Završni Rad B Dragin

7/26/2019 Zavrni Rad B Dragin

1/29


2/29

Sveuciliste u Rijeci - Odjel za matematiku

Preddiplomski studij

Bernarda Dragin

Sustavi diferencijalnih jednadzbi

Zavrsni rad

Mentor: dr. sc. AndreaSvobKolegij: Dirferencijalne jednadzbe

Rijeka, srpanj 2014.


3/29

SAZETAK:

U ovom zavrsom radu obradeni su sustavi diferencijalnih jednadzbi. Krozosnovne po jmove i definicije uvedeni su pojmovi poput obicne diferencijalne

jednadzbe te njenog opceg, partikularnog i singularnog rjesenja kako bi moglidefinirati sustave diferencijalnih jednadzbi. Objasnjeno je koristenje sustavakroz nekoliko primjera. U radu su spomenuti i homogeni linearni sustavi sakonstantnim koficijentima te je pomocu rjesenog primjera ilustriran postupakrjesavanja takvog sustava. Takoder spomenuti su nehomogeni sustavi te supo jasnjene metode rjesavanja nehomogenih sustava jednadzbi.


4/29

KLJUCNE RIJECI:

obicna diferencijalna jednadzba opce rjesenje partikularno rjesenje singularno rjesenje sustav obicnih linearnih diferencijalnih jednadzbi Lotka-Volterr model linearni sustav nelinearni sustav homogen sustav nehomogen sustav


5/29

Sadrzaj

1 Uvod 1

2 Osnovni pojmovi i definicije 2

3 Koristenje sustava diferencijalnih jednadzbi 4

4 Osnovna teorija sustava linearnih diferencijalnih jednadzbi

prvog reda 9

5 Homogeni linearni sustavi diferencijalnih jednadzbi s kons-tantnim koeficijentima 14

6 Negomoheni linearni sustavi diferencijalnih jednadzbi 17

6.1 Dijagonalizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.2 Metoda neodredenih koeficijenata . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.3 Metoda varijacije konstanti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Zakljucak 23

Literatura 24


6/29

1 Uvod

Postoje mnogi fizicki problemi koji ukljucuju brojne odvojene elemente, kojisu na izvjestan nacin medusobno povezani. Na primjer, ova svojstva imajuelektricne mreze, kao i neki problemi koji se pojavljuju u mehanici, ili unekim drugim podrucjima znanosti. U ovim i slicnim slucajevima, odgova-rajuci matematicki problem sastoji se od sustava dvije ili vise diferencijalnih

jednadzbi, koje se uvijek mogu napisati kao jednadzbe prvog reda. Diferenci-jalne jednadzbe omogucuju matematicki zapis zakona koji odreduju fizikalnefenomene u prirodi (npr. drugi Newtonov zakon za opis gibanja u polju sile).Siroka je primjena diferencijalnih jednadzbi od inzenjerstva, financija, do te-meljnih istrazivanja u biologiji, kemiji, mehanici, fizici, ekoloskim modelima,

medicini. U ovom zavrsnom, fokusirat cemo se na sustave linearnih jednadzbiprvog reda.

1


7/29

2 Osnovni pojmovi i definicije

Definicija 1. Obicna diferencijalna jednadzba

Obicna diferencijalna jednadzba je jednadzba u kojoj je nepoznanica funk-cija jedne varijable, a koja opisuje vezu izmedu te funkcije i njenih derivacijaza proizvoljnu vrijednost varijable funkcije.Dakle, to je jednadzba oblika

F(t,y,y, . . . , y(n)) = 0,

gdje F predstavlja neki izraz koji povezuje varijablu t s nepoznatom funk-

cijom y ovisnoj o t i njenim derivacijamay

, y

, . . . , y(n)

.

Rjesenje jednadzbe F(t,y,y, . . . , y(n)) = 0 na intervalu I je funkcijay : I R cije uvrstavanje u jednadzbu daje istinitu jednakost za svakuvrijednost varijable tI.Definicija 2. Opce rjesenje

Opce rjesenje diferencijalne jednadzbe redan je ono rjesenje koje sadrzin neodredenih konstanti.

