Intern. Zs. I. Gesch. u. Ethik der Namrwiss.,Technik u. Med., 4 (1996): 145-158 003645978/96/030145-14 $1.50 + 0.20 �9 1996 Birkh~user Verlag, Basel

Zur Theorie der schwingenden Membran bei Leonhard Euler und Giordano Riccati: Erfindung, Nacherfindung, Fama

Peter Zimmermann

Teil I: Eulers Membrantheorie

Leonhard Euler (1707-1783) treated in his study ,,De motu vibratorio tympanorum" [6], publish- ed in 1766, the theory of the vibrating rectangular and circular membrane mathematically in such a comprehensive way that little more had to be added, considering today's standards. How- ever, he omitted to interprete his results physically. Therefore his uncomparable work found little recognition, especially in the field of musical accoustics.

1. Eigenschaften und Verwendung yon Membranen

Die Membranophone, auch Haut- oder Fellklinger genannt, bilden eine Haupt- gruppe in der Systematik der europtiischen Musikinstrumente. Sic erzeugen ihren Klang, indem eine Membran, die fiber einen offenen Rahmen oder einen Resonanzraum gespannt ist, durch Anschlagen, Reiben oder Zupfen in trans- versate Schwingungen versetzt wird. Das weitaus wichtigste Instrument aus der Gruppe der unmittelbar geschlagenen Trommeln ist die Pauke oder Kessel- trommel (vgl. [11], S. 498-512). Hier wird die Membran, die aus Tierhaut oder heute meist aus einem kt~nstlichen Fell (wie Mylar~-Folie) besteht, fiber einen Messing- oder Kupferkessel gespannt. Beim Anschlagen des ,,Fells" mit einem filzbezogenen Schlegel schwingt die im Kessel eingeschlossene Luft mit; dadurch wird der vonder Membran erzeugte Schall in rnusikalisch wtinschenswerter Weise ver~ndert (vgl. [10]). Die beidseits bespannte R6hrentrommel besitzt an der einen Seite des zylindrischen Resonators ein starkes Schlagfell, an der anderen ein schw~icheres ,,SaiterffeU", das mit Schnarrsaiten versehen sein kann und nicht angeschlagen wird. FUr besondere Klangeffekte werden gelegent- lich Klapper- und Rasseltrommehn verwendet, die zu den mittelbar geschla- genen Trommeln zNflen.Von noch geringerer Bedeutung sind Reibtrommeln, die einen heulenden Klang haben, und Klirrtrommeln, deren Membran beim Singen oder beim Spielen anderer Instrumente mitschwingt.

Nicht nur bei Musikinstrumenten, sondern auch far elektroakustische Wand- ler spielen Membranen eine gewisse Rolle. So ist es eine Membran, die im weit

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F O R S C H U N G - RESEARCH P e t e r Z i m m e r m a n n

verbreiteten Kondensatormikrophon mechanische Schallenergie in elektrische Energie umwandelt (vgl. [16], S. 203-208). Dies trifft aUerdings nicht zu ftir die sogenannte Membran des elektromagnetischen Kopfhtirers~ die in Wirklich- keit eine biegesteife Kreisplatte ist, und erst recht nicht ~ r eine r~iumlich ge- krtimmte Lautsprecher"membran", die als ebenfalls biegesteife donne Schale anzusprechen ist.

Diese teilweise unzutreffenden Benennungen fiihren zur Frage nach den Eigenschaften einer idealen Membran: im Sinne der Mechanik ist die Mere- bran eine vollkommen biege- und schubweiche elastische Haut, die nur Zug- spannungen in ihrer Ebene bzw.Tangentialebene attlhehmen kann. Dieser Vor- stellung kommt eine Seifenhaut sehr nahe. Sie hat oft eine St/irke yon nur weni- gen Molektilen, die gegenseitig so leicht verschieblich shad, dab die Schub- und Biegeweichheit in beinahe idealer Weise gew~ihrleistet ist. Dagegen ist ein Pau- kenfell aus Mylar~-Folie merklich biege- und insbesondere schubsteif und somit nur n/flaerungsweise eine Membran.W/ihrend eine biegesteife Platte jederzeit zu Transversalschwingungen angeregt werden kann, ist die ideale Membran erst schwingungsf/khig, wenn sie vorgespannt worden ist; gerade diese Eigen- schaft bietet einen vergleichsweise einfachen Schliassel zur analytischenTheo- rie ihrer Schwingungen.

