Zur Theorie der 12-Matrizen

Von PETER LANCASTER und HARALD K. WIMMER in Calgary (Kanada)

(Eingegangen am 11. 7. 1974)

1.

Es sei L(A) = A0 + All + * . * + A,Am

eine A-Matrix mit komplexen n x n Matrizen A,, p = 0, 1, . . . , m. In dieser Note stellen wir einen Zusammenhang zwischen der Smm-Form und den JORDAN- Ketten von L(2) her. Wir geben einen neuen, einfachen Beweis eines Satzes von CHRYSTAL ii ber die Different i alglei chung

d” dt”

L ( D ) 2 = Aox + AID% + - * * + A,D”X = 0, D”2 = - x ( t ) ,

und verscharfen einen Satz von LANGER uber die Matrizengleichung

(2) A0 + A1X + * * - + A,Xm = 0 . Im letzten Abschnitt diskutieren wir die LAURENT-Entwicklung von L(n)-i.

2.

Wir setzen im weiteren stets det L(A) + 0

voraus. - A* heifit Eigenwert von L(1) und a, u =# 0, ist ein zu A” gehoriger Eigen- vektor, wenn L(A^) u = 0 gilt. Die Vektoren ul, . . . , uk, u1 + 0, bilden eine JoRDAN-Kette der Lange k , die zum Eigenwert k gehort, wenn sie den Gleichungen

genugen [S]. Im Fall L(A) = - AE + A Iiefert diese Definition die Gleichungen

( A - A-E) = 0, ( A - A”E) ~j = uj-,, j = 2, . . . , k - 1 , fur eine JORDAN-Kette der’Matrix A .

Weise zusammen. Mit den Losungen von (1) hangen die JORDAN-Ketten von L(A) in folgender

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Lemma (vgl. [l , S. 3241). D.ie Vektoren a,, . . . , a,, al =k 0 , bilden genau dann eine JORDAN-Kette zum Eigenwert A*, wenn die Funktionen

(4)

Losungen von (1) sind. Fassen wir die Funktionen ui(t) zu einer ?z x k Matrix zusammen, so ergibt

sich

b l , . . . , UJ = (a,, . . . , a,) . . . . . . 0 0 0 * * . 1

= (al , . . . , aE) exp (A-E + R) t mit R = ( ~ 3 ~ + ~ , ~ ) .

Zu L(A) gibt es zwei Matrizen P(A) und G(A) mit nicht-verschwindender und von A unabhangiger Determinante, die L(A) in die folgende Form uberfuhren (vgl. [6, 8. 1481).

(5 ) G(A) L(A) F(A) = &(A) = diag (di(A), d,(A), . . . , a,,@)) , d i - i ( A ) 1 da(A) ,

&‘(A) ist die SMITH-Form von L(2).

G(A)-i mit h$(A), dann gilt

i = 2 , . . . , n .

Bezeichnet man die i-te Spalte von F(2) mit f,(A) und die i-te Spalte von

L(A)fi(A) = d,(A) h,(A), i = 1, . . . , n, . (6)

1st

(7) d,(A) = (A - A-)’r(A) und r(AA) =j= 0 , k 2 1,

dann ist AA ein Eigenwert von L ( I ) mit einem Elementarteiler (A - A*)’. Leitet man (6) k - lmal ab und setzt jeweils A = A-, so erhalt man

Die Vektoren

bilden somit gemiB (3) eine JORDAN-Kette der L&nge k. Zu jedem Elementarteiler von A* kann man offensichtlich eine solche Kette aufstellen.

Lancaster/Wimmer, Zur Theorie der I-Matrizen 32 7

Wir bemerken, daB unsere Konstrukt,ion von JORDAN-Ketten von L(1) wesentlich einfacher ist, als das in [7] angegebene Verfahren, und im Spezialfall L(1) = - 1E + A eine neue Methode zur Berechnung einer Transformations- matrix darstellt, die A in die JORDAN-Form uberfuhrt.

Die Transformation

x = P(D) y

ist ein lsomorphismus zwischen dem Losungsraum Y der Differentialgleichung L ( D ) x = 0 und dem Losungsraum Y' von X(D) y = 0. Zerlegt man d i ( l ) wie in ( 7 ) und bezeiehnet mit ei den i-ten Einheitsvektor, dann bilden die k Vektoren

( 8 ) {ei , ei, . . . , ei}

eine JORDAN-Kette von #(I) und die Funktionen

sind k linear-unabhangige Losungen von S ( D ) y = 0. Man erhalt auf diese 'Weise itus allen Elementarteilern von # ( I ) m Funktionen, die den Raum 9 aufspannen. Dabei ist m der Grad des Polynoms dI(1) d2(1) * dn(A). Geht man zur Gleichung ( i ) zuriick, so ergibt sich wegen (5) der folgende Satz.

Satz 1 (CHRYSTAL [ 2 ] , [4]). Wenn det L(1) nicht identisch verschwindet, dann ist die Anxahl der linear-unabhangigen Losungen won L(D) x = 0 gleich dem Grad des Polynoms det L(1).

Eine JoRDAN-Kette {ul, . . . , uk} zum Eigenwert I - ist mit dem Eigenvektor i ~ , nicht eindeutig bestimmt. Neben (8) existiert z. B. die Kette {ei , 0, . . . , O } . Die zugehorigen Losungsfunktionen sind dann

Die Funktionen in (9) sind durch

( D - 1 * ) y Q = y p - I , e = 2 , . . . , k ,

ausgezeiehnet. Bezeichnet man mit ZUk den Teilraum von 9, der von den yo's

aufgespannt wird, XVk = (yi, . . . , yk), so ist Xvk = (wi, . . . , wk), und 2, ist ein zyklischer Teilraum, der von yk durch den Operator (D - 2) erzeugt wird. I m Losungsraum 2' von L(D) x = 0 entspricht XYk ein zyklischer Teilraum ZZk, der von

erzeugt wird. Y ist die direkte Summe solcher Teilriiume Xzk.

