Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen

Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen.

Von EMIL ARTIN in Hamburg.

Vor kurzem hat Herr SPEISER in seiner Arbeit ,,Allgemeine Zahlen- theorie" vor allem die Theorie der zweiseitigen Ideale eines beliebigen maximalen Integritittsbereichs in halbeinfachen Systemen hyperkoml)lexer Zahlen zum Abschlufi gebrachtl).

Die vorliegende Arbeit fiber den gleichen Gegenstand soll eine einfachere Begrfindung der auBerordentlich sch(inen und allgemeinen Satze dieser Theorie sowie eine Weiterffihrung und Vertiefung bringen. Was die Vereinfachung betrifft, so gelingt sie durch Verwendung ge- brochener Ideale nach dem Vorbild eines Beweises yon HelTn KRULL im kommutativen Fall, (lessen Kenntnis ich Hern~ VAN DER WAERDEN verdanke. Es ist-natfirlich klar, daft die Durchffihrung bier, wo das Nichtkommutative entsprechende Moditikationen effordert, etwas kom- plizierter als im kommutativen Fall ist. Immerhin ist die Vereinfachung so weitgehend, dab in den ersten beiden Teflen, in denen der Hauptsatz fiber dis Zerlegung der zweiseitigen Ideale bewiesen wird, nur die Kenntnis der einfaehsten Eigenschaften halbeinfacher Systeme gebraucht .wird.

Vom dritten Teil an aber werden tiefer liegende Satze aus der Theorie der hyperkomplexen Zahlen herangezogen, aber doch nur S~ttze, die auch Herr SPEISER im wesentlichen verwendet. Beziiglich der in diesen Teilen verwendeten Bezeichnungsweise und Siitze vergleiehe man die vorstehende Arbeit sowie die dort zitierte Literatur fiber hyperkomplexe Zahlen ~).

Im vierten Teil wird gezeigt, dab einer tier Haupts~ttze yon HURWlTZ fiber Quaternionenk(irper s) einer Verallgemeinerung auf beliebige halb- einfache Systeme fi~hig ist.

In den beiden nachsten Abschnitten, in denen fibrigens die Er- gebnisse des vierten Teils nicht verwendet werden, gehen wir zum Studium einseitiger Ideale fiber. Nach Einffihrung des inversen Ideals wird schlieBlich die Endlichkeit der Anzahl der Idealklassen in jeder maximalen 0rdnung gezeigt.

1) A. SPEISER, A llgemeine Zahlentheorie. Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zfirich, LXXI (1926).

2) Insbesondere: L. E. DICKSO),', Algebras and their Arithmetics. CMcago 1923. (Zitiert als Dickson.)

3) A. HURWITZ, Vorlesungen fiber die Zahlentheorie der Quaternionen. Berlin (J. Springer) 1919, S. 41.

06~ E. Artin.

Die entsCheidende Wendung in der Theorie der einseitigen Ideale aber ging von Herrn BRANDT aus4). BRANDT tat in Quaternionenkorpen~ den iiberaus fruchtbaren Schritt, das Studium der Ideale eines speziellen Integriti~tsbereichs aufzugeben und gleichzeitig alle maximalen Integritiits- bereiche heranzuziehen. Der Darstellung und Ubertragung einiger seiner Ergebnisse auf beliebige Systeme ist der letzte Abschnitt gewidmet.

Es sei noch gestattet, auf ein Versehen yon Herrn SPEISER hin- zuweisen. Die Teiler seiner Diskriminante sind keineswegs immer dutch das Quadrat eines Primideals teilbar, wie die einfachsten Gegenbeispiele, etwa 5Iatrizenringe, zeigen. In dieser Diskriminante stecken noch aui~erwesent]iche Teiler. Ich hoffe, bei anderer Gelegenheit afff eine zweckm~tl3igere Definit )n der Diskriminante zurfickzukommen.

.

Es sei ~ ein System hyperkomplexer Zahlen iiber dem Kth'per der rationalen Zahlen. Die Elemente e~, e~ . . . e, mtigen eine Basis yon bilden, so dag also jedes Element a yon | auf gen.au eine Weise in der Form:

mit rationalen xi geschrieben werden kann. m~gen lauten:

n

- - c ik $v"

Die Multiplikationsformeln

In der Theorie der hyperkomplexen Zahlen ordnet man nun jedem Element a eine bestimmte Matrix S(a) zu:

(3) s ( . ) - 8 i k ( - ) = 7 P ~ 1

Da nun leicht zu sehen ist, dab das System der Basiszahien ~1, E~... e,, bei Rechtsmultiplikation mit a gerade die Substitution S(a) erfahrt, s~ fo]gt daraus:

(4) S( , f l ) -~ S( , ) . S(~); ~'(a -~ ~) =:- S(- ) § S(~).

Ferner ist, wenn es in | eine Haupteinheit gibt, S(a) ~ S(~). dann und nur dann, wenn a ~ ~ ist. Das System ~ ist also isomorph mit dem System der Matrizen S(a). Bedeutet nun E die Einheitsmatrix und ist (5) F , (0 = i t E - - S(-) j

a) I-I. BRANDT, Zur Zahlentheorie der Quaternionen. Verhandlungen der Schweizer Naturforscheuden Gesellschaft, Freiburg 1926, S. 155--156.

Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen. 263

die charakteristische Gleichung der Matrix S(a), so befriedigt nach einem bekannten Satz yon CAYLEY die Matrix 8 ( a ) u n s e r e Gleichung F , ( t ) . Wegen der Isomorphie von 6 mit dem System der S(a), geniigt also a auch dieser Gleichung, so daB:

(6) F , ( a ) = 0 folgt.

Aus der Definition yon S(a) als lineare Substitution geht noeb hervor, daft die Matrix S(a) bei Wahl anderer Basiselemente ffir 6 in eine Transformierte fibergeht. Dabei bleibt aber die eharakteristisehe Gleiehung erhalten, so dab die Unabh~ngigkeit yon F,~(t) yon der Wahl der Basiselemente folgt. Insbesondere zeigt sieh die Invarianz der Spur der Matrix S(a), die wir die Spur des Elements a nennen und mit s.(a) bezeichnen. Es ist:

(7) 8 ( . ) - 2: 2: / ' = 1 , t l = l

Als bekannt miissen wir nun voraussetzen, daB die notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, dal~ das System 6 halbeinfach ist, die folgende ist: Es ist die Determinante

(s) I 4

Eine Teilmenge I v o n 6 hei~e nun eine 0 r d n u n g 6) yon 6 , wenn I folgenden Bedingungen genfigt:

1. Mit zwei Elementen geh6ren auch Summe, Differenz und Produkt dieser Elemente zu / .

2. 1st a irgendein Element yon 6 , so gibt es eine ganze rationale Zahl M:~ 0 yon der Art, dab M a zu I geh6rt.

3. I i s t endlich. Es soll also endlich viele Elemente al, a s - . . ar aus I geben, so dal~ sich jedes weitere Element yon I darstellen laBt in der Form

(9) a = y~ a~ + y~ a~. ~- . . . Jr y,. a,., mit ganzen rationalen yi.

Wir zeigen nun, dal~ die 3. Bedingung gleichwertig ist mit: 3a. Stellt man die Elemente yon I dar in der Form (1), so ist der

Nennervorrat der dabei auftretenden x,, beschriinkt.

5) Vgl. etwa DICKSON w 66. ~) Es erscheint zweckm~iiig, den Namen Integrit~tsbereich zu vermeiden, da in

der Algebra unter Integritiitsbereich ein kommutativer Ring ohne Nullt~Aler vefstanden wird. Aus diesem Grunde glaubte ich, das in der Theorie der algebraischen Zahlen tibliche Wort 0rdnung wAhlen zu miissen.

264 E. Artin.

Ist namlieh 3. erftillt, so gentigt .es, die in der Darstelhng der at auftretenden Nenner zu kennen. Der Generalnenner aller so erhaltenen Briiche kann dann wegen 3. sieher als Nenner in (1) bei einem beliebigen a aus I genommen werden.

Ist aber 3a. erftillt (was also sieher aus 3. folgt), so sei M der Generalnenner aller xt bei Dars te lhng aller a a u s / . Dann ist I Teil- menge des Bereichs aller Elemente yon ~ der Form

M

wo die z~ irgendwele~e ganze rationale Zahlen bedeuten. Beachtet man also noch 1. und 2, so folgt wie in algebraischen ZahlkSrpenb dab I sogar eine Minimalbasis besitzt, daft es also n linear unabhangige Elemente ~o~, eo~,..., o~ aus I gibt, so daft jedes Element a yon 1 darstellbar ist in der Form

(xo) Ce ~- - X 1o} I - ~ - x ~ O } 2 - ~ - . . . - ~ - X n OJa,

mit ganzen rationalen xi. Wir haben also: Sa t z 1: Jede Ordnung von ~ besitzt eine Minimalbasis. b~un gibt es in jedem System ~ sicher Ordnungen. Wenn niimlich

M tier Generalnenner der c~k in (2) ist, so haben die Elemente M~i Multiplikationsformeln mit ganzen rationalenZusammensetzungskonstanten. Man kann also gleich voraussetzen, daft alle c~ ganz rational sind. Dann aber bilden die Elemente der Form (1) mit g a n z e n rationalen x~ sicher eine Ordnung.

Es sei I irgendeine Ordnung yon ~ . Da die Minimalbasis yon I sicher als Basis yon ~ genommen werden kann, k(innen wir gleich voraussetzen, dab die ei eine Minimalbasis yon I bilden. Dann gehtiren also zu I diejenigen Elemente der Form (1), bei denen alle x,. ganz sind. Insbesondere sind also in (2) die c~' k ganz rational.

Von nun an son das System ~ als halbeinfach vorausgesetzt werden. Dann gilt (8). Man findet:

(11) D = ls(~i~k)i -~- ..~. c"ik c~,, 4 O,

so dab D ganz rational ist. n

Sind ai ~-- ~_, ai, e,, (i - - l, 2, . . , n) ~ Elemente aus I (also die

a~k ganz rational), so findet man leicht, da s ( a + B ) ~ s ( a ) + s ( B ) ist:

It n

~ ' ~ 1 ~ 1


woraus

zu folgern ist. Der Ausdruck (12) heiBt D i s k r i m i n a n t e des Systems tier Zahlen al, a~, . . . , an.

Nun ist offenbar [aik[ ~ 4-1 die notwendige und hinreichende Bedingung dafQr, dab die Elemente al, a2, --. an eine Minimalbasis yon I sind. (12) zeigt uns also, daB D nieht yon tier Wahl tier Minimalbasis abhiingt, also eine Invariante yon I i s t . Wit nennen sie die Dis- k r i m i n a n t e der Ordnung.

Ist nun lax], absolut genommen, grOBer als 1, so sind die ai keine Minimalbasis yon I . Ist also I ' eine eehte Teilordnung yon I , und al, a2, . . . a,, eine Minimalbasis yon 1', so lehrt (12), da6 die Dis- kriminante yon 1' ein echtes Vielfaches der Diskriminante Dis t . Daraus folgt, d a b die Diskriminante einer Ordnung Io, die I umfaBt und yon I verschieden ist, ein echter Teiler yon D sein muff.

Diese letzte Bemerkung erm(~glicht nun, Maximalordnungen zu konstruieren. Es sei niimlich Io eine I umfassende Ordnung mit mOglichst kleinem Absolutbetrag der Diskriminante. Dann kann fo yon keiner weiteren yon Io verschiedenen Ordnung umfaflt werden, da eine solche auf eiue noch kleinere Diskriminante fiihren wiirde.

