8/8/2019 Zeta Function Regularization of Path Integrals

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Comm un. m ath. Phy s. 55, 1 33--148 (1977) Com munications nM a t h e m a t i c a lPhys s by Springer-Verlag 1977

Z e t a F u n c t i o n R e g u l a r i z a t i o n o f P a t h I n t e g r a l si n C u r v e d S p a c e t i m eS . W . H a w k i n gDepartm ent of A pplied Mathematics and TheoreticalPhysics, Un iversityof Cambridge,Cambridge CB3 9E W , England

A b s t r a c t . T h i s p a p e r d e s c r i b e s a t e c h n i q u e f o r r e g u l a r i z i n g q u a d r a t i c p a t hi n t eg r a l s o n a c u r v e d b a c k g r o u n d s p a c et im e . O n e f o r m s a g e n e r al i z ed z et af u n c t i o n f r o m t h e e i g e n v a l u es o f t h e d i f f e re n t i a l o p e r a t o r t h a t a p p e a r s i n t h ea c t i o n i n t e gr a l. T h e z e t a f u n c t i o n is a m e r o m o r p h i c f u n c t i o n a n d i ts g r a d i e n t a tt h e o r i g in i s d e f i n e d t o b e t h e d e t e r m i n a n t o f t h e o p e r a t o r . T h i s t e c h n i q u e a g r e e sw i t h d i m e n s i o n a l r e g u l a r i z a t i o n w h e r e o n e g e n e r a l i s e s t o n d i m e n s i o n s b ya d d i n g e x t r a f ia t d i m e n s i o n s . T h e g e n e r a li z e d z e t a f u n c t i o n c a n b e e x p r e s s e d a sa M e l li n t r a n s f o r m o f th e k e r n e l o f th e h e a t e q u a t i o n w h i c h d e s c ri b e s d i ff u s i o no v e r t h e f o u r d i m e n s i o n a l s p a c e ti m e m a n i f o l d i n a f i th d i m e n s io n o f p a r a m e t e rt im e . U s i n g t h e a s y m p t o t i c e x p a n s i o n f o r t h e h e a t k e rn e l , o n e c a n d e d u c e t h eb e h a v i o u r o f t h e p a t h i n t e g ra l u n d e r s c a le t ra n s f o r m a t i o n s o f th e b a c k g r o u n dm e t r ic . T h i s s u g g e st s t h a t t h e r e m a y b e a n a t u r a l c u t o f f i n t h e i n te g r a l o v e r a l lb l a c k h o l e b a c k g r o u n d m e t r ic s . B y f u n c t i o n a l l y d i f f e r e n t ia t i n g t h e p a t h i n t e g r a lo n e o b t a i n s a n e n e r g y m o m e n t u m t e n s o r w h i c h is f in it e e v e n o n t h e h o r i z o n o f ab l a c k h o le . T h i s e n er g y m o m e n t u m t e n s o r h as a n a n o m a l o u s t ra c e.

1 . I n t r o d u c t i o nT h e p u r p o s e o f th i s p a p e r is t o d e s c ri b e a t e c h n i q u e f o r o b t a i n i n g f in i te v al u e s t op a t h i n t e g r a l s f o r f i el d s ( i n c l u d i n g t h e g r a v i t a t i o n a l f ie ld ) o n a c u r v e d s p a c e t i m eb a c k g r o u n d o r , e q u i v a l e n t ly , f o r e v a l u a t i n g t h e d e t e r m i n a n t s o f d if f e re n t i a lo p e r a t o r s s u c h a s th e f o u r -d i m e n s i o n a l L a p l a c i a n o r D ' A l e m b e r t i a n . O n e f o r m s ag e m e r a l i s e d z e t a f u n c t i o n f r o m t h e e i g e n v a l u es 2 , o f t h e o p e r a t o r

= s . ( 1 . 1 )n

I n f o u r d i m e n s i o n s t h i s c o n v e r g e s f o r R e ( s) > 2 a n d c a n b e a n a l y t i c a l ly e x t e n d e d t o am e r o m o r p h i c f u n c t i o n w i t h p o l e s o n l y a t s = 2 a n d s = 1. I t is r e g u l a r a t s = 0 . T h ed e r iv a t iv e a t s = 0 is f o r m a l ly e q u a l t o - ~ l o g 2 , , T h u s o n e c an d ef in e t h e

nd e t e r m i n a n t o f t he o p e r a t o r t o b e e x p ( - d ~ / d s ) [s = o.

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134 s .w . HawkingI n s i t u a t i o n s i n w h i c h o n e k n o w s t h e e ig e n v a l u e s e xp l ic i tl y o n e c a n c a l c u l at e t h e

z e t a f u n c t i o n d i r e c tl y . T h i s w i ll b e d o n e i n S e c t i o n 3 , f o r t h e e x a m p l e s o f t h e r m a lr a d i a t i o n o r t h e C a s i m i r e f fe c t i n f l a t s p a c e ti m e . I n m o r e c o m p l i c a t e d s i t u a t io n s o n ec a n u s e t h e f a c t t h a t t h e z e t a f u n c t i o n is r e la t e d b y a n i n v e rs e M e l li n t r a n s f o r m t ot h e t r a c e o f t h e k e r n e l o f t h e h e a t e q u a t i o n , t h e e q u a t i o n t h a t d e s c r i b e s t h e d i f f u s i o no f h e a t ( o r in k ) o v e r t h e f o u r d i m e n s i o n a l s p a c e t i m e m a n i f o l d i n a f i ft h d i m e n s i o n o fp a r a m e t e r t i m e t . A s y m p t o t i c e x p a n s i o n s f o r t h e h e a t k e r n e l in t e rm s o f in v a r i a n t so f th e m e t r ic h a v e b e en g i v en b y a n u m b e r o f a u t h o r s [ t - 4 ] .

I n t h e la n g u a g e o f p e r t u r b a t i o n t h e o r y t h e d e t e r m i n a n t o f a n o p e r a t o r ise x p r es s e d a s a s in g le c lo s e d l o o p g r ap h . T h e m o s t c o m m o n l y u s e d m e t h o d f o ro b t a i n i n g a f i n i te v a l u e f o r s u c h a g r a p h i n f l a t s p a c e t i m e is d i m e n s i o n a lr e g u l a r i z a t i o n i n w h i c h o n e e v a l u a t e s th e g r a p h i n n s p a c e t i m e d i m e n s i o n s , t r e a ts na s a c o m p l e x v a ri a b l e a n d s u b t r a c t s o u t t h e p o l e t h a t o c c u r s w h e n n t e n d s t o f o u r.H o w e v e r i t is n o t c l e a r h o w o n e s h o u l d a p p l y t h is p r o c e d u r e t o c l o s ed l o o p s i n ac u r v e d s p a c e ti m e . F o r i n s ta n c e , i f o n e w a s d e a l i n g w i t h t h e f o u r s p h e re , t h eE u c l i d e a n v e r s i o n o f d e S i t te r s p ac e , it w o u l d b e n a t u r a l t o g e n e r a li z e t h a t S ~ t o S "[ 5, 6 ] . O n t h e o t h e r h a n d i f o n e w a s d e a l in g w i t h t h e S c h w a r z s ch i l d s o l u t io n , w h i c hh a s t o p o l o g y R 2 x S 2, o n e m i g h t g e n e r a li z e t o R 2 x S " - 2 . A l t e r n a t i v e l y o n e m i g h ta d d o n e x t r a d i m e n s i o n s t o t h e R 2. T h e s e a d d i t i o n a l d i m e n s i o n s m i g h t b e e i t h e r f l ato r c u r v e d . T h e v a l u e t h a t o n e w o u l d o b t a i n f o r a c lo s e d l o o p g r a p h , w o u l d b ed i f f e r e n t i n t h e s e d i ff e r e n t e x t e n s i o n s t o n d i m e n s i o n s s o t h a t d i m e n s i o n a lr e g u l a r i z a t i o n i s a m b i g u o u s i n c u r v e d s p a c e t i m e . I n f a c t i t w i ll b e s h o w n in S e c t i o n5 t h a t t h e a n s w e r g i v e n b y th e z e t a f u n c t i o n t e c h n i q u e a g r e e s u p t o a m u l t i p le o f th eu n d e t e r m i n e d r e n o r m a l i z a t i o n p a r a m e t e r w i t h t h a t g i v e n b y d i m e n s i o n a l r e -g n l a r i z a t i o n w h e r e t h e g e n e r a l i z a t io n t o n d i m e n s i o n s i s g i v e n b y a d d i n g o n e x t r af i a t d i m e n s i o n s .