Als klangerzeugender Vorgang bei Musikinstrumenten land die Schwin- gung der Membran ein engagiertes Interesse im Zeitalter der Aufkl~irung, in dem Kunst und exakte Naturwissenschaften viel weniger als Gegens~itze emp- funden wurden als das heute gang und g~ibe ist. Die stiirmische Entwicklung der Mathematik und Mechanik dieser Zeit n~ihrte die Hoffnung, dab es nun gelingen k6nnte, auch die Musik, die bisher nur der Empfindung und der Seele zug~nglich war, mit Hilfe der Infinitesimalrechnung ganz dem Verstande zu erschlieBen. Nachdem zu Mitte des 18. Jahrhunderts die transversalen Schwin- gungen von St/~ben 1 und Saiten 2 entr~itselt worden waren, erschien den ftihren- den ,,Geometern" die Theorie der Membranschwingung als besonders loh- nende Aufgabe, die Ehre und Ruhm versprach, - wiarde sie doch die bisher lest versperrte Ttir von den linienhaften zu den fl~ichenhaften Kontinua 6ff- nen. Im folgenden soil gezeigt werden, wie ein Genie diese T0r aufstieB, wie sie nach seinem Eintritt wieder zuschlug, wie dann ein Begabter und FleiBiger versuchte, sie nochmals einen Spalt weir zu 6ffnen, und schlieglich,wie die Nach- welt das Geschehen aufnahm.

2. Eulers Theorie der schwingenden Membran

Jakob Bemoulli (1655-1705) hatte 1691 die Differentialgleichung des biege- weichen l~ingselastischen Seiles, also der ,,curva funicularia", aufgestellt und in den Jahren 1691 bis 1694 die ,,Biegung eines elasti~chen Bandes ''3, also eines biegesteifen Balkens, mit einigem Erfolg bearbeitet. Von diesen statischen

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Z u r Theor i e der s chwingenden M e m b r a n . . . (Teil I) FORSCHUNG - RESEARCH

Ergebnissen, die in der Folgezeit weiter ausgebaut worden sind, konnten Daniel Bernoulli (1700-1782), Leonhard Euler (1707-1783) und Jean Lerond d'Atem- bert (1717-1783) ausgehen, als sie vier Jahrzehnte sp~ter begannen, sich um die Theorie der transversalen Schwingungen des Balkens und der Saite zu be- mtihen.

Als dagegen Euler 1764 seine A_rbeit ,,12rber die Schwingungen der Pauke ''4 vorlegte, war die Statik der biegeweichen elastischen Membran und der bie- gesteifen elastischen Platte, also das Gleichgewicht der zweidimensionalen Analoga zu Saite und B alken, noch nicht in Angriff genommen worden. Den- noch hat Euler ohne statische Vorbereitung auf knapp 20 Druckseiten die Schwingungen der Membran mechanisch und mathematisch so umfassend behandelt, dab hinsichtlich der Theorie wenig Grundlegendes nachzutragen blieb.

Dieser Arbeit, die 1766 in den Neuen Kommentaren der Petersburger Aka- demie erschien, ist ein ,,Summarium" vorangestellt, das sich auch auf den unmittelbar nachfolgend abgedruckten ,,Versuch tiber den Klang yon Glok- ken ''5 bezieht. Weniger bescheiden als zutreffend beginnt die ,,Zusammen- fassung" mit den Worten: ,,Hier werden zwei Untersuchungen durchgefahrt, die die A_kustik betreffen. Sie sind so schwierig, dab derjenige, dem es in gewis- sem MaBe gelungen ist, diese Kl~inge der Berechnung zuzufahren, als ganz untibertreffiich anzusehen ist (ut is iam plurimum praestitisse sit censendus)". Dann wird daran erinnert, dab es schon schwierig genug war, die Schwin- gungen yon Saiten zu berechnen, ein Feld tibrigens, auf dem Euler mit Arbei- ten aus den Jahren 1748 und 1753 nicht allzu viel Lorbeer gepfltickt hatte. Aber nun, wenn es um ,,den Klang oder die Schwingung von Pauken und Glocken" geht, ,,wird die St6rung einer ganzen [elastischen] F1/~che oder sogar eines [biegesteifen] K0rpers untersucht. Hierzu sind, wie man leicht versteht, tiefere Geheimnisse ftir die [mathematische Seite der] Berechnung n6tig." Als erstes masse aber die Bewegung der Berechnung zug~inglich gemacht werden. Dazu stellt der Autor ,,Regeln", d.h. partielle Differentialgleichun- gen auf. Diese seien von zweiter Ordnung far das Paukenfell und von vier- ter Ordnung fiat die Glocke. [Im letzteren Fall irrt - wie wir heute wissen - der ,,auctor" allerdings: sie ist von sechster Ordnung, und es blieb Reinhold Hoppe (1816-1900) vorbehalten, sie mehr als hundert Jahre sp/~ter richtig- zustellen.] Da die allgemeine L6sung dieser Differentialgleichungen zu schwierig erscheint, sollen nur solche Schwingungen untersucht werden, die einem bestimmten [monofrequenten] Ton entsprechen. Ebenso wie die Saite k6nne auch die Glocke und die Pauke entweder einzelne T6ne yon sich geben oder in mehreren T6nen gleichzeitig erklingen. Jedoch sind die verschiede- nen mOglichen T6ne der Glocke und Pauke h6chst disharmonisch. So weit das ,,Summarium" beider Arbeiten. 6

