Math. Z. 168, 77-85 (1979) Mathematische Zeitschrift

�9 by Springer-Verlag 1979

Zur Existenz ganzer Funktionen bei vorgegebener Menge der Nullstellen und Einsstellen

J/frg Winkler

Fachbereich Mathematik der TU Berlin, Strage des 17. Juni 135, D-1000 Berlin 12, Bundesrepublik Deutschland

1. Einleitung

In [8] ffihrten Rubel und Yang den Begriff ,,zero-one set" (=,,Null-Einsstellen- Menge") einer ganzen Funktion f ein: Ist f (z) eine ganze Funktion, ist al, a2, a3,..., beziehungsweise bl,b2,b 3 .... , die durch {a,} beziehungsweise {b,} bezeichnete Folge s~imtlicher Nullstellen, beziehungsweise Einsstellen, yon f(z), so heii3t das Paar ({a,}, {b,}) zero-one set yon f(z).

Rubel und Yang zeigten in [8], dab es Paare von Punktfolgen gibt, die nicht ,,zero-one set" einer ganzen Funktion sein k6nnen. Unabh/ingig vor~ diesem Ergebnis in [8] ist die Existenz von Paaren von Punktfolgen, die nicht ,,zero-one set" irgendeiner ganzen Funktion sein k/Snnen, gesichert, weil Picardmengen ganzer Funktionen existieren: Eine Punktmenge E der komplexen Ebene heil3t Picardmenge der ganzen Funktionen, wenn keine ganze Funktion existiert, deren s~imtliche Null- und Einsstellen in E enthalten sind.

Also kann jedes Paar von Punktfolgen al, a 2, a3, ... und bl, b2, b3 , . . . , die beide in einer Picardmenge E enthalten sind, nicht ,,zero-one set" irgendeiner ganzen Funktion sein. In diesem Zusammenhang sei darauf hingewiesen, dab erste Kriterien, die Picardmengen liefern, von Lehto in [5] angegeben wurden.

Wenig sp~iter wurde ein weiteres derartiges Kriterium yon Matsumoto in [6] bewiesen. Weitere Kriterien fiir Picardmengen ganzer Funktionen wurden dann sp~iter von Baker, Toppila und dem Verfasser in verschiedenen Arbeiten ange- geben (s. z.B. [1-3, 9, 11-13] und [14]), wobei Baker und Toppila in gewisser Hinsicht bestm6gliche Ergebnisse erzielten.

Die Frage nach Punktmengen, die ,,zero-one set" einer ganzen Funktion sein oder nicht sein k6nnen, ist mit den abschliegenden Ergebnissen fiber Picard- mengen ganzer Funktionen yon einer endgfiltigen Beantwortung noch weit ent- fernt. Erste Punktfolgen, die weder Vereinigung der Punkte einer ,,zero-one set" einer ganzen Funktion sein k6nnen noch Picardmengen sind, wurden in [13] angegeben. Derartige Beispiele ffir Paare von Punktfolgen, die nicht ,,zero-one set" einer ganzen Funktion sein k6nnen, lassen sich zahlreich vermehren, was der Verfasser auch anl/iglich eines Vortrages an der Universit~it von Jyv~iskyla/Finn-

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land nachwies. DaB derartige Beispiele von Paaren yon Punktfolgen notwendiger- weise sehr zahlreich auftreten miissen, zeigte Ozawa in [7] mit folgendem Er- gebnis: Ist das Folgenpaar ({a,}, {b,}) ,,zero-one set" einer ganzen Funktion, so ergibt sich durch Fortlassen genau eines Punktes aus genau einer der Folgen {an} und {b,} ein Folgenpaar ({an}', {bn}' ), das nicht ,,zero-one set" einer ganzen Funktion sein kann.