Nennen wir also eine Ordnung yon ~ M a x i m a l o r d n u n g , wenn sie in keine umfassendere 0rdnung yon ~ eingebettet werden kann, so ist damit gezeigt:

Sa tz 2: Jede Ordnung I von ~ kann in eine Maximalordnung-To yon eingebettet werden.

Wir setzen nunmehr voraus, dab I bereits eine Maximalordnung ist, deren Minimalbasis ~1, E2, . . . , ~,~ genannt werde.

Jedes Element von I laBt sich dann in der Form (1) darstellen mit ganzen rationalen x,,. Da aueh die c~k ganz rational sind, folgt aus (3), dab die sik (a) ganze rationale Zahlen sind. Wegen (5) besitzt also F , (t) ganze rationale Koeffizienten und der Koeffizient yon t n ist 1. (6) zeigt nun:

Sa tz 3: Jedes Elen~ent" a yon I geniigt einer Gleichung mit ganzen rationalen Koeffizienten, deren h6chster 1 ist.

Von diesem Satz gilt im allgemeinen n i c h t die Umkehrung. Verstehen wir aber unter dem Z e n t r u m ~ yon ~ die Menge aller

Elemente yon ~ , die mit jedem Element vertauschbar sind, so gilt wenigstens:

Sa tz 4: Ein Element a v o n ~ geh6rt dann und nur dann ~u I , wenn es einer ganzzahligen Gleichung mit 1 als h6chstem Koeffizienten .qeniigt.

19

266 E. Artin.

Beweis: Wegen Satz 3 genfigt es zu zeigen, dali jedes Element a yon ~ , das einer Gleichung der F01Ta

(13) ~ r - ~ - ( ( r - - I " r - - l - ~ - " ' " ~ - ( ( 0 ~ 0

genfigt (mit ganzen rationalen a~), zu I geh(irt. Man betrachte ni~mlich den Bereich Io, der aus den Elementen

$'1y~2~ �9 *, tcl~ t -~l~ r �9 ", 0~'I1~ " ' "

" ' ' , (~r--1 ~1 ~ " ' ' , (g~'--i ~r Of~ (~2 " ' ' , (~'--1

durch lineare Kombination mit ganzen rationalen Koeffizienten entsteht. Da a mit jedem Elem( t vertauschbar ist und man verm(ige (13) htihere Potenzen yon a durch die niedrigeren ausdriicken kann, da endlich die ~y zu Io gehtiren, so ist Io eine 0rdnung, die I umfafit. Da I maximal ist, mu• I :-- Io sein, also a zu I gehtiren.

Unmittelbar folgt aus Satz 4: S a t z 5: In I liegt jedes idempotente (d. h. der Gl~ichung x ~ ~ x

geni~gende) Element des Zentrums, insbesondere also die Haupteinheit von 6 , die wir mit 1 bezeichnen wollen. Eine rationale Zahl geh6rt dann und nur dann zu I , wenn sie ganz rational ist.

S a t z 6: Die in I geleqenen Zentrumselemente bilden eine Maximal- ordnung des Zentrums.

Ist ~ ein kommutatives System, so gibt es wegen Satz 4 nur eine Maximalordnung in ~ , den Bereich der ganzen algebraischen Elemente von 6 .

Ist dagegen ~ nicht kommutativ, so kann man unschwer unendlich viele Maximalordnungen gewinnen. Im allgemeinen sind sie nicht einmal miteinander isomorph.

Der weiteren Betrachtung werde irgendeine feste Maxim alordnung zugrunde gelegt. Die zu I gehtirigen Elemente wollen wir ganze, die iibrigen Elemente yon ~ gebroehene Zahlen nennen.

,

Die ganze nunmehr auseinander zu setzende Idealtheorie stfitzt sich in wesentlichen Punkten auf den Begriff des gebrochenen Ideals.

Eine Menge la) von Elementen aus ~ heifit R e c h t s i d e a l , wenn sie den folgendea Bedingungen geniigt:

1. Mit zwei Elementen gehCirt auch ihre Differenz zu ia). 2. Geh0rt a zu la) und ist ). irgendein Element yon I , so geh(irt auch

- ~ zu la). 3. Es gibt eine feste ganze rationale Zahl M:~ 0, so da~ jedes a M

ganz ist (wenn a zu [a) gehOrt).


Endlich sollen nicht beliebige Rechtsideale studiert werden, sondern nur diejenigen, bei denen auch noch folgende Bedingung erftillt ist:

4. Es gibt eine ganze rationale Zahl A ~ 0, die zu la) gehtlrt. Produkt und gr(~fiter gemeinsamer Teiler zweier Rechtsideale sollen

nun in der gewtihnlichen Weise erkli~rt werden: Sind !a) und ib) die beiden Rechtsideale und ist a irgendein Element

von la), fl irgendein Element von t5), so besteht der grtlgte gemeinsame Teiler aus allen Elementen der Form a ~ / L Wir bezeichnen ihn mit ]a, b).

Das Produkt bestehe aus allen Elementen der Form ~ a B . Es werde la).lb) genannt. Hier hat man auf die Reihenfolge der Faktoren zu achten.

Daft diese Mengen den ersten drei Beding~mgen gentigen, leuchtet ein. Um auch noch 4. als erftillt nachzuweisen, sei A # 0 eine ganze rationale Zahl, die zu la) geh(~rt, und B # 0 eine ganze rationale Zahl, die zu !b) gehfirt. Dann liegt A B ill beiden Mengen.

Besteht ein Rechtsideal la) nut aus ganzen Zahlen, so heiflt la) ein g a n z e s Rechtsideal.

]st la) ein beliebiges Rechtsideal und M die ganze rationale Zahl der Bedingung 2, so ist M.]a) ein ganzes Rechtsideal.

Man sieht miihelos ein, dag bei ganzen Rechtsidealen la) die Be- dingung 4. gleichwertig ist mit der anderen, dal~ die ganzen Zahlen modulo ]a) nut in end l i ch v ie le R e s t k l a s s e n ze r f a l l en .

Ist namlich la) ein ganzes Rechtsideal und A :~ 0 ganz rational aus la), so geh0ren die Elemente A~,, zu ]a). Folglich gibt es in I hOchstens I A ]'~ Restklas~en. Genfigt umgekehrt die aus ganzen Elementen bestehende Menge ia) den ersten drei Bedingungen und zerfallt I nur in endlich viele Restklassen, so miissen insbesondere zwei ganze rationale Zahlen einander kongruent sein, ihre Differenz mug also zu ia)geh~ren.

Aus den Bedingungen fiir Rechtsideale folgt sofort, dag jedes ganze Rcchtsideal eine Ordnung yon | ist. Aus Satz 1 folgt demnach, daft jedes ganze Rechtsideal eine Minim alb a sis besitzt. Da ein beliebiges Rechtsideal nach Multiplikation mit einer ganzen rationalen Zahl M in ein ganzes Rechtsideal iibergeht, so folgt ein gleiches fib' b e l i e b i g e

Rechtsideale. ]st ~ , , - - - , - , ~ diese Minimalbasis und c~i ~ ~ ai,,~,, 7 P ~ I

so ist del' Absolutbetrag der Determinante I ctil~l nicht yon tier speziellen Wahl der Minimalbasis al)htingig und wird die Norm des Rechtsideals ia) genannt: A:ia). Bei ganzen Rcchtsidealen zeigt man in dcr iiblichen Weise, (lal~ N!tl) die Anzahl dcr Restklassen moduh) a) angibt.

I)ie Tatsache, dal] der Absolutbetrag der Determinante ]aikl die- Auzahl der Restklassen bedeutet, ist aher nicht an die Bedingung ge- kniipft, dal] , . ,~.:, . . . . ,,~ Minimalbasis eines Rechtsideals ]a) ist. Es

268 E. Artin.

geniigt schon, daft diese Zahlen die Minimalbasis eines n-gliedrigen Moduls in I bilden. Davon wird spitter einmal Gebrauch gemacht werden.

Daft fib den analog zu erkli~renden Begriff des Linksideals (af ~thnliche Gesetze bestehen, ist selbstverst~tndlich.

Wir werden aber hie und da auch Produkte yon Linksidealen und Rechtsidealen betrachten. Ist ]a)Rechtsideal, (hi Linksideal, so ist (hi. la) sowohl Rechts- als auch Linksideal. Dagegen ist die Zahlen- menge la). (hi im allgemeinen weder Rechtsideal noch Linksideal, sondern nur Modul. Auch solche Bildungen werden wir gelegentlich verwenden.

Ein Rechtsideal, welches gleichzeitig Linksideal ist, wollen wir ein Ideal nennen und mit a bezeichnen. Mit e~ geh(h't dann auch jedes aX und ~a bei ganzen ~ zu a. Produkt und gr01]ter gemeinsamer Teiler von Idealen ist wieder tin Ideal. Mitunter heben wir die Idealeigenschaft noch durch den Zusatz ,,zweiseitig" hervor.

Ist a kein Nullteiler. so bildet die blenge aller Elemente a). eiu Rechtsideal, das wir mit la) bezeichnen und R e c h t s h a u p t i d e a l nennen. Daft la) auch der vierten Bedingung genfigt, erkennt man so: Sei M~-0 eine gauze rationale Zahl, so dab a - l M ganz ist. Dann geh~lrt mit a auch a . a - 1 M ~ M zu la). Genau so wird der Begriff des L i n k s - h a u p t i d e a l s (a I definiert. Unter einem H a u p t i d e a l (a) aber verstehen wir efn Rechtshauptideal [a), das gleichzeitig Linksideal ist. Wir sehen, daft sich zur Bildung yon Hauptidealen (a) nur solche Zahlen eignen, bei denen es zu jedem ganzen ~ ein ganzes ~ gibt, so daft ha ~ c~t, ist. Dies tun zum Beispiel die Elemente des Zentrums.

Ist Ia) Rechtsideal und ~ ein Nichtnullteil~r, so bildet die Menge aller Elemente der Form 8a wieder ein Rechtsideal, wenn a alle Zahlen aus la) durchlfiuft. Wir bezeichnen es mit ~ a ) nnd haben es wohl zu unterscheiden yon i~)" i a) und (/~1" la)."

Sind la) und ib) ganze Rechtsideale und wird alas Ideal Ib) im mengentheoretischen Sinne von !a) umfafit, so heifit la) ein Teiler yon t6); in Zeichen: ib) ~ 0 (mod ia))!. Die vierte Bedingung ftir Rechtsideale ist bei einem Teiler immer automatisch erftillt.

Nun sei a ein ganzes Ideal. Die Restklassen yon I modulo a bilden ersichtlich wieder einen Ring. Ist i(~) ein Rechtsideal in diesem Ring, so betrachte man die Vereinigungsmenge aller Elemente, die in den Restklassen liegen, die zu iE) gehtiren. Man erhalt so sicher ein Rechts- ideal Ir in L welches a umfafit, da zu ]~) die Nullrestklasse gehtirt. Geht man umgekehrt aus yon einem Rechtsideal !r welches a umfaBt, so geh0rt also mit jedem Element aus 1 gleich seine ganze Restklasse modulo a zu Ic) und die Restklassen, aus denen Ic) besteht, bilden ein Rechtsideal im Restklassenring. Man sieht also, da~ eine eineindeutige Beziehung zwischen den Teilern yon a und den Idealen im Restklassen-

Zur Arithmetik h~perkomplexer Zahlen. 269

ring herstellbar ist. Da nun im Restklassenring nur endlich viele Elemente, also aueh nur endlich viele Ideale liegen, hat man:

Sa tz 7: Ein Ideal a besitzt nur endlich viele Rechtsidealteiler. Wir definieren nun, wie in der allgemeinen Idealtheorie iiblich: Ein ganzes Ideal p heiflt P r i m i d e a l , wenn aus einer Beziehung

ab --~ 0 (modp) folgt, daii p ein Teiler eines der Ideale a und b ist; fiberdies soll p 4 I sein.