T h e z e t a f u n c t i o n t e c h n i q u e c a n b e a p p l i e d t o c a l c u l a te th e p a r t i t i o n f u n c t i o n sf o r t h e r m a l g r a v i to n s a n d m a t t e r q u a n t a o n b l a c k h o l e a n d d e S i tt e r b a c k g r o u n d s .I t g i v es f i n it e v a l u e s f o r th e s e d e s p i t e t h e i n f i n i t e b l u e s h i f t o f t h e l o c a l t e m p e r a t u r eo n t h e e v e n t h o r i z o n s . U s i n g t h e a s y m p t o t i c e x p a n s i o n f o r t h e h e a t k e r n el , o n e c a nr e l a te t h e b e h a v i o u r o f t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n u n d e r c h a n g e s o f s c al e o f t h eb a c k g r o u n d s p a c e t i m e to a n i n t e g r a l o f a q u a d r a t i c e x p r e s s i o n i n t h e c u r v a t u r et e n s o r . I n t h e c a s e o f d e S i t te r s p a c e t h is c o m p l e t e l y d e t e rm i n e s t h e p a r t i t i o nf u n c t i o n u p t o a m u l t ip l e o f th e r e n o r m a l i z a t i o n p a r a m e t e r w h i le i n t h eS c h w a r z s c h i l d s o l u t i o n i t d e t e r m i n e s t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n u p t o a f u n c t i o n o f rUMw h e r e r 0 is t h e r a d i u s o f th e b o x c o n t a i n i n g a b l a c k h o l e o f m a s s M i n e q u i l i b r i u mw i t h t h e r m a l r a d i a t io n . T h e s c a li n g b e h a v i o u r o f t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n s u g g es t st h a t t h e r e m a y b e a n a t u r a l c u t o f f a t s m a l l m a s s e s w h e n o n e i n t e g r a te s o v e r al lm a s s es o f t h e b l a c k h o l e b a c k g r o u n d .

B y f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a t i n g t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h eb a c k g r o u n d m e t r i c o n e o b t a i n s th e e n e rg y m o m e n t u m t e n s o r o f th e t h e r m a lr a d i a t i o n . T h i s c a n b e e x p r e s s e d i n t e rm s o f d e r iv a t i v es o f t h e h e a t k e r n e l a n d i sf in i te e v e n o n t h e e v e n t h o r i z o n o f a b l a c k h o l e b a c k g r o u n d . T h e t r a c e o f t h e e n e r g ym o m e n t u m is re l a te d t o t h e b e h a v i o u r o f th e p a r t i ti o n f u n c t io n u n d e r s ca let r a n s f o r m a t i o n s . I t is g i v e n b y a q u a d r a t i c e x p r e s s i o n in t h e c u r v a t u r e a n d is n o nz e r o e v e n f o r c o n f o r m a l l y in v a r i a n t f ie ld s [ 7 - 1 2 ] .

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Zeta Fu nction Regularizationof Path Integrals t35T h e e f f e c t o f t h e h i g h e r o r d e r t e r m s i n t h e p a t h i n t e g r a ls is d is c u s s e d in S e c t i o n 9 .

T h e y a r e s h e w n t o m a k e a n i n s ig n i f ic a n t c o n t r i b u t i o n t o t h e p a r t i ti o n f u n c t i o n f o rt h e r m a l r a d i a t i o n i n a b l a c k h o l e b a c k g r o u n d t h a t is s ig n i f ic a n t ly b i g g e r th a n t h eP l a n c k m a s s . G e n e r a l i s e d z e t a f u n c t i o n s h a v e a l s o b e e n u s e d b y D o w k e r a n dC r i t c h l e y [ 1 1 ] t o r e g u l a r i z e o n e - l o o p g r a p h s . T h e i r a p p r o a c h i s r a t h e r d i f f e r e n tf r o m t h a t w h i c h w i ll b e g i v e n h e re .

2 . P a t h In t e g r a lsI n t h e F e y n m a n n s u m o v e r h is to r ie s a p p r o a c h t o q u a n t u m t h e o r y o n e co n s id e rse x p r e s s i o n s o f t h e f o r m

Z = ~ d [ g ] d [ 4 ] ex p { i I [ g , (h i} , (2 .1)w h e r e d [ g ] i s a me asu re o n the sp ace o f me t r i c s g , d [~ b] i s a m easu re on the space o fm at te r f ie lds ~b an d I [ 9 , ~b] i s the a c t ion . Th e in tegra l is t ak en ov er a l l f ie lds g an d q5t h a t s a t i s fy c e r t a i n b o u n d a r y o r p e r i o d i c i t y c o n d i t i o n s . A s i t u a t i o n w h i c h i s o fp a r t i c u l a r i n t e r e s t i s t h a t i n w h i c h t h e f ie l ds a r e p e r i o d i c in i m a g i n a r y t i m e o n s o m eb o u n d a r y a t l a r g e d i s ta n c e w i t h p e r i o d f l [ 1 3]. I n t h i s ca s e Z is th e p a r t i t i o n f u n c t i o n

1f o r a c a n o n i c a l e n s e m b l e a t t h e t e m p e r a t u r e T = -f i "T h e d o m i n a n t c o n t r i b u t i o n t o t h e p a t h i n t eg r a l (2 .1 ) w i ll c o m e f r o m f ie ld s t h a ta r e n e a r b a c k g r o u n d f i e l d s g o a n d ~ bo w h i c h s a t i sf y t h e b o u n d a r y o r p e r i o d i c i tyc o n d i t i o n s a n d w h i c h e x t r e m i s e t h e a c t i o n i.e . t h e y s a t i s fy th e c l as s ic a l f ie lde q u a t i o n s . O n e c a n e x p a n d t h e a c t i o n i n a T a y l o r s e r i e s a b o u t t h e b a c k g r o u n dfie lds :

I [g , ~b] = I [g0, ~ bo]+ I 2 [ g ] + I z [q~] + h ig he r or de r te rm s, (2.2)w h e r e

9 = 9 0 + 0 , ~ b = ~ b 0 + q ~a n d 1210] a n d I 2[q ~ a r e q u a d r a t i c i n t h e f l u c t u a t i o n s 0 a n d ~ . S u b s t i t u t i n g (2 .2 )i n t o ( 2 . 1) a n d n e g l e c t in g t h e h i g h e r o r d e r t e r m s o n e h a s

l o g Z = i I [go , d?o] + log ~ d [0] exp i I 2 [0 ]+ log ~ d[q~] exp i I 2 [q~]. (2.3)

T h e b a c k g r o u n d m e t r i c g o w i ll d e p e n d o n t h e s it u a t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n b u ti n g e n e r a l it w il l n o t b e a r e a l L o r e n t z m e t ri c . F o r e x a m p l e i n d e S i t t e r sp a c e o n ec o m p l e x i ti e s t h e s p a c e t i m e a n d g o e s t o a s e c ti o n ( th e E u c l i d e a n s e c ti o n ) o n w h i c ht h e m e t r i c is th e r e a l p o s i t iv e d e f i n i t e m e t r i c o n a f o u r s p h e r e . B e c a u s e t h e i m a g i n a r yt i m e c o o r d i n a t e i s p e r i o d i c o n t h i s f o u r s p h e r e , Z w i ll b e t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n f o r ac a n o n i c a l en s e m b l e . T h e a c t i o n I [ g o , qS0] o f t h e b a c k g r o u n d d e S i tt e r m e t r i c g i ve st h e c o n t r i b u t i o n o f t h e b a c k g r o u n d m e t r ic t o t h e p a r t it i o n f u n c t i o n w h i le t h es e c o n d a n d t h i r d t e r m s i n E q u a t i o n (2 .3 ) g i v e t h e c o n t r i b u t i o n s o f t h e r m a l g r a v i t o n sa n d m a t t e r q u a n t a r e sp e c ti v el y o n t h i s b a c k g r o u n d . I n t h e c a se o f th e c a n o n i c a l