In dieser Arbeit soll eine andere Art der ANinderung einer ,,zero-one set" einer ganzen Funktion untersucht werden. Es wird gezeigt werden: Ist das Folgen- paar ({a,}, {b,}) ,,zero-one set" einer ganzen Funktion und erfiillen die Punkt- folgen al, a2, a s . . . . und b 1, b2, b3, ... zwei zus~itzliche Bedingungen, so kann das durch geringftigige Verschiebung der Punkte a, und b, sich ergebende Folgen- paar ({a'n}, {b'n} ) nicht ,,zero-one set" einer ganzen Funktion sein. Die genaue Beschreibung dieses Sachverhaltes beinhalten die S~itze in 3. In 2. werden zum Beweis der Sgtze in 3. benStigte Hilfsmittel als Hilfss~itze 1, 2 und 3 zusammen- gestellt.

Es sei darauf hingewiesen, dab nachfolgend die iiblichen Bezeichnungen der Nevanlinnaschen Theorie - T(r , f )=m(r , f )+N(r , f ) und Konvergenzexponent einer Punktfolge benutzt werden.

2. Bereitstellung von Hilfsmitteln

Das erste mit dem Hilfssatz 1 zu beweisende Hilfsmittel liefert eine genauere Aussage fiber die Wertannahme einer meromorphen Funktion f. Beweis und Aussage dieses Satzes sind einem Satz Toppilas in [10] im Prinzip sehr iihnlich. Dieser Hilfssatz wird hier dennoch formuliert und bewiesen, weil sich die Voraus- setzungen und die daraus ergebende Behauptung, die sp~iter in dieser Form benStigt werden, st~irker von den in [10] benutzten Voraussetzungen und daraus folgender Behauptung unterscheiden.

Hilfssatz 1. Sei f (z) eine in der komplexen Ebene meromorphe Funktion der Ord- nung p< o0. Gilt dann mit einem e>O fiir eine Punktfolge zl, z2, z3, . . . mit [z,[~oo

! i m e - " 1 + I f ( z . ) l a - ~ ' (1)

so nimmt f (z) in jeder unendlichen Teilfolge der Kreisscheiben C,= {zl Iz-z.I < e -Iz"P+~} jeden Wert der kompakt!fizierten komplexen Ebene an.

Beweis. Gilt die zu beweisende Behauptung nicht, so kann ohne Einschr~inkung

der Allgemeinheit angenommen werden, daft in ~) C, keine Polstellen von f (z) n = l

liegen. Die Gtiltigkeit dieser Annahme sei nachfolgend vorausgesetzt. Wegen (1) mug yon einem n o ab

If'(z.)l > e I~"l . . . . . . . (2)

Ganze Funktionen bei vorgegebener Menge der Nullstellen und Einsstellen 79

gelten. Da f (z ) e-I""10+~ } und

in keiner Kreisscheibe C, einen Pol hat, gilt mit K , = {z[[z-z , [ = M. = Max I f(z)l

zEKn

• dz < M, e l~"l~ §176 (3)

Wegen (2) und Zahl n a

(3) mul3 also mit einer Kons tanten C o > 0 mit einer nattirlichen

M , = M a x If(z)[ ~ C o e ~lz"12 . . . . . . ffir n>=n I (4) zeKn

gelten. Wegen (4) sei jetzt If(z)] betrachtet. Sind al, a2, a 3 . . . . bzw. bl, bz, b3, ... s~imtliche gem~ig ihrer Vielfachheit auf-

tretenden Nullstellen bzw. Polstellen von f(z), so gilt flit jeden Kreis ]~]=r, auf dem keine Nullstelle oder Polstelle von f (z ) liegt, und jedes z = [zl e ~ mit [z[ < r die Poisson-Jensensche Formel

2= rZ-[z[2 dO 1 S log [f(rei~)] r2_2 r [z[ cos(0-~0)+[z] 2 log [f(z)[ = ~ o

r (Z -av ) r(z-bv) - ~ log + 2 1 o g ~ ,~ ~ '

lavl<r Ibvl=r

woraus

1 2~ r+]z[ .~ r(z-b~) log l / ( z ) [ < ~ S log I f ( r e ' ~ 1 7 6 Z log

o Ib,r__<~.

und schliel31ich

IzI Z log ~ (5) log If(z)l <m(r , f ) r-[z~-ib.l_< ~ r - b , z

folgt. Weil f (z) in C, keinen Pol hat, gilt fiir jede Polstelle b, yon f (z)

I z - b , l > l b - z , l - l z - z . l > e - I ~ , l ~ e Iz-10+~"

Wegen ]z,I ~ oe gilt also mit einer nattirlichen Zahl n 2

[z -b , l>�89 -J~"t€ ffir zEK, und n>n 2.