Definicija 3. Partikularno rjesenje

Partikularno rjesenje diferencijalne jednadzbe je ono rjesenje koje odgo-vara uvrstavanju konkretnih vrijednosti konstanti u opce rjesenje.

Definicija 4. Singularno rjesenje

Singularno rjesenje diferencijalne jednadzbe je ono rjesenje koje se nemoze dobiti uvrstavanjem nikojih vrijednosti u konstante opceg rijesenja.

Definicija 5. Red (stupanj) diferencijalne jednadzbe je red najvece derivacijenepoznate funkcije koja se u njoj pojavljuje.

Red jednadzbeF(t,y,y, . . . , y(n)) = 0 je jednakn.

2


8/29

Definicija 6. Sustav diferencijalnih jednadzbi oblika:

x1 = p11(t)x1+ +p1n(t)xn+g1(t)x2 = p21(t)x1+ +p2n(t)xn+g2(t)

...

xn= pn1(t)x1+ +pnn(t)xn+gn(t),

gdje su pij i gi, za i, j = 1, 2, . . . , n , neprekidne funkcije na nekom in-tervaluIuRzovemo sustavom obicnih linearnih diferencijalnih jed-nadzbi 1.reda.

3


9/29

3 Koristenje sustava diferencijalnih jednadzbi

Sustavi linearnih obicnih diferencijalnih jednadzbi se prirodno pojavljuju kodproblema koji ukljucuju nekoliko zavisnih varijabli, od kojih je svaka funkcija

jedne nezavisne varijable. Mi cemo oznaciti neovisnu varijablu sa t, i nekax1, x2, x3, . . . predstavljaju zavisne varijable, a koje su funkcije od t.

Zanimljiv primjer koristenja sustava linearnih diferencijalnih jednadzbi jeprimjer sustav lovac-plijen. Zamislimo sustav u kojem postoji populacijalovaca(predatora) i plijena (zrtve). Neka su predatori vukovi, a plijen zecevi.Oznacimo sa P(t) i H(t) populacije u trenutku t tih dviju vrsta gdje jepopulacija vukova oznacena s P(t) a populacija zeceva s H(t). Izvedimo

model ponasanja ob je populacije. Ukoliko nema vukova, pretpostavljamo dase populacija zeceva povecava u skladu s populacijskom jednadzbom

dH

dt =a1H, a1 > 0.

Ukoliko nema zeceva, populacija vukova ce odumirati, opet u skladu spopulacijskom jednadzbom

dP

dt =a2P, a2> 0.

Matematicki model, koji pokazuje na koji se nacin moze odrzati ekoloskaravnoteza kada su prisutne obje populacije, naziva se Lotka-Volterr modeli predstavljen je oko 1925 godine. Model se sastoji od sustava diferencijalnih

jednadzbi:

dH

dt =a1H b1HP,

dP

dt =a2P+b2HP,

gdje je koeficijent a1 stopa nataliteta populacije H, a koeficijent a2 stopamortaliteta populacijeP,b1 i b2su koeficijenti interakcije izmedu predatora iplijena, a produktH Poznacava vjerojatnost susreta dvije populacije. Pret-postavlja se da je broj susreta izmedu predatora i plijena proporcionalanproduktu populacija. Kako je bilo kakav susret vrsta povoljan za predatora,

4


10/29

a nepovoljan za plijen, produkt HP je negativan u prvoj jednadzbi, a pozi-

tivan u drugoj.

Drugi razlog vaznosti sustava jednadzbi prvog reda jest da se jednadzbeviseg reda uvijek mogu transformirati u sustave jednadzbi prvog reda. Ovose obicno zahtijeva ako je planiran numericki pristup, iz razloga sto su gotovosvi kodovi za stvaranje aproksimativnih numerickih rjesenja diferencijalnih

jednadzbi napisani za sustave jednadzbi prvog reda. Sljedecim primjeromilustriramo koliko je jednostavno napraviti transformaciju.