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136 s .w . Hawkinge n s e m b l e f o r a s p h e r ic a l b o x w i t h p e r f e c t l y r e f le c t in g w a ll s t h e b a c k g r o u n d m e t r i cc a n e i t h e r b e t h a t o f a E u c l i d e a n s p a c e o r i t c a n b e t h a t o f a s e c t io n ( t h e E u c l i d e a ns e c t i o n ) o f t h e c o m p l e x i f i e d S c h w a r z s c h i t d s o l u t i o n o n w h i c h t h e m e t r i c i s r e a lp o s i ti v e d e fi n it e . A g a i n th e a c t i o n o f t h e b a c k g r o u n d m e t r i c g iv e s t h e c o n t r i b u t i o no f th e b a c k g r o u n d m e t r i c to t h e p a r t i t io n f u n c ti o n . T h i s c o r r e s p o n d s t o a n e n t r o p ye q u a l t o o n e q u a r t e r o f th e a r e a o f t h e e v e n t h o r i z o n i n u n i ts i n w h i c h G = c = h= k = 1. T h e s e c o n d a n d t h i r d t e rm s i n E q u a t i o n ( 2.3 ) g iv e t h e c o n t r i b u t i o n s o ft h e r m a l g r a v i to n s a n d m a t t e r q u a n t a o n a S c h w a r z s c h il d b a c k g r o u n d . I n t h e c a se o ft h e g r a n d c a n o n i c a l en s e m b l e f o r a b o x w i t h t e m p e r a t u r e T = f i - 1 a n d a n g u l a rv e l o c i ty f~ o n e c o n s i d e r s f ie ld s w h i c h , o n t h e w a l ls o f t h e b o x , h a v e t h e s a m e v a l u e a tthe p oi n t ( t, r , 0, qS) an d at the po in t ( t + i f l , r , O , 4 ~ + i f i f 2 ) . T h i s b o u n d a r y c a n n o t b ef il le d in w i t h a n y r e a l m e t r i c b u t i t c a n b e f il le d i n w i t h a c o m p l e x f l a t m e t r i c o r w i t ha c o m p l e x s e c ti o n ( th e q u a s i E u c l i d e a n s e c t i o n [ 1 3 ] ) o f t h e K e r r s o l u t i o n . I n b o t hca se s t he m e t r i c is s t ron g ly e ll ip t ic ( I am g ra t e fu l t o D r . Y . M an o r fo r t h i s po in t ) [14 ]i f t h e r o t a t i o n a l v e l o c i ty o f th e b o u n d a r y i s l es s t h a n t h a t o f l ig h t . A m e t r i c g is s a idto be s t ron g ly e l li p ti c i f t he re i s a fu nc t io n f such t ha t Re (Jg ) is pos i t ive de f in i t e . I ts e e m s n e c e s sa r y to u s e s u c h s t r o n g l y e ll ip t ic b a c k g r o u n d m e t r i c s to m a k e t h e p a t hi n t e g r a ls w e l l d e f i n e d . O n e c o u l d t a k e t h i s t o b e o n e o f t h e b a s i c p o s t u l a t e s o fq u a n t u m g r av it y.

T h e q u a d r a t i c t e r m 12 [ ~ J w i ll h a v e t h e f o r mI z [ ~ ] = - ~ ~ A ~ ( - g o ) l / 2 d ' ~ x , (2.4)

w h e r e A is a s e c o n d o r d e r d i f fe r e n t ia l o p e r a t o r c o n s t r u c t e d o u t o f t h e b a c k g r o u n df ie lds g0 , ~bo. ( In t he ca se o f t he fe rm ion f i elds t he op e ra to r A i s f i r s t o rde r . F ors i m p l i c it y I s h a l l d e a l o n l y w i t h b o s o n f ie ld s b u t t h e r e s u l ts c a n e a s il y b e e x t e n d e d t of e rm i o n s . ) T h e q u a d r a t i c t e r m I 2 [ g ] i n t h e m e t r i c f l u c t u a t i o n s c a n b e e x p re s s e ds imi l a r ly . H e re how eve r , t he secon d o r de r d i f fe ren t i a l op e ra to r is deg ene r a t e i.e . i td o e s n o t h a v e a n i n v er s e. T h i s is b e c a u s e o f th e g a u g e f r e e d o m t o m a k e c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n s . O n e d e a l s w i t h t h is b y t a k i n g t h e p a t h i n t e g r a l o n l y o v e r m e t r i c st h a t s a t is f y s o m e g a u g e c o n d i t i o n w h i c h p i ck s o u t o n e m e t r ic f r o m e a c h e q u i v a l en c ec la ss u n d e r c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s . T h e J a c o b i a n f r o m t h e s p ac e o f al l m e t r i cst o t h e s p a c e o f t h o s e s a t i s f y i n g t h e g a u g e c o n d i t i o n c a n b e r e g a r d e d i n p e r t u r b a t i o nt h e o r y a s i n t r o d u c i n g f i c ti ti o u s p a r ti c le s k n o w n a s F e y n m a n n - d e W i t t [ 1 5, 16 ] o rF a d e e v - P o p o v g h o s t s [ 1 7 1 . T h e p a t h i n t e g r a l o v e r t h e g r a v i t a t i o n a l f l u c t u a t i o n sw i ll b e t r e a t e d in a n o t h e r p a p e r b y m e t h o d s s i m i l a r t o t h o s e u s e d h e r e f o r m a t t e rf ie ld s w i t h o u t g a u g e d e g r e e s o f f r e e d o m .

I n t h e c a s e w h e n t h e b a c k g r o u n d m e t r i c g o is E u c l i d e a n i .e . r e a l a n d p o s i ti v ede f in i t e t he o pe ra to r A in t h e q ua dr a t i c t e rm 12 [q~ ] w i l l be rea l , e ll i p ti c and se lf -a d j o i n t . T h i s m e a n s t h a t i t w i ll h a v e a c o m p l e t e s p e c t r u m o f e i g e n v e c to r s q~, w i t hrea l e igenva lue s 2 , :

Aq~,, = 2 . 4 " . (2.5)T h e e i g e n v e c t o r s c a n b e n o r m a l i z e d s o t h a t

~ . ~ , . ( g o ) l / 2 d 4 x = 6 . m . (2.6)

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Zeta Func tion Regularization of Path Integrals 137N o t e t h a t t h e v o l u m e e l e m e n t w h i c h a p p e a r s i n t h e ( 2 . 6 ) i s (90 ) 1 /2 b e c a u s e g o i sp o s i t iv e d e fi n it e . O n t h e o t h e r h a n d t h e v o l u m e e le m e n t t h a t a p p e a r s i n t h e a c t i o n Ii s ( - 9 ) 1 /2 = - i ( 9 ) 1/z w h e r e t h e m i n u s s ig n c o r r e s p o n d s t o a c h o i c e o f t h e d i r e c ti o no f W i c k r o t a t i o n o f th e t i m e a x i s in t o t h e c o m p l e x p la n e .I f t h e b a c k g r o u n d m e t r i c 9 o is n o t E u c l i d e a n , t h e o p e r a t o r A w i ll n o t b e s e lf -a d j o i n t . H o w e v e r I s h a ll a s s u m e t h a t t h e e i g e n f u n c t i o n s ~b, a r e s t il l c o m p l e t e . I f t h i si s s o , o n e c a n e x p r e s s t h e f l u c t u a t i o n q$ i n t e r m s o f t h e e i g e n f u n c t i o n s .

q$ = Z a, ~ b, . (2,7)T h e m e a s u r e d [q ~] o n t h e s p a c e o f a ll f ie ld s 6 c a n t h e n b e e x p r e s s e d in t e r m s o f t h ec o e f f i c i e n t s a , "

d [4)] = I-[ # d a , , (2.8)n

w h e r e / ~ i s s o m e n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t w i t h d i m e n s i o n s o f m a s s o r i n v e r s e l e n g th .F r o m ( 2 . 5 ) - ( 2 . 8 ) i t f o l l o w s t h a t

Z [ 6 ] = ~ d [~b ] ex p i I 2 [ 6 ]= H S # d a , e x p ( - 2 , a , )

n

= ~s~Tc~12;~ ~i2n

= (de t (4/~- 2 n - 1A ))- 1/2 . (2 .9)

3 . T h e Z e t a F u n c t io nT h e d e t e r m i n a n t o f t h e o p e r a t o r A c l e a r l y d i v e rg e s b e c a u s e t h e e i g e n v a l u e s 2 ,i n c re a s e w i t h o u t b o u n d . O n e t h e r e f o r e h a s t o a d o p t s o m e r e g u l a r i z a ti o n p r o c e d u re .T h e t e c h n i q u e t h a t w i ll b e u s e d i n t h is p a p e r w i ll b e c a l l ed t h e z e t a f u n c t i o n m e t h o d .O n e f o r m s a g e n e r a li z e d z e ta f u n c t i o n f r o m t h e e i g e nv a l u es o f t h e o p e r a t o r A :

