Zur Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens.

Herrn GEORG HAMEL zum 78. Geburtstag gewidmet,.

Von JOHANNES WEISSINGER. in Hamburg.

(Eingegangen am 31.5. 1952.)

Einleitimg. Das It,erationsrerfahren (,,Metliode der sukzessiven Approximationen ")

darf man zu den wirksamsten Methoden der Mathematik zahlen. Nicht nur, daB sich zahlreiche Esistenz- und Eindeutigkeitsfragen mit seiner Hilfe auf eine elegante und durchsichtige Weise beantworten lassen : es stellt iiberdies eine konstruktive, init einer Fehlerabschatzung verbundene Methode dar, die sich mit den Mitteln der praktischen Mathematik fast ininier a.uch numeriscli verw-irklichen 1aBt. Da das Verfaliren in einer standigen Wiederholung immer desselben Rechenprozesses besteht, ist es hezonders geeignet fur Rechnungen, die durch ungescli ulte Hilfskrafte oder durch Reuhenautomaten susgefiihrt werden sollen . Bei der hohen Rechengeschwindigkeit der modernen Maschinen spielt aucli die Schnelligkeit der Konvergenz des Iterationsprozesses keine entscheidende Rolle inehr.

Entsprechend der Bedeutung des Verfahrens ist die Literlttur, in der iterative Prozesse angewandt. oder Zuni Gegenstand der Untersuchung gemacht werden, fast unuberselibar geworden. Dennocli mu13 nian eine eigentumliclie Diskrepanz fest,stellen. Einerseits werden gewiese klassische Problenie der Analysis in der Sprache der Funktionalanalysis bis an die Grenze des Moglichen verallgemeinert und in dieser abstrakten Form abgehandelt, andererseits haben die so gewon- nenen Erkenntnisse i n die Lehrbuchliteratur hisher nur wenig Eingang gefunden. So wird z. B. in allen mir bekannten Lehrbiichern der Differentid- und Integral- rechnung die Tlieorie der iiiipliziten Funktionen nitoh der klassisehen, letzten Endes auf den Zwischenwertsntz zuruckgehenden Methode behandelt, wahrend das in Q 6 dargestellte Verfahren sicher nicht kornpliziert.er, dariiber hinn.us aber konstrnktiv und numeriscli realisierhar ist. Oder, urn ein Beispiel aus der praktisclien Mathema>tik zii nennen : in den Lehrhuchern (z. 13. [9]) wird bei der Behandlung linearer Gleicliungss~sterrie durch Iteration fur die ein- zelnen Konvergenzkriterien jeweils ein vollstiindiger und auf den ersten Blicl; verschiedenartiger Beweis gegeben, wiilirend sie in 2 als einfache Spezinli- sierungen eines umfa ssenden und leicht beweisbaren Satzes erscheinen.

Der Grund fur die genannte Diskrepanz diirfte nicht nur darin zu suclien sein, darj viele der Originalarbeiten (z. B. in1 slawischen Schrifttum) schwer zuglnglich sind, sondern auch darin, da,R ihre Lektiire fur den lediglich an den

Math. Knchr. 1952, Rd. 8. 13

194 Weissinger, Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens.

klassischen Siitzeri interessierten Imer durch ungewohnte Bepiffsbildungen erschwert, ist, die durcli clns Streben nach groljter Allgemeinheit bedingt, fiir die nornialerweise gebraucliten Ann-endungen aber iiberfliissiy sind.

Zweck cler xTorliegenclen Xrlieit. hei deren Abfassung mir Herr W. MAAK tl~rrcli wertvolle Hinweise uncl Yerl ~esserungsvorsch1~g.e sehr gellolien Iiat, ist es, einen abstrakten Satz i i h r tliis Iterationsverfahren zu formulieren ( 9 1) untl an Beispielen z u erliiiitern ( 3 2-7): der einerseits nach lnhiilt iintl Beweis ganz elenientnr I ind unliompliziert ist und nndererseits docli so o llgeiiieiri, dalj er auf alle in der ,,tiiglichen Matheiiiatili" nuftretenden ProlAerrie leiclit a n gex1.a n d t \v er d en k3 11 n . AJ s -4n wen d 11 n g sh ei s pie 1 e w er den z 11 n ii c h s t d r ei I in ear e Problen-ie ( 0 2 : Gleichiingss?.stenie: 5 3 : lnt~eralgleichungen, 8 4 : H. A. Schwarz- sches alternierendes Verfahren), dann clrei niclitlineare Fragen ( 5 5 : Gleichungs- systenie, 8 6 : Iniplizite Funktionen. 3 7 : Gen.6linliche [esplizite und implizite] J)ifferentialgleic.hiin~en) betraclitet . ,4ngesichts der oben geschilderten Situnticn ist es klar, d;:O riele Gedanken der Arbeit in irgendeiner Form hereits ini Schrift- tiim rorhanden sein niiissen. Einige cliesbeziipliche Arbeiten habe ich - d i n e in1 niindesten Vollstandigkeit anzusireben - in 9 8 zusamrriengestellt.

§ 1. Der Fixpunktsatz. Gegehen sei ein metrischer Raum Q, also eine Menge von Elementen 6,

11, (, . . . , fiir die ein Abstand 16, 71, d. 11. eine reellwertige, nirgends negative, in [, rj synimetrische Funktion definiert ist, deren T7ers~hwinden mit iiquiralent i E t und die der ,Dreiecksurigleicliung

(1.1)

fur beliebige C, 7, 5 geniigt. Durch die Forderung, daB E = lini 6" gleichbedeutend

mit liml t, 6" = 0 sei. ist mit der Nntrik auch ein Konyeqenzhegriff fiir

Punktfolgen [,, deliniert. Uberdies wird 9 als vollstiindig voriiusgesetzt, d . 11. die Giiltigkeit des

C'auchyschen Iionvergeiizkriteriume lirri 1 5,. tp I = 0 fur eine Punktfolge 5, ist

aquivalent niit der Eiistenz eines Grenzp~tnktes 5 = lini {, . SclilieBlicli werderi Ablddungen T des Rnunies 0 in sich betrachtet :

TJ2 C Q. Eine solclie Abbildnng T ist gegeben. wenn jedem Punkt 5 ein Yurikt 9 aus Q eindeutig zugeordnet, ist : 7 = TC. Nit { T} werde die von einer Ab- k~ildung T erzeugte Halbgruppe der Potenzen T" (1' = 1 . 2 , . . .) hezeichnet. Esistiert zu einer Ahbildiing T eine reelle Znlil 1 T I , so d a B

=

It> ?]IS j 5 : ( 1 + 15: 71

Y+cC

v+m

Y , p+cc

V + O 2

(1.2)

fur beliebige $, 7 gilt, so heiDe 1 T I ein Betrag von T. Anschaulich bedeutet die Ehistenz eines Betrages offenbar, dalj die Abbildung ,.delinungsbeschriinkt" ist.

1st sogar fiir alle Potenzen T" (1: = 1, 2 , . . .) ein B-trag gegeben, so sagen wir, in { T } sei ein Betrag definiert. Besitzt T einen Betrag I T 1 , so ist offenbar

jT'I = I TI' ein Betrag in { T } . Jedoch sind auch andere Betragsdefinitionen in { T } mogliclr und gelegentlicli auch znecknihl3ig [I$. z . B. (7.10)].