Nun ist zu zeigen: Sa t z 8: Ein ganzes Ideal p ~ I i s t dann und nur dann Primideal,

wenn p aufler I u n d sich selbst kein weiteres Ideal als Teiler besitzt. (Ein Pri~nideal darf abet sehr wohl Rechlsideale als Teller haben.)

Beweis: 1. p habe auBer sich selbst und I keinen Teiler. Es sei ab ~_ 0(modp), wo a und 6 ganze Ideale sind. Aus a ~ 0 ( m o d p ) soll nun b ~ 0 (rood p) gefolgert werden. Man bilde den gr6Bten gemeinsamen Teller (a, p). Da nun a ~ 0 (rood p) ist, ist (a, p) yon p versehieden, also (a, p) ~ I. Folglich gibt es ein Element a aus a und ein Element ~ aus p, so dab a-~7~----- 1 ist. Sei fl Element yon b. Dann ist a ~ z ~ ~. Da nun a ~ zu ab, also zu p gehtirt und ebenso ~ Element yon p ist, muff ~ zu p gehtiren. Also b ~ 0 (rood p).

2. Es sei p Primideal. Wir betrachten den Restklassenring modulo p. Es sei 9~ das maximale nilpotente Ideal im Restklassenring, etwa ~k-~ 4 0, ~k ~ 0. Aus 9l k-~. 9l ---- 0 folgt nun, da p Primideal ist, dab ~ ~ 0 sein muB. Der Restklassenring modulo p ist also halbeinfach. Ware er nicht einfach, so ware er direkte Summe yon zwei Ringen, deren Elemente sich gegenseitig annullieren. Sind 92 und !~ diese Ringe, so sind 92 und !8 Ideale =~ 0, fiir die 92!~ ~ - 0 ist. Das widerspricht tier Definition des Primideals, so dab der Restklassenring einfach ist. In einem einfachen Ring gibt es aui~er dem 0-Ideal (dem p entspricht) und dem ganzen Ring (dem I entspricht) keine Ideale. Also besitzt p auBer I u n d sich selbst keinen Idealteiler.

Wir definieren nun vortibergehend: Ein Primideal p heiBt r e g u l a r , wenn es eine gebrochene Zahl/~.

gibt, so dab #p ganz ist. (D. h., dab ffir jedes ~r aus p die Z a h l t ~ ganz ist.)

Wir werden bald zeigen, dab jedes Primideal regular ist. Sei nun p ein reguliires Primideal. Ob es ein solches gibt, bleibe

dahingestellt. Wir betrachten die Menge a aller Elemente ~ yon ~ , fiir die t~p ganz wird. Nach Definition des regul~iren Primideals*besteht a nicht nur aus ganzen Zahlen. Wenn ~p ganz ist und it irgendein Element yon I ist, so ist it ~ p ganz, aber auch t~it p ~ ~. it p. Denn it p enthiilt nur Elemente aus p. Mit zwei Elementen gehOrt auch ihre Summe zu a. Ist M eine ganze rationale Zahl aus p, ~ irgendein

270 E. Atria.

Element von a, so ist t~M ganz. Endlich geh0rt 1 zu a, also ist 1 Teilmenge yon a. Es ist demnach a ein gebrochenes Ideal. Wir bilden das Produkt ap. Nach Definition yon a besteht a p nur aus ganzen Zahlen, ist also ein ganzes Ideal. Da 1 in a liegt, umfafit ap das Ideal p, ist also ein Teiler yon p. Nach Satz 8 kann also ap nur (l) oder p sein. W~re a p - - p , so hiitte man a . a . p = a p - ~ - P , so dab a-" ouch aus Elementen bestiinde, die, mit p multipliziert, ganz werden. Die Elemente yon a ~ wiirden also zu a gehtiren. Dann aber witre a eine Ordnung, in der i vorkommt. Da I Maximalordnung ist, mfiflte also a = I ==- (1) sein, was der Annahme widerspricht, dal] es in a

gebrochene Zahlen gibt. Folglich ist ap : : (1). Daraus folgt p a p - - p und p a . p a = pa.

Man bilde nun ao : (1, pa) und findet ao.ao = (1, pa, pa, pa) = ao. Also ist auch ao ei'ne I umfassende Ordnung, also Oo = / . Es ist also p a ganz. Ist demnach I~ die gebrochene Zahl, fiir die t ' P ganz ist, so ist ouch p/~ ganz. Nennt man also die Menge aller Elemente I' yon ~ , fiir die pt~ ga.nz ist, a', so laflt sich genau so loa' =- (l) beweisen. Aus p a p = p folgt nun nach Rechtsmultiplikation mit o', dab po = - (1 ) ist, und aus p a = p a' ergibt endlich die Linksmultiplikation mit a, da~

1 a = a' ist. Das Ideal a bezeichnen wir deshalb mit p-, und es gilt:

1 1 _ _ - - - - ~ P .p p P = (l). Wir zeigen nun:

S a t z 9: S i n d Pl u n d P2 zwei Pr imideale und ist eines yon i lmen

reguliir, so ist Pl P~ : P~ P,. Beweis: Sei etwa lot regular.

1 Pl "lo~P~ a ein ganzes Ideal ist.

1 erhiilt man wegen P l . - - ( 1 ) ,

01

Es ist P~Pl ~ 0(modp~), so daft

Nach Linksmultiplikation mit p~

daft P.~OI = p , a ist. Nun ist

p~p, ~ 0(modp~), also p la ~ 0(modp~). Da fiir p_~ = Pl die Ver- tauschbarkel t selbstverstandlich ist, kann p~ 4 P-~ angenommen werden. Dann ist pl ~ 0 (modp_~), so do6 o == 0 (modp~) sein muf~. Daraus folgt

1 aber, dal~ p_~ p, = Pl a teilbar ist durch Pl P_~. Ebenso ist p, p_~. p-~ = a

ein ganzes Ideal, also p~p~ = a 'p l . Aus a'p, - 0(modp.~) folgt a' : - -0 (modp~) , so dal] ouch p~p~ durch O~Pl teilbar ist. Dies zieht

p~ P~ = P~ Pl nach sich. Um nun jedes Primideal als regulitr nachzuweisen, zeigen wir erst

zwei Hilfssi~tze: H i l f s s a t z 1: Is t das ganze Ideal a ~ 1 kein 15"imideal, so gibt es

zwci e c h t e T e l l " a~ m~d a, yon a, so daft a~ a~ - - 0(moda) ist. Beweis: Nach Definition des Primideals gibt es zwei ganze Ideale 5, r

Zur Arithme~ik hyperkomplexer Zahlen. 271

so daft b c ~ 0 ( m o d ~ ) und I~ ~ 0 ( m o d a ) c ~ 0 ( m o d a ) ist. Man setze ~ ~- (~, ~), a~ ~ (a, r Dann sind ~1 und a.~ echte Teiler yon ~, und es ist ~, ~ ~ (~ , i~ ~, a c, b c) dureh a teilbar.

H i l f s s a t z 2: Ist ~ irgendein Ideal ~: (1), so gibt es endlich vide Primideale p~, p~ ... p~, unter denen auch gleiche vorkommen k6nnen, so daft p~ p~ . . . p~ ~ 0 (mod a) ist.

Beweis: Wenn ~ Primideal ist, ffir alle Ideale mit weniger Teilern

ist der Satz trivial. E r sei bewiesen als ~. Ist dann ~ kein Primideal,

so gibt es zwei echte Tei ler al und a~ yon a, ffir die a, a~ ~ 0 ( m o d a ) ist. Da al und a2 weniger Teiler besitzen, folgt die Behauptung.

S a t z 10: Jedes Primideal p ist regul~ir. Beweis: Sei M ~: 0 eine ganze rat ionale Zahl aus p. Dann gibt es

endlich viele Primideale p~, p~ . . . p~., so datt p~ p~ . . . Pr ~ 0 (mod(M))

ist. Wir denken uns die Anzahl r so klein wie m(iglich gewahlt . Da

M - : 0 (modp) ist, folgt, daft p, p~ . . . p,. t e i lbar ist durch p. Also mul3 einer der Faktoren, etwa Pi, tei lbar sein durch p. Da Pi Primideal ist, folgt Pi ---- P. Es kommt also p vor unter den Primidealen Pl, P~, " - ' , Pr.

Durehlauft nun a alle Zahlen aus p, p~ . . . p~_~ (dieses Ideal werde = (1) gesetzt, wenn r = 1 sein sollte), so kann nicht stets a ~ 0 (modM) sein, da sonst sch6n das ktiizere Produkt p~O~ . . . p,._~ durch M tei lbar

ware. Sei a Zahl arts OL . . . P,- 1 und a ~ 0 (modM) . Wir setzen a

Ist ~ irgendeine Zahl aus Or, so ist a ~ Zahl aus p~ p~ . . . p,., t ~ - - M "

also dureh M teilbar. , ~ - i s t nieht ganz, wohl aber M - - M ~r-

Es ist also p, regular. Wegen Satz 9 ist also p~'pa p~.. . p~_~ ~_ 0 (modM) ,

so daft naeh dem gleiehen 8ehlul] p~_~ regular ist. So fahren wir fort( nnd erkennen, dab alle p,, regular sind, also aueh p ---= pi.

Is t nun p irgendein Primideal, so folgt aus ~ r~_ ps (etwa r ~ s

naeh Multiplikation mit , dag (1) = p~--~, also s = r ist. Alle

Potenzen yon p sind also voneinander versehieden. Es sei jetzt a irgendein ganzes Ideal, 1~, ein Primtei ler yon a.

1 Dann ist - - a = a~ ein ganzes Ideal. Ware c[ 1 = ~, SO folgte naeh

P~ Linksmultiplikation mit p~, da~ p~ta : a, also P l . P l . ' . P ,a : a ist. Dann ware a dutch jede Potenz yon p~ teilbar, h~tte also unendlich viele Teiler. Also ist a~ (welches ja a umfafit) eehter Tel ler yon a und

~ =: p, a~. Ist a~ noeh 4 (1), so hat a, einen Primtei ler p~, und man hat analog ~, : p~a.~, wo a~ ein echter Teller von ~1 ist. Da ~ nut

endlich viele Teiler besitzt, ist schliel~lich a = PlP~ --- Ps. Aus Satz 9 und Satz 10 folgt nun:

S a t z 11: Da.~. Reclmen rail Ide~de~ ist kommuhtliv. Jedes ganze

272 E. Artin.

Ideal ist a u f eine und nur eine Weise darstellbar als Produkt yon Prim- idealen (bis a ~ die Reihenfolge).

