M , действующих на шар? Какова величина момента сил M в момент времени 00,2=t с?

149. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром 0,75=d см и массой 0,40=m кг приложена сила 00,1=F кН. Определить

угловое ускорение ε и частоту вращения n маховика через время 0,10=t с после начала движения, если радиус шкива 0,12=R см. Силой трения пре-небречь.

150. Однородный диск радиусом 020,R = см и массой 005,m = кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости ω от времени задается уравнением BtA +=ω , где 008,=A рад/с,




46

008,B = рад/с2. Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска, угловое ускорение ε и частоту вращения n диска через 001,t = с по-сле начала движения.

151. Однородный тонкий стержень массой 20001 ,m = кг и длиной 001,=l м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, перпен-

дикулярной стержню и проходящей через его центр масс. В верхний конец стержня попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпен-дикулярно оси вращения стержня) со скоростью 010,=v м/с и прилипает к стержню. Масса шарика 0102 ,m = г. Определить угловую скорость ω сис-темы “стержень–шарик” сразу после взаимодействия.

152. Карандаш, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую ω и линейную скорости v будут иметь в конце падения: 1) середи-на карандаша; 2) его верхний конец? Длина карандаша 015,=l см.

153. На краю платформы в виде диска, вращающегося по инерции вокруг вертикальной оси с частотой 00,81 =n мин–1, стоит человек массой

0,701 =m кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вра-щаться с частотой 0,102 =n мин–1. Определить массу 2m платформы. Мо-мент инерции I человека рассчитывать как для материальной точки.

154. Однородный стержень длиной 001,=l м подвешен на горизон-тальной оси, проходящей через верхний конец стержня. На какой угол ϕ необходимо отклонить стержень, чтобы нижний конец стержня при прохо-ждении положения равновесия имел скорость 005,=v м/с?

155. На краю неподвижной платформы в виде диска диаметром 002,=d м и массой 2001 =m кг стоит человек массой 0,602 =m кг. С ка-

кой угловой скоростью ω начнет вращаться платформа, если человек пой-мает летящий на него мяч массой 500,03 =m кг? Траектория мяча горизон-тальна и проходит на расстоянии 001,=R м от оси платформы. Скорость мяча 005,=v м/с. Момент инерции I человека рассчитывать как для мате-риальной точки.

156. Маховик в виде диска массой 0,80=m кг и радиусом 0,30=R см находится в состоянии покоя. Какую работу A нужно совер-

шить, чтобы сообщить маховику частоту 0,24=n с–1? Какую работу 1A пришлось бы совершить, если бы при той же массе m диск имел меньшую толщину, но вдвое больше радиус RR 21 = ?

157. В центре вращающейся горизонтальной платформы массой 080,m = кг и радиусом 001,R = м стоит человек и держит в расставленных




47

руках гири. Во сколько раз увеличится кинетическая энергия платформы с человеком, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от

9421 ,I = до 98002 ,I = кг·м2? Считать платформу однородным диском. 158. Определить линейную скорость v центра шара, скатившегося

без скольжения с наклонной плоскости высотой 00,1=h м. 159. Горизонтальная платформа массой 080,m = кг и радиусом 001,R = м вращается с частотой 0201 ,n = об/мин. В центре платформы сто-

ит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой 2n бу-дет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой мо-мент инерции от 9421 ,I = до 98002 ,I = кг·м2? Считать платформу одно-родным диском.

160. Шар и сплошной цилиндр, двигаясь с одинаковой скоростью v , вкатываются вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимается вы-ше? Найти отношение высот подъема.

161. Тело движется с постоянной скоростью v относительно инер-циальной системы отсчета. При каком значении скорости v длина тела в этой системе отсчета будет в два раза меньше его собственной длины? Чему равна относительная величина сокращения длины тела?

162. Ракета движется со скоростью v относительно инерциальной системы отсчета. При каком значении скорости v длина ракеты в этой сис-теме отсчета будет на =η 36 % меньше её собственной длины?

163. Во сколько раз увеличивается продолжительность существова-ния нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью v , составляющей 99 % скорости света в вакууме c?

164. Найти импульс p , полную E и кинетическую кE энергии (в ме-гаэлектронвольтах) электрона, движущегося со скоростью c,750=v , где c – скорость света в вакууме ( кг10119 31−⋅= ,me ; Дж10601эВ1 19−⋅= , ).

165. Частица движется со скоростью 3c=v , где c – скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя 0E составляет кинетическая кE энер-гия частицы?

166. При каком значении cv=β , где v – скорость движения части-цы; c – скорость света в вакууме, полная энергия E любой частицы веще-ства в 3=n раза больше ее энергии покоя 0E ?

167. Найти скорость движения электрона, если его полная энергия E в 10 раз больше энергии покоя 0E .




48

168. Скорость электрона c,80=v , где c – скорость света в вакууме. Зная энергию покоя электрона МэВ51100 ,E = , определить в тех же едини-цах кинетическую энергию кE электрона.

169. Во сколько раз полная энергия E электрона, обладающего кине-тической энергией 53,1к =E МэВ, больше его энергии покоя

МэВ51100 ,E = ? 170. При каком значении cv=β , где v – скорость движения части-

цы; c – скорость света в вакууме, кинетическая энергия кE частицы будет равна удвоенной энергии покоя 0E этой частицы?




49

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица 1

Единицы СИ

Физическая величина Единица

Наименование Наименование Обозначение

русское международное

Основные единицы Длина метр м m Масса килограмм кг kg Время секунда с s Термодинамическая температура

кельвин К K

Сила электрического тока ампер А A Количество вещества моль моль mol Сила света кандела кд cd

Дополнительные единицы Плоский угол радиан рад rad Телесный угол стерадиан ср sr

Некоторые производные единицы Волновое число метр в минус первой

степени м–1 m–1

Давление паскаль Па Pa Импульс килограмм-метр

на секунду кг⋅м/с kg⋅m/s

Импульс силы ньютон- секунда Н⋅с N⋅s Коэффициент затухания секунда в минус

первой степени с–1 s–1

Коэффициент ослабления метр в минус первой степени

м–1 m–1

Механическое напряжение паскаль Па Pa Модуль объёмного сжатия паскаль Па Pa Модуль продольной упру- гости

паскаль Па Pa




50

Окончание табл. 1 Физическая величина Единица



Модуль сдвига паскаль Па Pa Момент импульса килограмм-метр

в квадрате на секун-ду

кг⋅м2/с kg⋅m2/s

Момент инерции килограмм-метр в квадрате кг⋅м2 kg⋅m2

Момент силы ньютон-метр Н⋅м N⋅m Мощность ватт Вт W Объём, вместимость кубический метр м3 m3 Объёмная плотность элек- трического заряда

кулон на кубический метр Кл/м3 C/m3

Период секунда с s Плотность килограмм

на кубический метр кг/м3 kg/m3

Площадь квадратный метр м2 m2 Работа джоуль Дж J Сила ньютон Н N Скорость метр в секунду м/с m/s Угловая скорость радиан в секунду рад/с rad/s Угловое ускорение радиан на секунду

в квадрате рад/с2 rad/s2

Удельный объём кубический метр на килограмм м3/кг m3/kg

Ускорение метр на секунду в квадрате м/с2 m/s2

Частота вращения секунда в минус первой степени с–1 s–1

Частота периодического процесса герц Гц Hz

Энергия джоуль Дж J




51

Таблица 2 Десятичные кратные и дольные приставки и множители

Приставка Множитель Пример

Наименование Обозначение


экса Э E 1810 1 Эм = 1810 м пета П P 1510 1 Пм = 1510 м тера Т T 1210 1 Тм = 1210 м гига Г G 910 1 Гм = 910 м мега М M 610 1 Мм = 610 м кило к k 310 1 км = 310 м гекто г h 210 1 гм = 210 м дека да da 110 1 дам = 110 м деци д d 110− 1 дм = 110− м санти с c 210− 1 см = 210− м милли м m 310− 1 мм = 310− м микро мк µ 610− 1 мкм = 610− м нано н n 910− 1 нм = 910− м пико п p 1210− 1 пм = 1210− м фемто ф f 1510− 1 фм = 1510− м атто а a 1810− 1 ам = 1810− м

Приставку или ее обозначение следует писать слитно с наименовани-

ем единицы, к которой она присоединяется, или с ее обозначением. Присоединение двух и более приставок подряд не допускается. Кратные и дольные единицы должны выбираться таким образом, что-

бы числовые значения величины находились в диапазоне от 0,1 до 1000. (Выбор десятичной кратной или дольной единицы диктуется прежде всего удобством ее применения.)

Для уменьшения вероятности ошибок при расчетах десятичные крат-ные и дольные единицы рекомендуется подставлять только в конечный ре-зультат, а в процессе вычислений все величины выражать в единицах СИ, заменяя приставки множителями n10 .




52

Таблица 3 Основные физические постоянные (округленные значения)

Величина Обозначение Значение величины

Нормальное ускорение свободного падения ng 819, м/с2

Скорость света в вакууме c 8103 ⋅ м/с Гравитационная постоянная γ 1110676 −⋅, Н.м2/кг2






Годвинская Н.В., Прошкин С.С.







2


Электростатика Электрический заряд состоит из отдельных элементарных положи-

тельных или отрицательных зарядов. Элементарный положительный заряд несут протон (масса протона кг10671 27−⋅= ,mp ), однозарядный катион, по-зитрон; элементарный отрицательный заряд – электрон (масса электрона

кг10119 31−⋅= ,me ). Элементарный заряд eq равен Кл10601 19−⋅, . Закон Кулона определяет силу взаимодействия двух точечных непод-

вижных электрических зарядов в вакууме (точечными зарядами называются заряды, размеры которых много меньше расстояния между ними):

221

041

rqqF

πε= ,

где q q1 2, – электрические заряды; r – расстояние между зарядами; элек-трическая постоянная – 12

0 10858 −⋅=ε , Ф/м. Сила Кулона направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, ее направление выбирается из условия: од-ноименные точечные заряды отталкиваются, а разноименные – притягива-ются.

Напряженность электрического поля численно равна силе, действую-щей на пробный положительный заряд q0 , помещенный в данную точку поля, деленной на величину этого заряда (пробный заряд должен обладать достаточно малыми размерами, чтобы не искажать измеряемое поле):

0qFEr

r= ,

где Fr

– сила, действующая на положительный пробный заряд 0q , поме-щенный в данную точку электрического поля. Напряженность является си-ловой характеристикой электрического поля. Направление вектора напря-женности совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд.

Потенциал электрического поля является энергетической скалярной характеристикой электрического поля и численно равен отношению потен-циальной энергии пробного точечного заряда, помещенного в данную точку поля из бесконечности, к величине этого заряда:

0qW

=ϕ ,




3

где W – потенциальная энергия заряда 0q , перенесенного в данную точку электрического поля из бесконечности. Потенциальная энергия бесконечно удаленной точки принимается равной нулю.

Принцип суперпозиции для напряженности электрического поля. На-пряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности

∑=i

iEErr

,

где iEr

– напряженность электрического поля, созданного i -м зарядом в данной точке. Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов.

Принцип суперпозиции для потенциала электрического поля. Потен-циал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме по-тенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности

∑ϕ=ϕi

i ,

где iϕ – потенциал электрического поля, созданного i -м зарядом. Объемная плотность заряда – физическая величина, определяемая от-

ношением равномерно распределенного заряда q в объеме V к величине этого объема

Vq

=ρ .

Поверхностная плотность заряда – физическая величина, определяе-мая отношением равномерно распределенного заряда q по поверхности S к величине площади этой поверхности

Sq

=σ ,

где S – площадь поверхности, по которой равномерно распределен заряд q . Линейная плотность заряда – физическая величина, определяемая от-

ношением равномерно распределенного заряда q по длине заряженной нити l к длине нити

l

q=τ .

Элементарный поток вектора напряженности через малый участок по-верхности площадью Sd

).cos(ddd nESESEErrrr

==Φ




4

Полный поток вектора напряженности через поверхность произволь-ной формы площадью S

∫=ΦS

E SErr

d ,

где Sr

d – вектор, равный по модулю площади Sd и направленный в сторо-ну положительной нормали nr к поверхности Sd .

Теорема Гаусса для вектора напряженности в вакууме. Полный поток вектора напряженности через замкнутую поверхность площади S равен ал-гебраической сумме всех зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную 0ε

∑∫ ε=

ii

S

qSE0

1drr

, ∫∫ ρε

=VS

VSE d1d0

rr,

где qi – заряды, заключенные внутри объема V , ограниченного замкнутой поверхностью S ; ρ– объемная плотность заряда.

Напряженность и потенциал электрического поля точечного заряда в среде

204

1rqE

επε= ,

rqεπε

=ϕ04

1 ,

где q – электрический заряд; r – расстояние от точечного заряда до данной точки поля; ε – диэлектрическая проницаемость среды.

Напряженность и потенциал электрического поля внутри проводяще-го шара или проводящей сферы

0=Er

, Rq

επε=ϕ

041 ,

где R – радиус шара или сферы; ε – диэлектрическая проницаемость сре-ды, в которой находится шар.

Напряженность и потенциал электрического поля вне проводящего шара или проводящей сферы

204

1rqE

επε= ,

rqεπε

=ϕ04

1 ,

где q – электрический заряд, заключенный внутри шара или распределен-ный по поверхности сферы; r – расстояние от центра шара или сферы до данной точки поля; ε – диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится сфера или шар.




5

Напряженность электрического поля бесконечной равномерно заря-женной плоскости

02 εεσ

=E ,

где σ – поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов электрического поля бесконечной равномерно

заряженной плоскости между точками с координатами 21 x,x

( )210

12 2xx −

εεσ

=ϕ−ϕ .

Напряженность электрического поля внутри диэлектрического шара, равномерно заряженного по объему

E r qrR

= =ρε ε πε ε3

140 0

3 ,

где q – электрический заряд; ρ – объемная плотность заряда шара; r – расстояние от центра шара или сферы до данной точки поля; R – радиус шара; ε – диэлектрическая проницаемость материала шара.

Напряженность электрического поля бесконечной равномерно заря-женной нити и поля вне бесконечного равномерно заряженного цилиндра

rE

ετ

πε=

021 ,

где τ – линейная плотность заряда; r – расстояние от оси нити или цилин-дра до данной точки поля.

Разность потенциалов электрического поля бесконечной равномерно заряженной нити или вне бесконечного равномерно заряженного цилиндра

2

1

012 ln

2 rr

εεπτ

=ϕ−ϕ ,

где 21 r,r – расстояния от оси нити или цилиндра до данных точек поля. Работа сил поля при перемещении заряда в электрическом поле из

точки 1 в точку 2

( )21поля сил

12 ϕ−ϕ= qA ,

поля сил12

силвнеших 12 AA −= , ( )12

силвнешних 12 ϕ−ϕ= qA .

Электрическая емкость конденсатора




6

ϕ∆=

qC ,

где q – заряд конденсатора, т. е. заряд, расположенный на положительно заряженной обкладке; ϕ∆ – разность потенциалов между обкладками.

Электрическая емкость плоского конденсатора

dSC 0εε

= ,

где S – площадь пластины; d – расстояние между пластинами; ε – диэлек-трическая проницаемость среды между пластинами.

Электрическая емкость сферического конденсатора

12

2104

RRRRC−

εεπ= ,

где 1R и 2R – соответственно радиусы внутренней и внешней обкладок, ε – диэлектрическая проницаемость среды, находящейся между обкладка-ми.

Электрическая емкость цилиндрического конденсатора

1

20

ln2

RRC l

εεπ= ,

где 1R и 2R – соответственно радиусы внутренней и внешней обкладок; l– длина конденсатора, ε – диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора.

Электрическая емкость при последовательном соединении конденса-торов

∑=i iCC

11 .

Электрическая емкость при параллельном соединении конденсаторов

∑=i

iCC .

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

∑=

ϕ=n

iiiqW

121 ,

где iq – i-й заряд системы; iϕ – потенциал, создаваемый в месте нахож-дения i-го заряда всеми остальными зарядами системы.




7

Энергия заряженного конденсатор

CqqCW222

22=

ϕ∆=

ϕ∆= .

Постоянный ток Сила электрического тока равна отношению малого заряда, перене-

сенного через поперечное сечение проводника за малый промежуток вре-мени к величине этого промежутка

tqI

dd

= .

В случае постоянного тока данная формула преобразуется к следую-щему виду:

tqI = .

Электрическое сопротивление однородного проводника

SR l

ρ= ,

где ρ – удельное сопротивление материала проводника; S – площадь попе-речного сечения проводника; l – длина проводника.

Закон Ома для замкнутой цепи: ток, протекающий в замкнутой цепи, состоящей из источника тока, обладающего внутренним сопротивлением, и внешнего сопротивления, определяется формулой

rRI

+=

E ,

где E – электродвижущая сила (ЭДС) источника тока; R – внешнее сопро-тивление цепи; r – внутреннее сопротивление источника тока.

Закон Ома для участка однородной цепи: сила тока, текущего по од-нородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напря-жения на проводнике U и обратно пропорциональна сопротивлению про-водника R

RUI = .

Закон Джоуля – Ленца:

tRItR

UtUIQ ∆=∆=∆= 22

,




8

где Q – энергия, выделяемая в проводнике за время t∆ ; I – ток, проте-кающий через проводник; U – падение напряжения на проводнике; R – электрическое сопротивление проводника.

