of 68 /68

Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente ...1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni ²tudij 7 2 Matematika 2 - visoko²olski strokovni ²tudij 17 3 Matematika 1 za

Embed Size (px)

Text of Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente ...1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni...

  • Zbirka kolokvijev in izpitov iz

    Matematike za tudente

    Naravoslovnotehnike fakultete

    Nika Novak

    Ljubljana, junij 2017

  • Naslov: Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za tudente Naravoslovnotehnikefakultete

    Avtorica: Nika Novak1. izdajaSamozaloba Nika NovakDostopno na spletnem naslovu www.fmf.uni-lj.si/~novakn

    Kataloni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjinici vLjubljaniCOBISS.SI-ID=290662400ISBN 978-961-283-961-1 (pdf)

  • Kazalo

    1 Matematika 1 - visokoolski strokovni tudij 7

    2 Matematika 2 - visokoolski strokovni tudij 17

    3 Matematika 1 za geologe 27

    4 Matematika 2 za geologe 35

    5 Matematika 2 - univerzitetni tudij 43

    6 Matematika 3 - univerzitetni tudij 59

    3

  • Predgovor

    Priujoa zbirka starih kolokvijev in izpitov je nastala v tudijskih letih 2013/2014in 2014/15, ko sem vodila vaje na Naravoslovnotehnini fakulteti pri profesorju J.Braiu. V njej so zbrane naloge tako za univerzitetne tudente kot za tudentevisokoolskega strokovnega programa. Nekateri predmeti so se v preteklih letihspremenili, e vedno pa pokrivajo osnove matematine analize in linearne algebre.elim vam veliko uspeha pri reevanju!

    V Ljubljani, junij 2017.

    Nika Novak

    5

  • Poglavje 1

    Matematika 1 - visokoolski

    strokovni tudij

    7

  • 1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij28. november 2014

    1. Poiite najveji skupni delitelj in najmanji skupni vekratnik tevil 2640 in594.

    2. Reite neenabo|x 3|+ x 2 < |x 1|.

    Mnoico reitev zapiite kot interval ali unijo intervalov.

    3. V kompleksni ravnini nariite mnoico

    A = {z C; |z i| 2 in Im(z) > 0}.

    4. Poiite vsa kompleksna tevila z, za katera je4 z 42 1 zz 1 0

    = 0

    5. Dane so matrike

    A =

    [1 2 23 4 1

    ], B =

    [2 5 33 1 0

    ]in C =

    [4 67 3

    ].

    Izraunajte tiste od izrazov

    (a) A B + C,(b) A B> + C,(c) A> B + C,(d) (A+B)> C,

    ki jih lahko.

  • 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij23. januar 2015

    1. Reite sistem enab

    x + 2y z = 34x 2y + 5z = 22x 16y + 16z = 14.

    2. Doloite tevilo x, da bo kot med vektorjema

    ~a =

    [1x

    ]in ~b =

    [x

    3

    ]enak

    3.

    3. Dane so toke A(1, 0, 3), B(2, 1, 1) in C(1, 4,2). Poiite toko D, da bo likz oglii ABCD paralelogram. Izraunajte e njegovo ploino.

    4. Poiite aritmetino zaporedje, za katerega je vsota prvih 15 lenov enaka 30in velja

    (2a3 a6)a2 = 2.

  • 1. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij28. januar 2015

    1. Reite neenabox|x 5| > 6.

    Mnoico reitev zapiite kot interval ali unijo intervalov.

    2. Dana je matrika

    A =

    3 2 24 6 11 0 2

    .Poiite matriko X, za katero bo veljalo AX + I = AT .

    3. Doloite kot med vektorjema

    ~a =

    212

    in ~b =411

    .Izraunajte e:

    (a) ploino paralelograma, ki ga doloata vektorja ~a in ~b,

    (b) prostornino paralelepipeda, ki ga doloajo vektorji ~a,~b in ~a~b.

    4. Reite sistem enabx + 2y 2z = 62x y 3z = 23x + y + 5z = 6.

  • 2. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij15. junij 2015

    1. Poiite realna tevila x, za katera velja x 21 + x 1 + 2x > 1.

    2. Dani sta matriki

    A =

    1 2 32 2 31 0 1

    in B = [2 1 10 3 2

    ]

    Poiite matriko X, za katero bo veljalo AX = B>.

    3. Reite sistem enab

    2x + y + z = 1x + 2y + z = 0x y + 2z = 7.

    4. Poiite aritmetino zaporedje, za katerega veja

    (a5 a3)a1 = 24a1 + a6 = 30.

  • 3. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij29. junij 2015

    1. V prostoru so dane toke A(1, 0, 3), B(2, 5, 1) in C(1, 1, 1). Izraunaj ploinotrikotnika in viino trikotnika na stranico AB.

    2. Dani sta matriki

    A =

    1 3 22 1 34 3 1

    in B = [2 1 31 2 1

    ]

    Poii matriko X, za katero bo veljalo AX = B>.

    3. Dana so oglia tetraedra A(3, 1, 0), B(4, 3, 1), C(2, 2, 0) in D(a, 0, 1). Doloitevilo a tako, da bo prostornina tetraedra enaka 1.

    4. Poiite geometrijsko zaporedje, katerega vsota prvih estih lenov je 63 invelja g3

    g5= 4.

  • 4. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij19. avgust 2015

    1. V prostoru so dane toke A(1, 1, 2), B(3, 1,1) in C(2, 0, 1). Poii toko D,tako da bo ABCD paralelogram in izraunaj njegovo ploino.

    2. Dani sta matriki

    A =

    3 2 10 1 23 1 1

    in B =2 11 34 0

    Poii matriko X, za katero bo veljalo XA = B>.

    3. Poii tevilo k, za katerega ima sistem

    2x + 5y + kz = 0x + ky + 2z = 0x + y + 2z = 0

    neskonno reitev.

    4. Poii aritmetino zaporedje, za katerega velja

    a1 + a5 = 10

    a2 a4 = 21.

  • 5. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij1. september 2015

    1. V prostoru so dane toke A(4, 1, 0), B(2, 2, 1) in C(1, 2, 3). Izraunj obseg inploino trikotnika ABC.

    2. Dani sta matriki

    A =

    2 1 03 1 12 1 3

    in B = [ 3 1 21 0 4]

    Poii matriko X, za katero bo veljalo AX = B>.

    3. Rei sistem enabx y + z = 22x + 3y 2z = 22x 5y + z = 1.

    4. Poii padajoe geometrijsko zaporedje, za katerega velja

    g1 + g2 + g3 =21

    24g4 = g2.

  • 6. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij15. september 2015

    1. V prostoru so dane toke A(2, 2,1), B(3, 1, 4) in C(1, 2, 1). Poii toko D,tako da bo ABCD paralelogram in izraunaj njegovo ploino.

    2. Dani sta matriki

    A =

    1 2 12 0 31 1 3

    in B = [5 2 13 1 0

    ]

    Poii matriko X, za katero bo veljalo AX = B>.

    3. Rei sistem enab2x y + 2z = 4x + 2y 3z = 23x y 5z = 0.

    4. Poii padajoe aritmetino zaporedje, za katerega velja

    a3 + a5 = 16

    a2 a6 = 55.

  • Poglavje 2

    Matematika 2 - visokoolski

    strokovni tudij

    17

  • 1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij10. april 2015

    1. (a) Izraunaj limito limn

    (3n+ 1

    3n 1

    )n+2(b) Ali vrsta

    n=1

    3n

    2n+n2 + 1

    konvergira?

    2. Poii enabo premice, ki gre skozi toko A(1, 2) in skupaj s koordinatnimaosema omejujejo trikotnik s ploino 4.

    3. Naj bo f(x) = e1x in h(x) = ex+1.

    (a) Doloi denicijsko obmoje funkcije f in njen inverz f1.

    (b) Poii funkcijo g, za katero velja f g = h.

    4. Doloi nile, pole, asimptoto in narii funkcijo

    f(x) =x4 3x2 + 2xx2 x 2

    .

  • 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij5. junij 2015

    1. (a) Doloi realni tevili a in b tako, da bo funkcija

    f(x) =

    sin2 axx2

    , x < 0

    bx+ 4, 0 x 11x2

    x2+x2 , 1 < x

    zvezna.

    b Izraunaj limito

    limx

    (x+ 3

    x 2

    )1x.

    2. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x) =ln(1 + x2)

    1 + x2

    in jih klasiciraj. Doloi e intervale naraanja.

    3. Izraunaj nedoloena integrala:

    (a)(1 2x) cos 2x dx

    (b)

    arcsinx1x2 dx

    4. Naj bo

    f(x) =3 x2x+ 2

    .

    (a) Poii tisto tangento na graf funkcije f(x), ki je vzporedna s premicoy = 2 x

    2.

    (b) Izraunaj prostornino telesa, ki nastane, ko lik, ki ga graf funkcije f(x)omejuje s koordinatnima osema, zavrtimo okoli abscisne osi.

  • 1. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij15. junij 2015

    1. Izraunaj limiti:

    (a) limn

    (x+ 2

    x+ 4

    )3x(b) lim

    x0

    x

    tg(5x).

    2. Poii nile, pole, asimptoto in narii graf funkcije

    f(x) =x2 4x+ 3

    x+ 1.

    3. Poii lokalne ekstreme funkcije

    f(x) =2x

    1 + x2.

    Doloi e intervale, kjer je funkcija konkavna.

    4. Izraunaj integrala:

    (a)

    1

    x(1 + ln2 x)dx

    (b) 10

    (1 + x)exdx.

  • 2. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij29. junij 2015

    1. Izraunaj limiti:

    (a) limx

    (2x+ 3

    2x+ 5

    )x(b) lim

    x4

    sin 2x

    x 4.

    2. Doloi denicijsko obmoje in zalogo vrednosti funkcije

    f(x) =2

    x2 + 3x+ 2.

    .

    3. Poii lokalne ekstreme funkcije

    f(x) =ex

    x 1.

    Doloi e intervale, kjer funkcija pada.

    4. Izraunaj prostornino telesa, ki ga dobimo, e okoli osi x zavrtimo krivuljo

    y = 1 + sinx

    med dvema zaporednima nilama.

  • 3. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij19. avgust 2015

    1. Izraunaj limiti:

    (a) limn

    (n2 3n n 2

    )(b) lim

    x

    (x 3x+ 2

    )2x+1.

    2. Poii nile, pole, asimptoto in narii graf funkcije

    f(x) =x2 + 2x+ 1

    x 2.

    .

    3. Poii lokalne ekstreme funkcije

    f(x) =ln(2 + x)

    2 + x.

    Doloi e intervale, kjer funkcija naraa.

    4. Izraunaj prostornino telesa, ki ga dobimo, e okoli osi x zavrtimo krivuljo

    y = x+ ex,

    ko je x [0, 1].

  • 4. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij1. september 2015

    1. Izraunaj limiti:

    (a) limn

    (n2 3n n 2

    )(b) lim

    x

    (x 3x+ 2

    )2x+1.

    2. Poii nile, pole, asimptoto in narii graf funkcije

    f(x) =x2 + 2x+ 1

    x 2.

    .

    3. Poii lokalne ekstreme funkcije

    f(x) =ln(2 + x)

    2 + x.

    Doloi e intervale, kjer funkcija naraa.

    4. Izraunaj prostornino telesa, ki ga dobimo, e okoli osi x zavrtimo krivuljo

    y = x+ ex,

    ko je x [0, 1].

  • 5. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij15. september 2015

    1. Izraunaj limiti:

    (a) limx0

    x ctg(3x)

    (b) limx

    (3x 13x+ 2

    )x

    2. Poii nile, pole, asimptoto in narii graf funkcije

    f(x) =x3 3x2 + x 3

    x2 x 2.

    3. Poii lokalne ekstreme funkcije

    f(x) = (x2 5)e2x.

    Doloi e intervale, kjer funkcija naraa.

    4. Izraunaj integrala:

    (a)

    ex

    1 + e2xdx

    (b)(2 + x) sin(x+ 1) dx

  • 6. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij28. januar 2016

    1. Izraunaj limiti:

    (a) limx0

    sin2 3x

    x2

    (b) limx

    (2x 12x+ 3

    )x+1

    2. Poii nile, pole, asimptoto in narii graf funkcije

    f(x) =x2 3x+ 2x2 + 2x

    .

    3. Poii lokalne ekstreme funkcije

    f(x) = 5 ln(x2 + 4) 2x.

    Doloi e intervale, kjer funkcija naraa.

    4. Izraunaj prostornino telesa, ki ga dobi, e okoli osi x zavrti funkcijo

    f(x) = x cosx

    na intervalu x [0, 2].

  • 7. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - visokoolski strokovni tudij11. februar 2016

    1. Izraunaj limiti:

    (a) limx0

    sin2 3x

    x2

    (b) limx

    (2x 12x+ 3

    )x+1

    2. Poii nile, pole, asimptoto in narii graf funkcije

    f(x) =x2 3x+ 2x2 + 2x

    .

    3. Poii lokalne ekstreme funkcije

    f(x) = 5 ln(x2 + 4) 2x.

    Doloi e intervale, kjer funkcija naraa.

    4. Izraunaj prostornino telesa, ki ga dobi, e okoli osi x zavrti funkcijo

    f(x) = x cosx

    na intervalu x [0, 2].

  • Poglavje 3

    Matematika 1 za geologe

    27

  • 1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

    NTF Geologija - univerzitetni tudij27. november 2013

    1. Poiite najveji skupni delitelj in najmanji skupni vekratnik tevil 3960 in726.

    2. Reite neenabo|x+ 1|+ |x 2| 2 + x.

    Mnoico reitev zapiite kot interval ali unijo intervalov.

    3. Dane so matrike

    A =

    [1 23 4

    ], B =

    [2 5 33 1 0

    ]in C =

    4 67 31 2

    .Poiite matriko X, ki zadoa enabi XA+B> = C.

    4. Doloite k, da bo imel sistem enab

    2x y + 5z = 3x + ky + z = 12x + 2y 3z = 2

    ve reitev. Nato poiite reitve tega sistema.

    5. Dani so vektorji

    ~a =

    122

    , ~b = 11

    x

    in ~c = 221

    .(a) Doloite x, da bo vektor ~a~b kazal v smeri vektorja ~c.

    (b) Izraunajte kot med vektorjema ~a in ~b.

  • 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

    NTF Geologija - univerzitetni tudij15. januar 2014

    1. Naj bo

    f(x) =3 + 2x x2

    x+ 2.

    Poii nile, pole, asimptoto in zaetno vrednost. Skiciraj graf funkcije.

    2. Doloi intervale naraanja za funkcijo f(x) = sin x x cosx.

    3. S pomojo diferenciala izraunaj priblino vrednost funkcije f(x) = 1xv toki

    x0 = 3, 9. Rezultat zapii v decimalni obliki.

    4. Izraunaj nedoloeni integral(1 + arcsin x)3

    1 x2dx.

    5. Naj bo y = ln(1 + x).

    (a) Doloi enabo tangente na krivuljo v toki x = e 1.(b) Doloi ploino lika, ki ga omejujejo y = ln(1 + x), tangenta iz toke (a)

    in os x.

  • 1. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Geologija - univerzitetni tudij24. januar 2014

    1. Reite neenabo2|x 3| |x| > 6.

    Mnoico reitev zapiite kot interaval ali unijo intervalov.

    2. Reite enabo 5 2 xx+ 1 2 13 1 0

    = 3.

    3. Zapiite enabo premice skozi toko A(2, 1,3), ki je pravokotna na ravnino2x 5x+ z = 3.

    4. Doloite intervale padanja za funkcijo f(x) =5 2xx

    e2x.

    5. Izraunajte nedoloen integral(2x+ 1) sin 3x dx.

  • 2. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Geologija - univerzitetni tudij7. februar 2014

    1. Poiite najveji skupni delitelj in najmanji skupni vekratnik tevil 780 in1638.

    2. Poiite reitev sistema enab

    3x y 2z = 44x 6y 10z = 7x + 2y + 3z = 1

    3. Dani sta matriki

    A =

    [1 42 3

    ]in B =

    [0 2 31 2 1

    ].

    Poiite matriko X, ki rei enabo XA = B>.

    4. Doloite denicijsko obmoje funkcije

    y = ln(8 2x x2)

    in poiite lokalne ekstreme.

    5. Izraunajte ploino lika, ki ga omejujejo

    y = cos 2x, y = x 4

    in os y.

  • 3. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Geologija - univerzitetni tudij13. junij 2014

    1. Reite neenabox|x 5| < 6.

    Mnoico reitev zapiite kot interval ali unijo intervalov.

    2. Poiite reitev sistema enab

    x + 2y z = 32x 5y + 2z = 1x + 11y 5z = 8

    3. Dana sta vektorja

    ~a =

    212

    in ~b =41x

    .doloite x, da bo kot med vektorjema

    4.

    4. Doloite denicijsko obmoje funkcije

    f(x) =ex

    x2 4

    in poiite lokalne ekstreme. Doloite e intervale naraanja.

    5. Izraunajte nedoloeni integral lnx+ 1

    x lnxdx.

  • 4. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Geologija - univerzitetni tudij27. junij 2014

    1. Poiite realna tevila t za katera velja 1 t2 t 3 > t 1 12 2

    .2. Poiite enabo ravnine skozi toke A(1, 4,2), B(2,1, 1) in C(3, 2, 2).

    3. Poiite lokalne ekstreme funkcije

    f(x) =1

    x+ 2 arctg x.

    Doloite e intervale naraanja.

    4. Izraunajte ploino lika, ki ga omejujeta kvadratni funkciji

    y = x2 2x in y = 2 + x x2.

  • 5. IZPIT IZ MATEMATIKE 1

    NTF Geologija - univerzitetni tudij5. september 2014

    1. Dana je matrika

    A =

    [3 54 6

    ].

    Poiite matriko X, za katero bo veljalo AX + I = AT .

    2. Dan je paralelogram ABCD, pri katerem poznamo oglia A(2, 1, 1), C(3, 1, 3)in D(4, 0, 1). Doloite koordinate oglia B in ploino paralelograma.

    3. Doloite denicijsko obmoje in lokalne ekstreme funkcije

    f(x) =x+10 4x.

    Doloite e intervale naraanja.

    4. Izraunajte prostornino vrtenine, ki nastane, e krivuljo y = x2(2 x) medobema nilama zavrtimo okoli osi x.

  • Poglavje 4

    Matematika 2 za geologe

    35

  • 1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 2

    NTF Geologija - univerzitetni tudij3. april 2015

    1. Poii tisto reitev diferencialne enabe

    xy = y + yx+ x3e2x,

    za katero je y(1) = 2e.

    2. Poii splono reitev diferencialne enabe

    y + 2y 8y = x+ 2e2x.

    3. Dana je funkcija

    f(x, y) = ln

    (1

    1 +

    x

    y

    ).

    (a) Doloi denicijsko obmoje funkcije in ga narii.

    (b) Narii nivojnici N0 in Nln 1/2.

    (c) Poii zalogo vrednosti.

    4. Naj bof(x, y) = (y4 x)ex.

    (a) Poii vse toke, v katerih je gradient funkcije nieln.

    (b) Poii vse enotske vektorje ~s, za katere je smerni odvodf

    ~s(2,1) = 0.

  • 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 2

    NTF Geologija - univerzitetni tudij12. junij 2015

    1. Poii enabo tangentna ravnine na graf funkcije

    f(x, y) = x2arctg(x+ y)

    v toki A(1, 0, z0).

    2. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = x2 + 3xy2 + 2y2

    in jih klasiciraj.

    3. Naj boD

    f(x, y) dxdy = 10

    dx arcsinx0

    f(x, y) dy + 21

    dx

    2(2x)

    0

    f(x, y) dy.

    (a) Zamenjaj vrstni red integriranja.

    (b) Izraunaj integral v primeru, ko je f(x, y) = y.

    4. Izraunaj teie telesa z gostoto (x, y, z) = z, za katerega velja

    x2 + y2 z 2 x2 y2.

  • 1. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Geologija - univerzitetni tudij29. junij 2015

    1. Poii splono reitev diferencialne enabe

    y 5y + 6y = sin 2x.

    2. Doloi denicijsko obmoje funkcije

    f(x, y) = ln(x2 y2)

    in ga narii. Izraunaj e gradient funkcije v toki T (2, 1).

    3. Poii najvejo in najmanjo vrednost funkcije

    f(x, y) = x2 2x+ y2 2y

    na krogu x2 + y2 4.

    4. Izraunaj integral D

    xy(1 + (x2 + y2)2

    )2dxdy,kjer za obmoje D velja x2 + y2 1, x 0 in y 0.

  • 2. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Geologija - univerzitetni tudij19. avgust 2015

    1. Poii tisto reitev diferencialne enabe

    x lnx y + y = 2 ln x,

    za katero je y(e) = 2.

    2. Dana je funkcija dveh spemenljivk

    f(x, y) = arctgx

    y.

    Izraunaj gradient funkcije v toki T (1, 2) in izraunaj priblino vrednost funk-cije f(0.9, 2.2).

    3. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = ex(x y2)

    in jih klasiciraj.

    4. Izraunaj trojni integral D

    (2x+ 1)dx dy dz,

    kjer za obmoje D velja x2 + y2 4, y 0 in 0 z y.

  • 3. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Geologija - univerzitetni tudij1. september 2015

    1. Poii splono reitev diferencialne enabe

    y + 2y 3y = 3x+ 1.

    2. Dana je funkcija dveh spemenljivk

    f(x, y) = ln(x2 + 2y + 1).

    (a) Doloi denicijsko obmoje funkcije .

    (b) Izraunaj smerni odvod funkcije v toki T (2,1) v smeri vektorja ~s =[31

    ].

    3. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = ex2 (x y)2

    in jih klasiciraj.

    4. Izraunaj trojni integral D

    (x2 + y2 + z2)dx dy dz,

    kjer za obmoje D velja x2 + y2 z2, x 0 in 0 z 2.

  • 4. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Geologija - univerzitetni tudij15. september 2015

    1. Poii tiso reitev diferencialne enabe

    x2y + xy = lnx

    za katero je y(1) = 2.

    2. Dana je funkcija dveh spemenljivk

    f(x, y) =

    x y

    x2 + y2.

    (a) Doloi denicijsko obmoje funkcije in ga narii.

    (b) Izraunaj gradient funkcije v toki T (2, 1).

    3. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = e2x(x+ y2 + 2y)

    in jih klasiciraj.

    4. Izraunaj trojni integral D

    (x+ y + z)dx dy dz,

    kjer za obmoje D velja x2 + y2 z, y 0 in z 1.

  • 5. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Geologija - univerzitetni tudij28. januar 2016

    1. Poii splono reitev diferencialne enabe

    y 2y 8y = (x+ 4)ex + 2.

    2. Dana je funkcija dveh spemenljivk

    f(x, y) =ln(2x y)x2 + y2 1

    .

    (a) Doloi denicijsko obmoje funkcije in ga narii.

    (b) Izraunaj gradient funkcije v toki T (2, 1).

    3. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = (x2 + y)exy

    in jih klasiciraj.

    4. Izraunaj prostornino telesa doloenega z neenakostmi

    x2 + y2 z, z 1 x2 y2 in x 0.

  • Poglavje 5

    Matematika 2 - univerzitetni tudij

    43

  • 1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij2. april 2014

    1. Naj bodo a1, a2, a3 leni geometrijskega zaporedja, katerih vsota je 52. emed a2 in a3 vrine dve tevili, dobi aritmetino zaporedje. Poii zaetnozaporedje.

    2. Poii vse premice skozi toko A(0, 3), ki se dotikajo kvadratne funkcije y =x2 4x+ 4.

    3. Doloi nile, pole, asimptoto in narii funkcijo

    f(x) =x3 5x2 + 8x 4

    x2 + x.

    Preveri, e je funkcija soda ali liha.

    4. Rei enabosinx

    sinx+ cosx cosx

    sinx cosx= 2.

    5. Doloi tevili a in b, da bo funkcija

    f(x) =

    ax

    x2+2x;x < 0

    2x+ 4 ; 0 x 2xb1 ; 2 < x

    zvezna.

  • 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij6. junij 2014

    1. S pomojo diferenciala izraunaj priblino vrednost funkcije f(x) = 1xv toki

    x0 = 3, 9. Rezultat zapii v decimalni obliki.

    2. Naj bo

    f(x) =ln(1 + x2)

    1 + x2.

    Doloi denicijsko obmoje, zalogo vrednosti, nile, intervale naraanja inpadanja in ekstreme. Skiciraj graf funkcije.

    3. Izraunaj nedoloeni integral 2x3

    2x3 + x 6dx.

    4. Naj bo y = lnx.

    (a) Doloi enabo tangente na krivuljo v toki x = e.

    (b) Doloi prostornino vrtenine, ki jo dobi, e okoli osi x zavrti lik, ki gaomejujejo funkcija y = lnx, tangenta iz toke (a) in os x.

    5. Poii reitev diferencialne enabe

    y 2xy = x,

    za katero velja y(0) = 1.

  • 1. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij13. junij 2014

    1. Rei enabo4x 3 2x+1 = 24.

    2. Doloi a in b, tako da bo funkcija

    f(x) =

    sin 4xx

    ;x < 0

    x+ a ; 0 x 3x2b

    x22x3 ;x 3

    zvezna.

    3. Poiite lokalne ekstreme funkcije

    f(x) = tg x 2x.

    Doloite e intervale naraanja.

    4. Izraunajte ploino lika, ki ga omejujejo

    y = x cos 2x; y = x 4

    in os y.

    5. Poiite reitev diferencialne enabe:

    (1 + x2)y xy =1 + x2,

    ki ustreza zaetnemu pogoju y(1) = 0.

  • 2. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij27. junij 2014

    1. Doloite nile, pole, asimptoto in nariite funkcijo

    f(x) =x2 4x1 + x

    .

    2. Izraunajte limiti:

    (a) limx1

    sin(2x)

    x 1(b) lim

    x(x2 3x x).

    3. Doloite tevilo A tako, da bo imela funkcija

    f(x) = A arctg (2x) 2 arctg x

    lokalna ekstrema v tokah x = 1. Doloite e intervale naraanja.

    4. Izraunajte prostornino telesa, ki ga dobimo, e krivuljo

    y = sinx, 0 x

    zavrtimo okoli osi x.

    5. Poiite reitev diferencialne enabe:

    y = sinx cos2 y,

    ki ustreza zaetnemu pogoju y(0) = 0.

  • 3. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij5. september 2014

    1. Rei enabo2 sin2 x cosx = 1.

    2. Izraunajte limiti:

    (a) limx0

    (2 3x2 + 5x

    ) 2x

    (b) limn

    4n+2 + 22n 14n+3 + 3n

    .

    3. Dana je funkcija

    f(x) =xx 2

    x 5.

    Doloite njeno denicijsko obmoje, nile, pole, asimptote in lokalne ekstreme.Nariite e graf.

    4. Izraunajte prostornino telesa, ki ga dobimo, e krivuljo

    y =ex

    e2x + 1; 1 x 2

    zavrtimo okoli osi x.

    5. Poiite splono reitev diferencialne enabe

    xy (x+ 1)y = ex.

  • 4. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij17. september 2014

    1. Dana je funkija

    f(x) =

    {1 + 2

    x; x 1

    a arctg x x > 1

    (a) Doloite konstanto a, tako da bo funkcija zvezna na vsej realni osi.

    (b) Nariite graf funkcije.

    2. Poiite enabo tangente na

    f(x) = xex ln(1 x)

    v toki x0 = 0 in izraunajte priblino vrednost funkcije f(0, 1).

    3. Dana je funkcijaf(x) = x

    1 x2.

    Doloite denicijsko obmoje, zalogo vrednosti, nile, ekstremein poiite lo-kalne ekstreme, intervale naraanja in padanja. Nariite e njen graf.

    4. Izraunajte ploino lika, ki ga oklepa krivulja

    y = (2x+ 1) sinx

    z osjo x na intervalu [0, ].

    5. Poiite tisto reitev diferencialne enabe

    (4 + x2)y + xy = 2x,

    za katero je y(0) = 1.

  • 1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij17. april 2015

    1. Dani sta matriki

    A =

    3 1 53 1 48 3 10

    in B = 2 1 11 3 1

    1 2 1

    .Poii matriko X, za katero je

    AXA1 + 2I = B>.

    2. Dana so oglia tetraedra A(3, 1, 0), B(4, 3, 1), C(2, 2, 0) in D(a, 0, 1). Doloitevilo a tako, da bo prostornina tetraedra enaka 1. Doloi e viino, ki greskozi oglie D.

    3. Poii vsa realna tevila x, za katera velja2 1 x 33 0 2 x1 1 1 x 43 2 1 0

    < 4x2.

    4. Obravnavaj sistem enab glede na razline vrednosti parametra k

    2x + y z = 0x + ky + 4z = 2x + 4y + kz = 2.

  • 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij12. junij 2015

    1. Zapii enabo ravnine skozi toko A(1, 1, 1), ki je vzporedna premici

    x 1 = y 32

    =z + 2

    0

    in je od nje oddaljena 3 enote.

    2. Z Rn[x] oznaimo prostor vseh polinomov stopnje najve n.

    (a) Preslikava A : R2[x] R2[x] je podana s predpisom

    A(ax2 + bx+ c) = (2a+ 2b c)x2 + (a+ c)x+ (3a+ 2b+ 4c).

    Pokai, da je A linearna in doloi matriko, ki ji pripada v standardni bazi{1, x, x2}.

    (b) Poii jedro preslikave kerA.

    3. Poii lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

    A =

    1 6 36 8 63 6 7

    .

    4. Dana je krivulja v prostoru

    ~r(t) = (e2t cos t, e2t sin t, e2t), t 0.

    (a) Poii naravni parameter.

    (b) Poii torzijsko in eksijsko ukrivljenost v toki t = 1.

  • 1. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij15. junij 2015

    1. Dani so vektorji

    ~a =

    14

    , ~b = 12

    0

    in ~c =33

    4

    .Doloi tevilo tako, da bodo vektorji ~a,~b in ~c leali na isti ravnini.

    Namig: Izraunaj prostornino paralelepipeda, ki ga doloajo.

    2. Reite sistem enab

    x y + z = 22x + 3y 2z = 22x 5y + z = 1.

    3. Poii lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

    A =

    3 2 21 4 12 4 1

    .

    4. Dana je krivulja v prostoru

    ~r(t) =

    (t,t2

    3,2t3

    27

    ).

    (a) Izraunaj dolino krivulje od toke A(3, 3,2) do toke B(3, 3, 2).(b) Dokai, da je v vsaki toki na krivulji kot med tangento krivulje in ravnino

    x+ z = 3 enak in ga izraunaj.

  • 2. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij29. junij 2015

    1. Zapii enabo ravnine, ki gre skozi tokiA(1, 3, 4) inB(2, 5, 3) ter je pravokotnana ravnino x+ y + 2z = 1.

    2. Reite sistem enab

    x + y + 2z + 3u v = 5x + 2y + z + 5u v = 5

    x + y 4z + 2u = 32x y + 7z 2u = 6.

    3. Doloi tevilo k tako, da bo 0 lastna vrednost matrike

    A =

    2 1 30 3 k0 4 1

    .Poii e lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti 0.

    4. Poii naravno parameterizacijo krivulje

    ~r(t) =

    (t sin t, 1 cos t, 4 sin t

    2

    )ter izraunaj njeno eksijsko ukivljenost v toki (0, 0, 0).

  • 3. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij19. avgust 2015

    1. Dane so toke A(2, 1, 0), B(1,1, 2) in C(3, 1, 1). Poii toko D, tako daje prostornina tetraedra ABCD enaka 1/2 in je vektor ~AD pravokoten naravnino skozi toke A, B in C.

    2. Reite sistem enab

    x + 3y + 2z u = 4x 2y + 3z 2u = 32x + y 2z + u = 6

    x y z = 0.

    3. Poii lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

    A =

    3 6 61 6 23 6 0

    .

    4. Izraunaj eksijsko in torzijsko ukrivljenost krivulje

    ~r(t) = (cos t, sin t, t)

    v toki (1, 0, 0).

  • 4. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij1. september 2015

    1. Dani sta toki A(3, 2, 1) in B(1, 1, a). Toka C naj bo pravokotna projekcijatoke A na ravnino x + 2y z = 0. Doloi tevilo a, tako da bo ploinatrikotnika ABC enaka 3

    2

    11.

    2. Reite sistem enab

    2x + y + z 2u = 1x y + 2z + 2u = 2x + y 3z + 2u = 0

    4x + y + 2u = 3.

    3. Poii lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

    A =

    4 6 81 5 43 6 7

    .

    4. Izraunaj eksijsko ukrivljenost krivulje

    ~r(t) =(t cos(2t), t sin(2t), t2

    )v toki (1, 0, 1).

  • 5. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij15. september 2015

    1. Naj bo A toka, v kateri premica p : x 1 = y12

    = z21 prebada ravninox + y 3z = 2. Poii toko B na premici p, tako da bo ploina trikotnika,ki ga doloajo toke A, B in koordinatno izhodie, enaka

    35.

    2. Reite sistem enab

    x + 2y + 3z u = 32x 3y z + u = 53x + y + 2z 2u = 1

    2y 2u = 9.

    3. Poii lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

    A =

    4 2 44 1 14 4 2

    .

    4. Izraunaj eksijsko ukrivljenost krivulje

    ~r(t) = (cos(t), sin(t), 2t)

    v toki (1, 0, 2).

  • 6. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij28. januar 2016

    1. Poii enabo tiste ravnine skozi toko A(1, 2, 3), katere presek s premicama

    p1 : x 1 =y 23

    = 1 z

    p2 :x 22

    =y 10

    = z + 2

    je prazen.

    2. Reite sistem enab

    x + 2y 2z + 3u = 12x + 3y z + u = 33x + y z 2u = 5

    2x 2z = 9.

    3. Poii lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

    A =

    7 3 18 3 210 3 4

    .

    4. Izraunaj eksijsko in torzijsko ukrivljenost krivulje

    ~r(t) = (t, sin t, cos t)

    v toki (, 0,1).

  • 7. IZPIT IZ MATEMATIKE 2

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij11. februar 2016

    1. Dani sta toki A(1, 2, 2) in B(2, 3, 0). Poii toko C na premici p : x 2 =y23

    = 2z2, tako da bo ploina trikotnika ABC enaka

    5.

    2. Reite sistem enab

    x + 2y 3z + u = 22x + y z + 2u = 13x y + 2z u = 3

    4y 6z + 4u = 0.

    3. Poii lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

    A =

    7 3 18 3 210 3 4

    .

    4. Naj bo R2[x] prostor vseh polinomov stopnje 2 ali manj.

    (a) Pokai, da je odvajanje linearna preslikava na tem prostoru.

    (b) Zapii matriko, ki pripada odvajanju glede na bazo e0(x) = 1,e1(x) = 1 + x, e2(x) = 1 + x+ x2.

  • Poglavje 6

    Matematika 3 - univerzitetni tudij

    59

  • 1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 3

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij28. november 2014

    1. V diferencialno enabo

    2xy + 1 = y +x2

    y 1vpelji novo spremenljivko z = y 1 in jo rei.

    2. Poii tisto reitev diferencialne enabe

    y 4y + 3y = (2x+ 1)e3x,

    za katero je y(0) = 1 in y(0) = 2.

    3. Rei sistem diferencialnih enab

    y = 2y + 3z

    z = 4y + z.

    4. Doloi denicijsko obmoje funkcije

    f(x, y) = arctg

    1 +y

    x.

    in ga narii. Poii e zalogo vrednosti.

    5. Doloi tevilo a, da bo funkcija

    f(x, y) =

    {cos y

    3

    (x1)2+y2 ; (x, y) 6= (1, 0)a; (x, y) = (1, 0)

    zvezna.

  • 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 3

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij21. januar 2015

    1. Doloi enabo tangentne ravnine na graf funkcije

    f(x, y) = ln(x y) ln(1 + y2)

    v toki T (2, 1, z0).

    2. Poii vse stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = 2y +1

    x+ y+ exy

    in jih klasiciraj.

    3. Naj boD

    f(x, y) dxdy = 10

    dx 2

    arcsinx

    0

    f(x, y) dy + 21

    dx 2xx20

    f(x, y) dy.

    (a) Zamenjaj vrstni red integriranja.

    (b) Izraunaj teie obmoja D.

    4. Izraunaj integral V

    (x+ y + z) dV

    po obmoju V , podanem z

    x2 + y2 1 z in x2 + y2 2z.

  • 1. IZPIT IZ MATEMATIKE 3

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij28. januar 2015

    1. Poii splono reitev diferencialne enabe

    y + y 6y = 3 sin 2x+ e3x.

    2. Poii denicijsko obmoje funkcije

    f(x, y) = ln(arcsin(x2 + y2))

    in ga narii. Doloi e zalogo vrednosti.

    3. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = x2 + 3xy2 + 2y2

    in jih klasiciraj.

    4. Izraunaj prostornino telesa, za katerega velja

    x2 + y2 9, x+ y + z 3 in z 0.

  • 2. IZPIT IZ MATEMATIKE 3

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij11. februar 2015

    1. Poii tisto reitev diferencialne enabe

    (2yy x)(x2 1) = xy2.

    za katero je y(2) = 1.

    2. Doloi tevilo a, da bo funkcija

    f(x, y) =

    {(x2y2)(y+1)+2y2

    x2+y2(x, y) 6= (0, 0)

    a (x, y) = (0, 0)

    zvezna.

    3. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = (x2 + y2 5)ey/2

    in jih klasiciraj.

    4. Izraunaj maso in teie lika D, ki je doloen z neenakostmi

    1 x2 + y2 4, x 0 in y 0,

    in ima gostoto f(x, y) = 11+x2+y2

    .

  • 3. IZPIT IZ MATEMATIKE 3

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij15. junij 2015

    1. Poii splono reitev diferencialne enabe

    y + 2y + 2y = 2 cos 3x.

    2. Poii denicijsko obmoje funkcije

    f(x, y) =

    cos

    (x2 + y2)

    2

    in ga narii. Doloi e zalogo vrednosti.

    3. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = (x+ y)exy

    in jih klasiciraj.

    4. Izraunaj teie telesa z gostoto (x, y, z) = 1, za katerega velja

    x2 + y2 + z2 1, x2 + y2 z2 in z 0.

  • 4. IZPIT IZ MATEMATIKE 3

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij29. junij 2015

    1. Poii tisto reitev diferencialne enabe

    2y +3y

    x lnx= 3 3y,

    za katero je y(e) = 0.

    2. Dana je funkcijaf(x, y) = ln(x2 y2) + 2x.

    (a) Doloi denicijsko obmoje in ga narii.

    (b) Poii stacionarne toke in jih klasiciraj.

    3. Izraunaj dvojni integral D

    ydxdy,

    e za obmoje D velja x2 + y2 1 in x2 2x+ y2 1.

    4. Izraunaj teie telesa doloenega z neenakostmi

    z x2 + y2 2z in x2 + y2 1.

  • 5. IZPIT IZ MATEMATIKE 3

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij19. avgust 2015

    1. Poii splono reitev diferencialne enabe

    y 6y + 9y = 2xe3x + 3 cos 3x.

    2. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = (4x2 + 3)ex2y2

    in jih klasiciraj.

    3. Izraunaj dvojni integral D

    (x2 + y2)dxdy,

    e je obmoje D paraelogram omejen s premicami y = x, y = x + 1, y = 1 iny = 2.

    4. Izraunaj prostornino telesa doloenega z neenakostima

    x2 + y2 4z2 in x2 + y2 3 z.

  • 6. IZPIT IZ MATEMATIKE 3

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij1. september 2015

    1. Poii tisto reitev diferencialne enabe

    y 4xyx2 1

    = 8xy,

    za katero je y(0) = 1.

    2. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = 2 ln(3 + x2 + 3y2) x 3y2

    in jih klasiciraj.

    3. Izraunaj dvojni integral D

    sin(x2 + y2)dxdy,

    e za obmoje D velja x2 + y2 in y 0.

    4. Izraunaj teie telesa doloenega z neenakostmi

    x2 + y2 z2, z 0 in 2z x2 + y2 + 1.

  • 7. IZPIT IZ MATEMATIKE 3

    NTF Montanistika - univerzitetni tudij15. september 2015

    1. Poii tisto reitev diferencialne enabe

    y + 3y 4y = 2xex + sin(4x),

    za katero je y(0) = 0 in y(0) = 1.

    2. Poii stacionarne toke funkcije

    f(x, y) = (x2 + y)exy

    in jih klasiciraj.

    3. Izraunaj dvojni integral D

    (x2 + y2)dxdy,

    e je obmoje D trikotnik z oglii A(0, 0), B(3, 1) in C(2, 3).

    4. Izraunaj prostornino telesa doloenega z neenakostmi

    x2 + y2 + z2 1, x2 + y2 z2 in z 0.