((s ) = ~ 2~ ~ . (3.1)n

I n f o u r d i m e n s i o n s t h is w i ll c o n v e r g e f o r R e ( s) > 2, I t c a n b e a n a l y t i c a ll y e x t e n d e d t oa m e r o p h o r p h i c f u n c t i o n o f s w i t h p o le s o n l y a t s = 2 a n d s = 1 [ 1 8] . In p a r t i c u l a r itis r e g u l a r a t s = 0 . T h e g r a d i e n t o f z e t a a t s = 0 is f o rm a l l y e q u a l t o - ~ l o g 2 n. O n e

nc a n t h e r e f o r e de f i ne d e t A t o b e e x p ( - d ( / d s l ~ = o ) [ 1 9 ]. T h u s t h e p a r t i ti o n f u n c t i o nl o g Z [ 6 ] = ( '( 0 ) + 1 o g ( ~ a 2 ) (0 ). (3.2)I n s i t u a t i o n s i n w h i c h t h e e i g e n v a t u e s a r e k n o w n , t h e z e t a f u n c t i o n c a n b ec o m p u t e d e x p li c it ly . T o i l lu s t r a te t h e m e t h o d , I s h a ll t r e a t t h e c a s e o f a z e r o r e s tm a s s s c a l a r f i e l d ~b c o n t a i n e d i n a b o x o f v o l u m e V i n f i a t s p a c e t i m e a t t h e

t e m p e r a t u r e T = f l - 1. T h e p a r t i t i o n f u n c t i o n w i ll b e d e f i n e d b y a p a t h i n t e g r a l o v e ra ll f ie l ds q5 o n t h e E u c l i d e a n s p a c e o b t a i n e d b y p u t t i n g z = i t w h i c h a r e z e r o o n t h ew a l ls o f t h e b o x a n d w h i c h a r e p e r i o d i c i n z w i t h p e r i o d f t. T h e o p e r a t o r A i n t h ea c t i o n i s t h e n e g a t i v e o f t h e f o u r d i m e n s i o n a l L a p l a c i a n o n t h e E u c l i d e a n s p a c e . I f

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138 S.W . Hawking

t h e d i m e n s i o n s o f t h e b o x a r e la r g e c o m p a r e d t o t h e c h a r a c t e r i s ti c w a v e l e n g t h f l,o n e c a n a p p r o x i m a t e t h e s p a t ia l d e p e n d e n c e o f t h e e i g e n f u n c t i o n s b y p l a n e w a v e sw i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e e i g e n v a l u e s a r e t h e n

) ~ , , = ( 2 n i l - l n ) 2 + k 2 ( 3 . 3 )a n d t h e d e n s i t y o f e i g e n v al u e s i n t h e c o n t i n u u m l im i t is

2 V . d 3 k(2~-3 J (3.4)w h e n n > 0 a n d h a l f t h a t w h e n n = O. T h e z e t a f u n c t i o n i s th e r e f o r e

~(s) = ~4rcV lr . d k k 2 - 2 s+ 2 ~ 1 ~ d k k 2 ( 4 7 c 2 f l - 2 n 2 _ l _ k 2 ) - s } . ( 3 . 5 )T h e s e c o n d t e r m c a n b e i n t e g r a t e d b y p a r t s t o g i v e

8~zV ~ S dk (4rcz i_ Zn2 + k z )_s+ a ( 2_ 2s )_ l .(2~z)3 ,, = 1P u t k = 2 r c n f i - * s i n h y . T h i s g i v e s

(3.6)

o~8 n V , ,~ 1 S d y ( 2 n f i - , n) - 28+ 3(2 - 2s ) - 1 c osh y ) - 2 , + 3( 2 r e ) 3 =8 ~ V- (2rc )3 2rq 3-1 )3- 2~ x ~R (2 s- 3)

1 F ( 1 / 2 ) F ( s - 3 / 2 ) ( 2 - 2 s ) - 1 x - , ( 3 . 7 )2 F ( s - - 1)w he r e ~ R is the usu a l R ie m a n n z e ta f un c t io n ~ , n -~ . Th e f i rs t t e r m in ( 3.5 ) se e m s to

nd i v e r g e a t k = 0 w h e n s is l a rg e a n d p o s i ti v e . T h i s i n f r a re d d i v e r g e n c e c a n b er e m o v e d i f o n e a s s u m e s t h a t t h e b o x c o n t a i n i n g t h e r a d i a t i o n is l a rg e b u t f in it e. Int h i s c a s e t h e k i n t e g r a t i o n h a s a l o w e r c u t o f f a t s o m e s m a l l v a l u e e. I f s is l a rg e , t h e ki n t e g r a t i o n t h e n g i ve s a te r m p r o p o r t i o n a l t o ~3 - 2 s W h e n a n a l y t ic a l ly c o n t i n u e d t os = 0 , t h is c a n b e n e g l ec t e d i n t h e li m i t e ~ 0 , c o r r e s p o n d i n g t o a l a rg e b o x .

T h e g a m m a f u n ct io n F ( s - 1 ) h a s a p o le a t s = 0 w i th re s id u e - 1 . T h u s t h eg e n e r a l i s e d z e t a f u n c t i o n i s z e r o a t s = 0 a n d

'(0) = 2re V/~- 3 ~ ( _ 3 ) F ( 1 / e ) F ( - 3/2) (3.87Z2= - - V T 34 5

t h u s t h e p a r t i t io n f u n c t i o n f o r s c a l a r t h e r m a l r a d i a t i o n a t t e m p e r a t u r e T in a b o x o fv o l u m e V is g iv e n b y

7 r , 2 V Tl o g Z = 9 ~ - 0 ~ (3.9)

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Zeta Function Regularization of Path Integrals 139N o t e t h a t b e c a u s e ~ ( 0 ) = 0 , t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n d o e s n o t d e p e n d o n t h eu n d e t e r m i n e d n o r m a l i z a t i o n p a r a m e t e r # . H o w e v e r , t hi s w ill n o t i n g e n er a l b e th ec a s e i n a c u r v e d s p a c e b a c k g r o u n d .

F r o m t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n o n e c a n c a l c u l a te th e e n e rg y , e n t r o p y a n d p r e s s u r eo f t h e r a d i a t i o n .E = - l o g Z = 3-0 V T 4 ' (3 .10)S = f i E + l og Z = ~ V T a , (3.11)

d 7z2 T 4 (3.1 2)p = f l - 1 ~ /V lo g Z = 90 - "O n e c a n c a l c u l a t e t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n s f o r o t h e r f ie ld s i n f l a t s p a c e i n a s i m i l a rm a n n e r . F o r a c h a r g e d s c a l a r f ie ld t h e r e a r e tw i c e t h e n u m b e r o f e ig e n f u n c t i o n s s o

t h a t l o g Z is tw i c e t h e v a l u e g i v e n b y E q u a t i o n (3 .9 ). I n t h e c a s e o f t h ee l e c t r o m a g n e t i c f i el d t h e o p e r a t o r A i n t h e a c t i o n i n t e g r a l is d e g e n e r a t e b e c a u s e o ft h e f r e e d o m t o m a k e e l e c tr o m a g n e t i c g au g e t r a n s f o r m a t i o n s . O n e t h e r e f o r e h a s, a si n t h e g r a v i t a t i o n a l c a s e, t o t a k e t h e p a t h i n t e g r a l o n l y o v e r f i el d s w h i c h s a t i s f y s o m eg a u g e c o n d i t i o n a n d t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e J a c o b i a n f r o m t h e s p a c e o f al l fi eld ss a t is f y in g t h e g a u g e c o n d i t io n . W h e n t h is is d o n e o n e a g a in o b t a i n s a v a l u e l o g Zw h i c h i s t w i c e t h a t o f E q u a t i o n (3 .9 ). T h i s c o r r e s p o n d s t o t h e f a ct t h a t t h e e l e c t r o -m a g n e t i c f ie ld h as t w o p o l a r i z a t i o n s t a te s .O n e c a n a l s o u s e t h e z e t a f u n c t i o n t e c h n i q u e t o c a l c u l a t e t h e C a s i m i r e f f e c tb e t w e e n t w o p a r a l l e l r e f l e c t in g p la n e s . I n t h i s c a s e i n s t e a d o f s u m m i n g o v e r a l l f ie ldc o n f i g u r a t i o n s w h i c h a r e p e r i o d i c in i m a g i n a r y t im e , o n e s u m s o v e r f ie ld s w h i c h a r ez e r o o n t h e p l a t e s . D e f i n i n g Z t o b e t h e p a t h i n t e g r a l o v e r a l l s u c h f i e l d s o v e r a ni n t e r v a l o f i m a g i n a r y t i m e v o n e h a s

r c 2 A z b - 3l o g Z - , (3 .1 3)72 0w h e r e b is th e s e p a r a t i o n a n d A t h e a r e a o f t h e p la t es . T h u s t h e f o r c e b e t w e e n t h ep la t e s i s

F = _ 1 d r c ZA b - 4 (3.14)) - ~ l o g Z = 2 4 0

4. The Heat EquationI n s i t u a ti o n s in w h i c h o n e d o e s n o t k n o w t h e e ig e n v a l u e s o f t h e o p e r a t o r A , o n ec a n o b t a i n s o m e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e g e n e ra l iz e d z e t a f u n c ti o n b y s t u d y i n g th eh e a t e q u a t i o n .

dd t F ( x , y , t ) + A F ( x , y , t ) = 0 ( 4 . 1 )h e r e x a n d y r e p r e s e n t p o i n t s i n t h e f o u r d i m e n s i o n a l s p a c e t i m e m a n i f o l d , t is a fi ft hd i m e n s i o n o f p a r a m e t e r t i m e a n d t h e o p e r a t o r A is ta k e n t o a c t o n t h e f ir st

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140 S.W . Haw kinga r g u m e n t o f F . W i t h t h e i n it ia l c o n d i t i o n s

F ( x , y , O ) = 6 ( x , y ) (4.2)t h e h e a t k e rn e l F r e p r e s e n t s t h e d i f f u s i o n o v e r th e s p a c e t i m e m a n i f o l d i n p a r a m e t e rt i m e t o f a u n i t q u a n t i t y o f h e a t ( o r i n k ) p l a c e d a t t h e p o i n t y a t t = 0 . O n e c a n e x p r es sF i n t e r m s o f t h e e i g e n v a lu e s a n d e i g e n f u n c t i o n s o f A :

F ( x , y , t ) = ~ e x p ( - ~ ,n ) C ~ , ( X ) ( O , ( y ) . (4.3)n

I n t h e c a s e o f a f ie ld ~b w i t h t e n s o r o r s p i n o r i n d i c e s , th e e i g e n f u n c t i o n s w i ll c a r r y as e t o f in d i c e s a t th e p o i n t x a n d a s e t a t t h e p o i n t y , I f o n e p u t s x = y , c o n t r a c t s o v e rt h e i n d ic e s a t x a n d y a n d i n t e g r a t e s o v e r a ll th e m a n i f o l d o n e o b t a i n s

Y ( t ) = .[ T r F ( x , x , t ) ( g o ) l / 2 d 4 x = ~ e x p ( - 2 , 0 . (4.4)n

T h e g e n e r a l i z e d z e t a f u n c t i o n i s r e l a t e d t o Y ( t ) b y a M e l t in t r a n s f o r m :~ ( s )= Z ' 2 2 s 1 7= ~ i a t ' - * Y { t ) d t . (4.5)

n 0

A n u m b e r o f a u t h o r s e.g. [ 1 - 4 ] h a v e o b t a i n e d a s y m p t o t i c e x p a n s i o n s f o r F a n dY v a l i d as t - + 0 + . I n t h e c a s e th a t t h e o p e r a t o r A i s a s e c o n d o r d e r L a p l a c i a n t y p eo p e r a t o r o n a f o u r d i m e n s i o n a l c o m p a c t m a n i f o l d .

Y ( t ) ~ ~ , B . t " - 2 , (4.6)n

w h e r e t h e c o e f f ic i e n ts B , a r e i n t e g ra l s o v e r t h e m a n i f o l d o f s c a l a r p o l y n o m i a l s in t h em e t r i c , t h e c u r v a t u r e t e n s o r a n d i t s c o v a r i a n t d e r iv a t iv e s , w h i c h a r e o f o r d e r 2 n i nt h e d e r i v a t i v e s o f th e m e t r i ci .e . B , = ~ b , ( g o ) l / Z d C x . (4.7)D e W i t t [ 1, 2 ] h a s c a l c u la t e d t h e b , f o r t h e o p e r a t o r - [ ] + { R a c t i n g o n s c a l a rs ,

b 0 = ( 4 = ) - zb 1 = (4 ~ z)- z ( ~ _ 0 Rb2 = (2880rcz ) - 1

L*'r~abcaR*'abcd- R a b R a b - t - 30(1 - - 6 4 ) 2 R 2 q - (6 - 30 0I N R ] . (4.8 )N o t e t h a t b 1 is z e r o w h e n ~ = ~ w h i c h c o r r e s p o n d s t o a c o n f o r m a l l y i n v a r i a n t s c a l a rfield.I n th e c as e o f a n o n - c o m p a c t s p a c e t im e m a n i f o l d o n e h as t o im p o s e b o u n d a r yc o n d i t i o n s o n t h e h e a t e q u a t i o n a n d o n t h e e i g e n f u n c t i o n s o f t h e o p e r a t o r A . T h i sc a n b e d o n e b y a d d i n g a b o u n d a r y t o t h e m a n i f o l d a n d r e q u ir i n g t h e f ie ld o r i tsn o r m a l d e r i v a t iv e t o b e z e r o o n t h e b o u n d a r y . A n e x a m p l e is t h e c as e o f a b l a c k h o l em e t r i c s u c h a s t h e E u c l i d e a n s e c t io n o f t h e S c h w a r z s c h i l d s o l u t i o n i n w h i c h o n ea d d s a b o u n d a r y " a t s o m e r a d i u s r = r o. T h i s b o u n d a r y r e p r e s e n t s t h e w a ll s o f a

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Zeta Fu nc t ion Regu la r iza t ion o f Pa th In teg ral s 141

p e r f e c t l y r e fl e c ti n g b o x e n c l o s i n g t h e b l a c k h o l e. F o r a m a n i f o l d w i t h b o u n d a r y t h ea s y m p t o t i c e x p a n s i o n f o r Y t a k e s th e f o r m [ 2 0 ] .

Y ( t ) = ~ ( B , + C , ) t " - z , (4.9)w h e r e , a s b e f o r e , B , h a s t h e f o r m ( 4 . 7 ) a n d

C n = ~ c n ( h ) l / 2 d 3 x ,w h e r e c , is a s c al a r p o l y n o m i a l i n th e m e t r ic , t h e n o r m a l t o t h e b o u n d a r y a n d t h ec u r v a t u r e a n d t h e i r c o v a r i a n t d e r iv a t i v es o f o r d e r 2 n - 1 i n t h e d er i v a ti v e s o f t h em e t r i c a n d h is t h e i n d u c e d m e t r i c o n t h e b o u n d a r y . T h e f ir st c o e ff i c ie n t c o is z e r ob e c a u s e t h e ir is n o p o l y n o m i a l o f o r d e r - 1. M c K e a n a n d S i n g e r [3 ] s h o w e d t h a t

- 1c a - 4 8 zc g K w h e n ~ = 0 w h e r e K is t h e t ra c e o f t h e s e c o n d f u n d a m e n t a l f o r m o f t h eb o u n d a r y . I n t h e c a s e o f a S c h w a r z s c h il d b l a c k h o l e in a s p h e r i c a l b o x o f r a d i u sro , c 2 m u s t b e z e r o i n t h e l i m i t o f la r g e r o b e c a u s e a ll p o l y n o m i a l s o f d e g r e e 3 in t h ed e r i v a ti v e s o f t h e m e t r i c g o d o w n f a s te r t h a n r o 2.

I n a c o m p a c t m a n i f o l d w i t h o r w i t h o u t b o u n d a r y w i t h a s t r o n g l y e l l i p t i c a lm e t r i c 9 o t h e e i g e n v a l u e s o f a L a p l a c i a n t y p e o p e r a t o r A w i l l b e d i s c re t e . I f t h e r e a r ea n y z e r o e i g e n v a tu e s t h e y h a v e t o b e o m i t t e d f r o m t h e d e f i n i ti o n o f th e g e n e r a l i z e dz e t a f u n c t i o n a n d d e a l t w i t h s e p a ra t e ly . T h i s c a n b e d o n e b y d e f i n i n g a n e w o p e r a t o r

= A - P w h e r e P d e n o t e s p r o j e c t i o n o n t h e z e r o e ig e n f u n c t io n s . Z e r o e i g e n v a lu e sh a v e i m p o r t a n t p h y s i c a l e ff e ct s s u c h a s t h e a n o m a l y i n t h e a x i al v e c t o r c u r r e n tc o n s e r v a t i o n [ 2 1, 2 2 ] . L e t e > 0 b e t h e l o w e s t e i g e n v a l u e o f A ( f r o m n o w o n I s h al ls i m p l y u s e A a n d a s s u m e t h a t a n y z e r o e i g e n f u n c t i o n s h a v e b e e n p r o j e c t e d o u t ) .T h e n

~ ( s) = F ~ t ~ l Y ( t ) d t + f t s - l . (4.10)

A s t ~ o % Y ~ e - ~ . T h u s t h e s e c o n d i n t e g r a l i n E q u a t i o n (4 .1 0) c o n v e r g e s f o r al l s. I nt h e f i r s t i n t e g r a l o n e c a n u s e t h e a s y m p t o t i c e x p r e s s i o n ( 4 . 9 ) . T h i s g i v e s

B.+C . (4.11)~ n + s - 2 "T h u s ~ h a s a p o l e a t s = 2 w i t h r e s i d u e B o a n d a p o l e a t s = 1 w i t h r e s i d u e B ~ + C 1.T h e r e w o u l d b e a p o l e a t s = O b u t i t i s c a n c e l l e d o u t b y t h e p o l e i n F( s ) . T h u s~ ( 0 )= B 2 + C 2. S i m i l a r l y t h e v a l u e s o f ~ a t n e g a t i v e i n t e g e r v a l u e s o f s a re g i v e n b y(4.11) and (4.10).