Beweis: Es genfigt, den Teil fiber die Eindeutigkeit zu beweisen. Sei also

Pt P~ . " P., = q~ q.* . . . q, . ,

wo die pi und qi Primideale sind. Die rechte Seite ist teilbar dm'ch Pl, also muff es ein Faktor, etwa q~ sein. Dann ist q~ ~ ~j, und naeh

1 Multiplikation mit ~ ( folgt p . . . . , p, ~ q. . . . , q,.. Nun ffihrt vollstandige

Induktion zum Ziel. Wir zeigen noch da~ Satz 11 nur in Maximalordnungen gilt: S a tz 12: Ist 1 eine Ordnung mit Einheitselement, in der dcls

Rechnen mit Idealen kommutativ ist und in der sich jedes ganze, yon I verschiedene Ideal eindeutig als ein Produkt yon unzerlegbaren Ideah,~ (die auch �89 (1) sind) darstellen ldflt, so ist I eine Maximalordnung.

Beweis: Sind n~tmlich a und c gebrochene oder ganze Ideale und. A 4 0 bez. C 4 0 ganze rationale Zahlen, ffir die A a bez. Cc ganze Ideale sind, so folgt aus a c ---- a, daft A a �9 Cr ~ A a �9 C ist, also A a . Cc

A a . (C). Aus der Eindeutigkeit der Zerlegung folgt jetzt Cr ~ (C), also r ~--- (1).

Sei jetzt Io eine I enthaltende Maximalordnung. Dann ist Io Ideal aus I und Io. Io ~ Io (da Io das Einheitselement enth~ilt). Also ist Io ~ I, womit I als maximal erkannt ist.

.

Nun sei p Primideal. Wit betraehten den Ring R~,,, der Rest- klassen modulo p,n. Den Teilern von p'* sind die Ideale in R~,,, zugeordnet. Bezeichnet man also das dem Ideal p in R~,,, entsprechende Ideal mit ~, so sind ~, ~2, - " , ~i ,n-1 die samtlichen Ideale aus R~.,, und es ist ~m _~_ 0, also Rp~ primi~r. Nach einem Satz yon He~Tn WEDDERBURN ist demnach Rp~ das direkte Produkt eines Systems eik yon Matrizen- einheiten mit einem vollstitndig primaren Ring ---. Dabei heiflt ein Ring -~ vollstiindig primi~r, wenn jedes yon .--- verschiedene Rechtsideal aus -~ nilpotent ist (vgl. die vorangehende Arbeit).

Das Ideal 1~'" besteht dann aus allen Elementen der Form ~_~.ik elk, ~,k

wo die .~ik alle Elemente eines Ideals ~,, aus _ durcblaufen. Da ~" eine r-te Potenz ist, ist auch ~,. = ~'1' = !~". Jedes Ideal aus -- gibt aber auch umgekehrt Anlall zu einem Ideal in R,~ so dal]. ~, ~2~ ~8, . . ", ~,~-1 alle Ideale aus -~ (abgesehen yon -- und 0 = ~ " ) sind. ~ ist somit das maximale nilpoteute Ideal i n -~ mid umfal~t somit auch alle nil- potenten Rechtsideale in .~. Da .~ vollst~ndig primar ist, fo]~ jetzt,

Zur Aritl~metik hyperkomplexer Zahlen. 27~

daft die Restklassen von -- modulo ~ ein System ohne RechtsideaI, also ein System ohne Nullteiler bilden.

Sei nun 192) ein yon ~ ' - ~ umfafltes Rechtsideal in ~ Dann bildet die Menge [~) aller Elemente der Form ~ a ~ e ~ , , wo a~ alle Elemente von [~{) durchlituft, ein Rechtsideal in R~,. la-) wird yon p,~-i umfa•t. ]hm entspricht also ein Rechtsideal ]a) i n / , das mengen-

theoretisch zwisehen p'~ und p~- i liegt. Folglich ist la). : Ir

ein ganzes, p umfassendes Rechtsideal und, wie Rechtsmultiplikation mit p,n-1 zeigt, l a ) ~ !c). p~- l .

Gehen wir nun wieder zu R~. tiber! Dort entsprieht dem Ideal Ic) ein Teiler [~) yon ~, und es ist [ ~ ) ~ ] c - ) . ~ - 1 . Entweder ist nun :() = ~, also ]~-) ----- ~'~ == 0, was auf t92) ~- 0 fiihrt; oder es gibt ein Element ~c~ke~k in Ic), das nieht durch ~ teilbar ist, bei dem also

i ,k etwa c~s nicht in ~ liegt. Da die Restklassen yon Z naeh ~ keine Nullteiler besitzen, ist die Kongruenz c~s ~ ----- 1 (mode) 16sbar. Dann liegt auch ~ c~, eik. ~ --~ . ~ cik eiz: in I-O, mid es ist c~s ~ 1 (mo~ ~)~

Wegen Vd) ~ Ic)~=-1, geh0rt nun bei beliebigem z aus ~=-1 stets ~. c~ ~.eik zu [a). Erinnern wir uns daran, wie Io) aus 192) ent-

standen war, so erkennen wir, daft c,.s ~ zu I~I) geh6rt. Bis auf eine in ~ liegende Zahl ist nun C,:s gleich 1. Da z zu ~m- i geh6rt und ~'~ ~ 0 ist, folgt c,.s ~ ~ ~ , womit [92) = ~3 ~-~ gezeigt ist.

Sei jetzt 192) ein beliebiges Reehtsideal im vollstgndig primaren Ring ~ . Wenn ]92)~ 0 ist, enthglt i92) ein Element ai =[= 0, das etwa in ~i, nieht aber in ~i+~ liege. Ware a ~ =-~-~ ~ 0 , so w~tre auch ai p'~-~-i = 0, woraus ai p'~-~-~ ~--- 0 (rood p'~) folgte. Dann aber witre

1 1 ~i pm-~-i. P~ ~__ a~. ~ ein ganzes Rechtsideal, woraus wieder rfick-

w~trts ai ~ 0 (mod p'+*), also auch a~ ~ 0 ( m o d ~ i-~4) zu ersehlieflen w~tre. Es ist somit a i ~ ' ~ - ~ - i 4 0 , so dal~ 192) yon 0 verschiedene Elemente aus ~m-~ enthitlt. Dies zeigt, dal~ ]92) ganz ~'n-~ enthglt. Betrachtet man nun ]92) modulo ~m-1, so ergibt die gleiche 13berlegung, daft entweder 192)~ 0 (mod ~"~-~) ist oder I92) ganz ~=-2 enth~tlt. Auf diese Weise fortfahrend, gelangt man zu dem Ergebnis, daft es in ~" nur zweiseitige Ideale gibt.

]st demnach ,7 ein Element yon ~ , das nicht in ~ liegt, so ist ~': gleich dem yon ai in .~ erzeugten Reehtsideal. Daraus folgt nun, dal~ in R~, das Ideal ~i Hauptideal ist, und zwar ~i ~ !zd) --- (~i I.

Nun sollen Rechtsideale in R~,,, betrachtet werden. Ist I-d) ein solehes, so erhiilt man alle Elemente yon i-d) p , indem man ]edes Element yon Fd) mit ~ reehtsseitig multipliziert. Setzen wir von lg) voraus,

274 ~.. ~rti~.

da6 es ~,n-1 umfaflt, so gehOrt umgekehrt P ~ nur dann zu [a-)~, hat also nur dann die Form ~ ~ a ~ (wo a zu [~) geh0rt), wenn # - - ~ zu ~,n-1, also zu I-a) und demnach auch ~ zu la) geh0rt. Durchl~uft nun ~ ein volles Repr~sentantensystem modulo~, ~ ein solches modulo la), so sind alle N Ia- ) , N ~ Elemente der Form ~ ~ ~ einander inkongruent modulo i-~)~. Denn ist ~ ~ ~ ' ~ f ~ (mod la)P), so gilt diese Kongruenz zun~chst modulo ~, so daff ~ = ~' sein muff. Aus (~- -~ ' )~ = 0 (mod i-a) ~-) aber folgt nach dem Gesagten, daff ~ ~ ~' (mod ta)), also

~ ~' ist. Ist andererseits it irgendein 'Element yon R~. und ;. dem Repr~sentanten ~ modulo ~ kongTuent, so geh0rt ~ - -~ zu ~-, hat also die Form i t - - ~ e ~ . Ist nun e ~ (modle-)), so ist i t ~ ~ (mod la-) p).

Daraus ergibt sich folgendes Resultat: Ist das Rechtsideal [a) Teiler irgendeiner Potenz p'~-~, so gilt: N ( i a ) p ) = - - N i a ) . N p .

Sei nun [a) ein beliebiges ganzes Rechtsideal, welches Teiler des zweiseitigen Ideals r ist. Daff es ein solches r iiberhaupt gibt, folgt daraus, daff man r : (M) w~hlen kann, wenn M eine ganze rationale Zahl yon [a) ist. Nun sei c : pm.b und p'n teilerfl:emd zu b. Dann ist (p'~, b) : 1, so da6 es eine Zahl e~ aus b und eine Zahl e~ aus p'~ gibt, so daff e~d-e~ : 1 ist. Wir setzen jetzt [ a ~ ) : [a, pro), l a ~ ) : la, b) und lassea ~ ein volles Restsystem modulo ta~), ~ ein volles Restsystem modulo [a~) durehlaufen. Dann durchl~uft ~el@ ~e~ ein volles Restsystem modulo [a). Einerseits folgt ni~mlieh aus ~ e ~ e ~ ~- ~'. e~-[- ~'e~ (rood [a)), daft diese Kongruenz auch modulo [a~) und la~) gilt, also ~e~ ~_ ~'

. O1

= "~' (mod la,)), (rood ]a~)); wegen e~ 1--e.. ~- 1 (mod p"~) ist dann ~ ~ so daft _~ = ~' sein mu~. Xhnlich wird ~ ----- 1/' gezeigt. Andererseits gilt fiir jedes ganze 2: ~-----2e~-~e.; ist also it ~ ~ (mod la~)) und Jt ~ ~ (rood la~)), so folgt, daff ite~ ~ .~e~ (mod Io)) und ite~ ~ ~e: (mod ]a)), also auch i t ~ ~e~ "~ ~-~e.. (rood [~)) sein muff. Demnach ist N[a) ~ Nla~ ) N]a~). In der Wahl yon c hat man noeh Freiheiten. Betrachtet man [a, ~), la, P~), [a, ps), . . . . so ist jedes Ideal Teiler des folgenden und Teiler yon ]a). Man wahle nun m so groff, daff [a, p"~-~) = [a, p~) ist und la) P aueh noeh Teiler yon c ist. Die Norm yon [a) p bestimmt sich in i~hnlicher Weise. Man hat [a~) =-- :ap, p'~) ---~ [a, pm-1)p : la,)P und [a') : lap, b) zu setzen. Da aber p teilerh'emd zu b ist, liegt [a) in ]a~), so daft: ]a~) : ]a, ap, b ) : [a, b) : la~) sein muff. Aus N(!a)p) = N([a~)O).Nia~) folgt, verm0ge der bereits bewiesenen Gleichung N(la~) p) h N'a~) N0, -daft nunmehr allgemein N(!a) p) ----- N [ a ) . N p sein muff.

Ist jetzt b irgendein zweiseitiges Ideal, so folgt dureh wiederholte Anwendung des eben gewonnenen Satzes, unter Verwendung der Pl~m- idealzerlegung yon b, daft N ( ! a ) . b ) = N [ a ) . N b ist.