Weissinger, Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens. 195

&lit den genannten Rezeichnnngen und Voraussetzungen gilt nun der folgende

FixpnnktsJz: I s t uuf { T} ei?z Betrag definiert derart. dap 2 I T’ 1 kon- m

vergiert, so ist die Punktfolge (1.3)

1 =1

Ev = T”‘ 5 0 ( 1 ) = 1, 2 . . . .) stets koizvergent, und w a r unabhangig v o n dein beliebiy wahlbaren Anfungs- punkt to yegen den gleichen P u n k t 5 = lini t,, . Bieser P u n k t genugt der Gleichung

(1.4) [ = T l und ist die einzige Losuiig dieser Gleichung. UhPrdies gilt die Fehlerabschatzung

(0 2 k < Y).

V+oO

W

It, Ev I 5 sv-k 1 l k + i , S,-k = 2 I Tej g=r*- -X:

(1-5)

wobei k eine beliebige natzirliche Zahl bedeutet.

B ewe i s : Da init (1.3) allgenieiner aucli

gilt, ergibt sich RUS der Betragsdefinit,ion sofort

und daraus durch Anwendung der Dreiecksungleichung

W

fur beliebiges naturliches p , woraus wegen der Konvergenz von 2 1 T’ 1 iind der Vollstiindigkeit von Q die Existenz eines Grenzelementes v = i

(1.9) folgt.

Aus (1.9) und der Ungleichung

15, TE I 5 I E , [”+I I + I E V + l , TE I s I E , tv+l / + 1 T I I E ” , E 1 folgt I E , TE I = Q und damit E = TS oder allgemeiner

(1.10) = T’E ( v = 1 . 2 , . . .).

(v = 1 , 2 , . . .), 1st rl = Tr) iind damit r) = T ’ r ) ( v = 1, 2 , . . .) eirie weitere Losung Yon (1.4), so wird

wegen linil T” 1 = 0 also 5 = r ) .

Schliefllich gilt fur ,LL 2 0

I t, v I = I TVt> T”v 1 2s 1 T’ I I E , r) I V+CC

15, E” I s 16, t v + p + i I + I E ” + p + l j t v 1 , woraus zusammen mit (1.8) und (1.9) fur p + co die Behauptung (1.5) folgt.

Zusatz 1: Gilt (1.2) mit I T I < 1, so sind die Voraussetzungen des F i x p u n k t - satzes durch die Festsetzung I T’ 1 = I T 1 ” erfiillt, und m a n erhaU

(1.11)

13*

I96 Weissinger. Theorie und Anaendung des Iterationsverfahrens.

In der Praxis wird die Fehlerabschatzzung (1.5) am haufigsten jur k = 0 bzw. f i ir k = v - 1 gebmucht:

(1.12)

b Z U .

Zusatz 2: Ist Q ein linearer Raum oder - etwas nllgemeinrr - t i n e udditivr Qruppe, so kann man bekmntlich dwch die E’estsetzung

I , t ( = ( , t . O I

einen Betrag f z r die Elemente 6 von f2 einfiihren mit folgendm Eigenschaften:

a. Es ist (-6 I = I ,t 1 2 0 . und 16 I = Q i8t aquivalem! mit b. Fzir beliebige 6. q gilt 16 + q I 5 I [ /’+ 1 q I .

= 0.

o. Die Gleichung lini 16, - tp I == 0 fiir e i w Folge 6, ist gleichbedeutend mi2 V . P+W

der Existent eines Grenzpinktes 6 = lini 6, (d. h. lini 16 ~~ 6, I = 0). v+m v+m

1st zimgekehrt i n einer additiven Guppe f2 e i n Betrag I 6 I mil den Eige?zschaftcn a . b: c gegeben. SO wird L? durch dic k’estsetsung

16.~1=/( - 7 1 1

ein vollstandiger metrischer Raam.

Eine Abldcliing T IieiBt additiv. wenn fiir beliebige 6. TI gilt 1

T ( < + ’7) = T,t + T q . Daruber liinaus gilt dann

TO == 0 . T\--- ,Z) =z - - T ( .

Fur eine additi\-e Ablddimg T ist die Hstragsdefinitioii (1.2) offeiibar iiqiii- 3 d e n t n i t (1.14) I T,t I I T 1 - 16 1 fiir alle E aus 0.

Eine Al~l-tildiing T iiiiige fast-adtlitir Iieil3en: wenri die Ahbildung

(1.15) T*E = T6 - TO

iidditiv ist. 1st I T* I ein Betrag ron T*. so ist \\-egen

1 T i . T17 I = / T i - !Z’?/ 1 I T*;” - T*q I I= I T*E, T*)] 1 tlurcli die Festsetziing 1 T 1 = 1 T* j ein Bstrag yon T definielt.

allgeineiner forniuliereii , \Venn man die dI~st,andsfiinlition in den recliten Seiten von (1.2) und (1.5) duroh irgencleine (nur von { T} ulihiingige) stetige, fur 6 = TI versrhwindencle Funktion E’(5, 9) ersetzt. Jedocli svlieint i i ~ n in den Anwendungen iiiinier nlit der oligen nnschanlicheren Passung tlurrlizulioi~iiiien.

Bemerlr i ing: Nan Bann den Fixpnktsa tz et\$

8 ?. Linearc Gleichungen. Uni das ( in R L i trizenform :iusgedriickte) lineare C;leic,liitngssysteri~

(2.1) ‘%r = 1‘

Weissinger. Theorie und Anwenduiig des Iterationsverfahrens. 197

oder ausgeschrieben (2 .2)

(mit koniplesen u i k , yi) durch Iteration zu losen, bringt nian es - iin allgenieinen inittels Division durcli die Diagonalkoeffizienten aii - auf die Foriri

5 aiI; XI; = (i = 1 . 2 , 3 , . . . ,n) k=l

(2 .3) F = % g + 3 , % = ( b i k )

(2.4)

und bildet - heginnend init einerri heliebigen Vektor go - die Folgo

&+I = % x v + 3, m

welche genau dann konvergiert, und zwar gegen die Losiing 11 = 2 % ” $ von

(2.3) bzw. (%.l), wenn 2%’ konvergiert. Dafur kann man unter anderem

folgende vier hinreichende Kriterien und Fehlerabschatziingen angeben :

00 V = O

v =o

1) xias 1 n b, I = q, < 1 , m a s I ui -- zr) I 5 --%- n i m I zr) -- &-’) . z I ’ i , k i 1 - % i

Wir betrachten s ta t t (2.3) etwas allgemeiner die Matrizengleic>liung

(2 .5 ) X = B X + + , in der %, 6 gegebene Matrizen (von n Zeilen und Spalten) sintl, und statt (2.4) die Matrizenfolge (2 .6 ) X V + l = BZV + G (Y =o, 1 , 2 , . . .).

