130,140 Završni ispit iz MATEMATIKE 2, 27. lipnja 2011.

Ime i prezime: Dio: 1. 2. 3.(zaokružite dio gradiva koji polažete)

1. dio 2. dio 3. dio1 2 3 4 Σ 1 2 3 4 Σ 1 2 3 4 Σ

1. dio

1. (4 boda) Izračunati I =

∫ √x

4√

x3 + 1dx.

2. (8 bodova) Izračunati I =

1∫0

x3

x6 + 2x3 + 1dx.

3. (6 bodova) Odrediti oplošje tijela nastalog rotacijom oko osi x luka krivulje y = x3

između sjecišta s pravcima x = −23

i x = 23.

4. (7 bodova) Zapisati Newton-Leibnitzov teorem pa objasniti što zaključujemo iz togteorema o rješavanju određenih integrala. Izračunati površinu između grafa funkcijey = sin x i x-osi u granicama od x = 0 do x = π.

2. dio

1. (4 boda) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe: cos y dx = (x+2 cos y) sin y dy.

2. (6 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe: yy′′ = (y′)2 − (y′)3, te par-tikularno rješenje uz uvjete: y(1) = 1, y′(1) = −1.

3. (8 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe: y′′ + 3y′ = 3xe−3x.

4. (7 bodova) Zapisati populacijsku i logističku diferencijalnu jednažbu, objasniti oznakeu tim jednažbama te obrazložiti kakve zakonitosti (ili konkretne situacije) su formuliranetim modelima.

3. dio

1. (6 bodova) Odrediti ekstreme funkcije z = 6− 4x− 3y uz uvjet x2 + y2 = 1.

2. (4 boda) Odrediti jednažbu tangencijalne ravnine i normale na plohu (z2−x2)xyz−y5 = 5u točki T (1, 1, 2).

3. (8 bodova) Riješiti integral2∫

0

dx

√2x−x2∫0

dy

3∫0

z√

x2 + y2 dz prelaskom na cilindrične

koordinate.

4. (7 bodova) Kako glasi Fubinijev teorem i što nam on omogućava? U integralu∫∫D

f(x, y) dxdy,

gdje je D = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y2}, postaviti granice integracije u obaredoslijeda i skicirati područje integracije.

1

130,140 Završni ispit iz MATEMATIKE 2, 27. lipnja 2011.

Rješenja:

1. dio

1. I =4

3

[4√

x3 − ln(

4√

x3 + 1)]

+ C.

2. I = −1

6+

1

9ln 2 +

π

9√

3.

3. O =2π

27

(125

27− 1

).

2. dio

1. 2x cos y = C − cos(2y).

2. C1 ln y + y = x + C2, −2 ln y + y = x.

3. y(x) = C1 + C2e−3x + e−3x

(−x2

2− x

3

).

3. dio

1. I = 8.

2. 2x + y + 11z − 25 = 0,x− 1

2=

y − 1

1=

z − 2

11.

3. Tmaks

(−4

5,−3

5

), Tmin

(4

5,3

5

).

2