5 . O t h e r M e t h o d s o f R e g u l a r iz a t io nA c o m m o n l y u s e d m e t h o d t o e v a l u a te t h e d e t e r m i n a n t o f t h e o p e r a t o r A i s t o s t a rtw i t h t h e i n t e g r a t e d h e a t k e r n e l

Y (0 = ~ e x p ( - 2 . 0 . (5.1 )n

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142 S.W . Haw kingM u l t ip l y b y e x p ( - m Z t ) a n d i n t e g r a t e f r o m t = 0 t o t = o o

Y ( t ) e x p ( - m 2 t ) & = ~ ' (2, + m2) -1 (5.2)0 n

t h e n i n t e g r a t e o v e r m 2 f r o m m 2 = 0 t o m 2 = o o a n d i n t e r c h a n g e t h e o r d e r s o fi n t e g r a t io n t o o b t a i n

00

O n e t h e n t h r o w s a w a y t h e v a lu e o f t h e r i g h t h a n d s id e o f( 5 .3 ) a t t h e u p p e r l im i t a n dc l ai m s t h a t

l o g d e t A = ~ l o g 2 ,= - ~ t - a Y ( t ) & . ( 5 . 4 )

0

T h i s is o b v i o u s l y a v e r y d u b i o u s p r o c e d u r e . O n e c a n o b t a i n t h e s a m e r e s u l t f r o m t h ez e t a f u n c t i o n m e t h o d i n t h e f o l l o w in g w a y . O n e h a s

log de tA = - ~ '(0)- dsd [ ~ 0 s t s _ l y ( t ) d t J " (5.5)

N e a r s = 01 = s + ~;s2 + O ( s 3 ) , (5.6)r ( s )

w here y i s Eu le r ' s cons t an t .T h u s

l o g d e t A = - L i r a [(1 + 2y s) t s - l y ( t ) d ts-~o L o+ (s + ys 2) ~ t s - 1 l o g t Y ( t ) d t . (5.7)o

I f o n e i g n o r e s t h e f a c t t h a t t h e t w o i n t e g r a ls i n E q u a t i o n ( 5 .7 ) d i v e r g e d w h e n s = 0 ,o n e w o u l d o b t a i n E q u a t i o n (5 .4 ). U s i n g t h e a s y m p t o t i c e x p a n s i o n f o r Y, o n e s e estha t t he i n t eg ra l in E qu a t io n (5.4 ) ha s a t - 2 , t - 1, an d a l og t d ive rg ence a t t he l ow erl im i t w i th coeff ic ien ts ~-Bz , B1, and B 2 respec t ive ly . T he f i rs t o f the se i s o f tens u b t r a c e d o u t b y a d d i n g a n i n f in i te c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t t o t h e a c t i o n w h i l e t h es e c o n d i s c a n c e l le d b y a d d i n g a n i n f i n i t e m u l t i p l e o f t h e s c a l a r c u r v a t u r e w h i c h i si n t e r p r e t e d a s a r e n o r m a l i z a t i o n o f t h e g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t . T h e l o g a r i t h m i c t e r mr e q u i re s a n i n f i n i t e c o u n t e r t e r m o f a n e w t y p e w h i c h is q u a d r a t i c i n t h e c u r v a t u r e .

T o o b t a i n a f i n i te a n s w e r f r o m E q u a t i o n ( 5 .4 ) d i m e n s i o n a l r e g u l a r i z a t i o n iso f t e n u s e d . O n e g e n er al iz e s th e h e a t e q u a t i o n f r o m 4 + 1 d i m e n s i o n s t o 2 6 o+ 1d i m e n s i o n s a n d t h e n s u b t r a c t s o u t t h e p o l e t h a t o c c u r s i n ( 5. 4) a t 2 e ) = 4 . A sm e n t i o n e d i n t h e i n t ro d u c t i o n , t h is is a m b i g u o u s b e c a u s e t h e r e a re m a n y w a y s t h a t

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Ze ta Fun c t ion Regu la r iza t ion o f Pa th In teg ra l s 143

on e cou ld gene ra l i z e a cu rved sp ace t ime to 26o d im ens ion s . The s im ple s t gene ra l i-z a t i o n w o u l d b e to t a k e t h e p r o d u c t o f t h e f o u r d i m e n s i o n a l s p a c et im e m a n i f o l dw i t h 2 6 o - 4 f i a t d i m e n s i o n s . I n t h i s c as e th e i n t e g r a t e d h e a t k e r n e l Y w o u l d b em ul t i p l i ed by (4~ t) z -c . Th en (5 .4 ) w ou ld beco m e

log de tA = - ~ t 1 ~ ( 4 ~ ) 2 - ~ y ( t ) d t . (5.8)oT his h as a po le a t 20) = 4 w i th re s idu e ~(0) an d f in i te pa r t - ~ '(0) + (27 + log47c) x ~(0).T h u s , t h e v a l u e o f t h e l o g Z d e r i v e d b y t h e d i m e n s i o n a l r e g u l a r i z a t i o n u s i n g fl a td i m e n s i o n s a g r e e s w i t h t h e v a l u e o b t a i n e d b y t h e z e t a f u n c t i o n m e t h o d u p t o am u l t ip l e o f ~(0 ) w h i c h c a n b e a b s o r b e d i n t h e n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t . H o w e v e r ,i f o n e e x t e n d e d t o 2 6 o + 1 d im e n s i o n s in s o m e m o r e g e n e r al w a y t h a n m e r e l ya d d i n g f i a t d i m e n s i o n s , t h e i n t e g r a t e d h e a t k e r n e l w o u l d h a v e t h e f o r m

Y ( t o 6 o ) = ~ B,(6o)t"- ' , (5.9)n

w h e r e t h e c o e f f ic i e n ts B ,(6 o) d e p e n d o n t h e d i m e n s i o n s 2 6o . T h e f in i te p a r t a t 6 0 = 2w o u l d t h e n a c q u i r e a n e x t r a t e r m B ~ ( 2 ) . T h i s c o u l d n o t b e a b s o r b e d i n t h en o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t # . O n e t h e r e f o r e s ee s t h a t t h e z e t a f u n c t i o n m e t h o d h a s t h ec o n c e p t u a l a d v a n t a g e s t h a t i t a v o i d s t h e d u b i o u s p r o c e d u r e s u s e d t o o b t a i nE q u a t i o n (5 .4 ), i t d o e s n o t r e q u i r e t h e s u b t r a c t i o n o f a n y p o l e t e r m o r t h e a d d i t i o n o fi n f in i te c o u n t e r t e rm s , a n d i t is u n a m b i g u o u s u n l i k e d i m e n s i o n a l r e g u l a r i za t i o nw h i c h d e p e n d s o n h o w o n e g e n e r a l i z e s t o 2 o ) d i m e n s i o n s .

6. ScalingI n t h i s S e c ti o n I s h a ll c o n s i d e r t h e b e h a v i o u r o f t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n Z u n d e r ac o n s t a n t s ca le t r a n s f o r m a t i o n o f t h e m e t r i c

O a b = k g a b . (6.1)I f A i s a L a p l a c i a n t y p e o p e r a t o r f o r a z er o r e s t m a s s f ie ld , t h e e i g e n v a lu e s t r a n s f o r ma s

2 , = k - 12 , . (6.2 )T h u s t h e n e w g e n e r a l i z e d z e t a f u n c t i o n i s

( ( s ) = k S ~ ( s ) (6.3)a n d

l o g d e t A = l o g d e t A - l o g k ~ ( 0 ) . (6 .4 )T h u s

l o g Z = l o g Z + o g k ~( 0)+ ( l o g /~ - l og# )~ (0 ) . (6.5 )

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144 S.W . HawkingI f o n e a s su m e d t h a t t h e n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t # r e m a i n e d u n c h a n g e d u n d e r as c al e t r a n s f o r m a t i o n , t h e l a s t t e r m w o u l d v a n is h . T h i s a s s u m p t i o n is e q u i v a l e n t toa s s u m i n g t h a t t h e m e a s u r e i n t h e p a t h i n t e g r a l o v e r a ll c o n f i g u r a t i o n s o f t h e f i el d q5is d e f i n e d n o t o n a s c a l a r f i e ld b u t o n a s c a l a r d e n s i t y o f w e i g h t . T h i s i s b e c a u s e t h ee i g en f u n c ti o n s o f t h e o p e r a t o r A w o u l d h a v e t o t r a n s f o r m a c c o r d i n g to

~ n = k - l q ~ . ( 6 . 6 )i n o r d e r t o m a i n t a i n t h e n o r m a l i z a t i o n c o n d i t i o n (2 .6 ). T h e c o e f fi c ie n t s a n o f t h ee x p a n s i o n o f a g i v e n s c a l ar f ie ld q5 w o u l d t h e r e f o r e t r a n s f o r m a c c o r d i n g t o

~ n = k a . (6.7)a n d t h e n o r m a l i z a t io n c o n s t a n t # w o u l d t r a n s f o r m a c c o r d i n g t o

= k - 1 ~ ( 6 . 8 )i f t he m e a s u r e i s de f ine d on the sc a la r f i e ld i t s el f , i.e . i f

d [q ~ ] = n x d 4 ( x ) . (6 .9 )H o w e v e r i f th e m e a s u r e i s d e f i n e d o n d e n s i t i e s o f w e i g h t , i.e .

d[~b] = I I x ( g ( x ) ) 1 /4 d ~( x ) (6.10)t h e n t h e n o r m a l i z a t i o n p a r a m e t e r ~ i s u n c h a n g e d .

T h e w e i g ht o f th e m e a s u r e c a n b e d e d u c e d f r o m c o n s i d e r a ti o n s o f u n it a ri ty . I nt h e c a s e o f a s c a la r f i el d o n e c a n u s e t h e m a n i f e s t l y u n i t a r y f o r m a l i s m o f s u m m i n go v e r a l l p a r t i c le p a th s . T h i s g i v es t h e c o n f o r m a l l y i n v a r i a n t s c a l a r w a v e e q u a t i o n i ft h e f ie ld s a r e t a k e n t o b e d e n s i t i e s o f w e i g h t [-2 3]. B y c o n t r a s t , t h e " m i n i m a l l yc o u p l e d " w a v e e q u a t i o n [Z q5= 0 w i ll b e o b t a i n e d i f t h e w e i g h t i s 1 . I n t h e c a s e o f ag r a v i t a t i o n a l f i e ld i t se l f o n e c a n u s e t h e u n i t a r y H a m i l t o n i a n f o r m a l is m . F r o m t h isF a d e e v a n d P o p o v [ 1 7 ] d e d u c e t h a t t h e m e a s u r e i s d e f i n e d o n d e n si ti e s o f w e i g h t a n d is sc a le i n v a r ia n t . S i m i l a r p r o c e d u r e s c o u l d b e u s e d t o f in d t h e w e i g h t o f th em e a s u r e f o r o t h e r f ie ld s . O n e w o u l d e x p e c t i t t o b e f o r m a s s le s s f ie ld s .

T h e s e s ca li ng a r g u m e n t s g i v e o n e c e r t a in a m o u n t s o f i n f o r m a t i o n a b o u t t h ep a r t i t i o n f u n c t i o n . I n D e S i t t e r s p a c e t h e y d e t e r m i n e i t u p t o t h e a r b i t r a r i n e s s o f t h en o r m a l i z a t i o n p a r a m e t e r # b e c a u s e D e S i t t e r s p a c e is c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h es c al e . T h u s

l o g Z = B 2 l o g r / r o , (6.11)w h e r e r is t h e r a d i u s o f t h e s p a c e a n d r o i s r e l a t e d t o # . I n t h e c a s e o f a S c h w a r z s c h i l db l a c k h o l e o f m a s s M i n a la r g e s p h e r ic a l b o x o f r a d i u s r o,

l o g Z = B 2 l o g M / M o + f ( r o M - 1), (6.12)w h e r e a g a i n M 0 is r e la t e d t o /~ . I f t h e r a d i u s o f t h e b o x is la r g e c o m p a r e d t o M , o n ew o u l d e x p e c t t h a t t h e p a r t i ti o n f u n c ti o n s h o u l d a p p r o a c h t h a t f o r t h e r m a l r a d i a t i o na t t e m p e r a t u r e T = ( 8 r iM ) - 1 i n f l at s p ac e . T h u s o n e w o u l d e x p e c t

f - r 3 t - 0 { r~ ) (6.13)3 4 5 6 0 M 3 k M 2] "

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Z e t a F u n c t i o n R e g u l a r i z a t i o n o f P a t h I n t e g r a ls 1 45

I t s h o u l d b e p o s s i b le t o v e r i f y t h is a n d t o c a l c u la t e t h e l o w e r o r d e r t e r m s b yd e v e l o p i n g s u i t a b l e a p p r o x i m a t i o n s t o t h e e i g e n v a l u e s o f th e r a d i a l e q u a t i o n i n th eS c h w a r z s c h i l d s o l u ti o n . I n p a r t i c u l a r f a n d l o g Z w i ll b e f in it e. T h i s c o n t r a s t s w i t ht h e re s u l t t h a t o n e w o u l d o b t a i n i f o n e n a i v e l y a s s u m e d t h a t t h e t h e r m a l r a d i a t i o nc o u l d b e d e s c r i b e d a s a f l ui d w i t h a d e n s i t y o f l o g Z e q u a l t o Tg2/90~ 3 w h e r e7 " = T ( 1 - 2 M r - 1 ) - 1/2 is t h e lo c a l t e m p e r a t u r e . N e a r t h e h o r i z o n T w o u l d g e t v e r yl a rg e b e c a u s e o f a b lu e s h i f t e ff e c t a n d s o l o g Z w o u l d d i v e rg e .

F o r a c o n f o r m a l l y i n v a r i a n t s c a l a r fi el d B 2 = - 2 f o r D e S i t t e r s p a c e a n d 4 ~ f o rt h e S c h w a r z s c h i l d s o l u t i o n . T h e f a c t t h a t B 2 i s p o s i t i v e i n t h e l a t t e r c a s e m a yp r o v i d e a n a t u r a l c u t o f f i n t h e p a t h i n t e g r a l w h e n o n e i n t e g ra t e s o v e r b a c k g r o u n dm e t r i c s w i l l a l l m a s s e s M . I f t h e m e a s u r e o n t h e s p a c e o f g r a v i t a t i o n a l f ie ld s is s c a lei n v a r i a n t t h e n t h e a c t i o n o f t h e b a c k g r o u n d f ie ld s w i ll g i v e a n i n t e g r a l o f th e f o r m

~ e x p ( - 4 ~ M 2 ) M - l d M . (6.1,4)0

T h i s c o n v e r g e s n ic e l y a t l ar g e M b u t h a s a l o g a r i t h m i c d i v e r g e n c e a t M = 0 .H o w e v e r i f o n e i n c lu d e s a c o n t r i b u t i o n o f t h e t h e r m a l r a d i a t i o n t h e i n t e g ra l ism o d i f ie d t o

~ e x p ( - 4 7 c M Z ) M - + ~ 2 d M . (6,15)0

T h i s c o n v e r g e s i f B 2 is p o s it iv e . S u c h a c u t o f f c a n h o w e v e r b e r e g a r d e d a s s u g g e st iv eo n l y b e c a u s e i t i g n o r e s t h e c o n t r i b u t i o n s o f h ig h o r d e r t e r m s w h i c h w i ll b ei m p o r t a n t n e a r M = 0. O n e m i g h t h o p e t h a t t h es e t e rm s m i g h t i n t u r n b e r e p r e s en t e db y f u r t h e r b l a c k h o l e b a c k g r o u n d m e t ri cs .

7 . E n e r g y - M o m e n t u m T e n so rB y f u n c t i o n a l l y d i f f e r e n t i a t i n g t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n o n e o b t a i n s t h e e n e r g ym o m e n t u m t e n so r o f t h e t h er m a l r a d i at io n

T~b = _ 2(g o) - 1 /2 6 lo g Z5g~bob (7.1)T h e e n e r g y m o m e n t u m t e n s o r w ill be f in it e e v e n o n t h e e v e n t h o r i z o n o f a b l ac k h o l eb a c k g r o u n d m e t r i c d e s p i t e t h e f a c t t h a t t h e b t u e s h i f t e d t e m p e r a t u r e T d i v e r g e st h er e. T h i s s h ow s t h a t t h e e n e r g y m o m e n t u m t e n s o r c a n n o t b e t h a t o f a p e r fe c t fl u idw i t h p r e s s u r e e q u a l t o o n e t h i r d t h e e n e r g y d e n s i t y .

O n e c a n e x p r e ss t h e e n e rg y m o m e n t u m t e n s o r in t e r m s o f d e ri v a ti v e s o f t h e h e a tk e r n e l F :6 log Z = ~ 5 ~ ' ( 0 ) - # - 1@ ~ ( 0 ) - og( ~ #2) 6~ (0 ) , ( 7.2 )

T h e s e c o n d t e r m o n t h e r i g h t o f (7 .2 ) w i ll v a n i s h i f o n e a s s u m e s t h a t # d o e s n o tc h a n g e u n d e r v a r i a t i o n s o f t h e m e t r ic . T h i s w i l l b e t h e c a s e i f t h e m e a s u r e i s d e f i n e do n d e n s it ie s o f w e i g h t ~ . T h e t h i r d t e r m c a n b e e x p r e s s e d as t h e v a r i a t i o n o f a n

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1 46 S . W . H a w k i n gi n t e g r a l q u a d r a t i c i n t h e c u r v a t u r e t e n s o r a n d c a n b e e v a l u a t e d d i r e c t l y . T oc a l c u l a t e t h e f i r s t t e r m o n e w r i t e s

T h e r e f o r ec5~'(0)= ds ~ S t ~ - l ~ [ F ( x , x , t ) ( 9 o ) 1 /2 d 4x & (7.4)0 s = 0

T o c a l c u l a t e 6 F o n e u s e s t h e v a r i e d h e a t e q u a t i o n

A + ~ 6 F ( x , y , t) + b A r ( x , y, t) = 0 (7.5)

w i t h O [ ( 9 o ( y ) ) l /Z F ( x , y , 0 ) ] = 0 . T h e s o l u t i o n i s

6 [ ( 9 o ( Y ) l /Z V ( x , y , t )] = - S i F (x , z , t - t ') c~ AF(z, y , t ' ) 9o(Y )9 o( z ) l / 2d 4zd t ' . (7.6)0

T h e r e f o r eC~S F ( x , x , t ) ( 9 o ) l / 2 d 4 x = - t ~6 A F ( z , z , t )( g o ) l / Z d 4 z . (7.7)

W h e r e t h e o p e r a t o r c~A a c t s o n t h e f ir st a r g u m e n t o f F .T h e o p e r a t o r cSA i n v o l v e s 6 9 ab a n d i ts c o v a r i a n t d e r i v a t iv e s i n t h e b a c k g r o u n d

m e t r ic . I n t e g r a t i n g b y p a r t s , o n e o b t a i n s a n e x p r e s s i o n f o r T ab in t e r m s o f F a n d i tsc o v a r i a n t d e r iv a t iv e s . F o r a c o n f o r m a l l y i n v a r i a n t s c a l a r fie ld .

- ggabcF -T a b = d s r ( S ) o t (xaFb Fab+ g a b F + + R a b V - g a R r )d t ]

1 2 6Bz 1/2- l o g ( ~ ) ~ ( g o ) . ( 7 . 8 )

W h e r e i n d ic e s p l a c e d b e f o r e o r a f t e r F i n d i c a te s d i f f e r e n t i a t io n w i t h r e s p e c t to t h ef ir st o r s e c o n d a r g u m e n t s r e s p ec t iv e l y a n d t h e tw o a r g u m e n t s a r e t a k e n a t t h e p o i n tx a t w h ic h t h e e n e r g y m o m e n t u m t e n s o r is t o b e e v al u a te d . I n a n e m p t y s p a c e t i m et h e q u a n t i t y B 2 i s t h e i n t e g r a l o f a p u r e d i v e r g e n c e s o B 2 v a n i s h e s .

8 . T h e T r a c e A n o m a l yN a i v e l y o n e w o u l d e x p e c t 7 ~, t h e t ra c e o f t h e e n e r g y m o m e n t u m t e n so r , w o u l d b ez e r o f o r a z e r o r e s t m a s s f ie ld . H o w e v e r t h is i s n o t t h e c a s e a s c a n b e s e e n e i th e rd i r e c tl y f r o m ( 7.8) o r b y t h e f o l lo w i n g s i m p l e a r g u m e n t . C o n s i d e r a s c a le

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Zeta Fun ction Regu larization of Path Integrals 147t r a n s f o r m a t i o n in w h i c h t h e m e t r ic is m u l t ip l ie d b y a fa c t o r k = l + a T h e n~Gb =eGb a n d

d l o g Z= B 2( 1 + #- 1 d~/dk)= B 2 (8.1)

i f t h e m e a s u r e is d e f i n e d o n d e n s it ie s o f w e i g h t . T h u s f o r t h e c a s e o f a c o n fo r m a l l yi n v a r i a n t s c a l a r f i e l d

17 ~ - 2 8 8 0 ~ 2 [ R a b c d R a b e d - R a b R " b -I DR] . (8.2)

T h e t r a c e a n o m a l i e s f o r o t h e r z e r o r e s t m a s s f i e l d s c a n b e c a l c u l a t e d i n a s i m i l a rm a n n e r .

T h e s e r es u lt s f o r th e t r ac e a n o m a l y a g r e e w i th t h o s e o f a n u m b e r o f o t h e ra u t h o r s [ 7 - 1 2 ] . H o w e v e r , t h e y d i sa g r e e w i t h s o m e c a l c u l a ti o n s b y t h e p o i n ts e p a r a t io n m e t h o d [ 2 4 ] w h i ch d o n o t o b t a i n a n y a n o m a l y . T h e tr a c e a n o m a l y f o rD e S i t t e r c o m p l e te l y d e t e r m i n e s t h e e n e r g y m o m e n t u m b e c a u s e i t m u s t b e am u l t i p l e o f th e m e t r i c b y t h e s y m m e t r y . I n a t w o d i m e n s i o n a l b l a c k h o l e i n a b o x t h et r a c e a n o m a l y a l so d e t e rm i n e s t h e e n e r g y m o m e n t u m t e n s o r a n d i n th e f o u rd i m e n s i o n a l c a s e i t d e t e r m i n e s i t u p t o o n e f u n c t i o n o f p o s i t io n [ 2 5 ] .

9 . H i g h e r O r d e r T e r m sT h e p a t h i n t e g r a l o v e r t h e t e r m s i n t h e a c t i o n w h i c h a r e q u a d r a t i c i n t h ef l u c t u a t i o n s a b o u t t h e b a c k g r o u n d f i e l d s a r e u s u a l l y r e p r e s e n t e d i n p e r t u r b a t i o nt h e o r y b y a s i n g l e c l o s e d l o o p w i t h o u t a n y v e r t i c e s . F u n c t i o n a l l y d i f f e r e n t i a t i n gw i t h re s p e ct t o t h e b a c k g r o u n d m e t r ic to o b t a i n t h e e n e r g y m o m e n t u m t e n s o rc o r r e s p o n d s t o i n t r o d u c i n g a v e r t e x c o u p l i n g t h e f ie ld t o t h e g r a v i t a t i o n a l f ie ld . I fo n e t h e n f ee ds t hi s e n e r g y m o m e n t u m t e n s o r a s a p e r t u r b a t i o n b a c k i n t o th eE i n s t e in e q u a t i o n s f o r t h e b a c k g r o u n d f ie ld , t h e c h a n g e in t h e l o g Z w o u l d b ed e s c r i b e d b y a d i a g r a m c o n t a i n i n g t w o c l o s e d lo o p s e a c h w i t h a g r a v i t a t i o n a l v e r te xa n d w i t h t h e t w o v e r ti c es j o i n e d b y a g r a v i t a t i o n a l p r o p a g a t o r . U n d e r a s c a let r a n s t b r m a t i o n i n w h i c h t h e m e t r i c w a s m u l t i p li e d b y a c o n s t a n t f a c t o r k , s u c h ad i a g r a m w o u l d b e m u l t ip l ie d b y k - 2 A n o t h e r d i a g r a m w h i c h w o u l d h a v e t h e s a m es c a li n g b e h a v i o u r c o u l d b e o b t a i n e d b y f u n c t i o n a l l y d i f f e re n t i a t in g l o g Z w i t hr e s p e c t t o t h e b a c k g r o u n d m e t r i c a t t w o d i f f e re n t p o i n t s a n d t h e n c o n n e c t i n g th e s ep o i n t s b y a g r a v i t a t io n a l p r o p a g a t o r . I n f a c t a ll th e h i g h e r o r d e r t e r m s h a v e s c a l in gb e h a v i o u r k -n w h e r e n _ _> 2. T h u s o n e w o u l d e x p e c t t o m a k e a n e g l i g i b l ec o n t r i b u t i o n t o t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n f o r b l a c k h o l e s o f si g n i fi c a n tl y m o r e t h a n t h eP l a n c k m a s s . T h e h i g h e r o r d e r ~ e rm s w i ll h o w e v e r b e i m p o r t a n t n e a r t h e P l a n c km a s s a n d w i ll c a u s e th e s c a li n g a r g u m e n t i n S e c t io n 6 t o b r e a k d o w n . O n e m i g h tn e v e rt h el e ss h o p e t h a t ju s t a s a b l a c k h o l e b a c k g r o u n d m e t r i c c o r r e s p o n d s t o a n

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148 s . w . H a w k i n g

i n f i n i t e s e q u e n c e o f h i g h e r o r d e r t e r m s i n a p e r t u r b a t i o n e x p a n s i o n a r o u n d f la ts p a c e , s o t h e h i g h e r o r d e r t e r m s i n e x p a n s i o n a b o u t a b l a c k h o l e b a c k g r o u n d m i g h ti n t u r n b e r e p r e s e n t e d b y m o r e b l a c k h o l e s .Acknowledgement.I am g ra tefu l for d iscuss ions with a nu mb er o f co l leagues inc luding G . W. Gibbo ns , A.S. Lapedes , Y. Manor , R. Penrose , M. J . Perry , and I . M. Singer .

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C o m m u n i c a t e d b y R . G e r o c h

Rec eived Feb ruary 10, 1977