~rM N.s. 4 (1996) 147

F O R S C H U N G - R E S E A R C H P e t e r Z i m m e r m a n n

2.1 Rechteckmembran

Euler geht nun vonder Vorstellmag aus, dab ,,das Tuch oder die gespannte Mere- bran (linteum vel membrana extensa)" aus einzelnen, orthogonal sich kreu- zenden F~den bzw. bei der Membran aus unendlich vielen, infinitesimal brei- ten F~den (,,filorum") besteht. Fiir dieses Modell leitet er in den Nrn. 1 bis 6 seiner Arbeit 4 die Bewegungsgleichung der rechteckig begrenzten Membran her. Gem~B Nr. 3 werden deren ,,F~iden" auf der gedachten Schnittl~.nge to von den zur x- und y-Achse parallelen Kr~ften hko9 bzw. fkoJ [Tx6 bzw. Ty6] 7 gesparmt; dabei sind co [= 6] der infinitesimale Abstand zweier benachbarter F~iden oder die Schnittl~inge [~c = Ay = 6] des quadratisch angenommenen Membranelementes und k dessen (materielle) St~rke (Dicke) sowie hk [= Tx] bzw. fk [= Ty] die Spannkraft pro Schnittli~ngeneinheit in x- bzw. y-Richtung. Um das Membranflachenelement oxo [= 62 bzw. AxAy] um die H6he z [= z(x,y)] transversal auszulenken, sind die elastischen Kr~ifte

Tx82z(x ,y ) -z (x+8, y ) - z ( x - 8 , y) 2~2z "] I" 2~2z "] 8 .nd L-r,,

erforderlich. Nachfolgend erkl~irt Euler in Nr. 4 die von ihm verwendete zweite Differenz

ddz Fly -- 21"IY + lip = WOgdx 2

als Differenz zweier erster Differenzen. Die heute fibliche Ableitung der ela- stischen Kraft geht dagegen vomjeweiligenTangentenwinkel a aus, wobei hier sina,* tana = @z/@x oder @z/@y ist (Abb. 1):

[TzAy sin or(x, y) - TxAy sina(x + Ax, y)

( ~ z az ) ~ 2 z , , -TxAy "~x ~+~ ~ x ~ -T~ZXY'ff'fix2ZXxJ"

,,Nach den Prinzipien der Mechanik (ex principiis mechanicis)"8 setzt Euler nun diese beiden transversalen Kraftkomponenten mit umgekehrtem Vorzei- chen, also

= a2z" "] a2z., "]

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Zur Theorie der schwingenden Membran... (Teil I) F O R S C H U N G - R E S E A R C H

,'7,

az 8x

/

X

82z TAX la ~T~~z AxAY /

" ~ aZ

Y

/ ._ X+&X X

Abb. 1. Zur Ableitung der Bewegungsgleichung einer Rechteckmembran. Es bedeuten: [7] die ela- stische Spannkraft pro Schnittl~ingeneinheit, [,u] die Masse pro Membranfl~icheneinheit und z die transversale Auslenkung.

der Massenbeschleunigung

2g ""~"Y~.I gleich. Daraus folgt (in Nr. 4) die partieUe Differentialgleichung

=gh - ~ "Fgf d- 7 [~-~ --~-0--~--ff+-~-~y2./,

die in Nr. 5 weiter umgeformt wird; dabei ist k/g [= ~] die Masse pro Mem- branfli~cheneinheit und g die H/She, die ein K6rper im Schwerefeld der Erde in einer Sekunde frei durcb_fiallt, d.h.

[ I m ] g = ~ ' 9 , 8 1 ~ ' i s 2 = 4 , 9 0 5 m �9

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FORSCHUNG - RESEARCH P e t e r Z i m m e r m a n n

Far gleich groge Spannkr/ifte (,,ut tensio per totam membrana sit eadem"), also ffir

h k = f k [ = Tx= Ty= ~ ,

und wenn zur Abkfirzung

gh = g f = ee [= T/I~ = c 2]

gesetzt wird, vereinfacht sich (in Nr. 6) die Differentialgleichung auf

(,,,,,) =, , ~ +, , ~ L ~ :c a-~+~ ~ j .

In Nr. 7 16st Euler diese partielle Differentialgleichung mit einem speziel- len Produktansatz. Zuerst spaltet er den (monofrequenten) Zeit faktor mit

z = v sin. (at + ~ ) [z(x, y, t) = v(x, y) sin(wt -I- ~)]

ab und erh/alt fiir die 6rtliche Verteihmg [v (x,y)] die - wie wir heute sagen wiir- den - zweidimensionale ,,Helmholtzsche" Wellengleichung

0 = a~ + (ddv~ (ddv~ [ to 2 a2v a2v~ e e ~, dx 2 ] + \ dy2 / _0 = -~-f v + ~ + ay2 ] ;

dabei ist a [= co] die Kreisfrequenz und M [= ~0] ein zeitlicher Phasenwinkel. Filr die Rechteckmembran mit den Seitenlangen a und b ,,err~it" Euler die 6rt- liche Produktl6sung

o : si . ..,_ Dam_it geht die Wellengleichung fiber in die algebraische Beziehung

e e aa bb

zwischen den , ,Separationsparametem" a [= oJ],/3 und y, die wir heute eine ,,charakteristische Gleichung" nennen.