Da fiir Izl < r u n d Ib~l < r auch Ir 2 -b~ z I =<_2r 2 gilt, folgt ftir Izl < r , z e K , , I b, k < r und n > n 2

Iz-b~l >=�88 IrZ-b~ zl

Dies eingesetzt in (5) liefert fiir Iz l<r , zEK, und n>=n 2

log If(z)] < m (r, f ) ~ + n (r, f ) log(�88 r 2 e I~"l~ ~),

80 J. Winkler

woraus f'tir [zn[ + Iz , [ -P>r> Izn[ + lzn] -p-~, z e K , und n>=n 2 mit einer Konstanten C 1 >2

log If(z)[ < T(lz,] + ]z,]-o,f) C1 (Izn] + Iz, I- P) t-n(lz,l + Iz hI- P,f) C 1 IZn] ~ +~ Fz~

folgt. Weil f (z) die Ordnung p hat, folgt hieraus fiir betragsm~il3ig hinreichend groge zeKn und n>n2

log [f(z)l < (Iz, I + [znl-p)o+~ iznlO c1 (Iznl + Iznl-9+ Cl([Zn[ "~-IZnl-p)N(p+e)

woraus mit einer Konstanten C 2 > 0

folgt, was wegen e > 0 und [znl ~ oo einen Widerspruch zu (4) bedeutet und damit den Hilfssatz 1 beweist.

Der folgende Hilfssatz 2 ist eine einfache Konsequenz aus [14], bzw. dem gleichlautenden, friiheren Ergebnis von Gavrilov in [4], und liefert ein Kriterium fiir das Wachstum der sph~irischen Derivierten einer meromorphen Funktion.

Hilfssatz 2. Sei f (z) eine in der kompIexen Ebene meromorphe Funktion. Seien al, a2, a3, ... und bl, b2, b3, ... zwei Punktfolgen der komplexen Ebene. Gilt dann mit zwei positiven Konstanten C 1 und C2

If(a,)l < C1 und If(an)-f(b,)l > C z fiir n= 1, 2, 3 , . . . ,

so existiert fiir jedes n auf jeder Verbindungsstrecke der Punkte a, und b, ein Punkt z,, so daft

If'(z,)[ C 2 la , -b , I >

1 + If(z,)l 2= 1 +(C1 +2C2) 2

gilt.

Beweis. Zum Beweis dieses Hilfssatzes 2 kann ohne Einschr~inkung angenommen werden, dab ftir jedes n= 1, 2, 3,... die Funktion If(an)-f(z)l auf der die Punkte a n und b, verbindenden Strecke s, durch die Konstante 2C2 beschr~inkt ist. Dann gilt aber

l f (z) l<Ca+2C2 ftir z~s. (6)

Zufolge dem Weierstral3schen Mittelwertsatz existiert weiterhin auf s ein Punkt z, mit If(an)-f(bn)l<lan-bnl If'(z,)l und folglich lan-bnl I f ' (z ,) l>C2. Wegen (6) folgt hieraus unmittelbar die zu beweisende Behauptung.

Der letzte bereitzustellende Hilfssatz 3 wird aus [-14] unmittelbar tibernommen und deshalb hier ohne Beweis aufgeffihrt. Er zeigt, dab das Wachstum der sph~iri- schen Derivierten ganzer Funktionen in Abh~ingigkeit von der Ordnung be- schr~inkt ist. Auch dieser Hilfssatz ist Ergebnissen von Toppila in El0] ~ihnlich.

Hilfssatz 3. Ist f (z) eine ganze Funktion der Ordnung p < o% so gilt ffir jedes e > 0

lira sup e -I~l~ If'(z)l =0. Izl-oo 1 + If(z)l 2

Ganze Funktionen bei vorgegebener Menge der Nullstellen und Einsstellen 81

3. Formulierung und Beweis des Ergebnisses

Das in der Einleitung bereits ohne genaue Voraussetzung angegebene Ergebnis ist in seiner detaillierten Form im nachfolgenden Satz 1 enthalten. Die detaillierte Formulierung des Ergebnisses im Satz 1 wird im Anschlul3 an den Beweis des Satzes 1 zum abschlieBenden Satz 2 fiihren.

Satz 1. Sei die reelle Zahl p + 1, 2, 3, ... Konvergenzexponent der beiden Folgen al, a2, a 3 . . . . und bl, b2, b 3 . . . . der gemiifi ihrer Vie!fachheit at(tretenden Null- stellen (a,) und Einsstellen (b,) der ganzen Funktion f . Mi t einem reellen d>0, einem reellen z > 1 und einem ganzen n o gelte

f - 0 < d < fiir fast alle r > 0 (7) N(r ) l a , - am] > e-la"ip++(*-l)

und (8)

ib _b , , l>e_lb , jo+~(, 1) fiir n, m > n o.

Sind dann a;, d2, a; . . . . und b'~, b' 2, b'a, ... zwei Folgen komplexer Zahlen mit

[a , -a ' , l=O(e- la "1~~ und [b,-b ' ,[=O(e-lb "1 . . . . ), (9)

so existiert keine yon f ( z ) verschiedene ganze Funktion g(z), fi~r die die Folgen ! ~ t t ! t al, az, a3, ... und bt, ba, b3, ... die Folgen der gemiifi ihrer Vielfaehheit auftretenden

Nullstellen und Einsstellen yon g(z) sin&

Beweis. Zum Beweis des Satzes 1 sei nachfolgend angenommen, dab die Folgen t r a 1,' a z,' a~; . . . . . . und b[, bz, b3, die Folgen s~imtlicher, gemiiB ihrer VMfachheit

auftretenden Nullstellen und Einsstellen der ganzen Funktion der Ordnung p seien. Diese Annahme wird im folgenden Beweis widerlegt werden.

Vor allem Weiteren sei bemerkt: Weil f ( z ) und g(z) ganze Funktionen sind und der Konvergenzexponent ihrer Null- und Einsstellen p ist, haben f ( z ) und g(z) die Ordnung p.

Zun~ichst sei nachfolgend zu (7) vorausgesetzt, dab fiir allen

0 < [a. - a'.l (10)

und

O<lb.-b'.l (11)

gilt. Auf diese zus~itzlichen Voraussetzungen wird im Verlauf des Beweises ver- zichtet werden. Sie werden hier zun~ichst lediglich erhoben, um eine ftir den Beweis uniibersichtliche Fallunterscheidung zu vermeiden,

Fiir n = 1, 2, 3, ... sei mit einem b > 0

Q = { z I f z - a , [ < e - I " " r ~ + ~ } und C~={z l l z -b , l<e- lb" l~

Wegen der Hilfss~itze 2 und 3 folgt

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lim Sup {I f(z) - l llz E c~} = lim Sup {I f(z) l I z ~ c~} = o n ~ o o n ~ o o

und bei Beriicksichtigung von (9) auch

1 lim Sup {[g(z) - l llze G.} = lim Sup {Ig(z)l [ ze Ca~~ = 0.