1st endlich la) ein gebrochenes Rechtsideal und M eine ganze rationale Zahl yon tier Art, daft Mia) ganz ist, so bildet M a t , ~la~, . . . , Man eine Minimalbasis yon Mla) , wenn a~, eta, . . . , a,, eine solche yon ta) ist. Dies zieht N(Mla) ) ~ M" NIl ) naeh sich. Ist b ein gebroehenes Ideal und M~fi ganz, so ist N(M~fi) -~ M ~ . N b . Wegen N(M',a)Mxb) = M n M ~ N ( l a ) b) und N ( M i u ) . M ~ b ) ~-- N ( M I a ) ) . N ( M l b )

M". M~' N ia). N 6 folgt endlich: Sa t z 13: Ist [a) ein beliebiges Rechtsideal, 6 ein Ideal, so gilt

N(!a).6) = N[a ) .Nb . Analoq gilt f i i r ein Linksideal (a!, daft N(b(aJ,) ---= N b . N ( a l ist.

Modulo p"~ ist die Potenz pi eines Primideals ~ ein Hauptideal. Aus diesen Tatsachen ergibt sich auch noch die yon SP~.ISER auf-

gefundene Struktm" des Restklassenrings R,.. (vgl. Speiser S. 36, Satz 21).

.

Die Zerlegungsgesetze der ]deale sollen nun einer genaueren Untersuchung unterzogeu werden. Es seien e,, e , , . . . , e,. die unzerlegbaren idempotenten Zahlen des Zentrums (e i%-~-0 ftir i :l: k, ~ ~ ei). Dann ist

- - e l ~ + e ~ . ~ + -- . + e ~

die Zerlegung yon ~ als direkte Summe einfaeher Systeme, der ~vegen Satz 5 die Zerlegung

I ~ e l I - k e o _ I q - . . . -ke, . I

der Ordnung I zur Seite zu stellen ist. Die 0rdnung e , I yon e , ~ ist maximal in e , ~ , da eine Erweiterung yon e,,I zu einer Erweiterung yon I ftihren wiirde.

Da null ein Rechtsideal in I ill seine Komponenten aus e,.I zerf~llt und man in einfachster Weise yon der Arithmetik einfacher Systeme auf die yon I zuriickkommt, reduziert sich das Problem auf die Unter- suchung einfacher Systeme. Deshalb soil in diesem Abschnitt @ als ein einfaches System vorausgesetzt werden. Sein Zentlalm ~ besitzt dann anfier 1 kein idempotentes Element und enthi~lt demzufolge keine Nullteiler. 3 ist damit als algebraischer Zahlk(irper erkannt, und man kann wegen Satz 6 die Zahlentheorie des Zentrums als bekannt voraussetzen.

Sei nun 9/ ein Ideal im Zentrum 3 , ~ das yon 9/ erzeugte ldeal in I . Wird etwa in 3 das Ideal 9/ yon den Zentrnmselementen -1 . - .~ , . " .. u, erzeugt, so besteht 9~ aus allen Elementen der Form ,~).~-,~_),~_+ . . . q-c~,.),., wo die )'i beliebige Elemente yon 1 durch-

27fi E. Artin.

latffen. Welche Elemente yon ~ geh6ren zu ~ ? Sei etwa a aus darstellbar in der Form

und ~ ein Ideal des Zentrums yon der Art, daft ~ ~ ----- (~) Hauptideal in wird. Gilt nun in ~ etwa ~ ~ (~1, ~ , . . . , ~s), so folgt a ~ ~ al ~ ; t l

--{-as ~iJt2-4- . . . + a r ~ i ~ . Da alle ak ~i durch (~) teilbar sind, erhitlt man jedes a#i durch Multiplikation yon ~ mit einer ganzen Zahl aus I ; dieser Multiplikator liegt in 3 , da a ~ und ~ in ~ ]iegen. Es ist also a . ~ teilbar durch (~) ~ ~ , woraus die Teilbarkeit yon a dureh folgt. Da mmmehr der Durchschnitt yon ~ mit ~ als ~ erkannt ist, kann keine Verwechshmg entstehen, wenn man bei ~ den Querstrich weglitflt, das Erzeugnis yon ~ in I also auch mit ~ bezeichnet.

Es enk~teht nun die Frage, wie ein Ideal ~ des Zentrnms, das in ~ Primideal ist, in I welter zerfRllt.

Zu dem Zweck fassen wir nun ~ auf als hyperkomplexe Erweiterung des algebraischen Zahlk6rpers ~ und itndern in diesem Abschnitt die im ersten Teil verwendete Bezeichnung sinngemitB ab: el, ~2, . . . , ~n mOgen also n Elemente yon ~ bedeuten, die in bezug auf ~ linear unabh~Lngig sind und ~ erzeugen. Die x i u n d c~' k sind dann Elemente yon ~. Jedes Element a der Form (1) geniigt der Gleiehung (6), und zwar auch dann, wenn die x~ Unbestimmte bedeuten. Sind in (1) die xi irgendwelche Unbestimmte, so soll a die ,,allgemeine Zahl" yon ~ heiflen. I)er Funktion F~(t) stellen wir nun noch zur Seite die Funktion ~,(t) yon m6glichst niedrigem Grad in t, so daft ~ (a) ~ 0 ist. ~ (t) hat natiir]ieh noch rationale Funktionen der Unbestimmten x~ als Koeffizienten.

F~(t) kann man miihelos als Teiler yon F~(t) erkennen, so dab man voraussetzen daft, daft der Koef~zient der h6chsten Potenz yon t in F~ (t) den Wert 1 hat, daft die iibrigen abet ganze rationale Funktionen der x~ mit Koeffizienten aus ~ sind. Der Grad r yon ~ ( t ) heiflt der Rang des Systems ~ und ist ersichtlich eine Invariante yon ~. Die Tatsache, daft F~ (t) die Gleichung niedrigsten Grades fiir a ist, bedeutet, daft die Potenzen 1, a, a s . . . a ~-~ linear unabhangig im Bereieh der Polynome der xi mit Koeffizienten aus ~ sind. Driickt man die Potenzena ~

?b

durch die ~ aus: a i ~ ~ ~p~(x) ~ , so ist diese lineare Unabhitngigkeit r ~ l

gleichwertig damit, daft nicht alle r-reihigen Determinanten der Matrix ( ~ (x)) verschwinden.

Nimmt man nun an Stelle yon ~ eine algebraische Erweiterung yon ~ ats Grundk6rper fiir die e~ (wobei diese als linear unabh~ngig zu gelten haben), so ist natttrlich noch immer ~ ( a ) ~ 0 und andererseits anch die Determinantenbedingung fftr die lineare Unabhiingigkeit


yon 1, a , . . . , a r - 1 unberfihrt geblieben. Der Rang r ist also der gleiche. Bekanntlich kann nun die algebraische Erweiterung ~ yon ~ so gewi~hlt werden, daft alas zugehtirige System ~ isomorph ist mit der Menge aller Matrizen eines gewissen Grades m u n d Elementen aus ~7). Ersichtlich gibt es dann in ~ genau m ~ linear unabhii.ngige Elemente, und aus tier Irreduzibilitiit der charakteristischen Gleichung einer ,,allgemeinen Matrix" folgt aulterdem, dal~ der Rang yon ~ genau m i s t . Demzufolge gilt auch ffir ~ , daft n ~ - m ~ und r = m ist.

Sei jetzt !~ das z:~ untersuchende Primideal des Zentrums und eine ganze Zahl vou ~, die durch ~, aber nicht durch ~ teilbar ist.

Wir bilden die Menge Ia l l e r Elemente yon ~, die nach Multiplikation mit einer jeweils geeignet gewRhlten ganzen und zu ~ primen Zahl des Zentrums, Elemente aus I ergeben. 0hne Sehwierigkeit erkennt man, daft mit zwei Elementen auch Summe und Produkt zu I gehtiren. Selbst- versti~ndlich gehtirt I selbst zu I. Ist ffir den Augenblick ~h, ~-~, �9 �9 �9 eiuc (ira gew6hnlichen Sinn) Minimalbasis yon I u n d stellt man ~i durch die ~ mit Koeffizienten aus ~ dar, so treten bei diesen Koeflizienten gewisse Nenner auf. Da man nur endlich viele ~ zu untersuchen hat, kommt man mit einem festen Nenner bei den ~, also auch bei jeder Zahl von I aus. Geht nun in diesem Nenner genau die Potenz ~ auf, so sieht man, dal~ man jede Zahl aus I darstellen kann in der Form:

a - - - T t k

wo die Zentrumselemente a i zu ~r gehOren. Man benenne den Dureh- schnitt yon ~ und I -mi t ~; aus der Definition yon I folgt, dati auch jedes Element yon I - in dieser Form darstellbar ist. Nun betrachte man

alle Elemente yon )= der Form Ys ~ a~ ~1 § a. ~.~k + "'" + as ~ Die

dabei auftretenden Elemente a~ k6nnen, da sie zu ~ gehOren, das Ideal ~ nur im Zi~hler enthalten. Man wi~hle ,-s jetzt so, dal3 as eine m6glichst kleine Potenz yon ~ im Zi~hler enthitlt. Ist dann

uk ~-- ), irgendein Element von i , so geh(irt B., _ r a s

~'1~1 + " " + r~-iEs-1 zu ~, so daft ) - - -TL wieder zu Igeh0 r t und die Form 7~ k

hat. Somit bilden die Elemente ~ , ~.~, . . . , s-n eine Minimalbasis von in dem Siun, daft jedes Element yon f darstellbar ist in der Form a ~ 7~7~-~'2~2~- " " ~-;'nYn, wo die y~ z u ~ geh(iren, und dab umgekehrt jedes Element von dieser Form zu f gehCirt. Wir diirfen also gleich voraussetzen, daft die ~ eine Minimalbasis von I sind. Dann

7) Vgl. etwa DICKSON .~ 76 und S. 226--228.

278 E. Artin.

gehOren aueh die c~k , also auch die Koeflizienten yon Fa (t) zu ~ . Als Teller von F . (t) hat also aueh ~ , (t) nur Koeffizienten, die zu ~ geh0ren.

Modulo ~ ist I-gleiehwertig mit I . Ist in der Tat a ein Element v, on I , r ganz aus ~ und prim zu ~ , so daft ca in I l i eg t , so bestimme. man die ganze Zah] ,~ aus ~ in der Art, daft e . r ~ 1 (mode) wird. Das Element a - - - ~ o a hat danu lauter dureh $ teilbare Koeffizienten~ wenn es dureh die Minimalbasis e~ dargestellt wird. Also ist a ~ r (mode) und a einer ganzen Zahl kongruent. Es kann eine lineare

i t

Beziehung modulo ~ zwischen den ~ , etwa ~ y ~ , e ~ ~ 0 ( m o d e )

(wo ~ r~ ~ zu I gehOrt), nur bestehen, wenn alle r~ ~ O(mod~) sind. r - - l

Denn 1_. ~ ~'~ e~ ist dann jedenfalls Zahl aus I i demnach geh0ren die

Y" - - J,, zu I , so daft ~,,. ~ 0 (mode) wird. Jl:

Da die Koeffizienten yon ~, (t) einen zu ~ primen Nenner haben~ ist erst recht ~, (a) - - 0 (mode) , der Rang des Restklassenrings also ht}chstens m. Daft die Anzabl der lineal' unabhangigen Elemente (rood ~) genau m 2 ist, wurde auch schon.festgestellt.

Nun soll angenommen werden, da~ ~ in I in. lauter verschiedene Primideale zerfallt. Dann ist der Restklassenring halbeinfach, also direkte Summe yon etwa s einfachen Ringen Ri. Jeder Ring Ri besteht nur aus endlich vielen Elementen, ist also nach zwei bekannten Satzen yon WEDDERBUI~N isomorph mit der Menge aller Matrizen eines gewissen Grades m~ mit Elementen aus einem Galoisfeld. Dieses Feld ist eine gewisse algebraische Erweiterung etwa vom Grade k~ des Restklassen- kt~rpers yon ~ modulo ~ .