Primjer 3.1. Kretanje odredene opruge u sustavu masa i opruga je opisandiferencijalnom jednadzbom drugog reda:

u + 0.125u +u= 0.

Pretvorite ovu jednadzbi u sustav jednadzbe prvog reda.

Neka je x1 = u i x2 = u. Slijedi da je x1= x2. Nadalje, u =x2. Zatim,

zamjenomu , u i u u jednadzbiu + 0.125u +u= 0, dobivamo:

x2+ 0.125x2+x1,

gdje x1 i x2 zadovoljavaju sljedeci sustav od dvije diferencijalne jednadzbeprvog reda:

x1= x2,

x2=x1 0.125x2.

Kako bi transformirali proizvoljnu jednadzbu n- tog reda,

y(n) =F(t,y,y, . . . , y(n1))

u sustav sanjednadzbi prvog reda prosirujemo metodu navedenu u Primjeru3.1 uvodenjem varijablix1, x2, . . . ,xn koji su definirani sa:

x1 = y, x2= y,x3 = y

, . . . ,xn = y(n1).

5


11/29

Iz navedenog slijedi da je:

x1= x2

x2= x3...

xn1= xn,

i iz jednadzbe

y(n)

=F(t,y,y

, . . . , y(n1)

)

dobivamo,

xn= F(t, x1, x2, . . . , xn).

Jednadzbe

x1= x2

x2= x3...

xn1= xn,

i

xn= F(t, x1, x2, . . . , xn)

su specijalni slucajevi generaliziranog sustava:

x

1 = F1(t, x1, x2, . . . , xn)x2 = F2(t, x1, x2, . . . , xn)

...

xn= Fn(t, x1, x2, . . . , xn).

6


12/29

Za ovaj sustav kazemo da ima rjesenje na podrucju nekog intervalaI uR

, ako postoji skup od n funkcija

x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xn = n(t),

koje se mogu diferencirati u svim tockama intervala I i ako zadovolja-vaju dani sustav jednadzbi u svim tockama tog intervala. Uz dani sustavdiferencijalnih jednadzbi, mogu biti zadani i pocetni uvjeti oblika:

x1(t0) =x01, x2(t0) =x

02, . . . , xn(t0) =x

0n,

gdje je t0 specijalna vrijednost od t u intervalu I, a x01, . . . , x

0n propisane

vrijednosti.

Ako je svaka od funkcija F1, . . . ,Fn u sustavu jednadzbi

x1 = F1(t, x1, x2, . . . , xn)

x2 = F2(t, x1, x2, . . . , xn)

...

xn= Fn(t, x1, x2, . . . , xn)

linearna funkcija zavisnih varijabli x1, . . . , xn, tada se za sustav jednadzbi

kaze da je linearan, a u suprotnom kazemo da je sustav nelinearan. Takovecina opcenitih sustava od n linearnih jednadzbi prvog reda ima oblik:


...

xn= pn1(t)x1+ +pnn(t)xn+gn(t).

Ako je svaka od funkcija g1(t), . . . , gn(t) jednaka nuli za sve vrijednosti t u

intervalu I, tada se sustav naziva homogenim, a u suprotnom kazemo daje sustavnehomogen.

Dokaz sljedeceg teorema moze se naci u [1].

7


13/29

Teorem 3.1. Ako su funkcijep11, p12, . . . , pnn, g1, . . . , gn neprekidne na otvo-

renom intervalu I, onda postoje jedinstvena rjesenja x1 = 1(t), . . . , xn =n(t) sustava


...

xn= pn1(t)x1+ +pnn(t)xn+gn(t)

koji takoder zadovoljavaju pocetne uvjete

x1(t0) =x01, x2(t0) =x

02, . . . , xn(t0) =x

0n,

gdje jet0 bilo koja tocka u intervalu I, ax01, . . . , x

0n bilo koje propisane vri-

jednosti.