328 Lancaster/Wimrner, Zur Theorie der R-Matrizen

3.

Unter der Voraussetzuiig

(10) det A , -c 0

gibt LANGER [S] ein Kriterium an, das fur die Losbarkeit der Polynom-Gleichung ( 2 ) notwendig uiid hiiireichend jst. Wir geben hier eiiien neuen Beweis des Satzes von LANCER, ohiie voii (10) Gebrauch zu machen.

Satz 2 (LANGER [S]). Es sei det L(A) + 0. Genazc d a n i ~ gibt es eine Matrix X E C,,,, die der Gleichwag ( 2 ) geniigt , wenn es eine Basis von C, gibt, die azis JORDAN-Ketten v o ? ~ L(n) besteht.

B ewei s. ( 2 ) ist geiiau daiin losbar, wemi es eiiie Natrix X gibt, fiir die

( 1 1 )

gilt. - Nehiiieii wir an, es gibt eine Basis { b l , . . . , b,} von C, aus JORDAN-Ketten von L(A). Die zu diesen Ketten gehongen 7~ Losungen v,(t), i = I , . . . , n, von ( I ) lassen sich zu einer Matrix (vl, . . . , v,) zusainniensetzen, fur die

L ( D ) exp ( X t ) = 0

(vi, . . . , v,) = (b , , . . . , b,) exp (21)

gilt, wobei 2 eine Blockdiagonalmatrix mit Diagonalblocken (AGE + R) ist. Setzt man B = ( b f , . . . , b,), so ist

L(U) exp (BZB-it) = 0

und X = BZB-1 erfullt die Gleichuiig (2). Geht man umgekehrt von einer Losung X von (1 1) aus und ist T eine Matrix,

die X auf JORDAN-Form J transformiert, TXT-1 = J , dann lassen sich die .n. linear-unabhiingigen Spalten von T in JORDAN-Ketten von L(A) aufteilen.

4.

Uiitersucht man die inhomogene Gleichung L(D) y = f oder eiii Anfangswert- problem fur L(D) y = 0, so fiihrt das auf die LAURENT-Entwicklung von L(a)-* in einer Umgebung eines Eigenwertes 2. Wir skizzieren eine solche Entwicklung, wobei wir wieder die SMIm-Form von L(A) verwenden.

Wir nehmen an, A* sei Eigenwert von L(L), und damit aucli von S(A), und habe Elementarteiler vom Grad q i 2 q2 1 * - * >= g1 > 0 uiid keine anderen. Fur j = 1, . . . , t zerlegen wir dj (A) in

q n ) = (A - A y R j ( A ) , .,(n-) * 0 ,

und setzen T(A) = diag {(A - A"?', . . . , (A - X f , 1, . . . , l} sowie

H(A) == [diag {ai(A), - + > .,(A), dt+i(J), * . . , dn(l))I-'G(A) a

Lancaster/Wimmer, Zur Theorie der A-Matrizen 329

Die Matrix H ist dann in einer Umgebung von AA definiert und analytisch. Wegen L ( A ) - I = F(A) h’(A)-I G(A) folgt

t

L(A)-I = F(A) T(A)-I H(A) = C ( A - i l ^ ) -q i f i (A ) hi(A)T i = 1

(12)

n + Z,fi(4 W2’) i = t + i

Robei hi(A)T in diesem Fall die i-te Zeile von H(A) bezeichnet. Au s den TAYLOR-E nt w i c klungen

00 00

fi(A) = c (A - r#), hi@) = c (A - r)8 y;’ r=O s=o

i = 1) 2 ) . . . , t folgt M

a=O w=u

Wie wir in 3 2 gezeigt haben, ist pf), pp), . . . ,

(i = 1, 2 , . . . . t ) JORDAN-Ketten von LT bei il̂ bilden.

eine Jordan-Kett,e von L bei 2. In gleicher Weisefolgt am der Gleichung LTHT = T ( F - I ) T ) daB yf), . . . ) ypi- (i)

Die LAURENT-Entwicklung von L(A)-i bei A” hat die Gestalt

L(A)-1 = c (A - il^)jL+ j- - q l

(14)

fur gewisse Matrizen Lei mit Lp1 + 0. Aus den Gleichungen (12) und (13) ergibt sich dann

Dieses Resultat liefert die Spektralform von der Laurent-Entwicklung bei AA. Die Menge L,(C,), j = 1, 2 , . . . , qI werden durch die JORDAN-Ketten von L bei il̂ aufgespannt . Die Nullraume dieser Koeffizienten sind durch die Jordan- Ketten von LT bei 2 definiert.

Satz 3. Sei Eigenwert von L rnit Elementarteilern, welche die Ordmunge?z q1 2 q2 2 * - - 2 qt > 0 haben. Dann exislieren JORDAN-Kelten

(i) (0 * yo 9 . . . , y q i - l ) = 1 , 2 , . . , > t

far L bei iln und JORDAN-Ketten

@, . . . > y$, i = 1 , 2 , . . . , t

f u r LT bei X derart, dap die Huzcptteile in (14) durch die Forrneln (15) gegeben sind.

330 Lancaster,’Wimmer, Zur Theorie der A-Matrizen

Jiteratur

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