In bezug .auf diesen RestklassenkOrper ist nun die Anzahl der linear unabhangigen Elemente des Restklassenrings einerseits m ~, anderer-

2 Der Rang des Restklassenrings aber seits k~ m'~ + k 2 m 2 + . . . -Jr k s m s.

ergibt sich zu k~ m~ ~ k~ m~ -t- . . . ~ ks ms. Man beachte, daft es bier yon wesentlicher Bedeutung ist, da~ bei Definition des Ranges die x~ Unbestimmte und nicht ,,Variable" waren. Vorhin wurde festgestellt, dab der Rang unseres Restklassenrings h0chstens ~ war. Also ist m ~ k ~ m , + . . . + k , m s. Mit m ~ ~- k~m 2 ~ . . . - ~ k s m 2 ist dies aber nur vertr~glicb, wenn s - 1, k~ = 1 ist. Fo]glich ist der Restklassen- ring modulo ~ ein M.atrizensystem vom Grad m u n d mit Elementen aus dem Restklassenk0rper. ~ bleibt also in I Primideal.

Bilden wir ffir ein solches Primideal ~ noch den Restklassenring modulo . ~ . Bezeiehnen wir Normenbildung in ~ mit h~, in I mit so ist N ~ ~' ~ (Na~k) "*~. Dies folgt sofort aus dem soeben Fest-


gestellten. Der primi~re Restklassenring ist nun das direkte Produkt eines Systems yon m ~ Matrizeneinheiten mit einem vollstiindig primitren Ring, bestehend aus Ns(!~ k) Elementen. Das Zentrum des primaren Rings besteht nun einerseits mindestens aus den NS(~ k) Restklassen des Zentrums modulo ~k. Andererseits ist es bekanntlich dos Zentrum des vollstandig primiiren Rings. Die Anzahlvergleichung ergibt nunmehr, dab der volistitndig primi~re Ring einfach der Ring der Restklassen des Zentrums modulo ~k ist. Damit ist die folgende Verallgemeinerung eines Satzes yon HURWITZ tiber den Quaternionenk(~rper gefunden:

Satz 14: Ein Primideal des Zentrums, welches nicht durch dos Quadrat eines Primideals yon I teilbar ist, ist selbst Primideal in I. Gibt es in I m I linear unabh~ngige Elemente in bezug a ~ ' ~ , so ist do" Restklassenring von I modulo einer Potenz ~k eines solchen Primideals isomorph mit dem Ring aller Matrizen m-ten Grades, deren Elemente die Restklassen des Zentrums modulo ~3 k durchlaufen.

Man kann nun noch welter zeigen, dab dieser Fall in der Regel eintritt, und auch noch genau bestimmen, wann die Voraussetzung yon Satz 14 zutrifft. Wir begnfigen uns aber hier damit, dab es jedenfalls nur endlich viele Ausnahmen geben kann. Geht ni~mlich !~ nicht auf in der Diskriminante D yon I, so ist der Restklassenring modulo !~ tmmittelbar als halbeinfach erkannt. Leider gilt yon dieser Tatsache nicht die Umkehrung, die Teller von D brauchen noch nicht durch das Quadrat eines Primideals teilbar zu sein. Erst eine neue Definition der Diskriminante liefert hier dos gewfinschte scharfe Kriterium.

.

Wir kehren nun zu einem beliebigen halbeinfachen System zurfick und versuehen, den BegTiff des inversen Ideals auf beliebige Rechts- ideale auszudehnen, ist ~ ~--p]"p"-' . . . pr ~" ein zweiseitiges Ideal und seine Primidealzerlegamg (wobei die J'i auch negativ sein k0nnen), so bilde man die Menge aller ~ aus ~, fiir die iL a ganz ist. DaB diese Menge ein zweiseitiges Ideal bildet, ist sofort zu sehen; wir nennen es a -1. Setzt man b ~ pT"~p:_,-"~ . . . PT'', so ist b a- - - (1) , so daft b Teilmenge yon o -1 ist. Da nach Definition yon a -I das zweiseitige Ideal a -~ . a ganz sein muB und ba z (1) umfaBt, ist o - to ~ (1). Daraus fo]gt aber a -~ =-- b. Analog ist a -1 gleichzeitig die Menge aller )., fiir die a). ganz ist.

Sei jetzt la) ein beliebiges ganzes oder gebrochenes Rechtsideal. Unter (a-ll verstehen wir dann die ~llenge aller Elemente )~ aus ~, f i i r die )~ la) ganz ist. Ahnlich erkliireu wir dos Inverse ib -1) eines Links- ideals (5] als Menge etllev ~, f i ir die (51~ ganz ist. Man erkennt sofort, dab in der Tat (a-ll Linksideal und Ib -~) Reehtsideal ist.

280 E. Artin.

c sei jetzt zweiseitig und la)Rechtsideal. Wir bilden das Reehts- ideal Ib) = la)c und wollen (b-ll ----- r (a~ll beweisen. Zun~chs! ist nach Definition yon (a-ll dos Ideal (a- l l . la) ganz, so daft (o-ll �9 la)r Teilmenge yon r ist. Daraus folgt, daft r �9 la)r Teilmenge yon ~-1r ___ (1) ist, so daft jedenfalls r Teilmenge yon (b-ll ist. Beachtet man nun, daft aus I b ) : - l a ) r nach Reehtsmultiplikation mit r folgt: Ib)r -1 = la), so zeigt die gleiche Schluflweise, dab c(b-ll Teilmenge yon (a-ll, also c -1 �9 c(b-ll ~ (1)(b-if = (b-if Teilmenge yon r ist. Damit ist (b-ll ~ r gezeigt.

Mit irgendeinem Rechtsideal ia) bilden wir das zweiseitige Ideal (1).to) = I . l a ) = r Dann ist ]a) Teilmenge yon c, so daft das Reehtsideal Ib)= [a).c -1 ganz ist. Ib) hat die Eigenschaft, daft (1). Ib) = (1). la). r ~__ r r _~_ (1) ist. Da nun Ib) ganz ist, gehOrt (1) zu (b-ll. Folglich ist (b-l]. Ib) umfassender als (1) und, da (b-l] . Ib) ganz ist, (b-l]. Ib) ~ (1). Wegen Ib). c ~ la) und (o-ll = c-1 (b-l[ folgt endlich aUgemein: (a- l[ . [a) = c -1 (b-l]. ib). c ~--- r (1) c = c -1 c = (1).

Um die noch fehlenden Eigenschaften des inversen Ideals zu finden, stellen wir den Zusammenhang mit einer anderen aus der Theorie der algebraischen ZahlkOrper bekannten Bildung her. Wir erinnern an die im ersten Teil dm'ch (7) gegebene Definition der Spur s(a) einer Zahl a. Da s(a) die Spur der Matrix (3) ist und die Spur des Produkts zweier Matrizen nieht yon der Reihenfolge der Faktoren abhangt, so folgt aus (4), daf s ( a # ) = s(#a) ist. Aul~erdem ist die Spur eine lineare Funktion der x~, so daf s(a -~ ~) --~ s(a) -~ s(#) ist.

Einem Rechtsideal la) ordnen wir nun die Menge (a'I oiler Elemente aus ~ zu, fiir die s ( a ~ ) = s()~a) ganz rational ausfallt, wie ouch a aus la) gewahlt wird. Ist ~ Element y o n / , so geh6rt auch jedes a p zu la), so daft s(apX) auch immer ganz rational ist; mit X geh0rt demnach ouch p2 zu (a'i. Die gleich zu zeigende Endlichkeit lehrt dann, daf in der Tat (a'l Linksideal ist. Genau so wird einem Linksideal (hi ein , , k o m p l e m e n t a r e s . R e e h t s i d e a l " Ib') zugeordnet.

Es geniigt offenbar, die Forderung, daf s(a,~) ganz rational sein soll, fiir eine Minimalbasis a~, a~, . . . , a,~ yon la) zu stellen. Es sei

ai = ~ ai~ E~. Wir zeigen, daf man genau ein ~ flnden kann, fiir dos ~'~-1

s(a~t) vorgegebene ganz rationale Werte li hat. Setzen wir namlich

= x~,%, so ergeben sich die Gleichungen: ~ ~ ai,, s (~,, %) xt, : li. / ~ = 1 ~ 1 ~ ' : 1 /

Ist nun (A~k) die zur Matrix ~k) inverse Matrix, so lautet

die L~sung dieser Gleiehtmgen: xi = ~ A~. h,. Ffir ,~ ergibt sieh jetzt

Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen. ~81

) der Wer t : 2 = A~,~ % �9 l~. Offenbar bilden also die n Zahlen ~ = 1 /.L --- 1

n.

~, A,,,,% eine Minimalbasis fiir (a']. Die Norm dieses Ideals ist daher U = = I

die Determinante der Matrix (AID, also das Inverse aer Determinante

1 ~ a,,s(~,,~k) = [aikl . lS(~iEk) l Wegen(11) i s t a l s o N ( a ' l - - 1

]~=1 " D . N [ a ) " Durchl~tuft a alle Elemente von fa), 2 alle Elemente yon (a'l, so fallt s(a2) immer ganz rational aus, Bildet man nun das zu (a'[ komplementiire Ideal [b), so ist [a) Teilmenge yon [b). Nun ist aber NIb)

1 - - D . N ( a ' l ='Nla) ; also ist l b ) - - l a ) . Das zu (a'[ komplementitre

Ideal ist daher unser Ausgangsideal [a). Ffir ein zweiseitiges Ideal fiillt auch das komplementi~re zweiseitig

aus. Insbesondere ist das zu (1) komplementiire Ideal, das wir b - : nennen, zweiseitig. Seine Elemente ~ sind dadurch gekennzeichnet, daft ftir jedes 2 aus (1) = I stets s(t])O ganz rational ausf/~llt. Da die Zahl 1 diese Eigenschaft hat, umfafit b -1 das Ideal (1), so dab b (das Inverse yon b- : ) ganz ist. Das zu b - : komplement/~re Ideal ist wieder (1); eine Zahl ). hat also dann und nur dann die Eigenschaft, da~ ffir jedes ~ aus b - :

1 s tets s (). (~) ganz ist, wenn 2 selbst ganz ist. Uberdies ist N ( b - : ) = -~-.

Nun wollen wir das zu ]a )b - : komplement~re Ideal bilden. Seine Elemente 2 sind dadurch gekennzeichnet, daft s(;~a. ~) ganz ist, wie auch ~ aus b -1 und a aus la) gew/~hlt ist. Nach dem vorhin Gesagten ist dies gleichwertig mit der Forderung, daft jedes s ganz ist, X also zu (a-ll gehOrt. Naehdem nun (a-:[ als das zu la)b -~ komplement/~re Ideal erkannt ist, findet man das zu [a) - - ] a ) b . b - : komplementare Ideal, indem man das Inverse yon la) b bildet. Es ist also (a'[ - - b -~ (a-: i. Analog zeigt man, dal3 das zu b - : (b! komplementi~re Ideal b -~) ist und daft [b') : Ib-:) b - : ist.

Um nun das Inverse von (a-Xl zu bilden, kann man naeh dem soeben Festgeste l l ten auch das komplement/~re Ideal zu b- l (a -X[ auf- suchen. Da aber b - : ( a - : [ = (a'i ist, ergibt sich [a).