8


14/29

4 Osnovna teorija sustava linearnih diferen-

cijalnih jednadzbi prvog reda

Kako bismo sto ucinkovitije raspravili o sustavu


...

xn= pn1(t)x1+ +pnn(t)xn+gn(t)

pisemo ga u formi matrice. Odnosno, smatramo da su x1

=1(t), . . . , xn =

n(t) komponente vektora x = (t). Slicno navedenom g1(t), . . . , gn(t) sukomponente vektorag(t), ip11(t), . . . , pnm(t) su elementinnmatriceP(t).Sustav jednadzbi tada poprima oblik:

x =P(t)x+g(t).

Koristenje vektora i matrica ne samo da cuva veliki dio prostora i olaksavatrazenje rjesenja sustava, vec takoder naglasava slicnosti izmedu sustava jed-nadzbi i jednostrukih jednadzbi (skalara).

Za vektor x = (t) kazemo da je rjesenje jednadzbe

x =P(t)x+g(t)

ako njegove komponente zadovoljavaju sustav od n linearnih jednadzbiprvog reda. Podrazumijevamo da su P i g neprekidne na nekom intervaluI, odnosno, da su sve skalarne funkcije p11, . . . , pnm, g1, . . . , gn na zadanomintervalu neprekidne.

Prvo cemo razmotriti homogenu jednadzbu

x

=P(t)x,

koju smo dobili tako sto smo funkcijug(t) izjednacili s nulom, tj. g(t) = 0.

9


15/29


16/29

jednadzbe pronaci na ovaj nacin. Analogno prethodnom slucaju razumno je

ocekivati da je za sustav oblika x

= P(t)x n- tog reda dovoljno formiratilinearnu kombinaciju od n pravilno izabranih rjesenja.

Stoga, neka su x(1), . . . , x(n) rjesenja za n- ti red sustava x = P(t)x irazmotrimo matricu X(t) ciji su stupci vektori x(1)(t), . . . , x(n)(t):

X(t) =

x11(t) . . . x1n(t)...

...xn1(t) . . . xnn(t)

.

Stupci X(t) su linearno nezavisni za danu vrijednost t ako i samo ako jedeterminanta matrice X razlicita od 0. Ova determinanta naziva se de-terminanta Wronskog od n rjesenja x(1), . . . , x(n) i takoder se oznacava kaoW[x(1), . . . , x(n)], odnosno

W[x(1)(t), . . . , x(n)(t)] =detX(t).

Dakle rjesenja x(1)(t), . . . , x(n)(t) su linearno nezavisna ako i samo ako jeW[x(1), . . . , x(n)]= 0Teorem 4.2. Ako su vektorske funkcijex(1), . . . , x(n) linearno nezavisna rjesenjasustava

x =P(t)x,

za svaku tocku intervalaI, tada se svako rjesenjex= (t) sustavax =P(t)x moze izraziti kao linearna kombinacijax(1), . . . , x(n),

(t) =c1x(1)(t) + +cnx(n)(t),

na tocno jedan nacin.

Prije nego dokazemo ovaj teorem, primjetimo da prema Teoremu 4.1 sviizrazi oblika (t) =c1x(1)(t) + +cnx(n)(t) su rjesenja sustavax =P(t)x,

dok prema Teoremu 4.2. sva rjesenja jednadzbe x = P(t)x se mogu zapi-sati u obliku (t) = c1x

(1)(t) + +cnx(n)(t). Ako su konstante c1, . . . , cnproizvoljne tada jednadzba (t) = c1x

(1)(t) + + cnx(n)(t) ukljucuje sva

11


17/29

rjesenja sustava x = P(t)x i naziva se opce rjesenje. Za bilo koji skup

rjesenja x1

, . . . , xn

jednadzbe x

=P(t)x, koji je linearno nezavisan u svakojtocki nekog intervala I, kazemo da je fundamentalni skup rjesenja.

Dokaz. Kako bi dokazali Teorem 4.2., pokazat cemo da za bilo koje rjesenje jednadzbe x = P(t)x, vrijedi da je (t) = c1x

(1)(t) + +cnx(n)(t),za odgovarajuce vrijednosti c1, . . . , cn. Neka je t = t0 jedna tocka nekogintervalaI, i neka je= (t0). Zelimo provjeriti postoji li bilo kakvo rjesenjeoblikax = c1x

(1)(t) + + cnxn(t) koje takoder zadovoljava isti pocetni uvjetx(t0) =. Odnosno, zelimo znati postoje li vrijednostic1, . . . , cn oblika:

c1x(1)(t0) +

+cnx

(n)(t0) =

ili skalarnog oblika:

c1x11(t0) + +cnx1n(t0) =1...

c1xn1(t0) + +cnxnn(t0) =n

Uvjet da determinanta koeficijenata tj. determinanta Wronskog kada jet = t0 nije jednaka nuli nuzan je i dovoljan uvjet da predhodna jednadzba

ima jedinstveno rjesenjec1, . . . , cn. Pretpostavka da sux(1), . . . , x(n) linearnonezavisne na intervalu intervalu I. osigurava da je determinanta Wronskograzlicita od 0 za t = t0, stoga postoji rjesenje sustava x

= P(t)x oblikax = c1x

(1)(t) + + cnx(n)(t) i ono je jedinstveno. Takvo rjesenje takoderzadovoljava pocetni uvjet c1x

(1)(t0) + + cnx(n)(t0) = . Prema jedins-tvenosti iz teorema 3.1. ovo rjesenje je jednako (t), i time vrijedi da je(t) =c1x

(1)(t) + +cnx(n)(t), sto je trebalo dokazati.

Dokaz sljedeceg teorema moze se naci u [1]

Teorem 4.3. Ako sux(1), . . . , x(n) rjesenja jednadzbex =P(t)x, na inter-valuI, onda je u tom intervaluW[x(1), . . . , x(n)] ili jednak nuli ili nikada nenestaje.

12


18/29

Teorem 4.4. Neka je

e(1) =

100...0

, e(2) =

010...0

, . . . , e(n) =

000...1

.

Neka su x(1), . . . , x(n) rjesenja sustava x = P(t)x koji zadovoljavajupocetne uvjete:

x(1)(t0) =e(1), . . . , x(n)(t0) =e(

n),

gjde jet0 bilo koja tocka intervalaI. Tadax(n). . . . , x(n) tvori fundamen-

talni skup rjesenja sustavax =P(t)x.

Dokaz. Kako bi dokazali ovaj teorem, obratimo paznju da se postojanje ijedinstvenost rjesenjax(1), . . . , x(n) spomenuto u Teoremu 4.4., potvrduje Te-oremom 1.2. Lako se vidi da su determinante Wronskog ovih rjesenja jednake1, kada jet = t0; stoga sux

(1), . . . , x(n) fundamentalni skupovi rjesenja. Jed-nom kada pronademo jedan fundamentalni skup rjesenja, drugi skupovi semogu generirati formiranjem (neovisnih) linearnih kombinacija prvog skupa.

Dolazimo do zakljucka, da bilo koji skup od n linearno nezavisnih rjesenjasustavax =P(t)xtvori fundamentalni skup rjesenja. Prema predhodno na-vedenim uvjetima, takav fundamentalni skup uvijek postoji i svako rjesenjesustava x = P(t)x se moze predstaviti linearnom kombinacijom bilo kojihfundamentalnih skupova rjesenja.

13


19/29

5 Homogeni linearni sustavi diferencijalnih jed-

nadzbi s konstantnim koeficijentima

Sada cemo promatrati sustave homogenih linearnih jednadzbi s konstantnimkoeficijentima, tj. sustave oblika:

x =Ax

gdje je A konstantna n nmatrica. Ako je n= 1, tada se sustav svodina jednadzbu prvog reda:

dxdt

=ax,

cije je rjesenje x = ceat. Slucaj kada je n = 2 posebno je vazan i doprinosivizualizaciji u x1x2 ravnini. Evaluacijom Ax pri velikom broju tocakai crtanjem dobivenih vektora dobivamo smjer polja tangencijalnih vektora,kako bi u konacnici dobili rjesenje sustava diferencijalnih jednadzbi. Crtezputem kojeg se predocuje reprezentativni uzorak trajektorije za dani sustavnaziva se fazni portret.