Мощность электрического тока, выделяющаяся во внешней цепи

RIR

UUIP 22

=== .

Полная мощность источника тока EIP = .

КПД источника тока

rRR

PP

+==η

затр

полезн .

Последовательное соединение резисторов. Результирующее сопротивление при последовательном соединении

нескольких резисторов

∑=i

iRR .

Связь между падениями напряжений при последовательном соедине-нии резисторов

.UUi

i∑=общ

В случае последовательного соединения двух резисторов

2

1

2

1RR

UU

= .

Связь между токами при последовательном соединении резисторов I I I I Iiобщ = = = =; 1 2 3 ...

Параллельное соединение резисторов. Результирующее сопротивление при параллельном соединении не-

скольких резисторов

∑=i iRR

11 .

Связь между падениями напряжений при параллельном соединении резисторов

...UUUUU i ==== 321общ ;




9

Связь между токами при параллельном соединении резисторов

.общ ∑=i

iII

В случае параллельного соединения двух резисторов

.RR

II

1

2

2

1 =

Правила Кирхгофа – первое правило:

∑ = 0kI ,

где в левой части выражения стоит алгебраическая сумма токов, сходящих-ся в узле. Узлом называется точка, в которой сходится более чем два про-водника. Ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак (плюс или минус), текущий от узла – имеющим другой знак (минус или плюс);

– второе правило:

∑ ∑= kkk RI E ,

где в левой части выражения стоит алгебраическая сумма падений напря-жения на отдельных участках произвольного замкнутого контура; в правой части выражения стоит алгебраическая сумма ЭДС, действующих в этом контуре. Знаки падений напряжения и ЭДС выбираются в соответствии с направлением обхода замкнутого контура: токам, текущим в направлении обхода, приписывается положительный знак, текущим в противоположную сторону – отрицательный; ЭДС, действующим в направлении обхода, сле-дует приписать знак плюс, в противном случае – минус. Уравнение, отве-чающее второму правилу Кирхгофа, может быть составлено для всех замк-нутых контуров, которые можно выделить мысленно в данной цепи. Одна-ко независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга.




10

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Три точечных заряда нКл001321 ,qqq === расположены в

вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд 0q нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в ме-ханическом равновесии? Дано: Решение.

Кл10001нКл001 91

−⋅== ,,q Кл10001нКл001 9

2−⋅== ,,q Кл10001нКл001 9

3−⋅== ,,q

0q –?

0Fr

2Fr

αr

a

-q0

Fr

3Fr

q2

q3

q1

2Fr

Все три заряда, расположенные в вершинах треугольника, находятся в

одинаковых условиях. Поэтому достаточно рассмотреть один из зарядов, например, 1q . Выясним, какой заряд 0q нужно поместить в центр треуголь-ника, чтобы заряд 1q находился в механическом равновесии. Условием та-кого равновесия является равенство нулю векторной суммы всех дейст-вующих на заряд q1 сил:

00032 =+=++ FFFFFrrrrr

, (1)

где 2Fr

, 3Fr

, 0Fr

– силы, с которыми соответственно действуют на заряд 1q за-ряды F;q,q,q

r032 – равнодействующая сил 2F

r и 3F

r. Применив теорему ко-

синусов, получим следующее выражение:

α++= cos2 322

32

22 FFFFF .

В равностороннем треугольнике °=α 60 и расстояние от центра тре-угольника до его вершины определяется по формуле

( ) ( ) 3260cos22cos2 aaar =

°=

α= .

Применив закон Кулона и имея в виду, что ,qqq 132 == найдем

20

2132

4 aqqFF

πε== ,




11

откуда

( ) ( ) 34

06cos12cos12 20

21

22 aqFFF

πε=°+=α+= .

С другой стороны, по закону Кулона

20

012

0

010

4π3

π4 aqq

rqqF

ε=

ε= .

Поскольку силы 32 FF = , вектора сил Fr

и 0Fr

лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, то можно перейти к скалярно-му равенству

00 ,0 FFFF ==− ,

20

21

20

01

43

43

aq

aqq

πε=

πε,

откуда

Кл10775310001

310

91

0−

−⋅=

⋅== ,,qq .

Ответ: Кл10775 10

0−⋅= ,q .




12

Пример 2. Найти напряженность поля в точке, лежащей посередине между точечными зарядами Кл102,30иКл10701 88 −− ⋅⋅, , находящимися в ке-росине. Расстояние между зарядами равно 0,200 м. Дано: Решение.

Кл10701 81

−⋅= ,q Кл10302 8

2−⋅= ,q

м1000221 ,rrr ===

м2000,r = 002,=ε

E –?

2q1q

r

1Er

2Er

Согласно принципу суперпозиции электрических полей напряжен-

ность результирующего поля Er

может быть найдена как векторная сумма напряженностей 1E

r и 2E

r отдельных зарядов

21 EEErrr

+= . (1)

Так как векторы напряженности rE1 и

rE2 направлены по одной пря-

мой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заме-нить скалярным

12 EEE −= . (2) Напряженность поля точечного заряда выражается формулой

204 r

qEπεε

= .

Подставляя в формулу (2) значения 21, EE , и учитывая, что напряжен-ность ищется на равном удалении от зарядов, получим

( )=

−πεε

=πεε

−πεε

= 212

0220

12

10

24

444 r

qqr

qr

qE

Ответ: В/м.10702 3⋅= ,Е




13

Пример 3. Пластины плоского конденсатора площадью 100 см2 каж-дая притягиваются друг к другу с силой 3 00 10 2, ⋅ − Н . Пространство между ними заполнено слюдой с 006,=ε . Найти: 1) заряды, находящиеся на пла-стинах; 2) напряженность поля между пластинами. Дано: Решение.

Н10003 2−⋅= ,F 222 м10001cм100 −⋅== ,S

006,=ε E – ? q – ?

–+

Er

2q1q

Пусть поле 1E

r создается первой пластиной и оно действует с силой F

r

на заряд второй пластины

12EqFrr

= . (1) В скалярной форме уравнение (1) перепишется так:

12EqF = . (2) Поле одной пластины может быть представлено в следующем виде:

01 2εε

σ=E ,

где Sq

=σ – поверхностная плотность заряда на плоскости.

Тогда уравнение (2) примет следующий вид:

,SSqF0

2

002 222 εε

σ=

εεσσ

=εεσ

=

откуда

SF02εε

=σ .

Тогда заряды на пластинах




14

Кл107811010003006108582 72212 −−−− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,,,, . Напряженность поля между двумя пластинами по принципу суперпо-

зиции

.

Ответ: Кл10781 7

21−⋅== ,qq , В/м10403 5⋅= ,E .




15

Пример 4. Определить ускоряющую разность потенциалов, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью

м/с10001 61 ⋅= ,v , чтобы скорость его возросла в 2 раза. Дано: Решение.

Кл10601 19−⋅−= ,qe кг10319 31−⋅= ,me

м/с10001 61 ⋅= ,v

21

2 == nvv

ϕ∆ –?

Ускоряющую разность потенциалов ϕ∆ можно найти, вычислив работу сил A электриче-ского поля. Эта работа равна произведению за-ряда на разность потенциалов

ϕ∆= eqA . (1) Работа сил электрического поля равна в

данном случае изменению кинетической энер-гии электрона

,mmEEA ee22

21

22

кк 12

vv−=−= (2)

где 21 кк E,E – кинетическая энергия электрона до и после прохождения ус-

коряющего поля; me – масса электрона; 21 и vv – начальная и конечная ско-рости электрона.

Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим

( ) ( ).nmm

nmmm

q eeeeee 1

222222

212

12

1

21

22 −=−=−=ϕ∆

vvvvv

Отсюда искомая разность потенциалов

( ) ( ) ( ) В53812106012

100011010912

219

26312

21 ,

,,,n

qm

e

e =−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=−=ϕ∆ −

−v .

В последней формуле заряд электрона берется по модулю, поскольку силы электрического поля совершают положительную работу по переме-щению электрона.

Ответ: В538,=ϕ∆ .




16

Пример 5. Электрическое поле создается двумя точечными зарядами мкКл0041 ,q = , мкКл0022 ,q −= , находящимися на расстоянии м1000,a =

друг от друга. Определить работу 12A сил поля по перемещению заряда Кл10005 8−⋅= ,q из точки 1 в точку 2 (рис.).

Дано: Решение. Кл10004мкКл004 6

1−⋅== ,,q

Кл10002мкКл002 62

−⋅−=−= ,,q м1000,a =

Кл10005 8−⋅= ,q

12A –?

2a

a

a 2q 1q 1•

2•

•

Для определения работы сил поля воспользуемся соотношением

( )2112 ϕ−ϕ= qA (1) Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим

потенциалы 21 и ϕϕ точек 1 и 2 поля как алгебраическую сумму потенциа-лов, создаваемых точечными зарядами 1q и 2q в данных точках поля

( )aqq

aq

aq

0

21

0

2

0

11 4

2

24

24 πε

+=

πε+

πε=ϕ , (2)

+

πε=

πε+

πε=ϕ 2

1

00

2

0

12 24

1424

qqaa

qa

q . (3)

Тогда

( ) ( )=

+

πε−

πε+

=ϕ−ϕ= 21

00

212112 24

14

2 qqaa

qqqqA

+

−

πε 210 2

124

qqa

q .

После подстановки численных значений, с учетом знака зарядов, по-лучим

=

⋅−

−⋅

⋅⋅⋅⋅π

⋅= −−

−−

−66

112

8

12 100024111210004

1000110858410005 ,

,,

,,,A

мДж 14,3=Дж10314 3−⋅= , . Ответ: мДж 14,312 =A .




17

Пример 6. Разность потенциалов между катодом и анодом электрон-ной лампы 90,0 В, расстояние 1,00 мм. С каким ускорением движется элек-трон от катода к аноду? Какова скорость электрона в момент удара об анод? За какое время электрон пролетит все расстояние от катода к аноду? Поле считать однородным. Дано: Решение.

В090,U = м10001мм001 3−⋅== ,,d

Кл10601 19−⋅−= ,qe кг10119 31−⋅= ,me

a –? v – ? t –?

На электрон, находящийся в электрическом поле, действует сила

EqF err

= , (1) которая и ускоряет электрон. В соответствии со вторым законом Ньютона

amF err

= . (2) Так как электрон движется вдоль силовой

линии поля в сторону, противоположную направ-лению вектора напряженности, можно переписать уравнение в скалярной форме так:

amEq ee =− . (3) Отсюда

dmUq

mEqa

e

e

e

e −=−= , (4)

так как между катодом и анодом создается однородное поле с напряженно-стью d/UE = , следовательно const=F . Расстояние, пройденное электро-ном между катодом и анодом, равно d. Двигаясь равноускоренно с нулевой

начальной скоростью )0( 0 =v , электрон проходит расстояние 2

2atd = , от-

куда можно найти время движения электрона

adt 2

= . (5)

Скорость электрона в момент удара об анод

ad

dmUqate

e 2−==v . (6)

Подставим численные значения в формулы (4), (5), (6):

216331

19м/с10581

101010909010601

⋅=⋅⋅

⋅⋅−−=

−−

−,

,,,a ,




18

c1054310601100022 10

16

3−

−⋅=

⋅

⋅== ,

,,

adt ,

м/с106751054310581 61016 ⋅=⋅⋅⋅== − ,,,atv .

Ответ: 216 м/с10581 ⋅= ,a , м/с10675 6⋅= ,v , c10543 10−⋅= ,t .




19

Пример 7. Конденсатор электрической емкостью мкФ0031 ,C = был заряжен до разности потенциалов В0401 ,U = . После отключения от источ-ника тока конденсатор соединили параллельно с другим, незаряженным конденсатором электрической емкостью мкФ0052 ,C = . Какая энергия из-расходуется на образование искры в момент присоединения второго кон-денсатора? Дано: Решение.

Ф10003мкФ003 61

−⋅== ,,C Ф10005мкФ005 6

2−⋅== ,,C

В0401 ,U = В02 =U

W ′ –?

Энергия образования искры возникает из-за уменьшения полной энергии электрического поля системы

21 WWW −=′ , (1) где 1W – энергия, которой обладал первый кон-денсатор до присоединения к нему второго кон-денсатора; 2W – энергия, которую имеет систе-ма, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

2

2CUW = , (2)

где C – электрическая емкость конденсатора или общая электрическая ем-кость системы конденсаторов.

Общая электрическая емкость конденсаторов при параллельном вклю-чении

21 CCC += . Подставив в формулу (1) энергии 1W и 2W по формуле (2), получим

( )22

2321

211 UCCUCW

+−=′ , (3)

где 3U – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов. Систему, состоящую из двух конденсаторов, отключенных от источ-

ника, можно считать электрически нейтральной. Поэтому суммарный заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним. Выразим раз-ность потенциалов 3U следующим образом:

( )21311 CCUUCq +== , (4)

21

11

213 CC

UCCC

qU+

=+

= . (5)

Подставив выражение 3U в (3), найдем




20

( )( ) ( ) =

+=

+

+−=′ 2

121

212

21

21

2121

211

222U

CCCC

CCUCCCUCW

( ) мДж1,50=Дж100151001610005100032

1000510003 4266

66−

−−

−−⋅=⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

= ,,,,

,, .

Ответ: мДж1,50=W ′ .




21

Пример 8. В схеме, представленной на рисунке: ЭДС источников В1101 =E , В2202 =E , сопротивления резисторов мО10021 == RR , Ом5003 =R . Найти токи, текущие через сопротивления. Внутренним со-

противлением источников пренебречь. Дано: Решение.

В1101 =E В2202 =E мО1001 =R мО1002 =R Ом5003 =R

1I –? 2I –? 3I –?

• B A •

3I

3R

1I

2I

1R

2R

E1

E2

Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью правил

Кирхгофа. Чтобы найти три значения сил токов, следует составить три уравнения.

При применении правил Кирхгофа следует руководствоваться сле-дующими положениями:

а) на схеме обозначаются все узлы, т. е. точки, в которых соединяются более двух проводов, после чего произвольно указываются стрелками на-правления токов на неразветвленных участках цепи;

б) выбираются все возможные замкнутые контуры в схеме и их на-правления обхода, при этом положительными считаются те токи, направле-ние которых совпадает с направлением обхода, а отрицательными – те, на-правление которых противоположно направлению обхода;

в) при обходе контура положительными ЭДС считаются те, которые повышают потенциал в направлении обхода, т. е. ЭДС будет положитель-ной, если при прохождении внутри источника тока приходится идти от его минуса к плюсу.

В изображенной схеме имеются два узла А и В. Но составлять уравне-ние по первому правилу Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого урав-нения. При составлении уравнений по первому правилу Кирхгофа необхо-димо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравне-ние со знаком плюс; ток, отходящий от узла – со знаком минус.

Для узла В имеем 0132 =−+ III . (1)




22

Теперь составим уравнения для замкнутых контуров в соответствии со вторым правилом Кирхгофа. Обходить контуры будем по часовой стрелке. Для контуров AR BR A AR BR A2 3 3 1и соответственно имеем

−=+=−

.RIRIRIRI

11133

23322

E

E

Подставив в последние равенства значения сопротивлений и ЭДС, по-лучим систему уравнений

−=+

=−

=−+

.IIII

III

110100500220500100

0

13

32

132

Исключим из этой системы уравнений одно неизвестное 1I :

=−−=++

.IIIII

220500100110100100500

32

323

Решение этой системы приводит к следующим результатам: А30003 ,I −= ,

А70002 ,I = . Знак минус у значения силы тока I3 свидетельствует о том, что при

произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, направле-ние тока I3 было указано противоположно истинному.

По уравнению (1) найдем значение тока I1:

.

Ответ: A04001 ,I = , А70002 ,I = , А30003 ,I −= .




23

Пример 9. Внешняя цепь источника тока потребляет мощность Вт750,P = . Определить силу тока в цепи, если ЭДС источника тока В002,=E и внутреннее сопротивление Ом001,r = .

Дано: Решение. Вт750,P = В002,=E Ом001,r =

I –?

Мощность, потребляемая внешней цепью, это полезная мощность

IUP =полез , (1) где U – падение напряжения во внешней цепи.

Закон Ома для замкнутой цепи позволяет найти это напряжение:

IrU,IrUIrIR,rR

I −=+=+=+

= EEE . (2)

Объединяя формулы (1) и (2), имеем

( ) rIIIrIP 2полез −=−= EE

или

0полез2 =+−r

PIr

I E . (3)

Подставляем численные значения и получаем следующее уравнение:

075000022 =+− ,I,I . Решение этого уравнения дает два ответа:

А5000 иА501 21 ,I,I == .

Ответ: 5011 ,I = А, 50002 ,I = А.




24

Пример 10. Зашунтированный амперметр измеряет токи силой до 10,0 А. Какую наибольшую силу тока может измерить этот амперметр без шунта, если сопротивление амперметра 0,0200 Ом и сопротивление шунта 0,00500 Ом? Дано: Решение.

А010,I = Ом10020 3

а−⋅= ,R Ом10005 3

ш−⋅= ,R

аI – ?

Шунт включается параллельно амперметру и служит для увеличения

предела измерения прибора и уменьшения тока, текущего через амперметр. Ток I , текущий в цепи, разветвляется на два: аI – идет через амперметр, а шI – через шунт, причем

ша III += . (1) Поскольку амперметр и шунт включены параллельно, то

ш

aашшшaа ,

RRIIRIRI == . (2)

Подставляя формулу (2) в (1), имеем

ш

аa

ш

аa

ш

aаa

11

RR

II,RRI

RRIII

+=

+=+= .