g g - 1 Dies hat zur Folge, dab flit die Funktionen ~ und f _ 1

l imSup --g-1 j ~oo ~ { f zeC~.t=limSuP{gf--tl-1 zeC1.}=O

g gilt. Die Funktion f konvergiert also fiir n ~ oo in den Kreisscheiben Ctb., die

g - 1 Funktion ~ ftir n ~ co in den Kreisscheiben C~.. gleichm~iBig gegen 1. Weil

wegen fiG) = 0 und f(b~) = 1 aus dem Hilfssatz 3 auch

C 1 C 1 = C~. a C~. 1 \ v = l /

folgt, nimmt die Funktion h(z)= g g - 1 f f - 1

sowohl in fast allen Kreisscheiben

fiir fast al len

fiir n ~ ~ mit dem positiven e = J ( z - 1)

cL={zllz_a.l<e_l,.l . . . . . . . }

als auch in fast allen Kreisscheiben

c L : {z I I z - b. I< e-i~.12o § 3~+ 1}

, i 2 wegen a .e C2a~ und b.e Cb. Werte w mit Iw] < 2 an. Da aber wegen (10) und (11) auch jeweils die Polstellen a. und b. von h(z) in C 2 und C 2 liegen, folgt aus

an bn

den Hilfss~itzen 1 und 2, dab h(z) sowohl in fast allen Kreisscheiben

Co.={zllz-a.l<e-la.l'+~ }

als auch in fast allen Kreisscheiben

cb~ = {z 11 z - b.I < e - rb"l~ + ~}

jeden Wert der kompaktifizierten komplexen Ebene annimmt. Insbesondere existiert also in fast allen Kreisscheiben C.. und Cb. je eine Nullstelle von

h(z) =

g 1 -

g g - 1 f - g f

f f - 1 f ( f - 1 ) f - l

G a n z e F u n k t i o n e n bei vo rgegebene r M e nge der Nullstel len und Einsstellen 83

g Da f eine ganze Funktion ist, hat also ~- in fast allen Kreisscheiben Ca. und Cb.

g mindestens eine Einsstelle. Lediglich dies wird sp/iter ausgeniitzt. DaB ~ in

fast jeder Kreisscheibe Cb. mindestens eine Einsstelle hat, gilt abet erst recht, wenn b .= b'. fiir irgendwelche n gilt, so dab die zusiitzliche Voraussetzung (11) iiberfliissig ist. Auch ohne (11) gilt also

~ hat in fast allen Kreisscheiben C,~ und Cb~ mindestens eine Einsstelle. (12)

Hierzu sei bemerkt, daB wegen a.e Ca., b.e Cb., f (a . ) = 0 und f ib . ) = 1 aus dem Hilfssatz 3 auch

(Ot Co. c~ Cb. = Cb. ~ Ca. = ~ fiir fast alle n v 1 \ v = 1 /

folgt. Wegen (8) ergibt sich daher auch fiir fast allen

(13)

Ca.~ ~ Cb~ =Cb.c~ Ca. u Cb~ = ~ . (14) v 1 1 v:#n v # n

Die Aussagen (12) und (13) bzw. (14) werden sp~iter zum Beweis des Satzes 1 g

ausgenutzt werden. Zun~ichst jedoch sei die Funktion ~- noch etwas n/iher be- trachtet.

FiJr jedes z # a. gilt

z-a'~ = ( z - G ) + ( G - a , ) < l q ~ - - a ~ I z - a . l '

woraus fiir zE Ca. wegen (9) mit von n unabh/ingigen Konstanten K 1 und K ftir fast alle n

Z -- afn _ _ < l + g l e-la~L2O+~ela~lp+~< l + Ke-lanl2o+ z - a. -

folgt. Weil die Ordnung von f nicht gr/Sger als p ist und ~ > 0 gilt, konvergiert also das Produkt

f i Z __ dn n = t Z - - a n

in z~ C*= ~) C~ gleichm~il3ig gegen eine in der gesamten komplexen Ebene V=I

meromorphe Funktion hl(z ) der Ordnung p'__< p mit

lim hl(z ) = 1. (15) Izl~oo zr

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Also ist h(z)f(z) g(z) eine ganze Funktion der Ordnung p'< p, die weder Nullstellen

noch Polstellen besitzt. Mit einem Polynom p(z) vom Grade k<p gilt also

g(z) - h l ( z ) e p(~). f(z)