Kako bi izveli opce rjesenje za sustavx =Axtrazimo rjesenja jednadzbex =Axoblika:

x= ert,

gdje je potrebno odrediti eksponent r i vektor konstante . Ako u sustavux =Ax, xsupstituiramo s x = ert, dobivamo:

(ert) =Aert

rert =Aert /: ert, ert = 0r=A

A

r= 0

(A rI)= 0,gdje je I n njedinicna matrica.Kako bi rijesili sustav diferencijalnih jednadzbix =Ax, prvo moramo rijesitisustav algebarskih jednadzbi (ArI)= 0. Vektorxkoji je dan jednadzbom

14


20/29

x = ert je rjesenje jednadzbe x = Ax, gdje je r svojstvena vrijednost i

pridruzeni svojstveni vektor matrice A.Sljedeci primjer ilustrira postupak rjesavanja u slucaju 2 2 matrice

koeficijenata.

Primjer 5.1. Promotrimo sustav:

x =

3 22 2

x.

Pronadite opce rjesenje ovog sustava.

Da bi pronasli rjesenja ovog sustava pretpostavimo da je x = ert; tadadobivamo algebarski sustav:

3 r 22 2 r

12

=

00

.

Svojstvene vrijednosti zadovoljavaju sljedecu jednadzbu:

(3 r)(2 r) 2 =r2 + 5r+ 4= (r+ 1)(r+ 4) = 0

pa je r1=1 a r2=4. Zar1 =1 dobivamo:2 2

2 1

12

=

00

.

Od tuda dobivamo2 =

21 i svojstveni vektor (1) koji odgovara svojstve-

noj vrijednostir1 =1 mozemo zapisati kao:

(1) =

12

.

Slicno, za svojstvenu vrijednost r2 =4 imamo da je 1 =

22 pa jesvojstveni vektor (1) jednak:

15


21/29

(2) = 2

1 .

Stoga, fundamentalni skup rjesenja naseg sustava glasi:

x(1)(t) =

1

2

et, x(2)(t) =

21

e4t,

a opce rjesenje:

x= c1x(1)(t) +c2x

(2)(t) =c1

1

2

et +c2

21

e4t.

16


22/29

6 Negomoheni linearni sustavi diferencijalnih

jednadzbi

U ovom poglavlju cemo promatrati nehomogene sustave diferencijalnih jed-nadzbi oblika:

x =P(t)x+g(t),

gdje sunnmatricaP(t) in1 vektorg(t) neprekidni na nekom intervalu.Opce rjesenje sustava

x =P(t)x+g(t)

dano je sa:

x= c1x1

(t) + +cnxn

(t) +v(t),gdje je c1x

1(t) + +cnxn(t) opce rjesenje homogenog sustavax = P(t)x,a v(t) partikularno rjesenje nehomogenog sustava. Postoji nekoliko metodaza odredivanje partikularnog rjesenja v(t).

6.1 Dijagonalizacija

Neka je dan sustav oblika

x =P(t)x+g(t),

gdje je P(t) n nmatrica koja se moze dijagonalizirati. Neka je

X1P(t)X=D,

gdje je

D=

r1 0 . . . 00 r2 . . . 0...

... ...

0 0 . . . rn

dijagonalna matrica ciji su dijagonalni elementir1, . . . , r2 svojstvene vrijed-nosti matrice P(t). Da bismo dobili dijagonalnu matricu pomnozimo jed-

17


23/29

nadzbux =P(t)x+g(t) sX1 s lijeva.

X1x =X1P(t)x+X1g(t)

X1x =X1P(t)XX1x+X1g(t)

X1x =DX1x+X1g(t)

y =Dy +h(t),

gdje smo stavili da je

y= X1x i h(t) =X1g(t).