Ftir den in Nr. 8 behandelten ,,einfachsten Fall (a casu simplicissimo)" ist

[ z , x , y, t) =]z = A cos . ot t sin. fix sin. y-~-y a b

eine L6stmg mit verschwindender Anfangsgeschwindigkeit und der Anfangs- auslenkung

[z, x, y, 0) =] z = A sin./~x sin. ~/Y. a b

Nun betrachtet Euler die Bedingungen, denen die Auslenkung z [= z(x,y,O] der Rechteckmembran an ihren Ri~ndern x = 0 und a sowie y = 0 und b ftir alle

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Z u r T heo r i e der s c h w i n g e n d e n M e m b r a n . . . (Teil I) FORSCHUNG - RESEARCH

Zeiten t gehorchen mug. In Nr. 9 stellt er lest, dab an allen vier R/andem z = 0 ist, wenn/3 = y = 2zc gesetzt wird. Damit liefert ihm die charakteristische Glei- chung die - wie er meint - niedrigste Eigenkreisfrequenz

In Nr. 10 verallgemeinert Euler dieses Ergebnis mit der Annahme

/3 = 2m~ und 1' = 2n& wobei mr = 1, 2,...,

auf die Kreisfrequenzbeziehung

ce = 2a'e ~ + ~-~ [= am,,].

Dabei hat er tibersehen, dab seine so bestimmte Auslenkung

2mrrx . 2nzry z = A cos.at sin. s m . - -

a b

bereits fOr 2m = 1 und 2n = 1 an allen Riindem verschwindet. 9 Er h~itte also

[3 = m~r] und [y = nazi

setzen miissen und damit die richtige Kreiss (vgl. [12], S. 190)

m 2 n2 ,o,." = Jrc -h~- + ~

erhalten. Durch diesen Irrtum sind ihm insbesondere die mal3gebliche Grund- kreisfrequenz [ ~ 1] sowie weitere ungeradzahlig indizierte Frequenzen und die zugeordneten ,,Eigenformen" (Abb. 2) entgangen.

Euler hat auch die Eigenschwingungszeit berechnet. Dem Brauch seiner Zeit folgend, die sich am ,,Sekundenpendel" orientierte, geht er fur die Dauer einer Schwingung (,,tempus unius vibrationis") vonder Bedingung

~ t = .rL"

aus, die nur eine Halbschwingung unserer Z~ihlung (gemal3 [coT = Dr]) erfaf3t. Die [Halb-]Schwingungszeit t benutzt er dann, um die Frequenz, d.h. die Zahl der [Halb-]Schwingungen pro Sekunde (,,numerus vibrationum singulis minu- tis secundis") anzugeben. FUr den vermeintlichen Grundton wird die Berech- nung in Nr. 9, for den allgemeinen Fall [m,n > 1] in Nr. 10 durchgefohrt. Sie ergibt for die [Halb-]Schwingungsdauer

7r a b [tin" =] -- =

ot 2ex/(nnaa + mmbb)

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FORSCHUNG - R E S E A R C H Peter Zimmermann

und fOr die zugeh6rigen [Halbschwingungs-]Eigenfrequenzen

[ , o.. o - - - - ~ . - I f - �9

Pmn tmn 7r

Gegentiber der richtigen Beziehung ftir die heute auf voile Schwingungszei- ten [7] bezogenen Eigenfrequenzen

[ 1 ohnn= c /(,m~2 (_~)2= .~] fm~ = Tin. = 2zr 2Y\a/ +

liefert Eulers falsche Frequenzformel [Vmn ] also 2.2 = 4 Mal zu hohe Werte. Speziell fOr die quadratische Membran (Nr. 10 und 11) mit a = b ist

[vm~ =]2e ~(mm + nn), a

und Euler vers~iumt es nicht, als Ergebnis seiner analytischen Theorie fOr die Musik eine Reihe von nicht-harmonischen Eigenfrequenzen aufzulisten, die auf 2e/a bezogen shad: ~/2, d5, 2v~2, ,/10 .... etc. Ftir den vermeintlichen domi- nierenden Grundton (,,sonus principalis et gravissimus dominabitur") gibt er in Nr. 11 die [Halbschwingungs-]Eigenfrequenz

[ V l l =] 2e~/2 a

an. Die GrOge e, die heutige Wellengeschwindigkeit [c], berechnet er aus

dabei shad M = 2ka 2 das [doppelte] ,,Gewicht" der Membran (,,pondus mem- branae quadratae"),E = hka [= Ta] die ,,Gesamtspannkraft" einer Ouadratseite a (,,pondus, quo singula latera distenduntur") und g die zuvor erlguterte Fall- hOhe, die mit 15 5/8 rheinl~ndischen FuB 10 angenommen wird (,,existente g alti- tudine 15 5/8 ped.[is] Rhen[ani]."). Dann ist

[e= k~g =~/~=c ] und [Vll=]4~-----~ga[=2~ f=4fl1]. a V/z J

SchlieBlich gibt Euler sich als Zahlenbeispiel a = 1 ped.Rhen, sowie E = 100 M vor, wofOr [e = 55,99 ped.Rhen./s = 17,54 m/s] wird, und erhalt [v11= ] 158,1 s -1, w~hrend der richtige Weft [fll =] 158,1 s-1/4 = 39,53 s -1 ist.