Auch die Norm yon (a-r: ist rasch bestimmt. Einerseits wissen

wir, daft N ( a ' l - 1 DNIa) ist; andererseits ist ~vegen ( a ' : - - - b - : ( a - ~ l

1 . N ( a - : i ; also ist N ( a - r ~ - 1 ab.er X(a'! : X ( b ~ ' ) . N ( a - ' [ : -i)- A'[a) "

Fassen wir unsere Ergebnisse zusammen: S a l z 15: Das zum _Rechtsideal i a) .qeh6riqe komplementiire Linksideal

ist b--l(a-:[, das :urn Linksideal (hi .qeh6rige, [b- : )b- : . Dabei ist b-: das 20

282 E. Artin.

zu (1) komplementi~re Ideal. b ist ein ganzes Ideal mit der Norm D. Es heiflt die D i f f e r e n C e yon L

Sa tz 16: Das Inverse des Linksideals (a -a] ist wieder la). Die Norm 1

yon (a -~1 h,tt den Wert -N~d)' und es ist (a-ll . [a) : (1) = 1.

,

Nun soll der Bega'iff der Idealklasse in I erkl~trt werden. Es stellt sich heraus, daft am zweckm~tfligsten der folgende -S~quivalenzbegriff zugrunde gelegt wird, der eine leiehte Modifikation einer von SPEISER vorgeschlagenen Definition ist:

Zwei Rechlsideale ]a) und b) heiflen iiquivalent, wenn e~s in ~ ein Element a gibt, das kein N~dlteiler in ~ ist und f # r das

. la) = gilt.

Man stellt miihelos fest, daft diese Definition transitiv und reflexiv ist, somit eine geeignete Definition ffir eine Klassenbildung ist. Die mit (1) Rquivalenten Rechtsideale sind einfaeh alle Rechtshauptideale [a).

Es soll noch die Norm der beiden Hauptideale (a I und la) unter- sueht werden. Da (a I die Minimalbasis e~ a, e~a, . . . , t, ,a besitzt, ist nach dem im ersten Absehnitt Gesagten die Norm von (a I del' Absolut- betrag tier D~terminante von S(a), wobei die Matrix S(a) durch (3) definiert ist.

Ffir I a) ist ae~, at.o, . . . , ,e , , eine Minimalbasis, woraus man miihelos die Norm yon ia) als den Absolntbetrag tier Determinante T ( a ) erkennt, wobei

(19) T ( . ) = ( t , k ( . ) ) ; ~'-~-1

ist. In halbeinfachen Systemen sind nun die Determinanten yon ,b'(a)

und T(a ) einander gleich. Wir definieren deshalb: Unter der Norm der Zahl a verstehen wir die Determinante der

~Iatrix S(a). Es ist dann:

- y r . ) - .v ( . ! =

Nun kfimlen die'Idealnormen einer Klasse bestimmt werden. Ist

(q, a~, . . . , a,~ eine Minimalbasis yon la), ai = ~ a4,, ~,, und a = ~ x,, e,,. r : l r = l

so ist a.~, . . . : . . . . . .a , , eine Minimalbasis yon - a), nnd es ist

k tz Ct i = ~ (tit, (~t,," X!, $k '


so daft:

lV(~ !a)) = a~ c~.~ = a~ �9 c~. x,.

ist. Das Ziel dieses Abschnitts ist, die Endliehkeit tier Anzahl tier

Idealldassen zu zeigen. Wir beweisen zunachst: H i l f s s a t z 3: In jedem ganzen Rechtsideal [a) gibt es eine van 0

verschiedene Zahl a ~ xl ~1 -~ x~ e~ ~- .. �9 + x,, e,, van der Art, daft n

[x,[ ~ VN]a) ist. Beweis: Im n-dimensionalen Raum mit den Cartesisehen Koordinaten xr

ist jedem Element yon I ein Punkt des wiirfelf0rmigen Gitters der Kanten- l~tnge 1 zugeordnet. Die Zahlen des Ideals [a) bilden ein Teilgitter, dessert Grundmasche das Volumen Nla ) besitzt. Die Menge aller Punkte

des Raums mit [x~[ ~ VN~a) bildet einen Wfiffel mit einem Volumen yon 2nNla). Naeh einem bekannten Satz yon MmKOWSK! fiber konvexe K0rper gibt es also einen vom Ursprung verschiedenen Punkt des Ideal- gitters, der dem Wfirfel angeh0rt.

Wir werden unser Ziel leicht erreichen k0nnen, wenn es gelingt zu zeigen:

Sa tz 17: Es gibt eine reelle positive, nur van I abh~ngige Zahl C yon der Art, daft es in jedem Rechtsideal [a) einen N.ichtnullteiler a gibt, so daft

IN=I = c . N l a ) .

Zun~chst ist klar, daft es gentigt Satz 17 ffir ganze Ideale zu beweisen, da jedes gebrochene Ideal nach Multiplikation mit einer ganzen rationalen Zahl ganz wird und dabei die Normen von Zahlen und Idealen mit M n multipliziert werden. Beim Beweis verwenden wir eine Reihe yon weiteren Hilfssiitzen:

H i l f s s a t z 4: Satz 17 ist richtig in Systemen ~ ohne NuUteiler. Beweis: Die Norm der Zahl a = xl el ~ x~ e~ ~ . - . -4- xn en ist eine

ganze rationale homogene Funktion der n Variablen x~. Es sei C das Maximum des Absolutbetrages dieser Funktion ffir [xi] < 1. Da sie homogen vom n-ten Grade ist, ist also h n �9 C ihr Maximum im Bereich [x~[ ~ h. Nun w~hle man im Ideal [a) nach Hilfssatz 3 die Zahl a # 0

n

so, daf ]xi[ ~ VN[a) ist. ])ann ist INa i <= C. Nla) und a kein Null- teller, da es ja keine Nullteiler gibt.

H i l f s s a t z 5: Sind I u n d -To zwei Maximalordnungen van ~ und ist ~atz 17 richtig fi~r Io, so ist er auch richtig 9~r I .

Beweis: Sei ~ , ~ , . . . , e~ eine Minimalbasis fiir I , 'h, ~s, - . . , ' ~ eine solcbe ffir I , . Die ganze rationale Zahl M sei so gewahlt, daft

284 E. Artin

M ~ , M~.~, . . . , M~, zu I geh0ren. Nun sei ]a) Rechtsideal in J . Man bride ib) =:= Mla)fo = ia)-M]o, lb) ist ersichtlieh Rechtsideal in Io. Da M]o ganz zu I gelt6rt, ist Ib) eine Teilmenge van la). Da abel' in Io die 1 vorkommt, umfaflt [b) sieher die Menge Mla). In /. ist Ib) kein Rechtsideal, sondem nur Modul. Die Anzahl der Restklassen van I nach dem Modul Ib) ist h6ehstens die naeh der Teilmenge M]a), also hOehstens M n. Nla). Ist also ~ , $8, " - ' , / ~ eine Minimalbasis ffir Ib), so folgt aus (12), daft die Diskriminante des Systems /~i h0chstens den Absolutbetrag (M n NIo)) ~[D I hat, wo D die I)iskriminante van I i s t . Wieder wegen (12) ist andererseits diese Diskriminante gleich (N[b))SlDol, wo N[b) die Norm des Reehtsideals Ib) in Io und Do

die Diskriminante van Io ist. Also ist _NIb ) < M". NIo)"V

4 . ?

= !Dol " Da in Io Satg 17 riehtig ist, gibt es in Ib) einen Nichtnulltefler ~,

fi~r den gilt:

- - "W I D o l "

1I 1 geh6rt zu [b), also sicher zu io), und C. . l l D o I h~tngt nicht

yon [a) ab. Damit sind wir fertig. H i l f s s a t z 6: Ist ~ ein einfaches System, so ist Satz 17 richtig fiir

eine passend gewiihlte Ma~cimalordnung, nach Hilfssatz 5 also fiir jede lllaximalordnung von ~ .

Beweis: @ ist das direkte Produkt eines Systems e~: yon q2 Ma- trizeneinheiten mit einem System ~o ohne Nullteiler. Es sei Io irgendeine Maximalordnung yon @o, und Co sel die in Satz 17 vorkommende Konstante ftir Ia.

Unter I verstehen wir die Menge aller Elemente der Form ~,~aikeik, wobei aik beliebig der Ordnung Io entnommen ist. Daft 1

Maximalordnung yon ~ ist, kann man leicht zeigen (vgl. etwa DmKS0N w 97). Nun sei ]a) ein ganzes Reehtsideal in / . Geh6rt a ~ ~f, eik am

f,k zu ]a), so ist auch a. e,.~ ~ ~.eis air Element yon IQ). Denkt man sieh a

in Matrizenform geschrieben, so ist a . e~s eine Matrix, in der alle Elemente his auf die der s-ten Spalte 0 sind; in der s-ten Spalte aber kommen die Elemente der r-ten Spalte von a vor. Diese Uberlegung lehrt, dai] es nut auf die Menge der Spalten ankommt, die bei den Elementen von [o) auftreten. Aufierdem hat man noch - - dann wird die Idealeigenschaft yon la) roll ausgenutzt sein - - die Rechtsmultipli- kation mit irgendeinem Element yon Io zu gestatten. Die Menge der Spalten yon In) hat also die Eigensehaft, da~ mit zwei Spalten auch


ihre Summe zur Menge gehOrt und daft man eine Spalte mit einem beliebigen Element aus Io yon reehts her multiplizieren daft. Man betrachte nun die Teilmenge derjenigen Spalten, deren erste 1 - -1 Elemente versehwinden und in diesen Spalten das /-te Element. Diese Zahlen bilden ein Reehtsideal ]a~) in Io. Es m6ge nun _~(~ ein volles Repritsentantensystem der Restklassen yon la~) in Io durehlaufen. Dann durehli~uft _,~ .~) ~:k ersiehtlieh ein volles Reprasentantensystem modulo la)

i ,k in L Man reduziere n~tmlieh zun~tchst die erste Zeile eines beliebigen Elements yon 1 modulo la~); dann die zweite Zeile modulo las) usw. Bedeutet also ~\o die Norm in 3"0, so ist:

(20) Nla) ~ (No [a,) No [a2) . . . No Ictq))q.

Nun bestimme man in lat) einen Niehtnullteiler at, ftir den gilt: I~Vo-l[ ~ Co--~o laz). ~., sei eine Spalte von fa), deren erste ( l - - l ) Elemente versehwinden, und deren l-tes Element at ist. Unter a verstehe man dasjenige Element aus ]a), dessen erste Spalte S~, dessen zweite Ss, . . . ist. Betraehtet man das Hauptideal [a), so sind ]al), [a , ) , . . . , [aq) gerade die Reehtsideale in Io, die den Bildungen [a~), la,), . . . , laq) ent- spreehen. Daraus folgt:

(21) [ N a I = ( i~O- l i " IN o - , I - " iNo%[) q.

Wegen I;No aii <:-CoNo iai) und (20) folgt nun endlieh

I T q:~ ~ " 1 ~ Cd .Nla ) ,

womit wir am Ziel sind, da a wegen (21) kein Nullteiler ist. Der restliche Teil des Beweises yon Satz 17, der t?bergang yon

einfachen Systemen zu beliebigen halbeinfaehen, macht keine Schwierig- keit mehr und kann dem Leser iiberlassen bleiben. Man hat nur zu beachten, dab sowohl das System ~ als auch die Maximalordnung I direkte Summe wird.