Вычисления приводят к следующему ответу:

A002

10005100201

010

3

3a ,

,,,I =

⋅⋅

+=

−

− .

Ответ: A002a ,I = .

I

шI

аI

шR

А




25


Вариант контрольной работы выбирается из таблицы по двум послед-ним цифрам номера зачетной книжки (шифра).

Номер варианта Порядковый номер задачи предпоследняя цифра шифра

последняя цифра шифра

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 201 212 223 234 245 256 267 278 289 2 202 213 224 235 246 257 268 279 290 3 203 214 225 236 247 258 269 280 281 4 204 215 226 237 248 259 270 271 282

0, 1, 2, 3 5 205 216 227 238 249 260 261 272 283 6 206 217 228 239 250 251 262 273 284 7 207 218 229 240 241 252 263 274 285 8 208 219 230 231 242 253 264 275 286 9 209 220 221 232 243 254 265 276 287 0 210 211 222 233 244 255 266 277 288 1 201 213 225 237 249 251 263 275 287 2 202 214 226 238 250 252 264 276 288 3 203 215 227 239 241 253 265 277 289 4 204 216 228 240 242 254 266 278 290

4, 5, 6 5 205 217 229 231 243 255 267 279 281 6 206 218 230 232 244 256 268 280 282 7 207 219 221 233 245 257 269 271 283 8 208 220 222 234 246 258 270 272 284 9 209 211 223 235 247 259 261 273 285 0 210 212 224 236 248 260 262 274 286 1 201 214 227 240 243 256 269 272 285 2 202 215 228 231 244 257 270 273 286 3 203 216 229 232 245 258 261 274 287 4 204 217 230 233 246 259 262 275 288

7, 8, 9 5 205 218 221 234 247 260 263 276 289 6 206 219 222 235 248 251 264 277 290 7 207 220 223 236 249 252 265 278 281 8 208 211 224 237 250 253 266 279 282 9 209 212 225 238 241 254 267 280 283 0 210 213 226 239 242 255 268 271 284




26

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 2

201. На двух одинаковых капельках воды находится по одному лиш-нему электрону. Каков радиус капелек, если сила электростатического от-талкивания уравновешивает силу гравитационного притяжения?

202. Маленький шарик массой 100 мг и зарядом 16,7 нКл подвешен на нити. На какое расстояние надо поднести к нему снизу одноименный и равный ему заряд, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое?

203. В центр квадрата, в вершинах которого находится по заряду 2,00 нКл, помещён отрицательный заряд. Найти величину этого заряда, ес-ли результирующая сила, действующая на каждый заряд, равна нулю.

204. Четыре одинаковых заряда по 40,0 нКл каждый закреплены в вершинах квадрата со стороной 10,0 см. Найти силу, действующую на один из этих зарядов со стороны трех остальных.

205. Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда 400 нКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 60,0°. Найти массы шариков, если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 400 мм.

206. В вершинах правильного шестиугольника со стороной 10,0 см расположены одинаковые заряды по 1,00 нКл каждый. Найти силу, дейст-вующую на один из этих зарядов со стороны остальных.

207. Два положительных точечных заряда 1,67 нКл и 3,33 нКл закре-плены на расстоянии 100 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Определить знак этого заряда, если рав-новесие должно быть устойчивым, а перемещение заряда возможно только вдоль прямой, проходящей через центры закрепленных зарядов. Массами тел пренебречь.

208. На расстоянии 20,0 см находятся два точечных заряда: минус 50,0 нКл и 100 нКл. Определить силу, действующую на заряд минус 10,0 нКл, если он расположен на перпендикуляре, восстановленном от се-редины линии, соединяющей заряды, на расстоянии 300 мм от нее.

209. На шелковых нитях длиной 15,0 см каждая, прикрепленных в одной точке, подвешены два шарика по 100 мг. При сообщении им одина-ковых зарядов нити разошлись так, что каждая из них составила с вертика-лью угол 30,0°. Определить величину зарядов и силу взаимодействия между ними. Массой нитей пренебречь.

210. Расстояние между двумя точечными зарядами 1,00 мкКл и ми-нус 1,00 мкКл, равно 10,0 см. Определить силу, действующую на точечный




27

заряд 10,0 нКл, удалённый на 60,0 мм от первого и 80,0 мм от второго заря-дов.

211. Расстояние между точечными зарядами 32,0 мкКл и минус 32,0 мкКл равно 12,0 см. Определить напряженность поля в точке, удален-ной на 80,0 мм как от первого, так и от второго заряда.

212. В двух противоположных вершинах квадрата расположены по-ложительные заряды, а в третьей вершине – отрицательный заряд. Величи-на каждого заряда 100 нКл, а сторона квадрата 10,0 см. Найти напряжен-ность электрического поля в четвертой вершине квадрата.

213. Длинная прямая тонкая проволока несет равномерно распреде-ленный заряд. Вычислить линейную плотность τ заряда, если напряжен-ность поля на расстоянии 0,50 м от проволоки Е = 2,00 В/см.

214. Имеются две металлические концентрические сферы, радиусы которых 5,00 и 10,0 см и заряды 20,0 и минус 10,0 нКл. Определить напря-женность поля, созданного этими сферами в точках, отстоящих от центров сфер на расстояниях 30,0, 80,0, 140 мм.

215. Электрическое поле создано двумя бесконечно длинными парал-лельными плоскостями с поверхностной плотностью заряда 20,0 и минус 40,0 нКл/м2. Определить напряженность поля между плоскостями и вне плоскостей.

216. Между пластинами плоского конденсатора вложена слюдяная пластина (ε = 6,00), которая испытывает давление 26,5 Н/м2. Какова напря-женность электрического поля в конденсаторе?

217. В вершинах равностороннего треугольника расположены точеч-ные заряды по 20,0 нКл каждый. Найти напряженность поля в середине од-ной из сторон треугольника, если длина этой стороны равна 30,0 см.

218. Поле создано бесконечной вертикальной плоскостью с поверх-ностной плотностью заряда 40,0 нКл/м2, к которой подвешен на нити ша-рик массой 10,0 г и зарядом 10,0 нКл. Определить угол, образованный ни-тью и плоскостью.

219. Заряды 10,0 нКл и минус 20,0 нКл находятся на расстоянии 10,0 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной на расстояние 80,0 мм от первого заряда и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпендикулярно линии, соединяющей заряды.

220. Заряд равномерно распределен по объему диэлектрического ша-ра радиусом 15,0 см с объемной плотностью 10,0 пКл/м3. Найти напряжен-ности поля в точках, отстоящих на расстоянии 10,0 и 25,0 см от центра ша-ра.

221. Две параллельные заряженные плоскости, поверхностные плот-ности заряда которых 20,0 мкКл/м2 и минус 80,0 мкКл/м2, находятся на рас-




28

стоянии 60,0 мм друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.

222. Две концентрические металлические заряженные сферы радиу-сами 50,0 и 100 мм несут на себе заряды 25,0 нКл и минус 50,0 нКл. Найти потенциал поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстоянии: 10,0, 75,0 и 150 мм.

223. Электрическое поле образовано бесконечно длинной заряжен-ной нитью, линейная плотность заряда которой τ = 200 пКл/м. Определить разность потенциалов двух точек поля, отстоящих от нити на расстоянии 80,0 и 120 мм.

224. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с по-верхностной плотностью заряда 10,0 нКл/м2. Определить разность потен-циалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстояние 10,0 см.

225. В вершинах квадрата расположены точечные заряды 10,3, ми-нус 0,660, 0,990 и минус 1,32 нКл. Определить потенциал поля в центре квадрата, если его диагональ равна 20,0 см.

226. Определить потенциал точки поля, созданного металлическим шаром с поверхностной плотностью заряда 100 пКл/м2 и радиусом 10,0 мм, если расстояние от этой точки до поверхности шара равно 90,0 мм.

227. Частица массой 1,00⋅10–4 г, несущая на себе заряд 10,0 пКл, не-подвижна в однородном поле плоского горизонтального конденсатора, рас-стояние между пластинами которого 10,0 см. Определить разность потен-циалов между пластинами конденсатора.

228. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора равна 90,0 В. Площадь каждой пластины 60,0 см2 и заряд 10,0 нКл. На ка-ком расстоянии друг от друга находятся пластины?

229. Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на рас-стоянии 10,0 мм друг от друга, на нити висит заряженный шарик, масса ко-торого 100 мг. После того как на пластины была подана разность потенциа-лов 1000 В, нить с шариком отклонилась на угол 10,0°. Найти заряд шари-ка.

230. Шарик радиусом 20,0 мм заряжается отрицательно до потенциа-ла 2000 В. Найти массу всех электронов, составляющих заряд, сообщенный шарику при зарядке.

231. На расстоянии 40,0 мм от сферы, заряд которой 100 мкКл, а ра-диус 10,0 см, расположен точечный заряд. При перемещении этого заряда на поверхность сферы внешними силами совершена работа 1,00⋅10–2 Дж. Определить величину точечного заряда.




29

232. Какая совершается работа при перенесении точечного заряда в 20,0 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 10,0 мм от поверхности шара радиусом 10,0 мм с поверхностной плотностью заряда 10 нКл/см2.

233. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов в один миллион вольт, приобрела скорость 1,00⋅104 км/с. Определить отно-шение заряда к массе для этой частицы.

234. На расстоянии 50,0 см от поверхности шара радиусом 90,0 мм, заряженного до потенциала 25,0 кВ, находится точечный заряд 100 нКл. Какую работу надо совершить для уменьшения расстояния между шаром и зарядом до 20,0 см?

235. В вершинах равностороннего треугольника со стороной 10,0 см расположены точечные заряды 10,0, 33,3 и минус 33,3 нКл. Определить ра-боту сил электрического поля по перемещению заряда 10,0 нКл из вершины в середину противолежащей стороны треугольника.

236. Шарик массой 40,0 мг, имеющий заряд 100 пКл, перемещается из бесконечности со скоростью 10,0 см/с. На какое расстояние может при-близиться шарик к точечному заряду, равному 1,33 нКл?

237. Определить потенциальную энергию системы четырех точечных зарядов по 10,0 нКл каждый, расположенных в вершинах квадрата со сто-роной 50,0 мм. Рассмотреть случай, когда два заряда – положительные, а два – отрицательные.

238. Электрическое поле образовано положительно заряженной бес-конечно длинной нитью. Двигаясь под действием поля вдоль силовой ли-нии от точки, находящейся на расстоянии 10,0 мм от нити, до точки с рас-стоянием 40,0 мм, частица массой 6,67⋅10–27 кг изменила свою скорость от 2,00⋅105 до 3,00⋅106 м/с. Найти линейную плотность заряда нити, если час-тица несет на себе заряд 3,20⋅10 -19 Кл.

239. Около заряженной бесконечной плоскости находится точечный заряд 10,0 нКл. Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 20,0 мм, при этом совершается работа 5,00 мкДж. Найти по-верхностную плотность заряда на плоскости.

240. Электрическое поле образовано двумя параллельными пласти-нами, находящимися на расстоянии 20,0 мм друг от друга. Разность потен-циалов между ними 120 В. Какую скорость получит под действием сил поля электрон, пройдя по силовой линии расстояние в 3,00 мм?

241. Какова будет разность потенциалов плоского воздушного кон-денсатора, заряженного до 200 В и отключенного от источника питания, если расстояние между пластинами изменить от 5,00 мм до 3,00 см?




30

242. Два плоских конденсатора емкостью 1,20 мкФ каждый соедине-ны последовательно и заряжены до разности потенциалов 900 В. Какова будет разность потенциалов, если конденсаторы соединить параллельно? Рассмотреть два случая: 1) конденсаторы соединили одноименными об-кладками; 2) конденсаторы соединили разноименными обкладками.

243. Конденсатор емкостью 3000 мкФ был заряжен до разности по-тенциалов 40,0 В. После отключения от источника напряжения конденсатор был соединен параллельно с другим, незаряженным конденсатором емко-стью 5000 мкФ. Какова разность потенциалов на обкладках такой батареи?

244. Три конденсатора емкостью 2,00, 6,00 и 8,00 пФ соединены по-следовательно. Как распределяется напряжение между отдельными конден-саторами, если к ним приложено в общей сложности 200 кВ?

245. К плоскому воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов 500 В и отключенному от источника тока, присоединен парал-лельно второй незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но со стеклянной пластинкой между обкладками. Определить диэлектриче-скую проницаемость стекла, если после присоединения второго конденса-тора разность потенциалов уменьшилась до 70,0 В.

246. Конденсатор емкостью 50,0 мкФ, заряженный до напряжения в 600 В, соединен параллельно с незаряженным конденсатором емкостью 1000 мкФ. Какое общее напряжение установится на конденсаторах?

247. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая к ним пластинка из стекла (ε = 7,00). Конденсатор заряжен до разности потенциалов 100 В. Какова будет разность потенциалов, если уда-лить стеклянную пластинку из конденсатора?

248. Радиус внутренней сферы воздушного сферического конденса-тора равен 10,0 мм, радиус внешней сферы равен 40,0 мм. Как изменится емкость конденсатора, если его заполнить маслом (ε = 5,00)?

249. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер радиусами 50,0 и 100 мм (пространство между сферами заполнено маслом (ε = 7,00)). Какого радиуса должен быть шар, помещенный в масло, чтобы он имел такую же емкость?

250. Коаксиальный электрический кабель состоит из центральной жилы и концентрической по отношению к ней цилиндрической оболочки, между которыми находится изоляция. Найти емкость одного метра такого кабеля, если радиус жилы 1,30 см, радиус оболочки 3,00 см, а диэлектриче-ская проницаемость изоляции 3,20.

251. При увеличении напряжения, поданного на конденсатор емко-стью 20,0 мкФ, в 2,00 раза энергия конденсатора возросла на 0,300 Дж. Найти начальные значения напряжения и энергии конденсатора.




31

252. Какое количество теплоты выделится при разрядке плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами 15,0 кВ, рас-стояние– 1,00 мм, площадь каждой пластины – 300 см2, а диэлектрическая проницаемость диэлектрика ε = 7,00.

253. Плоский воздушный конденсатор емкостью 10,0 пФ заряжен до разности потенциалов 400 В и отключен от источника напряжения. Опре-делить работу по раздвижению пластин конденсатора, если расстояние ме-жду ними было увеличено с 1,00 мм до 3,00 мм.

254. Конденсаторы емкостью 1,00, 2,00 и 3,00 мкФ включены в цепь с напряжением 1100 В. Определить энергию каждого конденсатора в случае их последовательного и параллельного соединения.

255. Емкость плоского конденсатора равна 100 мкФ. Конденсатор за-полнен фарфором (ε = 5). Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу нужно совер-шить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора?

256. Плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого 20,0 мм, заряжен до разности потенциалов 3000 В. Площадь пластин 100 см2. Найти энергию конденсатора, если его пластины раздвинуть до расстояния 50,0 мм, не отключая от источника напряжения? Сравнить ре-зультат с энергией, которой обладал конденсатор до раздвижения пластин.

257. Конденсатор емкостью 670 пФ зарядили до разности потенциа-лов 1500 В и отключили от источника напряжения. Затем к конденсатору присоединили параллельно незаряженный конденсатор емкостью 445 пФ. Какое количество энергии, запасенной в первом конденсаторе, было израс-ходовано на образование искры, проскочившей при соединении конденса-торов?

258. Коаксиальный электрический кабель состоит из центральной жилы и концентрической по отношению к ней цилиндрической оболочки, между которыми находится изоляция. Между центральной жилой и обо-лочкой приложена разность потенциалов 3000 В. Найти энергию поля од-ного метра такого кабеля, если радиус жилы 1,30 см, радиус оболочки равен 3,00 см и диэлектрическая проницаемость изоляции ε = 3,20.

259. Плоский конденсатор с площадью пластин 200 см2 каждая заря-жен до разности потенциалов 2000 В. Расстояние между пластинами 20,0 мм. Внутри конденсатора находится стекло (ε = 7,00). Определить энергию и объемную плотность энергии поля конденсатора.

260. Конденсатор емкостью 330 нФ заряжен до разности потенциа-лов 20,0 кВ. Предполагая, что при разряде конденсатора 10% его энергии рассеиваются в виде звуковых и электромагнитных волн, определить коли-чество выделившейся теплоты.




32

2E

1E

1R

2R

3R

261.

Два источника тока 1E =14,0 В, 1r =2,00 Ом и 2E =6,00 В, 2r =4,00 Ом соединены, как указано на схеме, и питают током нагрузку, сопротивле-ние которой 10 Ом. Определить силы токов в нагрузке и источниках токов.

262. В схеме 1E =5,00 В, 1r =2,00 Ом, 2E =4,00 В, 2r =1,00 Ом, 3E =3,00 В,

3r =0,50 Ом. Найти ток, текущий через внешнее сопротивление R =2,50 Ом.

263.

В схеме 1E =2,10 В, 1R =45,0 Ом, 2E =1,90 В, 2R =10,0 Ом, 3R =10,0 Ом. Найти силу тока во всех участках це-пи. Внутренним сопротивлением ис-точников пренебречь.

264.

В схеме 1E =2,00 В, 2E =4,00 В, 3E =6,00 В, 1R =4,00 Ом, 2R =6,00 Ом, 3R =8,00 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Внутренним сопротив-лением источников пренебречь.