Also gilt wegen (15) mit einer gegen ~ konvergierenden Folge reeller Werte r und einer ftir r ~ ~ gegen 1 konvergierenden Funktion c(r)

T(r,~)<_c(r)m(r, eV(Z))+N(r, 1--)=N(r, f (l+o(N(r, f))). (16)

Wegen des ersten Hauptsatzes von Nevanlinna gilt aber auch

( l~)+O(1)>N(r,f)+N(r, 1 1)+0(1 ). (17)

Also mtiBte fiir unendlich viele r > 0 mit r--, oe wegen (7)

(1) __>N r,~ (l+d) (18)

gelten, was wegen d > 0 falsch ist. Also gilt der Satz mit der zus~itzlichen Voraus-

setzung (9). Ist aber (9) nicht erfiillt, so ist in (16), (17) und (18) jeweils N r,

und ~ zu ersetzen durch N r, und f ~ , wobei f * und g* aus f und g durch

Elimination der gemeinsamen Nullstellen von f und g hervorgehen. In diesem

Fall gilt offenbar N r, ftir alle r und mithin statt (7)

0 < d l <

woraus der (18) entsprechende Widerspruch auch in dem Falle folgt, dab (9) nicht erffillt ist. Also gilt der Satz 1.

Um der Aussage des Satzes 1 eine zwar weniger detaillierte, aber in gewisser Hinsicht iibersichtlichere Gestalt zu geben, seien folgende Begriffe eingefiJhrt: Sind a 1, a2, a3 . . . . und bl, b2, ba . . . . zwei Folgen komplexer Zahlen mit dem Konvergenzexponenten p, so sei ({a,}, {bn} ) als Folgenpaar der Ordnung p be- zeichnet. Ist ({an}, {b~}) ein Folgenpaar der Ordnung p und rl, r2, r3, ... eine

Folge positiv reeller Zahlen mit ~ rn< oe, so sei die Menge U der Folgenpaare n = l

Ganze Funktionen bei vorgegebener Menge der Nullstellen und Einsstellen 85

({e.}, {ft,}) mit l a , - e , [ < r , und [b, - f l , l<r. Rir n=1,2,3, ... als Umgebung des Folgenpaares ({a,}, {b,}) eingeftihrt. (Die zu U geh6renden Folgenpaare ({e,}, {~,}) haben offensichtlich die gleiche Ordnung wie ({a,}, {b,}).)

Ist ({a,}, {b,}) ein Folgenpaar einer Ordnung p und sind die Folgen al, a2, a 3 .... und bl, bz, ba, ... die Folgen der gern~iB ihrer Vielfachheit aufgeftihrten Null- und Einsstellen einer ganzen Funktion, so sei dieses Folgenpaar als Null-Eins- stellen-Menge der Ordnung pder ganzen Funktionen bezeichnet.

Ist al, az, a3, ... eine Folge komplexer Zahlen ohne endlichen HSufungs- punkt, bezeichnet n(r, a) die Anzahl der Folgenglieder a, mit la,] < r, so sei

N (r, a) =- ~ n (t, a) - n (0, a) dr + n (0, a) log r. o t

Mit den vorangehend eingeftihrten Bezeichnungen liefert der Satz 1 unmittel- bar den

Satz 2. Sei p eine reelle, nicht ganze Zahl oder gelte p=0. Sei M die Menge aller Folgenpaare ({a.}, {b.}) der Ordnung p mit

0 < lim inf N(r, b) ~ ~ N(r, a)'

f~r die mit einem e>O und einem ganzen n o

]a~-a,.l>e -la"l~ und ]b.-b, .[>e -Ib~l~ ffir n, m>n o

gilt. Dann ist die Menge der in M enthaltenen Nult-EinsstelIen-Mengen in M nirgends dicht, und diese Menge der in M enthaltenen Null-Einsstellen-Mengen enthiilt sogar keinen einzigen Hiiufungspunkt, sondern diese Null-Einsstellen- Mengen bilden eine diskrete Menge in M.

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Eingegangen am 11. September 1978