In Nr. 12 deutet Euler die Schwierigkeiten an, die die Berechnung einer beliebig berandeten Membran bietet. Er schl~igt die Oberlagerung von I_ASsun- gender Form

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Zur Theorie der schwingenden Membran . . . (Teil I) F O R S C H U N G - R E S E A R C H

Abb. 2. Einige Eigenschwingungsformen

[ nrrv ] v,~,,(x, y) = Am, sin mrrxa sin ---~-, m, n = 1, 2 . . . .

der an den R/indern x = 0 und a sowie y = 0 und b festen Rechteckmembran aus [12], S. 192. Da Euler von 2m und 2n statt von Ira] bzw. In] ausging, sind ihm die Grundschwingungsform [vu] gema8 Abb. 2a und weitere ungeradzahlig indizierte Formen (wie z.B. die in Abb. 2b, c, d und f dargestellten) entgangen. Von den hier gezeigten ,,Moden" erfal3t seine ,aequat io"

2mzr x 2nrr y z = A cos.~t sin. sin.

a b

nur [v_~2] und Iv4, ] gem/il3 Abb. 2e und g.

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z = A cos.txt sin.(/zx q-.t~) sin.(vy + N)

mit gleicher Kreisffequenz a, aber unterschiedlichen Parametern/a und v vor, wobei darm liar [die Wellenzahl]

[o9~ ]act =/z"/z" + v"v" etc. = ~ = I z l z + v v = I z ' I z ~ + v ' v ' ee

gilt. Damit hat er eine Br0cke zur folgenden AufgabensteUung geschlagen.

2.2 K r e i s m e m b r a n

Zur Behandlung der kreisf6rmigen Membran transformiert Euler nun die in kartesischen Koordinaten hergeleitete Bewegungsgleichung 11 auf Polarkoor- dinaten r, q9 und erhtilt 1 (ddz) l ( d z ) { d d z ) 1 (ddz '~

= 7

Dieser simultane Austausch von zwei Variablen, der bier erstmals in der noeh jungen Geschichte der partiellen Differenfialgleichungen durchgef0hrt wird, nimmt die drei umfangreichen Nm. 13 bis 15 ein.

Euler erkennt (in Nr. 16), dab eine ProduktlOsung der Form

z = v sin.(at + s~) mit v = u sin.(fl~0 + 9a),

also [z(r, ~o, t) = u(r) sin(fl~0 -k- N) sin(ctt -t- N)],

die partielle Differentialgleichung far z in die gewOhnliche Differentialglei- chung fOr die radiale Ortsverteilung

act tiff du ddu Fd2u l du (w 2 f12) ] 0 = - - u - - - + + + - + u = 0

ee rr - ~ - ~ L dr 2 r - ~ -~ -~

aberfohrt. Man benermt sie heute nach Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), der 1824 eine ihrer L0sungen fOr ganzzahlige 13 untersuchte. 12

Mit Hiffe der beiden Substitutionen [In u =] lu = f p d r und p = q/r transfor-. miert Euler diese homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung auf den ,,casus aequationis Riccatianae"

qqdr ctctrdr -- flfl dr dq+ + =0, r ee r

also auf eine nach Iacopo Riccati (1676--1754) benannte inhomogene Diffe- rentialgleichung erster Ordnung 13, und stellt dann zutreffend lest, dab deren [gescMossene] l_~sung [mit elementaren Funktionen] nur far halbzahlige Para- meter/3 = i - 1/2 m6glich ist. 14

154

Zur Theorie der schwingenden Membran... (Teil I) FORSCHUNG - RESEARCH

Aus dieser scheinbaren Sackgasse fahrt (in Nr. 17) die Transformation u = r~s, mit der Euler die ,,Besselsche" Differentialgleichung auf die Form

~z~ (2fl + 1)ds dds 0 = - - s + . + - -

ee rdr dr 2

bringt; zur Abkiirzung setzt er 2/3 + 1 = n. Mit dem Ansatz

s = A - B r 2 + C r 4 - D r 6 + ErS etc.

erh~ilt er durch Koeffizientenvergleich bei den Potenzen von r schlieglich die L6sung

c~oer 2 ~x4r 4 A r ~ I

U ~1 2(n + 1)ee + 2- 4(n + 1) (n + 3)e 4

0~6F6 ) 2 . 4 . 6 ( n + 1) (n + 3 ) (n +5)e 6 + e t c . .

Dies ist - bis auf einen unwesentlichen Faktor - die ,,Besselsche" Funkt ion ganzzahliger Ordnung ;5 = (n-1)/2, die wir heute abktirzend als

schreiben. 15 Mit u ist auch die allgemeine Produktl~Ssung

z = u sin.(=t + sa) sin.(/~0 + ~)

bestimmt. Euler paBt diese LOsung nun den geometrischen und physikalischen Rand-

bedingungen an. A m kreisf6rmigen Rand r = a, wo die Membran fest aufliegt, muB die Auslenkung z far alle q) und t verschwinden. Die Forderung u = 0 far r = a fahrt auf ,,die Gleichung

II 14 16 1 2 ( n + 1-----~ + 2 .4 (n + 1) (n + 3 ) - 2 . 4 . 6 ( n + 1) (n + 3 ) ( n + 5 ) + etc. = 0,

die unendlich viele Werte far l [= aa/e] und damit far a [= co] liefert, aus denen sich unendlich viele einfache T/Sne ergeben." Zuvor muB allerdings noch der Parameter/3 so bestimmt werden, dab ,,den Winkeln cp, 2:r + cp, 4zr + cp etc. glei- che Werte von z entsprechen." Diese zweite, sog. physikalische Randbedin- gung, die mit q0 periodische L6sungen gew~ihrleisten soil, fahrt auf ganzzahlige /3 bzw. ungeradzahlige n:

/3=0 ,1 ,2 .... bzw.n = 1,3,5 ....

Damit hat Euler das Eigenwertproblem far die Vollkreismernbran grunds/atzlich gel6st. In Nr. 21 d~knapft er allerdings die Hoffnung, dab es ibm

m'M N.S. 4 (~996) 155

F O R S C H U N G - R E S E A R C H Peter Zimmermann

gelingen kSrmte, die ,,unendliche Unendlichkeit", also die sowohl in radialer als auch in azirnutaler Hinsicht unbegrenzte Zahl yon ,,T6nen" bzw. [Eigenhalb] ,,Schwingungszeiten zr/a" zu berechnen.

In den folgenden Nrn. 18 bis 20 versucht Euler vergeblich, eine zweite, von der ,,Besselschen" Reihe linear unabh~ingige L6sung der beherrschenden Dif- ferentialgleichung zu finden, die z.B. fOr die Behandlung der gelochten Kreis- membran erforderlich ist. Dabei konstruiert er eine weitere in r = 0 regul~e L6sung. Wir wissen heute, dab die zweite LOsung des Systems im Ursprung singular sein muB. Sie wurde 1867 von Carl Neumann (1832-1925) angegeben. 16

Euler schliel3t seine Arbeit mit der richtungweisenden Bemerkung (in Nr. 22), daB es niatzlich sein kann, L6sungen der Form

z = ~ a x +/3y + ~), die mit a a + fie = W/ee

die WeUengleichung in kartesischen Koordinaten erftfllen, in beliebiger Zahl zu tiberlagern. Dieser Gedanke enth~ilt die M6glichkeit, beliebige Wellenfor- men durch Superposition yon ebenen Wellen mit unterschiedlicher Ausbrei- tungsrichtung darzusteUen.

Zusammenfassend 1/s sich feststellen: Euler steUte 1764 die Differential- gleichung fOr die transversal schwingende Membran in kartesischen Koordi- naten auf; er transformierte sie auf Polarkoordinaten; er gab L6sungen for die Rechteck- und die (ungelochte) Kreismembran an, letztere in Form einer Potenzreihe fOr die ,,Besselsche" Funktion; schliaBlich berechnete er die Eigen- werte fOr die Rechteckmembran (mit einem Fliachtigkeitsfehler) und stellte die Eigenwertgleichung fOr die Kreismembran in Potenzreihenform aus Die Konstruktion einer zweiten, vonder ,,Besselschen" Funktion linear unabhan- gigen L6sung gelang ihm allerdings nicht. Aus der Sicht der analytischen Ela- stokinetik ist Eulers Arbeit ,,Uber die Schwingungen der Pauke" dennoch ein frOhes Meisterwerk, dem mehrere Jahrzehnte keine vergleichbare Untersu- chung auch nur nahe kam.17

Nach dieser Bilanz soUte man meinen, dab kein analytischer Mechaniker von Bedeutung das abgeerntete Feld der Kreismembranschwingungen mehr betreten wiarde.Weit gefehlt, wie sich zeigen wird. Eulers Arbeit [6], der wenig hinzuzufOgen gewesen w~e, ist offensichtlich weitgehend Obersehen oder aus anderen Grtinden nicht zur Kenntnis genommen worden. Das ist um so ver- wunderlicher, als die Novi Commentari i Academiae Scientiarum Petropoli- tanae 18, in denen sie erschien, zu den fOhrenden Zeitschriften Europas z/ahlte und Euler 1766 schon als Stern erster Ordnung am l:rLrrnament der exakten Wissenschaften strahlte.

Teit 11: Nacherfinder und Kritiker folgt im n~ichsten Heft.

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Zur Theorie der schwingenden Membran... (Teil I) FORSCHUNG - RESEARCH

A n m e r k u n g e n

1 1735 [1740] durch Leonhard Euler. 2 1747 [1749] durch Jean Lerond d'Alembert mit der Wellenl6sung und 1753 [1755] mit

der Produktl6sung Daniel Bernoullis. 3 ,,Curvatura laminae elasticae...", vgl. [1]. 4 ,,De motu vibratorio tympanorum", vgl. [6]. 5 ,,Tentamen de sono campanarum", vgl. [7]. 6 Vgl. [61, S. 344-345. 7 Um die Lesbarkeit und vor aUem den Vergleich verschiedener Originalarbeiten zu erleich-

tern, werden einige Eulersche Formelzeichen der heutigen Darstellungsweise angepal3t. Die vom Original abweichenden Zeichen bzw. Formeln stehen hier, ebenso wie Einfti- gungen in den Originaltext, stets in eckigen Klammern. Eine knappe, aber vorztigliche moderne Darstellung der ,,Schwingungen einer Mem- bran" findet der Leser in Peter Hagedorns Technischer Schwingungslehre [12], S. 185--207.

8 Das hier verwendete und beispielweise in Eulers Theoria motus corporttm solidorum seu rigidorum (1765),Kap. III und IV, breit hergeleitete Prinzip ist das dynamische Grund- gesetz ,,fOr einen kleinen K6rper" der ,,Masse A", der ,,durch die Kraft p angetrieben wird":

2--i a-~ = P

Auf die eher verwirrende Frage der Dimension yon Kraft und Masse bzw. Volumen bei Euler soll bier nicht eingegangen werden.

9 Darauf hat C.TruesdeU schon 1960 in seiner kritischen Bewertung der Eulerschen Arbeit hingewiesen ([25], S. 332).

10 Da 1 rheinl~indischer Ful3 0,31385 m entspricht, ist g = 4,904 m - (1/2) 9,81 m. 11 Und damit den heute nach Pierre Simon de Laplace (1749-1827) benannten Differen-

tialoperator V.VmA. Laplace hatte also Recht, wenn er immer wieder riet: ,,Lisez Euler, c'est notre maitre a tous."

12 ,Untersuchung des Thefts der planetarischen St6rungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht". Abh. PreLtfl. Akad. Wiss., Phy~-math. Kl., 1824 [1826], S. 1-52.

13 Riccati hatte 1723 allerdings nur die spezielle Differentialgleichung erster Ordnung y'(x) + by2(x) = ax a mit a, b, a = konstant behandelt, wNu'end Eulers Fall zu der erst nachtr~iglich nach Riccati benannten verall- gemeinerten Form y'(x) + P(x) y2(x) + Q(x) y(x) = R(x) geh6rt.

14 Mit den heutigen Kenntnissen tiberzeugt man sich yon der Richtigkeit dieser Feststel- lung leichter dutch einen Blick auf die nun bekannten L6sungen der Besselschen Dif- ferentialgleichung selbst. In der Tat gehen ihre PotenzreihenlOsungen ftir halbzahlige Indi- zes/~ = i - 1/2 tiber in die Reihenentwicklungen yon Kreisfunktionen. So ist z.B.

[Jl/2(x) = v:Tl~rx sinx].

15 Eulers Reihenentwicklung liar u stimmt mit [J:(ar/e)] tiberein, wenn man

setzt. 16 Theorie der Besselschen Funktionen. Leipzig 1867, S. 42-44. 17 Nach Truesdell ([25], S. 333) ist ,,this paper.., in some ways.., the supreme achievement

of the eighteenth century in the theory of deformable solids,...". 18 Von den Novi Commentarii erschienen zwischen 1750 und 1776 20 B~inde fOr die Jahre

1747 bis 1775. Die Novi Commentarii fanden ihre Fortsetzung in den Acta, yon denen zwischen 1778 und 1786 6 B~inde Nr die Jahre 1777 bis 1782 erschienen sind. Zuvor waren zwischen 1728 und 1751 far die Jahre 1726 bis 1746 14 B~nde Commentarii der 1724 gegrtindeten Academia Scientiarum Imperialis Petropolitanae erschienen.

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F O R S C H U N G - R E S E A R C H Peter Zimmermann

L i t e r a t u r

[1] Bern~u~i~Jak~b:~Curvatura~aminaee~asticae...``.Actaerudit~rum~Jun~694~S.262-276; abgedruckt in den Opera Omnia, Genf 1744, B d. 1, S. 576--600; auszugsweise deutsch von Hermann Linsenbarth in Ostwald's Klassiker Nr. 175, S. 5-17, wiedergegeben.

[2] Byerly, William Elwood: An elementary Treatise on Fourier's Series and spherical, cylin- drical, and ellipsoidal Harmonics. Ginn & Co.: Boston 1893.

[3] Chladni, Ernst Florens Friedrich: Entdeckungen tiber die Theorie des Klanges. Weidmanns Erben und Reich: Leipzig 1787.

[4] Chladni, Ernst Florens Friedrich: DieAk,~stik. Breitkopf & H/h'tel: Leipzig 11802, 21830. Franz/Ssisch als Trait~ d'Acoustique. Courcier: Paris 11809, 21812.

[5] ELder, Leonhard: ,,Recherches sur le mouvement des cordes in6galement grosses".Mdlan- ges de philosophie et de math~matique de la socidt~ royale de T,,rin 3 (1762/5[1766]), S. 27-59; abgedruckt in den Opera Omnia (OE), Ser. II,Vol. 10, S. 397--425.

[6] ELder, Leonhard: ,,De motu vibratorio tympanorum". Novi comm. acad. scL Petrop. 10 (1764 [1766]), S. 30-32 und 243-260; abgedruckt in den Opera Ommia (OE), Ser. II,Vol. 10, S. 344-359.

[7] ELder, Leonhard: ,,Tentamen de sono campanarum". Novi comm. acad. sci. Petrop. 10 (1764 [1766]), S. 261-281; abgedruckt in den Opera Omnia (OE), Ser. II,Vol. 10,S. 360-376.

[8] ELder, Leonhard: ,,De oscillationibus minimis funis libere suspensi".Acta acad. sci. Petrop. 1781: I [1784], S. 157-177; abgedruckt in den Opera Omnia (OF.), Ser. II, Vol. 11/1, S. 307-323.

[9] Fellmann, Emil A.: ,,Leonhard ELder - Ein Essay tiber Leben und Werk". In: Kanton Basel-Stadt (H.rsg.): Leonhard Euler 1707-1783-Beitrage zu Leben und Werk. Birkhauser: Basel 1983. S. 13-98. Vgl. auch die rororo Monographie Fellmann, Emil A.: Leonhard Euler. Rowohlt Taschenbuchverlag: Reinbek bei Hamburg 1995.

[10] Fleischer, Helmut: Zur Rolle des Kessels bei Pauken. Forschungsbericht 01/92, Institut ftir Mechanik der Universit/it der Bundeswehr Mtinchen: Neubiberg 1992.

[11] Fletcher, Neville H. and Rossing,Thomas.: The physics of musical instruments. Springer: New York 1991.

[12] Hagedorn, Peter: Technische Schwing, mgslehre, Bd. 2. Springer: Berlin 1989. [13] Melde, Franz: Akustik. Brockhaus: Leipzig1883. [14] Melde, Franz: Chladnis Leben und Wirken. Elwert: Marburg 21888. [15] Michieli, Adriano Augusto: ,,Una famiglia di matematiei e di poligrafi tfivigiani: i Ric-

carl". Atti del reale istituto Veneto di scienze, lettere et arti. Paste seconda: C1. di Scienze mor. e lett. Tomo 102 (1942/43), p. 535-587, 103 (1943/44), p. 69-109 und 104 (1944/45), p. 771-859.

[16] Morse, Philip M.: Vibration and Sound. McGraw-Hill: New York 21948. [17] Poggendorff, Johann Christian: Geschichte der Physik. Barth: Leipzig1879. [18] Poisson,Sim6on-Denis:,,M6moire sur l'6quilibre et le mouvement des corps 61astiques".

M~m. acad. sci. de Paris (2) 8 (1829), S. 357-570. [19] Riccati, Giordano:,,Dissertazione fisico-matematica delle vibrazioni del tamburo". Saggi

sci. lett. accad. Padova 1 (1786), S. 419--446. [20] Riccati, Vincenzo: De usu motus tractorii in constructione aequationum differentialium.

Laelius a Vulpe: Bologna 1752. [21] Schmidt, Raymund (Hrsg.): Schopenhauer Brevier. Dieterich: Wiesbaden 1953. [22] Spiess, Otto: Leonhard Euler. Huber: Frauenfeld/Leipzig 1929. [23] Strutt, John William, Baron Rayleigh: Die Theorie des Schalles. Vieweg & Sohn: Braun-

schweig 1880. Deutsche Obersetzung yon The Theory of Sound. London 11877, 21894. [24] Szab6, Istv~n: ,,Die Familie der Mathematiker Riccati". Humanismus und Technik 18

(1974), S. 57-75 und S. 109-131. [25] Truesdell, Clifford Ambrose: ,,The rational mechanics of flexible or elastic bodies 1638--

1788". In: ELder, Leonhard: Opera Omnia (OE), Ser. II, Vol. 11/2. Orell Ftissli: Ztidch 1960.

[26] Zimmermann, Peter:,,EntwicklungslinienderH6rtheorie".NTMN.S.l(1993),S. 19-36

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