Nun folgt sofort: Sa tz 18: Die Anzahl der Idealklassen ist endlich. Beweis: Es sei ~ eine Klasse von Reehtsidealen und la) ein Reehts-

ideal aus ~. 1)ann gibt es im Linksideal (a-ll einen Nichtnulltefler a, ftir den ]Na I <~ C.N(a-I[ ist, wo C eine nut yon I abhangige Kon- stante bedeutet. Setzt man t b ) ~ a la), so geh6rt auch Ib) zu 5~, und es ist [b) nach Definition von (a-ll ganz. Ferner ist naeh Satz 16:

C' N i6) = . v . x a) =< ~-~v_~. ~ ' ia) = c'.

, v ia )

286 E. Artin.

In jeder Idealldasse gibt es also ein ganzes Ideal mit einer Norm kleiner als C. Da es nut endlieh viele ganze Ideale fester Norm gibt, ist Satz 18 bewiesen.

=

Es sollen nun noch einige Ergebnisse yon BRANIYI auf beliebige Systeme iibertragen werden. Die dabei gewonnenen Einsichten geben tiberhaupt erst einen genaueren Einbliek in den Bau einseitiger Ideale. Wir wollen in diesem Abschnitt die Klammer und den Strieh bei einem einseitigen Ideal ]a) weglassen (also kurz a schreiben), da sie sieh gleich als unwesentlich herausstellen werden.

Sei also a ein Rechtsideal der Maximalordnung I u n d a -1 das zu a inverse Linksideal in I . Dann ist a - l a - ~ I und a das zu a - l inverse Ideal. Wir betrachten nun die Menge I ' aller ganzen oder gebrochenen Elemente ~ yon ~ , ftir die Z a yon a umfaBt wird. Man findet:

1. Mit zwei Elementen geh0rt auch Summe, Differenz und Produkt dieser Elemente zu I ' .

2. Geh0rt Z zu I ' , so ist ~A Element yon a, wenn A ~ 0 ganz rational aus a gew~thlt ist. A �9 I ' wird also yon a umfaBt. Da a endlieh ist, ist aueh A I ' also I t endlich.

3. Es ist aa - 1 . a ~ a . a - l a ~ a I ~ a, so daft aa -~ zu I '

geh6rt. Insbesondere geh0rt also Ao -1 zu I ' , so daft in I ' sicher n linear unabh~ngige Elemente liegen.

4. 1.geh0rt zu I ' , so daft I ' a sieher a umhflt. Da andrerseits naeh Definition yon ] ' die Menge I ' a yon a umfaft wird. ist I ' a ~ o.

Damit ist I ' als 0rdnung erkannt. Wir behaupten, daft I ' sogar Maximalordnung yon ~ ist. Sei n~mlich I " eine I ~ umfassende Ordnung. Wir setzen Io ~ a - l I " a . Da I " umfassender als I ' ist, umfaft aueh lo den Bereieh a - ' l ' a ~-- a - ' a ~ I . Ferner ist I o I o ~ a - ~ l " a a - ~ l " a.

Es ist a a - ' Teilmenge yon I ' , also auch yon I " , so daft I o l o Teil- menge yon a - ' I " I " 1 " a --~ a -~ I " a -~- Io ist. (~berdies ist Io endlich, also Ordnung. Da 1 maximal ist, muft lo ~ I sein. Damit ist a -1 � 9 a ~- 1 gezeigt. Die Elemente ~ yon I " a haben also die Eigenschaft, daft a- 't~ ganz ist, geh0ren demnach zu a. Nach Definition yon I ' ist also I " Teilmenge. yon I ' . Daraus folgt aber I " - ~ I ' und wir sind zu Ende.

Aus o - ~ I ' a ~ I folgt auch (naeb Definition yon a-l), daft a - 1 1 '

zu a - ' geh6rt. Da andrerseits 1 zu I ' gehth~, ist a -11 ' ~ a -1. Setzt man also c ----- a �9 a - ' , so ist I ' c ~ c I ' - - c, also c ein zweiseitiges ideal der Maximalordnung I ' , dos der Gleichung c ~ --~ a a - ' o a -~ ~ a I a -~ ~ - a a -~ --~ c

gentigt. Wegen der eindeatigen Zerlegbarkeit zweiseitiger Ideale in 1 ' folgt nun c ~ I ' , so daft aa -1 ~ I ' bewiesen ist.


Wir sehen also, daft unser Rechtsideal a in einer eindeutig bestimmten anderen Maximalordnung 1' Linksideal ist. Bflden wir das Inverse b des Linksideals a in I ' , so ist a b ~ / ' . Multiplizieren wir yon links mit a -1, so folgt I b ~- a - a I ' ~ a -~. Da 1 zu I g e h 0 r t , ist b Tefl- menge yon a -~. Wegen a . o-1 ~- / ' ist aber nach Definition yon b auch a - t Teflmenge yon b, so daiS b = e -~ ist. Damit ist erkannt, daft die Bildung des Inversen in beiden Maximalordnungen zum gleichen Resultat fQhrt.

Bedeutet D die Diskriminante yon ]~, so ist (vgl. (12)) die Dis- kriminante einer Minimalbasis yon e gleich (No) t. D. Wegen Satz 16 hat die Diskriminante einer Minimalbasis yon Q-1 den Wer t (Na) -~. D, so daft (Na) ~ als Quotient der Diskriminante einer Minimalbasis yon e durch die einer Minimalbasis yon a -1 zu erkl~ren ist. Hierin ist alles unabh~ngig yon I, so daft aueh in ] ' das Ideal a die gleiehe Norm erh~dt. Naehdem nun No als invariant erkannt ist und die Diskriminante einer Minimalbasis yon a den Weft (Na) 2 �9 D besitzt, ist aueh D als Invariante erkannt.

Man wird nun umgekehrt fragen, ob zu zwei vorgelegten Maximal- ordnungen I und 1' stets ein Ideal existiert, das Rechtsideal in f und Linksideal in I ' ist. Als solehes Ideal ist sofort das Produkt a ~ 1'. I erkannt. Wiinscht man ein ganzes Ideal zu haben, so kann man a dureh Multiplikation mit einer geeigneten ganzen rationalen Zahl M in ein solches verwandein.

Endlich ist auch der Begriff ,,ganz" invariant. Ist n~mlieh a ganzes Rechtsideal in 1, so ist a. a Teilmenge von a, so dais nach Definition von 1 ' aueh a zu I ' geh~rt. Fassen wir unsere Ergebnisse zusammen:

S a t z 19: Jedes Rec~tsideal a aus l i s t in einer eindeutig bestimmte~ Maximalordnung 1' Linksideal, und zu vorgegebener Maximalordnung I ' gibt es stets ein Rechtsideal a aus I, das Linksideal in ] p ist. Man finder I t a u s a, indem man I ~ a. a -1 bildet. Diese Formel kann iibrigens durch die vielleicht suggeslivere, praktisch aber unwesentliche Formel I ' - - - - -a la -1 ersetzt werden. Die Begriffe inverses Ideal, Norm sowie das Pr~idikat ganz sind unabhgngig davon, ob man a als Rechtsideal in I oder als Linksideal in I t betrachtet. Endlich sind die Diskriminanten aller Maximalordn~mgen des Systems ~ einander gleich.

Man sieht also, wie man aus einer Maximalordnung alle anderen bestimmen kann. Es liegt nun nahe, die verschiedenen Maximalordnungen in Typen einzuteilen, gemi~is folgender Definition:

Zwei Maximalordnungen I1 und I~ sollen zum gleichen Typz~s .qe- h6ren, wenn es einen ~Tchtnullteiler a in ~ gibt, so daft I~ -~- a la a -1 ist.

Ersichtlich ist diese Definition transitiv and reflexiv; fel-ner sind Maximalordnungen v ore gleichen Typus isomoroh und gehen sogar durch

288 E. Artin.

einen inneren Automorphismus yon ~ auseinander hervor. Man kann sogar zeigen, daft im Falle eines einfachen Systems Maximalordnungen versehiedener Typen nicht isomorph sind, doch soil dies bei einer anderen Gelegenheit ausgefiihrt werden.

Man wird nun fragen, welche Rechtsideale a in I dutch die Bildung a a -1 zu gleichen Typen fiihren.

Es sei also I1 = a a -~, Is = b. b -~, wobei a und b Rechtsideale in I sind, so daft a - l a - b-~b -~- I i s t . F e l l e r sei a ein Nichtnullteiler und 1~ =- a / i a -J. Aus b b - 1 = a a a -1 a -1 f'olgt nach Rechtsmultiplikation mit b, daft

b : a . a . a - l a "~ lb ,

also b = a a . c ist, wo c = - a - S a - l b gesetzt wurde, b ist Rechtsideal, a -1 Linksideal, also c zweiseitiges Ideal in I .

Ist umgekehrt b = a a r wo c ein zweiseitiges Ideal in I i s t , und setzt man I 1 - ~ - a a -1, so gilt:

Somit ist b Linksideal in a I~ a -1 ------ I2, und a und b fiihren zum gleichen Typus. Wir haben also:

S a tz 20: D/e Anzahl der verschiedenen Typen yon Maximahn'dnunqen ist gleich der Anzahl der Idealklassen yon Rechtsidealen einer beliebigen Maximalordnung I, fa l l s f olgende Aquivalenzdefinitiqn zugrunde getegt wird :

Zwei Rechtsideale a und b van I heiflen dq~dvalent, n'enn es einen NicAtnullteiler a und ein zweiseitiges Ideal c aus I .qibt, so daft b ~ a a c ~t.

Da zwei im frtiheren Sinn ~quivalente Rechtsideale es auch sicher im neuen Sinn sind (man w~hle c ~ / ) , so folgt aus Satz 18:

S a t z 21: Es gibt nur endlich viele Typen yon Maximalordnungen in einem vorgegebenen System ~ .

Nach dem Vorgang yon BaANDT wird man nun die Einschrankung auf eine Maximalordnung aufgeben und die Gesamtheit aller Mengen a betrachten, die Rechtsideale iu irgendeiner Maximalordnung sind. Nach Satz 19 sind dann auch alle Linksideale einer Maximalordnung in diesem System enthalten.

In dieser Erweiterung fiihrt nun BRANDT einen iiberaus zweck- mii~igen Klassenbegriff ein:

Zwei ldeale a und b heiflen iiquivalent, wenn es in ~ zu'ei Nicht- nullteiler a und ~ gibt, so daft


ist. Wenn a in I~ Reehtsideal und in Iz Linksideal ist, ist b in #-x It # Rechtsideal und in a l z a -x Linksideal.

Es seien nun 11, Iz, . . . , Ik Repr'asentanten der endlieh vielen Typen you Maximalordnungen. Ist ~ eine BaA~DTsche Klasse und a ein Ideal aus ~ , das etwa in S i r ~-x Rechtsideal ist, so ist aS ein Ideal, das in

�9 . a ~) Repr~tsentanten der Klassen I~ Rechtsideal ist. Sinai nun a~ ~), a(2 ~), ", h~

yon Reehtsidealen aus Iv im Sinne der Aquivalenzdefinition des vorigen Abschnitts, so kann a so gew~thlt werden, daft a aS eines unserer Ideale a~ ~) wird. Damit ist gezeigt:

Sa tz 22: D/e Anzahl der Idealklassen im BRANDTschen 8 inn ist endlich.

H a m b u r g , Mathematisehes Seminar, Februar 1927.

Documents

Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen