Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente ...1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni ²tudij 7 2 Matematika 2 - visoko²olski strokovni ²tudij 17 3 Matematika 1 za

Zbirka kolokvijev in izpitov iz

Matematike za tudente

Naravoslovnotehnike fakultete

Nika Novak

Ljubljana, junij 2017

Naslov: Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za tudente Naravoslovnotehnikefakultete

Avtorica: Nika Novak1. izdajaSamozaloba Nika NovakDostopno na spletnem naslovu www.fmf.uni-lj.si/~novakn

Kataloni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjinici vLjubljaniCOBISS.SI-ID=290662400ISBN 978-961-283-961-1 (pdf)

Kazalo

1 Matematika 1 - visokoolski strokovni tudij 7

2 Matematika 2 - visokoolski strokovni tudij 17

3 Matematika 1 za geologe 27

4 Matematika 2 za geologe 35

5 Matematika 2 - univerzitetni tudij 43

6 Matematika 3 - univerzitetni tudij 59

3

Predgovor

Priujoa zbirka starih kolokvijev in izpitov je nastala v tudijskih letih 2013/2014in 2014/15, ko sem vodila vaje na Naravoslovnotehnini fakulteti pri profesorju J.Braiu. V njej so zbrane naloge tako za univerzitetne tudente kot za tudentevisokoolskega strokovnega programa. Nekateri predmeti so se v preteklih letihspremenili, e vedno pa pokrivajo osnove matematine analize in linearne algebre.elim vam veliko uspeha pri reevanju!

V Ljubljani, junij 2017.

Nika Novak

5

Poglavje 1

Matematika 1 - visokoolski

strokovni tudij

7

1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij28. november 2014

1. Poiite najveji skupni delitelj in najmanji skupni vekratnik tevil 2640 in594.

2. Reite neenabo|x 3|+ x 2 < |x 1|.

Mnoico reitev zapiite kot interval ali unijo intervalov.

3. V kompleksni ravnini nariite mnoico

A = {z C; |z i| 2 in Im(z) > 0}.

4. Poiite vsa kompleksna tevila z, za katera je4 z 42 1 zz 1 0

= 0

5. Dane so matrike

A =

[1 2 23 4 1

], B =

[2 5 33 1 0

]in C =

[4 67 3

].

Izraunajte tiste od izrazov

(a) A B + C,(b) A B> + C,(c) A> B + C,(d) (A+B)> C,

ki jih lahko.


NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij23. januar 2015

1. Reite sistem enab

x + 2y z = 34x 2y + 5z = 22x 16y + 16z = 14.

2. Doloite tevilo x, da bo kot med vektorjema

~a =

[1x

]in ~b =

[x

3

]enak

3.

3. Dane so toke A(1, 0, 3), B(2, 1, 1) in C(1, 4,2). Poiite toko D, da bo likz oglii ABCD paralelogram. Izraunajte e njegovo ploino.

4. Poiite aritmetino zaporedje, za katerega je vsota prvih 15 lenov enaka 30in velja

(2a3 a6)a2 = 2.

1. IZPIT IZ MATEMATIKE 1


1. Reite neenabox|x 5| > 6.


2. Dana je matrika

A =

3 2 24 6 11 0 2

.Poiite matriko X, za katero bo veljalo AX + I = AT .

3. Doloite kot med vektorjema

~a =

212

in ~b =411

.Izraunajte e:

(a) ploino paralelograma, ki ga doloata vektorja ~a in ~b,

(b) prostornino paralelepipeda, ki ga doloajo vektorji ~a,~b in ~a~b.

4. Reite sistem enabx + 2y 2z = 62x y 3z = 23x + y + 5z = 6.


NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij15. junij 2015

1. Poiite realna tevila x, za katera velja x 21 + x 1 + 2x > 1.

2. Dani sta matriki

A =

1 2 32 2 31 0 1

in B = [2 1 10 3 2

]

Poiite matriko X, za katero bo veljalo AX = B>.


2x + y + z = 1x + 2y + z = 0x y + 2z = 7.

4. Poiite aritmetino zaporedje, za katerega veja

(a5 a3)a1 = 24a1 + a6 = 30.



1. V prostoru so dane toke A(1, 0, 3), B(2, 5, 1) in C(1, 1, 1). Izraunaj ploinotrikotnika in viino trikotnika na stranico AB.

2. Dani sta matriki

A =

1 3 22 1 34 3 1

in B = [2 1 31 2 1

]

Poii matriko X, za katero bo veljalo AX = B>.

3. Dana so oglia tetraedra A(3, 1, 0), B(4, 3, 1), C(2, 2, 0) in D(a, 0, 1). Doloitevilo a tako, da bo prostornina tetraedra enaka 1.

4. Poiite geometrijsko zaporedje, katerega vsota prvih estih lenov je 63 invelja g3

g5= 4.


NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij19. avgust 2015

1. V prostoru so dane toke A(1, 1, 2), B(3, 1,1) in C(2, 0, 1). Poii toko D,tako da bo ABCD paralelogram in izraunaj njegovo ploino.

2. Dani sta matriki

A =

3 2 10 1 23 1 1

in B =2 11 34 0

Poii matriko X, za katero bo veljalo XA = B>.

3. Poii tevilo k, za katerega ima sistem

2x + 5y + kz = 0x + ky + 2z = 0x + y + 2z = 0

neskonno reitev.

4. Poii aritmetino zaporedje, za katerega velja

a1 + a5 = 10

a2 a4 = 21.


NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij1. september 2015

1. V prostoru so dane toke A(4, 1, 0), B(2, 2, 1) in C(1, 2, 3). Izraunj obseg inploino trikotnika ABC.

2. Dani sta matriki

A =

2 1 03 1 12 1 3

in B = [ 3 1 21 0 4]


3. Rei sistem enabx y + z = 22x + 3y 2z = 22x 5y + z = 1.

4. Poii padajoe geometrijsko zaporedje, za katerega velja

g1 + g2 + g3 =21

24g4 = g2.



1. V prostoru so dane toke A(2, 2,1), B(3, 1, 4) in C(1, 2, 1). Poii toko D,tako da bo ABCD paralelogram in izraunaj njegovo ploino.

2. Dani sta matriki

A =

1 2 12 0 31 1 3

in B = [5 2 13 1 0

]


3. Rei sistem enab2x y + 2z = 4x + 2y 3z = 23x y 5z = 0.

4. Poii padajoe aritmetino zaporedje, za katerega velja

a3 + a5 = 16

a2 a6 = 55.

Poglavje 2

Matematika 2 - visokoolski

strokovni tudij

17


NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij10. april 2015

1. (a) Izraunaj limito limn

(3n+ 1

3n 1

)n+2(b) Ali vrsta

n=1

3n

2n+n2 + 1

konvergira?

2. Poii enabo premice, ki gre skozi toko A(1, 2) in skupaj s koordinatnimaosema omejujejo trikotnik s ploino 4.

3. Naj bo f(x) = e1x in h(x) = ex+1.

(a) Doloi denicijsko obmoje funkcije f in njen inverz f1.

(b) Poii funkcijo g, za katero velja f g = h.

4. Doloi nile, pole, asimptoto in narii funkcijo

f(x) =x4 3x2 + 2xx2 x 2

.



1. (a) Doloi realni tevili a in b tako, da bo funkcija

f(x) =

sin2 axx2

, x < 0

bx+ 4, 0 x 11x2

x2+x2 , 1 < x

zvezna.

b Izraunaj limito

limx

(x+ 3

x 2

)1x.

2. Poii stacionarne toke funkcije

f(x) =ln(1 + x2)

1 + x2

in jih klasiciraj. Doloi e intervale naraanja.

3. Izraunaj nedoloena integrala:

(a)(1 2x) cos 2x dx

(b)

arcsinx1x2 dx

4. Naj bo

f(x) =3 x2x+ 2

.

(a) Poii tisto tangento na graf funkcije f(x), ki je vzporedna s premicoy = 2 x

2.

(b) Izraunaj prostornino telesa, ki nastane, ko lik, ki ga graf funkcije f(x)omejuje s koordinatnima osema, zavrtimo okoli abscisne osi.



1. Izraunaj limiti:

(a) limn

(x+ 2

x+ 4

)3x(b) lim

x0

x

tg(5x).

2. Poii nile, pole, asimptoto in narii graf funkcije

f(x) =x2 4x+ 3

x+ 1.

3. Poii lokalne ekstreme funkcije

f(x) =2x

1 + x2.

Doloi e intervale, kjer je funkcija konkavna.

4. Izraunaj integrala:

(a)

1

x(1 + ln2 x)dx

(b) 10

(1 + x)exdx.



1. Izraunaj limiti:

(a) limx

(2x+ 3

2x+ 5

)x(b) lim

x4

sin 2x

x 4.

2. Doloi denicijsko obmoje in zalogo vrednosti funkcije

f(x) =2

x2 + 3x+ 2.

.


f(x) =ex

x 1.

Doloi e intervale, kjer funkcija pada.

4. Izraunaj prostornino telesa, ki ga dobimo, e okoli osi x zavrtimo krivuljo

y = 1 + sinx

med dvema zaporednima nilama.


NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij19. avgust 2015

1. Izraunaj limiti:

(a) limn

(n2 3n n 2

)(b) lim

x

(x 3x+ 2

)2x+1.


f(x) =x2 + 2x+ 1

x 2.

.


f(x) =ln(2 + x)

2 + x.

Doloi e intervale, kjer funkcija naraa.


y = x+ ex,

ko je x [0, 1].



1. Izraunaj limiti:

(a) limn

(n2 3n n 2

)(b) lim

x

(x 3x+ 2

)2x+1.


f(x) =x2 + 2x+ 1

x 2.

.


f(x) =ln(2 + x)

2 + x.



y = x+ ex,

ko je x [0, 1].



1. Izraunaj limiti:

(a) limx0

x ctg(3x)

(b) limx

(3x 13x+ 2

)x


f(x) =x3 3x2 + x 3

x2 x 2.


f(x) = (x2 5)e2x.


4. Izraunaj integrala:

(a)

ex

1 + e2xdx

(b)(2 + x) sin(x+ 1) dx



1. Izraunaj limiti:

(a) limx0

sin2 3x

x2

(b) limx

(2x 12x+ 3

)x+1


f(x) =x2 3x+ 2x2 + 2x

.


f(x) = 5 ln(x2 + 4) 2x.


4. Izraunaj prostornino telesa, ki ga dobi, e okoli osi x zavrti funkcijo

f(x) = x cosx

na intervalu x [0, 2].


NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij11. februar 2016

1. Izraunaj limiti:

(a) limx0

sin2 3x

x2

(b) limx

(2x 12x+ 3

)x+1


f(x) =x2 3x+ 2x2 + 2x

.


f(x) = 5 ln(x2 + 4) 2x.


4. Izraunaj prostornino telesa, ki ga dobi, e okoli osi x zavrti funkcijo

f(x) = x cosx

na intervalu x [0, 2].

Poglavje 3

Matematika 1 za geologe

27


NTF Geologija - univerzitetni tudij27. november 2013


2. Reite neenabo|x+ 1|+ |x 2| 2 + x.


3. Dane so matrike

A =

[1 23 4

], B =

[2 5 33 1 0

]in C =

4 67 31 2

.Poiite matriko X, ki zadoa enabi XA+B> = C.

4. Doloite k, da bo imel sistem enab

2x y + 5z = 3x + ky + z = 12x + 2y 3z = 2

ve reitev. Nato poiite reitve tega sistema.

5. Dani so vektorji

~a =

122

, ~b = 11

x

in ~c = 221

.(a) Doloite x, da bo vektor ~a~b kazal v smeri vektorja ~c.

(b) Izraunajte kot med vektorjema ~a in ~b.


NTF Geologija - univerzitetni tudij15. januar 2014

1. Naj bo

f(x) =3 + 2x x2

x+ 2.

Poii nile, pole, asimptoto in zaetno vrednost. Skiciraj graf funkcije.

2. Doloi intervale naraanja za funkcijo f(x) = sin x x cosx.

3. S pomojo diferenciala izraunaj priblino vrednost funkcije f(x) = 1xv toki

x0 = 3, 9. Rezultat zapii v decimalni obliki.

4. Izraunaj nedoloeni integral(1 + arcsin x)3

1 x2dx.

5. Naj bo y = ln(1 + x).

(a) Doloi enabo tangente na krivuljo v toki x = e 1.(b) Doloi ploino lika, ki ga omejujejo y = ln(1 + x), tangenta iz toke (a)

in os x.



1. Reite neenabo2|x 3| |x| > 6.

Mnoico reitev zapiite kot interaval ali unijo intervalov.

2. Reite enabo 5 2 xx+ 1 2 13 1 0

= 3.

3. Zapiite enabo premice skozi toko A(2, 1,3), ki je pravokotna na ravnino2x 5x+ z = 3.

4. Doloite intervale padanja za funkcijo f(x) =5 2xx

e2x.

5. Izraunajte nedoloen integral(2x+ 1) sin 3x dx.


NTF Geologija - univerzitetni tudij7. februar 2014


2. Poiite reitev sistema enab

3x y 2z = 44x 6y 10z = 7x + 2y + 3z = 1

3. Dani sta matriki

A =

[1 42 3

]in B =

[0 2 31 2 1

].

Poiite matriko X, ki rei enabo XA = B>.

4. Doloite denicijsko obmoje funkcije

y = ln(8 2x x2)

in poiite lokalne ekstreme.

5. Izraunajte ploino lika, ki ga omejujejo

y = cos 2x, y = x 4

in os y.


NTF Geologija - univerzitetni tudij13. junij 2014

1. Reite neenabox|x 5| < 6.


2. Poiite reitev sistema enab

x + 2y z = 32x 5y + 2z = 1x + 11y 5z = 8

3. Dana sta vektorja

~a =

212

in ~b =41x

.doloite x, da bo kot med vektorjema

4.

4. Doloite denicijsko obmoje funkcije

f(x) =ex

x2 4

in poiite lokalne ekstreme. Doloite e intervale naraanja.

5. Izraunajte nedoloeni integral lnx+ 1

x lnxdx.



1. Poiite realna tevila t za katera velja 1 t2 t 3 > t 1 12 2

.2. Poiite enabo ravnine skozi toke A(1, 4,2), B(2,1, 1) in C(3, 2, 2).

3. Poiite lokalne ekstreme funkcije

f(x) =1

x+ 2 arctg x.

Doloite e intervale naraanja.

4. Izraunajte ploino lika, ki ga omejujeta kvadratni funkciji

y = x2 2x in y = 2 + x x2.


NTF Geologija - univerzitetni tudij5. september 2014

1. Dana je matrika

A =

[3 54 6

].

Poiite matriko X, za katero bo veljalo AX + I = AT .

2. Dan je paralelogram ABCD, pri katerem poznamo oglia A(2, 1, 1), C(3, 1, 3)in D(4, 0, 1). Doloite koordinate oglia B in ploino paralelograma.

3. Doloite denicijsko obmoje in lokalne ekstreme funkcije

f(x) =x+10 4x.


4. Izraunajte prostornino vrtenine, ki nastane, e krivuljo y = x2(2 x) medobema nilama zavrtimo okoli osi x.

Poglavje 4

Matematika 2 za geologe

35


NTF Geologija - univerzitetni tudij3. april 2015

1. Poii tisto reitev diferencialne enabe

xy = y + yx+ x3e2x,

za katero je y(1) = 2e.

2. Poii splono reitev diferencialne enabe

y + 2y 8y = x+ 2e2x.

3. Dana je funkcija

f(x, y) = ln

(1

1 +

x

y

).

(a) Doloi denicijsko obmoje funkcije in ga narii.

(b) Narii nivojnici N0 in Nln 1/2.

(c) Poii zalogo vrednosti.

4. Naj bof(x, y) = (y4 x)ex.

(a) Poii vse toke, v katerih je gradient funkcije nieln.

(b) Poii vse enotske vektorje ~s, za katere je smerni odvodf

~s(2,1) = 0.



1. Poii enabo tangentna ravnine na graf funkcije

f(x, y) = x2arctg(x+ y)

v toki A(1, 0, z0).


f(x, y) = x2 + 3xy2 + 2y2

in jih klasiciraj.

3. Naj boD

f(x, y) dxdy = 10

dx arcsinx0

f(x, y) dy + 21

dx

2(2x)

0

f(x, y) dy.

(a) Zamenjaj vrstni red integriranja.

(b) Izraunaj integral v primeru, ko je f(x, y) = y.

4. Izraunaj teie telesa z gostoto (x, y, z) = z, za katerega velja

x2 + y2 z 2 x2 y2.




y 5y + 6y = sin 2x.

2. Doloi denicijsko obmoje funkcije

f(x, y) = ln(x2 y2)

in ga narii. Izraunaj e gradient funkcije v toki T (2, 1).

3. Poii najvejo in najmanjo vrednost funkcije

f(x, y) = x2 2x+ y2 2y

na krogu x2 + y2 4.

4. Izraunaj integral D

xy(1 + (x2 + y2)2

)2dxdy,kjer za obmoje D velja x2 + y2 1, x 0 in y 0.


NTF Geologija - univerzitetni tudij19. avgust 2015


x lnx y + y = 2 ln x,

za katero je y(e) = 2.

2. Dana je funkcija dveh spemenljivk

f(x, y) = arctgx

y.

Izraunaj gradient funkcije v toki T (1, 2) in izraunaj priblino vrednost funk-cije f(0.9, 2.2).


f(x, y) = ex(x y2)

in jih klasiciraj.

4. Izraunaj trojni integral D

(2x+ 1)dx dy dz,

kjer za obmoje D velja x2 + y2 4, y 0 in 0 z y.




y + 2y 3y = 3x+ 1.


f(x, y) = ln(x2 + 2y + 1).

(a) Doloi denicijsko obmoje funkcije .

(b) Izraunaj smerni odvod funkcije v toki T (2,1) v smeri vektorja ~s =[31

].


f(x, y) = ex2 (x y)2

in jih klasiciraj.


(x2 + y2 + z2)dx dy dz,

kjer za obmoje D velja x2 + y2 z2, x 0 in 0 z 2.



1. Poii tiso reitev diferencialne enabe

x2y + xy = lnx

za katero je y(1) = 2.


f(x, y) =

x y

x2 + y2.


(b) Izraunaj gradient funkcije v toki T (2, 1).


f(x, y) = e2x(x+ y2 + 2y)

in jih klasiciraj.


(x+ y + z)dx dy dz,

kjer za obmoje D velja x2 + y2 z, y 0 in z 1.




y 2y 8y = (x+ 4)ex + 2.


f(x, y) =ln(2x y)x2 + y2 1

.


(b) Izraunaj gradient funkcije v toki T (2, 1).


f(x, y) = (x2 + y)exy

in jih klasiciraj.

4. Izraunaj prostornino telesa doloenega z neenakostmi

x2 + y2 z, z 1 x2 y2 in x 0.

Poglavje 5

Matematika 2 - univerzitetni tudij

43


NTF Montanistika - univerzitetni tudij2. april 2014

1. Naj bodo a1, a2, a3 leni geometrijskega zaporedja, katerih vsota je 52. emed a2 in a3 vrine dve tevili, dobi aritmetino zaporedje. Poii zaetnozaporedje.

2. Poii vse premice skozi toko A(0, 3), ki se dotikajo kvadratne funkcije y =x2 4x+ 4.

3. Doloi nile, pole, asimptoto in narii funkcijo

f(x) =x3 5x2 + 8x 4

x2 + x.

Preveri, e je funkcija soda ali liha.

4. Rei enabosinx

sinx+ cosx cosx

sinx cosx= 2.

5. Doloi tevili a in b, da bo funkcija

f(x) =

ax

x2+2x;x < 0

2x+ 4 ; 0 x 2xb1 ; 2 < x

zvezna.


NTF Montanistika - univerzitetni tudij6. junij 2014

1. S pomojo diferenciala izraunaj priblino vrednost funkcije f(x) = 1xv toki

x0 = 3, 9. Rezultat zapii v decimalni obliki.

2. Naj bo

f(x) =ln(1 + x2)

1 + x2.

Doloi denicijsko obmoje, zalogo vrednosti, nile, intervale naraanja inpadanja in ekstreme. Skiciraj graf funkcije.

3. Izraunaj nedoloeni integral 2x3

2x3 + x 6dx.

4. Naj bo y = lnx.

(a) Doloi enabo tangente na krivuljo v toki x = e.

(b) Doloi prostornino vrtenine, ki jo dobi, e okoli osi x zavrti lik, ki gaomejujejo funkcija y = lnx, tangenta iz toke (a) in os x.

5. Poii reitev diferencialne enabe

y 2xy = x,

za katero velja y(0) = 1.



1. Rei enabo4x 3 2x+1 = 24.

2. Doloi a in b, tako da bo funkcija

f(x) =

sin 4xx

;x < 0

x+ a ; 0 x 3x2b

x22x3 ;x 3

zvezna.

3. Poiite lokalne ekstreme funkcije

f(x) = tg x 2x.


4. Izraunajte ploino lika, ki ga omejujejo

y = x cos 2x; y = x 4

in os y.

5. Poiite reitev diferencialne enabe:

(1 + x2)y xy =1 + x2,

ki ustreza zaetnemu pogoju y(1) = 0.



1. Doloite nile, pole, asimptoto in nariite funkcijo

f(x) =x2 4x1 + x

.

2. Izraunajte limiti:

(a) limx1

sin(2x)

x 1(b) lim

x(x2 3x x).

3. Doloite tevilo A tako, da bo imela funkcija

f(x) = A arctg (2x) 2 arctg x

lokalna ekstrema v tokah x = 1. Doloite e intervale naraanja.

4. Izraunajte prostornino telesa, ki ga dobimo, e krivuljo

y = sinx, 0 x

zavrtimo okoli osi x.

5. Poiite reitev diferencialne enabe:

y = sinx cos2 y,

ki ustreza zaetnemu pogoju y(0) = 0.


NTF Montanistika - univerzitetni tudij5. september 2014

1. Rei enabo2 sin2 x cosx = 1.

2. Izraunajte limiti:

(a) limx0

(2 3x2 + 5x

) 2x

(b) limn

4n+2 + 22n 14n+3 + 3n

.

3. Dana je funkcija

f(x) =xx 2

x 5.

Doloite njeno denicijsko obmoje, nile, pole, asimptote in lokalne ekstreme.Nariite e graf.

4. Izraunajte prostornino telesa, ki ga dobimo, e krivuljo

y =ex

e2x + 1; 1 x 2

zavrtimo okoli osi x.

5. Poiite splono reitev diferencialne enabe

xy (x+ 1)y = ex.



1. Dana je funkija

f(x) =

{1 + 2

x; x 1

a arctg x x > 1

(a) Doloite konstanto a, tako da bo funkcija zvezna na vsej realni osi.

(b) Nariite graf funkcije.

2. Poiite enabo tangente na

f(x) = xex ln(1 x)

v toki x0 = 0 in izraunajte priblino vrednost funkcije f(0, 1).

3. Dana je funkcijaf(x) = x

1 x2.

Doloite denicijsko obmoje, zalogo vrednosti, nile, ekstremein poiite lo-kalne ekstreme, intervale naraanja in padanja. Nariite e njen graf.

4. Izraunajte ploino lika, ki ga oklepa krivulja

y = (2x+ 1) sinx

z osjo x na intervalu [0, ].

5. Poiite tisto reitev diferencialne enabe

(4 + x2)y + xy = 2x,



NTF Montanistika - univerzitetni tudij17. april 2015

1. Dani sta matriki

A =

3 1 53 1 48 3 10

in B = 2 1 11 3 1

1 2 1

.Poii matriko X, za katero je

AXA1 + 2I = B>.

2. Dana so oglia tetraedra A(3, 1, 0), B(4, 3, 1), C(2, 2, 0) in D(a, 0, 1). Doloitevilo a tako, da bo prostornina tetraedra enaka 1. Doloi e viino, ki greskozi oglie D.

3. Poii vsa realna tevila x, za katera velja2 1 x 33 0 2 x1 1 1 x 43 2 1 0

< 4x2.

4. Obravnavaj sistem enab glede na razline vrednosti parametra k

2x + y z = 0x + ky + 4z = 2x + 4y + kz = 2.



1. Zapii enabo ravnine skozi toko A(1, 1, 1), ki je vzporedna premici

x 1 = y 32

=z + 2

0

in je od nje oddaljena 3 enote.

2. Z Rn[x] oznaimo prostor vseh polinomov stopnje najve n.

(a) Preslikava A : R2[x] R2[x] je podana s predpisom

A(ax2 + bx+ c) = (2a+ 2b c)x2 + (a+ c)x+ (3a+ 2b+ 4c).

Pokai, da je A linearna in doloi matriko, ki ji pripada v standardni bazi{1, x, x2}.

(b) Poii jedro preslikave kerA.

3. Poii lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

A =

1 6 36 8 63 6 7

.

4. Dana je krivulja v prostoru

~r(t) = (e2t cos t, e2t sin t, e2t), t 0.

(a) Poii naravni parameter.

(b) Poii torzijsko in eksijsko ukrivljenost v toki t = 1.



1. Dani so vektorji

~a =

14

, ~b = 12

0

in ~c =33

4

.Doloi tevilo tako, da bodo vektorji ~a,~b in ~c leali na isti ravnini.

Namig: Izraunaj prostornino paralelepipeda, ki ga doloajo.


x y + z = 22x + 3y 2z = 22x 5y + z = 1.


A =

3 2 21 4 12 4 1

.

4. Dana je krivulja v prostoru

~r(t) =

(t,t2

3,2t3

27

).

(a) Izraunaj dolino krivulje od toke A(3, 3,2) do toke B(3, 3, 2).(b) Dokai, da je v vsaki toki na krivulji kot med tangento krivulje in ravnino

x+ z = 3 enak in ga izraunaj.



1. Zapii enabo ravnine, ki gre skozi tokiA(1, 3, 4) inB(2, 5, 3) ter je pravokotnana ravnino x+ y + 2z = 1.


x + y + 2z + 3u v = 5x + 2y + z + 5u v = 5

x + y 4z + 2u = 32x y + 7z 2u = 6.

3. Doloi tevilo k tako, da bo 0 lastna vrednost matrike

A =

2 1 30 3 k0 4 1

.Poii e lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti 0.

4. Poii naravno parameterizacijo krivulje

~r(t) =

(t sin t, 1 cos t, 4 sin t

2

)ter izraunaj njeno eksijsko ukivljenost v toki (0, 0, 0).


NTF Montanistika - univerzitetni tudij19. avgust 2015

1. Dane so toke A(2, 1, 0), B(1,1, 2) in C(3, 1, 1). Poii toko D, tako daje prostornina tetraedra ABCD enaka 1/2 in je vektor ~AD pravokoten naravnino skozi toke A, B in C.


x + 3y + 2z u = 4x 2y + 3z 2u = 32x + y 2z + u = 6

x y z = 0.


A =

3 6 61 6 23 6 0

.

4. Izraunaj eksijsko in torzijsko ukrivljenost krivulje

~r(t) = (cos t, sin t, t)

v toki (1, 0, 0).



1. Dani sta toki A(3, 2, 1) in B(1, 1, a). Toka C naj bo pravokotna projekcijatoke A na ravnino x + 2y z = 0. Doloi tevilo a, tako da bo ploinatrikotnika ABC enaka 3

2

11.


2x + y + z 2u = 1x y + 2z + 2u = 2x + y 3z + 2u = 0

4x + y + 2u = 3.


A =

4 6 81 5 43 6 7

.

4. Izraunaj eksijsko ukrivljenost krivulje

~r(t) =(t cos(2t), t sin(2t), t2

)v toki (1, 0, 1).



1. Naj bo A toka, v kateri premica p : x 1 = y12

= z21 prebada ravninox + y 3z = 2. Poii toko B na premici p, tako da bo ploina trikotnika,ki ga doloajo toke A, B in koordinatno izhodie, enaka

35.


x + 2y + 3z u = 32x 3y z + u = 53x + y + 2z 2u = 1

2y 2u = 9.


A =

4 2 44 1 14 4 2

.

4. Izraunaj eksijsko ukrivljenost krivulje

~r(t) = (cos(t), sin(t), 2t)

v toki (1, 0, 2).


NTF Montanistika - univerzitetni tudij28. januar 2016

1. Poii enabo tiste ravnine skozi toko A(1, 2, 3), katere presek s premicama

p1 : x 1 =y 23

= 1 z

p2 :x 22

=y 10

= z + 2

je prazen.


x + 2y 2z + 3u = 12x + 3y z + u = 33x + y z 2u = 5

2x 2z = 9.