265. Определить показания гальвано-метра, если 1E =1,80 В, 1r =0,10 Ом,

2E =2,00 В, 2r =0,10 Ом, R =10,0 Ом. Внутренним сопротивлением гальва-нометра пренебречь.

1E

2E

R

1E

2E

3E

R

1E 2E 3E

1R

2R

3R

1E

2E

GR




33

266. В схеме 1E =2,00 В, 1r =1,00 Ом, 2E =2,00 В, 2r =1,50 Ом, R =1,40 Ом. Найти разность потен-циалов между точками А и В.

267. Найти токи в ветвях схемы, в которой 1E =80,0 В, 2E =64,0 В,

1R =6,00 Ом, 2R =4,00 Ом, 3R =3,00 Ом, 4R =1,00 Ом. Внутренним сопротив-лением источников пренебречь.

268. В схеме 1E = 2E , 1R = 2R =100 Ом. Вольтметр показыва-ет 150 В. Сопротивление вольтметра 150 Ом. Найти ЭДС батарей. Сопро-тивлением батарей пренебречь.

269. В схеме 1E = 2E =110 В, 1R = 2R =200 Ом. Сопротивление вольт-метра 1000 Ом. Найти показания вольтметра. Сопротивлением источ-ников пренебречь.

270. В схеме, изображенной на рисунке, Ом10001 =R , Ом5002 =R ,

3R =200 Ом, В8011 ,=E . Через гальва-нометр течет ток 0,500 мА. Опреде-лить ЭДС второй батареи, пренебре-гая внутренними сопротивлениями батарей и гальванометра.

1E

2ER

A B

1R

2R4R

3R

1E

2E

1E

2E

1R 2RV

1R

2R

1E

2E

V

1E

2E

1R 2R

3R G




34

271. Вольтметр, включенный последовательно с сопротивлением 1,00 кОм, показывает 50,0 В при напряжении на всем участке цепи 120 В. Каково будет показание вольтметра при этом же напряжении в цепи, если его включить последовательно с сопротивлением 7860 Ом?

272. Вольтметр с сопротивлением 100 Ом, подключенный к клеммам элемента, показывает разность потенциалов 2,00 В. При замыкании этого же элемента на сопротивление 15,0 Ом включенный в цепь амперметр по-казывает силу тока 0,10 А. Найти ЭДС элемента, если сопротивление ам-перметра 1,00 Ом.

273. Вольтметр с внутренним сопротивлением 2500 Ом, включенный в сеть, показал напряжение 125 В. Определить добавочное сопротивление, при подключении которого вольтметр, включенный в ту же сеть, покажет 100 В.

274. Миллиамперметр предназначен для измерения силы тока не бо-лее 10,0 мА. Какой шунт надо включить в схему, чтобы миллиамперметр можно было применять для измерения силы тока до 1,00 А, если его внут-реннее сопротивление 9,90 Ом?

275. Амперметр, обладающий сопротивлением 5,00⋅10–2 Ом, рассчи-тан на измерение тока 1,50 А. Какого сопротивления шунт надо поставить, чтобы амперметром можно было измерить токи до 10,0 А?

276. Амперметр, сопротивление которого 0,160 Ом, зашунтирован сопротивлением 4,00⋅10–2 Ом. Амперметр показывает 8,00 А. Чему равна сила тока на участке цепи?

277. Миллиамперметр со шкалой от 0 до 15,0 мА имеет сопротивле-ние, равное 5,00 Ом. Как должен быть включен прибор в комбинации с со-противлением (и каким) для измерения силы тока от 0 до 0,150 А?

278. Имеется предназначенный для измерений разности потенциалов до 30,0 В вольтметр сопротивлением 2000 Ом. Какое сопротивление надо взять и как его включить, чтобы этим вольтметром можно было измерять разности потенциалов до 75,0 В?

279. Имеется предназначенный для измерения токов до 10,0 А ам-перметр сопротивлением 0,18 Ом. Какое сопротивление надо взять и как его включить, чтобы этим амперметром можно было измерить силу тока до 100 А?

280. Зашунтированный амперметр измеряет токи силой до 10,0 А. Какую наибольшую силу тока может измерить этот амперметр без шунта, если сопротивление амперметра 0,02 Ом, а сопротивление шунта 0,005 Ом?

281. Батарея с ЭДС 6,00 В и внутренним сопротивлением 1,40 Ом питает внешнюю цепь, состоящую из двух параллельных сопротивлений




35

2,00 Ом и 8,00 Ом. Определить разность потенциалов на зажимах батареи, силы токов в сопротивлениях и КПД этой цепи.

282. При подключении к источнику с внутренним сопротивлением 2,00 Ом сопротивления 4,00 Ом напряжение на зажимах падает до 6,00 В. Какова полная мощность, развиваемая источником?

283. Какой ток пойдет по проводам при коротком замыкании, если на плитках с сопротивлением 200 и 500 Ом выделяется при поочередном их включении одинаковая мощность 200 Вт?

284. Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях внешнего сопротивления 1R =5,00 Ом и 2R =0,200 Ом. Найти КПД генера-тора в каждом из этих случаев.

285. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора, ес-ли при нагрузке в 5,00 Ом он отдает во внешнюю цепь 9,00 Вт, а при со-противлении внешней цепи 0,225 Ом – 14,4 Вт.

286. В цепь включены последовательно медная и стальная проволоки равной длины и диаметра. Найти теплоту, выделяющуюся в медной прово-локе, если в стальной выделилось 0,100 Дж. Удельные сопротивления меди и стали соответственно равны 1,70⋅10–8 Ом⋅м и 1,00⋅10–7 Ом⋅м.

287. Найти внутреннее сопротивление и ЭДС источника тока, если при силе тока 30,0 А мощность во внешней цепи равна 180 Вт, а при силе тока 10,0 А эта мощность равна 100 Вт.

288. Лампочки, сопротивления которых 3,00 и 12,0 Ом, поочередно подключаемые к некоторому источнику тока, потребляют одинаковую мощ-ность. Найти внутреннее сопротивление источника и КПД цепи в каждом случае.

289. ЭДС батарейки карманного фонаря 4,50 В, ее внутреннее сопро-тивление 3,00 Ом. Сколько таких батареек надо соединить последователь-но, чтобы питать лампу, рассчитанную на напряжение 220 В и мощность 60 Вт?

290. Нагреватель электрического чайника имеет две обмотки. При включении одной из них вода закипает через промежуток времени 30,0 мин, при включении другой – через 45,0 мин. Через сколько времени заки-пит вода, если включить обе обмотки параллельно?




36

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1 Единицы СИ



русское Международное

Основные единицы Длина метр м M Масса килограмм кг Kg Время секунда с S Термодинамическая температура

кельвин К K

Сила электрического тока

ампер А A

Количество вещества моль моль Mol Сила света кандела кд Cd

Дополнительные единицы Плоский угол радиан рад rad Телесный угол стерадиан ср sr

Производные единицы Линейная плотность электрического заряда

кулон на метр Кл/м C/m

Напряжение, электро-движущая сила

вольт В V

Напряжённость элек-трического поля

вольт на метр В/м V/m

Объёмная плотность электрического заряда

кулон на кубический метр

Кл/м3 C/m3

Плотность тока ампер на квадратный метр

А/м2 A/m2

Поверхностная плот-ность электрического заряда

кулон на квадратный метр

Кл/м2 C/m2

Поляризованность кулон на квадратный метр

Кл/м2 C/m2




37

Окончание табл. 1 Физическая величина Единица



Потенциал электриче-ского поля

вольт В V

Поток смещения кулон Кл C Работа джоуль Дж J Удельная электрическая проводимость

сименс на метр См/м S/m

Удельное электрическое сопротивление

ом-метр Ом⋅м Ω⋅m

Электрическая ёмкость фарад Ф F Электрическая прово-димость

сименс См S

Электрический заряд кулон Кл C Электрический момент диполя

кулон-метр Кл⋅м C⋅m

Электрическое смеще-ние

кулон на квадратный метр

Кл/м2 C/m2

Электрическое сопро-тивление

ом Ом Ω

Энергия джоуль Дж J




38


Приставка Множитель Пример Наименование Обозначение


экса Э E 1810 1 Эм= 1810 м пета П P 1510 1 Пм = 1510 м тера Т T 1210 1 Тм = 1210 м гига Г G 910 1 Гм = 910 м мега М M 610 1 Мм = 610 м кило к k 310 1 км = 310 м гекто г h 210 1 гм = 210 м дека да da 110 1 дам = 110 м деци д d 110− 1 дм = 110− м санти с c 210− 1 см = 210− м милли м m 310− 1 мм = 310− м микро мк µ 610− 1 мкм = 610− м нано н n 910− 1 нм = 910− м пико п p 1210− 1 пм = 1210− м фемто ф f 1510− 1 фм = 1510− м атто а a 1810− 1 ам = 1810− м

Приставку или ее обозначение следует писать слитно с наименовани-

ем единицы, к которой она присоединяется, или с ее обозначением. Присоединение двух и более приставок подряд не допускается. Кратные и дольные единицы должны выбираться таким образом, что-

бы числовые значения величины находились в диапазоне от 0,1 до 1000. Выбор десятичной кратной или дольной единицы диктуется прежде всего удобством ее применения.

Для уменьшения вероятности ошибок при расчетах десятичные крат-ные и дольные единицы рекомендуется подставлять только в конечный ре-зультат, а в процессе вычислений все величины выражать в единицах СИ, заменяя приставки множителями n10 .






Нименский Н. В., Самолетов В. А.







2


Основные характеристики магнитного поля

Индукция магнитного поля Br

является силовой характеристикой маг-нитного поля.

Принцип суперпозиции для индукции магнитного поля. Если магнитное поле создается несколькими источниками, то вектор магнитной индукции в данной точке определяется как сумма векторов магнитной индукции полей, создаваемых каждым источником в отдельности,

∑=i

iBBrr

∫=l

rrBB d ,

где l – длина проводника с током, создающим магнитное поле. Напряжённость магнитного поля H

r является вспомогательным векто-

ром. Во многих случаях она значительно упрощает изучение поля в магнети-ках.

JBHr

rr

−µ

=0

,

где Jr

– намагниченность вещества; 0µ – магнитная постоянная, мГн7

0 104 −⋅π=µ . Связь между индукцией и напряжённостью магнитного поля (в изотроп-

ной среде при не слишком сильных полях)

HBrr

0µµ= , где µ – относительная магнитная проницаемость среды.

Магнитный поток: через элементарную площадку Sd

( )n,BSBSB rrrrcosdddФ == ;

через произвольную поверхность S

( )∫∫ ==SS

Sn,BBSB dcosdФ rrrr,

где Sr

d – вектор, численно равный площади Sd и направленный вдоль норма-ли nr к поверхности.

Если магнитное поле остаётся однородным в пределах площади S , то

( )n,BSBSB rrrrcosФ == .




3

Потокосцепление (полный поток) – магнитный поток через все витки ка-тушки, рамки и т. п.

∑=

=ΨN

ii

1

Ф .

Если магнитные потоки через все витки одинаковы, то ФN=Ψ ,

где N – число витков контура; Ф – магнитный поток через один виток.

Основные законы магнитного поля

Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора Br

). Циркуляция век-тора магнитной индукции B

r вдоль произвольного замкнутого контура L равна

произведению магнитной постоянной 0µ на алгебраическую сумму сил токов, охватываемых этим контуром. Сила тока считается положительной, если на-правление тока связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

В вакууме

∫ ∑µ=L i

iIB 0dlrr

,

где iI – сила тока проводимости, охватываемого контуром L . В магнитной среде

∫ ∑∑

′+µ=

L kk

ii IIB 0dl

rr, ∑∫ =

ii

L

IH lrr

d ,

где iI и kI ′ – силы токов проводимости и намагничивания, охватываемые кон-туром L .

Закон Био–Савара–Лапласа (позволяет рассчитать индукцию магнитного поля, создаваемого проводником с током, в любой точке пространства)

[ ]rrIB r

lrr

×π

µµ= dd 3

04

, ( )r,rIB r

lrl dsind

4d 2

0π

µµ= ,

где I – сила тока; ld – элемент длины провода (вектор lr

d совпадает по на-правлению с током I ); rr – радиус-вектор, проведённый от элемента ld к точке наблюдения.

Магнитное поле точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью в вакууме




4

[ ]rrqB rr r

×π

µ= v3

04

,

где q – электрический заряд; vr – постоянная нерелятивистская скорость; rr – радиус-вектор, проведённый от заряда к точке наблюдения.

Сила Лоренца (полная электромагнитная сила, действующая на заряжен-ную частицу)

[ ]BqEqFrrr r

×+= v ,

где Er

– напряжённость электрического поля; Br

– индукция магнитного поля; vr – скорость частицы; q – электрический заряд.

В магнитном поле на движущуюся заряженную частицу действует маг-нитная составляющая силы Лоренца

[ ]BqFrr r

×= vм . Магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна вектору ско-

рости и вектору магнитной индукции. Она не изменяет величины скорости, а изменяет только ее направление, следовательно, работы не совершает.

Закон Ампера (определяет силу, действующую на проводник с током, помещённый в магнитное поле)

[ ]BIFr

lrr

×= dd , ( )B,BIFr

lr

l dsindd = , ( )∫=l

lr

lr

ddsin B,BIF ,

где I – сила тока; ld – элемент длины провода (вектор lr

d совпадает по на-правлению с током I ); l – длина проводника.

Сила Ампера перпендикулярна направлению тока и направлению векто-ра магнитной индукции.

Если прямолинейный проводник длиной l находится в однородном поле, то модуль силы Ампера определяется выражением

( )B,BIFr

lr

l dsin= . Сила взаимодействия бесконечно длинных параллельных проводников с

током

ld

IIF 21012

24π

µµ= ,

где µ – магнитная проницаемость среды; d – расстояние между проводника-ми; 1I и 2I – силы токов; l – длина проводника.

Магнитный момент витка с током nSIpmrr

= ,




5

где I – сила тока; S – площадь поверхности, охватываемой витком; nr – нор-маль к поверхности витка, направление которой связано с направлением тока в витке правилом правого винта.

Если рамка содержит N витков провода, то магнитный момент рамки nSINpmrr

= . Вращательный момент, действующий на рамку с током в магнитном по-

ле,

[ ]BpM mrrr

×= , ( )B,pBpM mmrrsin= .

Работа амперовых сил при перемещении и вращении контура с током в магнитном поле из положения 1 в положение 2

( )1221 Ψ−Ψ=− IA , где I – сила тока, текущего в контуре; 1Ψ и 2Ψ – потокосцепления контура в начальном и конечном положениях. Ток в контуре должен быть постоянным в течение всего процесса перемещения.

Работа амперовых сил при перемещении проводника с током в магнит-ном поле

Ф21 IA =− , где I – сила тока, текущего по проводнику; Ф – магнитный поток, пересечён-ный проводником при перемещении. Ток в проводнике должен быть постоян-ным в течение всего процесса перемещения.

Магнитные поля токов различной конфигурации Магнитное поле бесконечно длинного прямого проводника с током

aIB 2

40

πµµ

= ,

где a – расстояние от точки наблюдения до оси проводника. Магнитное поле проводника конечной длины

( ) ( )[ ]210 coscos

4α+α

πµµ

=aIB ,

где a – расстояние от точки наблюдения до оси проводника; α1 – угол между проводником и радиус-вектором, проведённым из начала проводника в точку наблюдения; α2 – угол между проводником и радиус-вектором, проведённым из конца проводника в точку наблюдения.

Магнитное поле в центре кругового витка с током




6

300 2

42 Rp

RIB m

πµµ

=µµ

= ,

где R – радиус кругового витка; mp – магнитный момент витка. Магнитное поле на оси кругового витка с током

( ) ( ) 2322

0

2322

20 2

42 hR

p

hR

RIB m

+πµµ

=+

µµ= ,

где h – расстояние от плоскости витка до точки наблюдения, которая нахо-дится на оси кругового витка; R – радиус витка.

Магнитное поле в центре дуги окружности

20

4 RLIB

πµµ

= ,

где L – длина дуги; R – радиус дуги. Магнитное поле внутри длинного соленоида на его оси

InB 0µµ= , где µ – магнитная проницаемость сердечника; n – число витков на единице длины соленоида.

Магнитное поле на оси тороида

RNIBπ

µµ=20 ,

где µ – магнитная проницаемость сердечника; N – число витков, намотанных на тороид; R – радиус тороида.

Явление электромагнитной индукции Закон Фарадея: сила индукционного тока, возникающего в замкнутом

проводящем контуре (ЭДС индукции, возникающая в проводнике) пропорцио-нальна скорости изменения магнитного потока, сцеплённого с контуром (про-никающего через поверхность, ограниченную контуром) и не зависит от спо-соба изменения магнитного потока.

Правило Ленца: индукционный ток направлен таким образом, что собст-венным магнитным полем препятствует изменению внешнего магнитного по-тока, пересекающего поверхность контура.

Мгновенное значение ЭДС индукции

ti ddΨ

−=E ,

где Ψ – потокосцепление замкнутого проводящего контура.




7

Среднее значение ЭДС индукции

ti ∆∆Ψ

−=E .

Индуктивность контура

IL Ψ

= ,

где I – сила тока в контуре; Ψ – потокосцепление контура с магнитным по-током, созданным этим током.

Индуктивность соленоида

VnVNSNL 20

2

0

2

0 µµ=

µµ=µµ=

ll,

где N – число витков соленоида; n – число витков соленоида на единицу дли-ны; S , l , V – площадь поперечного сечения, длина и объём соленоида; µ – магнитная проницаемость вещества внутри соленоида.