Als Ranm $2 hat man hier offenbar die Menge aller n-reihigen Matrizen zu nelimen, die bekanntlich einen linearen Raum bilden, so daB es nach Zusatz 2 geniigt, statt eines Abstandes einen Betrag mit den Eigenschaften a , b, c zii definieren. Die Abbildung T ist gegeben durcli TX = ‘$32 + 6, als Betrag von T kann nach Zusatz 2 ein Betrag der zugeordneten additiven Abhildung T*X = %X genommen werden, so daB 1 T 1 niir von % abhangt. Eine beliebige n-reihige Matrix ‘i?[ kann ale0 entweder als Punkt des Eaurnes 9 oder a19 ad- ditive Abbildnng von 9 gedeutet werden, so daB man den Betrag der Matrix als Punkt einerseits und als Abbildung andererseits trntersclieiden niul3. Es liegt aber nahe, den Punktraurn uncl den Abbildungsraiiin und denientsprechend auch die beiden Betrage zu identifixieren und einfacli einen Betrag 1 % I in1 Ring aller n-reihigen bfatrizen einzuliihren . Die beiden wesentlichen an einen solclien Rlatrizenbetrag zu stellenden Forderungen ergeben sich ai ls Q 1, b und (1.14) als

und (2 .7 ) p + % ~ q q + p ~

(2.8) P ~ I ~ I ~ l l ~ l

198

fur beliebige 91, 23 aus Q. Ferner soll I - 9I I = ?1 2 Q , I 9[ 1 = 0 iiquivalent niit. 'u = 0 wid Jim 1 %,, - 9Cp ] = 0 gleichbedeutend init der Existenz einer

Matris ?i = lini 9( , sein. Dabei m n D man haeli ten, daB die Gleichung 9( = lini 91,.

iiii Sinne der Betragsdefinition zu rerstelien ist, d. h. gleichwertig mit lim 91 - 91, I = 0, so daI3 also z. B. aucli padisclie Konvergenz u. dgl. zu-

gelassen ist. Will nian bei nurnerischen Anwendungen derartige Moglichkeiten nusschlieBen, so miiB die Betragsdefinition so geu%lilt werden, daB der zii- gehorige Kon\Tergenzhegriff niit deni ubliclien zusanimenfallt . Diese Bemerkung mu13 m a n bei allen Anwendungen des Fispnnktsatzes beachten.

1st iiti Ring aller n-reiliigen Mntrizen ein derartiger Betrag eingefulirt, so lnutet der Fispnnktsatz in der Form des Zusatzes 1 :

Satz 1: Die Matrizenfolge E , + l = % f , , + 2 konvergiert - bei beliebigem X , - sicher d a m , u n d zwar gegen d i e LosuulLg U der Gleichung X = % X + G , wenn 1 % I < 1 is t . cberdies gilt die Fehlerabschatzung

Weissinger, Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens.

v . p+w

Y+W Y+W

v+m I

(1) > Ic 2 0). 1 b p - - k

1 - la1 I U - E"1 5- I X k , , -- Xk1 (2.9)

W'alilt man fur G bzw. X, speziell .,SI-'altenrnatrizen", deren erste Spalte aus eineni Tektor 5 bzw. z,, bestelit, so sind auch all? X v sowie U Spaltenmatrizen, cl. 11. inan kann in Satz 1 die Matrizen X . X , , , U iiberall durch Vektoren x, .gV, u ersetzen und auf diese Weise einen entsprechenden Satz uber die Ibsung von (2 .3) clurcli (2.4) erhalten.

&lit Hilfe der gendlinliclien Dreiecks- und der Cauchyv-Sch~~arzscliea Un- gleichung fiir Velitoren hestatigt man nun leiclit, d a 13 durch die ohen definierten Znhlen qi ( i = 1, 2 , 3 , 4) tatsachlicli jeweils ein Betrag I % [ = qi im Ring aller n-reihigen Natrizen geliefert wird. Die obigen vier Konvergenzkriterien nebst den zugelibrigen Eelilerabscliatznngen ergeben sicli dalier sofort durch Einsetzen in den nuf Spaltenniatrizen spezialisierteii Satz I . . X-aturlich l& sicli dieser Gedanlcengang a.uch ohne die abstrakte Formu-

lierung des Satzes 1 durchfuhren. Da ninilicli der Mritrizenhetrag im wesent- lichen dieselhen Eigenscliaften hat nie der gewolinliche Zahlenbetrag, laBt sicli die geniihnliche Reihenlehre, insbesondere das Majorantenkriteriu 111,

sofort auf Matrizenreihen iihertragen. Die Forderung I 23 I < 1 ist dnnn einfncii die iibliclie Bedingung fiir die Konrergenz einex geometrischen Reilie, namlicli

2 %", deren Konvergenz ja mi6 der Konvergenz des Iterationsverfahrens

gleiclibedeutend ist. Da nirgends ron der Esistenz und Einzigkeit der Losung Gebrauch geriiacht w i d . diese vielmehr mitbewiesen werden, hat man damit eine ganz elenientare ?tletliode zur Herleitung der gehriiuchlichen Kriterien.

AuBex dem eben behandelten sog. ,,Gesamtsclirittverfahren" gibt es eine groBe Zahl anderer iterativer Vcrfahren (ygl. [l l]), deren Theorie sich aber weitgehend n u f die des Gesanitsclirittverfalireiis zuriickfiiliren 1113t. Als Beispiel soll jetzt d a y sog. ,,Einzelsc.lirittrerfalireni' betrachtet nerden. Bei dieseni werden zur Lo- sung von (2.3) die Komponenten z:) der T'elrtorfolge x,, ails einem heliebigen go nach dar Vorsdirift (2.lQ) x y ~ l ) =Cbik2i+1) +C~, .T{ )+S; ( v = O . l , 2 , . ..)

m

V = O

i -1 I 1

hA= I A = i

b'eissinger, Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens. 199

Iserechnet oder in h7atrizsnsclireibu.eise

wobei (3 die Einheitsmatrix, % = %, + 'P2 nnd die ails den Elenienten unterhalb der Hauptdiagonale von '$3 gebildete Dreiecksmatrix ist. Wir n-erden im folgenden auch andere Zerlegungen rS = rSl + B2 zulnssen, allerdings nur solche, fiir die (6 --

Bekanntlich kann man weder aus der Konvergenz von 2 'W auf die Kon-

vergenz von CQ? schlieI3en noch urrigekehrt. Es kann auch nicht allgeniein

eine Beziehung 1'3 1 5 1 c8 1 oder urngeldirt gelten, wie inan schon fur die oben eingefiihrten vier Betrage an Beispielen zeigen kann. Es bedazf also einer ge- naueren Untersuchung, ob die obigen vier Kriterien auch die Konvergenz d9s Einzelschrittverfahrens sichern. Wir werden zeigen, daI3 diese Frage zu bejahen ist.

1st 91 eine beliebige Matrix, so wollen wir unter %* stets die aus den ab- soluten Betriigen der Eleniente gebildete Matrix verstehen :

existiert, so daI3 0. gebildet werden kann. W

W V = O

1. = O

81 = (UiR), 9I* = ( l a i k [ ) . Wir definieren ferner

so daB also fur beliebige 8(, 23 stets

(2.12) (91 + %)* 5 \u* + 2?*, (% %)* 2s 91" %* a, W

richtig ist, und nennen eine Reihe 291'' absolut konvergent, wenn c%*' (irn

iiblichen Sinne) konvergiert. Ahsolute Konvergenz hat deninach stets Kon- vergcnz zur Folge. Mit diesen Bezeichqiingen gilt tler

v = o "=O

Sat2 2: Hat die Zerlegung % = Bl + 'P, die Eigenschaft, dafl auch

%* = %: + 23: gilt, so folgt aus der absoluten Konvergene von 2 'ti' die W

W 1,=0

Existenz von Q = (8 - 'P1)-'rS2 und die absolute Konvergenz von 2 Q" U = O

Beweis: Aus %* = 23; +%T folgt %* &%:, aus der Konvergenz von

2 %*" also die Konvergenz von 2 23:" und damit von c 8; = (6 - BJ1,

d. h. die Esistenz von B. Es existiert sogar die Matrix

m m W

V = O v = n , .=O

W - Q = 2 %:v8:

Y =o

und erfiillt wegen (2.12) die Ungleicliung

(2.13)

200 \Veissinger, Theorie mid Anwendung des Iterationsverfahrens. m

Ziim Xacliweis der absoluten Konvergenz von 2 6 " genugt es also. die

Konvergenz \-on 2 Q' zii heweisen. S u n gilt aber fiir beliebiges natiirliches L ' Z O = -

W L > k B O 1.=0

(2.14)

Denn sclrreilit i i ian die heiden Snninieri als Sririinie der - niclitkoniniiitati~ en - l'rotlukte d t r Matrizen %;. 3:. so tri t t auf der rechten Seite jedes Produkt (Jon rninclestzns k Faktoren) gensu einmnl auf, wiihrend es in der linken Suiriine hoc listens einnial 1-orkoninit (Iiier felilen niinilicli genau die Produkte, die mit '3: endigen). Dnraus folgt sofort die B~hnuptung.

Wir wollen nun weiter ahkiirzend einen Matrizenbetrag I '?( I ,,absoIut" nennen, wenn stets I BI I = I ?I* I gilt. d. 11. wenn rler Matrizenhetrag nnr \-on den aholuten Betriigeri der JIatrizenelemente ahhiingt.

h n n knnn man deni ehen hewiesenen Satz offenhnr anfiigen den

Zusatz zii Satz 2 : Hinreichend fur die absolute Konvergenz von 2 %'* ist I Yi 1 < 1 . wenri I 3 1 einen absoluten Betrcrg bedeutet.

lh tlie Zerlegung (2.10) hzu. (2.11) dio Yoraussetzung %* = %; + %: des Satzes erhillt irnd cla tlie vier B-trkge q1 offenlmr absolirte Betrkge sind, EO

folgt, daR die ohen angefiilirten Kriterien 1) his 4) auch Iiir die Konvergenz cles Einzelsc.hrittverfahrens hinreichen.

m

"'=O

Sar.li Satz 1 erpiht sich die Fehlera~~scli$tziing

(\vobei die I'ektorbetriige als Betriige der ziigehorigen Splteniiintrizen a u f - zufassen sind), ~orausgesetzt . daS 16 I < 1 ist. U'ir beinerkten aber schon, daS das nuch Iwi I V I < 1 niclit tIer Fall zu sein hraucIit. CIJordies wiire eine solche Forniel recht unpraI~tisc.li. da in der wirklic lien Rechnung die Matrix (6 gar nicht auftritt: also lecliglich fiir die Fehlerabsclilitzung herechnet merden niiiBte. Praktisvli erv.iinsc.lit i.it eine Abschiitzung, in der I % 1 , nicht 16 1 ii uftritt .

Tndem wir weiferhin einen ahsoliiten Matrizenhetrag ,,rnoriot,on" nennen, \Venn aus ?[* 5 'P* st.ets I %* 1 2 I %* I folgt? Iiifit sic11 zusamnienfassend der folgende S a t z ausspreclien :

+ 2t2. V* = 8; + ,Zt! zind I 1 < 1 m.it einer mono- tonen absolden Betragsdefinition. Durm existiert Q = ( & -~ %,)-'!t&, und die Vektorfolge z r G f l = Qg + t konvergiert bei beliebigem z0 gegen die Liisung 11 der Gleichung

Ferner 2:st fur beliebigrs k

Satz 3 : S e i % =

I' = yir + 4 . 5 = (6 -~ W J f .

(2.15)

B e n e is : Es ist nur no( 11 (2.15) ZII beweisen. Diircli Suhtraktion der beiden Gleichungen

11 = 611 + t, XI,. = Q5."-1 + 1

Weissinger, Theorie und Anwendung des Iterstionsverfahrens. 201

und dainit die Behauptung. Unter den genannten Voraussetzungen geltcn also fur den Felder sowohl

des Gesamt- wie des Eirizelschrittverfalirens dieselben AbsclibtzungsEornieln, Z . B. mit k = Q :

PIv Iu - F Y I S T 181 1 hl -- Fa I . Man niuB aber beachten, daB I g, - xa 1 verscliiedene Werte haben kann; Z . B. wird fur go = 0 beim Gesamtschrittverfahren ,rl = 5 , beiin Einzelschritt- verfahren x1 = t = (Q - %J1 3.

Da die vier Betrage q2 offensichtlich inonoton sirid, hahen nicht nur die Konvergenzkriterien 1) bis 4), sondun auch die zugehorigen FelileraI;sch&tzungen fur das Eir,zelscl.irittverfahren Gultigkeit.

Fur die Konvergenz des Einzelschrittverfahrens gibt es noch ein ganz anderes Kriterium, das sich nicht anf die Gestalt (2 .3) , sondern auf die ,4usgangs- form (2.1) des linearen Gleichungssystenls bezieht, namlicli die Bedingung, daB 91 synimetrisch und positiv deiinit ist (vgl. 171. [13]). Auf ~7erallgemeiner~ingen dieses Satzes und seine Einordnung in den Rahmen der Fixpunkttheorie sol1 an anderer Stelle eingegnngen werden.

5 3. Lineare Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art. Die Ergehnisse von 5 2 lassen sich in naheliegender Weise a d die Integral-

gleicliung 1

(3.1) p(x) = /(q + / K ( z , E ) p (E)dE = Z’p, 0

in der alle vorkonimenden Funktionen stetig seien. iibertragen, indeni man in (2.3) T durch y ( x ) , S durch /(z), Y3 durch K ( c , t ) ersetzt. Das Gesamt- schrittverfahren liefert die Keuniannsche Reihe. Zuni Beispiel entspricht der Betragsdefinition 2) voii 0 2 fur den Matrizenoperator der Betrag

1

IT] = m a s / ~ K ( ~ , E ) I ~ E E

fur den Integraloperator, dem linearen Rauin f2 der Vektoren rnit den1 Betrag 2 ) der lineare Raum f2 der in 0 1 stetigen Funktionen u ( z ) mit den1 Betrag

(u) = m a s l u ( ~ ) l ,

U ~ S ~ l

z

USZ51

202 Weissinger, Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens.

nobei mit I K I bzw. I u I der geu-olinliclie Al,solutbetrag hezeichnet ist, und das Kon~~ergenzlrriteriiiI~i 2 ) gelit uber in das Weinsteinsclie Kriteriuni [12]

1

nias / 1 K ( T . 6) 1 d5 < 1 . ( I S Z S l ,,

Deni Kriteriuni 4) entspricht das Kriterinm von E. SCHMIDT [lo] :

/y Kj.L., l ) \ Z d , r d [ < 1 U 0

Allerdings liiitte man bei einer genauen Anulogisierung des Beweises jetzt ini Rauni Q der stetigen Funlitionen den Betrag

einzufuhren, was niclit erlauht ist, weil der Rautn bei dieser Metrik nicht voll- standig ist. Wir wollen daher dns Schniidtsche Kriteriurn kurz direlrt aus dein Fispunktsatz herleiten.

A l s Raum f? u-atilen wir die JIenge der in 0 s x 5 1 stetigen Funktionen ~ ( 2 ) niil der Ifetrik

j u , 2.1 = niR8)q.r) - v(r)j. OSl.51

Durch den Operator 1

T ~ L = f ( x ) +/-K(.r. [) u ( 5 ) d t

wird der Rauni in sic11 abgebildet. Bezeichnet nian niit n ie ublic~li die iterierten Kerne yon K und setzt

0

= K . K(’), K(3), . . .

so erlidlt inan

und weiter fiir $1 2 2 durch n-iederliolte Anwendung der Caucli~-Scliwarzsclien Ungleichung

1 1 1

/ / I P ) ( x . ~ ) I d t s l l l K ( x , ) , ) K ~ ” p l ) ( ~ ~ , ~ ) / dyd[ U U U

d. 11. I T ” u , T’wl 5 Cq”-’ Iu, wI

I TI’/ = Cq’ -1

(Y = 2 . 3 , . . .),

( I ’ z== 1, 2 . . . .) was aher aucl i fur 7 1 = 1 riclitig ist. Daher wird durcli

Weissinger, Theorie und Anw-endung des Iteratioiisverfahreiis. 203

ein Betrag in (5“) definiert, und die Konvergenzforderung fiir 2 I T ” ] liefert die Bedingung q < 1, d. h. das Schmidtsche Kriteriun.

Setzt man statt Stetigkeit nur quadratische TntegrnbilitSit Iron f (2) und K ( z , [) voraus (genauere Voraussetzungen s. z. B. [3], S. 68), so bleibt der Heweis wortlich derselbe, wenn man unter J? die Menge aller nach Subtraktion von f ( z ) stetigen Funktionen versteht.

Auch die Satze uber das Einzelschrittverfahren lassen sich iibertragen. Den Mntrizen g1, %lTt2 in (2.11) entsprechen die Kerne

co

V = O

Q ( 5 1 2 ) } Kz(z , f ) = jq:, 6) ;; :;} { K ( x . E ) ( f < x ) fl-1

K,(x:, 8 =

der Matris (6 - Bl)- l - Q = 2 q v - 1

v = l

m der Bern

und der

Da der KlPI Y)

K*(X. y) = Z K ? ) ( z , y) v = l

Matrix 6 der Kern 1

C ( x , y) = l K * ( + , l ) K 2 ( 1 3 Y)d[ 4- K2(z7 $4. 0

Kern K” (z , y) als Neumannsche Reihe des Volterraschen Kernes stets existiert, so ist die Integralgleichung (3.1) also aquivalent init

1 1.

91 (2) = 9 (2) +/CP > 5) p ( E ) a, 9 (z) = f ( z ) +/K* (x: 2 8 f (5 ) dE, n 0

und diese Gleichung kann durch Jteration gelost werden, wenn Iiir K ( z , y) z. B. das Weinsteinsche oder Sclimidtsche Kriterinm erfiillt ist. Das bleibt auch fiir andere Zerlegungen K = Kl + K , richtig, vorausgesetzt, dal3 uber- dies I K I = I Kl I + l K , I gilt und clie Neumannsche Reihe von I K I gleich- miil3ig konvergiert, was z. B. durch das Weinsteinsche oder Schniidtsche Kri- teriuni gesicliert ist.

Aucli der am SchluB von 4 2 angefulirte Satz liiBt sich leicht auf Integral- gleichungen iibertragen .

8 4. Das alternierende Verfahren von H. A, Schwarz. Wir betrachten einen einfachen Fall des alternierenden Verfahrens zur

Losung des ersten Randwertproblems der Potentialtheorie, indeni wir, VOII

einer unwesentlichen Symrrietrisierung ahgesehen , der Darstellung in [2] folgen. In der Ebene seien zwei besohrankte Gebiete 8 bzn.. @‘ gegeben, fiir die

das Randwertprohlem liisbar sei. Die Randkurven seien Q bzw. 6’:

a = 6, + 6i bzw. G’ = a; + q, wobei CSi bzw. 6; der innerhalb, bzw. 8 gelegene Teil von Q bzw. (5’ sei. 6 und 0.’ so11en stiiclm-eise glatt sein und sich unter niclitverscltn.indenden Winkeln in Punkten mit stetiger Tangente schneiden. Gesucht mircl eine Funktion U (x, y), die in der Vereinigungsmenge @ a’

hzw. 6; der auBerhalb

204 JV‘cisninger. Theorie und Ailwendung cles Iteratioiisverfalirens.

regiiliir harnioniscdi irnd einsc-lilicl3liclr dee Rfindee dT, + 6; stet’ig ist und auf Ea + 6; vorgegeliene stetige Randwerte annimnit.

Wir Iiezeiclinen ini iolgenden niit u, w. . . . hzu-. d, v‘, . . . s t e k Funktionen, die regular harinonisch in (3 bzw. 6’ sowie stetig in 8 + Q bzw. (3’ + (5’ sinti lint1 :](if (5, hzw. (5; die vorgegehenen Rnndwerte hesitzen.

A~isgeliend Yon zwei heliel&en Fun ktionen uo bzw. u; (der gelwnnzeiclineten .ht) ivird niin eine Folge ‘w,, t-)zn. ,u[, durcli die Forderung

(4.1) 7c,, = z l ; , - l n u f q l,Z\V. 21;, = 2 1 , - ] auf q (2’ = 1, 2 , . . .)

Itestinirtit. i ind der Satz \-on Scl iw~rz besagt, daB diese Folge in (3 + Q bzw. ($if + 6’ gleic*hniaiIjig gegen eine Funktion w(z, y) I I Z W . d ( x , y) mit w = zu’ i i i i el~gesclilo~senen Durc.lischnit,t \-on (5) untl a’ konvergiert derart, d a O die Fun 1i t ion

(4 .2)

tlas H;indn.ertproblem liist.

werden. Der Beweis kann niit Hilfe des Fispunktsatzes folgendermal3en gefiihrt

Der Rauni J2 liestelit :iiis allen Funktionenparen

s“ = (u. u’).

[ 5 . ?j I = IllilS {I 21 - v l a . I ZLf - vf la;},

?I = (2). d), . . . niit cler *~hstandstlefiiiition

(4.3)

wobei die Bezeicliriung I t fiir die ohere Granze des Absolutlsetrags 1 f 1 einer lieliebigen Funktion f auf einer Pnnktnienge %? gelxaucht ist. Da 1 u - w 1 IIZW. Iu’ -- wf I auf Q, ~ Z W . 6; verscIiwindet. konnte man s ta t t Ei bzw. E: aucli 6 hzw. (5’ m d dariiit nnch dem Satz voni Maximiini nuch @ + M bzw. @I + E f a ls Index schreihen . Also hit Konrergenz hci dieser JIetrik gleic~hmH5ige Kon- x’ergenz (iin iihlichen Sinne) der ersten l,z\r.. zneiten Korriponente in @ + Q )lzw. W’ + 6’ zur Folge, iind zwar (nach dern Konvergenzsatz von WeierstraB) jeweils gegen reguliire harinonische Funktionen in 8 bzw. init den vor- gegebenen Randnerten i inf 6, l~zn-. 0:; d . h. J2 ist vollstandig.

Die Al~hilcl~ing T wircl tlefiniert clurcli

(4.4) TS = (U. Z’),

v o (Ti, U’) das naeh Voraussetzung existierelide (und I I H C . ~ dein Eindeutigkeits- satz des ersten Randnertproblenis eindeutig best,ininlte) Element ails L2 niit

(4.5) u = IL’ atif dTi. uf = auf 0; ist.

- -

Sacli Definition ist dann

S a c h eineni beliannten Leiiinia ([?I, S. 266ff.) gibt eb nun eine (nm von den Gehieten untl den vorgegehenen Haridwerten ahhhngige) Zalil q < 1 , so daB gilt:

1 Z L f - 2)’ l a , q j U f - 2” la;, I u - u l a 5 q Iu - w l a ; ,

\Ireissinger, Theorie und Anwendung des Iterationsverfahreiis. 205

Da tier ist drtrch (4.7) I T ‘ I = q ” (Y = 1 . 2 , . . .) ein Batrag in {T} definiert, und nauh dem Fixpunktsatz konvergiert die nach (4.1) gebildete Folge f , = (u,.. u:) = T l v - , gegen einen Fixpnnkt f = Tt, d. 11. gegen ein Funktionenpaar

(4.8) (w, w’) = (W. W’). Fur dieses gilt riacll (4.5)

- - w = w’ auf Ei. U)‘ = w auf Qi

2(, = w auf 6;. W’ = w‘ auf Ei, und wegen (1.8)

also - w = W’ auf oi +a;,

so da13 nach den1 Eindentigkeitssatz des ersten Randwertproblenis W = z’ und wegen (4.8) auch w = w’ im Durchsclinitt von 8 und @’ gilt. Die Aufgabe wird daher in der Tat duroh (4.2) gelost.

8 5. Systeme nichtlinearer Gleichungcn. Gegeben seien rL Funktionen fi(yl , . . . , yqL) der koinplesen Variablen

y, , . . . , yn; gesucht werden Losungen des Gleichungssystems

(5.1)

das wir niit Hilfe der Vektorbezeichnungen

Yz = f z (Y17 . . . 9 Y,) (i = 1, 2 , . . . , n).

9 = ( Y l , . . . > ?In), f = ( /I3 . . * > /,J kiirzer (5.2) 9 = f (9) schreiben wollen. Unter 1 ti, a 1 werde nacli 5 1 irgendein Abstand verstanden, bei welchem der Vektorrauni rollstkndig ist, z . 13. der ge\vohnliche Vektor- betrag 111 - 8 I .

Satz 1: G‘enrigt f (9) in e inem Bereach 19, a. I 2 b e i n m Lipschitzbcdingzrng

( 5 . 3 )

(5.4)

so bf?&Zt (5 .2) ini Bereich 19. ir0 1 I b yenau e k e Losung 11. und diese kann clurch Iteration

I f(li). f(u*) 1 2 K J 9 , q* I mil K < 1 und ist

I f (&I). ?o J 5 (1 - m b

l ) v + l = f (0.) ( I J = 0, I . 2 , . . .) aus &em beliebigen go mil 1 ki0, F~ I 5 b berechnet werden. Dabei gilt die Fehler- abschatzung

K v - k 111, h.1 s n l h + , > 9x1 ( v > k 2 0 )

206 Weissinger, Theorie und Anwendung dea Iterationsverfahrens.

B e w e i s : J2 sei der durch I t ) , a, I 2 b gegebene Teilraum im R a u m aller Vektoren. JIit der Netrili 111, 3 1 ist auch 9 rollstiindig. Wir setzen

~ i n d miismi T 9 C Q. c l . 11. Tu = 7 (1))

I f ( h ) , 2, I S 6 fiir 10, 3, I 5 b

zeigen. Das folgt sofort aus der Ungleichung

I f (b) , a0 I I I f ( b ) . f(ao) I + j T ( z 0 L t o 1 r qt)> a0 I + (1 - K ) b .

Die Gleichung (3 .3) bcsagt nun. daR 1 T I = K und allgenieiner

1 T”j = K” ( v = 1 , 2 , . . .)

ein Betrag in { T } i:t. Anwendung des Fixpunktsatzes ergibt die Nehauptungen des Satzes.

Zusatz: Itt der Praxis hat man es meist mit einem Bereich SZ der Form

1 y L -- z r ) I b (i = I , 2 , . . ., 72) Z ~ L tun , in dcm die Funktionen f i ( y l , . . . , yn) entweder regular analytische Funk- tionen der komplexen Variablen yi oder reelle Funktiothen mit beschrankten yar- tiellen Ableitungen nach allen (reellen) Variablen yi sincl. Wahlt man dann als Abstand

wid sctzt 1 q , t)* 1 = n1asJ y, - yg I

i

SO ist 9 durch I t ) , a,, I 5 b charakterisiert, und wegen

d . h.

dar f man q al.9 Lipschitzkimstante K nehmen.

Das so er1i:tltene Konvergenzlrriteriuni entspricht offenbar dem Kriteriuni 1) von 9 2 fiir lineare Gleichungssystenie. Analog iibcrtragen sich auch die Kri-

terien 2 ) , 3) und 4) auf den nichtlinearen Fall, indem nian I btkl durch i-$l ersetzt . Aucli die AusfGlirungen von 0 2 uber das Einzelsclirittverfaliren lassen sic11 damit in nalieliegender Weise ubertragen.

I f L ( t ) ) - f i ( t ) * ) I zqlq. t)*I (n zbnd t)* am Q; z = 1, 2 , . . . , n).

] f(Q,,f( t)*)I 6 4 1 w J * 1

$$ 6. Implizite Funktionen. lridem n-ir fur ein SJ-steni n reeller Funktionen

J’L(rl, . . . > z*ntj ~ 1 3 . . . - Yn) (i = I , 2 , . . . , n)

kurz g(g. V) und fiir die Funktionalinatris der Fi nach den yi bzw. den xi ( zo) bzw. (&), l’iir die Funktionaldeterniinante nach den yi einfach 8,) selireiben, konnen uir den ublichen Hauptsatz uber iniplizite Funktionen so aussprechen :

Satz 1: I m Bcreich IF- - , jSn* . J n - - q , ) I b * (a”, b* > 0)

Weissinger, Theorie und Anwendung des Iterationsverfahreiis. PO7

habe B ( F . 9) stetige purtielle Ableitungen nach allen yi. Im Punkte (zo, go) sei ;i-n + 0 und 3(xo, 9,) = 0 . Dann gibt es Zahlen a > 0, b > 0 derart, dab die Ule*ichuiigen (6.1) 3(F, 9) = 0

sich i m Bereich, 1 F - xo 1 5 a,, 111 - Do 1 5 b auf genau einz Weise durch ein stetiges Funktionensystem LJ = u (g) liisen lussen. Resitzt ;3- ( I: , g ) fiberdies steti.ge partielle Ableitungen nach allen x i ! so gilt dasselbe fur das System ~ ( g ) , dessela E'~tnktiona1matrix dann midtels

(6.2) (Q = - ( S h ) - l ( C F g ) bereehnet zoerden kann.

Dieser Satz ergibt sich als einfache Folgerung aus doin zuniichst zu be-

Satz 2: Bas Fzmktionensystenz f (g , tI) (ausfuhrlicher: f i ( x l , . . . , x,, yl, . . . , yn) (a*, b > 0 )

weisenden

( i = 1, 2 , . . . , n)) sei im Bereich I F -- x, I =( a*, Ptetig und, geniige hier einer Lipschitzbedingung

19 -- k], I 5 b

(6.3) ( f ( F J j ) - f ( F , n * ) I S q g - 9 * I mit K < l .

(6.4) 9 = f ( F > 9)

Ferner sei 9, = f ( x o , ho). Dann existiert eine Zahl a > 0 derart, dap die Gleichung

im Bereich I F - -go 1

von f(g, 9) eine Zahl a > 0 , so daB fur alle F mit I g - go 1 < a gilt:

a, 1 t ) - 9, 1 b q e m u e ine stetige Losung t ) = u( F ) hut.

Beweis: Wegen K < 1 und 9, = f(g,, tlo) gibt es zufolge der Stetigkeit

(6.5) K b + 1 f (s, I),) - 90 1 s b . Wir wiiihlen als Rauni Q die Menge aller in 1 F - go 1 S a stetigen g ( ~ ) niit I t ) - I), I 5 b und als Ahstand

I t ) , t ) * ) = ma'x 11) - i i * I . lz-rolla

Da Konvergenz nach dieser Ahst,andsdefinition gleiclirriaBige Konvergenz iin iihliclien Sinne ZUI' Folge hat, ist Q vollstandig.

Da f ( ~ , tj) fur g C 9 stetig und wegen (6.3), (6.5)

1 f ( F , 9) - t lo l _I 1 f ( F , 0) - f ( F , 9,) I + I f & no) - - 90 I - KI 9 - go 1 -I- 1 f ( F : LJo) - '40 I I b

ist, so wird Q durch den Operator

TtI = f ( b , t,)

(TYI=KY

in sich ad3gebildet. Da sclilieBlich wegen (6.3) durch ( v = 1 , 2 , . . .)

ein Betreg in { T} definiert ist, liefert der Fixpunkteatz die Belia,upt,ung.

der Satz 1 von $ 6 , daR 9 = u ( x) in I E - xo I von (6.4) ist.

Da fur ein festes F (6.5) mit der Bedingung (5.4) ubereinstimmt, so lelirt a iiberhaupt die einzige Losung

208 \Yeissinger. Theorie und Anwendung des Iteratioiisverfahrens.

Zwatz: 1st i ( r . tj) in einer Unigcbung von (zo, go) stetig sowie whit stetigerc partiellen A b l r i t u n g e n nach allen y p versehrn 2 ~ 1 d i s t ( f n ) = 0 in (go, I)o):

(iIJo = 0.

JO lassen sich ojjenbar die J'oruussetziingen dts Satzes 2 auf Grund des Mitteliaert- m t z e s tler D i f f e r e i ~ t i u l r e c h ~ i i ~ ~ i ~ writ gecigneteji ( I * , b e r j u l l e t i .

Ben-eis ron F L t t z 2 : Wegen &,(go, 0,) + 0 kann man die Fiinktioii

(6 .6)

hilden. deren F~!iiktionaliiiatris sich zii

f ( z , 9) = 11 - (5tJ)O l s - ( z , 9)

( fq) = Q - (5t,)i1(&) I)estiniirit. ,1190 i n (zo. \lo) \-ers(li\tintlet. Dahrr erfullt j ( z 3 11) die T'oraussetznng des Zusatzes, und da (6.1) fur die Funktion (6.6) mit (6.4) iiqiiiwlent ist, so ist der erete Teil yon Satz 1 bereits bewiesen.

I)er zweite Teil ergilit sicli sotort ai ls dem ll i t telwertsatz

0 = z ( g + LIZ. II + Ju) = (&)LIE + ($l))du,

u o i l i i = 11(z + A x ) - n ( z ) gesetzt ist und das Zeiclien - undeiiten 9011. dn13 in den Eleirienten dcr Funktion,ilniatrizen 1 erscliiedene Argnrt~entz\~,isc.lien- n er te einzusetzen >ind.

Q 7 . Qewohnliche Differentialgleichungen. Satz 1 (Picard-Lindelof) : Dtis System eon DifferentiaZgZeichunge?i

!/: = f , ("1 ?I1 3 . . . . !/n) ( i = 1 . 2 . . . . . n ) , kitrz

m it den A n jnizg sbed in g iui gew

brw. das dtrmit bquivalente Ititegmlgleich7rngssptem

(7.1) 1)' = i (x. &I).

1) (*L.o) = 80

r

( 7 . 2 ) bvsifzt i7n Intervnll ru

(7.3)

genau ei7rv Losvng 11 = 11 ( x ) , i c e n ~ i (.r .I)) im Bereich

(7.4) 1 .r .to 1 5 a*. 11) - a. I 5 b

atfiig mil 1 f I L JI id unr l v iner Lipschitrb~tlii7g7rng

( 7 . 5 )

1) ( . r ) = ho + I T ('r . 1))d.L

b I x - .yo 1 2 cc = itiin [<I* .

I f ( X . I t ) - f ( d . 1)') 1 5 Kl I) - 1)" I geniigt. B e g i n n e d ?nit eiirer beliebigtn atetigen Fiinlctio~ q0(.r) rrLit J go - to J 5 b ktrnn die Losiing d w c h die Iteration

X

(7.6) gt zroiinen ~ c * m I e i i . I"

1) ,11 = 80 + J i ( X . V,,)d2. ( 1 ' = 0. 1 , 2 . . . .)

Weissinger, Tlieorie und Anwendung des Iterationsverfahrens. 209

Beweis: Q ist der Ranm der in I 5 - r0 [ I rl stetigen Funttionenvektoren 9 ( x ) mit I h - zo I b , der Abstand ist

l g , g * I = niax I k j - 9 * 1 lx-xol5a

( 7 . 7 )

Durch den Operator

T ~ J = bo + f i x . l ) )dx ( 7 . 8 ) f0 i wird D wegen (7.3) in sicli abgebildet. Mit Hilfe ron (7 .3) und (7.5) bestatigt man leielit, daB durcli

(7.9) (Ka)’’

V ! JT’I =- ( Y = 1 , 2 , . . .)

ein Betrag in { T } definiert ist, womit bereits alles bewiesen ist. Uberdies erliillt man aus (1.5) mit 12 = v - 1 die Fehlerabscliatzung

(7.10) I u - 9” I I (eRa -- 1) mar; 1 g v - g y - 1 1 . lx -xolSa

Die Theorie inipliziter Differentialgleichungen wird gewolinlirh durcli den Hinweis erledigt, daI3 man sie ja durch Auflosung nach den Ableitungen in explizite verwandeln kann, wobei dieser AuflosungsprozeB als elenientar gegen- iiber dem IntegrationsprozeR angesehen und deshalb gar nicht betrachtet wird. In der Praxis ist diese Methode jedoch nur dmchfuhrbar, menn sic11 die Auflosung in geschlossener Form bewerkstelligen 1 8 R t ; aber aucli in theoretischer Hinsicht befriedigt vielleicht ein Verfaliren niehr, h i dem eine Verwandlung in explizite Differentialgleichungen nicht notig ist .

&inlic.h wie in 5 6 betrachten wir zun8chst ein System der speziellen Form

Y: = f i ( X , Y1, . . . . y,&, y:, . . . , y;) (i = 1, 2 . . . . . n ) . kurz

9’ = f ( x , h , V’), und forniulieren dafiir einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz, indrnl wir die Beschreihung der Losungsmethode dern Beweis uberlassen .

Satz 2: Im Bereich

(7.11) 12 - x 0 I s a * , 1 11 - A ~ I s b , I v ’ - f i h / S C

sei f ( x , g, g’) stetig in allen Variablen x , yl, . . . . y t L , y:, . . . , y:, u n d genuge einer Lipschitsbed i n g u n g

(7.12) l f ( x , i i , q ’ ) - - f ( x , i j , q ’ ) l s K / q - i j l + K , l g ’ - v ’ [ nzit K l < l . Ferner sei (7 .13)

D a n n hat das Xystern von Dif ferentialgleichungen

(7.14)

m i t der Anfangsbedingung tJ(xo) = 3 0 , 1 9’(xo) - a: I =( c irn Bereich I x -- xo ] 5 a ( m i t passend gewahltem a > a) genau eine L 6 w n y .

Math. h’achr. 1952, Ed. t i . 14

210 Weissinger. Theorie und Anwendung des Iterationsverfa,hrens.

Beweis : Wegen I<, < 1 iind der Stetigkeit \-on f kann man ein a > 0 finden, so d a B gilt:

(7.15)

(7.16)

(5.17)

K ( c + I ] ) a + K , c -t 1 i ( x . $0. a:) - 66 1 I C, iind iillerdies iiuc.11

Q ( C + I A:, 1 ) d b . J h s (7.15) folgt sofort

y = Ra + R, < 1 .

Als Rniini Q nehirien wir die Mengo nller iln B-reich I s - - :ro 1 5 a stetigen Funlhonenvektoren ? ’ ( x ) init

I ’ (7.18) I 9 -~ 8” I c und a l p Ahstand

1 Q’? q’ I = niax 19’ - q’ 1 . lx-xo 15 a

Fur 9’ C R wird zufolge (7.18), (7.16) X

(7.19)

so daB der Operator 2

(7.20)

I / g ’ d x I s a niax 1i1’1 d a ( c + / & l ) s b . 12- z,/ s a

zo

Tq’ = f ( x , a. + / q ’ d x , 9’) $0

Iiir q‘ C Q definiert ist. F’erner liegt T ~ J ’ in Q , rlerin unter Bxichtung von (7.12)- (7.19), (7.18) und (7.15) beltonimt iiian

X

Weissinger, Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens. 211

Petzt nian X

(7.23) so gilt, *”

9 v = t o +J9Ld% ( v = 0. 1 . 2 - . . .).

( v = 0, 1 , 2 , . . .). d (7.24) & 1 ) Y = tl:, 9Y(XO) = a0

Nnch (7.21) kann man fur (7.22) aucli sclireiben:

(7.25) 9l+l = f (x , I)”, 91) ( v = 0, 1 , 2 , . . .),

u n d wegen der gleiahmafiigen Konvergenz der 9: lionhrgieren auch die gleichmiiBig gegen eine Funktion u derart, dal3 die Gleic~hungen (7.24), (7.25) fiir v + c13 iilm-gehen in

uoinit der Satz bewiesen ist.

Zusatz: Die Voraussetzungen des Satzes lassen sich offenbar - mit geeigneten Konstunttn a*, b , c , K , Kl - erfullen, wenn f(x, g , 9‘) in einer Umgebung eon (xo, to, 8;) stettge partielle Abkitmgen nuch den Variublen yz, y: (i = 1, . . . , n) besitzt und zcenn ( f v r ) o = 0 ist.

,4us Satz 2 und dern Zusatz ergibt sich sofort der

Satz 3: Besitzt 8 ( x , g , 1)’) (d.h. Fz(x, yl,. . . , yn, y;, . , ., y:) (i = I , 2 , . . . ,n ) ) in ciner Umgebung des Punktes (x,, a,, 8:) stetige partielle Ableitungen nach den Variablen y,, y: (i = 1, 2 , . . . , n) , gilt ferner f k r die Funktionaldeterminante So. + 0 in (xo, t o , 84) und ist %(xo, ao , 86) = 0, so hat das System impliziter Di f fercntiulyltichungen

(7.26)

rnit der Anfangsbedinyung 9 (xo ) = a. in einer passend gewahlten Umgebuny von ( x o . f0. a@ cine und nur eine Losung.

5 ( x , 9, x) 4 = 0

Bewei s : Setzt inan

(7.27) f(x, t ) , 9’) = 1)’ - (5,1,)0lS(x, g > 9 ’ ) 2

so ist das System (7.26) aquivalent mit (7.14) und erfullt die Voraussetzungen des Zusatzes.

Das hier beschriebene Verfahren zur Losung von (7.26), zu dessen Durch- fuhrung nian niir die Pormeln (7.27), (7.23), (7.35) benotigt, ist offenbar eine Konibination der Neu tonsehen Methode zur Berechnung von Nullstellen nnd dcs Verfahrens von Picard-Lindelof ziir Losung expliziter Differential- gleirhungen lint1 lafit sich - ebenso uie das letztere - auc h praktiscli ver- wirklichen. In der Praxis arbeitet man allerdings aus Grunden der Reclien- okonomie im allgenieinen nicht Init dem Verfahren von Picard-Lindelof (.,Ver- fahren der wiederholten Quadratur“), sondern rechnet nuch Runge-Kutt? oder Adatns-Stormer bzw. einern der zahlreichen anderen Differenzenverfahren. Aucli diese Verfahren lassen sicli in naheliegencler Weise anf implizite Differential- gleichungen ubertrsgen, was an nnderer Stelle geschehen SOU.

14*

212 Weissinger. Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens.

5 8. Schriftlum. Eine Formulierung des Fispanktsatzes, wie sie in 5 1 gegeben wirde, habe

ich in der Literatur niclit finden konnen. Am niiiclisten komnit ihr ein Satz i n [S], aiif den rnich Herr L. KAL~UJNTPI’E freundlicherweise auf nierksarn machte. Dort w i d das Iion%-erjienzkriteriiiti - ohne ausdriickliclie Felilerabscli&tzung - i n der Form I T 1 < 1 ausgeuprochen und duwl i Vergleicli niit einer geonie- trisalien Reihe hewiesen. Speziell fiir lineare Raunie ist der Satz oft hewiesen und angew-andt worden (nieist allerdings nicht niit dem liier benutzten Betrags- begriff einer Ahbildung, sondern unter Beschriinkung auf die Norm,. d. 11. den kleinsten der liier zngelassenen Betrhge), so z. B. in [6]. wo auch eine An- wendung auf lineare Gleichungssgsteme gemaclit wird. Eine ganz andere ein- heitliclie Herleitung der iiblichen Konvergenzkriterien fur das Iterations- verfahren 1x4 linearen Gleichungssystemen wird in [l] niit Hilfe tier Eigenwert- theorie gegehen. die ja ein notwendiges und liinreichendes Konvergenzkriteriurn atiszusprechen gestattet,. Der Inhalt %-on 3 6 und 7 diirfte teilweise RIS Spezial- fall i n den sehr allgenieinen Satzen von [4] enthalten sein. I n Anlage iind Ziel- setzung haben die vorstehenden Ausfiihrungen wold m i meisten ih l i c l ike i t niit der Arheit [5 ] , in der aucli - allerdings unter Beschriinliung auf lineare RHume, dafiir niit einem \\-esentlicli abstrakteren Betragsbegriff - ein all- gerneiner Fixpunktsatz formuliert und a u I die verscliiedensten Problenie der Analysis angewnclt w i d .

[ 13 L. COLLATZ. iiber die Iionvergenzkriterien bei Iterationsverfahren fur lineare Glei-

[2] R. COURAKT und D. HILBERT, Methoden der Mathematischen Physik. 11. Berlin 193T. 131 G. HANEL, Integralglcichungen. Berlin 1937. [4] T. H. HILDEBRAKDT and L. $1. GRAVES. Implicit functions and their different,ials in

[5] L. h x T n R o v I T c r r , The method of successive approximations for functional eqmtions.

163 A. T. LONSETH, The propagation of error in linear problems. Trans. Ainer:math. Soc.

[7] R . T. A ~ I S E S und H. P n L L A C Z E ~ - C : F I R I ~ G E R , Praktische Verfahren der C+leirhungsauf-

[S] J. P. SATAXNX, Thcorie der Funktionen einer reellen Vcranderlichen. Moskau 1950

[9] W. SCHJIEIDLER. Vortriige iiber Deterininanten und Matrizen niit Anwendungen in

[ 101 E. S~.HMIDT. Auflosung der allgemeinen linearen Integralgleiehung. Mat,h. Ann. 64,

Ill] U. \VEC:X.EX. Bemerkungcn zu den Itcrationsverfahren fur lineare Gleichungssysteme

[12] A. WEJPI’STEIN, Ein einfaches Iiriterium fur die Iionvergenz der Neumannschcn Reihe.

[I31 J. WEISSIXGER, Uber das Itcrationsverfahren. Z. anpen. Math. Mech. 31. 245-216

chungssysteme. Math. Z., Berlin 53, 149-161 (1950).

general analysis. Trans. Amer. math. So?. 29, 127-163 (1927).

Acts Math., Uppsala 21, 63-97 (1939).

62, 193-212 (1917).

losung. Z . angew. Nath. Mech. 9, 58-77 u. 152-164 (1929).

[Russisch].

Physili und Technik. Berlin 1919.

161-174 (190s).

Z. angew. Math. Mech. 31, 243-245 (1951).

8.-B. Berliner math. Ges. 26, 168-170 (1927).

(1951).