A =

7 3 18 3 210 3 4

.

4. Izraunaj eksijsko in torzijsko ukrivljenost krivulje

~r(t) = (t, sin t, cos t)

v toki (, 0,1).


NTF Montanistika - univerzitetni tudij11. februar 2016

1. Dani sta toki A(1, 2, 2) in B(2, 3, 0). Poii toko C na premici p : x 2 =y23

= 2z2, tako da bo ploina trikotnika ABC enaka

5.


x + 2y 3z + u = 22x + y z + 2u = 13x y + 2z u = 3

4y 6z + 4u = 0.


A =

7 3 18 3 210 3 4

.

4. Naj bo R2[x] prostor vseh polinomov stopnje 2 ali manj.

(a) Pokai, da je odvajanje linearna preslikava na tem prostoru.

(b) Zapii matriko, ki pripada odvajanju glede na bazo e0(x) = 1,e1(x) = 1 + x, e2(x) = 1 + x+ x2.

Poglavje 6

Matematika 3 - univerzitetni tudij

59


NTF Montanistika - univerzitetni tudij28. november 2014

1. V diferencialno enabo

2xy + 1 = y +x2

y 1vpelji novo spremenljivko z = y 1 in jo rei.


y 4y + 3y = (2x+ 1)e3x,

za katero je y(0) = 1 in y(0) = 2.

3. Rei sistem diferencialnih enab

y = 2y + 3z

z = 4y + z.

4. Doloi denicijsko obmoje funkcije

f(x, y) = arctg

1 +y

x.

in ga narii. Poii e zalogo vrednosti.

5. Doloi tevilo a, da bo funkcija

f(x, y) =

{cos y

3

(x1)2+y2 ; (x, y) 6= (1, 0)a; (x, y) = (1, 0)

zvezna.



1. Doloi enabo tangentne ravnine na graf funkcije

f(x, y) = ln(x y) ln(1 + y2)

v toki T (2, 1, z0).

2. Poii vse stacionarne toke funkcije

f(x, y) = 2y +1

x+ y+ exy

in jih klasiciraj.

3. Naj boD

f(x, y) dxdy = 10

dx 2

arcsinx

0

f(x, y) dy + 21

dx 2xx20

f(x, y) dy.

(a) Zamenjaj vrstni red integriranja.

(b) Izraunaj teie obmoja D.

4. Izraunaj integral V

(x+ y + z) dV

po obmoju V , podanem z

x2 + y2 1 z in x2 + y2 2z.




y + y 6y = 3 sin 2x+ e3x.

2. Poii denicijsko obmoje funkcije

f(x, y) = ln(arcsin(x2 + y2))

in ga narii. Doloi e zalogo vrednosti.


f(x, y) = x2 + 3xy2 + 2y2

in jih klasiciraj.

4. Izraunaj prostornino telesa, za katerega velja

x2 + y2 9, x+ y + z 3 in z 0.


NTF Montanistika - univerzitetni tudij11. februar 2015


(2yy x)(x2 1) = xy2.


2. Doloi tevilo a, da bo funkcija

f(x, y) =

{(x2y2)(y+1)+2y2

x2+y2(x, y) 6= (0, 0)

a (x, y) = (0, 0)

zvezna.


f(x, y) = (x2 + y2 5)ey/2

in jih klasiciraj.

4. Izraunaj maso in teie lika D, ki je doloen z neenakostmi

1 x2 + y2 4, x 0 in y 0,

in ima gostoto f(x, y) = 11+x2+y2

.




y + 2y + 2y = 2 cos 3x.

2. Poii denicijsko obmoje funkcije

f(x, y) =

cos

(x2 + y2)

2

in ga narii. Doloi e zalogo vrednosti.


f(x, y) = (x+ y)exy

in jih klasiciraj.

4. Izraunaj teie telesa z gostoto (x, y, z) = 1, za katerega velja

x2 + y2 + z2 1, x2 + y2 z2 in z 0.




2y +3y

x lnx= 3 3y,

za katero je y(e) = 0.

2. Dana je funkcijaf(x, y) = ln(x2 y2) + 2x.

(a) Doloi denicijsko obmoje in ga narii.

(b) Poii stacionarne toke in jih klasiciraj.

3. Izraunaj dvojni integral D

ydxdy,

e za obmoje D velja x2 + y2 1 in x2 2x+ y2 1.

4. Izraunaj teie telesa doloenega z neenakostmi

z x2 + y2 2z in x2 + y2 1.


NTF Montanistika - univerzitetni tudij19. avgust 2015


y 6y + 9y = 2xe3x + 3 cos 3x.


f(x, y) = (4x2 + 3)ex2y2

in jih klasiciraj.