Ovaj sustav, kada se raspise, svodi se nannezavisnih jednadzbi

yi(t) =riyi(t) +hi(t), i= 1, . . . , n .

Svaka od ovih jednadzbi je linearna diferencijalna jednadzba prvog reda, cijeje rjesenje dano s:

yi(t) =erit

tt0

erishi(s)ds+cierit, i= 1, . . . , n ,

gdje su Ci proizvoljne konstante. Kada dobijemoyi, i = 1, . . . , n , rjesenjejednadzbe x =P(t)x+g(t) nademo iz jednadzbe

x= Xy.

Ova metoda omogucava elegantno rjesavanje sustava, ako je matrica sime-tricna. Neke nesimetricne matrice se takoder mogu dijagonalizirati. Rijesimosada metodom dijagonalizacije upravo jedan takav primjer sustava diferenci-

jalnih jednadzbi.

Primjer 6.1. Rijesimo sljedeci sustav linearnih diferencijalnih jednadzbi 1.redas konstantnim koeficijentima metodom dijagonalizacije.

x1= 3x1 2x2 4x3+tsintx2=x1+x2+x3+cos2tx3= x1 2x2 2x3+t2 1

18


24/29

Matrica sustava dana je s:

P(t) =

3 2 41 1 1

1 2 2

Karakteristicna jednadzba jednaka je:

det(P(t) rI) =3 r 2 41 1 r 11 2 2 r

=r3 + 2r2 +r 2 = 0.

Stoga su svojstvene vrijednosti jednaker1= 1, r2=1 r3 = 2,

a svojstveni vektori 11

1

,

10

1

,

211

.

Dobivamo:

X=

1 1 2

1 0 1

1 1 1

X

1

=1 1 10 1 11 0 1

, g(t) =

tsintcos2tt2 1

.

Zatim

X1P(t)X=

1 0 00 1 0

0 0 2

, X1g(t) =

1 +t

2 cos2t tsint1 +t2 +cos2t1 +t2 tsint

.

Polazni sustav se svodi na tri nezavisne linearne diferencijalne jednadzbe1.reda

y1(t) =y1 1 +t2 cos2t tsinty2(t) =y2 1 +t2 +cos2ty3(t) = 2y3 1 +t2 tsint.

19


25/29

Svaku od njih rijesimo po formuli za rjesenje linearne jednadzbe 1.reda. Time

dobivamo da je rjesenje

y1(t) =1 2t t2 +C1et +12

cost+1

2tcost+

1

5cos2t+

1

2tsint 2

5sin2t,

y2(t) = 1 2t+t2 +C2et +15

cos2t+2

5sin2t,

y3(t) =1

41

2t 1

2t2 +C3e

2t + 4

25cost+

1

5tcost+

3

25sint+

2

5tsint.

Za dobivanje rjesenja zadanog sustava, trebamo naci x = X y. To znaci

x1 = y1+y2 2y3x2 =y1+y3x3 = y1+y2 y3

tj.

x1(t) =12 3t+t2 +C1et +C2et 2C3e2t + 1

50(9 + 5t)cost+

+2

5cos2t 6

25sint 3

10tsint,

x2(t) =5

4+

3

2t+

1

2t2 C1et +C3e2t 1

50(17 + 15t)cost

1

5cos2t+

3

25sint 1

10tsint+

2

5sin2t,

y3(t) =147

2t+

1

2t2 +C1e

t +C2et C3e2t + 1

50(17 + 15t)cost+

+2

5cos2t 3

25sint 1

10tsint.

6.2 Metoda neodredenih koeficijenata

Drugi nacin za nalazenje partikularnog rjesenja Y nehomogenog sustava

x =P(t)x+g(t),

je metoda neodredenih koeficijenata.

Ova metoda je primjenjiva jedino onda kada je koeficijent matriceP kons-tantan, i kada je funkcija g suma ili produkt polinoma, eksponencijalnihfunkcija, te sinusa i/ili kosinusa.

20


26/29

6.3 Metoda varijacije konstanti

Sada cemo promatrati opcenitije probleme u kojima matrica koeficijenatanije konstantna niti se moze dijagonalizirati. Neka je

x =P(t)x+g(t),

gdje sunnmatricaP(t) in1 vektorg(t) neprekidni na nekom intervalu,i neka je fundamntalna matrica odgovarajuceg homogenog sustava:

x =P(x)

Rjesenje pocetnog nehomogenog sustava naci cemo metodom varijacije kons-

tanti(parametara) koju primjenjujemo na opce rjesenje homogenog sustavax =P(x) dano sa(t)c. Mijenjajuci konstantu c vektorskom funkcijomu(t)rjesenje nehomogenog sustava pisemo u obliku

x= (t)u(t),

gdje je u(t) vektorska funkcija koju treba odrediti. Deriviramo x koji jedan jednadzbom x = (t)u(t) i uvrstimo u jednadzbu x = P(t)x+g(t) tedobivamo:

(t)u(t) +(t)u(t) =P(t)(t)u(t) +g(t).

Kako je (t) fundamentalna matrica homogenog sustava vrijedi (t) =

P(t)(t), pa jednadzbu

(t)u(t)+(t)u

(t) =P(t)(t)u(t)+g(t) reduciramona:

(t)u(t) =g(t).

Kako je (t) regularna matrica u svim tockama neprekidnosti elemenatamatriceP, znamo da postoji 1, pa onda imamo:

u(t) =1(t)g(t),

a integracijom dobivamo

u(t) = 1g(s)ds+c,gdje je c prozvoljna konstanta. Uvrstavanjem dobivenog u x = (t)u(t)dobivamo

x= (t)c+(t)

1(s)g(s)ds.

21


27/29

Svaka od ovih metoda za rjesavanje nehomogenih sustava jednadzbi ima

svoje prednosti i mane. Metoda neodredenih koeficijenata ne zahtjeva in-tegiriranje. Metoda dijagonalizacije zahtjeva pronalazenje inverznih ma-trica. Metoda varijacije parametara najopcenitija je metoda ali ona obuhvacarjesavanja sustava linearnih algebarskih jedndazbi, a zatim slijedi integriranjei mnozenje matrica, tako da postupak moze biti vrlo slozen. Za rjesavanjemnogih manjih sustava sa konstantnim koeficijentima svejedno je koju me-todu odaberemo.

22


28/29

7 Zakljucak

U ovom zavrsnom radu obradili smo sustave diferencijalnih jednadzbi. De-finirali smo obicnu diferencijalnu jednadzbu te njeno opce, partikularno isingularno rjesenje kako bi mogli uvesti po jam sustava diferencijalnih jed-nadzbi.

U radu je pojasnjeno koristenje sustava diferencijalnih jednadzbi kroz parprimjera kao npr. primjer Sustav Lovac-Plijen, te je zatim navedena osnovnateorija sustava linearnih jednadzbi prvog reda.

U radu spominjemo homogene linearne sustave sa konstantim koefici-jentima te rijesenim primjerom ilustriramo postupak rjesavanja homogenog

sustava s konstantnim koeficijentima.Na kraju rada obradeni su sustavi nehomoganih linearnih jednadzbi. Po-

jasnili smo i kroz primjere pokazali postukpak rjessavanja nehomogenih jed-nadzbi metodom dijagonalizacije, metodom neodredenih koeficijenata te me-todom varijacije konstanti.

23


29/29

Literatura

[1] William E. Boyce- Richard C. DiPrima: Elementary Differential equ-ations and Boundary Value ProblemsJohn Wiley Sons, Inc., Web ver-sion(2001).

[2] M. Vrdoljak: Obicne diferencijalne jednadzbe 2009. URL:http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/odif/predavanja/sistemi.pdf

[3] Salih Suljagic: Sustavi obicnih diferencijalnih jednadzbi URL:http://www.grad.hr/nastava/matematika

24

Documents

Završni Rad B Dragin