ЭДС самоиндукции

+−=

tLI

tILsi d

ddd

E ,

где L – индуктивность контура; I – сила тока в контуре. Заряд, протекающий в контуре при изменении магнитного потока, про-

низывающего контур,

RQ кн Ψ−Ψ

= ,

где нΨ и кΨ – соответственно начальное и конечное потокосцепления конту-ра; R – электрическое сопротивление контура.

Энергия магнитного поля Магнитная энергия тока

LIILW

222

22 Ψ=

Ψ== .

Энергия однородного магнитного поля, локализованного внутри объе-ма V неферромагнитной изотропной среды,

VBVHVHBW0

220

222 µµ=

µµ== .




8

Объемная плотность энергии магнитного поля

0

220

222 µµ=

µµ==

BHHBw .

Магнитное поле в магнетиках Намагниченность вещества характеризует магнитные свойства вещества

и равна магнитному моменту единицы объёма

mi

im pnpV

J rrr== ∑1 ,

где V – объём; n – концентрация молекул; mpr – средний магнитный мо-мент одной молекулы.

Связь между векторами намагниченности и напряжённости (в изотроп-ной среде при не слишком сильных полях)

HJrr

χ= , где χ – магнитная восприимчивость. У парамагнетиков 0>χ , у диамагнети-ков 0<χ .

Магнитная проницаемость. Относительная магнитная проницаемость равна отношению индукции

магнитного поля в веществе к индукции магнитного поля в вакууме

вак

магнетB

B=µ ,

где вакB – индукция магнитного поля в вакууме; магнетB – индукция магнитно-го поля при заполнении всего пространства магнетиком.

Связь между относительной магнитной проницаемостью µ и магнитной восприимчивостью χ

χ+=µ 1 . Абсолютная магнитная проницаемость равна произведению относитель-

ной магнитной проницаемости µ на магнитную постоянную 0µ

0µµ=µа . Условия для вектора напряжённости на границе двух магнетиков

2

1

1

2µµ

=n

nHH , ττ = 12 HH ,




9

где τH – проекция вектора Hr

на направление касательной к поверхности раз-дела двух магнетиков; nH – проекция вектора H

r на нормаль к поверхности

раздела двух магнетиков; 1µ и 2µ – магнитные проницаемости магнетиков. Условия для вектора индукции на границе двух магнетиков

nn BB 12 = , 1

2

1

2µµ

=τ

τ

BB ,

где τB – проекция вектора Br

на направление касательной к поверхности раз-дела двух магнетиков; nB – проекция вектора B

r на нормаль к поверхности

раздела двух магнетиков. Магнитный поток в замкнутом сердечнике, составленном из материалов

с различными магнитными проницаемостями iµ и разными площадями сече-ний iS (предполагается , что все магнитные силовые линии не выходят за пре-делы поперечного сечения магнетиков iS )

∑ µµ

=Φ

i ii

iS

NI

0

l,

где I – сила тока, протекающего по обмотке; N – число витков обмотки про-вода на сердечнике; il – длина соответствующего участка сердечника (по средней линии).

Уравнения Максвелла в интегральной форме

∫∫ ρ=VS

VSD ddrr

, StBE

SL

rr

lrr

dd ∫∫ ∂∂

−= ,

∫ =S

SdB 0rr

, ∫∫

∂∂

+=SL

StDjH

rr

rlrr

dd ,

EDrr

0εε= , HBrr

0µµ= , Ejrr

σ= , где ρ – объёмная плотность заряда; ε – диэлектрическая проницаемость сре-ды; ε0 – электрическая постоянная, мФ12

0 10858 −⋅=ε , ; µ – магнитная прони-цаемость среды; 0µ – магнитная постоянная, мГн7

0 104 −⋅π=µ ; σ – электро-проводность среды.




10

Плотность тока смещения (ток смещения, согласно Максвеллу, характе-ризует магнитное действие переменного электрического поля)

tP

tE

tDj

∂∂

+∂∂

ε=∂∂

=rrr

r0см ,

где Dr

– вектор электрической индукции (электрического смещения);

tE

∂∂

εr

0 – плотность тока смещения в вакууме; tP

∂∂

r

– плотность тока поляриза-

ции; Pr

– вектор поляризации. Ток смещения в вакууме не выделяет джоулевой теплоты. Ток поляриза-

ции выделяет теплоту, связанную с трением в процессе поляризации диэлек-трика.




11

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. По проводу, согнутому в виде равностороннего треугольника

со стороной мм200=a , течет ток А100=I . Найти индукцию B в точке М, лежащей на продолжении одной из сторон треугольника на расстоянии a=l от ближайшей вершины.

Дано: Решение А100=I

м10200мм 3-⋅=== 200la −MB ?

На рис. 1 покажем направление тока в проводе и направление магнитных полей в точ-ке М.

Рис. 1

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей,

MMMM BBBB 321rrrr

++= ,

где MB1r

, MB2r

, MB3r

– магнитные индукции, создаваемые в точке M соответ-ствующими сторонами треугольника AD , DC и CA (см. рис. 1).

Найдём направления векторов MB1r

, MB2r

и MB3r

. По правилу правого винта вектор MB1

r направлен перпендикулярно плос-

кости чертежа “от нас”, а вектор MB2r

– “к нам”. Для нахождения MB3

r обратимся непосредственно к закону Био–Савара–

Лапласа:

[ ]rrIB r

lrr

×π

µµ= dd 3

04

, ( )r,r

IB rlrl dsind

4d 2

0π

µµ= ,

где I – электрический ток; ld – элемент длины провода; вектор lr

d совпадает по направлению с током I ; rr– радиус-вектор, проведённый от элемента ld к точке наблюдения.

Применяя это соотношение к любому элементу длины ld стороны AC треугольника, можно увидеть, что угол между l

rd и радиус-вектором rr , прове-

A

D

C M

a a=l

I I

IMB1

r MB2r




12

дённым из ld в точку M , составляет °180 , следовательно, 0d =B . Так как это справедливо для любого элемента проводника АС, то

03 =MBr

. Следовательно, величина результирующего поля (направление вектора

MB1r

принято за положительное)

MMM BBB 21 −= . (1.1)

Найдём модули векторов MB1r

и MB2r

. Стороны треугольника представляют собой проводники конечной длины,

поэтому модули этих векторов найдём по формуле

( ) ( )( )210

4α+α

πµµ

= coscosaIB , (1.2)

где a – расстояние от точки наблюдения до оси проводника; α1 – угол между проводником и радиус-вектором, проведённым из начала проводника в точку наблюдения; α2 – угол между проводником и радиус-вектором, проведённым из конца проводника в точку наблюдения.

Рис. 2

Для нахождения MB1 опус-тим перпендикуляр из точки M на сторону AD или ее продолже-ние (рис. 2.)

Этот перпендикуляр попа-дет в вершину D , так как

aCMDC == ,

°=∠=∠ 30CMDCDM ,

°=∠ 60ADC .

Воспользовавшись соотношением (1.2), можно записать

( ) ( ) ( )[ ]ADMDAMDMIB M ∠+∠

πµ

= coscos4

01 .

Из рис. 2 видно, что расстояние от точки М до стороны AD ( )°= 60sin2 aMD , следовательно,

( )38

021

2324

90606024

0001

aI

a

Ia

IB Mπ

µ=

+

π

µ=°+°

°πµ

= coscossin

.

A

D

C

M

a

°60°30

°30°120




13

Для нахождения MB2 опустим перпендикуляр MF на продолжение сто-роны DC (рис. 3). Этот перпендикуляр попадет в точку F.

Воспользовавшись соотношением (1.2), можно записать

( ) ( ) ( )[ ]MCDMDCMFIB M ∠+∠

πµ

= coscos4

02 .

Рис. 3

Из рис. 3 видно, что расстояние от точки М до стороны DC ( )°= 60sinaMF , следовательно,

( ) ( )13342

123

234

12030604

0002 −

π

µ=

−

π

µ=°+°

°πµ

=a

I

a

Ia

IB M coscossin

.

Найдём результирующее поле

( ) ( )35134

133438

00021 −

π

µ=−

π

µ−

π

µ=−= ,

aI

aI

aIBBB MMM .


( ) Тл63

710706351

3102004100104 −−

−⋅−=−

⋅⋅π

⋅⋅π= ,,BM .

Результирующее поле направлено противоположно вектору MB1r

, т. е. “к нам”.

Ответ: Тл10706 6−⋅−= ,BM .

A

D

CM

a

F

°60°60




14

Пример 2. Два прямолинейных длинных проводника расположены па-раллельно на расстоянии мм200=a друг от друга. По проводникам текут то-ки силой A0051 ,I = и A0072 ,I = в противоположных направлениях. Найти индукцию магнитного поля в точке M , находящейся на расстоянии мм150=b от первого и на расстоянии мм100=c от второго проводника.

Дано: Решение м2000мм200 ,a == м1500мм150 ,b == м1000мм100 ,c ==

A0051 ,I = A0072 ,I =

MB –?

На рис. 4 покажем направление тока в про-воде и направление магнитных полей в точке М.

Рис. 4

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей,

21 BBBMrrr

+= ,

где 1Br

, 2Br

– индукции магнитных полей, создаваемых в точке M соответст-вующими токами.

Магнитную индукцию результирующего поля найдём, используя теорему косинусов,

( )β++= cos2 2122

21 BBBBBM .

Индукция магнитного поля в точке M бесконечно длинного прямого проводника с током 1I

bIB 10

12

4πµµ

= .

Индукция магнитного поля в точке M бесконечно длинного прямого проводника с током 2I

cIB 20

22

4 πµµ

= .

( ) =βπ

µµπ

µµ+

π

µµ+

π

µµ= cos2

42

422

42

42010

220

210

cI

bI

cI

bIBM

a

b cα

β1Br

2Br

MBr

1I 2I

M




15

( )β+

+

πµµ

= cos24

2 212

22

10cI

bI

cI

bI .

Из рис. 4 следует, что углы β и α связаны следующим соотношением:

α−π=α−π

−π

−π=β22

2 .

Поэтому ( ) ( ) ( )α−=α−π=β coscoscos .

По теореме косинусов

( )cb

acb2

cos222 −+

=α .

Произведём вычисления, учитывая, что 1=µ , 70 104 −⋅π=µ ,

( ) 2500100015002

200010001500cos222

,,,

,,,−=

⋅⋅−+

=α .

( ) 2500cos ,=β .

=+

+

π⋅π⋅

=−

25001000007

15000052

1000007

1500005

41042

227,

,,

,,

,,

,,BM

мкТл916Тл10916 6 ,, =⋅= − .

Ответ: 916,BM = мкТл.




16

Пример 3. Провод, согнутый в виде трех сторон квадрата, помещен в вертикальное магнитное поле мТл500=B . Конструкция может свободно вра-щаться вокруг оси OO ′, совпадающей с четвертой стороной квадрата. Найти угол отклонения плоскости фигуры от вертикали α , если масса единицы дли-ны провода мг050,=ρ , а ток в проводе мА500=I . Указать направление то-ка на рисунке.

Дано: Решение Тл500мТл ,B 0500 == А500мА ,I 0500 ==

мкгмг 310050050 −⋅==ρ ,, −α ?

Задача допускает два способа решения.

Первый способ. Сначала опре-деляют силы Ампера, действующие на три стороны квадрата с током по закону Ампера. Затем определяют моменты этих сил.

На рис. 5 показаны силы Ампера, действующие на три провода. Закон Ампера

[ ]BIFr

lrr

×= dd , ( )B,BIFr

lr

l dsindd = ,

где I – электрический ток; ld – элемент длины провода; вектор lr

d совпадает по направлению с током I .

Второй способ. Используют выражения для момента вращения, дейст-вующего на контур с током в магнитном поле,

[ ]BpM mBrrr

×= , ( )B,pBpM mmBrrsin= , (3.1)

где mpr – магнитный момент контура с током, nSIpmrr

= ; I – сила тока; S – площадь контура; nr – вектор единичной нормали к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта.

Рассмотрим подробно второй способ. Чтобы воспользоваться соотноше-нием (3.1), мысленно дополним три проводящие стороны квадрата четвёртой проводящей стороной, и будем считать, что ток I циркулирует по замкнутому квадратному контуру. Данная процедура не изменит вращательный момент сил магнитного поля относительно оси поворота OO ′. Так как сила Ампера, действующая на добавленную сторону квадрата, проходит через ось вращения, следовательно, ее момент равен нулю. Выберем направление тока в контуре, как указано на рис. 6.




17

Рис. 5 Рис. 6 Модуль вектора магнитного момента квадратного контура с током

2IaISpm == , где a – длина стороны квадрата.

Вектор mpr направлен по нормали к контуру таким образом, что его на-правление связано с направлением тока правилом правого винта (см. рис. 7).

Вращательный момент, действующий на контур со стороны магнитного поля (3.1),

α=β= cossin 2 BIaBpM mB , так как α−°=β 90 (рис. 7).

Рис. 7

I

II

Y

XZ 0

Br

A

C

O

O′

αI

I

AFr

AFrAF

r

Br

I

II

Y

XZ 0

A

C

O

O′

α

I

mprβ

0ZY

Xmpr

Br

αα

β

gmar

gmar

BMr

тMr




18

Согласно векторной записи соотношения (3.1), вектор BMr

направлен вдоль оси 0Z, то есть вызывает вращение рамки против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси 0Z. В положении равновесия вращательный момент магнитного поля скомпенсирован моментом силы тяжести, который вызывает вращение рамки по часовой стрелке и направлен навстречу оси 0Z.

Момент силы тяжести

=α+α= sin2

2sinтagmagmM aa

α= sin2 agma , где am – масса стороны квадрата; g – ускорение свободного падения;

αsingama – момент силы тяжести, действующей на сторону AC (см. рис. 6);

αsin2

2 agma – момент силы тяжести, действующей на стороны OA и CO′

(считаем, что сила тяжести боковых сторон приложена в их серединах – цен-трах масс).

Приравнивая моменты BM и тM и учитывая, что масса стороны ama ρ= , получаем уравнение

αρ=α sin2cos2 agaBIa , позволяющее найти угол α ,

ρ

=αg

IB2

arctg .


°==

⋅⋅⋅

⋅=α − 3142500

819100502500050003 ,,

,,,, радarctg .

Ответ: °==α 314рад2500 ,, .




19

Пример 4. Металлический стержень длиной 200=l мм расположен пер-пендикулярно бесконечно длинному прямому проводу, по которому течет ток

А0101 ,I = . По стержню течет ток А0012 ,I = . Расстояние от провода до бли-жайшего конца стержня 100=a мм. Найти силу Ампера, действующую на стержень.

Дано: Решение А0101 ,I = А0012 ,I =

м10100мм100 3−⋅==a

м10200мм200 3−⋅==l −AF ?

Взаимное расположение стержня и про-вода покажем на рис. 8

Рис. 8

Магнитное поле, создаваемое бесконечно длинным проводником с током неоднородно: индукция его убывает с удалением от провода, подчиняясь соот-ношению,

xIB 10

12

4πµµ

= . (4.1)

Направление магнитного поля определено по правилу правого винта и показа-но на рис. 8.

На расстоянии x от проводника выделим элемент стержня длиной xd . Будем считать, что в пределах расстояния xd магнитное поле однородное. На элемент стержня длиной xd действует сила Ампера AFd (см. рис. 8)

xBIFA dsind 12 α= . Для определения силы, действующей на весь стержень, необходимо про-

вести интегрирование по всей длине стержня. Поскольку направление тока 2I перпендикулярно магнитному полю 1B ,

то 1sin =α по всей длине стержня. Сила, действующая на весь стержень,

a l

1I 1Br

x xd

1Br

2I

AFr

d




20

∫∫++

==ll a

a

a

aAA xBIFF dd 12 . (4.2)

Подставляя формулу (4.1) в выражение (4.2) и интегрируя, находим

aaIIx

xIIF

a

aA

ll

+π

µµ=

πµµ

= ∫+

ln2

d24

210102 .


мкН 2,20H1020210100

1020010100ln2

010001104 63

337=⋅=

⋅

⋅+⋅π

⋅⋅⋅π= −

−

−−−,,,FA .

Ответ: 2,20=AF мкН.




21

Пример 5. Заряженная частица ( 1910203 −⋅= ,q Кл) летит перпендикуляр-но силовым линиям однородного электрического поля мВ700=E . В тот мо-мент, когда скорость частицы см1600=v в пространстве дополнительно к электрическому создается однородное магнитное поле 500=B мТл. Векторы Br

и Er

направлены в одну сторону. Найти силу Лоренца, действующую на час-тицу в момент включения магнитного поля.

Дано: Решение 1910203 −⋅= ,q Кл мВ700=E

500=B мТл см1600=v

Brr

⊥v Err

⊥v −ЛF ?

Направление силы ЛFr

показано на рис. 9.

Рис. 9

На движущуюся заряженную частицу в электромагнитном поле действу-ет сила Лоренца

[ ]BqEqFFFrrrrr r

×+=+= vмэЛ ,

где эFr

и мFr

– электрическая и магнитная составляющие силы Лоренца. Направления сил эF

r и мF

r показаны на рис. 9. Сила эF

r направлена вдоль

оси X , а сила мFr

– вдоль оси Y. Следовательно, эм FFrr

⊥ и поэтому модуль силы Лоренца

( )[ ]222м

2эЛ sin B,BEqFFF

rrvv+=+= .


( ) 1623219Л 1040390sin1050016007001023 −−− ⋅=°⋅⋅+⋅= ,,F Н.

Ответ: 16

Л 10403 −⋅= ,F Н.

Y

XZ

0

Br

Er

q

ЛFr

эFr

мFr

vr




22

Пример 6. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов В400=ϕ∆ , попал в однородное магнитное поле напряжённостью мкА001,H = . Определить радиус кривизны траектории электрона в магнит-

ном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля. Дано: Решение

В400=ϕ∆ мАмкА 310001001 ⋅== ,,H

Кл1910601 −⋅−= ,qe кг3110119 −⋅= ,me

−R ?

Траектория движения электрона пока-зана на рис. 10

Рис. 10

На движущийся в магнитном поле электрон действует магнитная состав-ляющая силы Лоренца [ ]BqF

rr r×= vм , направленная перпендикулярно вектору

скорости vr (рис. 10). Под действием этой силы электрон будет двигаться по дуге окружности. По 2-му закону Ньютона

namF rr=м ,

где Ran2v= – нормальное ускорение. В скалярной форме имеем

RmBq e

e

2vv =αsin , (6.1)

где eq – заряд электрона; v – скорость электрона; B – индукция магнитного поля; α – угол между вектором vr и B

r (так как в задаче B

rr⊥v , то °=α 90 );

em – масса электрона; R – радиус кривизны траектории. Из соотношения (6.1) получаем

BqmR

e

e v= . (6.2)

Скорость электрона найдём из закона сохранения энергии

eq

eq vr

vr

Br

Br

Br

BrмF

r

мFr

R




23

ϕ∆= eqm2

2v ,

откуда

e

e

mq ϕ∆

=2v .

Магнитную индукцию поля выразим через напряжённость поля HB 0µ= .

Подставляя найденные выражения для скорости v и индукции B в фор-мулу (6.2) для радиуса кривизны, получаем

e

e

e

e

e

eq

mHm

qHq

mR ϕ∆µ

=ϕ∆

µ=

212

00.


ммм 7531075310601

40010119210001101434

1 319

31

37 ,,,

,,,

R =⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= −−

−

− .

Ответ: 753,R = мм.




24

Пример 7. Альфа-частица влетает в область однородного магнитного по-ля шириной см125=l , индукция магнитного поля мТл012,B = . Скорость частицы сМм010,=v и перпендикулярна индукции и границе области. Сколько времени частица будет находиться в этой области?

Дано: Решение м1,25мм125 ==l

Тл1012,0мТл012 3−⋅== ,B

Кл10203 19−α ⋅= ,q

кг10646 27−α ⋅= ,m

см10010сМм010 6⋅== ,,v t –?

На частицу, движущуюся в магнитном поле, действует магнитная составляющая си-лы Лоренца [ ]BqF

rr r×= vм , направленная

перпендикулярно вектору скорости vr и век-тору индукции B

r. Так как сила перпендику-

лярна скорости, то она не изменяет величи-ны скорости, а изменяет только ее направле-ние. Поэтому частица будет двигаться по ок-ружности.

По 2-му закону Ньютона

namF rr=м ,

где Ran2v= – нормальное ускоре-

ние. В скалярной форме

RmBq

2sin vv α

α =α ,

где α – угол между вектором vr и Br

(так как в задаче B

rr⊥v , то °=α 90 );

R – радиус кривизны траектории.

Рис. 11 Радиус окружности

BqmR

α

α=v .

Путь, пройденный частицей в магнитном поле (длина дуги), RS ϕ= ,

где ϕ – угол дуги. Из рис. 11 следует, что

l

ϕ

ϕR

Br

0=B 0=B0≠B

vr

vr

мFr

αq




25

Rl

=ϕsin ,

=ϕ

α

α

vmBqlarcsin .

Время нахождения частицы в магнитном поле

=

=ϕ

==α

α

α

αα

α

α

α

vv

vv

vv mBq

BqmBq

mm

BqRSt l

l

arcsinarcsin

.


=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

= −

−−

−−

−

627

319

319

27

10010106461001210203251arcsin

100121020310646

,,,,,

,,,t

мкс1,40с10401 6 =⋅= −, .

Ответ: 1,40=t мкс.




26

Пример 8. Вблизи бесконечного прямого провода расположена прямо-угольная проволочная рамка со сторонами мм100=a и мм200=b . Рамка ле-жит в одной плоскости с проводом, причём стороны рамки длиной a парал-лельны проводу и ближайшая из них отстоит от провода на расстоянии

мм020,=l . Найти магнитный поток через рамку, если по бесконечному про-воду течет ток А010,I = .

Дано: Решение А010,I =

м0,100мм == 100a м0,200мм == 200b

ммм 310020020 −⋅== ,,l Φ –?

Величина индукции магнитного поля бесконечного прямого тока зависит от рас-стояния до тока x , подчиняясь соотношению

( )xIxB

πµ

=2

0 ,

то есть поле не является однородным. Следовательно, определяя магнитный поток через рамку, необходимо

проводить интегрирование по всей площади рамки. Для интегрирования разо-бьем поверхность рамки на узкие полоски, длиной a и шириной xd (рис. 12). Площадь полоски xaS dd = . В пределах такой полоски поле можно считать однородным. Элементарный поток вектора B

r через площадь Sd

( ) ( ) ( ) ( )n,BxaxIn,BSxBSxB rrrrrr

cosd2

cosddd 0π

µ===Φ ,

где nr – вектор единичной нормали к поверхности.

Рис. 12

Магнитные силовые линии прямого тока – окружности, поэтому в любой точ-ке плоскости рамки вектор B

r будет пер-

пендикулярен плоскости рамки и ( ) 1=n,B rr

cos . Полный поток через поверхность

рамки

+

πµ

=π

µ=Φ=Φ ∫∫

+

==l

ll

l

baIxaxI

b

xabS

lndd2200 .


мкВб048Вб10048020002200ln

21000010104 6

7,,

,,,,

=⋅=

π⋅⋅⋅π

=Φ −−

.

Ответ: мкВб048,=Φ .

l b

aI

Br

x xd Sd




27

Пример 9. В однородном магнитном поле мТл050,B = равномерно с частотой 1302 −=ν с, вращается металлический стержень длиной м501,=l . Ось вращения О (рис. 13), проходящая через один из концов стержня, перпен-дикулярна стержню и параллельна линиям индукции магнитного поля. Найти разность потенциалов, возникающую на концах стержня, и определить ее знак.

Дано: Решение ТлмТл 310050050 −⋅== ,,B

1302 −=ν с, м501,=l

ϕ∆ –?

Рис. 13

Разность потенциалов на концах стержня в рассматриваемом случае сов-падает с ЭДС индукции

iE=ϕ∆ .

Для нахождения ЭДС, возникающей на концах стержня, воспользуемся формулой

ti ddΦ

−=E .

Под потоком Φ будем понимать поток вектора индукции, пронизываю-щий площадь, зачерчиваемую стержнем при вращении.

( ) ( )n,BtSB rrcos=Φ .

Так как вектор Br

перпендикулярен плоскости вращения стержня, то ( ) 1=n,B rr

cos , поэтому магнитный поток ( ) ( )tSBt =Φ . За один оборот стержень зачерчивает площадь 2

1 lπ=S , а за время t , со-ответственно:

( ) ttStS νπ=ν= 21 l .

Магнитный поток, пересекаемый стержнем за время t ,

O

Br

Br B

rэF

r

мFreq

vr




28

( ) ( ) tBtSBt νπ==Φ 2l . Окончательно для величины ЭДС получаем

( )νπ−=

Φ−= 2lB

tt

i ddE .

Разность потенциалов на концах стержня

νπ==ϕ∆ 2lBiE .


В813030250114310050 23 ,,,,, =⋅⋅⋅⋅=ϕ∆ − . Для определения знака ЭДС, то есть того, какой из концов стержня имеет

больший потенциал, удобно воспользоваться силой Лоренца. Действительно, на свободные электроны, которые движутся вместе со стержнем, действует магнитная составляющая силы Лоренца [ ]BqF e

rr r×= vм , направленная от оси

вращения. Таким образом, потенциал конца стержня, через который проходит ось вращения, будет более высоким, так как электроны под действием силы Лоренца будут уходить от него до тех пор, пока сила мF

r не будет скомпенси-

рована электростатической силой EqF err

=э возникшего внутри стержня элек-трического поля.

Ответ: В8130,=ϕ∆ .




29

Пример 10. Прямоугольная рамка вращается в однородном магнитном поле с частотой 1-с5620 ,=ν . Ось вращения лежит в плоскости рамки и пер-пендикулярна силовым линиям. В момент 0=t скорость вращения начинает уменьшаться с ускорением срад001,=ε . Площадь рамки 2см144=S . Рамка содержит 320=N витков тонкого провода. Индукция магнитного поля

мкТл455=B . Найти ЭДС индукции в момент с612,t = , если в момент 0=t вектор индукции был перпендикулярен плоскости рамки.

Дано: Решение 1

0 562 -, с=ν срад001,=ε

22 мсм 410144144 −⋅==S 320=N витков

ТлмкТл 610455455 −⋅==B с612,t =

iE –?

Мгновенное значение ЭДС индукции в проводящем контуре определим по закону Фарадея–Ленца

ti ddΨ

−=E ,

где Ψ – потокосцепление рамки. Так как че-рез все витки рамки проходит один и тот же магнитный поток, то потокосцепление рамки

Φ=Ψ N , где N – число витков; Φ – магнитный поток через один виток.

( )α=Φ cosSB ,

где α – угол между нормалью к поверхности рамки и вектором Br

. При равнозамедленном вращении угол α изменяется по закону

2

2

0tt ε

−ω=α ,

где 0ω – угловая скорость, 00 2 νπ=ω . Таким образом, потокосцепление рамки зависит от времени по закону

( )

ε−ω=α=Φ=Ψ

2

2

0ttSBNSBNN coscos .

Найдём ЭДС индукции

( )[ ] ( )

ε−ωε−ω=α−=

Ψ−=

2

2

00tttSBNSBN

tti sincosdd

dd

E .

Выразим 0ω через 0ν и окончательно получим




30

( )

ε−πνε−πν=

222

2

00tttSBNi sinE .

Проведём вычисления ( )×⋅−⋅π⋅⋅⋅⋅= −− 61200156221014410455320 46 ,,,iE

Вsin 59402

61200161256222

,,,,, −=

⋅−⋅⋅π× .

Ответ: В5940,i −=E .




31

Пример 11. Две параллельные медные шины, расположенные в горизон-тальной плоскости, помещены в однородное вертикальное магнитное поле

мТл135=B . Шины с одного конца замкнуты на сопротивление Ом222,R = . По шинам под действием постоянной силы F

r со скоростью см456,=v

скользит проводящая перемычка, перпендикулярная шинам. Найти величину силы, если расстояние между шинами (длина перемычки) м861,=l ; трением пренебречь.

Дано: Решение ТлмТл 1350135 ,B ==

Ом222,R = см456,=v

м861,=l −F ?

При движении перемычки меняется пло-щадь контура abcd (рис. 14), а следовательно, и поток через него. В результате этого в контуре возникает ЭДС индукции и индукционный ток, причем, согласно правилу Ленца, направление индукцион-

Рис. 14

ного тока должно быть таково, чтобы он препятствовал измене-нию магнитного потока через кон-тур. Таким образом, сила Ампера, действующая на движущуюся пе-ремычку, должна быть направлена в сторону, противоположную ско-рости vr и силе F

r.

Найдём, как зависит магнит-ный поток через контур abcd от времени.

Имеем ( ) ( ) ( ) ( )txBtxBtSBt v+===Φ 0ll ,

где ( )tx – расстояние от замкнутого конца шин до перемычки; 0x – расстояние от замкнутого конца шин до перемычки в момент 0=t .

Величина ЭДС индукции и индукционного тока ( ) vE lBtt

i =Φ

=d

d , R

BR

I ii

vE l==

(знак минус не учитываем, так как он отражает правило Ленца, а нас интересу-ет только величина ЭДС).

Найдём силу Ампера, действующую на перемычку,

l

Br

Br

a

bc

d

RFr

AFr

iI

vr

( )tx




32

RBBIF iA

v22ll == .

Записав 2-й закон Ньютона в проекции на направление движения, полу-чаем искомую силу тяги F

0=− AFF , R

BF v22l= .


Н1830222

4568611350 22,

,,,,F =

⋅⋅= .

Ответ: Н1830,F = .




33

Пример 12. В однородном магнитном поле, индукция которого 040,B = мТл, находится плоская катушка радиусом 250=R мм, содержащая

75=N витков. Плоскость катушки составляет угол °=ϕ 060, с направлением вектора индукции. По виткам течет ток силой 003,I = А. Какую работу надо совершить, чтобы удалить катушку из магнитного поля? Сила тока в катушке все время остается неизменной.

Дано: Решение 0401 ,B = мТл 310040 −⋅= , Тл

02 =B 250=R мм 2500,= м 75=N 003,I = А

внA –?

На рис. 15 покажем расположение плос-кости катушки в магнитном поле

Рис. 15

Работа сил Ампера при перемещении катушки ( )1221 Ψ−Ψ=− IA .

Работа внешней, например механической силы, при перемещении ка-тушки

( )1221вн Ψ−Ψ−=−= − IAA . Потокосцепление (полный поток) в начальном положении катушки

( )ϕ−°π=α=Ψ 90coscos 2111 RNBSNB .

Потокосцепление в конечном положении катушки 02 =Ψ , т. к. 02 =B .

Таким образом,

( )ϕ−°π= 90cos21вн RINBA .


( ) 5316090cos25001004075003 23вн ,,,,A =°−°⋅π⋅⋅⋅= − Дж.

Ответ: 531вн ,A = Дж.

Br

nr

α ϕ




34

Пример 13. Замкнутый соленоид с железным сердечником длиной 150=l см и площадью поперечного сечения 2см020,S = содержит 1200=N

витков. По обмотке протекает ток 501,I = А. Магнитная проницаемость желе-за 1400=µ . Определить энергию и объёмную плотность энергии магнитного поля соленоида.

Дано: Решение 150=l см 501,= м

242 м10020см020 −⋅== ,,S 1200=N 501,I = А

1400=µ w,W –?

Энергия магнитного поля соленоида

2

2LIW = . (13.1)

Индуктивность соленоида

l

SNL2

0µµ= . (13.2)

Подставим формулу (13.2) в выражение (13.1), получим

l2

220 SINW µµ

= .

Объёмная плотность энергии

VWw = . (13.3)

Объём соленоида SV l= . (13.4)

Подставим формулу (13.4) в выражение (13.3), получим

SWwl

= .

Произведём вычисления:

8035012

511002012001041400 2427,

,,,W =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅π⋅

=−−

Дж,

33

4 мДж10271

1002051803

⋅=⋅⋅

= − ,,,,w .

Ответ: 803,W = Дж, 3

3

мДж10271 ⋅= ,w .




35

Пример 14. Средний радиус кольцевого (тороидального) железного сер-дечника мм147=R . В сердечнике имеется поперечный разрез толщиной

мм0021в ,=l (см. рис. 16). На сердечник намотан провод, по которому течёт ток. Во сколько раз уменьшится индукция магнитного поля в воздушном зазо-ре сердечника, если немного разогнуть кольцо и увеличить толщину зазора до

мм0032в ,=l . Считать, что магнитная проницаемость железа остается неиз-менной и составляет 435с =µ . Рассеянием магнитного поля в воздушном зазо-ре пренебречь, ток обмотки не изменяется.

Дано: Решение м0,147мм == 147R

м10002мм002 3в1

−⋅== ,,l м103,00мм003 3

в2−⋅== ,l

435с =µ

2в

1вBB –?

Для нахождения напряжённости магнит-ного поля применяем закон полного тока

IHL

=∫ lrr

d ;

( ) ∑∫ = I,HHL

llrr

ddcos . (14.1)

Считая, что силовые линии вследствие симметричности торои-дальной катушки имеют форму ок-ружностей, концентричных самому тору, проведем контур интегрирова-ния L по средней линии тороида. Выберем направление обхода контура L так, чтобы оно совпадало с направ-лением силовых линий и тогда во всех точках интегрирования

( ) 0d =∠ lrr

,H и ( ) 1dcos =lrr

,H .

Рис. 16

Левая часть выражения (14.1)

( ) 1в1в1c1c

1в1с

ddddcos llllllrr

ll

HHHH,HHL

+=+= ∫∫∫ , (14.2)

где cl – длина средней линии сердечника; вl – длина средней линии воздуш-ного зазора. Причём,

S

Br B

r

вl




36

1в1c 2 ll −π= R . (14.3) Правая часть выражения (14.1)

NII =∑ . (14.4)

Таким образом, подставляя выражения (14.2) и (14.4) в вышеуказанную формулу (14.1), получим

NIHH =+ 1в1в1c1c ll . (14.5) Индукция связана с напряжённостью

1c0c1c HB µµ= , 1в0в1в HB µµ= . (14.6) Подставим выражения (14.6) и (14.2) в формулу (14.5), получим

( ) NIBRB=

µµ+

µµ−π

0в

в1в1

0с

в1с1 2 ll . (14.7)

Так как магнитные силовые линии непрерывны, то значения магнитного потока внутри сердечника и внутри зазора одинаковые

в1с1 Φ=Φ ; вв1cс1 SBSB = . По условию рассеянием магнитного поля в воздушном зазоре пренебре-

гаем, т. е. вc SS = . Поэтому

в1с1 BB = . (14.8) Из выражения (14.7) с учётом формулы (14.8) получаем индукцию маг-

нитного поля в воздушном зазоре

в0

1в

с0

1в1в 2

µµ+

µµ−π=

llRNIB .

Для случая с другим воздушным зазором в2l аналогично получим вели-чину 2вB

в0

2в

с0

2вв2 2

µµ+

µµ−π=

llRNIB .

Отношение магнитных индукций 1вB и 2вB

( )( ) 1вс1вв

2вс1вв

2в

1в22

ll

ll

µ+−πµµ+−πµ

=RR

BB .

Произведём вычисления, учитывая, что магнитная проницаемость возду-ха 001,=µв . Имеем




37

( )( )

241100024351000214701432001

10003435100021470143200133

33

2в

1в ,,,,,,

,,,,,BB

=⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅=

−−

−−.

Ответ: 2412в

1в ,BB

= .




38


Вариант контрольной работы выбирается из таблицы по двум последним цифрам номера зачётной книжки (шифра).

Номер варианта Порядковый номер задачи Предпоследняя

цифра шифра

Последняя цифра шифра

1 2 3 4 5 6 7 8

1 301 312 323 334 345 356 367 378 2 302 313 324 335 346 357 368 379 3 303 314 325 336 347 358 369 380 4 304 315 326 337 348 359 370 371

0, 1, 2, 3 5 305 316 327 338 349 360 361 372 6 306 317 328 339 350 351 362 373 7 307 318 329 340 341 352 363 374 8 308 319 330 331 342 353 364 375 9 309 320 321 332 343 354 365 376 0 310 311 322 333 344 355 366 377 1 301 313 325 337 349 351 363 375 2 302 314 326 338 350 352 364 376 3 303 315 327 339 341 353 365 377 4 304 316 328 340 342 354 366 378

4, 5, 6 5 305 317 329 331 343 355 367 379 6 306 318 330 332 344 356 368 380 7 307 319 321 333 345 357 369 371 8 308 320 322 334 346 358 370 372 9 309 311 323 335 347 359 361 373 0 310 312 324 336 348 360 362 374 1 301 314 327 340 343 356 369 372 2 302 315 328 331 344 357 370 373 3 303 316 329 332 345 358 361 374 4 304 317 330 333 346 359 362 375

7, 8, 9 5 305 318 321 334 347 360 363 376 6 306 319 322 335 348 351 364 377 7 307 320 323 336 349 352 365 378 8 308 311 324 337 350 353 366 379 9 309 312 325 338 341 354 367 380 0 310 313 326 339 342 355 368 371




39

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 3 301. Треугольный проволочный контур составлен из двух сторон и диа-

гонали квадрата. По контуру течёт ток А005,I = . Найти индукцию магнитно-го поля B

r в свободной вершине квадрата, если сторона квадрата мм060,a = .

302. Проводящий контур составлен из дуги окружности с центральным углом °=ϕ 300 , концы которой соединены хордой (отрезком прямой). Найти индукцию магнитного поля B

r в центре окружности, если ток в контуре

А010,I = , а радиус мм100=R . 303. Длинный провод с током A010,I = согнут под прямым углом. Най-

ти индукцию магнитного поля Br

в точке, которая отстоит от плоскости про-водника на мм350=h и находится на перпендикуляре, проходящем через точ-ку изгиба.

304. Проводящий контур составлен из дуги окружности с центральным углом °=ϕ 090, , концы которой соединены хордой (сегмент окружности). Най-ти индукцию магнитного поля B

r в центре окружности, если ток в контуре

А007,I = , а радиус окружности мм050,R = . 305. Два параллельных бесконечных провода лежат в одной плоскости

на расстоянии мм100=d один от другого. По проводам текут токи силой A0101 ,I = и A0202 ,I = . Найти индукцию магнитного поля в точке, лежащей

посередине между проводами, в двух случаях: 1) токи текут в одном направле-нии, 2) токи текут в противоположных направлениях.

306. Проводящий контур представляет собой трапецию, полученную из равностороннего треугольника отсечением верхней части средней линией тре-угольника. Найти индукцию магнитного поля B

r в свободной (верхней) вер-

шине треугольника, если сторона треугольника мм200=a , ток в контуре А005,I = .

307. Три бесконечных параллельных прямых провода расположены та-ким образом, что в секущей плоскости, перпендикулярной проводам, они ока-зываются в трех вершинах квадрата со стороной мм300=a . Найти индукцию магнитного поля B

r в точке, где должна быть четвертая (свободная) вершина

квадрата, если по проводам текут одинаковые токи А050,I = в одном направ-лении.

308. Бесконечно длинный прямой проводник, по которому идет ток си-лой A025,I = , согнут под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля




40

Br

в точке, которая находится внутри угла, на биссектрисе, на расстоянии мм100=d от вершины

309. Бесконечно длинный провод образует круговую петлю, касатель-ную к проводу и лежащую с ним в одной плоскости. По проводу течёт ток

А005,I = . Найти радиус петли, если известно, что напряжённость магнитного тока в центре петли мкТл050,B = .

310. Бесконечно длинный провод образует круговую петлю, касатель-ную к проводу. Петля повернута так, что ее плоскость перпендикулярна про-воду. Найти напряжённость магнитного поля в центре петли, если ее радиус

010,R = см, а сила тока в проводе А015,I = . 311. Проволочный круговой контур с током может вращаться вокруг го-

ризонтальной оси, касательной к контуру и лежащей с ним в одной плоскости. Контур был помещен в однородное вертикальное магнитное поле

мТл584=B , при этом плоскость контура отклонилась от вертикали на угол °=α 255, . Найти величину тока в контуре, если масса единицы длины прово-

локи мг867,=ρ . 312. В вертикальном магнитном поле индукцией мТл725=B находится

проволочный круговой контур. Контур может вращаться вокруг горизонталь-ной оси, касательной к контуру и лежащей с ним в одной плоскости. Когда по контуру пропустили ток силой A452,I = , то плоскость контура отклонилась от вертикали на угол α . Найти величину угла α , если масса единицы длины проволоки мг644,=ρ .

313. В вертикальном магнитном поле находится проволочный круговой контур массой г867,m = , площадью 2144 см=S . Контур может вращаться вокруг горизонтальной оси, касательной к контуру и лежащей с ним в одной плоскости. Когда по контуру пропустили ток силой A255,I = , то плоскость контура отклонилась от вертикали на угол °=α 045, . Найти величину индук-ции магнитного поля, а также магнитный момент контура.

314. Проволочный квадратный контур висит и может вращаться вокруг одной из своих горизонтальных сторон. Контур помещен в вертикальное маг-нитное поле. Когда по контуру пропустили электрический ток силой

A223,I = , то плоскость контура отклонилась от вертикали на угол °=α 573, . Найти индукцию магнитного поля, если масса единицы длины провода

мг030,=ρ . 315. Проволочная рамка в виде равностороннего треугольника может

вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через вершину треуголь-ника параллельно противоположной стороне. Ток в рамке А441,I = , масса




41

единицы длины проволоки мг937,=ρ . Рамка находится в однородном маг-нитном поле мТл186=B , направленном вертикально вверх. Найти угол от-клонения плоскости рамки от вертикали.

316. Проволочная рамка в виде равностороннего треугольника, сторона которого 120=a мм, может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходя-щей через вершину треугольника параллельно противоположной стороне. Си-ла тока, протекающего в рамке А882,I = . Рамка находится в однородном магнитном поле мТл386=B , направленном вертикально вверх. Угол откло-нения плоскости рамки от вертикали °=α 454, . Найти массу рамки.

317. Рамка гальванометра длиной 244,a = мм и шириной 615,b = мм, содержащая 245=N витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией 125=B мТл. Плоскость рамки параллельна линиям индукции. Най-ти вращающий момент, действующий на рамку, когда по ней течёт ток силой

371,I = мА, а также магнитный момент рамки. 318. Ось вращения квадратной рамки проходит через ее середину па-

раллельно двум сторонам. Сторона рамки мм369=a , сила тока в рамке А741р ,I = . Над плоскостью рамки параллельно оси расположен длинный про-

вод с током силой А065,I = . Две стороны рамки, параллельные проводу, от-стоят от него на одинаковое расстояние мм248=l . Найти момент сил Ампе-ра, действующий на рамку.

319. Из проволоки длиной 225=l мм сделаны квадратный и круговой контуры. Контуры помещены в магнитное поле с индукцией 154=В мТл. По контурам течет электрический ток 862,I = А. Плоскость каждого контура со-ставляет угол °=α 030, с направлением поля. Найти вращающие моменты сил

1М и 2М , действующие на каждый контур. 320. Тонкое кольцо радиусом мм102=r несет равномерно распреде-

ленный заряд нКл612,q = . Кольцо равномерно вращается с частотой соб721,=ν относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и прохо-

дящей через его центр. Кольцо поместили во внешнее магнитное поле мТл222=B так, что плоскость кольца составляет угол °=α 030, с силовыми

линиями индукции. Найти магнитный момент mp эквивалентного кругового тока, создаваемого кольцом, а также механический момент, действующий на кольцо в магнитном поле.

321. По бесконечно длинному прямому горизонтально расположенному проводу пропускают электрический ток силой 5121 ,I = А. Под ним на рас-стоянии 015,d = мм находится параллельный ему провод длиной 225=l мм,




42

по которому пропускают ток 5012 ,I = А. Определить какова должна быть мас-са провода, чтобы он висел в воздухе незакрепленным.

322. На двух тонких нитях подвешен горизонтально линейный провод-ник массой г010,m = и длиной мм200=l . Весь проводник находится в маг-нитном поле. Напряжённость однородного магнитного поля мкА200=H на-правлена вертикально. На какой угол ϕ от вертикали отклоняются нити, под-держивающие проводник, если по нему пропустить ток силой A002,I = . Мас-сой нитей пренебречь. Сделать рисунок.

323. В магнитном поле напряжённостью 080,H = кА/м неподвижно ви-сит (без механических опор) прямой проводник массой г050,m = , по которо-му течёт ток силой A012,I = . Угол между направлением тока в проводнике и направлением поля °=ϕ 090, . Определить длину проводника. Сделать рисунок.

324. Четыре бесконечных параллельных прямых провода расположены таким образом, что в секущей плоскости, перпендикулярной проводам, они оказываются в вершинах квадрата со стороной мм300=a . Найти силу Ампе-ра, действующую на единицу длины провода, если по проводам текут одина-ковые токи силой А050,I = в одном направлении.

325. По двум длинным параллельным проводам, находящимся на рас-стоянии мм100=l друг от друга, текут токи в противоположных направлени-ях. Силы токов: А0101 ,I = и А0052 ,I = . Третий длинный параллельный про-вод находится на расстоянии 080,a = мм от 1-го и 060,b = мм от 2-го прово-дов, а сила тока А0013 ,I = . Найти силу Ампера, действующую на единицу длины третьего провода.

326. По трём прямым параллельным проводам, находящимся в про-странстве на одинаковом расстоянии мм200=d друг от друга, текут одинако-вые токи A400=I . В двух проводах направления токов совпадают. Вычис-лить для каждого из проводов отношение силы Ампера, действующей на него, к его длине.

327. По трём прямым параллельным проводам, находящимся в про-странстве на одинаковом расстоянии мм050,d = друг от друга, текут токи

A1001 =I , A2002 =I , A3003 =I . Все токи текут в одном направлении. Вы-числить для каждого из проводов отношение силы Ампера, действующей на него, к его длине.

328. Квадратная рамка со стороной 500=а мм расположена в одной плоскости с прямолинейным бесконечным проводом с током 0061 ,I = А. Две её стороны параллельны проводу, причём ближайшая находится от него на




43

расстоянии 250=b мм и ток в ней сонаправлен току 1I . Сила тока в рамке 0012 ,I = А. Определить силы, действующие на каждую из сторон рамки. 329. По трем прямым бесконечным проводам, расположенным в одной

плоскости параллельно друг другу текут токи в одном направлении. Силы то-ков 0101 ,I = А, 0202 ,I = А, 0303 ,I = А. Расстояние между крайними провода-ми с токами 1I и 3I 100=d мм. Определить положение провода с током 2I , в котором действующая на него сила Ампера равна нулю.

330. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому идет ток A0051 ,I = , расположена прямоугольная рамка ( мм200=a , мм100=b ), по которой течёт ток силы мА2002 =I . Длинные стороны рамки параллельны прямому току, причем ближайшая находится от него на расстоянии мм500=c и ток в ней сонаправлен току 1I . Определить результирующую силу действующую на рамку.

331. В области с плоской границей (полупространстве) создано одно-родное магнитное поле мТл001,B = . Протон со скоростью скм200=v влета-ет в магнитное поле перпендикулярно плоскости раздела и силовым линиям. Определить время пребывания протона в магнитном поле и расстояние от точ-ки влета протона в поле до точки вылета из него. ( Кл1910601 −⋅= ,qp ,

кг10671 27−⋅= ,mp ). 332. Траектория протона лежит между двух бесконечных параллельных

проводников в одной с ними плоскости и параллельна каждому из них. В не-который момент по проводникам пропускают ток А01021 ,II == в одном на-правлении. Найти силу Лоренца, действующую на протон в этот момент, если скорость протона скм100=v , расстояние между проводниками мм100=a , а расстояние между траекторией протона и ближайшим проводником

мм010,b = . ( Кл1910601 −⋅= ,qp , кг10671 27−⋅= ,mp ). 333. Протон влетает в полупространство с однородным магнитным по-

лем мТл001,B = так, что его скорость перпендикулярна силовым линиям по-ля. Найти, на какой угол изменится направление скорости протона, если он на-ходится в магнитном поле в течение времени мкс010,t = . ( Кл1910601 −⋅= ,qp ,

кг10671 27−⋅= ,mp ).

334. Заряженная частица ( Кл10203 19−⋅= ,q ) летит вдоль силовых линий однородного электрического поля мВ100=E . В некоторый момент времени в пространстве дополнительно к электрическому создается однородное маг-нитное поле мТл500=B . Найти силу Лоренца, действующую на частицу в




44

момент включения магнитного поля, если скорость частицы в этот момент см300=v , а угол между векторами B

r и E

r составляет °060, .

335. В однородном электрическом поле мВ001,E = перпендикулярно силовым линиям расположен бесконечно длинный провод. Вдоль силовых ли-ний E

r в направлении на провод двигается протон. В момент, когда протон

оказывается на расстоянии м001,=l от провода и его скорость смк060,=v , по проводу пропускают ток А100=I . Найти силу Лоренца, действующую на протон в момент включения тока. ( Кл1910601 −⋅= ,qp , кг10671 27−⋅= ,mp ).

336. Протон влетел в однородное магнитное поле под углом °=α 030, к направлению силовых линий и движется по спирали, радиус которой

мм010,R = . Найти индукцию магнитного поля, если кинетическая энергия протона Дж10003 19

к−⋅= ,W . ( Кл1910601 −⋅= ,qp , кг10671 27−⋅= ,mp ).

337. Альфа-частица влетела в однородное магнитное поле мТл050,B = под некоторым углом к силовым линиям и движется по спирали, радиус кото-рой мм030,R = , а шаг мм190=h . Найти скорость альфа-частицы и угол, под которым она влетела в магнитное поле. ( Кл1910203 −

α ⋅= ,q , кг10646 27−

α ⋅= ,m ). 338. Протон влетает в плоский слой однородного магнитного поля тол-

щиной м001,=l . Скорость протона при влете перпендикулярна как индукции Br

, так и границам слоя. На какой угол изменится направление скорости про-тона при вылете из поля, если индукция поля мТл020,B = , а скорость

см10001 7⋅= ,v . ( Кл1910601 −⋅= ,qp , кг10671 27−⋅= ,mp ).

339. Два электрона ( Кл1910601 −⋅−= ,qe , кг10119 31−⋅= ,me ) движутся с одинаковыми по модулю скоростями см100=v в однородном магнитном по-ле. В некоторый момент расстояние между ними мм200=l , а векторы скоро-стей антипараллельны друг другу и перпендикулярны B

r и линии, соединяю-

щей электроны. Найти величину и направление магнитной индукции поля, при которой расстояние между электронами в дальнейшем меняться не будет. Си-лами магнитного взаимодействия электронов пренебречь.

340. Протон прошел некоторую ускоряющую разность потенциалов U и влетел в скрещенные под прямым углом однородные поля: магнитное ( мТл005,B = ) и электрическое ( мкВ020,E = ). Определить разность потен-циалов U, если протон в скрещенных полях движется прямолинейно. ( Кл1910601 −⋅= ,qp , кг10671 27−⋅= ,mp ).




45

341. В однородном магнитном поле мТл100=B равномерно с круговой частотой срад040,=ω вращается металлический стержень длиной

мм500=l так, что ось вращения, проходящая через один из концов стержня, составляет угол °=α 030, с линиями магнитной индукции. Определить раз-ность потенциалов, возникающую на концах стержня.

342. В однородном магнитном поле мТл200=B равномерно с частотой 1c005 −=ν , вращается на непроводящей нити металлический стержень, привя-

занный к нити за один из своих концов. Длина нити мм5001 =l , длина стерж-ня мм3002 =l . Найти разность потенциалов, возникающую на концах стерж-ня, если линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости вращения нити и стержня.

343. В однородном магнитном поле, меняющемся со временем по закону tkB = , где смТл100=k , равномерно с круговой частотой срад030,=ω

вращается металлический стержень длиной мм300=l так, что ось вращения, перпендикулярная стержню и проходящая через один из его концов, составля-ет угол °=ϕ 060, с линиями магнитной индукции. Найти разность потенциалов на концах стержня через 2,00 секунды после включения магнитного поля.

344. В однородном магнитном поле мТл300=B начинает вращаться проводящий стержень длиной мм600=l с угловым ускорением

2срад040,=ε . Ось вращения, перпендикулярная стержню и проходящая че-рез один из его концов, составляет угол °=α 030, с линиями магнитной индук-ции. Найти разность потенциалов на концах стержня через 5,00 секунд после начала вращения.

345. В однородном магнитном поле мТл400=B равномерно вращается с частотой 1c007 −=ν , металлический стержень длиной 001,=l м. Ось враще-ния, перпендикулярная стержню, делит его в отношении 4:1: 21 =ll . Найти разность потенциалов между концами стержня, если ось вращения составляет угол °=α 060, с линиями индукции магнитного поля.

346. Чему равна напряжённость однородного магнитного поля, если при вращении в нем прямолинейного проводника длиной мм100=l вокруг одно-го из его концов с угловой скоростью срад862,=ω на концах проводника возникает разность потенциалов мкВ400=U . Ось вращения, перпендикуляр-ная стержню и проходящая через один из его концов, составляет угол °=α 030, с линиями магнитной индукции.

347. Самолет с размахом крыльев 020,=l м летит горизонтально строго на север (вдоль магнитного меридиана) со скоростью 720=v км/ч. Опреде-




46

лить разность потенциалов между концами крыльев самолета, если вертикаль-ная составляющая магнитного поля Земли мА050в ,H = .

348. Стержень длиной м001,=l движется с ускорением 2см501,a = в однородном магнитном поле индукцией мТл250=B . Начальная скорость стержня см0010 ,=v . Магнитное поле перпендикулярно плоскости движения. Определить разность потенциалов между концами стержня через 10,0 секунд после начала движения.

349. Стержень длиной м502,=l движется с ускорением 2см251,a = в однородном магнитном поле индукцией мТл130=B . Начальная скорость стержня 00 =v . Магнитное поле перпендикулярно стержню направлено под углом °=α 030, к скорости. Определить разность потенциалов между концами стержня через 15,0 секунд после начала движения.

350. Стержень длиной м010,=l движется с постоянной скоростью в однородном магнитном поле индукцией мкТл100=B . Магнитное поле пер-пендикулярно стержню направлено под углом °=α 060, к скорости. Разность потенциалов между концами стержня 1,00 В. Определить скорость движения стержня. Чему будет равна разность потенциалов, если стержень будет дви-гаться со скоростью звука ( смзв 340=v )?

351. В горизонтально направленном однородном магнитном поле мТл300=B расположены две вертикальные параллельные длинные медные

шины, замкнутые наверху на сопротивление мОм200=R . По шинам падает вниз, скользя без трения, медная перемычка массой г004,m = . Определить ус-тановившуюся скорость падения, если расстояние между шинами (длина пе-ремычки) мм100=l , а плоскость шин перпендикулярна линиям магнитной индукции.

352. Длинная медная шина согнута под прямым углом и помещена в од-нородное магнитное поле мТл100=B так, что плоскость угла перпендику-лярна линиям магнитной индукции. По сторонам угла скользит медная пере-мычка, перпендикулярная биссектрисе угла. Скорость скольжения перемычки относительно биссектрисы угла составляет смм010,=v , площадь поперечных сечений шин и перемычки 2

п мм001,S = . Найти значение индукционного тока в треугольном контуре из шины и перемычки (удельное сопротивление меди

мОм10701 8 ⋅⋅=ρ −, ). 353. Длинная медная шина согнута под углом °=α 030, . По шине сколь-

зит, удаляясь от вершины угла со скоростью смм100=v , длинная проводная перемычка, перпендикулярная к одной из сторон угла. Перпендикулярно плос-




47

кости угла приложено однородное магнитное поле мТл200=B . Найти ЭДС индукции в контуре из шины и перемычки, когда перемычка будет находиться на расстоянии 001,a = м от вершины угла.

354. Две параллельные медные шины, расположенные в горизонтальной плоскости, помещены в вертикальное однородное магнитное поле

мТл200=B . Шины с одного конца замкнуты на сопротивление мОм300=R . По шинам начинает скользить с постоянным ускорением 2см002,a = медная перемычка, перпендикулярная шинам. Найти индукционный ток в контуре че-рез 3,00 секунды после начала движения, если расстояние между шинами (дли-на перемычки) мм500=l .

355. Четыре бесконечно длинных прямых оголенных провода пересека-ются друг с другом так, что в пересечении образуется квадрат со стороной

м001,a = . Провода помещены в однородное магнитное поле мТл400=B , перпендикулярное плоскости квадрата. Одновременно все четыре провода на-чинают раздвигаться с одинаковыми скоростями см002,=v , перпендикуляр-ными проводам. Найти ЭДС индукции в контуре через 2,00 секунды после на-чала движения.

356. Рамка из провода сопротивлением мОм100=R равномерно враща-ется с частотой 1c005 −=ν , в однородном магнитном поле, меняющемся по за-кону tkB = , где смТл500=k . Ось вращения лежит в плоскости рамки и пер-пендикулярна линиям индукции. Найти величину индукционного тока в рамке через 400=t мс после включения поля, если в начальный момент времени плоскость рамки была перпендикулярна линиям магнитной индукции, а пло-щадь рамки 2см200=S .

357. Вблизи бесконечно прямого провода с током лежит прямоугольная проволочная рамка сопротивлением мОм200=R со сторонами мм200=a и

мм400=b . Рамка и провод находятся в одной плоскости, причем стороны длиной b параллельны проводу и ближайшая из них отстоит от провода на расстояние мм010,=l . Ток в проводе меняется по закону tkI = , где

сА10=k . Найти индукционный ток в рамке. 358. В одной плоскости с прямым бесконечным проводником с током А200=I лежит квадратная проволочная рамка со стороной мм300=a . Две

стороны рамки параллельны току, причем ближняя из них отстоит от провод-ника на расстоянии 020,b = мм. За время с1=∆t рамку проворачивают на угол °=α∆ 90 вокруг оси, параллельной току и проходящей через середины двух сторон рамки. Найти среднее значение ЭДС индукции в рамке за время поворота.




48

359. В одной плоскости с прямым бесконечным проводником с током А030,I = лежит квадратная проволочная рамка со стороной мм200=a . Две

стороны рамки параллельны току, причем ближняя из них отстоит от провод-ника на расстоянии 010,b = мм. За время мс100=∆t рамку проворачивают на угол °=α∆ 090, вокруг оси, перпендикулярной току и проходящей через сере-дины двух сторон рамки. Найти среднее значение тока индукции в рамке за время поворота, если сопротивление рамки мОм500=R .

360. В однородном магнитном поле, индукция которого мТл600=B , равномерно с круговой частотой срад020,=ω вращается рамка, содержащая

100=N витков провода. Площадь рамки 2см050,S = . Ось вращения находит-ся в плоскости рамки и составляет угол °=α 60 с направлением магнитного поля. Найти максимальное значение ЭДС индукции в рамке.

361. Квадратный проволочный контур со стороной мм060,a = , в кото-ром течёт ток А010,I = , находится в однородном магнитном поле с индукци-ей мТл500=B , причем плоскость контура составляет угол °=α 060, с векто-ром B

r. Контур тянули за противоположные вершины квадрата до тех пор, по-

ка он не превратился в прямую линию. Найти затраченную работу, если сила тока в контуре оставалась неизменной.

362. Виток с током А001,I = , радиусом мм050,R = помещен в одно-родное магнитное поле мТл200=B и находится в состоянии устойчивого рав-новесия. Какую работу необходимо затратить для поворота плоскости витка на

°=α∆ 180 , если сила тока в витке оставалась неизменной? 363. По двум бесконечно длинным проводникам текут антипараллель-

ные токи А00521 ,II == . В той же плоскости, посередине между проводника-ми, лежит квадратная рамка с током А001,I = . Найти работу по повороту рамки на °=α∆ 90 вокруг оси, параллельной токам и проходящей через сере-дины двух противоположных сторон рамки, если сторона рамки мм100=a , а расстояние между токами мм200=l . Сила тока в рамке и в проводах остава-лась неизменной.

364. В длинном соленоиде без сердечника сечением 2см003,S = создан магнитный поток через один виток мкВб020,=Φ . Найти объёмную плотность энергии магнитного поля соленоида.

365. По обмотке соленоида без сердечника протекает ток А001,I = . Найти энергию магнитного поля в соленоиде, если магнитный поток через один виток в нем мкВб200=Φ , а число витков обмотки 1000=N .




49

366. Рядом с длинным прямым проводом, по которому течёт ток A0301 ,I = , расположена квадратная рамка с током A0022 ,I = . Рамка и про-

вод лежат в одной плоскости. Проходящая через середины противолежащих сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии

мм030,b = . Сторона рамки мм020,a = . Найти работу А, которую нужно со-вершить, чтобы повернуть рамку вокруг ее оси на °=α∆ 180 , если сила тока в рамке и в проводе оставалась неизменной.

367. Квадратный проволочный контур со стороной мм100=a , в кото-ром течёт ток силой A006,I = , находится в магнитном поле с индукцией

мТл800=B под углом °=α 050, к линиям индукции. Какую работу соверша-ют силы Ампера, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму на окружность?

368. Проволочный виток в виде окружности диаметром мм100=d , в котором поддерживается ток A060,I = , свободно установился в однородном магнитном поле индукцией мТл020,B = . Какую работу нужно совершить для того, чтобы повернуть виток относительно оси, совпадающей с диаметром, на угол °=α 120 ?

369. Квадратный контур со стороной мм010,a = , по которому течёт ток мА1001 =I , находится в одной плоскости с прямым бесконечным проводом,

по которому течёт ток мА2002 =I . Ближняя из сторон контура параллельна бесконечному проводу и отстоит от него на 020,b = мм. Какую работу нужно затратить, чтобы повернуть контур вокруг одной из сторон, перпендикулярных бесконечному проводу на угол °=α∆ 090, ?

370. Обмотка тороида содержит 10=n витков на каждый сантиметр длины. Сердечник отсутствует. При какой силе тока в обмотке объёмная плот-ность энергии магнитного поля 3мДж001,=w ?

371. Средняя длина окружности железного кольца мм610c =l . В нем сделана прорезь длиной мм010в ,=l . На кольце намотана обмотка из 1000=N витков. Когда по обмотке течёт ток А501,I = , индукция поля в прорези

мТл100в =B . Найти магнитную проницаемость µ железа при этих условиях, приняв площадь сечения магнитного потока в прорези вS в 1,10 раза больше площади сечения кольца cS .

372. Два одинаковых железных кольца диаметром мм100=d имеют обмотки по 100=N витков каждое. Во втором кольце имеется поперечная прорезь мм001,=l . По обмотке сплошного кольца течёт ток А0021 ,I = . Ка-кой ток 2I нужно пустить по обмотке второго кольца, чтобы создать в нем ту




50

же индукцию? Считать, что площади сечения магнитного потока в воздухе и железе одинаковы; относительная магнитная проницаемость железа 1150=µ .

373. Длина железного сердечника тороида м52с ,=l , длина воздушного зазора (поперечной прорези в тороиде) мм010в ,=l . Число витков в обмотке тороида 1000=N , а ток обмотки A020,I = . В середине воздушного зазора пролетает электрон, скорость которого перпендикулярна плоскости тороида и в момент пролета зазора составляет см10001 6⋅= ,v . Найти силу, действую-щую на электрон в зазоре тороида, если магнитная проницаемость сердечника в этих условиях 440с =µ . ( Кл1910601 −⋅−= ,qe ). Считать, что площади сечения магнитного потока в воздухе и сердечнике одинаковы.

374. Дроссель (катушка индуктивности) намотан на ферритовое кольцо средним радиусом мм010,R = , которое было предварительно расколото на две половинки для облегчения намотки. При склеивании кольца образовалось два зазора магнитной проницаемостью 001з ,=µ и толщиной 1501 =l мкм и

2002 =l мкм. Найти во сколько раз уменьшится поток индукции в кольце за счёт образования зазора, если магнитная проницаемость феррита 1000ф =µ . Считать, что площади сечения магнитного потока в феррите и зазоре одинако-вы.

375. Сердечник электромагнита изготовлен из железа в виде тороида со средним диаметром мм020,d = и воздушным зазором мм002,=l . Магнитная проницаемость железа 1000=µж . Ток обмотки мА020,I = . Железный сер-дечник заменили стальным (магнитная проницаемость стали 500=µст ). Ка-кую силу тока надо пропускать по обмотке, чтобы индукция в сердечнике ос-талась неизменной? Считать, что площади сечения магнитного потока в фер-рите и зазоре одинаковы.

376. Средняя длина окружности железного кольца мм300ж =l . В нем сделана прорезь. На кольце намотана обмотка из N=1500 витков. Когда по об-мотке течёт ток А501,I = , индукция поля в прорези мТл100в =B . Найти ши-рину прорези вl , если магнитная проницаемость железа при этих условиях

500ж =µ . Площади сечения магнитного потока в прорези и сердечнике одина-ковы.

377. Дроссель (катушка индуктивности) намотан на ферритовое кольцо со средним диаметром мм015,D = , которое было предварительно расколото на две половинки для облегчения намотки. При склеивании кольца образова-лось два зазора магнитной проницаемостью 001з ,=µ и толщиной 1201 =l мкм и 3402 =l мкм. Найти во сколько раз надо увеличить ток в обмотке дросселя, чтобы поток индукции в сердечнике не изменился, несмотря на образование




51

зазоров, если магнитная проницаемость феррита 600ф =µ . Считать, что пло-щади сечения магнитного потока в феррите и зазоре одинаковы.

378. Электромагнит изготовлен в виде тороида со средним диаметром мм700=d и воздушным зазором мм025в ,=l . Обмотка тороида равномерно

распределена по всей его длине. Во сколько раз уменьшится индукция магнит-ного поля в зазоре, если, не изменяя силы тока в обмотке, зазор увеличить в

4=k раза? Рассеянием магнитного поля вблизи зазора пренебречь. Магнит-ную проницаемость сердечника считать постоянной и принять 800с =µ .

379. Сколько ампер-витков необходимо для получения индукции Тл351в ,B = в воздушном зазоре электромагнита с тороидальным железным

сердечником длиной мм995с =l и воздушным промежутком мм005в ,=l . Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре пренебречь. Магнитная проницаемость железа в таком магнитном поле 446с =µ .

380. Длина чугунного тороида по средней линии м271с ,=l . Ширина воздушного зазора мм211в ,=l . По обмотке тороида течёт ток, создающий в воздушном зазоре магнитный поток мкВб547в =Φ . Какой ширины надо сде-лать зазор, чтобы магнитный поток в нем при той же силе тока увеличился в два раза? Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре пренебречь. Маг-нитная проницаемость чугуна в таком магнитном поле 328с =µ .




52

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица 1

Единицы СИ




Основные единицы Длина метр м m Масса килограмм кг kg Время секунда с s Термодинамическая темпе- ратура

кельвин К K

Сила электрического тока ампер А A Количество вещества моль моль mol Сила света кандела кд cd

Дополнительные единицы

Плоский угол радиан рад rad Телесный угол стерадиан ср sr

Производные единицы электромагнитных величин

Электрический заряд кулон Кл C Напряжённость электричес кого поля

вольт на метр В/м V/m

Потенциал электрического поля

вольт В V

Напряжение, ЭДС вольт В V Электрическое сопротивле- ние

ом Ом Ω

Плотность тока ампер на квадратный метр

А/м2 A/m2

Индукция магнитного поля

тесла Тл T

Напряжённость магнитного поля

ампер на метр А/м A/m

Магнитный поток вебер Вб Wb Магнитный момент контура с током

ампер-квадратный метр

А⋅м2 A⋅m2

Намагниченность ампер на метр А/м A/m Индуктивность генри Гн H




53


Приставка

Наименование Обозначение Множитель Пример


экса Э E 1810 1 Эм= 1810 м пета П P 1510 1 Пм = 1510 м тера Т T 1210 1 Тм = 1210 м гига Г G 910 1 Гм = 910 м мега М M 610 1 Мм = 610 м кило к k 310 1 км = 310 м гекто г h 210 1 гм = 210 м дека да da 110 1 дам = 110 м деци д d 110− 1 дм = 110− м санти с c 210− 1 см = 210− м милли м m 310− 1 мм = 310− м микро мк µ 610− 1 мкм = 610− м нано н n 910− 1 нм = 910− м пико п p 1210− 1 пм = 1210− м фемто ф f 1510− 1 фм = 1510− м атто а a 1810− 1 ам = 1810− м

Приставку или её обозначение следует писать слитно с наименованием

единицы, к которой она присоединяется, или с её обозначением. Присоединение двух и более приставок подряд не допускается. Кратные и дольные единицы должны выбираться таким образом, чтобы

числовые значения величины находились в диапазоне от 0,1 до 1000. (Выбор десятичной кратной или дольной единицы диктуется прежде всего удобством ее применения.)

Для уменьшения вероятности ошибок при расчётах десятичные кратные и дольные единицы рекомендуется подставлять только в конечный результат, а в процессе вычислений все величины выражать в единицах СИ, заменяя при-ставки множителями n10 .