(x2 + y2)dxdy,

e je obmoje D paraelogram omejen s premicami y = x, y = x + 1, y = 1 iny = 2.

4. Izraunaj prostornino telesa doloenega z neenakostima

x2 + y2 4z2 in x2 + y2 3 z.




y 4xyx2 1

= 8xy,



f(x, y) = 2 ln(3 + x2 + 3y2) x 3y2

in jih klasiciraj.


sin(x2 + y2)dxdy,

e za obmoje D velja x2 + y2 in y 0.

4. Izraunaj teie telesa doloenega z neenakostmi

x2 + y2 z2, z 0 in 2z x2 + y2 + 1.




y + 3y 4y = 2xex + sin(4x),

za katero je y(0) = 0 in y(0) = 1.


f(x, y) = (x2 + y)exy

in jih klasiciraj.


(x2 + y2)dxdy,

e je obmoje D trikotnik z oglii A(0, 0), B(3, 1) in C(2, 3).

4. Izraunaj prostornino telesa doloenega z neenakostmi

x2 + y2 + z2 1, x2 + y2 z2 in z 0.

Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente ...1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni ²tudij 7 2 Matematika 2 - visoko²olski strokovni ²tudij 17 3 Matematika 1 za

Text of Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente ...1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni...

Filsafat matematika hirarki matematika unik

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA “Matematika … · PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA “Matematika dan Pendidikan Matematika Berbasis Riset” Jurusan Matematika Fakultas

MONACOR INTERNATIONALBDA.pdf · Deutsch. 4. English English age Français Français age Italiano Italiano agina Español Español cágina Nederlands Nederlands agina olski olski trona

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan … · 2020. 7. 13. · Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2012 Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Matematika 2 Matematika 2 - bkovacic.weebly.com

AKADEMICK IE MISTRZOSTWA MAŁOP OLSKI 2015 /2016 · 2019-05-21 · AKADEMICK IE MISTRZOSTWA MAŁOP OLSKI 2015 /2016 2 PATRONAT MEDIALNY: WSPARCIE FINANSOWE: 20 Witos Joanna AZS CM

Matematika Matematika Matematika Geográfia Informatika

JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA, ILMU MATEMATIKA …eprints.uad.ac.id/2429/1/111201_B1_11_AdMathEdu_Vol_2_No_1.pdf · JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA, ILMU MATEMATIKA DAN MATEMATIKA TERAPAN

E-Jurnal Matematika - Repositori | Universitas … di bidang ilmu matematika dan terapannya, seperti statistika, matematika finansial, pengajaran matematika dan terapan matematika

Matematika Blackjacka – kockarska matematika

E-Jurnal Matematika - repositori.unud.ac.id filepeminat di bidang ilmu matematika dan terapannya, seperti statistika, matematika finansial, pengajaran matematika dan terapan matematika

FIBONACCI Jurnal Pendidikan Matematika & Matematika

MATEMATIKA DISKRITrepository.stkipgetsempena.ac.id/.../Matematika_Diskrit.pdf · MATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT Samuel Wibisono 2 Edisi

K rólowie elekcyjni P olski

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA “Matematika …

· PDF fileTes Kompetensi Guru ... dalam daftar terlampir untuk mengikuti kegiatan Ujicoba Pengembangan Soal ... Matematika Matematika Matematika Matematika

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU ... · Program Studi Pendidikan Matematika oleh Pinta Dian Lestari 4101411029 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

Sumbangan Matematika · 2017-11-29 · ma s Integrating academic excellence and humanistic values 2 •Hakekat Matematika •Peranan Matematika •Sumbangan Matematika •Matematika,

MATEMATIKA - MATERIJALI · MATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 1 3 Kolokviji

Matematika Ekonomi Slide Matematika Ekonomi

MATEMATIKA€¦ · MATEMATIKA ... matematika

FIBONACCI Jurnal Pendidikan Matematika & Matematika

Islamska matematika 2; kineska matematika

pengantar dasar matematika (logika matematika)

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS … tudij/4-Zborniki... · Course Title: ANALYTICAL CHEMISTRY I ... S.R. Crouch, Fundamentals of Analytical Chemistry, 8thEd., Brooks/Cole,

Hakikat Matematika - · PDF fileSMP maupun guru matematika SMA. ... mengikuti lomba olimpiade matematika internasional ... Matematika lebih daripada aljabar,

MATEMATIKA DISKRIT - … · MATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT Samuel Wibisono 2 Edisi

Matematika dan Pendidikan Matematika

· Agus Pranata Anton Bhagaskara Valentino Prasetya Rafael Herman Yosef Stefanus Ng ... Fredy Mordechai Marpaung Rona Cuana Bidang Matematika Matematika Matematika Matematika Matematika

Matematika - MATEMATIKA

Documents

Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente ...1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni ²tudij 7 2 Matematika 2 - visoko²olski strokovni ²tudij 17 3 Matematika 1 za

Text of Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente ...1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni...